Некоторые числовые характеристики разрешимых групп и алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Разложение элементов свободной метабелевой группы в произведение примитивных элементов.

1.1. Определения примитивного элемента, примитивной ширины элемента, примитивной ширины группы.стр.

1.2. Разложение элементов свободной абелевой группы ранга п в произведение примитивных элементов.стр.

1.3. Разложение элементов коммутанта свободной метабелевой группы ранга 2 в произведение примитивных элементов.стр.

1.4. Разложение элементов свободной метабелевой группы ранга

2 в произведение примитивных элементов.стр.

1.5. Разложение элементов свободной метабелевой группы ранга п > 3 в произведение примитивных элементов.стр.

Глава 2. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени 2.

2.1. Понятие ширины вербальной подгруппы.стр.

2.2. Вычисление ширины квадрата свободной нильпотентной группы.стр.

2.3. Вычисление ширины произвольной степени свободной нильпотентной группы.стр.

Глава 3. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр.

3.1. Вычисление ширины квадрата свободной ассоциативной алгебры.стр.

3.2. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных и свободных ассоциативных нильпотентных алгебр.стр.

В настоящей диссертации изучаются свободные группы разрешимых многообразий, а именно, вычисляются некоторые их числовые характеристики. Так, например, оценена примитивная ширина свободной метабелевой группы и точно вычислена вербальная ширина произвольной степени свободной нильпотентной группы ступени 2 конечного ранга. Так же с помощью вычисления вербальной ширины квадрата свободной ассоциативной алгебры решен вопрос об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр.

Приведем основные результаты:

1. Произвольный элемент свободной метабелевой группы ранга п > 3 раскладывается в произведение не более четырех примитивных элементов. Произвольный элемент свободной метабелевой группы ранга 2 представим как произведение трех примитивных элементов, и эта оценка неулучшае-ма.

2. Ширина четных степеней свободной нильпотентной группы ранга п ступени 2 равна 2[п/2]+1. Ширина нечетных степеней свободной нильпотентной группы ранга п ступени

2 равна 1.

3. Ширина квадрата свободной ассоциативной алгебры ранга г над произвольным полем равна г. Следовательно, свободные ассоциативные алгебры различных конечных рангов элементарно не эквивалентны.

Перейдем теперь к более подробному обзору содержания диссертации.

Основной результат главы 1 - доказательство того, что примитивная ширина свободной метабелевой группы произвольного ранга конечна, и ее оценка.

В п. 1.1. вводятся понятия примитивного элемента, примитивной ширины элемента и примитивной ширины группы, свободной в некотором многообразии.

Пусть Рп - свободная группа ранга п. Тогда Сп = Оп{У) = Рп/У - свободная группа ранга п в многообразии групп, определенном множеством тождеств V.

Элемент д Е Сп называется примитивным тогда и только тогда, когда его можно включить в некоторую базу д = #1, д2,дп группы (7П. Примитивную ширину \д\рг элемента з 6 Сп определим как наименьшее число т такое, что д можно представить в виде произведения т примитивных элементов. Примитивная ширина |Сп|рг группы Сп есть число 8ирдеап\д\рг. Таким образом, можно говорить о конечной или бесконечной примитивной ширине данной относительно свободной группы.

В п.1.2. рассматриваются свободные абелевы группы Ап ранга п и доказывается

Предложение 1.1. Любой элемент с £ Ап,п > 2, представляется в виде произведения не более двух примитивных элементов.

В п. 1.3. рассматривается свободная метабелева группа М2 ранга 2 и доказывается

Предложение 1.2. Любой элемент из коммутанта свободной метабелевой группы М2 представим в виде произведения не более трех примитивных элементов.

В п. 1.4. аналогичное утверждение доказывается для произвольного элемента группы М^. Наконец, в п.1.5. рассматривается общий случай свободной метабелевой группы Мп ранга п > 3. Сначала доказывается

Предложение 1.5. Любой элемент и £ М'п,п > 3, представляется в виде произведения не более четырех примитивных элементов.

Затем

Предложение 1.6. Любой элемент и £ Мп,п > 3, можно представить в виде произведения не более четырех примитивных элементов.

Заметим, что существует элемент группы М2, не пред-ставимый в виде произведения двух примитивных элементов. Отсюда следует, что примитивная ширина группы М2 равна в точности 3.

Глава 2 посвящена вычислению точной ширины произвольной степени свободной нильпотентной группы ступени 2 конечного ранга.

В п.2.1. вводится понятие ширины вербальной подгруппы произвольной группы относительно некоторого слова т.

Пусть С - произвольная группа, тС - её вербальная подгруппа, определённая словом ио. Шириной ии{с1(д, ии) элемента д 6 и;С относительно слова т назовём наименьшее число I такое, что д представим как произведение I значений слов ,ш±1 в группе С. Определим ширину произвольного подмножества М С как wid(M, ии) = 8ирдем^г(1(д^).

Заметим, что гигс1(М, ъи) может быть бесконечной.

Понятие ширины вербальной подгруппы гиС идет от Ф.Холла. Термин "ширина", как и приведенное выше обозначение, ввел Ю.И.Мерзляков в [3] (см. также [4, §12]). Зарубежные авторы используют также термин "эллиптическая" для вербальных подгрупп конечной ширины и "параболическая" - для вербальных подгрупп бесконечной ширины.

Приведем основные известные результаты о ширине вербальных подгрупп.

Пусть Л обозначает многообразие всех абелевых групп, Як - многообразие всех нильпотентных групп ступени не выше к, V - класс всех полициклических групп и Т - класс всех конечных групп. Через СТ> обозначим произведение классов групп С жТ>, т.е. класс всех групп, являющихся расширениями групп из класса С с помощью групп из класса V. Через Л^ будем обозначать свободную нильпотентную группу ранга п ступени к, а через Мп - свободную метабелеву группу ранга п. Через (ж, у) обозначим коммутатор х~1у~1ху.

1. Ширина уо1(1(М'п, (х,у)) коммутанта свободной метабе-левой группы конечного ранга п конечна, а бесконечного ранга - бесконечна.

Первое утверждение фактически доказано А.И. Мальцевым в [5], второе следует из результатов работ [6, 7, 8].

2. Ширина произвольной вербальной подгруппы гиб* алгебраической группы матриц С конечна.

Это теорема Ю.И. Мерзлякова [3] ( см. также [4] ).

3. Если (7 £ ЛЯк - конечно порожденная группа, то любая ее вербальная подгруппа иоС имеет конечную ширину.

Этот результат принадлежит Строуду - ученику Ф. Холла, погибшему вскоре после защиты диссертации [9], в которой есть его доказательство. Оно известно специалистам. Основным утверждением в нем является теорема, которую можно найти в [10], согласно которой некоторый член нижнего центрального ряда группы С пересекается с ее центром по единице. Автора познакомил с теоремой Строуда профессор В.А. Романьков.

4. Если С 6 ЛС - конечно порожденная разрешимая группа, где С класс, в котором каждая конечно порожденная группа удовлетворяет условию максимальности для нормальных подгрупп, то ее коммутант С имеет конечную ширину относительно слова (х,у). По известной теореме Ф. Холла конечно порожденные группы из произведения АР удовлетворяют условию максимальности для нормальных подгрупп, поэтому приведенное утверждение в частности верно для ЛЛТ—групп.

Это теорема Ремтуллы [11].

5. Если С Е V или С Е - конечно порожденная группа, то любая ее вербальная подгруппа тС имеет конечную ширину.

Это теорема В.А. Романькова [12], в частном случае внеш-некоммутаторного слова ъи и полициклической группы О она доказана в работе [13].

6. Любая нетривиальная собственная вербальная подгруппа и>(7 свободного произведения групп С = А * Б, \А\ > 3, \В\ > 2, имеет бесконечную ширину.

Это хорошо известный результат Ремтуллы [14]. Аналогичные утверждения получены для некоторых НИ И—расширений В.Г. Бардаковым [15].

Приведенный список результатов далеко не полон. Данная глава, впрочем, направлена не на доказательство конечности или бесконечности ширины вербальной подгруппы, а на ее точное вычисление. Работ, в которых ширина точно вычисляется или оценивается, не так много. Отметим некоторые из них.

7. При п > 2 ии{(1{К2,{х,у)) = [п/2]; при к > 3

Кь (хтУ)) = п

Результат доказан Х.С. Алламбергеновым и В.А. Романь-ковым в [6] (см. также [7]). Отсюда кстати вытекает, что ширина коммутанта свободной нильпотентной группы бесконечного ранга бесконечна. К сожалению, в работе [6] не разобран случай п = 2, к = 3, закрытый в работе [16].

8. При п > 2 х, у)) = п.

Это теорема анонсирована X.С. Алламбергеновым [17] и полностью им доказана в его кандидатской диссертации. Она следует из результатов работы [16].

9.В работе [8] было только замечено, что п/2] < (х,у)) < п.

10. (М. АкЬауап-Ма1ауеп, А. Rhemtulla [16]).

Если С свободная нильпотентная-над-абелевой группа ранга п > 2, то wid(G/1 (х, у)) = п.

Основной результат главы 2 - теорема о вычислении ширины произвольной степени Ы1п2 свободной нильпотентной группы ступени 2 ранга п.

Теорема 2.1.

1) При п > 2, произвольном к > 1

2[п/2] + 1.

2) При любых п, к гт(1(Ы%+\х2к+1) = 1.

Вычисление вербальной ширины подгруппы - это наиболее трудный и принципиальный случай. Этому посвящен п.2.2. В начале этого пункта доказывается лемма 2.1, из которой следует, что все вычисления можно проводить относительно группы йп = ^2/^2(^2)2> чт0 значительно их упрощает.

Доказательство основного результата состоит из двух шагов. Шагом 1 доказывается, что wid(G'n^x2) = 2[п/2] + 1.

Шаг 2 - это доказательство равенства: уог^С^х2) = 2[п/2] + 1.

В п.2.3. рассматривается случай произвольной нечетной степени и произвольной четной степени.

В главе 3 дается ответ на вопрос И.В.Львова [19] (вопрос 2.78):

Верно ли, что свободные ассоциативные алгебры над полем конечных рангов т,п(т > п,п > 2) элементарно эквивалентны?

Ответ: Нет, не верно.

Ответ получен с использованием вычисления ширины квадрата А2 свободной ассоциативной алгебры Аг ранга г над произвольным полем.

Определим ширину гиг(1(В2) квадрата В2 произвольной ассоциативной алгебры В. Все значения слова V = г\х<1 в

В порождают подалгебру В2. Такая подалгебра называется вербальной относительно V. Произвольный элемент Ъ £ В2 можно записать в виде к

Ь = Ь^, Ь{, С^ е В (3.1) г=1

Шириной и)1(1(Ъ) элемента Ъ назовем минимальное количество слагаемых в представлении вида (3.1). Шириной шгд{В2) квадрата В2 алгебры В назовем зир})£в2и]^(Ь).

Вначале доказывается

Теорема 3.1. Ширина квадрата ъи{с1(А2) свободной ассоциативной алгебры Аг ранга г над произвольным полем равна г.

В п.3.2. доказывается

Лемма 3.1. Допустим, ассоциативные алгебры В ж С таковы, что ио1й(В2) ф ъ)%А{С2). Тогда ТНВ ф ТИС.

Отсюда следует отрицательный ответ на упомянутый вопрос И.В.Львова.

Следствие 3.1. Свободные ассоциативные алгебры различных конечных рангов над произвольным полем элементарно не эквивалентны.

Аналогично доказывается утверждение о несовпадении теорий неабелевых нильпотентных свободных ассоциативных алгебр разных конечных рангов.

1. Bachmuth S. Automorphisms of free metabelian groups // Trans.Amer.Math.Soc. 1965. V.118. P. 93104.

2. Линд он Р.,Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

3. Мерзляков Ю.И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп// Алгебра и логика. 1967, Т.6, т. С. 83-94.

4. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы, 2-е изд. М.: Наука, 1987.

5. Мальцев А.И. О свободных разрешимых груп-пах//Докл. АН СССР. 1960, №130. С. 495-498.

6. Алламбергенов Х.С., Романьков В.А. О произведениях коммутаторов в группах// Сиб. мат. журн., 1985. Деп. в ВИНИТИ. 4566-85 Деп. 19с.

7. Алламбергенов Х.С., Романьков В.А. О произведениях коммутаторов в группах// Докл. АН Уз ССР. 1981. Т.4. С. 14-15.

8. Bavard С., Meighiez G. Commutateurs dans les groupes metabeliens// Indag. Math. New Ser. 1992. V.3, №. P. 129-135.

9. Stroud P. Thesis. Cambridge, 1966.

10. Robinson D. A course in the theory of groups. New York- Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1982.

11. Rhemtulla A.H. Commutators of certain finitely generated soluble groups//Canad. J. Math. 1969. V.21. P. 1160-1164.

12. Романьков В.А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп// Алгебра и логика. 1982. Т. 21, №1. С. 60-72.

13. Wilson J. On outer-commutator words// Canad. J. Math. 1974. V. 26, №3. P. 608-620.

14. Rhemtulla A.H. A problem of bounded expessibility in free products//Proc.Cambridge Phil. Soc. 1968. V.64, №3. P. 573-584.

15. Бардаков В.Г. Ширина вербальных подгрупп некоторых HNN-расширений. Препринт №9. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1995.

16. Akhavan-Malayeri M., Rhemtulla A.H. Commutator length of abelian-by-nilpotent groups// Glasgow Math. J. 1998. V.40, №1. P. 117-121.

17. Алламбергенов X.C. О ширине коммутанта свободной метабелевой группы// 10-й Всесоюзный симп. по теории групп: Тезисы докл. Минск, 1986. С.5.

18. Бардаков В.Г. К теории групп кос// Матем. сб. 1992. Т.183, т. С. 3-42.

19. Днестровская тетрадь. (Нерешенные проблемы теории колец и модулей.)Издание третье. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982.

20. Tolstykh V. The automorphism group of an infinitely generated free group is complete// Комбинаторные и вычислительные методы в математике: Тезисы докладов. Омск: ОмГУ, 1998. С. 131-133.Литература

21. Smirnova E.G. On a decomposition of an element of a free metabelian group as a product of primitive elements// Вестник Омского университета. 1996,№2,-C.8-10.

22. Смирнова Е.Г. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр// Комбинаторные и вычислительные методы в математике: Тез. докл. межд. конф. Омск: ОмГУ, 1998.-С.124.

23. Смирнова Е.Г. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр// Сб. науч. трудов: Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Омск: ОмГУ, 1999.-С.243-246.

24. Смирнова Е.Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два//Сиб. мат. журнал (принято к печати).

25. Смирнова Е.Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два// Препринт. Омск: ОмГУ, 1999.-19 с.