Некоторые численные методы решения дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

р Г Б ОД

2 3 01а 1095

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. АЛЬ-ФАРАБИ

на правах рукописи

Утемаганбехов Зинепкали Сисенгал';евич

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01. 01.07. - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Алматы - 1995

Работа выполнена в Институте прикладной математики HAH и МО PK

Научные руководители:

доктор физико- математических наук профессор М. О. Отелбаев, доктор физико-математических наук, профессор Ш. С. См агулов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. Ф. Воеводин, кандидат физико-математических наук, доцент С. А. Атанбаев.

Ведущая организация:

Институт прикладной математики HAH PK

Защита состоится "_" _ 1995 г. в

часов

на заседании специализированного совета К 14/А. 01. 05.

при Казахском Государственном Университете им. Аль-Фараби, на механико-математическом факультете:

Автореферат разослан "_"_ 1995 г.

Ученый секретарь

специализированного совета К 14/А. 01. 05. к.ф.м.н., доцент Б.М.Кадыкенов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

К краевым задачам для дифференциальных уравнений сводятся многие математические и физические задачи. Как известно, аналитические способы исследования тех или иных свойств дифференциальных уравнений не всегда дает достаточно полный ответ на поставленный вопрос. Поэтому для решения дифференциальных уравнений часто прибегают методам численного решения. С целью решения этих задач на электронно вычислительных машинах их приближенно заменяют разностными схемами. Одним из таких задач является следующая краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка заданного на отрезке [ О, 1]

f(o J - Л (с) - &

y(l) - t, ('/) = (3)

где и -f (t) непрерывные функции на

данном отрезке, а числа U с d м и ~

действительные, Эта задача помимо самостоятельного значения представляет интерес как модель эллиптической задачи. На задаче (1) - (3) часто испробываются новые методы численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений с краевыми условиями

При замене вышеуказанного уравнения разностной схемой возникает ; трехдиоганадьная система для решения которого применяется метод прогонки. Метод прогонки представляет собой » метод исключения Гаусса , примененный к- специальным системам линейных алгебраических уравнений и учитывающий ленточную -структуру матрицы системы. Метод прогонки для краевой задачи (1) й-(3)-> численно устойчив, если Собственные числа* соответствующей спектральной задачи положительны. Мы = хотим предложить небольшую модернизацию метода прогонки которая годна и в тех случаях, когда среди последовательности собственных чисел

соответствующей спектральной задачи имеются отрицательные.

Целью настоящей диссертации является изложит новые численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений типа (1) - (3) а именно: те методы которые были бы устойчивым для любых непрерывных коэффициентов данного уравнения при условии, что существует и единственно решения данного уравнения.

Научная новизна. Предлагаются новые численные численные методы решения дифференциальных уравнений которые позволяют узнать информацию о существований и единственности решения данного уравнения и при этом, если получен положительный ответ, то предлагаются рекуррентные формулы для численного решения, при условии, что коэффициенты данного уравнения являются непрерывными на отрезке функциями.

Практическая и теоретическая ценность . Работа носит теоретический и прикладной характер.

Полученные результаты могут быть использованы при численном решений краевых задач и задачи Коши для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах под руководством член - корр. HAH PK М. О. Отелбаева и академика ИА PK Ш. С. Смагз'лова на семинаре "Вычислительная гидродинамика" под руководством д.ф.м.н. Джакупова в КазГУ им. Аль - Фараби , на научных семинарах КарГУ, ИПМ в г, Караганде.

Публикации. Материалы диссертации

опубликованы в работах: [1] - [б].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, и списка литературы, содержащего 25 наименований.

Краткое содержание работы. В введении после краткого обзора литературы сформулированы основные результаты работы и указана взаимосвязь с работами других авторов. Глава один состоит из трех параграфов в ней исследуются некоторые численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.

С точки зрения математика - программиста методы расчета должны допускать достаточно простую реализацию на электронно вычислительных машинах. В связи с этим уместно процитировать здесь одно из высказываний известного специалиста по вычислительной математике К. И. Бабенко: "Наиболее универсальными и популярными методами решения дифференциальных задач является конечно - разностные методы. Простые идей, лежащие их основе, позволяют написать теоретически удовлетворительный алгоритм для расчета любой задачи. Однако простата это обманчива, и опыт решения краевых

задач показывает, что она отражает лишь бедность теории вычислительных методов, а несущество проблемы... В настоящее время ясно лишь одно - примитивная замена пройзвводных конечными разностями, без анализа и учёта специфических свойств конкретного класса задач не может привести к успеху".

В связи с этим, в данной работе была предпринята попытка всячески избежать замены производных конечными разностными выражениями, где это возможно. Кратко опишем этот подход для дифференциальной краевой задачи второго порядка.

На одном из отрезков обе части данного

уравнение умножим на некоторую линейную функцию

Я ■■=. I * си ( I -

и проинтегрируем его по частям по указанному отрезку, и принимая во внимание разложение в ряд Тейлора функции

У в точке Ул-1 . получим некоторое выражение относительно значений искомой функций и ее производной на концах отрезка и интегралов от коэффициентов данного уравнение. При надлежащем выборе чисел ¿¿^ , после несложных арифметических действий от полученного выражение можно вывести рекуррентные формулы для нахождения значения искомой функций и ее производной на узлах разбиения ( подробнее, см. [ гл. 1 .. параграф 3]).

В главе 1 излагаются способы устранения неустойчивости при численном решении следующей краевой задачи для дифференциального уравнения второго

порядка заданного на отрезке [0, 1]

=

-'Лу60 = ^

- ¿1 у0) =

где ^(ь) и непрерывные функции на данном отрезке, а числа / -действительные.

Как известно, при трехточечной аппроксимации задач типа (1) - (3), а также при реализации разностных схем для уравнений частных производных возникает

трехдиоганальная система - ^

при решении которого широко применяется метод прогонки, представляющий собой метод исключения Гаусса использующий ленточную структуру матрицы системы. Метод прогонки, впервые был изложен в открытой печати в 1953 году И. А. Геяьфандом и О. В. Локуциевским в работе " метод прогонки для решения разностных уравнении". Затем этот метод и его различные модификаций применительно к задачам разного характера был исследован многими авторами, как : Н. С. Бахвалов, А. Ф. Воеводин, В. В. Огнева, А. А. Абрамов, С. К. Годунов, и многими другими.

Известно, что метод прогонки является численно устойчивым, если матрица вышеуказанной системы обладает свойством диоганального преобладания. Это свойство будет иметь место, если в уравнен (I) коэффициент положителен, то есть метод прогонки

устойчив для задачи (1) если . Даже в случае, когда

, можно привести пример такой краевой задачи для которого метод прогонки неустойчив, а следовательно,

неприменим. В первом параграфе главы 1 рассматривается один из способов устранения неустойчивости сводящиеся к тому, что с помощью надлежащей замены функции являющиеся решением уравнение Рикатти, на обратную функцию начиная с той точки отрезка, где она начинает неограниченно растя. А уравнение Рикатти возникает при "факторизации" краевой задачи (1) - (3).

Во втором параграфе предлагается другой способ устранения неустойчивости заключающиеся в том, что сначала численно решается уравнение Рикатти, после чего полученные значения сглаживаются с помощью сплайнов и более точное решение ищется в виде

где - функция полученная после сглаживания, искомая, д - шаг сетки. После подстановки этого выражения в уравнение Рикатти можно получить линейное уравнение первого порядка на искомую функцию, которое интегрируемая в квадратурах. Оказывается, повторяя эту процедуру несколько раз можно добиться требуемой точности н устойчивости процесса. При этом надо заметить, что численное решение уравнение Рикатти и операция сглаживания полученных значений требуется лишь один раз, в самом начале процесса.

В третьем параграфе первой главы рассматривается еще один устойчивый численный метод для краевой задачи (1) - (3) второго порядка точности, которую можно применить и в случае, когда коэффициенты уравнения принадлежат к классу суммируемых функций, при условий, что решение данной задачи существует единственно. Здесь же была предпринята попытка по возможности, избежать прямой замены и конечными разностями. Приведены

следующие рекуррентные формулы к численной реализаци и доказано теорема устойчивости данного метода.

Пусть дана краевая задача (1) - (3) на отрезке [0, 1 ),

где %(t), tli)e ijt ¿c, ¿i, ¡V ^ e

Разделим отрезок [0, 1 ] HaN равных частей. Обозначим

к - /</'H(ih i <г у где - ¡t-k. - узлы разбиения.

й- = <3 ¿a,... И/-/, Введем числа й ^ и которые вычисляются по следующим рекуррентным формулам:

H-L-Q-b-s V» 1

ь

í^_. J-, .Л (5)

^ -.

и-иа*.

до тех пор, пока выполняется условие

* О (6)

для любого - ¿, £ ____ Д/'Л А/.

Как видно из формулы (4) условие (6) выполняется, если

^ Cf) Лг ¿ 6\ L ¿

jL

1). Пусть г

> о

В этом случае для численного решения уравнения (1) с краевыми условиями (2) - И) следующая рекуррентная формула с точностью 0(1^)

где ^ = ¿Л-^

а производная отрешения, при необходимости, может быть вычислена по формуле

1 ! т-

= (8) 2). Пусть теперь условие

о

нарушено. Предположим, что ^ такое наименьшее натуральное число для которого а^ </.Тогда остановим вычисления на - - ом шаге и в формуле (4) заменим числом

П Ыс ( + I

( + 1и (Ыь! г1)

а в формуле (5) выражение для а)~й 0 заменим ыражением гдс , % *

^-утп:* ^ги о

здесь ^х следующий после ^ номер, такой, что С1ц<0 Числа ¿¿^ определяются следующим образом *

^ - \-md b к-—гг*—, по)

Дальнейшие вычисления проводятся по следующим формулам:

Л ^ - а~ (п)

У = (12)

Далее, на - ом шаге либо О, либо 0. Пусть

для определенности <£ £ . Тогда.остановим вычисления на ^ - - ом шаге и в формуле (9) подсчет начнем с

а в формуле (10) с х

V" [¡лг^а^г^г')

Далее, по формулам (9) - (10) получаем значения ^ и и а формул^ 11) - (12) дают искомые значения функций

%> -- "л'*--*

Допустим теперь, что на шаге Сь^ -¿.О .Тогда

остановим вычисления на шаге ив формуле (9)

подсчет начнем с а в формуле (10) с выражения

Далее, используя формулы (9) - (10) получим значения

% ¡г = ^ ^ ■ -

Следует отметить, что если , то в формулах (4)

- (5) подсчет начинается с чисел

/ ---3-

■Л. ¿-ъ

где (Я^ - +1

По этим же формулам решим однородное уравнение

с начальным условием *

№ -=1 ,

Тогда решением краевой задачи (1) -(3) будет где ~ ,

А - (?0)-*>1С*>),

1(1]'

Заметим, что при реализации численных методов описанных впервой главе, нет необходимости обладать предварительной информацией о существовании и единственности решения данной краевой задачи, так как, эти методы дают возможность выяснить это по ходу реализации численного процесса.

Глава 2 состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения второго порядка следующего вида:

заданная на отрезке [ О, I]. Где Ч'Ш)

неотрицательная дважды непрерывно дифференцируемая функция по всем аргументам, а ^(ь) - непрерывная функция на заданном отрезке, числа Ж и положительные,

причем р 2 сС ■ Приведены рекуррентные формулы для численного решения и доказано теорема устойчивости предлагаемого метода.

у о) - оС

а

Ч--1

г

h

Гк-------

l + И ¿h.

U

•■с. Г ъ

и-1 \±ii)ib ^ = -—у^--■ = f

" »г - . " ' г

я = i .. -.^-А и/

Если перейдем к пределу в вышеуказанных формулах при

то получим следующую задачу Кощи для системы уравнений первого порядка:

a1 ti, fu fdù^p, fu f(*>> -a2(t,p!,fít))

Lio) =

»

¿А ?(>/, |'Хг)) - - Ш, р). ^¡Ыь^Ш,

= + ^у

Второй параграф второй главы посвящается вопросу приближенного решения одного класса решения абстрактных нелинейных операторных уравнений заданных в банаховом просторанстве. Один из эффективно применяемых и хорошо известных методов для решения таких уравнений является метод Ньютона - Канторовича, представляющий собой один из вариантов метода последовательных приближений. Исследованию этого метода посвящена многочисленная литература.

Один из наиболее сложных задач при приближенном решении абстрактных нелинейных уравнений является выбор достаточно близкого к решению уравнения начального приближения . Часто удается применить

метод случайного выбора. Во многих случаях уравнение заменяют "близким" и решение этого близкого уравнение рассматривают как начальное приближение . Общие

рецепты приемлемых начальных приближений, конечно не могут быть даны. Однако могут быть описаны приемы, применимые при решении широких классов уравнений ( см,

по этому поводу, например, книгу JI, В. Канторовича и Г. П. Акилова ).

Пусть задано нелинейное уравнение

fil ^ О (13)

где нелинейный оператор определен на всем банаховом просторанстве и действует из H в H. Будем считать, дифференцируемый по Фреше оператор.

Допустим, что (n(ti]Z(u<z /V, l) - такой

оператор со значениями в Н, что .

Fu. ЫеН)

и что уравнение

СгЫ;о) = о f

имеет очевидное решение М-с, . Оператор v* ( U :<1) может быть определен, например, равенством

(h (и; Л ) - rzt-Cl -Я \Fuix,

Рассмотрим уравнение

С* (и: Л) - О (И)

Допустим, что это уравнение имеет непрерывное решение U- ~ ъс- Cl) определенное при О Я 1 и

удовлетворяющее условию

uÇo) = (15)

Если бы решение ¿¿Отбыло известно, то формула

и.* -

дала бы решение уравнение (13). Поэтому для отыскания точки IL о близкой к 'IL* достаточно приближенно найти

и(2)

Мы пришли к задаче о приближенном построении неявной функции, определенной уравнением (14) и начальным условием (15). Теория неявных функций в настоящее время развито недостаточно.

Отметим что, вышеописанный подход к решению нелинейных уравнений носит название метода продолжения по параметру и восходит к С. Н. Бсрнштейну:

этот метод широко применяется в различных г теоретических и прикладных вопросах. „ , .

В настоящей работе рассмотрен способ представляющий собой, один из разновидностей метода продолжения по; параметру, и в частном случае, совпадающий методом Ньютона - Канторовича. Есть основание считать, что. может быть, рассматриваемый метод разумнее использовать для нахождения начального приближения при решении нелинейных операторных уравнений.

Основные результаты диссертации опублшсовны в работах:

1. Отслбаев М.О., Утемаганбетов 3. С., Об одном численном методе для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Вестник HAH РК.. 1995.

2. Отелбаев М.О.,Утемаганбетов З.С., Булеева М. О.,

О приближенном решении одного класса нелинейных уравнений. Известия HAH РК 1995.

3. Otelbiev М. О., Utemaganbetov Z, С., On. a numerical method of solution boundary value problem for differaitial equation. ДАН РК, 1995., № 3.

4. Утемаганбетов 3. С., Об одном численном методе для краевых задач второго порядка. Новые исследования в вычислительной и прикладной математике., Сборник научных трудов (межвузовский). Кар -да. 1993.

5. Утемаганбетов 3. С., Об одном численном методе для нелинейного уравнения второго порядка. Актуальные вопросы методики и преподавания математики.Сборник научных трудов (межвузовский) Кар-да. ¡995.

6 Утемаганбетов 3. С., О численном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка. Опубликован в БУ. "Депонированные в КазГосИНТИ научные работы". - Алматы., 1995, выпуск 2.