Напряженное состояние и устойчивость подкрепленных композитных пластин и оболочек вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Лопатин, Александр Витальевич
АВТОР
|
||||
|
доктора технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1993
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РГб од
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ _ уШр^ШЩЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ " КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ им. СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ
На правах рукописи
ЛОПАТИН Александр Витальевич
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Москва — 1993
Работа выполнена на кафедрб'"«Прочность элементов летательных аппаратов из композиционных материалов» Московского государственного авиационного технологического университета им. К- Э. Циолковского.
Научный консультант:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор Васильев В. В.
д.т.н., старший научный сотрудник Лурье С. А., доктор технических наук, профессор Николаев В. П., доктор технических наук, профессор Шаповалов Л, А.
Центральный научно-исследовательский институт специального машиностроения
Защита состоится « -ег^ОМ-Я— 1993 г. на засе-
дании специализированного совета Д053.18.07 при Московском авиационном институте им. Серго Орджоникидзе по адресу: 125871, г. Москва, Волоколамское шоссе, д .4.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института им. Серго Орджоникидзе.
Автореферат разослан
1993.
Ученый секретарь специализированного Совета к.т.н., доцент
В. Н. Зайцев
Обдвя характеристика раОоты
Актуальность темы. Конструкции, состоярте из пластин и oöo-ючек, подкрепленных ребрами жесткости, наши в настоящее Бремя трокое применение в авиационной, ракетной и космической технике, ¡удостроэнии, химическом машиностроении. Это обусловлено тем, что [одкрепляющие элементы, составляя как правило сравнительно «большую часть общего веса конструкции, существенно повышают ее [рочность и жесткость.
■ Теория подкрепленных пластин и оболочек, основы которой были аложэны Власовы^ В.З. н Лурье А.И., получила свое развитие в ра-отах Абовского Н.П., Амиро И.Я., Андрианова И.В., Балабуха Л.И., айнберга Д.В., Гавриленко Г.Д., Гребня Е.С., Григолюка Э.И., нджиевского Л.В., Жилина П.А., Звруцкого В.А., Ильина Л.А., абанова В.В., Карпова Н.И., Кизимы Г.А., Куранова В.А., Лободы .В., Малютина И.С., Маневича Л.И., Михайлова Б.К., Михайловского .И., Образцова И.Ф., Онаноза Г.Г., Полякова U.C., Рябова В.М., олкачева В.М., Шаповалова Л.A., Baruch И., Bushneil D., Chrobot ., Dehousae N.M., Gerald С., Sens G., Sulkowska J., Wang J.T.S.
Появление композиционных материалов открыло новые озмозшости в использова1ши подкрепленных конструкций и усилило, вм самым, интерес к теоретическим и экспериментальным ^следованиям напряженно - деформированного состояния ребристых пастян и оболочек. Композитные подкреплённые оболочки отличаются WOM особенностей, которые должны быть учтены при построении эсчотной модели. К таким особенностям относятся : низкая щигсвая Ебсткосад материалов оболочки и ребер, неоднородность груктуры стенки оболочки и поперечных сечений ребер, шообразнв схем расположения ребер и' соединения их с оболочкой, яцествундие теории ребристых оболочек из традиционных магершов ) учитывают неоднородность материала и деформации поперечного юигз и базируются на гипотезе единой нормали для оболочки и >бер; что не позволяет полностью учесть особенности напряженно -.формированного состояния, присущие композитным конструкциям и мсать с единых позиций все множество конструктивных схем.
Учитывая перспективы использования подкрепленных композитных ¡елочек, обладающих высокой степенью весового совершенства, а «да отмеченную выше ограниченность традиционных моделей ребрис- ■
тих. оболочек, можно* считать развитие исследований в области построения теории й методов расчета подкрепленных композитных оболочек актуальной и важной в теоретическом и прикладном отношении садачей.
Целы» работы является :
- - построение теории . подкрепленных композитных оболочек, учитывающей дискретный характер расположения ребер, взаимодействие ребер в местах их.пересечения, а также характерные для композитных конструкций "деформации поперечного сдвига в оболочке и ребрах, слоистость и ортотропию материала;
- получение на основе соотношений общей - теории разрешающих уравнений для подкрепленных композитных пластин, цилиндрических, конических и торовых оболочек;
- разработка численных методов решения, описывающих напряженное состояние подкрепленных композитных конструкций дифференциальных уравнений, содержащих члены, включающие 5 - функции;
- приложение полученных теоретических результатов к решению задач статики я устойчивости подкрепленных композитных пластин и оболочек;
- разработка пакета программ расчета подкрепленных композитных конструкций на ЭШ.
Научная новизна диссертации определяется новыми' теоретическими результатами в области расчета подкрепленных композитных оболочек, включающими :
- модель подкрепленной композитной оболочки;
- уравнения теории подкрепленных композитных' оболочек;
- численные методы и компьютерные программы . для решения задач статики, динамики и устойчивости подкрепленных композитных пластан и оболочек.
Практическая ценность, Полученные . результаты, предложенные методы и программы использованы при расчете конкретных конструкций и могут нейти дальнейшее применение при • проведении . проектировочных и поверочных расчетов подкрепленных тонкостенных конструкций, внполненных как из композиционных, так й из традиционных материалов.
Апробация работа. Основные положения работы били доложены и обпуедены на:
- Научно - технической конференции, посвященной 125-летию со
дня рождения К.Э.Циолковского, Московский авиационный технологический институт юл. К.Э.Циолковского, Москва, 1982 г.;
- IV Всесоюзном симпозиуме по мохвюше конструкций из композиционных материалов, Новосибирск, 1982 г.; '
- Семинаре научного совета АН СССР по механике конструкций из композиционных материалов в Московском высшем техническом училище им. Н.Э.Баумана, Москва, 1982 г.;
- Всесоюзной школе молодых ученых н специалистов "Актуальные проблемы механики оболочек", Казанский авиационный институт им. А.Н.Туполева, Казань, 1983 г.:
- Межотраслевой научно - практической конференции по проблемам Проэктировшшя П 11ЭГОТОВЛ9Ш1Я конструкций из композицион--янх материалов, Красноярский политохшческий институт, Красноярск, 1988 г.;
- Первом соёйтско - американском симпозиуме по механике композитных-материалов, Рига, 1939 г.;
- Всесоюзной научно - технической конференции "Композиционные моторала в конструкциях глубоководных технических средств". Николаевски! кораблестроительный институт, Николаев. 1991 г.;
- VII Каучпо - технической конференщщ "Проблемы создания конструвдй из кс?.яозщпошшх материалов и их внедрения в практику совертязстсовшзпп образцов новой техники", Конструзстор-ское Овро !.!пшпюстр0мшп I?!. академика В.П.Шкеовз. Шпсс, 1992 г.;
- International Synpobivoa "СозрозНеэ: Fracture Нес1ш1сз and Technology". Russian Composite Society, Cherrtogolovka, 5992.;
- Российской^аяно - теяшческся ксгДзрозгщш "Новно маторя-ол! н тохиолопш мзшюстромшя", Московский авяецпоннцй техпмогачокшй шстотуг хм. О.Циолковского, Москва, 1992 г.;
- Научно?! сокяюрэ "Проблеет момяша дефор:,труо;;ого твердого тола а дзшияша магпт" в 'Зосковсксм авиационном институте ззм. Серго Ордшпкндзо, Мосзта, 1993 г.
Структура и объсу дассортпчяа. Диссертация состоят из введения, вести глав, выводов и списка литературы. Обздай объел работ» - 365 стррщщ. В дассертЕщш 67 рисунков и б таблиц. ■ Сгасск ~1торатурн взшяаэт 223 капммювтшя.
СОДЕРШИЕ РАБОТЫ
В первой главе представлен обзор исследований, посвященных моделям полкреплешш пластин и оболочек, способам получения и мотодам решения уравнений, • описывающих подкрепленные конструкции;
В первом параграфе рассматривается классификация существующих модйлей подкрепленных.оболочек. Она включает: ,
- модель, основанную на представлении подкрепленной оболочки как оболочки ступенчато-переменной толщины:
- модель, предполагающую декомпозицию подкрепленной оболочки на собственно оболочку и на ребра жесткости;
- модель, и основе которой лежат понятия обобщенных, усилий и моментов;.
- модель, прадполагатеую декомпозицию подкрепленной оболочки на ребра жесткости и на отдельные панели или отсеки, расположенные между соседними ребрами.
Отмечается, что построенные на основе первых трех моделей уравнения теории ребристых оболочек совпадают в главных членах, учитывающих влияние ребер на поведение оболочки, и отличаются второстепенными членами, которые связаны с учетом кручения рэбер и их изгиба кз своей плоскости. Уравнения равновесия ребристых оболочек при этом могут быть представлены в различном виде -системой дифференциальных, или интегральные уравнений, а такие вариационным уравнением. Выбор.той, или иной формы представления уравнений определяется, с одной . стороны задачами, которые предполагается решать с их помощью, а с другой сторону -. методом решения, который предполагается использовать.
В первом параграфе проведен также анализ . методов решения з.ядач теории ребристых оболочек. Рассматривались следующие методы: методы, основанные на представлении решения уравнений для ребристой оболочки в виде двойных или одинарных тригономет-риесквх рядов; асимптотические методы; итерационные методы; метод" интегральных уравнений; метод конечных разностей; метод ко-• нечных элементов.
Во втором параграфа приведен обзор работ по подкрепленным пластинам и оболочкам, опубликованных в период с (989 года по настоящее время (ранее опубликованные работы отражены в обзорах Зеруцкого В.А.. Кизимы Г.А.; Кантора Б.Я., Катарянова С.И., Офиа В.В.; Амиро И.Я., Заруцкого В.А. и др.). Обзор состоит из пяти
разделов, охватывающих следующие тем: напряженно - деформированное состояние, устойчивость, колебания, оптимальное проектирование и экспериментальное исследование подкрврлвшшх конструкций.
В третьем параграфе дано обоснование актуальности работы и сформулированы ее цели.
Во второй ГЛ8В8 получены уравнения теории подкрепленных композитных оболочек, в рамках которой учитываются дискретный характер расположения ребер, деформации поперечного сдвига в оболочке и ребрах, слоистость и.ортотрогсия материала. При построении этой теории в качестве . исходных были использованы соотношения прикладных теорий композитных оболочек и стержней.
В основу модели подкрепленной композитной оболочки были положены предположения, касающиеся выбора местоположений начальной поверхности оболочки и начальных линий ребер, а также характера взаимодействия оболочки и ребер и ребер между собой. .
В первом параграфе рассматриваются соотношения прикладной теории композитных оболочек. Вводится понятие начальной поверхности оболочки как носителя ее формы с одной стороны и кгк поверхности, к которой приведены усилия и моменты, статически эквивалентные напрякениям, действующим по. толщине оболочки - с другой.
В основу прикладной теории слоистых композитных оболочек положены следуюеше гипотезы:
- материал оболочки не деформируется в направлении нормали к начальной поверхности;
- возможна замена истинных трансверсвльных деформаций сдвига их осредненнши- по толщине значениями.
Эти гшотезц,позволяет получить из трехмерных уравнений теории упругости ортотропного тела двумерные уравнения теории слоистых композитных оболочек, которые приведены в первом параграфе.
Во втором параграфе рассматриваются соотношения прикладной теории композитных стершей. По аналогии с начальной поверхностью оболочки в качестве носителя фор^ы стеркня, навиваемого в дальнейшем его продольной, осью, введена линия, ортогональная поперечным сечениям стержня и представляющая собой плоскую кривую.
В основу прикладной теории композитных стержней половэтм следующие гипотезы:
- материал стержня не деформируется в плоскости поперечного , сечения;
- возможна замена истинных трансвэрсальных деформаций еда-
гз их.. осредь»лшыми по сечению значениями.
Принятые гипотезы позволяют получить из трехмерных уравнений теории упругости ортотропного тела одномерные уравнений теории композитных стержней, которые приведены в рассматриваемом раздела.
В третьем параграфе на основе приведенных в двух предыдущих разделах соотношений получены уравнения, описывающие напряженно -деформированное состояние композитных оболочек, подкрепленных двумя семействами ребер жесткости.
В основу модели подкрепленной композитной ободочки положены . две группы предположений. Первая из них касается выбора начальной поверхности оболочки и начальных линий ребер и реализуется по следующей схеме: . ... . '
- в трехмерной системе оболочка - ребра выделяется поверхность контакта, которая в зависимости ,ог конструктивного оформления этой системы может бить расположена на наружных поверхностях оболочки или между кия:;
■ - поверхность контакта совмещается с начальной поверхностью оболочки и на ней выделяются полосы контакта, по' которым происходит взаимодействие оболочки и ребер;
- внутри полос контакта проводятся линии, параллельные в зависимости от ориентации ребер тем или иным координатным осям и называемые в дальнейием линиями контакта;
. - линии контакта совмещаются с продольными осями ребер.
Вторая группа предположений, лежащих в основе • модели подкрепленной композитной оболочки, касается способа описания ' хврактера вааимодейстшя оболочки и ребер и ' предусматривает следующее:
- ребра условно отдаляются от оболочки и их взаимное влияние заменяется контактными напряжениями; ■'-->.'..
- поскольку распределение контактных напряжений по ширине полос контакта для ребер с абсолютно жесткими поперечными сечениями является несущественным, эти напряжения заменяются статически-эквивалентными контактными погонншиусшщями и моментами, приведенными к линиям контакта, полокение которых внутри полос контакта назначается исходя из -удобства; вычисления коэффициентов '
■ жеоткоста; • ■ ; • \ : ■ '*'];}
; . — в качестве функций, описывавших хгракэер распределения на4, начальной поверхности/оболочки контактных усилий и момёнтов
эинимаются «-функция Дирака и ее производная;
- принимается, что в местах пересечения продольных осей !бер возникают сосредоточенные моменты. д
. В рамках предложенной модели подкрепленной композитной кмочки получены уравнения . равновесия оболочки с учетом ее 1аимодеЯствия посредством контактных усилий и моментов с ребрами уравнения равновесия ребер с учетом их взаимодействия с олочкой и между собой.
Соотношения совместности, связывание кинематические перегоне оболочки и ребер на-линиях контакта и кинематические паренные ребер в мрствх их пересечения получены в результате услов-й минимизации потенциальной ■ энергии деформации оболочки и ре-р, прием в качестве дополнителыш условий бшм введены уравняй равновесия оболочки с учетом ее взаимодействия с ребрами и авнения равновесия ребер с учетом, их взаимодействия с оболочкой иозду собой, а в качества множителей ' Лаграниа - кинематические рзкешше оболочки и ребер, о именно - перемеадшя точек начоль-1 поверхности, углы поворота нормали к начальной поверхности, рокещеши точек продолышх осей рэбер и, углы поворота то речных сечешь ребер, [.'¡шшзащя функционала позволяет танке тасать остаствзшшэ грашашше условия на краях оболочзсп и рэбер.
'В четвертом параграфе сформулирована постановка задачи, т.о. шсяна полггая система уравнений и соотвэтствушщх граничных говиЯ.
Система уравнений для оболочки включает: урашешя равновесия — Гл„Н - п, —а + — |А,н, I + н , —+
Эа I 3 а> > 8а 00 I 1 а? а?
АЛ °
+ —5—3-0 + 1 + Г А..Т. Щ - р.) * (1,2)
Н « ° 11 10 1
1 !<•!
"(Г I«»
з Г 1 3 I Л ( Н„ 1
/ \ аК Э Г Л аА1
(А,М I - М„—& + — [А м I + м - А.Ааа + юа = о ; I й Ч ■ ' а« яа V 1 вВ 1 3 " °
|«1 1«1
в / \ зА„ а , у &А
— {А,М { - М„—^ + — во, * • » 5а е?
(1.2)
- физические соотношения
V- в„£.+ с.л+ с>л: (,-2)
V О,/-с» <1'2)
(?.)
К' Сн'.+ С.а£/ Спх.+ . (1-2)
0Я- К о (1.2)
а а в
- геометрические соотношения
1 Ш Ч ЗА, »1
с=--+----(1,2)
' А1 во А,АЯ Эр К, ■■; ■ ;
1 ЗУ и эА, 1 эр дк, ' -----—- + (».2)
90 АА . " А 8в а!аз
' . (3>
1 ар, </ аА. и 1 з«
х„,- —ь——д--= — +—■— (1,2)
" А, За а» " - ^ А; Э<* V Ч
Здесь а, р - криволинейные координаты. А,, А3 - коэффициент первой квадратичной формы, и , Иа - радиусы кривизны начальнр£ поверхности; Ив> Н>( - мембранные и <Э„, <2,, - перерезыва-
теке усилия; М°, М, - изгибещие и V И. - крутящие моменты;
* р • ре
е>( с1(, - компоненты -мембранной, хв, - изгибной, ха?, - хгрутаиьной, » - тренсверсалькой сдвиговой деформации;
i, v, я - перемещения и прогиб начальной поверхности: гглй поворота нормали к начальной поверхности; В - мембранные, 3 - смешанные, D - изгибныэ, К - сдвиговые коэффициенты жесткости 5тенки оболочки; ía, г , ш - внешние усилия и моменты,
фиведешше к начальной поверхности; пв, г\ - число ребер кест-сости, направленных вдоль осой аир соответственно; 1, 3 - те-сущие номера ребер; р - 0( = 0; а - а* о - уравнения линий ксн-ракта с оболочкой ребер, параллельных осям а и р соответственно; lJJf &3J - коэффициента первой квадратичной форм при фиксировании значениях координат р, и а) соотвотвенно; 1 - контактные уси-ш; S, Z - контрактные моменты; 5, 6' - дельта-функция Дирака и эе производная. Символ '(1,2) обозначает перестановку гадаксов (,2 и 1,3, а также переменных а, р.
Система урзвнсшя для 1-ого ребра, направленного вдоль оси включает: уравнения равновесия
dtll, Q,.
—!*_ + _LLh- - т + f в о ;
A,.da R, . 1а ,в
1 I I а
ílQ., п,
Djl _ _i!L _ Т от о, - Т„. соз 9, + I . =0 ;
i i a Ja 2 i a JO 1 Ju
Arta
11 i a
—¿ii + Ttl eos e. - T.-eln o. + r = 0 ;
* л lia l<* 31 a -le ale í i
сШ. IL, ti
—Ls— + ...51». - Z, + 13, + } У, 6{a - a ) = 0 ;
(4)
ffií(!
И
— - Q,. - S. C03 0 + Ш + У X Ma - a ) = 0 ;
lio la la lia г I г
Á4Üa r.l
—SÍH_--La. _ Q - s, Sin <?, + ra„, =0
n 31a la la 31a
An(i« Rlo
( 1 * 1,2.....na )
. - физические соотношения
Л» = Bla£,a + С,,Л.. + Са«Л.. J 01 1 1Л ,. 1
м31в = °eueü fDaii.'m +,®áai«*aV«
( 1 = 1,2,...,n )
с .
геометрические соотноиения
du, w, u, ; dr.
С - -Li_ + _JJ«- ; ш P « - _JL«_,+--LLS. ;
»" A d« R, R - . A^da
и ie . i« «i
dw.,, ■
Ш , = + —; (6)
al" 2U Aude
x - Üii. - ipJLüL - Iii
14 ^ ' 110 Aud« " Auda Pu
( 1 ■ 1,2,...,n ) *
Условия совместности деформаций ребра и оболочки имеют вид и1я = ms,.) ; \la - »(р,) ein eia +ч(^) coa eu ;
v(p.) ein'в. - ) coa 9 ; (7);
610 . I 10 I .»в
09(0.) 1 311(0,) '.
u AaöP ale Ue u Sin kadß
( 1 = 1,2,....П )
а
Условия совместности деформаций пересекающихся ребер определяются равенствами
(«,) + -М- = 0 (8)
" Va ■
. ( 1 = 1,2,...,п ; 1 е. 1,2,....п. ) » р
В (4) - (8) не оговоренные ранее обозначения имеют следующий, смысл: ви - угол между нормалью к: оболочке и нормалью к. плоскости кривизны ребра; Ru - радиус . кривизны продольной оси ребра, совмещенной с линией контакта но начальной поверхности : оболочки; Nu - осевая, Qlla, Qai¿ - перерезывающие силы; Mia -кр$"редяй,.*11о, Ки,в - изгабавдив-моменты; с,а - продольная, , х 7 крутильная, *1U, хаи - изгибныв деформации оси ребра; • 1я, ' *e|¿ V сдвиговые дафорашш в сечении .ребра; u¿e ^.продольное'.
перемещение, »21а - прогибы точек оси ребра; , ,
Ра1о - углы поворота сочения ребра; В4в - продольная, С Са°в - смешанные, К)1в, Ка)о - сдвиговые, Б(о> - крутильная" См1а) 033|о. 2131а> С311в - изгаоные жесткости сечения ребра; Г^, *а1о. ш,.. шПо. и31в - внешние усилия и моменты, действующие на рэбро: X,У - сосредоточенные моменты, возникающие в местах пересечения ребер.
Уравнения для ¿-ого рэбра, параллельного оси Д получаются из уравнений (А) - (8) в результате замены « на р, 1 на и на V, 1 наг, Хна-У, Уна X. Отмечается, что кесткостные параметры оболочки определяются относительно ее начальной поверхности, а кесткостные параметры ребер - относительно их продольных осой.
Система урзвнегой (1) - (8)'является полной - число уравнений соотЬетотвует числу, неизвестных, в качестве которых выступают: усилия и моменти, обобщенные перемещения, обобщенные деформации в оболочках и ребрах, контактные усилия и моменты, а также момента, возникагаиз в мостах пересечения- продольных осей ребер.
В тротьоЯ глзво рассматриваются подкрэпленннв когягогктзшэ штстспш.
В первом параграфа из обоих уравнений второй главы получены уравнения, опнспвпэдйо напряженно - деформировашюэ состояние подкрепленных композитных пластин. Пргоодена разропащап система уравнений, под которой пошгмаатся система уравнении, содержащая в качество неизвестных ккнематичошш по'ромошшо в пластине и рэброх, контакта) усилия и моменты, а тасэ моменты, возшпеапцие з мостах поросочошгя ребор. Показано, что для подкрепленных гласит скжотрпчарго строения, разрешашая система уравнений гозот быть приведена к двум группам уравнений, соответствующих 5адачсм о ногрушпш пластшш в своей плоскости н изшбэ.
Во втором параграфа рассмотрена задача об определения шпряшшо - дофор.шровоиного состояния подкрепленной композитной шастали, нагруженной распределенным давлением. Предполагалось, :то по контуру шгастмш и на торцах ребер выполняются условия арнирного опирашя. Решение разыскивалось в шдо двсйкых и оди-зрных тригонометрических рядов. Дня коэффициентов разложений олучена 'система лшеЯшх алгебраических уравнений, которая после сключония сосредоточенных моментов, возникавдих в местах . бресечения ребор, была предстэвлена в виде следующего матричного ыракения
о СО * 00
А и 4 У в И + У в и
шп гап ¿^ ьятп ,тг» ^ луш^п т^
00 оэ
+ У . У в и = р
»»У»,", т1п1 "
( т, п = 1,., .ю ) Здесь вектор неизвестных коэффициентов разложений в ряды кинематических переменных пластины; а, В .В , В
г л» пктп тупп - тпхутп
матрицы размером 5x5, элементы которых определяются через жест-костныэ характеристики пластины и ребер и параметры волнообразования; Ртп - вектор коэффициентов разложений в ряд действующей на -пластину нагрузки.
Отмечается, что в общем случае система уравнений ■ (9) имеет бесконечный порядок. При расчетах система (9) редуцируется к системе уравнений конечного порядка.
где
си = Р
(10)
• С.
с*
с с
м »3
ди
с С .....с
81 аз аи
с а к! к1
Ик
Матрица х формируется по следующему алгоритму
а - р (а + В + В ' 4 в ( д == у •)
^ пп г<кяп »ушп впчутп ' * тп
« * р
+ в
I ■
+ в
< Р »X >
( а, 9 = 1,2, ... Д ),
п
В
к = й-й ; утп= ш + т-(п - 1) : Гвп = п> + т-О^- 1) ;
у = пип - 1) ; ц = т,*т-(п.-1) ; <* = )
Здесь тип- число удерживаемых членов в рядах по координатам I и у соответственно.
В качестве примера определены прогиби и напряжения в пластинах, подкрепленных различным числом ребер. Пластины и ребра изготовлены выкладкой' углепластиковой ленты. Представлены изменения прогибов;» и напряжений на плоскостях, примыкающих к ребрам жесткости. Отмечается, что для пластины с одним ребром (рис. 1) можно Наблюдать известный эффект - панель, заключенная мевду кромкой пластины й. ребром, прогибается значительно больше точек,■лежащих под ребром. По мере увеличения числа ребер прогиб вырагашвается. Учет, дискретного характера расположения ребер оказывает значительное влияние на напряжения, которне претерпевают по плоскости пластгаш суцествешше изменения, не уменьшающиеся по мерз увеличения числа ребер.
Показано, что на линии контакта пластины и ребра угол поворота.нормали к начальной плоскости не равен углу .поворота поперечного сечения ребра и отличается от последнего на угол, определяешь различной сдвиговой деформацией гогасташ и ребра.
Для оценю! влияния на напряженно - деформированное состоять подкреплешшх пластин сосредоточенных маштйз, возникающих в местах пересечения ребер,' были найдены прогиби а напряшшя, соответствующие расчетной модели, з которой эти моменты равны нулю. Установлено, что учо? взаимодействия мезду рзбрс.т! приводит к уточнению прогюЗа на величину порядка 4 % а напряконий на величину порядка 12 %.
В третьем параграфа описан эксперимент по определенна прогиба пластшш с тремя рэбраш гюсткости, изготовленной механическим фрезерованием из ашетшвого сплава. В процесса испытаний пластина нагружалась давлэшшл. Провадешшй шсспзрпмен? доказал, что'. расчетная модель удовлетворительно списывает деформирование реальной подкрепленной пластины.
В четвертой главе рассматриваются подкрепленные композитные цилиндрические оболочки.
.. В первом параграфе приведены уравнения теории подкрепленных композитных цилиндрических оболочек. Получена разрешенная .система
Pec, I
уравнений, содержащая в качестве неизвестных кинематические пере-иенныэ 'в оболочке и ребрах, а также контактные усилия и моменты.
Во ВТ01ЮМ параграфе рассмотрена задача^ устойчивости композитной цилиндрической -оболочки с продольными и кольцевыми ребрами кесткости, нагруженной осевой сжимающей силой. При построении расчетной модели принималось, что ребра деформируются только в плоскостях, проходящих через оси ребер и восстановленные из них нормали к начальной поверхности оболочки; Исходное докритичеокое состояние подкрепленной оболочки предполагалось безмоменпшм. Получены уравнения устойчивости рассматриваемой конструкций. Реиеняв этих уравнений разыскивалось в виде одинарных тригонометрических рядов по окружной координате. Получены, соответствующие п-ой гармонике разлояейия, уравнения устойчивости а виде однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
• <ИГ : -, • .''. л-у ' »
О £«. .• *А*Г«.А +
4« й« в| Йа * " "> 1
, »4«а ' ив ио
; + I в(в - V
▼« -1- * Т — *• »л+ Г - •» '*'
С П » 2,3«,..,» } 1 ■ 1,2,....3 )
Здесь, э, г - числе продольных и кольцевых ребер соответственно; t - вектор неизвестных функций, соотвегствухдах п-ой гармонике разложений в ряда кинематических переменных оболочки; X, - вектор ¡«известных функций, соответствующих кинематическим переменным . 1-ого продольного ребра; с , нп|) , вя,, рп. й,,. v,, т1п,
2,п - матрицы» элементы которых зависят о* жесткосткях характеристик оболочки и ребер, параметров волнообразования я параметра нагрузки.
Из бесконечной системы (11) получена система уравнений' устойчивости конечного порядка, соответствующего числу членов, удерживаемых в рядах, аппроксшфуяща неизвестные функции в окружном направлении. Эта система имев* следующий вид
4 у к,?(в,)»(в - «:) (12):
de J J v J
ГДО J
Здесь m - 'число удерживаемых, членов рядов по окружной координате. Матрицы Р и Kj формируются из матриц системы ('11). Построен ана-литико - численный , метод решения, систем обыкновенных • дифференциальных уравнэкия первого порядка с постоянными коэффициентами типа (12), содержащими в правой части члены, включающие б-функции. Решение системы (12) получено в следующем виде. ;
1<а) - »(а) [ в + - aji ] С -.'.'; (13)
- J't.
где 5К«) - фундаментальная матрица соответствующей однородной системы; С •• вектор постоянных; В - единичная матрица; Ыу- матрица, получаемая в процессе определения векторов 1(а}) (3=1,
2,.....г ), входящих в систему (12); й - функция Хевисайда.
Собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы Р системы '(125, из которых формируется фундаментальная матрица О, определяются численно методом двойной-ÜR-'итерации.
Для иллюстрации обсуждаемого подхода к решению задачи устойчивости подкрепленной • цилиндрической • оболочки • были рассмотрены граничные условия,, предполагающие свободное опирание ,-краев оболочки и отсутствие поворотов торцевых сечений продольных' ребер. Получена матричная форма, записи граничных условий
Г Y(O) = О ; • Г W) -0 , • . ' (14)
где Г - матрицы граничных условий, Í - длина оболочки. '
Для определения вектора постоянных С получена- однородная система шейных алгебраических'уравнений /
? О s О \ ■. .•' ■ (15)
где
' ¥
ll ; Tt-'r«0) ; *а=.г Ф(1)[е + ¿ LjMJ Va J . i»»
400) к 9(1) - фундаментальнее матрицы, элементы которых вычкслош в точках а = О н и = I соответственно. ./-■-'- , v
Условием существования нетривиального решения однородной системы П5) является равенство нулю ее определителя, т.е.
det ? = 0 . (16)
Отмечено, что элементы матрицы ï достаточно сложным образом зависят .от параметра нагрузки и поэтому выражение (16) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно величины Р. Критическая осевая сила соответствует минимальному корна этого уравнения. Точность вычислений при расчетах оценивается сравнением результатов, получвемих при различном числе и. Начальным приближением в процессе численного поиска минимального корня уравнения'(16) монет служить зеличина критической силы гладкой оболочки.
8 качестве . примера решена ' задача о несущей способности сжатого в осевом нсправлешш реального подкрепленного .цилиндрического отсека, пэгоЧйвттого из углепластика. Расчетное знача-ш'э критической шиш удовлетворительно совпадает с экспоримон-• ТШГЬШР.1, получшшш при пэтурячх вспншюях.
В третьем парагрсфЭ рассмотрена задача устойчивости кешозшноа нилашрз'гсеко!! оболочки с нрололыши ■ ребракя, ногрушшой но кроям чор^о костяке шиаигоути изгабаетш юаюптски II, При полушт урстюшй устойчивости прздпологалось, что исходное 1шпр,':г:сш!00 состояние ке.четрушт является боэиойенияг» и непорочное сэчо;шо оболочки но дсфорпируется вплоть до иоторй устойчивости.
Репснг.0 уравнений устойчивости для случая иаршрного сш!рп!гля краев оболочки. к ребор разыскивалось в виде двойшк а одаиараых 'грпго.ь'Ь.^отричскил рядов. Для коэф'эдиентов разложений получоио бесконечная сшяеип однородных лилоШшх алгебраических уравнений
со ' со
.А и + У и ■ и - H ( Ï и '+ F и ,+ У Р _ и ) = О
пл fin ипп^ ftn fn Rtt-i m + ! тип, nn^
t\ » 1 n . « 1
-, 1 i « ï » ^ '-17> 1 ( fl = 1,2,...® )
Здесь У - вектор пе;13й0скшх коэЗфщиентов разлошай в ряди
кинематических переменных оболочка; А , Н ___, ? , Р . - магрл-
* Я! F» tisniTlj W ТЯПП^
ца размером 5x5, элемент которых зависят ст аэсткссишх характеристик оболочки и ребер и от параметров волнообразования.
При решети системы (ГО в рядах, эшроктирущюс
- Ib -
неизвестные „функция, удерживалось s членов по продольной координате и J членов по окружной координате. Для выбранного числа J получана однородная система линейных алгебраических уравнений конечного порядка
V U - М Ф U = 0 (ш = 1,2,...,8 ) (18)
ffl Ю Ю Л
w , - Лт
U = « U „ U ..... U , I ;
m \ mJ та тЗ га J J
Матрицы У и ffl формируются из матриц системы (17).
a го
Критический изгибающий момент соответствует минимальному из собственных чисел однородной системы (18), найденных для всех значений ш из диапазона от 1 до а. Точность вычислений при этом оценивается сравнением результатов, получаемых- прь различном числе 3.
В -качестве примера был определен -критический изгибающий момент для оболочка с четырьмя продольными робрамг кесткости, расположенными по отношению к плоскости изгиба р - р по схеме "+■' (рис.2а) и по схеме "х" (рис.26). Оболочка образована намоткой углешюстиковой ленты под углом ±45° к образувдей. Продольные ребра выполнены из алюминиевого сплава, имеют одинаковые для всех четырех квадратное поперечное селение со стороной б и могут располагаться на внутренней ' (рис.За), срединной' (рис.36) или, наружной (рио.Зв) поверхностях оболочки.- В таб. 1,2 приведены числе полуволн по координате а, при которых в рассматриваемых вариантах конструкции реализуется критический изгибающий момент. На рис. 4, 5, 6 для различных схем расположения- ребер представлено изменение критического изгибающего момента в зависимости от раз--/ меров поперечного сечения ребра.
Отмечается, что эффективность схемы "+" или схемы "х"' в восприятии изгибающего, момента . зависит, - как . • от . размеров поперечного сечекия ребра, «гак и от того, на какой из. поверхностей оболочки расположены ребра жесткости. Как видно из графиков, диапазон изменения величины б, в котором схема "хч оказывается аффективней схемы "+", ' будет наибольшим для оболочки с внутренним расположением ребер (рис.4) и меньшим для оболочек, у которых ребра расположены на срединной и наружной поверхностях (рис.5,6).
Интересно отметить, что для оболочки, подкрепленной внутрен-W& ребрами (рис.3 а), при увеличении;« в некотором диапазоне
g-1 и c^Q^sj
а) б) в)
Pire. 3
Табл. î
a (и) 0.01' 0.01 0.03 0.0* 0 05
w 31 г 1 1 1
о 3! г 1 1 "J
О 31 f..« 31 1 1 1
Табл. 2
0.01 0.02 о.оэ 0 04 0.05
0 31 31 1 1 i
О, 31 31 31 1 1
О 31 31 . 31 31 31
V. (ii'u)
G 0,0J 0,02 0,03 0,04 0,05 К (и u) Pl[C' 4
ащ)
fi-10'
' Iff
3 10:
2-10'
1-10'
Q- o-
у / /
«Л.-«—1- V=—-
0 0,0i 0,02 0,03 0,04 0,05 Рис.5
d(u)
JÍ(h-U)
6- 1С1
4- 10'
a- ios 2' 10' J • 10'
к >-3 - A
ï 4 /у
- •
О O,il 0,02 0,03 0,04 0.05
Pec. 6
«(и)"
изменения этого параметра, наблюдается'снижение критического из-' гибащего момента (рис.4). Такое аномальное поведение кривых монет быть объяснено эффектом взаимодействия оболочки и ребер при "потере устойчивости. Из табл. 1,2 следует,' что в обсукдаемом диапазоне изменения параметра 5 происходит смена формы потери устойчивости конструкции от форт, характерюй для гладкой оболочки с большим числом полуволн, к Форте, характерной для изолированного робра с малым числом полуволн. При определенном сочетании жест-костных параметров оболочки и.ребра мастная.форла потери устойчивости оболочки можэт инициировать потерю устойчивости ребра и привести в результате к снижению критического изгибашего момента. .' . '
В четвертом параграфе' рассматривается задача устойчивости композитной цилиндрической оболочки с кольцевыми ребрами, нагру-яегаюй по краям'крутящим моментом Н. Получены уравнения устойчивости. Сдвигающее мембранное усилие, соответствующей докритичес-ксму состоянию оболочки опрошляется, исходя из предашшния о безмоментности исходного состояния, по формуле Р.Брэдта.
. Рэпэние уравнений устойчивости для случая иернирюго опирвния краев оболочки разыскивалось в виде полных тригонометрических рядов. Для коэффициентов разложений полнена бесконочная система однородных линейных алгебраических уравнений
д(Пу<«) + е В1») „М> _ и у с<2> и'31=0 (19)
тп тп ' /, ««.л т.п А. я>т.п »,п
; 1 1 » »
А<а>„1а> . у в<9) у си) и,ппО
тп тп * те п м п тп п т п
1 т^ *1
( П в 2, 3,...» ) Здесь и'1', и'31 - векторы неязвостных коэффициентов, соответ-
ап тп г
ствущие симметричной и косооометричноЗ частям разложении в ряды кинематических переменных оболочки;
( 1 « 1, 2 ) - матрица размером 5x5, элементы которых зависят от жесткостннх характеристик оболочки и ребер и от параметров волнообразования.
Из системы (19) получена однородная система конэчного порядка
(п = 2,3.....К ) (20)
îvl
Рис. ?
' _1L_/JL\
2 tí r м > 6 104
4 • 104
2-104
О 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
<5 (m)
Рис. 8
V« (с U .....и } ; и -- ( И'«', U<p3> }
ч In 2п .rti j п,л ^ In ?.P j
r, lc -число членов, удоркиваемпх в рядах но продольной и окружной координатам соответственно. Матрицы Vn и Оп формируются из матриц системы (19).
Критический крутящий момент соответствует минимальному из собственных значений однородной системы. (20) найдинннх для всох значений а из диапазона от 2 до к. Точность вычислений оценивается при этом сравнением результатов, получениях при различных значениях г.
В качестве примера был определен критически!! крутящил момент для оболочки с одним внутрешшм кольцевым ребром жесткости,• расположенным в середине пролота: (pic.7).
Оболочка образована намоткой углепластиковой ленты под углом ±45° к образующей. Ребро выполнено из алюминиевого■сплава и имоот квадратное поперечное сечение со стороной 5. Раднуе оболочки -0,5 м , длина - 2 м , тол'дшю - 0,002 м. На рас.8 показано изменение критического крутящего момонта, сткесощ'ого к 2nR3, в зависимости от размеров поперечного сечения ребра-. Пунктирная линия на рис.8 соответствует критическому моменту.отнесенному к 2пЯй, найденному для гладкой оболочки длиной 1 м.- • ■
Полученные результаты позволяют сделать следрше вивода о характере потери устойчивости рассматриваемой конструкции : - при малой величине 5 кольцевое рзбро Теряет устойчивость совместно с оболочкой; его жесткости не достаточно для того, чтобы воспрепятствовать деформированию оболочки 'по- всей длине ; ' '. -,
при увеличении 5 ' каждая из двух ■ частей оболочки .теряет устойчивость самостоятельно ; кольцевое робро обладает достаточной жесткостью для того, чтобы но пропустить навстречу друг другу деформирующиеся части оболочки. .
В пятом параграфе ."получены уравнения полубезмоментной теории подкрепленных композитных . шшвдрческих. оболочек. В. основу, полубезмоментной теории были положены следующие .пшотезй: * .
- стенка оболочки не обладает жесткостью при изгибе . в , продольном направлении и кручении и жесткостью, связанной q.. аффектом Пуассона; ' '•.-■ ' •' • . .
- контур сечения оболочки предполагается нерастяжишм; ■ ;
, - нейтральные оси продольных ; и кольцевых .ребер проходя1? пй:на-
Рис. 9
Рис. 10
чалыюй поверхности оболочки:
- взаимодействие продольных и кольцевых ребер с оболочкой осуществляется только за счет мембранных усилий;
- продольные ребра не обладают жесткостью при- кручении и изгибе в.продольном и кольцевом направлениях;
- кольцевав ребра не обладают крутильной жесткостью и жесткостью на изгиб и сдвиг в. направлении нормальном к плоскости кольца;
- контур кольцевого робра предполагается нерастякимым.
* учетом принятых гипотез из уравнений общей теории получены уравнения равновесия, физические и геометрические соотношения для оболочки и ребер, а также условия сопряжения оболочки и. ребер. Приведена разрешающая система уравнений, содержащая в качество неизвестных перемещения .точек начальной поверхности - и, V, у гая поворота норлалв к начальной поверхности. - (р , углы поворота поперечных сечений кольцевых ребер - ^ и контактше усилия. В шестом параграфе решена задача устойчивости при внешнем ¡»давлении композитной трехслойной цилиндрической оболочка с внутренними кольцевыми ■ребрам^ • жесткости (рис.9). Уравнения устойчивости рассматриваемой конструкции получены на основе полу-безмомонтиой теории. Предполагалось, что на краях оболочки выполняются условия шарнирного опирания.
Кольцевые усилия,- соответствующие исходному момэнтному до-критическому состоянию оболочки к ребер, определялись из решения задачи об осесимметричном де^рмированш конструкции при внешнем давлении.;. ' . ■. ,
Решение уравнений устойчивости разыскивалось в виде двойных . и 'одинарных тригонометрических рядов. Для коэффициентов разложений'получена однородная система ' линейных алгебраических уравнений, .. .
, , ' Г V.1 -I -У 2 V '- р V I у в 0 (21)
ЯП пп •- А, т, п • г / . тт„п т„п
. , -1.1 'II,
х . - , т ^ * *
: - ( га = 1,2, .«>; пч= 2,3,.. ,<о.) 'где гюп- неизвестные коэФЙаденты разложений в ряда;, перемещения Г » й' , Ч ■ - величины,1 зависящие от?' ж^сткосших
ГОГ» . И1Л П (ЙЩ. П л
- I », » '-■ . ■ чд
характеристик оболочки и ребер, числа волн в продольном, и окружном направлениях,: а также , от, параметров! соотвэтствуодих' исходному докрйтачосшау состоянию конструкции.
В общем случае система (21) имеет бесконечный порядок. При решении в рядах, аппроксимирующих неизвестные функции, удерживалось г членов по продольной координате и q членов по окружной. Из системы (21) получена однородная система конечного порядка
где
V
(У„-Р2п]Уп = 0 < п » 2.3 .„.Л ) (22)
г. = { 71п' Т2П.....7ГЛ } 5
2п*
Матрицы и Ъп формируются из коэффициентов системы. (21).
Критическое внешнее давление соответствует минимальному собственному числу системы' (22), - найденному для всех значений п из диапазона от 2 до д. Точность вычислений при этом оценивается сравнением результатов,- получаемых при различных числах членов, удерживаемых в рядах, ашцроксшируодих перемещения в докритическом и возмущенном состояниях.
В качество примера опредзлено критическое внешнее дызлошю для оболочки, несутае слои и кольцевые ребра которой изготовлены из стеклопластика, а заполнителем являотся пенопласт (р::с.9). Длина оболочки - 5 м, радиус - 1,25 м, толцшю - 0,12 м, толадша заполнителя - 0,09 м. Оболсщсо подкреплена отстоящим па, равно?.! . расстоянии друг от друга. кольца'яг жесткости, число которых менялось от 1 до 20. Ширина всех ребер одинакова и равна 0,09 м. В таб.З для оболочек с различным числом рэбор ( п^ ) приведены значения критических давлений и чисел волн по окружности ( п ), при которых реализуются критические давления
' Таблица 3.
/
При; Пр < .15 в конструкции реализуется-местная форма потери устойчивости - потеря устойчивости оболочки :между кольцевыми ребрами жесткости. При г 15 проксЪрит потеря , устойчивости кольцевых ребер, которая инициирует -потерю устойчивости подкреп- / ленной конструкции по форле,' характерной'для гладкой оболочки. >/,". •
;.р (МПа) п '.
1 >1,255 8
5 ., 1,277 28
. 1С! ;' .' 1.318 32:'
. '15 "4,348 3
20 ' 4.908 / >2
'. ) • ■ -27 - ;
' " В седьмом параграфе рассматривается задача ' определения' собственных частот поперечных.' колебаний консольной , композитной цилиндрической оболочки с кольцевыми ребрами жесткости (рис.10). . Уравнения движения подкрепленной оболочки получены из уравнений полубезмоментной-теории. Прй построении расчетной модели помимо гипотез, легших в основу полубезмоментной теорш!, были, приняты следующее: • ?
- в оболочке, слои ■ с одинаковой плотностью материала расположены симметрично относительно §е начальной поверхности:
■ - цедтр тяжести ^ поперечного сечени'я' / кольцевого ребра совпадает с его центром касткосги; , '
' ' - ось. кольцевого ' ребра моа'ет совместно с оболочкой совершать движение вдоль, оси' а под действием Инерционной /силы и усилия взаимодействия, между ребром и оболочйой.
, Решение уравнений: двикешш разыскивалось а виде одинарных .тригонометрических. рядов по окружной координате!. ^
Для неизвестных функций разложений,. соответствующих п-ой гармонике, получен?'' система обыкновенных, дифференциальных, уравнений первого порядка ' ч -
' . Мп •. ,-Д: -
—= А_Х' + ) В. У (а )5(а-а ) (П=1,2,...»)' (23)
¿а ,1п п .) ■ J ,
- г ' . ~ ; Здесь Г - вектор неизвестных функций: А'п, В Д- матрицы размером
4- х '4, "элементы1.которых' зависят от. жесткостных и инерционных
. характеристик оболочки и рьбер, .параметров волнообразования и
частоты колебаний, а ;. тчисло кольцевых ребер..
Общее решение системы-(23) получено .в следующем виде •
*»' = в (с)
в+1зл«н <« -
С . ; (п=1,2,...*) (24)
_ т Jп .' ^
где Фп(а) - фундаментальная матрица Соответствующей однородной системы: Сп- вектор .постоянных; Б - единичная.'матрица; Р,^, .Д -матрицы, получаемые./в процессе- определения векторов " УЧа") ( 3 - 1, 2,...,га входящих в систему (23); Н - функция" Хе-
висайда. \ , ■ / '...■-'.'•
Собственные значения/и*собственный йекторы'матрицы А системы (23), используемые п^и: .формировании фундаментальной "матрицы Ф , находятся численной ■ •
II ,
Вектор постоянных Сп ' определяется, из граничных условий, " предполагающих отсутствие перемещений'на.левом краю оболочки и равенство мембранных усилий,'возникающих в. .оболочке на правом краю,, усилиям взаимодействия с . торцевым шпангоутом.' Получена матричная форма граничных условий
. Сп Ув(0) » О ; НвТв(г)вО 01=1,2,...®) (25)
где Сп и Нп - матрицы граничных условий. ( ., , ' >
Для определения вектора Сп получена однородная система линейных алгебраических уравнений
ГпСп = О 01=1,2,3,...») (26)
1п
ч
li + F, П. 1
£_ Jil jn
йп(0),'■ е (l) - фундаментальна иатр'дщ, елошити которых вычнслоны при « = 0 н а = I соответственно. Подмзтрщн î и т 1Ы0»? порядок 2x4..
Условном сдаствовашгя отличных от нуля решений сшзтемц однорога« дашшшх ургшксшШ (26) являемся равенство нулю ое определителя, т.о. ' ■ '
. ' dot г « О (п = 1,2,...о) (27)'
h
Быранекие (2Т) представляет собой иолшюйное алгебраическое упнШепиг относительно частоты cotîcïsommx колебаний оболочк» а (jis t,2,...»). 'Корна Dîoro урашощш ■]№ какдого значения п (n а 1,2,...а>) находятся численно. В процессе поиска коряея сиро-деляотса сосотсешшз ааечешш к собетсешше вектору матрицы А , вачасляагся элваенгы ыахрац ï'Jn , R. (d « I,2,...,m-1), фор;,и;ру-, ятсп матрШ! 6 , И , Ф (0)„ "з (ïh г , t , у .ишслязгса'
' П ■ г/ п о , Sri Вл n
определитель иадрацы ? . ' •
В качество пргзлора найдена порван (п = 1) частота яотречнцх' • колебаний для трехслойной оболочи: с чегпромя влугрэшвш кольт- ■ 'ваш робраш! ¿осисоота грас.1б),.иосуш> слои которой образованы намоткой углепластшовой ленти под углом ±30° к образующей.,
Б пвгоЗ' главе, .'роесматриваатся подкрепленные кошоймтшр конические оболочки. ' .
'В первом парагрофе из обидах уравнений получены уравнения, описдаахшэ напряженно - деформировазшое -состояние композитных
конически оболочек,'подкрепленных ребрами жесткости. Приведена ■ разрешающая система уравнений( содержащая в качестве; неизвестных . кинематические переменные, в оболочке и ребрах и контактные усилия и моменты. При выводе разрешающих, уравнений принималось, что' кесткостные параметры оболочки и ребер, расположенных вдоль образующей, являются функциями' продольной координаты.
, Во втором' параграфе» - рассматривается задача устойчивости подкрепленной .' продольными ребрами композитной конической ободочки, нагруженной осевой, силой Р. ■ Докрмтическое состояние' к6нст4укции' считалось ■ безмоментным. Получены уравнения • устойчивости. Решение этих уравнений разыскивалось и виде одинар-, ных тригонометрических рядов. Для'неизвестных функций разложений, ' ссоТЕвтатвукшх n-ой гармонике, получена ' однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений-.первого порядка.
ЗУ ' dYn, Л dX, '' " ' . " ' .
с—I+VR ___L+yH,—г- = S У + V Т • У + ) Q.X.;
da .. n.ni dg. с- гЛ dg ' n " i— n"i nl 1
г>^«2 I«1 , nj"3 leí
• ■ . . " . ' : (28) ^ 00 . ÜY ' со
' v, —i + 7 в, —ü 4 W,X<+ У С, У
1 ds ¿-„"4 ds 1 1 ¿.«Vi n j »2 n j «a
( n' = 2,3,...« ; i = 1,-2....ra )
■ Здесь з - продольная координата; л, - число продольных ребер;. Уп - вектор неизвестных функций, связанных с разложениями в ряды кинематических' переменных оболочки; в.ектор неизвестных
функций, связанных с кинематическими переменными 1-ого.¡ребра; С, R , N , S ,. Т , Q ., V,, Р, v W,, ,G¡ - " матрицы, элементы
ПП^ Л I П nn^ ni 1 ir» 1 j ln i
которых зависят от кесткостных-характеристик ..ббояочки и ребер, ;числа волн тго, окружной координате' и параметра нагрузки. . ' Отмечается,:чго в общем случае система уравнений (28) имеет бесконечный нррядок.. При. решения в рядах, аппроксимирущих неизвестные функции удерживалось v-членов. Для'выбранного числа tf йз <28; ■ получена . однородайя системэ дифференциальных уравнений конечного'порядка ,'. \ . - '
''■ - Л ' . и .' • ' (29)
•• ' V. . : йз • • . '■■ . '.v - ' • ••• ; -- '
где . - •.■•/-". ' V. . '. ',. ; : ;
Матрица р формируется да матриц сисгэмы (28), '-'
Система уравнений устойчивости (29) дополнялась однородными •граничными условиями., иредаолагаиоам полное закрепление краев оболочки.ч ребер. Получена матричная форма записи граничных условий • • . ' ,
' ZT(S,tr) * О ; ZY(sa,) = 0 <30)
где 8lf. 8af соответственно координаты меньшего я большего оснований конической.оболочки; % - матрица граничных условий.
Для решения, одророййй краевой, задачи (29), (30) бил использован методпрогокки в форме А.А.Абрамова; Результат
прогонки граничных .условий. Из точки л в^ в точку 8jV, - матрица 2 объединялась с матрицей гращчннхусловяй в точке ая, в однородную систему линейннх алгебраичаских уравнений
где
f 7(Bif) -ш 0 ; , <31)
• »
{ц 1}
Условием существования нетривиального решения одаородной системы (31) является равенствонулв ее определителя, т.е.
• . ' до • о <зг)
Геким образом, задача устойчивости сжатой в осевом направлении конической ободочки с продольными ребрами жесткости сведена к отысканию минимального значения параметра нагрузки Р, при котором выполняется условие (32), Равенство (32) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно величины У. Корни этого уравнения находятся численно.
■ В качестве, примера была определены критические усилия для трех углепластиковых конических оболочек, имеющих одинаковые высоты в диаметры! шшшх оснований и различные диаметры верхних оснований. Каждая из оболочек усилена восемью 'одинаковыми ребрами жесткости прямоугольного поперечного сечения, • выполненных из алхшыиевого сплава. Толщина оболочки я ширина ребер . постоянны. Вйсота ребер 21 являлась линейной функцией продольной координаты в следуицего вида.
, , " V<• 2 « , .
где П - высота ребер в середине продета оболочки ; высота
эебер у нижнего основания.оболочки. В' расчетах при неизменной шсоте Л , варьировалась в пределах от О до 2Пт величина Паг. На мс.11 для трех оболочек с углами наклона образующих к нижнему хзнованию 51е, 63°, 84° соответственно представлено изменение фитической силы в. зависимости от высоты ребер П2г.
Полученные результаты позволили сделать следующие выводы • о ;арактёре потери устойчивости рассматриваемых конструкций : I. Для каждой из оболочек существует, диапазон изменения 1га<., в.'' согором рост этой величины до- некоторого значения приводит к гвеличанию критической силы. Это увеличение связано с нарастанием сесткости рэбер, в опасной, с', точки зрения потери устойчивости, жрестности оболочки-у большего основания. Уменьшение критической аш'.при дальнейшем росте может быть объяснено перемещением юны потери устойчивости в верхнюю часть конуса, жесткость ребер > которой падает. ■ ■',
При увеличении угла найлона образующей к большему основанию • шличина Ьаг, при которой реализуется• максимальная критическая ;ила, стремится к своему, среднему значению -Ьт. Пунктирная кри-шя на рис. 11, соединяющая максимальные значения критических уси-мй трех оболочек, по мере роста угла наклона образующей пркбли-!ается к вертикальной линии 11 = пересекая ее в точке, соот-¡етствующ'ей- критической силе цилиндрической ' оболочки, усиленной )ебрами постоянной высоты 11 .
В'третьем.параграфе, решена задача устойчивости подкрепленной юльцевыми ребрами композитной конической оболочки, нагруженной ¡нешнш давление«, р. Получены уравнения' устойчивости для оболочки ¡ ребер жесткости. . Отмечается, что уравнения для кольцевых ребер шсывают пространственную форму • потери устойчивости. При юстроении расчетной модели учитывались : следующие докритические ¡иловые факторы: продольное и кольцевое мембранные усилия в вилочке, осевая сила в ребрах, изгибающий момент в ребрах, |ёктор которого леямт в плоскости кольца.
Предполагалось, что осесимметричное напряженное , состояние досматриваемой конструкции является моментн-м. Приведена'система равнений ссесишетричной задачи для' . ко.чичоско^ оболочки с :6льцовыми ребрами ке'сткости. Решениеуравнений для случая шрнирного опирания краев' оболочки разыскивалось в виде одинарных ригонометрических рядов. Для кожМмциентов. разложений подучена бесконечная 'система, линейных:. алгебраических, уравнений, которая
3 \
V \ «
\ . N
О 0.005 0.010 0.015 0.320 0 028 0.030 0.035 0.040 РИС. 11
р (Ш!з) ' . •
затем усекалась до системы Конечного порядка. Из решения этой системы найдены' зависимости,' связыввщие докритические силовые факторы с параметрами нагрузки.
Решение уравнений устойчивости разыскивалось в виде двойных и одинарных тригонометрических рядов. Для Коэффициентов разложений получена однородная система линейных алгебраических уравнений в общем случае, бесконечного порядка
да со
i в. + Vi ü - рУ 5 и =о (зз)
■n пп У . nmm. i».n r / . nme.
i i . i i
ш j ei . ■ »j»t
( ГО = 1;2r...,» ; n - 2,3,...» ) .
Йдесь U - вектор коэффициентов рйзложений в ряды кинематических переменных оболочки; Тпяя . Snma - матрицы, размером 5*5.
элементы которых зависят от жееткостных характеристик оболочки и ребер, параметров волнообразования и величин, связанных с решением задачи о деформировании конструкции в -докритическом состоянии.
Из бесконечной . системы} (33) получена система уравнений конечного порядка
[ У - р * . } U * О ( П = 2,3,...,и ) (34)
^ п , 1 nj.fi
где . . ' ' V. т
U = { и. ,. U ,..., « I ;
n ^ in* an . йп )
р, ú - число членов, удерживаемых в.рядах,,'аппроксимирующих кинематические переменные fc продольном и окружном направлениях соответственно. , ,<:.!;,: " '
Таким образом задача устойчивости сжатой внешним давлением конической оболочки й, кольцевыми ребрами жесткости сведена к решению однородной системы, уравнений' (34).','. Критическое внешнее давление соответствует .минимальному из всех собственных чисел системы (34) для значений■п из диапазона от 2 fió'а. Точностьвы-• числений при этом оценивается,сравнением результатов, .получаемых при различных числах членов, удерживаемых в рядах, ■ аппроксимирующих неизвестные функции Докритичаского и возмущенного состояний.
.В качестве примера опредалено критическое внешнее '• давление 1 для углепластиковой оболочки,; усиленной' одним кольцевым ребром жесткости» местополокение^.которого относительно меньшего основа-
ния задается рассеянием X '. Рассмотрено дэа варианта конструкции, различающихся диаметрами меньших оснований, но имеющих одинаковые высоты и диаметры больших оснований. Ребро' жесткости, имеющее квадратное'поперечное сечение, выполнено из'алюминиевого сплава,-■ На рис.12 для каждой из оболочек показано изменение критического внешнего давления' в зависимости от величины - X - расстояния между плоскостью меньшего основания и плоскостью кольцевого ребра.'Кривая 1 соответствует оболочке, у которой диаметр, меньшого (верхнего) основания больше. Увеличение диаметра меньшего . основания приводит' к сникению критического давления . и смещению, его максимума к положению,, соответствующему критическому давлению цилиндра, подкрепленного кольцевым, ребром в средний пролета. Несущая способность' подкрепленной' оболочки по сравнению'. с гладкой увеличилась для первой конструкщш в 1,57 раза,' а для второй - в 1,42 раза. Отношение максимального критического давления к - критическому давлению, соответствующему' среднему ( X =. О',8 м ) • расположению " ребра, составляет для .первой оболочки 1,12 , .а для второй - 1,27,
В еостсЗ главе. рассматриваются подкрепленные композитные горовыв оболочки. .- ; •
В первом параграфе из общи уравнений второй главп получены уравнения, описываюцНе напряшшо - деформированное состояние композитных торовых оболочек, подкрепленных ребрата кесткосги. Зги уравнения включают уравнения равновесия, физические и геометрические соотношения, а шео' условия сопряжения оболочки и ребер. ',
Во ' втором параграфе рассмотрено задача определения напряшшодекодированного состояния замкнутой композитной торовой оболочки,. подкрепленной .в ..меридиональном направлении ребрами хгасткосги (рас. 13). .ОПолочка нагрукена погонными и сссредотйчшиши усилиями.
Характер нагрукения рассматриваемой конструкции позволил .сделать вавод 'о .том, что изменении компонент напряженно - деформированного - состояния - торовой оболочки вдоль круговой оси происходит значительно медленнее,'чем вдоль контура меридионального сечения..': Поэтому." для' решил поставленной ■ задачи была использована ' полубезмомонтная •' расчетная модель оболочке, дредполагащая напряженно т деформирова'гаое состояние тора в круговом направлении безмоуЬнткым,' а в меридиональном направлении -
М0М9НТНЫМ. ,
С учетом гипотез полубезмоментной теории из уравнений общей теории получены уравнения равновесия, физические и геометрические соотношения, условия совместности перемещений оболочки и ребер. Приведена разрешащая система уравнений, 'содержащая в качестве неизвестных независимые кинематические переменные в оболочке и ребрах и контактные усилия. Решение этих уравнений разыскивалось в виде полных тригонометрических рядов, удовлетворяющих' условиям периодичности по обеим координатам. Для коэффициентов разложений' получена блочно -пятздиагональная система линейных алгебраических уравнений/ •
А „И „ + В , В + С и +
т-2 ю-3,л ю-1,г> а-1 ,п «п юп
■ • „ - (35)
+ В , и , + к „ и У Б и я Г
т+1»г> ,п (п + З т»а,п /_ гапп. тп. а п.
_ 1 1 - , иО
1
( и,п = 0,1,2,.) ' Здесь 11тп - вектор неизвестных коэффициентов разложений, -объедп--няыций сишетрнчную и косостютрлчную составляющие; ¿ю±а. Вю±{, Сип. Випп - матрицы размером б х б, элементы которых . зависят от
кесткостных характеристик. оболочки и ребер и параметров волнообразования; Р -- вектор коэффициентов разложений в ряды внешних нагрузок. Из "бесконечной системы (35) усечением получена система уравнений коночного порядка."'Приведены выражения, определявшие мамбранные усилия через козйицпенты разложений в ряда кинематических-переменных оболочки.
В качестве примера найдены перемещения и мембранные. усилия в 5'оровой. оЗолочкэ, "усиленной шестнадцатью одинаковыми по жесткости н условия?,! нагрухэния, равномерно расположенными по круговой оси ребрами. -Радиус меридионального сечения тора - 0,7-м, радиус круговой оси - 19,3 Стенка оболочки толщиной 0,00585 м состоит и.ь ч-рэх слоев: двух несущих стекло-углепластиковых и сотового заполнителя. Ребра кесгкосга выполнены -из алюминиевого сплава. Ка рис. 14 показано изменение мембранных усилий вдоль контура меридионального' сечения торовой оболочки в различных точках круговой оси.' Обозначенная точками линий соответствует усилия Н , найденному из балочного решения.
Анализ результатов расчета позволил сделать вывод о том, что предложенная полубезмоментная модель реформирования ребристой-'
N.löH) : (ß~0)
0.238
0.301 l270
6.9
торовой. оболочки позволяет уточнить, по сравнению с ¡балочной моделью, характер распределения вдаль круговой оси и контура меридионального сечения усилия Н^ и, кроме того, определить усилия Ло и'1]>р которые в рамках балочной модеаи равны нулю.
В третьем параграфе решена задача устойчивости, подкрепленной двумя продольными -ребрами жесткости, композитной торовой оболочки, нагруженной осевой сжимающей силой N '(рис.15). При построении расчетной модели предполагалось, .что" продольные робра'деформируются только в' плоскости э - а (рис,15) и, что докритическое'состояние.конструкции является безмоментным. Получены уравнения устойчивости, содержащие в качестве неизвестных кинематические переменные оболочки и ребер и контактные усилия. Решение зтях. уравнений для случая тарифного опирения краев, оболочки и ребер, разыскивалось в• виде полных, тригонометрических рядов с пориодом равным секторшьному углу (рис. 15).,Для коэффициентов рздлоионий получена однородная система линейных алгебраических уравнений в общем случае.бесконечного порядка
. Р и „ + в .. и . + с и + в . и , + Рт и „ +
т - 2 , п «п -1 , п ю -1 »г» " т,п тп т ♦ 1»п т ♦ 1 * г> т ♦ 3, л
(35)
03 а .
+ У О и - N Г 0 и +. У Р ТЗ ' ] = 0 :
У . пня п т.п I п тп / . тип » п I
- 1 1 . л 1 4
о^-а т^вД
( ГО = 2,3,...»; п = 1,2,...ю )
где и - вектор неизвестных коэффициентов, включающий симметричную и кососимметричную части разложений в ряды ■юшеыатичэских переменных оболочки; Р, В.., С , I) ' , Ь . $ - матрицы
А И±1 1ЯП ЮЯ1.П П №В|,П
1 :■ I 1
размером 10.х 10, элементы, которых зависят от числа волн по обоим координатам и жесткостных параметров оболочки" и ребер.
При решении в рядах, аппроксимирующих неизвестные функции, ухеряиявлось у членов в меридиональном направлении и р членов в окружном направлении. Получена • однородная система уравнешш конечного порядка ■ ■ .
■ . ( К - N V ) и = 0 ( п ~ 1,2.....и ) (37)
.. п П - ' 14
■ , и гт;.и , и ,...,и |
\ • . ц. \ . 2п' Эп ' ип )
Матрицы В и У формируются из матриц системы (36). Строчная размерность матриц 1Г-и - 10у. .
i
Рис. 15
Критическая осевая сила соответствует минимальному из соб-" ствинннх значения системы (37). найденных для всех чисел и р,
В качестве примера определена критическая сила для оболочки, у которой радиус меридионального сечения а 4 0,7 м, радиус продольной оси тора И я 19,3 м, секторальный угол р = я/32.
Оболочка представляет собой трехслойную конструкцию со стек-ло-углепластиковыми несущими слоями и сотовым заполнителем. Толщина оболочки - 0,00585 м. Поперечные сечения алюминиевых ребер жесткости имеют форму тавра с высотой 0,025 м, шириной - 0,05 м, и толщиной полок - 0,0025.м. Критическая сила N = 527700Н.
ВЫВОДЫ
• 1Предложена модель подкрепленной композитной оболочки и на ее основа построена теория подкрепленных, композитных оболочек, учитывающая дискретный характер расположения ребер, деформации поперечного сдвига в оболочке и ребрах, слоистость и ортотропию материала, а.также моменты, возникающие в местах пересечения ребер. '
2. Из уравнений общей теории получены уравнения для подкрепленных композитных пластин. На задачах изгиба прямоугольных шарнирно-опертых пластин с различный числом ребер показано . влияние дискретности' подкрепления на характер ' их напряженно - деформированного состояния . Установлено, что для некоторых сочетаний кесткостных параметров пластины и ребер учет дискретного характера расположения ребер оказывает значительное влияние на напряжения, которые претерпевает по плоскости пластины существенные изменения, не' уменьшающиеся по мэре увеличения числа ребер. Показано, что на линии контакта пластины и ребра угол поворота нормали к начальной плоскости пластины ■не- равен углу поворота' поперечного сечения ребра и отличается от последнего на некоторый -угол, определяемый различной сдвиговой деформацией пластины и ребра. Установлено, что учет взаимодействия между ребрами приводит к уточнению'Прогиба на величину порядка ; 4 % и напряжений на величину порядка-12 Ж. Проведено экспериментальное определение' прогибов подкрепленной пластины и получеш результата, подтверждающие теоретические. - '
.3. Получеш уравнения ..общей и полубезмоментной теорий композитных цилиндрйчеких оболочек усиленных ребрами жесткости. На
снове втих уравнений рэщени задачи устойчивости подкрепленных илиндрических оболочек при действии осевой сжимащей силы, згибащего и крутящего моментов, внешнего давления. Установлено лияние кесткостных характеристик оболочки и робер на величины ритических нагрузок и параметры волнообразования . В задаче сгойчивости при действии на конструкцию изгибающего момента оказано, что взаимодействие форм потери устойчивости оболочки продольных ребер может, для определенного сочетания жосткостных араметров оболочки и ребер, привести к снижению критического згабц:оцвго момента при увеличении размеров поперечные сечений ебер. Решена задача о несущей способности сжатого в осевом вправлении реального подкрепленного цилиндрического отсека, асчетное значение критической силы удовлетворительно совпядаот с кспериментальним, полученным при натурных испытаниях. .' 4. Из , уравнений общей теории получены уравнения для одкрепленных композитных конических оболочек.. Решена задача стойчивости сжатой а осевом направлении конической оболочки, силенной продольными ребрами жесткости с линейно изменяющейся «сотой поперечного сечения. Показано, что существует такой закон змэнениЯ' высоты поперечного сечения ребер, при котором ритическая сила-достигает'максимального значения. Реиена задача стойчивобти подкрепленной кольцевым ребром жесткости композитной онической оболочки, нагруженной внешним давлением. Получена ■ ависимость, связывающая критическое внешнее давление с место-эложением на продольной оси оболочки кольцевого ребра.
5. Получены уравнения, общей и полубезмоментной теорий подлепленных композитных торовых оболочек. На основе полубезмо-зн.тной теории решена задача определения напряженно - деформиро-энйого состояния'замкнутой-торовой оболочки с меридиональными збрами жесткости, нагруженной поверхностными силами. Проведено эзвнениа ■ результатов расчетов, выполненных.^ с использованием' ззмоментной и,полубезмоментной моделей. Общие'уравнения б и ли ис- ' зльзованы для ,реше!шя задачи устойчивости сжатой вдоль круговой ;и торовой оболочки, подкрепленной двумя продольными ребрами.
. 6. Построен аналитико - численный метод .решения большее гстем обыкновенных дифференциальных уравнений порвога порядка с эстоянными коэффициентами, содержащими в /'правой 'части члены, сличающие 5 - функции. '"'
Т. Предложены алгоритмы . .формирования . гнетемлинейчнх
алгебраических уравнений для коэффициентов разложений тригонометрические ряда решений' искомых дифференциальны уравнений, содержащих члены, включающие 5 - функции я алгорит решения однородной краевой задачи для системы обыкновенных да! форенциальнвх уравнений первого порядка, основанный на метод прогонки в форме А.А.Абрамова.
8. Разработан комплекс программ для анализа напрякенног состояния и устойчивости подкрепленных композитных пластин оболочек вращения. ■ ■ ~ '.
Основные результаты'диссертации опубликованы в следуй®: работах:
1. Лопатин A.B. Уравнения 'общей теории Подкрепленных и сетчатк обрлочек / В сб.: Труды V научно-технической конференции моле дых ученых и специалистов ЫАТИ им; К.Э.Циолковского. - Ыоеш 1981. Рук. деп. в ЦНТИ "Волна"''25 мая 1982 г., N Д04917.- 12с ?,. Васильев В.В., Лопатин A.B. К теории подкрепленных композита пластин / В сб. г Механика армяровошшх пластиков. - Part 1983. С. 81-90.
3. Васильев В.В., Лопатин A.B. Теория сетчатых и подкроплоягп композитных оболочок / В с о. трудов IV симпозиума по мэхша конструкций in композиционных' материалов, ¡'.oxtauuea конструкш из композищютшх материалов. - Новосибирск: Наука, . 103-С. 31-36.
4. Лопатин A.B., Новиков В.В. Рвсчзт состшшх оболочочних ш ;■ струкцкй. - Рук. доги В ВШИТЦ, 18 ШШ1 1034, V, 4032-84ДОП.
22 с.
Ь. Лопатин A.U,, Нестеров В.А, Определение пшфншпю - доформ: рованкого состояния, ортртротюй шшвдричаскоя оболочка i . кошшишших материалов с кольцована робржп кесткостм / \ Мйкограсл. ияучио-тйхнич. сб. "Технология", сор. Коиструкц из композшюбшшх материалов. . - Уоскпо, шт. ?.-
С, '19-24.
А. Васильев В.В., Лопатин A.B. Тес>рш сетчатых н иодкраилеш композитных оболочек / Труда Первого cobötcko - енорлкакско емгазиума' "Механика комкозйтшм'.материалов*, Кшстру
шш из композитов. - рига; ашатне. 199?.,. п. 82-88. 7.- Лопатин A.B..".Разин АЛ\ Вивар проектных'параметров спаеател >юя кймерч из КМ / R Кшструьтлоннао^тадталдатчпскиб N ториалм в юашоотрооил». - йоом«). l99U'Cnp.15. Вал.2196).
8. Лопатин A.B. Устойчивость составной композитной цилиндрической .* оболочки при внешнем давлении П Изв. РАН. Механика твердого тела, 1992. N 4. С. 151-156.
9. Лопатин A.B. Устойчивость при изгибе композитной цилиндрической оболочки с продольными ребрами жесткости // Изв. РАН. Механика твердого тела, 1993. N 1.
10. Lopatln A.V. Buckling of a composite cylindrical shell stiffened by rings under torsion /Proceedings of the International Symposium "Composite:- Fracture Mechanlca and Technology", Edl-toi's S.T.Mllelko and V..V.Tvardovsky, Russian Composite Society, Chernogolovka, 1992.
