Наследственные и полунаследственные полудистрибутивные кольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

і>г 5 О“'

І !, ф« Йї*

*■ КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису

МОГИЛЬОВА Вікторія Віташіївна

УДК 512.552.1

СПАДКОВІ ТА НАШВСПАДКОВІ НАШВДИСТРИБУТИВНІ КІЛЬЦЯ

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

АВТОР ЕФ ЕРАТ

дисертації на одобуття наукового ступейй кандидата фіоихо-математичних паух

Київ — 1997

Дисертацією 8 рукопис

-Роботу виконано на кафедрі геометрії Київського нациоиальвого університету Імені Тараса Шевченка.

Науковий керівникt Оакяшр фівшо-лтвлатчних наук,

професор Киряченко Володимир Васильович

Офіційні оподантиі Ootmop фізико-жателаяшниг наук,

провівний науковий співробітник СергеНчук Володимир Васильович

ктЗиОсві фіаико-даяелсшчних наук, Сацет Шшхотшас Володимир Васшаошч

Провідав установаі Харківський верховний університет

Еахлот відбудеться 24 лютого 199Т року о Н-й годині аа насіданні спеціалізованої ради Д 01.01.01. при Київському

упШроп-гетІ їм. Тараса Шевченка ' за адресою: 252127, л. gute,

» * і 1

проспект ахаО. Глушюва,Б, київський університет. U. Тараса Япвчпнт, мвханіко-Аптелатічний фзкулипт.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці університету за адреса»: л. Kute, Ьул. ВолоОижирсьт,69.

Автореферат розісланий 23 січня 199Т року.

Вчений секретар сшцівліпюр.аної рада

Актуальність теки. Дисертація присв'ячена дослідженню Судова спадковім та напівсладкових нетерових напівдосконалих кілець за допомогою вивчення структури її сагайдаків.

Теорії спадкових та напівспадкових кілець присв'ячено багато робіт різних авторів. зокрема, Капланьського, Ауолендера, Харади, Длаба, Рингеля, Ю.А. Дрозда, A.B. РоЯтора, Фуллера, A.A. Гугонбаева, Міхлера, Смолла, В.В. Нпряченка та багатьох Інших.

Основи цієї теорії відображено в багатьох монографіях з теорії кілець. Дука важливими в результати статті Міхлера С‘|, в якій отримано повний опис напівдосконалих напів-ігарвитшх нетерокіх спадкових кілець.

Зауважимо, що аналогічний опис спадкових порядків над повним локальним дедекіпдовим кільцем було отримано D.A. Проздо», В.В. Кириченком 1 A.B. Ройтером (*).

Як випливав з результатів цих робіт вказанні кільця з непішізнцюговиюі, отже 1 напівдосконалими напівдистрибутитаи-ш кігьцями, які ш кратко будеш називати SPSD-кільцями.

I*! Mlchler G. Structure of Benil-perfect hereditary noetherien ring // J.Algebra. *■ 13, w13. - p,3?.7*344.

С*I Дрозд Ю.А., Кириченко В.В., Ройтер A.B. О наследственных •и бассовых порядках. - Изв. АН СССР. Серия мвтом., т.01 (1967) С.1416-1 436.

Нумерація теорем 1 наслідиш в авторефераті співпадав з нумвраціві принятою в дисертації.

Мага роботи. Вивчити будову спадкових і напівспадковік БРвП-кІлець з нетеровою діагоналлю та нетерових кускових БРЗИ-ойластвй. Одержати характврізацію окремих класів напівдосконалих кілець за допомогою їх сагайдаків.

Метода дослідшвея. Основу досліджень складають методи теорії сагайдаків напівдосконалих кілець.

Наукова новизна.

- доведенно, що сагайдак 0 <А) слабаперванного напівдосконалого нетерового кільця А, яке відрізняється від артінового кільця, сильно зв'язний;

- доведено, що первинний сагайдак Р(Щ) слабопертшшго напівдосконалого нетерового кільця А з нільпотентим первинним радикалом, відмінним від нуля, сильно зв’язний.

- доведенно, цо для койного простого сагайдака Г Існує артіновв кільце В таке, що ЇЧНВ)«Г.

- доведенно, що для кожного простого сагайдака Г існує

нетерове ( т не артинове; наяівдосконала кільце £ теко, ідо Р0(А)»Г. ’

Теоретична та практична цінність дисертації полягав в тому, що одержані результати в основою для подальшого розвитку структурної теорії напівдосконалих напівдастри-бутивних кілець.

апробація роботи. Результати дисертації доповідались на ПІ Міжнародній конференції о алгебри (Красноярськ, <993р.). Міжнародній науковій конференції э алгебри та аналізу,

приовяченІЯ ІОО-річчп від дня народження Н.Г.Чеботарьова (Казань, 1994р.) 1 Всеукраїнській конференції молодих вченних (Київ, 1934р.).

Публікації. По томі дисертації опубліковано Б наукових робіт» список яких наведено в кінці автореферату.

Об’єм та структура дисертації. Роботе складається зі вступу, трьох глав ( глава 1 містить 4 параграфа, глава II -З параграфи, глава III - 3 параграфи) та списку літератури Із 37 найменувань. Загальний обсяг роботи - 90 сторінки.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наводяться короткий огляд робіт за темою дисертації, характарізузться зміст роботи.

ГлаваІ "Попередні відомості" носить допоміжний характер. В ній приведені відомості про папівдосконалі кільця, напівдкстрибутивні кільця та сагайдака. Доводиться ряд лем, твердинь та теорем.

Ійхай А - штерове справа напівдосконвле кільце, Й -його радикал Даекобсоиа, Р,,...,РЯ - усі попарно неізоморфіі нерозкладні проективні модулі. Нехай проективне накриття РО^П) модуля кав вигляд

РСР^)» р|“ , 1,3-1,..,в.

Зіставимо модулям точкп 1 з'єднаємо

точку 1 з точкою і ^-стрілками. Отриманий граф називається

З

сагайданол нетерового справа напгівдосконапого кільця А і позначається <Щ).

Нехай І - первинний радикал кільця А. Розглянемо факторкільце ЪА/1я£.л*...*І(, до кільця Іі, нерозкладні

1 Т«=їі+...+їі - відповідана розклад Те А в пряму суму попарно ортогональних Ідемштентів. Позиачеш Ї?=І/Ґ 1 зіставимо

ідетотентам точки 1.....1 , з'єднуючії точку 1 з

точкою 3 стрілкою тоді і тількі тоді, коті їїії^О. Отриманий скінченний орієнтований граф називається первинния.сагайОаіеом кільця'А 1 позначається Р<2 (А).

Глава II н Спадкові напівдоскоиилі нааівдастрнбутивні кільця містить три параграфи.

§5 присвяченний вивчешш слабопзршшвн. напівдосконалих кілець та їх сагайдаків •

Кільце к називається славопзрбинил, яіадо доОуток будь-яких його двосторонніх Ідеалів, що не лакать в радикалі Дігокобсона Н кільця А, на нульовий.

Теораш В.9. СагаіЮсш в(Д) смгвопврвшного

напівОоанонсиого тперового кільця А, та біОрІанятьоя 610 простого щтінового кільця, сильно ¿6 'тний.

їеорема 5.10, Первинний сагойЗох Рй(&) слобопервишого иапівдосноналого кільця А з нільптвшоаи пзрвштил роОитлол, вівліннт вів нуля, сильно зб'явний.

§6 зводать оішо нотерових справа нбпішервшшх 8РЗВ-кіяаць к штату Уїл і дискрэтао нормованих кілець.

Кільце Д називається напівпзрвихиия, якщо'в ньому нвмаз данульових нільпотантнкх Ідеалів.

Нагадаємо, що напівіансилальниж кільцзл називається напівдосконалз напівпервиша натерово справа кільце А, в якого длл довільного локального Ідомлотонта ееА кільце еАо з дасїфотао аормовшим кільцем. '

Теорска 6.8. Бувъ-ят капівжзксшально нільце Ізоларфно пряяоху добуту первинних нілщь вигляЗу

а.

О

“ . а . и "*9 її "*0

%

О

, (»)

3«? п?1; О - дискретно порлована кільце з простил елелеїтол я;

- цШ раціональні числа, причалу О.ія воїх

і.З.Іі ґа^О для будь-якого і). Таке нільцо паперове з ввох сторон.

їесрсгш 6.9, Наступні улоби рівносильні для >ia.nl60осксналого іітівпервиїшого нетерового справа ¡сільця А :

іа) иільцв А - нтівдистрибутвно;

, Ь) кіаьцз & б пршіа Ообутюл напівпрсспого арпіноіїого піль'ая І напівяшїсшшьного кідьця.

В §7 розглянуто спадкові справа нппівлосконалі напівдистрибутигаі КІЛЬЦЯ.

Кільце А називається спадковім справа, якщо ксшшЯ правий ідоал в проективним Ідеалом.

Теорзкз 7,9. Первинний сага£Ваіс спаОкавого справа

SPSD-ніаьия А є діагралою скінченної частково упорядкованої лнояини, -принолу з однієї його вершини в Іншу Ше на більше одного шляху, a flcí Вертай, що вІОповІвакть кільцял вигляду 11^(0) є Ожерелалхх. Навпаки, якщо є сагай&ж Г, t«o задовольняє вказаним уловал, то існує спадкове справа SjPSO-кІльце Л тане, що Ю(А)=Г.

Наслідок 7-13. Двосторонній пірсовський розклад нерозкладного спадкового сп;х?йа введенноео SPSD-кільця А лає вигляд

А

Н

«V

О

О

н

<£>„>

о

и.

к

в

J

де В - арпіновв напівдистрибутивнв кільце, Ц є

(Нп (О, )-Ь)-01лоОулел. Кільця Ót,..,,Q)t - це дискретно

нормовані кільця в вагальнил шілол часток D.

Двосторонній пірсовоьтй розклав кільця В лав визляд:

D »« ... Btl

0 ї» і •** В81

• І • • * * * «

0 0 ... 0

Se D - загальне тіло часток кілець Ot,.,.,Ok, а BtJ -

або

дорівнює нулю, або овнобидірмий правий і лівий простір над тілол В.

ВІОвначио, що ці два пірсьовсні розклади будуються ва розкладом одиниці кільця А 8 сулу попарно ортогональних Івелгюттів: l««fI+...+í)[*íkfl+...+f¡tt,* ті відповідать

Л

ш

в

в

вврштм первинного сагайдака РО(А).

Для довільного локального ібєАпатеїіш е«І( (І* пірсовська компонента еАГ. Ой+І,.. .,к+1.) одо дорівнює нулю, або е однавиміртм правим і лівим простором над тілом И.

Глава III " Напівспадкові напівдосконалі напівдистри-бутивяі кільця." ■ ■

В {8 описані напівспадкові напівдосконалі непівдастрибутивні кільця.

Кільце А називається штівопадяовим справа, якщо кожний скінченношродаеяний правий ідеал з проективним ідеалом.

Нехай & - напівдосковале кільце, І - його первинний радикал. Факторкільца Х*>А/І, будемо називати діагоналлю кільця.

Напівдооконалв кільце А будемо називати кільцем а нзперовсю 01аго>юлмо, «що його діагональ нетерова справа.

їаореиа 8.5. Первинний согайЗсш шпівспадкового 8Р80'НІльця А з нєтеровою діагоналлю є діаграмою онінчвтої частково упорядкованої многтни, причому з однієї його вертни в Іншу Сйч не більш одного ьияху. Навпаки, аіяцо в сагайдак Г, що задовольняє вішаним умовам, то Юну в напівспаднове ВРБІьиїльцв А в нтеробою діагоналлю тат, і¡¡а Р<5(А)=Г.

Наслідок 0.10. Двосторонній пірсовсьний розклад напІвспадхоЗого приведеного 5Р$і)~нільця А з нтвроВао діагоналлю відносно розплоду 1*^+...+^ мав вигляд:

Á л

і іа

Os кільця є або пілол, або аільцят вигляду Нв(0)

{О - Оионрвта нормована кільце в тілол часткових Б),

причолу, якщо А«Н (О ) і А *11 (0 ), то 0^0 . Еріл 1 *і “’і і і .

цього, серед піраовсьіаїх ¡сомпотшна кільця & пвяав иатонзт вигляду F:

F . «8

0 0

0 0

0 0 0

59 р вівліині вів нуля (1,3 =1,2,3,4;1¡¿J) І Оля буОь-шіш: локальних tOffjnomemte е(Т і heí o.4h е аЗо кцлел, обо одновиліршл правил і одновилірнші ліві« пройпорол наО тілол D. Навпаки, бо і яаиі кільця s напівспадтбіші напівдисгярибупіивчимі кіиьцяеи.

В §9 стісується двосторонній пірсовськиЛ розклад иетерових напівдоскон; лза, кускових областей і показується, що первинний сагайдак такого кільця в ациклічнім сагайдаком без зайвих стрілок. Відзначемо, ¡до розглянуті класи кускових областей містять в собі класи спадкових те напівспадкошд напівдосконелих кілець.

Теорема 9.7.1(51 Нехай Д - 5Г52>-кільцз. Годі із кожної точки Q(A) в Ьаиу (яка лояливо вбігається з вихідною) СО а не

дільие однієї стрілни. Навпаки, шщо є скінченний граф, якій вадовільтє цій улов І, то існує ВРБВ-нільцв, сагайдаиол якого є і4<?а граф.

Тоореиа 9.9.' Неровіиадна нуснова артінова

уюгіІвдисяридугпиВна область вквівалеткна в сенсі іїоріт нільцу

З, яке лає наступний двосторонній пірсоЗськиЛ роаїшд:

'» В„ ... В,,

В »

О D ... в21

О 0 ... D

Se D -тіло, Ви - або дорівнює нулю, або однавіиіртй правий

І лівий простір над тілол D, причалу, тацо BtJ t BJk відлінні вів нуля, по Ви відлігший вів пула. Сагайдак Q(B) s Ôlaspcuoo вЗ'яязноС скінченної частково упорядкованої лнояини. Навптиі, будь-яка нільцз такого вигляду є артіновою лусково» напівЗисприбугтВнсю областю.

§ 10 присвячений простіш сагайдакам нвпівдосконалого КІЛЬЦЯ.

Простил сагойбалол ‘ будемо називати скінченний оркентовавий граф оаз кратшя стрілок і кратних петель.

Ивороиз 10.1. Для кожного простого сагайдака Існує сршіновв иільцо В гав», що Р5(В)«Г.

ïeopeaa 10.2. Для кожного простого сагойдат Г Існує итеробв ( но не ортнове) напівдосисшл& ftt.twje А тне, vp PQ(A)*r. '

Работа автора за твиою дасвртгвцП.

1. Кириченко В,В., Могилева В.В., О колчанах слебодарвичных колец // Третья мездунар. конф. по алгебре, тез. сообщ.

- Красноярск, - 1993г. - с.147.

2. Кириченко В.В., Могилева В.В., Пирус Е.М., Хибила Ы.А.

■ Полусовершеняыэ куиочныэ области // Иеадувар. научная

конф. по алгебре и анализу, поовящэнная ЮО-лэтщо со дня рождения Н.Г.Чэбатарева, тез. сообщ. - Казань, - 1994г.

- 0.49.

3. Могилева В.В. Наследственные справа полусовертеннш полудиотрибуишкыэ кольца // Праця Всеукр. конф. молода вчених. Зб.'отат. - Київ, - 1994. - ч.2 - о. 22S-229.

4. Могильова В.В. Про напівспадаові напівдастрябутавні

кільця // Київ, - Вісник Київського ун-ту - 1935. - мі -о. 116-126.

5. Кириченко В.В., Ногшива В.В., Ппруо Е.И., Хибила М.А.

Полусовершешше слабопзрвичныэ кольца н нусочнно облаотя // АлгэбрвичеоКЕ8 иослэдования: Ин-т математики, - 19S5

- о. 33~6б.

Клотові слова і кільцо, модуль, сагайдак, пврашшй сагайдак, сильно зв'язний сагайдак, напівдастрибутивнв кільце, кускова область.

Иогилева В. В. Насяадствапдаа и полунволедствешша полудастрибутавпце кольца. Рукопись. Диоовртеция на соискание ученой степени кандидата физкрко-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1997.

В диссертации исследовано строение олабопервичных полусоЕвриенных колец, полупервичных полудистрибутивних колец, наследственных справа полусоваршенных

полудистрибутивных колец, полунаследственных ’ полусовершенных полудистрибутивных колец и нетеровых КУС0Ч!ШХ полусовершенных полудистрибутивных областей. Доказано, что колчан О (А) слабопервичного полусовершенного нетерового кольца А, отличного от артинового кольца, сильно связен и первичный колчан Р9(А) олабопервичного полусовершенного нетерового кольце А о нильпотентинм первичным радикалом, отличным от нуля, сильно связен. Так яе доказано, что для каждого простого колч-ша Г существует артшювое кольцо В, такое, что его колчан в(В)«Г и , что для каждого простого колчана Г существует яетерово (но не вртиново) полусоаершеяное кольцо А, такое, что его колчан (3(А)*1\

Uoglleva V.V. Hereditary and Gerai-hereditary oemi-dlBtrlbutlve rings. Manuscript. Thesis of tha dissertation of the degree of candldata of sciences In physics and mathematics, speciality 0).0).06 - algedra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1997.

The structure of weakly prima eeni-periect rings, semi-prime eeml-distributive rings, right hereditary semi-parleot Berni-distributive rings, Beal-hsredltary semi-perfect semi-dlBtributive rings and Ifoetharlcn piece-wise Bemi-pariect aemi-dlatributive doiaains aro investigated In the dissertation. It la proved that a quiver Q(A)of a weakly prlm eeml-psrfaot Koathorlan rings & differet from Art In lan rings la strongly connected. It ia proved that a prima quiver PQ(£) weakly prlree eeml-periect Hoetherian rings к with nilpotent prima radical different from вето 1b strongly connected too. Tor every в1ир1е quiver Г the existence of an Artlnlan ring B, ouch that it*в quiver Q(B)-r, ia proved, for every simple quiver Г tha existence of a Noetherlan (non-ArtlTien) ring A, euch that lt'e quiver Q(A)»I\ 1b proved too