Некоторые экстремальные многообразия алгебр Лейбница тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

005004591

Скорая Татьяна Владимировна

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-1 ДЕК 2011

Ульяновск - 2011 г.

005004591

Работа выполнена па кафедре алгебро-геометрических вычислений в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ульяновский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Мищенко Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Вечтомов Евгений Михайлович

кандидат физико-математических наук Рацеев Сергей Михайлович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится "21" декабря 2011 г. в Ю00 часов на заседании диссертационного совета Д 272.278.02 при Ульяновском государственном университете но адресу: ул. Набережная р. Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета. С авторефератом можно ознакомиться на сайте http://www.uni.ulsii.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки РФ http://www.vak.ed.gov.ru

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого. 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан "У?" ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Устоявшимся направлением исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений. Алгебры Лейбница с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Лейбница выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных алгебр и некоторые другие.

Совокупность всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений называется многообразием этих алгебр над заданным полем1 или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр2.

В 1949 году А.И. Мальцев доказал, что в случае, когда основное поле имеет нулевую характеристику, всякое тождество эквивалентно системе полилинейных (линейных по каждой переменной) тождеств3. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится в пространстве полилинейных элементов степени п от переменных Х\,Х2, - ■ ■ хп, так называемых полилинейных компонентах относительно свободной алгебры многообразия. Векторное пространство полилинейных элементов естественным образом превращается в модуль симметрической группы, что позволяет при его исследовании использовать хорошо разработанный аппарат представлений симметрической группы.

Пространство полилинейных элементов'как модуль симметрической группы над полем нулевой характеристики раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей. Каждое из таких слагаемых содержит множество эквивалентных друг другу тождественных соотношений.

1 Мальцев, А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.

2 Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре. — СПб: Лань, 2005.

3 Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями /'/ Математический сборник. - 1949. - Т.25. - Л«. - С. 347-366.

Последовательность размерностей полилинейных компонент некоторого многообразия, называемая последовательностью коразмерностей вербального идеала или просто последовательностью коразмерностей, является важной числовой характеристикой для многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности определяет рост многообразия.

Алгеброй Лейбница называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество: {xy)z = (xz)y + x(yz).

В диссертационной работе рассматривается многообразие алгебр Лейбница, удовлетворяющее тождеству x{y{zt)) = 0. Вероятно впервые это многообразие было рассмотрено Л.Е. Абаниной 4, в которой оно получило обозначение 3N и название многообразия левонилыютентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.

Для многообразия 3N С.П. Мищенко и Л.Е. Абаниной была исследована структура полилинейных компонент как модулей симметрической группы, в частности, было доказано, что это многообразие имеет сверхэкспоненциальный рост 5 Кроме того, Л.Е. Абаниной исследованы два подмногообразия многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница, имеющие почти полиномиальный рост6'7.

Говорят, что многообразие V экстремально по отношению к некоторому свойству, если само многообразие им не обладает, но любое его собственное подмногообразие обладает этим свойством.

4 Абашша Л.Е., Мищенко С.П. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические методы II приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. — М.: Союз, 2002. — 154. — С. 95-99.

5 Abaniua L.E., Mishclienko S.P. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = о // Serdiea Math. .!. ■- 2003 — №3. — P. 291 -300.

* Абавина Л.Е., Рацеев C.M. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами // Вестник Самарского государственного университета. — 2005. — №0. - С. 36-50.

7 Абанииа Л.Е. Многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста /'/' Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V международной конференции. — Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2003. - С. 3—4.

Известно, что многообразие экстремально по отношению к свойству иметь экспоненциальный рост. Это отношение экстремальности выражают также термином "иметь почти экспоненциальный рост"8. Кроме того, в этой работе анонсированы следующие результаты: многообразие

обладает такими экстремальными свойствами, как иметь почти полиномиальный рост кодлины и почти конечные кратности.

Объектом исследования в работе являются многообразия алгебр Лейбница и их подмногообразия, полилинейные компоненты указанных объектов, а также их числовые характеристики.

Исследование экстремальных многообразий алгебр Лейбница является предметом исследования.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является исследование пространства полилинейных компонент как самого многообразия, так и любого собственного подмногообразия многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Изучение асимптотики последовательности коразмерностей вербального идеала собственного подмногообразия многообразна з]Ч. Рассмотрение многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, удовлетворяющих тождеству х{у(гЬ)) = 0. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Определение вида элементов, порождающих неприводимые модули из разложения пространства полилинейных компонент многообразия зК алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

2. Доказательство целочисленности экспоненты любого собственного подмногообразия многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, удовлетворяющего тождеству х{у{гЬ)) = 0.

3. Поиск полного списка подмногообразий почти полиномиального ро-

8 Мищенко С.П.. Скорая Т.В., Фролова Ю.Ю. Новые свойства многообразия алгебр Лейбница зГ^, определенного тождеством х(у(г£)) = 0 // Тезисы докладов VТII международной конференции, посвященной 190-летию П.Л. Чебышсва и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: пшрсмгллис ироГыгми и приложения". — Саратов, 21)11. — С. 4!)—50.

ста многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

Методы исследования. В работе использованы следующие методы:

— методы теории линейных алгебр;

— методы теории представлений симметрической группы;

— техника диаграмм Юнга;

— комбинаторные методы.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Впервые предъявлен вид ненулевых элементов, порождающих неприводимые подмодули пространства полилинейных элементов многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница; доказано совпадение верхней и нижней экспонент собственного подмногообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики; доказано наличие ровно двух многообразий почти полиномиального роста алгебр Лейбница на полем нулевой характеристики, удовлетворяющих тождеству х{у(г£)) = 0.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Строение элементов, порождающих неприводимые модули из разложения пространства полилинейных компонент многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, удовлетворяющего тождеству х{у(гЬ)) = 0.

2. Целочисленность экспоненты любого собственного подмногообразия многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.

3. Полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия 3К алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях теории многообразий линейных алгебр. Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полу-

ченные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. С.П.Мищенко. Постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем.

Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории линейных алгебр, теории представлений симметрической группы, технику диаграмм Юнга, комбинаторные методы. Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:

- Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы". Ульяновск. 24 января 2009 г;

- Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". Самара. 8-15 июня 2009 г;

- Международный молодежный научный форум "Университетское образование: традиции и инновации". Ульяновск. 26 января 2010 г;

- 8th International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the memory of Professor Vitaliy Mikhailovich Usenko. Lugansk. 5-12 july 2011;

- Международная конференция "Алгебра и математическая логика". Казань. 25-30 сентября 2011 г;

Семинары кафедры алгебро-геометричсских вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 источников. Общий объем диссертации составляет 101 страницу, основной текст диссертации изложен на 63 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описываются цель работы и решаемые задачи. Дается краткий анализ научных работ, посвященных рассматриваемой тематике, приводится аннотация работы.

Первая глава носит вводный характер. В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, упрощающие записи. Во втором параграфе данной главы приводятся необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Алгеброй Лейбница называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество, называемое тождеством Лейбница:

(ху)г = (хг)у + х(уг). (1)

Согласно этому тождеству умножение справа на элемент алгебры становится дифференцированием этой алгебры. При условии выполнения тождества антикоммутативности ху = —ух, тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби: х{уг) + у{гх) + г(ху) = 0. Поэтому, если в алгебре Лейбница выполняется тождество хх = 0, то она является алгеброй Ли. В частности, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Обратное неверно. Отметим, что многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты алгебр Ли на алгебры Лейбница.

Определяющее тождество алгебр Лейбница можно представить следующим образом: х(уг) = {ху)г - (хг)у. Данный вид тождества позволяет любой элемент алгебры Лейбница представить в виде линейной комбинации элементов, в которых скобки расставлены слева направо. Поэтому договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, то есть Х\Х2%$ • • • Хп = (((адг)жз)..

Пусть V— многообразие алгебр Лейбница над некоторым нолем Ф нулевой характеристики. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах. Поэтому изучение их пространств играет важную роль в исследовании различных многообразий. Обозначим пространство полилинейных компонент многообразия V через Р„ = Рп{V).

Пространство Р„(У) превратим в модуль симметрической группы 5„ следующим образом. Пусть а — элемент группы 5„. Будем считать, что в результате действия элемента а на элемент .тг1хг,....т,п пространства Рп(V) мы получим элемент хаа1)ха(пу..ха^п). Тогда Рп(V) становится модулем над групповым кольцом Ф5„. Эта идея позволяет использовать при исследовании многообразий линейных алгебр теорию представлений симметрических групп.

Так как характеристика поля Ф предполагается равной нулю, то модуль Рп является вполне приводимым. Известно, что с точностью до изоморфизма неприводимые Ф5П—модули можно описывать на языке разбиений и диаграмм Юнга.

Разбиением числа п называют набор целых положительных чисел

А = (Аь А2— , Ль), в котором Хг > А2 >,----Лд: > 0 и п — Ах + Л2Н-----1-

Ак- Разбиение А числа п обозначают следующим образом А Ь п. Каждому разбиению Л числа п взаимно однозначно соответствует диаграмма, состоящая из п клеток в к строках и содержащая в г-ой строке А,- клеток. Эту диаграмму мы обозначим и будем называть диаграммой Юнга, отвечающей разбиению А.

Напомним, что стандартный полином степени п имеет вид: БЬп(х1, х2,.... хп) = ]С1ге5„(-1)%( 1)^(2) • • ■ где суммирование ведется по элементам симметрической группы, а (-1)'7 равно 4-1 или —1 в зависимости от чегности перестановки д. Договоримся переменные, входящие в стандартный полином обозначать специальными символами сверху (чертой, волной и так далее). Например, стан-

дартный полином степени п от переменных х\,х2,.-. ,хп будем записывать следующим образом: = х{х2.- -хп. Понятно, что стандартный полином является кососимметрическим. Переменные, входящие в разные кососиммстрические наборы, будем обозначать разными символами, например: £9€5п,рб5т(-1)9(-1 ■ • • х<,(п)УРтУР(2) ■ • • УР(т) = = Х{Х2-- -Хпу1у2...ут.

Рассмотрим элемент, содержащий два стандартных полинома степени п и те соответственно {п < т), в которые входят одинаковые переменные хи %2, ■■■, хп: Щх2--.хпх\х2--.хт. Поменяем местами в этом элементе соседние переменные с номерами, не превосходящими п. Получим следующее тождество: х1х2---х^г+1...хпх1х2...х^х^1хт = Х1Х2...Х{+{Х1...хпх\хг...Х{+1ЩХт. То есть при таком преобразовании рассматриваемого элемента его знак остался прежним. Таким образом, если элемент содержит одни и те же переменные, входящие в два или более кососимметрических набора, то его знак зависит от четности перестановок неявным образом. Следовательно, мы уже не можем говорить, что переменные данного элемента кососимметризованы. Поэтому для удобства читателей в случае, если элемент содержит более одного набора кососимметризованных переменных, называть наборы в этом элементе альтернированными.

Теперь рассмотрим элемент х05^,г(х1,..., хт)...31т{хь..., хт), По-

11' V 1 ^

к

скольку Хг, ...,хт) не является элементом алгебры Лейбница, то мы не можем обозначать сокращенную запись этого элемента в виде произведения хо и к-ой степени стандартного полинома от п переменных. Для удобства записи таких элементов договоримся для обозначения оператора умножения справа на элемент алгебры Лейбница Xi через XТогда становится корректной запись, например, элемента Х0ХхХ2---х2Хз...Хз в

к т

виде хъХхХ^Х™. Стандартный полином от операторов Х2, ■ ■ ■, Хт будем обозначать, используя специальные символы сверху (черту, волну

и т.д.):

Sim = Stm(Xu ...,Хп)= Хр{1) ... Хр(т). (2)

Отметим, что стандартные полиномы, выражающие разные альтернированные наборы переменных мы будем записывать, используя разные верхние символы.

Из введенных обозначений следует, что стандартный полином Stm(Xi,..., Хт) от операторов является элементом ассоциативной алгебры линейных операторов пространства, которым является исследуемая алгебра Лейбница. С другой стороны элемент x0Stm(Xu--- ,Хт) является элементом алгебры Лейбница. Поэтому запись элемента

xoStm(Xi,.... Xm)...Stm(Xi,..., Хт) с использованием степени в виде — v '

к

x0St^(Xi, ■ ■ ■ , Хт) становится корректной.

Обратимся к рассмотрению многообразия 3N левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница, определяемому тождеством x(y(zt)) = 0. Ранее в работе 5 относительно этого многообразия были доказаны следующие утверждения:

1) Совокупность элементов вида

%»1,...,»„. Ji,...,j,„) = )(Xi2Xj2)...(XimXjm)Хкг ■ ■ •XkH_lm_l,

где г., < s = 1 ц < i2 < ... < im, fc, < k2 < ... < fcn_2m-i,

образуют базис пространства P„(3N).

2) Коразмерность вербального идеала многообразия 3N определяется равенством Cn(3N) = n-inv(n-1), где inv(m) - число инволюций (элементов порядка два) симметрической группы Sm.

3) Для многообразия 3N кратности тх в разложении шаХа = X,n равны числу угловых клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению Л Ь п.

4) Для кодлины многообразия 3N выполняются следующие неравенства р(п) < ln(3N) < уДп ■ р(п), где р(п) - количество разбиений числа п.

Вторая глава диссертации содержит новые результаты и посвящена подмногообразиям многообразия зN лсвонилыютентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.

В первом параграфе данной главы определен вид элементов, порождающих неприводимые Ф5п-модули из разложения пространства полилинейных компонент некоторого подмногообразия V многообразия зК в прямую сумму подмодулей.

Пусть Рп — Рп(V) — полилинейная компонента некоторого подмногообразия V многообразия алгебр Лейбница. Пространство Рп раскладывается в прямую сумму неприводимых Ф5„-модулей, соответствующих различным разбиениям. Для всякого подмногообразия многообразия зN алгебр Лейбница известно (см.,5), что число изоморфных Ф5„-модулей равно числу угловых клеток диаграммы А (клетка диаграммы Юнга называется угловой, если справа от нее и ниже ее нет клеток).

Если диаграмма Юнга содержит к = к(А) угловых клеток, то количество различных длин строк этой диаграммы равно к, то есть й\ содержит строки некоторых длин ПЬП2, ...,Пк, где щ > пг > ... > щ, причем количество таких строк равно т1,т2,..., тк соответственно. Пусть задана диаграмма Юнга с п клетками, содержащая к угловых клеток, то есть отвечающая разбиению А = (п"ц, п™2,..., п™к), где щ > щ > ■ ■ ■ > щ > О и П1ГП1 + П2'Ш2 + ■ ■ • + +Пктк = п. Такая диаграмма имеет следующий вид:

ГЦ

П2 1 ГП2

_____»¡: _ 1 гпк

Выпишем следующие элементы, соответствующие такой диаграмме Юнга:

___ 7ГГ =ЭТ2-ПЗ~П1-П2

где (¿;- = ти 3 = 1) • Для построенных элементов справедлива следующая теорема, доказанная во второй главе диссертации.

Теорема 2.1 Пусть Р„ = Р„(У), где V — некоторое подмногообразие многообразия 3]Ч. Тогда для любого натурального числа п > 1 имеет место равенство

МЛ)

РП = 001ВД, (3)

ЛЬп г=1

где И7,. (А) — неприводимый Ф5„-модуль, порожденный линеаризацией элемента дг, соответствующий разбиению А.

При изучении многообразий линейных алгебр важную роль играет последовательность размерностей их полилинейных компонент степени п: ^(У) = йтгРп(у) (п = 1,2,...),

асимптотическое поведение которой называется ростом многообразия. Саму последовательность с„(У) называют также последовательностью коразмерностей многообразия.

В случае существования таких чисел Сх > О, С2 > О, > 1, ¿2 > 1, что для всех чисел п выполняются неравенства

С1(1'1 < сп(V) < С2(%, ' (4)

говорят, что рост многообразия является экспоненциальным. Если последовательность сп(У) удовлетворяет указанным неравенствам, то последовательность {у/сп{V)), п = 1,2,... является ограниченной. Тогда существуют верхний и нижний пределы этой последовательности, которые мы назовем верхней и нижней экспонентами многообразия V соответственно и обозначим: Ехр(V) и Ехр(V). В случае совпадения указанных

пределов мы запишем Ехр(V) и назовем значение этого предела экспо-нентой многообразия V. Итак, мы будем использовать следующие обозначения: Ёхр(V) = Ытп->оо Ехр(V) = Итп_,„^/сп(V) и, наконец, если Итпп-юо \/сп(у) = Шпи^ю л/сп(У), то Ёхр(V) = Ехр{V) = Ехр(У).

Во втором параграфе второй главы приведено доказательство цело-численности экспоненты произвольного подмногообразия многообразия левонилыютентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.

Пусть V — собственное подмногообразие многообразия 3]Ч. Определим ф„ С Рп+1 как линейную оболочку элементов:

(3„ = {хп+1ха[1)...х0(п)\а е 5П). (5)

На пространстве <5п, как и на пространстве Рп> естественным образом вводится действие перестановок и определяется структура ФБ,,-модуля. Последовательность размерностей пространства обозначим через <1п(\) = <Итп(дп. В случае существования верхнего и нижнего пределов последовательности \/йп{У) введем следующие обозначения: Ехр((^п) = Нгпп-юо \ZdJV), Етр{С}п) = ИШп-^ос Кроме того,

если Ехр(Р„) существует, то будем записывать Ехр{V) = Ехр(Р„). Тогда для введенного пространства <5П справедлива следующая лемма:

Лемма 2.1 Пусть V — собственное подмногообразие многообразия Тогда Шр{СЭп) = Шр{V) и Етр{(}п) = Ехр{У).

Рассмотрим относительно свободную алгебру Е(Х, V) от счетного множества образующих X = {хг,х2,—} многообразия левонильпотент-ных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Полилинейные элементы от п+1 переменной с фиксированным первым элементом хп+\ этой алгебры лежат в пространстве Для таких элементов алгебры V) имеет место следующее свойство.

Лемма 2.2 Пусть для некоторого целого М и некоторых Хг, ...,хп+\ €

_Д |

Е(Х, V) выполняется тождество хп+\БЬ2к+1 = 0 (2к + 1 < п). Тогда для

этих элементов также верно тождество

Хп+гБгЦ" = 0. (6)

Рассматриваемое пространство (3п как Ф5п-модуль раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей:

Яп = ФАнвт?(У)Мд. СО

Как доказано в работе 5, в случае, когда V = з!М, кратности 7Пд (V) равны единицам. Отсюда следует, что если V — собственное подмногообразие многообразия з]М, то кратности т®(V) в разложении пространства его полилинейных компонент в прямую сумму вида (7) не превосходят единиц. Каждый из Ф5„-модулей из суммы (7) порождается линеаризацией некоторого ненулевого элемента, соответствующего диаграмме Юнга определенного вида (или некоторому разбиению числа п).

Пусть А = (А!.....А;с) - некоторое разбиение числа п и А' = (А'х,..., А'т)

— сопряженное разбиение. Используя обозначения введенные нами ранее для операторов умножения на элемент х и стандартных полиномов от операторов, мы можем записать ассоциативный элемент, соответствующий разбиению А':

дх = Щ.. ■ Хл; 5<л- {Х,...ХХг).. {Ху.. .Х^). (8)

Для таким образом построенных элементов имеет место следующая лемма.

Лемма 2.3 Всякий неприводимый Ф5„-модуль Т\ в разложении (7) порожден с помощью Ып(уд\), где у = хп+\, элемент д\ определяется равенством (8) и Ып(/) означает полную линеаризацию полинома /.

Отметим, что для элементов многообразия V выполняется следующее важное свойство.

Определение порождающего элемента позволяет найти значения кратностей тд (V) из разложения пространства полилинейных элементов многообразия V в прямую сумму подпространств.

Лемма 2.4 Если V — собственное подмногообразие многообразия то кратности в разложении пространства (¿п в прямую сумму

Ф5„-модулей равны единицам.

Опираясь на указанные леммы и предложение и используя технику оценки размерности неприводимого модуля симметрической группы с помощью формулы крюков, мы приходим к выводу, что для введенного пространства <3„ справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.2 Пусть V - собственное подмногообразие многообразия и дп = дп(у). Если Ехр{дп) < к, тоШр(дп) <к~ Данная теорема позволяет сделать вывод об истинности следующего утверждения, являющегося основным результатом второй главы.

Теорема 2.3 Всякое собственное подмногообразие многообразия имеет целую экспоненту.

Третья глава посвящена определению полного списка подмногообразий почти полиномиального роста многообразия ^ алгебр Лейбница.

Напомним, что рост многообразия V называют полиномиальным, если существуют неотрицательные числа С,т такие, что для любого п выполняется неравенство сп(V) < Спт. Говорят, что многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если рост самого многообразия не является полиномиальным, а любое собственное подмногообразие многообразия V имеет полиномиальный рост. Отметим, что слово "почти" относится к свойству многообразия.

В первом параграфе, для полноты изложения, рассматривается многообразие А1Ч2 алгебр Ли, обладающее сходными свойствами с многообразием алгебр Лейбница. В частности, приведен полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия А^ алгебр Ли. Также в данном параграфе приведены уже известные факты о многообразии алгебр Лейбница.

Во втором параграфе для удобства читателей рассматриваются уже известные подмногообразия почти полиномиального роста многообразия

3К алгебр Лейбница. Эти многообразия носят обозначения У2 и У3 и но своим свойствам похожи на хорошо изученные многообразия алгебр Ли У2 и Уз почти полиномиального роста. В данном параграфе перечислены основные свойства данных многообразий алгебр Лейбница, а также указаны порождающие их алгебры.

Третий параграф посвящен рассмотрению подмногообразий многообразия 31Ч, отличных от многообразий У2 и У3. О многообразии У2 известно, что оно является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество6. Поэтому, если У2 £ V, то в V выполняется стандартное тождество некоторой степени, которое в данном многообразии имеет следствие с фиксированной первой переменной, не входящей в кососимметрический набор.

Лемма 3.1 Если У2 £ V С3 К, то для некоторого числа т в многообразии V выполнено тождество

ХоХ1Х2...хт = 0. (9)

Исключив первую переменную из кососимметрического набора, мы получили возможность применять следствия из тождества Лейбница к рассматриваемому тождеству. Благодаря этому мы можем получить более сложный вид тождеств, выполняющихся в многообразии V.

Предложение 3.1 Если У2 £ V С3 N. то в многообразии V выполняется тождество

х0{хт){х2у2)---(хмУм) = 0. (Ю)

Другими словами, в многообразии V элемент, содержащий М пар, в которые входит по одной кососимметризованной переменной, является нулевым. Аналогичный вывод о парах, содержащих по одной симметри-зованной переменной, мы получим, накладывая на V условие У3 £ V:

Предложение 3.2 Если У3 £ V С3 N. то в многообразии У выполняется тождество

х0(х1у){х2у)...{хму) = 0- (и)

При условии выполнения тождеств, указанных в предложениях 3.1 и 3.2, в многообразии V выполняется тождество (х1х2)...(х2с+1Х2г.+2) = 0. Отсюда получаем следующую теорему.

Теорема 3.1 Если в многообразии V С3 N выполняются тождества (10) и (11), то многообразие V с

Из данной теоремы следует, что всякое подмногообразие многообразия 3Г4, не содержащее многообразий У2 и У3, согласно критерию полиномиальное™ роста многообразий алгебр Лейбница, доказанному в работе 9, имеет полиномиальный рост. Это приводит нас к следующему утверждению, являющемуся основным результатом третьей главы.

Теорема 3.2 Многообразие имеет только два подмногообразия У2 и У3 почти полиномиального роста.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Определен вид элементов, порождающих неприводимые Ф5П-модули из разложения пространства полилинейных компонент многообразия 3Ы алгебр Лейбница над полем Ф нулевой характеристики.

2. Установлена целочисленность экспонент подмногообразий многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, удовлетворяющего тождеству х(у(^)) = 0.

3. Доказано что многообразие левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики имеет ровно два подмногообразия почти полиномиального роста.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сергею Петровичу Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

9 Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница I С.П. Мищенко, О.И. Череватенко /./ Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. — Т. 12. - >8. — С. 207-215.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ Публикации в журналах, входящих в список ВАК

[1] Мищенко, С.П. О многообразиях алгебр Лейбница почти полиномиального роста с тождеством х(у{гЬ)) = 0 / С.П. Мищенко, Т.В. Шишкина// Вестник Московского государственного университета. Сер. 1, Математика. Механика. — 2010. — Л«3. — С. 18-23.

Публикации в прочих журналах

[2] Шишкина, Т.В. Левонильпотентные почти полиномиального роста многообразия алгебр Лейбница/ Т.В. Шишкина // Университетское образование: проблемы и перспективы: материалы международного молодежного научного форума. — Ульяновск, 2009. — С. 94-97.

[3] Мшценко, С.П. О почти полиномиального роста многообразиях алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, Т.В. Шишкина// Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов: тезисы докладов летней школы-конференции. — Самара, 2009. — С. 37-38.

[4] Шишкина, Т.В. Об экспонентах подмногообразий многообразия ле-вонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница / Т.В. Шишкина // Университетское образование: традиции и инновации: материалы ¿международного молодежного научного форума. — Ульяновск, 2010. - С 292-294.

[5] Шишкина, Т.В. О целочисленное™ экспоненты подмногообразий многообразия зN / Т.В. Шишкина // Ученые записки Ульяновского

Государственного Университета. Сер. Математика и информационные технологии. — 2011. — С. 18-23.

|6] Skorava, T.V. A new property of the Leibniz algebra variety with the identity x(y(zt)) = 0 / T.V. Skoraya // 8th Algebraic Conference in Ukraine: Book of abstracts. — Lugansk, 2011. — P. 224.

[7] Мищенко, С.П. Новые свойства многообразия атгсбр Лейбница 3N, определенного тождеством x(y(zt)) s0 /' С.П. Мищенко, Т.В. Скорая, Ю.Ю. Фролова // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Тезисы докладов VIII международной конференции, посвященной 190-летию П.Л. Чебышсваи 120-летию И.М. Виноградова. — Саратов, 2011. — С. 49-50.

Подписано в печать 14.11.2011. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Бумага книжно-журнальная. Тираж 100 экз. Заказ № 216/55Л

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Линейные алгебры и их многообразия.

1.2. Некоторые сведения из теории представлений симметрических групп.

Глава 2. Об экспонентах подмногообразий многообразия зN.

2.1. Строение элементов полилинейной части многообразия зN.

2.2. Целочисленность экспонент подмногообразий многообразия зN

Глава 3. Подмногообразия почти полиномиального роста многообразия зN.

3.1. Свойства многообразия зN.

3.2. Известные подмногообразия почти полиномиального роста многообразия зN.

3.3. Полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия зN.

Устоявшимся направлением исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений. Алгебры Лейбница с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Лейбница выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных алгебр и некоторые другие.

Вероятно, впервые класс алгебр Лейбница был определен в работе [7]. Однако свое название он получил позже. В начале исследования этого класса линейных алгебр их называли алгебрами Лодея. Начиная с 1993 года алгебры Лодея были введены под названием алгебр Лейбница как некоммутативные аналоги алгебр Ли. Название они приобрели в связи с выполнением в них тождества Лейбница. Они появились для естественной связи с некоторыми темами, такими, как дифференциальная геометрия, классическая алгебраическая топология и т. д., для обобщения соответствующих приложений алгебр Ли к этим темам.

Алгебры Лейбница начали активно изучаться в начале 90х годов. Свободная алгебра Лейбница была описана Лодеем и Пирашвили.

Объектом исследования данной работы являются многообразия алгебр Лейбница и их подмногообразия, полилинейные компоненты указанных объектов, а также их числовые характеристики.

Исследование экстремальных многообразий алгебр Лейбница является предметом исследования. Говорят, что многообразие V экстремально по отношению к некоторому свойству, если само многообразие им не обладает, но любое его собственное подмногообразие обладает этим свойством.

Целью диссертационной работы является исследование пространства полилинейных элементов многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница; изучение асимптотики последовательности коразмерностей вербального идеала собственного подмногообразия многообразия 3]\Г; рассмотрение многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, удовлетворяющих тождеству х(у(гЬ)) = 0.

Прежде чем обратиться к понятию алгебры Лейбница, рассмотрим линейную алгебру Ф(Х) над полем Ф нулевой характеристики с зафиксированным счетным множеством свободных образующих X. Если для любых элементов Г1,Г2, .,гп из произвольной Ф-алгебры Я и для некоторого элемента / = /(¿С]., Х2,., хп) из алгебры Ф(Х) выполнено условие /(п, Г2, ., гп) — 0, ТО говорят, ЧТО тождество /(^1, а?2, Хп) = 0 имеет место в алгебре Д. Напомним также, что дифференцированием алгебры Я называется эндоморфизм сг, в котором для любых двух элементов х и у из этой алгебры выполняется тождество а(ху) = и(х)у 4- ха(у).

Все неопределяемые понятия можно найти, например, в монографии [С].

Алгеброй Лейбница называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество: ху)г = (хг)у + х(уг).

Согласно этому тождеству умножение справа на элемент алгебры становится дифференцированием этой алгебры. При условии выполнения тождества антикоммутативности ху = -ух, тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби: х(уг) + у(гх) + г(ху) = 0.

Поэтому, если в алгебре Лейбница выполняется тождество хх = 0. то она является алгеброй Ли. В частности, любая алгебра Ли является алгеброй Лейбница. Обратное неверно.

Отметим, что многие результаты, полученные для алгебр Лейбница, показывают, что алгебры Лейбница близки к алгебрам Ли, и естественны попытки обобщить некоторые результаты алгебр Ли на алгебры Лейбница. Все эти результаты вовлекают методы, основанные на теории представлений симметрической группы и общей линейной группы.

Определяющее тождество алгебр Лейбница можно представить следующим образом: х(уг) = (ху)г - (хг)у.

Данный вид тождества позволяет любой элемент алгебры Лейбница представить в виде линейной комбинации элементов, в которых скобки расставлены слева направо. Поэтому договоримся опускать скобки в случае их левонормированной расстановки, то есть

Х1Х2Х3 .хп = (((Ж1Ж2)Ж3) • • • хп .

Совокупность всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождественных соотношений называется многообразием этих алгебр и обозначается V.

В 1949 году А.И. Мальцев доказал, что в случае, когда основное поле имеет нулевую характеристику, всякое тождество эквивалентно системе полилинейных (линейных по каждой переменной) тождеств, которая получается при помощи стандартного метода линеаризации [20]. Договоримся результат этого процесса, примененного к элементу /, обозначать Ып(/).

Изучение полилинейных элементов более удобно. Поэтому рассмотрим множество полилинейных слов степени п относительно свободной алгебры Ф(Х, V) многообразия V. Они образуют векторное пространство Рп(V), называемое полилинейной компонентой относительно свободной алгебры многообразия V. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейной части.

Поэтому изучение этого пространства играет важную роль и активно изучается для различных многообразий.

Пространство Рп(У) можно естественным образом превратить в модуль симметрической группы вп. Пусть а — элемент группы Зп. Будем считать, что в результате действия элемента а на элемент пространства

Рп{V) мы получим элемент ха^ха^2у.ха^пу Тогда Рп(У) становится модулем над групповым кольцом Ф5"п. Эта идея позволяет использовать при исследовании многообразий линейных алгебр теорию представлений симметрических групп.

Групповое кольцо Ф5П симметрической группы над полем Ф характеристики ноль разлагается в прямую сумму левых идеалов. Более подробно об этом можно прочитать в монографиях по теории представлений, например [14], [18]. Тогда Рп(У) как Ф5п-модуль также разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей. Каждое из таких слагаемых определяется множеством эквивалентных друг другу тождественных соотношений.

Напомним, что стандартный полином степени п имеет вид: ж 1,Ж2, .,ж„)= Е (-1)%(1)^д(2) • • г), где суммирование ведется по элементам симметрической группы, а (—I)*7 равно +1 или —1 в зависимости от четности перестановки q. Договоримся переменные, входящие в стандартный полином обозначать специальными символами сверху (чертой, волной и так далее). Например, стандартный ПОЛИНОМ степени п ОТ переменных Х\, х2, ■ ■ ■, хп будем записывать следующим образом: = Х\Х2 ■ ■ .хп. Понятно, что стандартный полином является кососимметрическим. Переменные, входящие в разные кососим-метрические наборы, будем обозначать разными символами, например:

Е (-1)9(-1)%(1)^д(2) ■ • • Хд(п)Ур(1)Ур(2) ■ ■ ■ Ур(т) = ■ • • ЗДШ • • • УтП

Отметим, что если элемент содержит одни и те же переменные, входящие в разные кососимметрические наборы, то его знак уже зависит от четности перестановок неявным образом, поэтому переменные в этом элементе будем называть альтернированными. Например, элемент х\. хпх\. хт содержит два альтернированных набора переменных. Договоримся стандартный полином от операторов Х\,Х2, ■ • - ,Хт обозначать через Stm — Stm{X\,., Хт) = Хр(±). Хр(т). Отметим, что стандартные полиномы, выражающие разные альтернированные наборы переменных мы будем записывать, используя разные верхние символы. В этих обозначениях также имеет место обобщение на случай степени стандартного полинома от операторов.

В данной работе рассматривается многообразие 3N левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница, определенное тождеством x(y(zt)) = 0.

Вероятно впервые это многообразие было рассмотрено в работе [4]. В работе [3] были доказаны следующие теоремы:

1) Совокупность элементов вида — ,im,jl,.,jm) = xi{xiixji) (я^г^г) • • • (XimXjm)Xki • • -^fc^m-l 5 где is < js. s = 1, .,ra, ¿1 < 12 < ••• < im, kl < < ••• < kn-2m-i, образуют базис пространства Pn(3N).

2) Коразмерность вербального идеала многообразия 3N определяется равенством сп(зN) = п • inv(n — 1), где inv(m) — число инволюций (элементов порядка два) симметрической группы Sm.

3) Для многообразия 3N кратности т\ в разложении

Е т\Хх = X,N

Ahn равны числу угловых клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению Ab п.

4) Для кодлины многообразия 3N выполняются следующие неравенства р(п) < Z„(3N) < л/2п-р(п), где р(п) — количество разбиений числа п.

Отметим, что по своим своим свойствам многообразие 3N близко к многообразию AN2 алгебр Ли, изученному в работах [9], [10], [13], [15], [24], |43] и других работах.

Перейдем к описанию структуры представленной диссертации. Работа состоит из трех глав. Первая глава носит обзорный характер. В первом параграфе приводятся основные определения и понятия, а также некоторые обозначения, упрощающие записи. Во втором параграфе данной главы рассматриваются необходимые сведения из теории представлений симметрической группы.

Вторая глава диссертации содержит новые результаты и посвящена рассмотрению элементов полилинейной части многообразия 3N левонильпо-тентных ступени не выше трех алгебр Лейбница, а также изучению роста подмногообразий данного многообразия.

В первом параграфе данной главы определен вид элементов, порождающих неприводимые Ф5п-модули из разложения пространства полилинейных элементов многообразия 3N в прямую сумму подпространств.

Для описания полученного результата нам понадобятся понятия разбиения и диаграммы Юнга. Разбиением Л числа п называют набор целых положительных чисел Л = (Ai, А2,., Afc), в котором Ai > Аг > . Afc > 0 и п — Ai + А2 +. + А/,. Разбиение А числа п обозначают следующим образом Ahn. Каждому разбиению А числа п взаимно однозначно соответствует диаграмма, состоящая из п клеток в к строках и содержащая в г-ой строке

Л7; клеток. Эту диаграмму мы обозначим d\ и будем называть диаграммой Юнга, отвечающей разбиению Л.

Пусть Рп = Рп(зN) — полилинейная компонента многообразия 3N алгебр Лейбница. Пространство Рп раскладывается в прямую сумму неприводимых Ф5П-модулей, соответствующих различным разбиениям натуральных чисел п, то есть различным диаграммам Юнга. Для многообразия 3N алгебр Лейбница известно (см. [40]), что число изоморфных Ф5п-модулей равно числу угловых клеток диаграммы Л (клетка диаграммы Юнга называется угловой, если справа от нее и ниже ее нет клеток).

Если диаграмма Юнга содержит к угловых клеток, то она отвечает разбиению Л = (п™1, П™'2, • . . , n™fc), ГДе 711 > П2 > • ■ ■ > Wfc > 0 И П1Ш1 +712777,2 + . + п^Шк = п. Такой диаграмме соответствуют следующие элементы: gi = x1x2.xdkStdk Stdkx .Std2 Stdl , g2 = xxx2. • • • Std2 stdi , gk = xix2.xdlStdkStdki .Std2 Stdj где dj = Е^=17Дг, j = 1 ,.,/c. Для построенных элементов справедлива следующая теорема, доказанная во второй главе диссертации.

Теорема 2.1 Пусть Рп = Рп(3N). Тогда для любого натурального числа п > 1 имеет место равенство к( а) Ahn г=1 где И^-(Л) — неприводимый Ф ¿^-модуль, порожденный линеаризацией элемента дг, соответствующий разбиению Л.

При изучении многообразий линейных алгебр важную роль играет последовательность размерностей их полилинейных компонент степени п: сп(У) = йътРп{у) (п — 1,2,.), асимптотическое поведение которой называется ростом многообразия. Саму последовательность (сп(V)) называют также последовательностью коразмерностей многообразия.

В случае существования таких чисел С\ > 0, Сг > 0, (1\ > 1, ¿2 > 1, что для всех чисел п выполняются неравенства

СХ < сп{V) < ад, говорят, что рост многообразия является экспоненциальным. Если последовательность (сп(У)) удовлетворяет указанным неравенствам, то последовательность (\/Сп(У)), п = 1,2,. является ограниченной. Тогда существуют верхний и нижний пределы этой последовательности, которые мы назовем верхней и нижней экспонентами многообразия V соответственно и обозначим: Ехр(V) и Ехр{у). В случае совпадения указанных пределов мы запишем Ехр(V) и назовем значение этого предела экспонентой многообразия V. Таким образом, мы будем использовать следующие обозначения:

Ехр{ V) = Итп^ оо \/сп(У), Ехр( V) = Ытп^ оо ^сп(У) и, наконец, если

Итп^ оо ^сп(У) = Ншп-^оо </сп{ V), то

Яжр(У) = Егр(У) = Ежр(У).

Во втором параграфе второй главы приведено доказательство целочис-ленности экспоненты произвольного подмногообразия многообразия

Пусть V — собственное подмногообразие многообразия Определим Яп ^ -Рп+1 как линейную оболочку элементов:

Яп = {хп+1Ха(1).Ха{п)\(Т е 5п>. 10

На пространстве С}п, как и на пространстве Рп, естественным образом вводится действие перестановок и определяется структура Ф5п-модуля. Последовательность размерностей пространства С}п обозначим через (1п{V) = сИтС^п. В случае существования верхнего и нижнего пределов последовательности введем следующие обозначения:

Ехр(С}п) = /гтПп^оо

Ехр(дп) = Шкп^оофйу).

Кроме того, если Ехр(Рп) существует, то будем записывать Ехр(V) = Ехр(Рп). Тогда для введенного пространства п справедлива следующая лемма:

Лемма 2.1 Пусть V — собственное подмногообразие многообразия з]М. Тогда

Ехр{Яп) = Ехр{ V) и

Ехр{Яп) = Ехр{ V).

Рассмотрим относительно свободную алгебру Ф от счетного множества образующих X = {х\,х2, ■■■} многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Полилинейные элементы от п + 1 переменной с фиксированным первым элементом хп+1 этой алгебры лежат в пространстве Для таких элементов алгебры Ф имеет место следующее свойство.

Лемма 2.2 Пусть для некоторого целого М и некоторых х\, .,хп+1 € Ф выполняется тождество хп+1 ¿>¿2^+1 = 0 (2к + 1 < п). Тогда для этих элементов также верно тождество

Рассматриваемое пространство как Фй^-модуль раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей:

Яп = Фднгг™д (У)Мд.

Как доказано в работе [40], в случае, когда V = з!Ч, кратности Шд (V) равны единицам. Отсюда следует, что если V — собственное подмногообразие многообразия з!М, то кратности т\ в разложении пространства его полилинейных элементов в прямую сумму подпространств не превосходят единиц. Каждый из Ф5п-модулей из указанной суммы порождается линеаризацией некоторого ненулевого элемента, соответствующего диаграмме Юнга определенного вида (или некоторому разбиению числа п).

Пусть А = (Ах,., А к) — некоторое разбиение числа пи А' = (А'х,., А^) — сопряженное разбиение. Используя обозначения введенные нами ранее для операторов умножения на элемент х и стандартных полиномов от операторов, мы можем записать ассоциативный элемент, соответствующий разбиению А':

9\ = Хи .,ХуДу2(Хъ .,Хх,).Мх,т(Хи ., ХУт). (1)

Для таким образом построенных элементов имеет место следующая лемма

Лемма 2.3 Всякий неприводимый Ф5п-модуль Т\ в разложении пространства полилинейных элементов многообразия V в прямую сумму подпространств порожден с помощью Ып(удх), где у = хп+\, элемент д\ определяется равенством (1) и Ып{/) означает полную линеаризацию полинома /•

Определение порождающего элемента позволяет найти значения кратностей Шд (V) из разложения пространства полилинейных элементов многообразия V в прямую сумму подпространств.

Лемма 2.4 Если V — собственное подмногообразие многообразия з!М, то кратности тд (V) в разложении пространства в прямую сумму Ф5П-модулей равны единицам.

Опираясь на указанные леммы и предложение и используя технику оценки размерности неприводимого модуля симметрической группы с помощью формулы крюков, мы приходим к выводу, что для введенного пространства справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.2 Пусть V — собственное подмногообразие многообразия зК и Яп = <5п(У). Если Ехр(Яп) < к, то Ехр(Яп) < к - 1.

Из данной теоремы вытекает следующая теорема, являющаяся основным результатом второй главы.

Теорема 2.3 Всякое собственное подмногообразие многообразия зН имеет целую экспоненту.

Третья глава посвящена определению полного списка подмногообразий почти полиномиального роста многообразия зN алгебр Лейбница.

Напомним, что рост многообразия V называют полиномиальным, если существуют неотрицательные числа С, т такие, что для любого п выполняется неравенство сп(V) < Спт. Говорят, что многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если рост самого многообразия не является полиномиальным, а любое собственное подмногообразие многообразия V имеет полиномиальный рост. Отметим, что слово "почти" относится к свойству многообразия.

В первом параграфе, для полноты изложения, рассматривается многообразие А^ алгебр Ли, обладающее сходными свойствами с многообразием зN алгебр Лейбница. В частности, приведен полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия А^ алгебр Ли. Также в данном параграфе приведены уже известные факты о многообразии зN алгебр Лейбница.

Во втором параграфе для удобства читателей рассматриваются уже известные подмногообразия почти полиномиального роста многообразия зN алгебр Лейбница. Эти многообразия носят обозначения У2 и Уз и по своим свойствам похожи на хорошо изученные многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста и Уз соответственно. В данном параграфе перечислены основные свойства данных многообразий алгебр Лейбница, а также указаны порождающие их алгебры.

Третий параграф посвящен рассмотрению подмногообразий многообразия зТЧГ, отличных от многообразий У2 и Уз. О многообразии V2 известно (см., например, [5]), что оно является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Поэтому, если Уг ^ У, то в V выполняется стандартное тождество некоторой степени. Следующим шагом является доказательство такой леммы.

Лемма 3.1 Если Уг ^ V Сз ]М, то для некоторого числа т в многообразии V выполнено тождество

ХоХ1Х2.Хт = 0.

Исключив первую переменную из кососимметрического набора, мы получили возможность применять следствия из тождества Лейбница к рассматриваемому тождеству. Благодаря этому мы можем получить более сложный вид тождеств, выполняющихся в многообразии У.

Предложение 3.1 Если Уг / V Сз К, то в многообразии V выполняется тождество хо{х1У1){х2У2)-(хмУм) = 0. (2)

Другими словами, в многообразии V элемент, содержащий М пар, в которые входит по одной кососимметризованной переменной, тождественнен нулю. Аналогичный вывод о парах, содержащих по одной симметризован-пой переменной, мы получим, накладывая на V условие Уз ^ V:

Предложение 3.2 Если У3 ^ V Сз 1М, то в многообразии V выполняется тождество х0(х1у)(х2у).(хму) = 0. (3)

При условии выполнения тождеств, указанных в предложениях 3.1 и 3.2, в многообразии V выполняется тождество (х1х2) .(х2с+1х2с+2) = 0. Другими словами, многообразие V принадлежит многообразию алгебр Лейбница с нильпотентным ступени не выше с коммутантом, которое принято обозначать 1МСА. Подробнее об этом многообразии можно прочитать в работах [29], [30] и [36]. Таким образом, мы получаем следующую теорему.

Теорема 3.1 Если в многообразии V С зК выполняются тождества (2) и (3), то многообразие V С ГЧСА.

Из данной теоремы следует, что всякое собственное подмногообразие многообразия з!Ч, не содержащее многообразий и Уз, согласно критерию полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница, доказанному в работе [30], имеет полиномиальный рост. Это приводит нас к следующему утверждению, являющемуся основным результатом третьей главы.

Теорема 3.2 Многообразие зN имеет только два подмногообразия V9 и Уз почти полиномиального роста.

Схема доказательства последних теорем принадлежит научному руководителю С.П. Мищенко, а проработка деталей — автору.

Таким образом, в диссертационной работе представлен вид элементов, порождающих неприводимые Ф¿^-модули из разложения пространства полилинейных компонент многообразия з!Ч; доказана целочисленность экспонент подмногообразий этого многообразия; а также приведен полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия ле-вонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.

Результаты диссертации докладывались на конференциях и семинарах:

1)Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы" (Ульяновск, 2009г.).

2)Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Самара, 2009г.).

3) Международный молодежный научный форум "Университетское образование: традиции и инновации" (Ульяновск, 2010г.).

4) 8ih International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 2011).

5) Международная конференция "Алгебра и математическая логика" (Казань 2011г.).

6) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Основная часть результатов опубликована в работах автора [27], [31], [32], [35], [37], [38], [39], [52].

В заключении автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю С.П. Мищенко за предложенное направление исследований, полезные советы, постоянное внимание и моральную поддержку.

1. Абанина, J1.E. Многообразие алгебр Лейбница Vi / Л.Е. Абанина // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. — Казань: Казанское математическое общество, 2002. — Т. 18. — С. 3—4.

2. Абанина, Л.Е. Многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста / Л.Е. Абанина // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V международной конференции. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2003. - С. 3-4.

3. Абанина, Л.Е. Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница / Л.Е. Абанина // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Ульяновск. УлГУ, 2003.

4. Абанина, Л.Е. Некоторые многообразия алгебр Лейбница / Л.Е. Абанина, С.П. Мищенко // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. — Москва: "Союз 2002. — С. 95-99.

5. Абанина, Л.Е. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами / Л.Е. Абанина, С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. — Самара, 2005. — №6. — С. 36—50.

6. Бахтурин, Ю.А. Тождества в алгебрах Ли / Ю.А. Бахтурин. — М.: Наука, 1985.

7. Блох, A.M. Об одном обобщении понятия алгебры Ли / A.M. Блох // Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т.18. - №3. - С. 471-473.

8. Воличенко, И.Б. Исследование некоторых экстремальных многообразий алгебр Ли / И.Б. Воличенко // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Минск, 1981.

9. Воличенко, И.Б. Многообразия алгебр Ли с тождеством [жі, Х2, жз], [ж4, х5, же]] = 0 над полем характеристики нуль / И.Б. Воличенко // Сибирский математический журнал. — 1984. — Т. 25. — №3. С. 40-54.

10. Воличенко, И.Б. О многообразии алгебр Ли А^ над полем характеристики нуль / И.Б. Воличенко // ДАН БССР. 1981. - Т. 25. - №12.- С. 1063-1066.

11. Воличенко, И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами / И.Б. Воличенко // Весці АН БССР: Серия фіз. — матем. навук. — 1980. — №1. — С. 23—30.

12. Воличенко, И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами / И.Б. Воличенко // Весці АН БССР: Серия фіз. — матем. навук. — 1980. — №2. — С. 22—29.

13. Джамбруно, А. Кратности характеров полилинейной части многообразия А^ / А. Джамбруно, М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Ученые записки. Фундаментальные проблемы математики и механики. — 1988.- Т. 1. №5 - С. 59-62.

14. Джеймс, Г. Теория представлений симметрических групп / Г. Джеймс.- М.: Мир, 1982.

15. Зайцев, М.В. Новое экстремальное свойство многообразия алгебр Ли АИ2 / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Вествник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. — 1999. — №5. — С. 18—23.

16. Зайцев, М.В. О кодлине многообразий линейных алгебр / М.В. Зайцев, С.П. Мищенко // Математические заметки. — 2006. — Т. 79.— №4. — С. 553-559.

17. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре / А.Г. Курош. — СПб: Лань, 2005.

18. Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр / Кэртис Ч., Райнер И. — М.: Наука, 1969.

19. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. — М.: Наука, 1970.

20. Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями / А.И. Мальцев // Математический сборник. — 1950. — Т. 26. №1. - С. 19-33.

21. Мищенко, С.П. Многообразие алгебр Ли с двуступенно нильпотент-ным коммутанотом / С.П. Мищенко // Весці АН БССР: Серия фіз. — матем. навук. — 1987. — №6. — С. 39—43.

22. Мищенко, С.П. Нижние оценки размерностей неприводимых представлений симметричеких групп и показателей экспоненты многообразий алгебр Ли / С.П. Мищенко // Математический сборник. — 1996. — Т. 187. №1. - С. 83-94.

23. Мищенко, С.П. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над полем характеристики нуль / С.П. Мищенко // Математические заметки. 1986. - Т. 40. - №. 6. - С. 713-721.

24. Мищенко С.П. О некоторых классах алгебр Ли / С.П. Мищенко'// Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1992. - т. - С. 55-57.

25. Мищенко, С.П. Рост многообразий алгебр Ли. / С.П. Мищенко // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45. — №6(276). С. 25-45.

26. Мищенко, С.П. Цветные диаграммы Юнга / С.П. Мищенко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 1993. №1. - С. 90-91.

27. Мищенко, С.П. Некоторые экстремальные свойства многообразия ле-вонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, Ю.Ю. Фролова // Математические заметки, (в печати)

28. Мищенко, С.П. Многообразия алгебр Лейбница слабого роста / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Вестник Самарского государственного университета. Естественно-научная серия. —2006. — №9. — С. 19—23.

29. Мищенко, С.П. Необходимые и достаточные условия полиномиально-сти роста многообразия алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, О.И. Череватенко // Фундаментальная и прикладная математика. — 2006. — Т. 12. №8. - С. 207-215.

30. Мищенко, С.П. О многообразиях алгебр Лейбница почти полиномиального роста с тождеством x(y(zt)) ~ 0 / С.П. Мищенко, Т.В. Шишкина // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2010. - №3. - С. 18-23.

31. Мищенко, С.П. О почти полиномиального роста многообразиях алгебр Лейбница / С.П. Мищенко, Т.В. Шишкина // Летняя школакофнренция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов. Тезисы докладов. — Самара, 2009. — С. 37-38.

32. Рацеев, С.М. Рост некоторых многообразий алгебр Лейбница / С.М. Рацеев // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия — 2006. — Т. 1(46). — №6. — С. 70—77.

33. Рацеев, С.М. Рост многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутанотом /С.М. Рацеев // Математические заметки — 2007. — Т. 22 Выпуск 5. - Р. 108-117.

34. Скорая, Т.В. О некоторых многообразиях алгебр Лейбница / Т.В. Скорая, Ю.Ю. Фролова // Вестник Самарского государственного университета. (в печати).

35. Череватенко, О.И. Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр / О.И. Череватенко // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. — Ульяновск. УлГУ, 2008.

36. Шишкина, Т.В. О целочисленности экспоненты подмногообразий многообразия зК / Т.В. Шишкина // Ученые записки Ульяновского Государственного Университета. Серия Математика и информационные технологии. Ульяновск: УлГУ, 2011. - Т. 1(3). - №3. - С. 18-23.

37. Шишкина, Т.В. Левонильпотентные почти полиномиального роста многообразия алгебр Лейбница / Т.В. Шишкина // Университетскоеобразование: проблемы и перспективы. — Ульяновск, УлГПУ, 2009, — С. 94-97.

38. Abanina, L.E. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = о / L.E. Abanina, S.P. Mishchenko // Sedrica Math. J. — 2003. №3. P. 291-300.

39. Giambruno, A. Codimensions of Algebras and Growth Functions / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Advances of mathematics. — 2008. №217. - P. 1027-1052.

40. Giambruno, A. Polynomial Identites and Asymptotic Methods / A. Giambruno, M.V. Zaicev // Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. — Providence, 2005. — Vol. 122

41. Giambruno, A. On the colength of a variety of Lie algebras / A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev // Internat. J. Algebra Comput. — 1999. — №5.- P. 483-491.

42. Giambruno, A. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate / Giambruno A., Zaicev M.V. // Adv. Math. — 1999. — V. 142.- P. 221Ц-243.

43. Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras / Giambruno A., Zaicev M.V. // Adv. Math. — 1998. — V. 140.- P. 145Ц-155.

44. Higgins, P.J. Lie rings satisfying the Engel condition / P.J. Higgins // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1954. - №1. - P. 8-15.

45. Mishchenko, S.P. Varieties of linear algebras with almost polynomial growth / S.P. Mishchenko // Polynomial identities and combinatorial methods. — Pantelleria, 2001. — P. 383—395.

46. Mischchekno, S. P. Integrality of exponents of some abelian-by-nilpotent varieties of Lie algebras / Mischchekno S. P., Regev A., Zaicev M.V. // Comm. Algebra. 2000. - V. 28. - №9. - P. 4105-4130.

47. Mishchenko, S. A Leibniz variety with almost polynomial growth / S. Mishchenko, A. Valenti // J. Pure Appl. Algebra. 2005. - V. 202. -№1-3. - P. 82-101.

48. Mishchenko, S. A star-variety with almost polynomial growth / S. Mishchenko, A. Valenti // Journal of Algebra. 2000. - V. 223. - P. 66-84.

49. Mishchenko, S. P. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent / S. P. Mishchenko, M.V. Zaicev // Algebra, 11. J. Math. Sci. — New York, 1993. №6. - P. 977-982.

50. Skoraya, T.V. A new property of the Leibniz algebra variety with the identitu x(y(zt)) = 0 / T.V. Skoraya // 8th Algebraic Conference in Ukraine. Book of abstracts. — Lugansk, 2011. — P.224.