Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений

Павлов, Степан Степанович

Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Павлов, Степан Степанович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Якутск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений"

На правах рукописи

ПАВЛОВ Степан Степанович

РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

1.0 НОЯ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск - 2011

005001282

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и информатики ФГАОУ ВПО "Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Попов Сергей Вячеславович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович, Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск)

доктор физико-математических наук, профессор Кабанихин Сергей Игоревич, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (г. Новосибирск)

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

(г. Челябинск)

Защита состоится 29 ноября 2011 года в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.306.05 при ФГАОУ ВПО "Северо-Восточный федеральный университет имени М.К.Аммосова" по адресу: 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова. Автореферат разослан октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В.Е. Федоров

Актуальность темы. Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики. Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как геофизика, биология, экология, медицина и т.д.

Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, С.И. Кабанихина, А.И. Прилепко, С.Г. Пяткова, А.И. Кожанова, А.Х. Амирова, Г.В. Алексеева, Е.Г. Саватеева, Е.С. Глуш-ковой, Д.И. Глушковой, Т.Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, A.M. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Jamamoto. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных, нежели в настоящей работе методов, и при этом, разрешимость устанавливалась в других пространствах.

Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния, электропроводности, теплопроводности и многие другие. В настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты об их разрешимости. Сейчас уже почти невозможно подсчитать число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуется обратные задачи. Постоянно появляются новые подходы,

понятия, теоремы.

Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Также отметим, что обратные задачи для гиперболических уравнений зачастую относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах А. Н. Тихонова (1963), В. К. Иванова (1962,1963), М. М. Лаврентьева (2003).

В диссертационной работе исследуется вопрос о разрешимости и единственности решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в случае неизвестных коэффициентов с точечными и интегральными условиями переопределения.

Цель работы. Основной целью работы является исследование разрешимости обратной задачи определения коэффициентов как для одномерного, так и для многомерного гиперболического уравнения.

Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового "нагруженного"линейного либо нелинейного уравнений.

При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методах регуляризации, продолжения по параметру и методе неподвижной точки.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

- установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешних источников составного вида для одномерных и многомерных гиперболических уравнений при задании точечных условий переопределения;

- установлена разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для гиперболических уравнений при задании условия интегрального переопределения;

- установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента диссипации для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения;

- установлена разрешимость нелинейной обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента стока для гиперболических уравнений при задании интегрального условия переопределения.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Все результаты диссертации являются новыми. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:

- на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС (Я)" (Якутск: 2006, 2008);

- на IV, V Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации" (Якутск: 2006, 2007);

- на ХЬУ, Х1УШ Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск: 2007, 2010);

- на II, III Всероссийских научных конференциях "Информационные технологии в науке, в образовании и экономике" (Якутск: 2007, 2008);

- на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации" (Якутск: 2008);

- на II Всероссийской научной конференции и VII Всероссийской школе-семинаре студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федера-

ции" (Якутск: 2009);

- на II Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", посвященной памяти академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск: 2010);

- на V Республиканской научно-методической конференции "Математика в школе и вузе"(Якутск, 2010);

- на Всероссийском научном семинаре "Неклассические уравнения математической физики", посвященном 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова (Якутск: 2010);

- на VI Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2011);

- на семинарах "Уравнения переменного типа" под руководством д.ф-м.н., профессора C.B. Попова (Якутск, кафедра математического анализа ИМИ СВФУ, 2007-2011);

- на семинарах "Дифференциальные уравнения в частных производных" под руководством д.ф.-м.н., профессора И. Е. Егорова (Якутск, НИИ математики СВФУ, 2009-2011);

- на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н, профессора А. И. Кожанова (Новосибирск, Институт математики им. СЛ. Соболева СО РАН, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[9].

Работа поддержана

- грантом ЯГУ за 2007 г.;

- грантом СВФУ за 2010 г.;

- грантом по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе "Университеты России"за 20022005 гг.;

- научной программой "Проведение научных исследований молодыми уче-

ными" Федерального агенства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г.- стажировкой в Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск);

- грантом ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 гг., в рамках реализации мероприятия №1.3.1 "Проведение научных исследований молодыми кандидатами наук", ГК №П1182 от 27 августа 2009 г.;

- грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, проект № 02.740.11.0609;

- АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-20 И г.), per. номера проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, содержащих 5 параграфов, заключения и списка литературы. Во введении описываются цели работы, излагается краткое содержание диссертации. Список литературы содержит 119 наименований. Объем диссертации составляет 84 страницы. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе.

Содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана значимость полученных результатов, излагается краткое содержание диссертации, характеризуются используемые методы. Основное содержание работы изложено в главах 1-2. В первой главе исследуется разрешимость линейной обратной задачи для одномерного и многомерного волнового уравнения при задании точечных условий переопределения.

В параграфе 1.1 исследуется обратная задача нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестных коэффициентов <?i(i), ...,qm(t).

Пусть £} есть интервал (0,1) оси Ox, Q есть прямоугольник fi х (О, Т), где 0 <Т< +оо.

Обратная задача 1.1: найти функции u(x,t), qi(t), ...,qm(t), связанные в Q уравнение гиперболического типа

utt - а2ихх = fk{z, t)qk{t) + д{х, t), (1)

k-1

с начальными условиями

w|i=o = щ{х), uf|t=0 = щ(х) (2)

и граничными условиями

'<4=0 - 0, «|г=1 = 0, 0 < t < Т, (3)

а также условиями переопределения

и\х=т = il>i(t), i = 1,2,..., m, (4)

где fk(x,t), if>k(t), (k = 1 ,...,m), g(x,t), иц(х),щ(х) заданные функции, определенные при х £ П, t £ [О, Т], ai,..., am — заданные числа такие, что О < a'i < ... < ат < 1.

Предполагаем, что определитель матрицы В = B(t) с элементами Оу = /¿(a,;, t) не равен нулю при t £ [О, Г].

Теорема 1. Пусть g(x,t), fk(x,t) £ L2(0,T; Wf (0,1)), щ{х) £ W|(0,1), щ(х) £ Wf(0,1), ^fc(t) £ Ьг(0,Т), выполнены условия согласования

g(0,t) = t) = Д(О, t) = /fc(l,t) = 0, ио(х,) = Vi(0), Ul(i/) = Vi(0), u0(0) = «о(1) = %(0) = u£(l) = 0, ui(0) = «i(l) = 0 (fc = l,...,m).

Тогда существует единственное решение обратной задачи (1)-(4) определения u(x,t) и коэффициентов quit) из класса u(x,t) £ ¿г(0,Т; W|(0,1)), ««(*,*) е L2(0,r;^22(0,l)),ife(i) £ L2(0,T) (fc = 1,... ,m).

При доказательстве теоремы 1 используется метод, основанный на спектральном разложении решения по базису из собственных функций соответствующей спектральной задачи.

Таким образом, если выполнено условие с!е^/^а,;, £)) ф О £ [0,Т] (г,,7 = 1 ,...,тп), а функции щ(х), и^х), д(х,1) удовлетворяют условиям теоремы 1, то задача об определении решения и(х,Ь) и коэффициентов однозначно разрешима.

В параграфе 1.2 исследуется разрешимость обратной задачи восстановления коэффициентов двухмерного и трехмерного волнового уравнений при п = 2,3.

Пусть О есть ограниченная область пространства Е" С К") с гладкой границей Г, Г = дП, 5 = Г х (0,Т), С} = П х (0,Т). Далее, пусть /к{х,Ь), (к = 1...т), д{х,€), щ(х), щ(х) - заданные функции, опре-

деленные при х £ й, £ е [0, Г], .т^),... ,х(т) — точки области П такие, что х^ ф- хпри к ф т.

Обратная задача 1.2: найти функции и(х,Ь), q\(t),... связанные в

<5 уравнением

ип - Аи = Д(х, + д(х, £), (5)

*=1

начальными условиями

'4=0 = М-Х)у = щ(х), хеп, (6)

граничным условием

«к= 0, (7)

а также условиями переопределения:

и(.= к = 1,2,...,т, (8)

где х^ в х(к) ф при к ф т.

В изучаемой обратной задаче условия (6) и (7) суть условия обычной краевой задачи, условия (8) — условия переопределения; наличие этих условий объясняется тем, что помимо неизвестного решения и(х, требуется найти также неизвестные функции ..., qm(t)■

Определим пространство:

V0 = M*.*): v{x,t) G Lx(0,T; W2(fi) П W}(Q)),

vt(x,t) G MO.T; W^fi)), «rt(x,t) G L2(Q)}. Теорема 2. Пусть n < 4 u выполняются условия

g(x,t) G /^2(0, Г; Wf (fi)), fft(ar,i) e L2(0, T; VF22(fi)),

/fc(x,i) G L2(0,T;^(fi)), t) G L2(0, T; W|(fi)),

■u0(.t) G W|(fi) П щ{х) G Wf(fi) П W^fi),

Mt) e C3([0,T]), fk(x,t)\s = g(x,t)\s = 0,

A Jk(x, i)|s = 0, det (fj(x^,t)) Vie [0, T],

Mxk) = ^fc(O), Ui(xfc) = ^'fc(0), k = \,...,m.

7огЛх существует функция u(x, t) такая, что u(x, t) G Vb, A и(ж, i) G Vq и функции Qk(t) (k — 1 ,...,m) из пространства L2(0,T), являющихся решением обратной задачи (5)-(8).

В параграфе 1.3 исследуется разрешимость обратной задачи восстановления коэффициентов многомерного волнового уравнения при п > 4. Определим пространства:

У, = {v(x,t) : v(x,t) G МО, Г; fi) П #|+1(fi)),

vt(x,t) G ¿„(0.T; W^fi)), vtt(x,t).e L2(Q)}, (k G N).

Теорема 3. Пусть 4fc < n < 4fc +4 (A: = 1,2,...) u выполнены условия g(x,t) E L2(0,T;H/f+2(fi)), <?t(:r,t) G L2(0, T; Hf=+2(fi)), /}(*,*) G L2(0,T;№f+3(fi)), /lt(s,i) G L2(0, T;Wf+2(fi)), «о(аг) G W2fc+3(ft) П Wf-fl(fi), ui(ar) G Wf+2(fi) П W'f+1(fi), ^i(t) G C2k+\0,T), 1=1,...,m,

Aifl(x,t)\s = 0, Xg(x,t)\s = 0, i = 0,...,k + 1.

det^fcc« Vi e [0,T],

u0(x^) = ^(0), щ(ar<'>) = ^ (0), I = 1,..., m.

ТЬгда существуют, функция u(x, t) из пространства V\ и функции qi(t) (1 = 1,... ,т), из пространства £2(0, Т), являющиеся решением уравнения (5) и удовлетворяющие условиям (6)-(8).

Во второй главе данной работы рассматриваются линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболического уравнения с интегральным условием переопределения. Здесь, помимо неизвестного решения и(х, t), требуется найти также неизвестную функцию q(t).

В параграфе 2.1 рассматривается волновое уравнение с неизвестным коэффициентом в правой части и с интегральным условием переопределения.

Пусть ft есть ограниченная область пространства К" (Q С К") с гладкой границей Г, Г = dil, S = Г х (0,Т), Q = Q х (0,Г). Далее, пусть f(x,t), ф(Ь), g(x,t), щ(х), щ(х) — заданные функции, определенные при .г G Q, t G [0, Т].

Обратная задача 2.1: найти функции u(x,t) и q(t), связанные в Q уравнением

utt-Au = f(x, t)q(t) + g(x,t) при выполнении для функции и(х, t) начальных условий

"|t=o = "о (ж), и(|(=о = Wi(-t), xGfi,

(10)

граничного условия

«Is = 0,

(И)

а также условия переопределения:

В изучаемой обратной задаче условия (10) и (11) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условие (12) — условие переопределения; наличие этого условия объясняется тем, что помимо неизвестного решения u(x,t) требуется найти также неизвестную функцию q(t). Определим пространство:

V2 = {v(x,t): v(x,t) € Ы0,Г; W22(fi) П ИЭД),

vt(x,t) б Lx(0,Т; Wj(fl)), vtt(x,t)E L2(Q)}.

Положим

/o(f) = j K(x, t)f(x, t)dx, g0(t) = J K(x,t)g(x,t)dx, f! 11

o0(t) = ф {t)Mf^{t\ g(*,t) = ДМЬ(«) + sCM),

t) = A f(x, t), gi(x, t) = Ag(x, t). Теорема 4. Пусть выполняются условия

\т\ > к>0, te [0,Т], g{x,t) е l2(0,T;w22(Q)), ft(x,t) е Ьг(0, Т; W|(f2)), f(x, t) G L2(0,T; W?(fi)), /ir4(a:,i) e MQ), ff^fot) e L2(Q), ä'(.m) e C2(Q),

f(x,t)\s = <?(x,i)|s = 0, /i(M)|5 = <7iOM)|s = 0,

J K{x,0)u0(x)dx = ф{0), n

J I<(x,Q)ul(x)dx+ J Kt(x, 0)uo(x)dx = "ф'(О). n n

Тогда существуют функция u(x, t) из пространства V2 и функция q(t) из

пространства ¿оо([0, Т1]), являющиеся решением уравнения (9) и удовлетворяющие условиям (10)-(12).

В параграфе 2.2 изучаются 2 нелинейные обратные задачи.

Пусть Г2 есть ограниченная область пространства К" (О С К") с гладкой границей Г, Г = дП, 5 = Г х (О,Т), <2 = П X (О,Т). Далее, пусть а(х,Ь), А(^), К(х,Ь), /(х,■0(0) ио(х)> и\{т) ~~ заданные функции, определенные при ж е й, г <= [0,Т].

Обратная задача 2.2: найти функции г1,(х,£) и q(t), связанные в <3 уравнением:

иа - а(х, Ь)Аи + д{ьущ = /(.х, 4), (13)

при выполнении для функции и(х, £) начальных условий

иЬ=о = щ(х), щ\1=0 = щ(х), хеП, (14)

граничного условия

«15 = 0, . (15)

а также условия переопределения:

У К(х, ф,(:г, ¿)(*г = ^(г). (16)

Обратная задача 2.3: найти функции и(х,Ь) и связанные в <3 уравнением

иа - А и + + д(г)и = /(г, О. (17)

при выполнении для функции и(х,Ь) условий (14), (15) и (16).

В изучаемых обратных задачах 2.2 и 2.3 условия (14) и (15) суть условия обычной первой начально-краевой задачи, условие (16) — условие переопределения; наличие этого условия объясняется тем, что помимо неизвестного решения ц(х,£) требуется найти также еще неизвестную функцию <?(£).

Подобные обратные задачи в одномерном случае ранее изучались в работах И.Р. Валитова (2009). Заметим также, что метод, применяемый в настоящей работе, близок к методу работ И.Р. Валитова, но вместе с тем имеет и существенные отличия. Тем самым полученные ниже теоремы существования будут новыми и для случая п — 1.

Положим

с;=Гг] yi к"{х' t] dxj'=w [I к*{х'1

С'3 = max yj K2(x,t)a2(x,t) dxj . Пусть со — число, такое что для любой функции v(x, t) из пространства

выполняется неравенство

j v2(x,t)dx < со ¿У ^Д1'4)^» п i=1 п

где со = Сц(П).

Введем обозначения:

/„(«) = J К{х, t)f(x,t)dx, а(t) = V"(i) + /0(t),

t n A'o = J I f\x,T)dxdr+ Y, J a(x,0)ulXi(x)dx + j u\(x)dx,

о о !=1 a n

flo — min a(x, t), а = min а (t), = min Ф (t), a\ = max max I аж (.т, f) |, Q [0,71 [0,71 ,:=1-n Q

/ s »r' Nn /1 + a-i f>ü = mm(l, a0), = exp I———T \ ,

K'o = J Jfi{x,t)dxdt+^mzxJf2(x,t)dx + 2 j f(x,0)Au0(x)da о n n n

+ £ j и\х(х¥х + J ß(a:,0)[Auo(x)]2dx,

,:=1 n "

Äi = Iexpfl±^TV ß^exp(^),

bo \ bo ) \ « о)

Ah = C'3Bf + 2C'2N'} + C'^N'rf, Mi = C'^N'rf.

Определим пространство:

Кз = {v(x,t) : v(x,t) G W|(Q) П L2(0,T; ЙЗД),

vt(x,t) е L2(0,T; IV22(Q) П ИЗД)}.

Теорема 5. Пусть выполняются условия

a(x,t) е C4Q), КОМ) е C2(Q), V(t) е С2([0,Т]),

fl-o > о, 75 > 0, fco > 0, at(x,t) < 0, M2<kü, ä> Mi,

j К(х,0)Щ(х)<1х=ф(0), n

J I<(x, 0)ui(x)dx + jKt(x, 0)uo{x)dx = ^'(0). n n

Тогда для любой функции f(x,t) такой, что f(x,t) G L2(Q), ft{x,t) G L2(Q), и для любых функций щ(х) и Ui(x) таких, что щ{х) £ Wf((5) П

о о

W2(Q)> щ(х) £ W2(Q) обратная задача 2.2 имеет решение {u(x,t),q(t)} такое, что u(x,t) £ W22(Q), g(t) G L2([0,T]).

Рассмотрим вопрос об единственности обратной задачи 2.2. Пусть, для простоты, a(x,t) = 1. При t G [0,Т] определим множество IFi :

m = {(„(*, t),«(t)) : G W22(Q) П Ы0,Т; W22(Q)),

Vt{x,t)e Lx(0,T:Wi(Ü)), q(t) G L2([0,T]), g(t) > 0, V>'(t) - ¥>2(*.") > > • Теорема G. Пусть (u(x,t),qi(t)), (v(x,t),q2(t)) суть два решения обратной задачи 2.2 такие, что (u(x,t),qi(t)) G Wi, (v(x,t),q2(t)) G Wi. Тогда u(x,f) = e Q, qi(t) = q2(t) при t G (0,T).

Рассмотрим обратную задачу 2.3. Определим числа

k2 = minV>(i)) Q!2(i) = -77-7, «2 = min a2(i), M = max A(i), [o,r| Vw [o,rj [0,T]

min (2A0, , если cq < 1; 2A0, если Су > 1,

t t

i4s = (1 + I f r)dxdr + 2 ff f?(x, T)dxdr+

4 'on 0 !i

+2(2cq + 1 )vraimax [0,71

f f2(%, t)dx

Lfi

+ 2

ff(x,0)Am(x)dx

+ f u21(x)dx+

f Ui(x)Auu(x)dx я

+ E / «3* W* + f «2(0 K(x)dx + 2 t=in а

+ Zf m"$ri(*№ + (so + 1) /[Д M*)l2d* + Efu2lXi(x)dx+

¿=1 n 0 ¿=1 n

¿=1 n

(здесь £o > 0 — сколь угодно малое положительное число), Аз

Ал =

2 + А0 |-а2(<%+ 1)

Л5 = 2соД3, Ас = 2(2со + 1)А3,

" (AJC;+с;) 4+2С;А|+

Теорема 7. Пусть выполгшются условия

K(x,t) е C2(Q), #) е ^([0,7]),

> 0, 52 > 0, A(i) - 1 > А0 > 0, a'2(t) < 0, A'(t) <0 при i G [О,Г), Aj < Mit

J K(x,0)Uli(x)dx = m>

J K(x, 0}ui(z)dx + j Kt(x, 0)uü(x)dx = -¡//(0). n n

Тогда для любой функции f(x,t) такой, что f(x,t) G ^(Q), ft(x,t) G w <?ля любых функций щ(х) и щ(х) таких, что щ(х) € W|(Q) П W\{Q), щ{х) G W\{Q) обратная задача 2.3 имеет решение {u(x,t),q(t)} такое, 4mou(x,t) G W$(Q), q(t) G Ь2([0,Т]).

Рассмотрим вопрос об единственности решений обратной задачи 2.3. Как и выше, при I 6 [О, Т] определим множество ]У2 :

иъ = {(ф, £), 9(0) •• £) <= \ViiQ) П 1оо(0, Т; ,

|ф,*) е 1Х(0,Т;\¥22(П)), 5(4) 6 Ь2([0,Т})} .

Теорема 8. Пусть (и(:х,€), д^)), {г>(х,Ь),д2(1)) суть два решения обратной задачи 2.3 такие, что (и(х, £),<?<Е (р(х, ¿), 5г(0) £ ЭДг- Тогда и(®,4) = «(ж,4) е <5, д!(4) = при Ь е (0,Т).

Замечание. В параграфе 2.2 главы 2 диссертационной работы приведены примеры входных данных, для которых все условия теорем 5 и 7 полностью выполняются.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Павлов С.С. Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения / Павлов С.С. // Математические заметки ЯГУ - 2010. Т. 17, Вып. 1. - С. 9399.

[2] Павлов С.С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением / Павлов С.С. // Математические заметки ЯГУ -2011. Т. 18, Вып.1. - С. 81-93.

[3] Павлов С.С. Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением / Павлов С.С. // Математические заметки ЯГУ - 2011. Т. 19, Вып.2. - С.128-154.

[4] Павлов С.С. Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении / Павлов С.С. // Вестник Челябинского государственного университета. Математика, Механика, Информатика - 2011. Вып.13. - С.27-37.

[5] Павлов С.С. Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения/ Павлов С.С. // II Всероссийская научная конференция и VII Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации"(Якутск, 15-22 июня 2009 г.): Тез. докл. / Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2009. -С. 65-66.

[6] Павлов С.С. Коэффициентные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений / Павлов С.С. // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика (Новосибирск, 10-14 апреля 2010 г.) / Новосибирск: Изд-во НГУ, 2010. - С. 55.

[7] Павлов С.С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении // Тезисы V Республиканской научно-методической конференции "Математика в школе и вузе"(Якутск, 1 апреля 2010 г.): Тез. докл. / Якутск: Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2010. - С.37-38.

[8] Павлов С.С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении / Павлов С.С. // Всероссийский научный семинар "Неклассические уравнения математической физики", посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. Часть II (Якутск, 10-13 ноября 2010 г.): Тез. докл. / Якутск: Филиал изд-ва СВФУ: ИМИ, 2010. -С. 21-23.

[9] Павлов С.С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением / Павлов С.С. //VI Международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 3-8 июля 2011 г.): Тез. докл. / Под ред. И.Е. Егорова, В.И. Васильева - Якутск: Изд-во ОАО "Медиа-холдинг Якутия", 2011. - С. 50-51.

РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

автореферат

ПАВЛОВ Степан Степанович

Попксано в печать 2*2.10.2011 г. Формат 60x84/16. Печ.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,19. Тираж 100 экз. Заказ 29.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики СВФУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Павлов, Степан Степанович

ВВЕДЕНИЕ.

1. Обратные задачи для гиперболических уравнений с точечными условиями переопределения

§1.1 Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения.

§1.2 Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении при га = 2,

§1.3 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении при п >

2. Обратные задачи для гиперболических уравнений с интегральным условием переопределения

§2.1 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением

§2.2 Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением.

Введение диссертация по математике, на тему "Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений"

Актуальность темы. С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и интерпретации результатов наблюдений. Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучении свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно назвать обратными.

Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как геофизика, биология, экология, медицина и т.д.

Интерес к обратным задачам возник в первой половине двадцатого века, в частности, когда в геофизике был поставлен вопрос: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн по поверхности Земли от различных землетрясений, найти скорость распространения сейсмических волн внутри Земли? Итогом его исследования стала постановка одномерной обратной кинематической задачи сейсмики, впервые рассмотренная немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихертом (1905-1907 гг.).

С гравитационной и магнитной разведкой связано возникновение другой обратной задачи - теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью задан потенциал, порожденный телом, лежащим внутри 5, требуется найти форму и плотность тела. Первая теорема единственности для обратной задачи теории потенциала была доказана С.П. Новиковым в 1938 г. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.Н. Страхов, А.И. Прилепко, A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич, В.И. Васильев - см. [64], [65], [20], [25], [92], [102] и их ученики. В настоящее время теория обратной задачи потенциала существенно развита, разработаны и численные методы решения этих задач.

Впервые был рассмотрен ряд математических постановок обратных задач теории распространения упругих волн в 1962 году А. С. Алексеевым [36].

Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния, электропроводимости, теплопроводности и многие другие. И в настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты* об их разрешимости. Сейчас уже почти невозможно подсчитать число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуются обратные задачи. Постоянно появляются новые подходы, понятия, теоремы.

Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением »требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е. Аниконова, Б. А. Бубнова, С. И. Кабанихина, А. И. Прилепко, А. И. Ко-жанова, А. X. Амирова, Е. Г. Саватеева, Е. С. Глушковой, Д. И. Глушковой, Т. Ж. Елдесбаева, А. Lorenzi, А. М. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Jamomoto - см. монографии [1] - [5], [10], [15] - [17], [20], [21], [25], [27], [49], [50], [63], [69], [95] —[100] и имеющуюся в них библиографию, а также статьи [11], [13], [22], [23], [28], [29], [35] - [47], [56] - [58], [70], [71], [101]. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области.

Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений (Кабани-хин С.И., 2009) и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Также отметим, что обратные задачи для гиперболических уравнений зачастую относятся к некорректным задачам математической физики, теория которых была заложена в работах А. Н. Тихонова [104]—[106], В. К. Иванова [66], М. М. Лаврентьева [80, 81].

Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового "нагруженного" линейного либо нелинейного уравнения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:

- на научной конференции "Лаврентьевские чтения PC (Я)" (Якутск: 2006, 2008);

- на XLV, XLVIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск: 2007, 2010);

- на II Молодежной международной научной школ е-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", посвященной памяти академика М.М. Лаврентьева, (Новосибирск: 2010);

- на V Республиканской научно-методической конференции "Математика в школе и вузе" (Якутск, 2010);

- на Всероссийском научном семинаре "Неклассические уравнения математической физики" , посвященном 65-летию со дня рождения профессора

B.Н. Врагова (Якутск: 2010);

- на VI Международной конференции по математическому моделированию (Якутск: 2011);

- на семинарах "Уравнения переменного типа" под руководством д.ф.-м.н., профессора C.B. Попова (Якутск, Кафедра математического анализа ИМИ СВФУ, 2007-2011);

- на семинарах "Дифференциальные уравнения в частных производных" под руководством д.ф.-м.н., профессора И. Е. Егорова (Якутск, НИИ математики при ЯГУ, 2009-2011);

- на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н, профессора А. И. Кожанова (Новосибирск, Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [111]—[119]

Работа поддержана:

- грантом ЯГУ за 2007 г.;

- грантом СВФУ за 2010 г.;

- научной программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" Федерального агенства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г.- стажировкой в Институт математики имени

C. JI. Соболева СО РАН (г. Новосибирск);

- грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, проект № 02.740.11.0609;

- АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011г.), per. номера проекта 2.1.1/3443 и 2.1.1/13607.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, содержащих 5 параграфов, заключения и списка литературы. Во введении описываются цели работы, излагается краткое содержание диссертации. Список литературы содержит 119 наименований. Объем диссертации составляет 84 страницы. Формулы в каждой главе нумеруются тремя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — номер параграфа, третье — номер формулы в параграфе.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

Методы исследования основаны на использовании техники априорных оценок и техники, связанной с методом продолжения по параметру.

Полученные результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других обратных задач.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Павлов, Степан Степанович, Якутск

1. Anikonov Yu.E., Bubnov B.A., Erokhin G.N. 1.verce and Ill-Posed Sources Problems. Utrecht: VSP, The Netherland, 1997. 239 p.

2. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. Utrecht: VSP, The Netherland, 1997. 204 p.

3. Anikonov Yu.E. Inverse and Ill-Posed Sources Problems. Utrecht: VSP, The Netherland, 1997. 240 p.

4. Anikonov Yu.E. Inverse Problems for Kinetic and Other Evolution Equations. Utrecht: VSP, The Netherland, 2001. 270 p.

5. Anikonov Yu.E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations. Utrecht: VSP, The Netherland, 1995. 134 p.

6. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Utrecht: VSP, The Netherland, 2002. 212 p.

7. Bukhgeim A.L. Introduction to the theory of Inverse Problems. Utrecht: VSP, The Netherland, 2000. 232 p.

8. Cannon J.R. Dinninger D.R. Determination of an unknown forcing function in a hyperbolic equation from overspecified data // Annali di Mat. pure et applicata. 1970. V. LXXXV. P.49-62.

9. Cannon J.R., DuChateau P. An inverse problem for an unknown sourse term in a wave equation // SIAM Journal of App. Math. 1983. V. 43, № 3. P. 553-564.

10. Denisov A.M. Elements of Theory of Inverse Problems. Utrecht: VSP, The Netherland, 1999. 292 p.

11. Denisov A.M. Determination of a nonlinear coefficient in a hyperbolic equation for the Goursat problem // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. V. 6, № 4. P. 327-334.

12. Eden A., Kalantarov V.K. On global behavior of solutions to an inverse problem for semi-linear hyperbolic equations // Записки научных семинаров ЛОМИ. СПб.: ЛОМИ, 2004. Т. 318. С. 120-134.

13. Eldesbaev Т. On an inverse problem for a hyperbolic equation with the characteristic degeneration of type and order // Differential Equations and their applications. Work Collect. Alma-ata, 1978. P. 25-30.

14. Friedman A., Reitich F. A Hyperbolic Inverce Problem arising in the Evolution of Combustion Aerosol // Archive for rational mechanics and analysis. 1990, V. 110, № 4. P. 313-350.

15. Kabanikhin S.I., Lorenzi A. Identification Problems of Wave Phenomena. Utrecht: VSP, The Netherland, 1999. 310 p.

16. Klibanov, M.V.; Timonov, A.A., Carleman Estimates for Coefficient Inverse Problems and Numerical Applications. Utrecht: VSP, The Netherland, 2004. 280 p.

17. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht: VSP, The Netherland, 1999. 171 p.

18. Kurylev, Ya., Matti Lassas. Hyperbolic inverse boundary-value problem and time-continuation of the non stationary Dirichlet-to-Neumann map //J. Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 2002, V. 132, № 4, P. 931-949.

19. Lavrentiev M.M. Inverse problems of Mathematical Physics. Utrecht: VSP, The Netherland, 2003. 275 p.

20. Lorenzi A. An Introduction to Identification Problems via Functional Analysis. Utrecht: VSP, The Netherland, 2001. 240 p.

21. M. Grasselli, An Identification Problem for a Semilinear Hyperbolic Equation // Boll. Un. Mat. Ital. (7), 2-B. 1988, P. 293-312.

22. M. Grasselli. Stability Estimates for a Nonlinear Hyperbolic Inverse Problem // Internal Report of the Department of Math "F.Enriques": University of Milan. Quaderno, 1988. № 13.

23. Megrabov, A.G. Forward and Inverse Problems for Hyperbolic. Elliptic and Mixed Type Equations. Utrecht: VSP, The Netherland, 2003. 230 p.

24. Prilepko, A.I., Orlovsky, D.G., Vasin, I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. NY: Marcel Dekker. 2000. V.XII. 709 P

25. Puel J.P., Yamamoto M, Generic Well-posedness in a multidimensional hyperbolic inverse problem //J. Inv.Ill-Posed Problems. 1997, V.5, № 1. P. 55-83

26. Romanov V.G. Investigation Methods for Inverse Problems. Utrecht: VSP, The Netherland, 2002. 280 p.

27. Savateev E.G. An inverse problem for the Burger's equation and its hyperbolic regularization //J. of Inverse and Inverse andlll-Posed Problems. 1993. V.l, № 3. P. 231-244.

28. Savateev E.G. Well-posedness and reduction of an inverse problem for a hyperbolic equation // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1994. V.2, № 2. P. 165-180.

29. Scheglov A.Yu. Iterative method for recovering a nonlinear source in hyperbolic equation with final overdetermination // J. of 1.1.P.P. 2002. V.10, № 6, C. 629-641.

30. Scheglov A.Yu. The inverse problem of determination of a nonlinear course in a hyperbolic equation // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. V.6, № 6. P. 625-644.

31. Valitov I.R. Inverse problems for hyperbolic equations: a case of unknown factors, time-dependent // Abstracts of International Conferences Tikhonov and contemporary mathematics. Moscow, 2006. P. 208.

32. Weston V.H., Krueger R.J. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation II // J. Math. Phys. 1972. V.14. P. 406-408.

33. Weston V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation // J. Math. Phys. 1972. V.13. P. 1952-1956.

34. Yamamoto M. Lipschitz stability for a hyperbolic inverse problem by finite local boundary data // Appl. Anal. 2006. V.85, № 10. P. 1219-1243.

35. Алексеев А.С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Известия АН СССР. 1962. Т.П. С. 65-72 // Т. 12. С. 1514-1531.

36. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса // Доклады РАН. 2000. Т. 375, №3. С. 315319.

37. Амиров А.Х. К вопросу о разрешимости обратных задач // Сиб. мат. журнал. 1987. Т.28, № 6. С. 3-11.

38. Амиров Р.Х. Многомерная обратная задача для гиперболического уравнения и связанная с ней спектральная задача // Доклады АН СССР. 1991. Т.319, № 2. С. 265-266.

39. Аниконов Ю.Е., Абашеева H.JL, Аюпова Н.Б., Кожанов А.И., Нещадим М.В., Валитов И.Р. Обратные задачи для эволюционных уравнений // Сибирские электронные математические известия. 2008. Т. 5. С. 549580.

40. Аниконов Ю.Е., Бубнов Б.А. Вопросы управления и обратные задачи // Доклады АН СССР. 1989. Т.304, № 2. С. 309-312.

41. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. 118 с.

42. Аниконов Ю.Е. Представления решений уравнений с переменными коэффициентами и обратные задачи // Доклады АН СССР. 1991. Т.318, № 5. С. 1145-1148:

43. Аниконов Ю.Е. Соотношения в некоторых обратных задачах для нелинейных уравнений // Доклады АН СССР. 1990. Т.315, №4. С. 850-853.

44. Аниконов Ю.Е. Формулы в обратных задачах для дифференциальных уравнений и неравенств // Доклады РАН. 1994. Т. 337, № 1. С. 23-24.

45. Аниконов Ю.Е. Формулы в обратных задачах для уравнений 2-го порядка // Доклады АН СССР. 1991. Т.320, № 4. С. 848-850.

46. Аниконов Ю.Е. Формулы для решений некоторых обратных задач для эволюционных уравнений // Доклады АН СССР. 1991. Т.319, № 5. С. 1117-1119.

47. Белов Ю.А. Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. Красноярск: Изд-во Краснояр. гос. ун-та. 1999. 236 с.

48. Бубнов Б.А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений: Дисс. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 1988. 287 с.

49. Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Новосибирск, 1987. 118 с. (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 713).

50. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач (Отв. ред. М.М. Лаврентьев). Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. 183 с.

51. Валитов И.Р., Кожанов А.И. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2006. Т.6, Вып. 1. С. 3-18.

52. Валитов И.Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Стерлитамаксий гос. пед. академия. 2009. 20 с.

53. Валитов И.Р., Кожанов А.И. О разрешимости некоторых гиперболических обратных задач с двумя неизвестными коэффициентами // Математические заметки ЯГУ. 2007. Т.20, № 14. С. 3-16.

54. Глушкова Д.И. Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа: Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск, 2003. 51 с.

55. Глушкова Е.С. Об единственности некоторых обратных задач для телеграфного уравнения // Мат. проблемы геофизики. 1975. Вып.6, 4.2. С. 130-144.

56. Глушкова Е.С. Теорема существования решения одной обратной задачи // В кн. "Вопросы корректности обратных задач математической физики". Новосибирск, 1982. С. 69-74.

57. Грассели М., Кабанихин С.И., Лоренци А. Обратная задача для интегро-дифференциального уравнения // Сиб. мат. журнал. 1992. Т.33, № 3. С. 58-68.

58. Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений // HAH Респ. Казахстан. Ин-т теорет. и прикл. математики; Отв. ред. Д.У.Умбетжанов]. Алматы, 1995. 269 с.

59. Досумов С.Т. Обратная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Неклассические уравнения в частных производных. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1988. С. 121-125.

60. Дурдиев Р.К. К вопросу о корректности одной обратной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения // Сиб. мат. журнал. 1992. Т.ЗЗ, № 3. С. 69-77.

61. Елдесбай Т.Ж. Одномерные обратные задачи для вырождающихся эволюционных уравнений смешанного типа. Алматы: "ГЫЛЫМ", 2003. 209 с.

62. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному // Известия АН СССР. 1956. Т.20, № 6. С. 793—818.

63. Иванов В. К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала. // Доклады АН СССР. 1962. Т. 142, № 5. С. 998-1000.

64. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сборник. 1963. Т.61, № 2. С. 211-223.

65. Исаков В.М. О единственности решения некоорых обратных гиперболических задач // Дифференциальные уравнения. 1974. Т.10, № 1, С. 165167.

66. Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск: НГУ, 2001. 315 с.

67. Кабанихин С.И., Романов В.Г. и др. Обратные задачи электродинамики / Под ред. М.М.Лаврентьева. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. 201 с.

68. Кабанихин С.И. О нелинейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Доклады АН СССР. 1989. Т.309, № 4. С. 791-795.

69. Кабанихин С.И. О разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР. 1984. Т.277, № 4. С. 788-791

70. Калинина Е.А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии // Дальневосточный математический журнал. 2004. Т.5, № 1. С. 89-99.

71. Клибанов М.В. Об одной задаче дифракции // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, № 10. С. 1777-1783.

72. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журнал вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т.44, № 4. С. 694716.

73. Кожанов А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Математические заметки. 2004. Т.76, № 6. С. 840-853.

74. Кожанов А.И. Обратная задача определения коэффициента поглощения в одномерном уравнении нелинейной диффузии // Математические заметки ЯГУ. 2008. Т.15, Вып. 2. С. 31-47.

75. Кожанов А.И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т.8, Вып.З. С. 81-99.

76. Кожанов А.И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения // Доклады РАН. 2006. Т.409, № 6. С. 740-743.

77. Кулиев М.А. Многомерная обратная краевая задача для линейного гиперболического уравнения в ограниченной области // Дифференциальные уравнения. 2002, Т.38, № 1. С. 98-101.

78. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1962.

79. Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1999.

80. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

81. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

82. Максудов Р.З. Необходимые и достаточные условия разрешимости многомерной обратной задачи для гиперболического уравнения // Неклассические уравнения в частных производных. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1988. С. 69-77.

83. Намазов Г.К. Мамедова Дж.А. Задача определения неизвестного коэффициента и свободного члена гиперболического уравнения второго порядка при нелокальном краевом условии // Вестник Бакинского университета. Серия: физ-мат. 2004. № 2. С. 5-12.

84. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

85. Орловский Д.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, № 9. С. 1614-1621.

86. Орловский Д.Г. К задаче определения правой части гиперболической системы дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19, № 8. С. 1437-1445.

87. Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25, № 6. С. 1000-1009.

88. Орловский Д.Г. Об обратной задаче для уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1991. Т.27, № 10. С. 1771-1778.

89. Орловский Д.Г. Обратная задача Коши для линейных гиперболических систем // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, № 1. С. 98-104.

90. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса) // Матем. заметки. 1973. Т.14, № 5. С. 755-767.

91. Пятков С.Г. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 4. С. 187— 202.

92. Райхель Б.З. Об одной обратной задаче для уравнения гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, № 8/2. С. 14621464.

93. Романов В.Г., Лавреньтев М.М. и др. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 267 с.

94. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. М.: Наука. 1969. 195 с.

95. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / Под ред М.М. Лаврентьева. Новосибирск: Наука, 1972. 163 с.

96. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. 152 с.

97. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука. 1984. 264 с.

98. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2005.

99. Саватеев Е.Г. О редукции одной обратной задачи для уравнения гиперболического типа // Доклады РАН, 1994. Т.334, № 5, С. 562-563.

100. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Васильев В.И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Математическое моделирование. 1997. Т.9, № 5. С. 119-127.

101. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

102. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. // Доклады АН СССР. 1963. Т.151, № 3. С. 501—504.

103. Тихонов А.Н. Регуляризация некорректно поставленных задач. // Доклады АН СССР. 1963. Т.153, № 1. С. 49-52.

104. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

105. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

106. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

107. Щеглов А.Ю. Приближенное решение обратной коэффициентной задачи для квазилинейного уравнения гиперболического типа // Вестник МГУ. Серия 15. 2004. № 2. С. 13-19.

108. Якубов С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: ЭЛМ, 1985. 220 с.

109. Павлов С.С. Исследование обратной задачи восстановления плотностей источников одномерного волнового уравнения / Павлов С.С. // Математические заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, Вып. 1. С. 93-99.

110. Павлов С.С. Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением / Павлов С.С. // Математические заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, Вып.1. С. 8193.

111. Павлов С.С. Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением / Павлов С.С. // Математические заметки ЯГУ. 2011. Т. 19, Вып.2. С. 128-154.

112. Павлов С.С. Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении / Павлов С.С. // Вестник Челябинского государственного университета. Математика, Механика, Информатика, 2011. Вып.13. С. 27-37.и