Некоторые численные методы решения дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

г ^

? V О ^

На правах рукописи

~ Г* ' ' ' . I .'•)

УТЕМАГАНБЕТОВ ЗИНЕПКАЛИ СИСЕНГАЛИЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07. - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

АЛ МАТЫ, 1997 г.

Работа выполнена в : Казахском Государственном Национальном университете им. Аль-Фараби

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор Ы.О.Отелбаев,

доктор физико-математических наук,

профессор Ш.С.Смагулов.

доктор физико-математических чаук,

профессор А.Ф.Воеводин,

кандидат физико-математических наук,

доцент Б.Р.Рысбаев.

Карагандиский государственный

университет им. Е.Букетова.

Защита состоится " " 1997 г. в часов

на заседании дассертационнного совета при Казахском государственном Национальном университете им. Аль-Фараби, г.Алматы, ул. Масанчи 39/47

С диссертацией можно ознокомитЬся в библиотеке КазГУ им. Аль-Фараби

Автореферат разослан " " 1997 г.

Учений секретарь

диссертационного совета //(^с (X Нысанбаева С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теш.

К краевым задачам для дифференциальных уравнений сводятся многие математические и физические задачи. Как известно, аналитические способы исследования тех или иных свойств дифференциальных уравнений не всегда дают достаточно полный ответ на поставленный вопрос. Поэтому для решения дифференциальных уравнений часто прибегают к методам численного решения. С целью решения этих задач на электронно-вычислительных. машинах их приближенно заменяют разностными схемами. Такой подход не всегда приводит к желательному результату. Поскольку существующие- методы решения дифференциальных уравнений нэ всегда- ответчает необходимым требованиям, разработка и исследования новых методов решения тех или иных задач является актуальной проблемой. Такая проблема существует и для дифференциальных уравнений второго порядка которая помимо самостоятельного значения представляет интерес как модель эллиптической задачи. На такой краевой задаче часто испытываются новые методы численного решения краевых' задач для дифференциальных уравнений с краевыми условиями.

Целью настоящей диссертации является изложение новых численных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка канонического типа , а тленно тех методов, которые были бы устойчивыми если, даже коэффициенты данного уравнения являются разрывными функциями. При этом, по ходу численного решения метод должань давать информацию

о существований и единственности решение данного уравнения.

Научная новизна, работы состоит в разработке и исследовании новых численных методов и алгоритмов для решения дифференциальных уравнеий. В частности:

предлагается аналитико-численный способ устранения неустойчивости возникающий при численном решений краевых задач методом прогонки дифференциальных уравнений второго порядка;

предлагается один способ повышения точности численного решения дифференциальных уравнений;

приводится алгоритм для численного решения . краевых задач для дифференциальных уравнеий второго порядка при определенных условиях на коэфициенты уравнения.

приводится приближенный метод решения для одного класса абстрактных операторных уравнений.

предлагается способ численных решений для задач с начальными данными нелинейного дифференциального уравнения второго порядка при определенных условиях на коэффициенты уравнения.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический и прикладной характер. Основные результаты получены в соответствии с планом " Экономичные численные метода газовой динамики и . гидродинамики" с гсс. рвг.Л 01Э6РК00001, инв. ЖКЭбРКОООЗ, 1995г. ), научно-исследовательских работ кафедры вычислительной математики и компьютерной технологий КазГУ им. Аль-Фараби и имеет достаточную практическую ценность. Результаты могут быть

использованы при численном решений краевых задач и задачи Ноши для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах под руководством член - корр. НАН РК М. 0. Отелбаева й академика ИА РК Ш. 0. Смагулова в на семинаре "Вычислительная гидродинамика" под руководством д.ф.м.н. Джакупова в КазГУ им. Аль-Фараби, на науных семинарах' КарГУ, НИМ в г. Караганда, в ВЦ СО РАН в г. Новосибирск.

Публикации. Материалы диссертации оплубикованы в работах: Ш - 171.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 44 наименований.

Краткое содержание работы. Во введении после краткого обзора литературы сформулированы основные результаты работы и указана взаимосвязь с работами других авторов. Глава один состоит из трех параграфов, в ней исследуются некоторые численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.

О точки зрения математика-программиста методы расчета долины допускать достаточно простую реализацию на электронно-вычислительных машинах. В связи с этим уместно процитировать здесь одно из высказываний известного специалиста по вычислительной математике К.- И. Бабенко ! "Наиболее универсальными и популярными методами решения дифференциальных задач является конечно - разносите методы. Простые идеи, лежащие в их основе, позволяют написать теоретически удовлетворительный алгоритм для расчета любой

задачи. Однако простота это обманчива, и опыт решения слошшх задач показывет, что она отражает лишь бедность теории вычислительных методов, а не существо проблемы... В настоящее время ясно одно - примитивная замена производных конечными разностями, без анализа и учета специфических свойств конкретного класса задач нэ может привести к успеху".

В связи с этим, в данной работе была предпринята попытка всячески избежать замены производных конечными разностными выражениями, где это возможно. Кратко опишем этот подход для дифференциальной краевой задачи второго порядка.

На одном из отрезков [ ^.7, обе части данного

уравнения умножим на, некоторую линейную функцию В= 1 + а а -

и проинтегрируем его по частям по указанному отрезку. Принимая во внимание разложение по фэрмуле Тейлора функции у в точке у . получим некоторое выражение относительно значений искомой функции и ее производной на концах отрезка и интегралов от коэффициентов данного уравнения. При надлежащем выборе чисел , после несложных арифметических действий из полученного выражения можно вывести рекуррентные формулы для нахождения значения искомой функции и ее производной в узлах разбиения ( подробнее, см. [гл. I., параграф 3]).

Как известно, при трехточечной аппроксимации краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго

порядка, а также при реализации разностных схем для уравнений в частных производных возникает трехдиагональнвя система °оУо-ъ0у0= /0. 1-0. (1)

-а У^ + вх у.- Ь у.г1 = /. 1 < I < N - 1. (2)

Уы + ч, и, = £ • 1 = ^

при решении которой широко применяется метод прогонки, представляющий собой метод исключения Гаусса и использующий ленточную структуру матрицы системы. Метод прогонки, впервые был изложен в открытой печати в 1953 году И. М. Гельфандом и 0. В.Локуциввским в работе "Метод прогонки для решения разностных уравнений". Затем этот метод и его различные модификации применительно к задачам разного характера был исследован многими авторами, такими как: Н. 0. Бахвалов., А. Ф. Боеводата., Ильин., Ю. И. Кузнецов., В. В. Огнева., А. А. Абрамов., В. Б. Андреев., С. К. Годунов и другими.

Известно, что метод прогонки является численно устойчивым, если матрица системы (1) - (3) обладает свойством диагонального преобладания. Это свойство будет иметь место, если в уравнении (4) коэффициент да) при уа) положителен, и при некоторых определенных ограничениях на краевые условия. Даже в случае, когда ца) = О, устойчивость счета по прогоночйым формулам зависит от вида краевых условий и можно привести пример,такой краевой задачи, для которого метод прогонки неустойчив, а следовательно не приме гам.

Трехдиагональная система (1) - (3) возникает при

решении задачи типа

У"(t) - q(t)y(t) = /(t), tí ( О, 1 }. (4)

5 у '(О) - а у(0) = § (5)

ООО

Qy '(1) - ау(1) = р (б)

i it

где q(t) и /ftJ, непрерывные функции на данном отрезке, а числа Q , Q ,а ,а ,р ,(3 - действительные. Эта краевая задача

О 1 О I О 1

помимо самостоятельного значения представляет интерес как модель эллиптической задачи. На задаче (4) - (6) часто испытываются новые методы численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений с краевыми условиями.

Метод прогонки придуман для разностных операторов. Мы не ведем речь о дифференциальном операторе. Дело в том, что имея аналог метода прогонки для дифференциального оператора, можно перейти к разностным уравнениям.

Непрерывным аналогом метода прогонки является сведение краевой задачи (4) - (б), в том случае, когда числа ôo, ô4 отличны от нуля, к следующей задаче Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка '

а'( t) =- c?(t) + q(t) (7)

v (t) = - 'a(t) v(t) + f(t) (S)

y'fU= a(t)y(t) + v(t) (9)

a(O) = a / eo (9)

о

u(o; = p/,s0 no)

P4/V V(1)

УС 1) = --(11)

a(1} - a,/ Qt

при условии, что a( / ) * a.J Если продифференцируем

уравнение (9) и воспользуемся предыдущими двумя уравнениями,

то получим уравнение исходнщй краевой задачи. Мы полагаем,

что мокем решить уравнение Рикатти каким - нибудь устойчивым

численным методом для решения задачи Коши. Заметим, что

последнее уравнение этой система интегрируется слева направо.

Как видно из этой системы, уравнения (8) - (9) являются

линейными уравнениями первого порядка и интегрируется в

квадратурах, если известно решение первого уравнения,

которое является уравнением Рикатти. Такой подход носит

название метода простой факторизации и был предметом

исследовашш многих авторов (Гельфанд, Локуциевский [1953],

Марчук [19581, [19611, Ридли [19571). Он заключается в

сведении краевой задачи к таким задачам Коши, решения

которых образуют устойчивый численный процесс. Решение

уравнештя Рикатти мокет стать неограниченным даже тогда,

когда решение исходной краевой задачи существует и

единственно. Это обстаятельство вызывает неустойчивость и

является тем препятствием, которое возникает при

использовании метода прогонки. Эту не совсем благоприятную

ситуацию моязга обойти следующим способом.

G помоз1ью замены 1

a(t) =-----,

bit)

v(t)

b(t)

d(t)

(13)

y(t) = b(t)Z(t) - d(t). {U)

систему (7) - (11) можно переписать в виде

Ь (t) = 1 - q(t) b(t). (15)

d (t) = b(t)(f(t) - q(t)d(t)). (16)

Z (t) = q(t)((b(t)Z(t) - d(t)) + f(t). (17)

Пользуясь формулами (12) - (14) теперь можно организовывать прогонку для задачи. Действительно, выберем постоянное число- Со из эвристических соображений и далее, будем решать уравнения (7) - (8) до тех пор пока |a(tj| «Ов.

Пусть t±- наименьшее положительное число такое, что lait,;! = 0о.

При f = ti для функций a(t) и b(t) определим начальные значения из (12) и (14) к будем решать уравнения (15) - (16) до тех пор пока

\b(t)\ < С0. Пусть tz > tt наименьшее число, для которого !b(.i2)! = 0о.

Теперь решаем уравнения (7) - (8) определив начальные

-1 i~

значения для a(t) и v(t) из формул (12) и (13). Продолжая дальше, мы покроем данный отрезок отрезками

Г ta, у. г у у,........г tm_4, ÎJ , t0- о ,tn = J.

в каждом из которых, будут получены решения первых двух уравнений одной из выше приведенных систем. Теперь граничные условия на левом конце будут выполнятся автоматически, а на правом конце данного отрезка мы получим необходимое и достаточное условие существования и единственности решения задачи (4) - (6). Это следует, из того что последние два уравнения вышеуказанных, систем, как линейные дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемы в.квадратурах и у них существуют единственные решения. Поскольку мы полагаем, что уравнение Рикатти решено, то теорема существования и единственности будет иметь место, если обратима следующая матрица:

Г ъ

Если это условие будет выполнено, то на отрезках

«o.V.fW........

будем решать третье уравнение системы (7) - {11) и {15) - {17) соответственно. При этом начальные данные будем определять с помощью соотношений (12) - (14).

Теперь рассмотрим случай,, когда в задаче (4) - (6), числа 04= Qz= О. В этом случае задача сводится к следующей системе

a4t) = 1 - q(t) c?(t)

v'(t) = - a(t)(q(t)v(t) - fit))

aftJyVt) = yd) - v(t)

a(0) = 0.

o(0) = - p0/ ao.

yd) - ~

Если в какой - нис5удь точке отрезка решение первого уравнение системы обратиться в бесконечность, то с помощью замены

1 .

a(t) ------,

b(t)

act)

v(t) -------,

b(t) é

y(t) = zct)

рассматриваемую систему мокно переписать в виде b-Ct) = q(t) - b(t).

d '(t) =- f(t) - b(t)dCt).

z (t) = b(t)Z(t) - act)

и поступать точно также, как поступали выше.

Так мы получили еще один способ прогонки. Этот способ будет устойчив всегда, если для решаемой задачи имеет место теорема существования и единственности решения и уравнение Рикатти решено каким - нибудь устойчивым численным методом.

Во втором параграфе данной главы рассматривается один способ повышения точности, заключающийся в том, что сначала исходная краевая задача с помощь» факторизации

сводится к системе уравнений первого порядка, причем полученная система отличается от системы, которая получена в первом параграфе. Первое уравнение полученной системы является уравнением Рикатти, а остальные два линейными уравнениями первого порядка, которые интегрируемы в квадратурах. Способ повышения точности заключается в том, что сначала численно решается уравнение Рикатти с первым порядком точности Рикатти, после чего полученные значения сглаживаются с помощью сплайнов и более точное решение ищется в виде

= %(*) + Ъ

где %(t) - Функция, полученная после сглаживания, )

искомая, Ь - шаг сетки. После подстановки этого выражения в уравнение Рикатти можно получить линейное уравнение первого порядка для искомой функции, которое интегрируемо в квадратурах. Оказывается, повторяя эту процедуру несколько раз можно добиться требуемой точности и устойчивости процесса. При этом надо заметить, что численное решение уравнения Рикатти и операция сглакавашя полученных, значений требуется лишь один раз, в самом начале процесса.

В третьем параграфе первой главы рассматривается еще один ' численный метод, который является устойчивым, в случае, когда 4(1.) > О, и ао ^ О . Это метод второго порядка точности. Заметим, что данный метод можно применить и в случае, когда коэффициенты уравнения принадлежат к классу ограниченных измеримых функций, при условии, что решение данной задачи существует и единственно. Здесь ке была предпринята попытка по возможности, избежать прямой замены

производнай конечными разностями. Приведены готовые

рекуррентные формулы к численной реализации и доказана

теорема устойчивости данного метода.

Пусть дана краевая задача (4) - (6) на отрезке 10,11,

где q(t), f(t) € G[0,11 , ао, at, Р0, §t € R = (-«,+«>). Разделим отрезок 10,11 на N равных частей. После чего, обозначим h = 2Г1 , y(t ) = у , где t = rih узлы

w П Г» Т"»

разбиения, п = 0,1,2,____N-1.N.

Введем числа ап и и , которые вычисляются по

следующим формулам t

a . -

a = — + г q(t) at , a = -—. t

h

4,-, - i W dt

Vn-L-i--, . Po.

1 + ha

n

до тех пор, пока выполняется условие

a » О. для любого ГС = 7.2, N.

Как видно из формулы (18) условие (19) выполняется, если t

1

, X q(t)dt > О. и h < -Т

Г1-1

В этом случае для численного решения уравнения (4) с

с краевыми условиями (5) - (б) справедливы следующие рекуррентные формулы с точностью 0(Тт.2).

и + им)

!/ = - ,

N ам - а4(Т + Пам)

у - /ги

** П Г»

7 +

где п = N. N-1, 1, а производная от решения, при необходимости, монет быть вычислена по формуле

а

! Г\

у = и + - у .

Ип п 1 + ла п

Г1

а - №. У-П 1. Заметим, что при реализации численных методов описанных в первой главе, нет необходимости обладать предварительной информацией о существовании и единственности решения данной задачи так, как эти методы дают возможность выяснить это по ходу реализации численного процесса.

Глава 2 состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассматривается задача Коши для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка следующего вида.

-га) + у(г),у = /(о

у(0) = а

у (0) = р ■

заданная на отрезке [0,1]. Где ),у'(*))

неотрицательная дважды непрерывно-дифференцируемая функция по всем аргументам, а /(¿:) - непрерывная функция на заданном

отрезке, числа аир положительные, причем р > а. Полагается, что решение данной задачи существует и единственно. Приведены рекуррентные формулы для численного решетя и доказана теорема устойчивости предлагаемого метода.

1

а. = - 4. у у' ) а --

г>-1

п=1,г.....

ь

п-1

4 . IV, П-* — П—» "Г .

1 + Ш . 1 - Л

П-1

п = 1,2.....

I

п

4,-1 -5 /<«>«

I

п-1

—; у = р - а,

1 + м

Г|

п =1,2, ...,N-1,11.

ч«-5 япл

и- =

1 + пь

и = 0 - Ла,

о ~

п = 1,2.......гм,гг.

у =

(и -и )(1+Ла )(1+№ )

Лп п/Л г» ' 4 п '

Ь - а

Г1 п

Уо = а!

П-1

-17-

П = 1,2,.....,W-1,N.

Ъ a (1+ta )- и а (1+hb )

nn' n ' n rt rt

у = - - -у' = p.

К ~ °n

П = 1,2 ,...N-1,N.

Если перейдем к пределу в вышеуказанных формулах при h*0, получим следующую задачу Коши для системы уравнений первого порядка

a'(t,y(t),y'(t))=q(t,yCt),y'(t)) ~ a(t,y{t),y'(t)); а(0)=1. b'(t,y(t),y'(t))=qf(t,y(t),y'(t)) - b2.(i,y(i),y' (t)); b(0)=1.

У (t,y(t),y (t)) = -/<t) - a(t,y(t),y' (t))y(i,y(t),y'(i)); u(0) = p-a

u'(t,y(t),y'(t)) = -/(t) - b(t,y<t),y'(t))u(t,y(t),y'(t)); u(0) = p

y'(t) = u(t,y(t),y' (t)) + &(t,y(t),y'(t))y(t); y'(0) = p.

u(t,y(t),y' (t)) - u(t,y,(t),y (t)) y(t) = -; y(0) = a.

b(t.y(i).y'«)> - a{t,y(t),y' (f))

Второй параграф второй главы посвящается вопросу приближенного решения одного класса решения абстрактных нелинейных операторных уравнений заданных в банаховом пространстве. Один из эффективно применяемых и хорошо известных методов для решения таких уравнении является метод Ньютона - Канторовича, представляющий собой один из вариантов метода последовательных приближений. Исследованию этого метода посвящена многочисленная литература.

Одной из наиболее сложных задач при приближенном решении абстрактных нелинейных уравнений является

выбор достаточно близкого к решению уравнения начального приближения ис. Часто удается применить метод случайного выбора. Во многих случаях уравнение заменяют "близким" и точное решение этого близкого уравнения рассматривают как начальное приближение ио. Общие рецепты приемлимых начальных приближении, конечно не могут быть даны. Однако могут быть описаны приёмы, применимые при решении широких классов уравнений ( см. по этому поводу, например, книгу Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова ).

Пусть задано нелинейное уравнение

Ри = О. (20)

где нелинейный оператор Р определен на всем банахово!, пространстве Н, и действует из Н в И. Будем считать, что Р дифференцируемый по Фреше оператор. Допустим, что в(и; X), ( и <е Н; О < X $ 1 ) - такой оператор со значениями в Я, что

в(и; 1) г Ри ' ( и € Я ;

и что уравнение

вСи; о; = о.

имеет очевидное решение ио. Оператор С(и; X) может быть определен, например, равенством

СГи; X) = Ш - (1 - к)Ри0, Рассмотрим уравнение

С(и.; X) = О. - (21)

Допустим, что уравнение (33) имеет непрерывное решение и = и(Х), определенное при. О ^ Л $ 1, и удовлетворяйте начальному условию

-19-

и(0) = ио. (22)

Если бы решение и(К) было известно, то формула

и" = и(1)

дала бы решение уравнение (33). Поэтому для отыскания точки ио, близкой к и*, достаточно приближенно найти и(к).

Ми пришли к задаче о приближенном построении неявной функции, определенной уравнением (33) и начальным условием (34). При этом важны нелокальные утверждения - тоеремы о неявной функции, определенной на всем отрезка. Теория неявных функций развита в настоящее время недостаточно.

Отметим что, вышеописанный подход'к решению нелинейных . уравнений носит название метода продолжения по параметру и восходит к С. Н. Бернштейну: этот метод широко применяется в различных теоретических и прикладных вопросах. В настоящей работе был рассмотрен метод, который представляет собой одну из модификаций метода продолжешя по параметру. Есть основание считать, что рассматривавши метод разумнее всего использовать для нахождения начального приближения при решении нелинейных операторных уравнение методом Ньютона - Канторовича.

Основнце результаты диссертации опубликованы в работах:

1 . Утемаганбетов В. 0., Об одном численном методе для

дифференциального уравнения второго порядка. // В кн.: Новые исследования в прикладной и вычислительной математике. ( Сборник научных трудов ), Караганда, 1993, ' с. 102 - 104.

2 . Утемаганбетов 3. С. Об одном численном методе для

нелинейного уравнения. // В кн.: Актуальные вопросы математики и методики преподования математики, (часть II) Алматы, 1995, с. 141 - 146.

3 . Утемаганбетов 3.0., Отелбаев М. 0. О численном методе

решения краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка. // В кн.: Актуальные вопросы математики и методики преподования математики, (часть II) Алматы, 1995, а. 147 - 152.

4 Утемаганбетов З.С., 0 методе факторизаций решения краевыз

задач для дифференциальных уравнений второго порядка. Вестник КазГУ сер. мат., мех-ка., инф-ка., 1997, Ш, с. 164-169.

5. Otelbayev М. 0., Utemaganbetov Z. С.. On a numerical numerical method of solution boundary value problem for

differential equation. ДАН. PK.JI3, 1995, с. 22-26. б . Отелбаев М.0.,Болеева М. 0., Утемаганбетов 3. С.,

О приближенном решении одного класса нелинейных уравнений. Известия Мин. Науки и АН РК сер. физ-мат.

1996, J8, о. 33-38. 7. Смагулов Ш. С., Утемаганбетов 5. С.,

Об одном численном методе для дифференциальных уравнения второго порядка., Материалы международной конференций

"Математические модели и численные методы махании

сплошных сред", Новосибирск, 1996.

^«■EPEHlWAJlbJPC TE№.VJEP51 CAN«. 9/lICnEU BEIIiy/IIli KERB IP MflAPbl.

9TEMAFAHBET0B 3HHEnKAJJH CHCEHFAJMYJM

By.n styMMCTa eKinmi perri cw3Mktwk mMepe h uh a .rrb .zrwK Te1uey.7rap.ai rene CH3HKTHK GMec onepaTopjibK TetMey.iepiHiK caiWHK BflicrepMeH memyiUK Keii<5 ip Kara JKOMapw KapacTkiptwran-Bya Bjicrepjtin Kefi(5i p xaraaRjiapzia caHjbK TYpaKTH oo.iiaii.iHjMrw KepceriJireH-

SOME METHODS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS SOLUTION.

UTEMAGANBETOV ZINEPKALI SISENGALIEVICH

In this work some methods of boundary problem solution for linear differential equations and for approximation of solution of nonlinear equations of operators are considered.