Некоорые вопросы теории интегральных уравнений восстановления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ърочиъь "lb-SUWb ¿иииииириъ

УЬпш<|Р|) ¡i|iun'|]n(ipm| t.llüunniru <1НШЛ)М>" (KILUVVb

ьъиь-арии iU4UUUPiU-U\,b-rb Sb-uni-[(tnu"b (1РПС <ИРУЬР

U'uiuüui(||unnipjni(j' U. Ol .02 -'l-[i."<lipt)(ic||iuii liiuilimuu(inii3flb|i

^ilKliiljUi-i'iiupbiiuiuililjUiliiiifi <||imnipjmüütiji]i pht)Giuöni|i q[imiul|iu(i iuutn|ißiu(i]i huijqiSujG lumbiiiufunumpimG

и ь- а и и а ъ р

Ь-Р1лШЪ 1998

ЕРЕВА11С КИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

IIa npanax рукописи УДК 517.0

НАЗАРЯН ОВЛКИМ РОЛАНДОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Специальность - U. 01.(12. - дифференциальные ураннення

АВТОРЕФЕРАТ диссертации im соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

• V

\

ЕРЕВАН - 1998

Работа выполнена в Бюраканской Астрофизической Обсерватории Национальной Академии Наук Республики Армения

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Н.Б. ЕНГИБАРЯН.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Л.Г. ЛРЛГ.АДЖЯН. кандидат физико-математических наук, доцент Г.В. АМБАРЦУМЯН.

Ведущая организация - Московский Педагогический Университет.

Защита диссертации состоится "J3_" __1998г. в

часов на заседании Специализированного Сонета 050 при Ереванском Государственном Университете.

Адрес: 375049, Ереван, ул. Ал. Манукяпа 1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Ереванского Государственного Университета.

Автореферат разослан "Ul_" ^í'Ol^JL'Íj^L

1998г.

Ученый секретарь Специал)! -ирошншого Совета кандидат физ.-мат. наук, доцент \hi-LW Т.Н. АРУТЮНЯН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются следующие интегральные уравнения свертки: скалярное и векторное интегральное уравнение восстановления (ИУВ) на полуоси, ИУВ на всей вещественной оси, интегральное уравнение Винера-Хопфа (ИУВХ).

Интегральное уравнение восстановления на полуоси рассматривается в следующих двух случаях: а) скалярное ИУВ со вполне монотонным ядром; б) система ИУВ, где ядро матрица-функция, удовлетворяющая условиям критичности.

Интегралы 1,-.е уравнения восстановления являются важным и интересным классом уравнений свертки. Они применяются в теории вероятностей, в теории переноса излучения, в кинетической теории газов и в ряде других разделов математической физики.

Теория Восстановления интенсивно развивается за последние 50 лет в рамках теории вероятностей.

Системы уравнении восстановления (УВ) на полуоси играют важную роль в теории полумарковских процессов и в математической физике. Теория систем ИУВ развита менее полно по сравнению с теорией скалярных уравнений.

Наиболее важным с точки зрения приложений в теории переноса излучения и в кинетической тсории газов являются ИУВ на полуоси в том случае, когда Ядро является суперпозицией экспонент. Одной из центральных задач теории ИУВ на полуоси в этом случае является изучение структуры его решения.

Если в теории вероятностей ИУВ на полуоси представляют интерес сами по себе, то в математической физике эти уравнения более важны как результат вольттеровской факторизации исходных интегральных уравнений Винера-Хопфа.

Такая факторизация была построена различными способами, путем применения М( >да Винера-Хопфа, принципа инвариантности В.А.

Амбарцумяна, метода нелинейных уравнений факторизации Н.Б. Енгибаряпа, резольвентного метода В.В. Соболева.

Несмотря н;1 долгую историю развития ИУВ и существование богатой аналитической теории, многие важные вопросы по уравнениям на полуоси и на всей прямой до сих пор остались открытыми.

Одним из основных результатов классической теории восстановления является теорема В. Смита.

Недавно Н.Б. Енгибаряном и Г.Г. Геворкяном была получена новая теорема восстановления на полуоси (то есть - для неотрицательной случайной величины). Эти результаты Н.Б. Енгибаряном были использованы к системам ИУВ на полуоси и к уравнениям восстановления на всей прямой.

Целыо работы является

- Изучение структуры решения ИУВ на полуоси в случае когда ядро является суперпозицией экспонент.

- Исследование асимптотических свойств в бесконечности решения системы ИУВ на полуоси в консервативном (критическом) случае (КС).

- Изучение- асимптотических свойств в бесконечности решения ИУВ на всей прямой в КС и интегрального уравнения Винера-Хопфа.

Научная новизна и практическая ценность полученных результатов. В работе получены ^следующие результаты, которые выносятся на защиту:

- Если ядро и свободный член рассматриваемого интегрального уравнения восстановления на полуоси являются вполне монотонными функциями, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, то решение этого уравнения также является вполне монотонной функцией.

Получены новые результаты, связанные с процедурой построения представления решения рассматриваемого уравнения.

- Доказано, что решение системы интегральных уравнений восстановления на полуоси при некоторых слабых ограничениях на ядро этого уравнения, имеет конечный предел в бесконечности и вычислено значение этого предела.

Получено обобщение на системы ИУВ теоремы Смита.

- Изучеш,1 асимптотические свойства в бесконечности основного решения интегрального уравнения Винера-Хонфа.

- Доказано существование предела в бесконечности основного решения рассматриваемого консервативного ИУВ на всей вещественной оси. Получен вариант известной теорем!,I Восстановления С. Карлика.

Общая методика. Результаты работы получены путем сочетание метода нелинейных уравнений факторизации (ПУФ) с рядом методов и фактов теории ИУВ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях Армянского Математического Союза и па семинарах по математической физике Бюракапской Астрофизической Обсерватории НАН

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах

Объем и с.ууктура работы. Диссертация состоит из Введения, двух глав, списка литературы и изложена на 80 страницах. Каждая из глав I, 11 состоит из трех параграфов. Библиография содержит 31 наименование.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, дан краткий обзор теории ип,игральных уравнений восстановления, перечислены круг рассматриваемых задач и основные результаты работы.

Первая глава посвящена интегральным уравнениям восстановления на полуоси.

В § 1 рассматривается следующее скалярное уравнение восстановления (УВ):

РА.

У ,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

II

\\о ядро V является ни одно монотонной функцией вида

где о - неубывающая функция, причем

1> [

<т(а) = 0; ^¡Мц,,^ [-с1о(8)<1 (3)

Предполагается, что свободный член д также является вполне монотонной функцией и имеет вид ь

й(х)= [е^С^сг^) (4)

где в - непрерывная, неубывающая функция па [а,Ь), причем 0>0 и

"г'

В частном случае G = l, (1) обращается в уравнение относительно резольвентной функции Ф. Н.Б. Енгибаряном и A.A. Погосяном было доказано, что решение этого уравнения является вполне монотонной функцией.

В § 1 рассматривается случай дискретной меры da, когда ст является кусочно-постоянной функцией вида

a(s) = 5(s) = Xal0(s-sJ (5)

ui

где 0-функция Хевисайда единичного скачка, {sk}[ - точки скачков, О < s, <---<s„; >0 - величины соответствующих скачков. В случае функции ст вида (5) имеем

V(x)-V(x) = £ate^ (6)

g(x) = g(x) = ¿akG(sJe-,N' (7)

Доказываемая

Лемма 1,1. Решение уравнении (lj в случае (6), /7) имеет вид

i"(x)= f(x)= je"4|>dp(p)

W

Í4P) = Z'1„0(P-PJ/

О < p, < s, < p, <•••< -Sk I < pL < <■■■<. < s„.

Б § 2 урапиишр восстановления (1) рассматривается n общем случ, меры Jo, которая удовлетворяет условиям (3).

Основной результат :)тог<> параграфа содержится и следую:i:. • теореме.

Если функции V ч g задаются но формулам {2) я (4), ч<> ¡нчаепне / ур.пшеппя (// ннлнстси вполне шикггошюй функцией вила

W t\(p) - мера, iit>iij)cpi,iiuici>i i) точке н, > 0.

13 Ç 3 рассматривается следующая система уравнений восстановления

Г(X) = jVM41p(p), 0 <« < а < (1 ¿ b < +СО,

гд<' p oi)ad/\dct ciiohcj/mmh:

,0 если ti < ! , то í -i.!p(p) < +00,

: p

если fi = 1, то наполнено услошю

б) если Ь < го р(Ь) = о,(Ii) < +ûo, где с,(s) = f0(s'Xia(s'), если b = +СС н p = I, 'го pl. b) = a, (b) =+-■» ц

«

(8| где ядро V = (V„) матрица-функция, удовлетворяющая условиям

Здесь Р„ - класс неотрицательных, неразложимых матриц, г(А) -спектраль-иый радиус матрицы А. Доказывается

Теорема 3.1. Пусть ядро У = (У|)) системы У В (8) удовлетворяет условиям (91 и дополнительным условиям

V е17(0,«)пЬ7(0,от), р> 1; \'(ю) = НшУ(х) = 0.

Тогда при £;(«>) = 0, уеЦ(О.оо) &\\я резолвнентнон матрицы-функции Ф = (Ф ) и решения (¡> = (ф,) системы УВ (8) имеют место равенства: д) Ф(со) = (4УЛ)4 -Г^

где v.= |чУ(хХ1х, а пектор-строка £,>0 и вектор-столбец г|>0 удовлетворяют соотношениям ^А = ^, Аг| = г|;

6) <р(оо) = (^П)"' [уС^Ц.

Во второй главе изучаются следующие интегральные уравнения свертки:

а) интегральное уравнение Винера-Хопфа (ИУВХ)

Г(х) = й(х)+ }К(х-иГ(1№ (Ш)

о

где ядро К удовлетворяет условиям

0< К. 6 Ь,(-со,со), ¡.г = |к(х)ёх < 1. (П)

б) уравнение восстановления на всей прямой:

Г(х) = в(х)-ь /К(х - 1)10)^1 (12)

с ядром (11) при Ц = 1 .

Исследуется вопрос существования и вычисления пределов в бесконечности основных решений рассматриваемых уравнений.

Обозначается через О,, г>-со, следующий класс интегральных оператдров: Л'.еП,, если

(Arl')(\) - }K(x-ni(iWu К (13;

Уравпення (10) и (12) ичучаютси в случае, когда ядро К удовлетворят: условию (11) и дополнительным условиям К. с L, 01-,,, Р> !; К<:Ь*) = О,

J'xl !<( \)dx JxK(S)l!\*

о

и-:-

Уравнения (10) и (12) можно переписать в операторном виде

(| -А, )•' у , (15)

где г = 0, в случае уравнения (I0) и г = - оо и случае (12), ) - единичным оператор, Л, tiJ, - оператор с ядром, удовлетворяющим условиям (!!).

Для исследования уравнений (!0) и (12) в диссертационной работе не пользуется следующая факторизация

1 - А, = (1 - 1\ 1(1- I ,'), (16)

где I',' <=Ц искомые операторы вида

( Г'|'Кх)= j\'t (х - 1) f\ l)dt

('!/'Г1'Хх>= fv. (1-х)1'и)Л. V, е

Факторизация (16) эквивалентна следующей системе нелинейных уравнений факторичаи.ии (1-1УФ) Н.В.Ипгибаряиа:

\'J\) = К, (\) + fv.(i)V_ (х + tHit

\ (17)

V (ч) = К. (\)+ jV (t + x) Vt (t)dt где K + (.\) = K(±\). > 0.

• В ^ 4 доказывается одно новое свойство канонического решения (V ,V_) системы (17), необходимое для дальнейшего изложения.

Лемма -/. /. Пусть ядро К улонлогнорнег услончям 111) и (14). TorAä

Vt el.,,((),х-).р> I: v,(^) = t).

Применяемый подход к изучению рассматриваемых уравнении, существенным .»"¡».«ом связан со свойствами решения следующего УВ:

ф(х) = М'(х)+ |У(х-1)ф(1)Ф (18)

о

Резольвентная функция Ф уравнения (18) определяется из УВ

X

Ф(х) = У(х)+]У(х-г)Ф(1)Ф (19)

о

Доказывается

Лемма 4.2. Пусть в УВ (19) ядро V удовлетворяет условиям

0 < V 6 Ь, ПЬ|1(0,со), р > 1; У(<ю) = 0, у = |у(х)с!х<1.

о

Тогда Ф(оо) = 0.

Факторизация (16) сводит решение уравнений (10) и ¡12) к последовательному решению следующих двух уравнений:

Ь(х) = К(х) + ]у.(1-х)Ь(1)Л (20)

и

к

Г(х)=!1(х)+{УДХ-ООДЛ (21)

В § 5 главы 2 изучается вопрос асимптотического поведения основного решения ИУВХ (10) в бесконечности. Предполагается, что

g е Ь|(0,со), §(со) = 0 (22)

Лемма 5.1. Если а) /л = 1 и Х>0; или 6) р<1, то уравнение (20), (22) обладает едчнетиенным решением К е Ь) (0,<ю), причем Ь(+оо) = 0 .

Путем изучения уравнений (20) и (21) доказываются следующие теоремы.

Теорема 5.1. Пусть ядро К уравнения (10) удовлетворяет условиям 0< К еЬ|, К+ еЬр(0,оо), р> 1; К+(оо) = 0,

ЭХз [хК(х)Фс>0; |К(.ч)с1х=1.

Если g е Ь] (0,со), g(co) = 0, то для основного решения уравнения (10), справедливо равенство

t'(co) = v+' fh(licit. (i

где = j \V. ( \ч'.\

0

Теорема 5.2. Пусть ядро К ураинення (10) удовлетворяет условиям:

0<KeL,. К., е 1.|Д0,м),р> I; К,(со) = 0, J K(x)dx с 1.

Если g 6L|(0,ot), g(cc) = 0, то аля основного решения уравнения (10), справед.ипю равенство = 0.

Доказывается следующая

Лемуа 5.2. Пусть ц = 1 и S<0. Тогда уравнение (201, (22) обладает едпистпенпим решением h 11¡0.со), причем h(oo) = 0.

TePMSllLa^^ Пуст/, ядро К уравнения (10) удовлетворяет условиям 0 < К. € L, ПЬР. р > 1; К(±«) = 0;

|.\K(.\)ii.\ < 0; ¡K(x)dx = !.

Если g е l.|(0,co), g(oo) = 0, то ддя основного решения уравнения (10), спраиодмшо равенство Г{ -i-co) = 0.

В ^ 6 изучаются асимптотические свойства и бесконечности основного решения УВ Па нсей прямой П2! . Предполагается, что

g e L,(-oo.oc), g(±oo) = 0. (23)

Доказыаается

-JeA)Ma_Jld- При S>0 уравнение (20), (23) обладает единственным решением h eLt, причем h(±co) = 0.

л

JjX>)2£^>JiJL Пусть в уравнении (12) ядро К удовлетворяет условиям (11) н (14), а свободный член у удовлетворяет условиям (23) .

Тогда существует решение ¡'el.'," уравнения (12), такое что

Г(-да) = (). 1 (+«) = X ' iV'( л )ti\.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору Н.Б.Енгибаряну, под руководством которого выполнена настоящая работа.

Основные результаты диссертации изложены в следующих пяти работах.

1. Назарян O.P. Об уравнении восстановления со вполне монотонным ядром.//Изв.HAH РА. Математика. Т.32. № I.1997.CC.44-54.

2. Назарян O.P. Об уравнении восстановления на всей прямой. //Изв.HAH РА Математика Т.32. № 2.1997.СС.68-76.

3. Назарян O.P. О системе интегральных уравнений восстановления. Депонировано в АрмНИИНТИ 24.07.97. № 173-Ар97. 7 стр.

-4. Назарян O.P. Об уравнениях свертки на всей прямой и полупрямой. Препринт Бюраканской Астрофизической Обсерватории HAH РА. Ереван. 1997. № 2. 19 стр. 5. Назарян O.P. Об асимптотических свойствах в бесконечности решений некоторых интегральных уравнений свертки. Тезисы докладов сессии 1997г. Армянского Математического Союза. Ереван, сс.26-27.

ШГФПФПМГ

Uinbliiulununipjinlip йфрфий t ifiuiptipji infiujfi ]i(iinhq]um hm^iuumpmüühpfiü: Uuiwgi|h[bti hhuibjm^ b]iú'(iuil|uiü uipripulipühpp .

1. bph, rjJiuîUjpl)L{iîi|, 1)|н1ш1гшйур]) i[piu ilbpuilpuliqüiSujü liümbqpun huiijujuuipiíiuü ("l!1^) 1|пр]ищ b luqiutn uiüi)uiúp npiy ii|uijiSiuüübp¡i рш^шршрпц |jim|¡iü línümnnü .'jmiüljytuuühp

шири iujr¡ liiuijiuuiupiíiuti puöruCip bu [J)m[|iü û'nûnuinû .'|imüljy]uu t:

2. Uu¡iut|inyi(b[ h, np Ipiüubpijiumjiil. lj¡iuuimjiütjpji i[lluj iJbpiuIjuitiqûiSiuG ¡iüuibiipui[ huH|ujuiupm.iiíibp¡i Ьшйш1]шрч)1 pnbmúp, Ipipjiqji ijjuu ryiiliuö npn? ргид uiuijduiüühpfi i)bu|j>niii, lutiji uuiMiuíi ujüi|bpv>mp]m(jmi5 Ь hm¿v{i|b[ t rnji) uuihiïiuQji lupdhpp: UuiuiyijbLt »U^s htutiiuljujpqJi huiú'uip 4.Uú'¡>m¡) !iuijinü]i pbnpt¡ü']i [}Qi]jiiuüpuiynu5¡r

3. Циршриуфз^ t, np iljilibp-inui.1!)]) liüuibqnuq liuiijujumpümü h]iüüml]mü puönuSp, lpi¡i¡u(¡i 1.[рш i]pi[m& npii2 |jiuigmy|i¿ pmjL upujiSujüübpli i]buipmiS, mtiiJhpjnipjniünnJ müji uuihiUuíi b luu^i|ilb^t шр; luuliútuüji mpdbpp:

4. niumi5Üíuu{ipi]hi bü luiipnityji uimutiyp]) i}piu linüuhpi[uimfii¡ ijbpiuljuiüqüiliuü ¡lümbypiui huii{ujuujpú'uiü pnöiiuiG ши]и5ирмпш|11) biuinlimpjmüübpp uiüijhpjnipjniümú': Uuimyijl.) t и.Мщггфй)! haijmíili phitpbiiji iS¡i иниррЬршЦр: