Некоторые граничные свойства супергармонических и М-гармонических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г 6 од

ИМЕНК К.В.ЛОМОНОСОВА МБ1анико-и2Т2иатич5ский Факультет

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

Кулиев Эль-чек ¿риф оглы

УЖ 517.55 + .57

НЕКОТОРЫЕ ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА СШРГАРМОНИЧЕСШ К ГАРМОНИЧЕСКИ! ФУНКЦИЙ

01.0'.01 - математический анализ АВТОРЕФЕРАТ

диссерташж нэ соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре теории функций и функцио-

нального анализа мехзЕико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научньш руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Е.П.Долхенко, Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Везущая организация - Казанский государственный университет.

в ;б час. ОО мин. на заседании специализированного совета Д.СБЗ.05.04 по математике при Московском государственном университете имени М.З.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, мехаяико-матем, факультет., аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-матэматаческого факультета МГУ (главное здание, 14 этаж.)

Автореферат разослан " /У" СИМШ 1Лб]и11993 г.

Ученый секретарь специализированного совета по математике Д.С53.05.04 яри МГУ доктор физико-математических наук, профессор

профессор В.Я.ГаврИЛОБ,

кандидат физико-математических

наук Б. I.Пианов.

' Т. П. Лукашенко.

. ООшая характеристика работы'.'

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория грэничЕых свойств функций из различных функциональных классов, в частности, теория особых точек таган функций, возникла на рубеже Х1Х-ХХ веков. Задачи, которыми занимается, эгс направление математического анализа, возникают как е самой теории, так и в снежных дисциплинах - в теории уравнений в частных производных, теории потенциала, теории аппроксимации функций одного и нескольких комплексных переменных. Фундаментальные результата в теории граничных свойств аналитических к гармонических функций были получены П.Пенлеве, Д.Помгоию, П.Фату, А.Давжуа, Г.Харди к Дж.Литтлвудом, братьями Ф. к М. Рисс, К.К.Лузиным, У..К.Приваловым, Б.Ь.Голубевым, В.С.Федоровым, Р.Кеванлшной, ЕЛ'. Смирновым, К.А.Лаврентьевым, М.Е.Келдышем, Л.Кзрлесонок, А.Г.Витуткиным, Е.П.Долженко, А.А.Гончаром, У.Рудинык, Е.М.Чирков к другими аналитиками.

Кз результатов полученных в последние годы отметик теорему М.Г.Голузиног 1, согласно которой супзргармоническая ь полупространстве кз р" функция не может иметь б качестве некасательного предала на множестве псложиткое-вое (г—' >-мера с?. меры за границе зтохс. полупространства. Это утверждение - прямое ойо^шениэ классической теоремь: Привалова. Как и в плоском случае из него непосредственно вытекает соответствующая граничная теорема единственности типа Лузина-

1Голузина М.Г. Теорема Лузина-Привалова для субгармонически! функций. // Матем. заметки, 133С, Г 4?, 157-158.

Привалова (для случая гэкасательных предельных значена голоморфных функция).

3 настоящей диссертации содержатся различные обобщения теоремы Голузиноа, э также изучается граиичЕыэ свойства ангармонических функшз в подобластях единичного шара 3 из с" и множества неизолированных особых точек этих функций.

^-гармонические функции суть решения уравнения ди~з, где д. - оператор Лапласа-Бельтрзми на заре 3 , наделенном метрикой Бергмана, иначе называемый инвариантным оператором Лапласа (точнее определение ^-гармонической функции см. ниже з разделе "Содержанке работы"). Оператор д коммутирует с любым биголоморфиым автоморфизмом у шара 3 в том смысле, что = (д• 3 более общей ситуации такие опера-

торы изучались в работах Хуа Ло-Кена, А.Кораньи, С.Хелга-сона, М.Стейна и других. Термины "инвариантный оператор Лапласа" и "л-гармоническая функция" были зведены, по-видимому, У.Рудиным в его монографии которая содержит первое систематическое изложение основ теории ж-гармонических функция.

На комплексной плоскости имеем д = (\-\z\2)2 д , где д - обычный лапласиан, ¡гК1, так что классы -«-гармонических и гармонических фуЕкша в этом случае совпадают. В многомерном случае функции этих классов обладают многими аналогичными друт другу свойствами, однако существуют и различия.

2Rudin V. Function theory in the unit ball of cn. Springer Verlag, Berlin New York, 1930 (pyc.nep. M.:Mnp, 1984).

Отметин лишь два результата, характерных для -^-гармонических функций. Во-первых, для того,- чтобы функция была плзсригармо-ческог б В (то есть была вещественной частью голоморфной в В функции) необходимо и достаточно, чтобы она одновременно была ^-гармонической и гармонической в В (Ф.Форелли ^). К во-зтсрых, ^-гармоническая в В с сг функция, п рзз непрерывно дифференцируемая вплоть до ав , плвригармонична в В (К.Грэхем 4).

^-субгармонические функции были введены Д.Ульрихом 5, который доказал для этих функций аналог теоремы Риссз о разложении. Граничные свойства ^к-гармокичвских функций изучались также в работах Цимз и Стентона (1985), Суэяро (1986), Мацугу (1936), Хана и Сингмана (1988), Столлз (1989). ^-гармоническим функциям посвящены также работы Изучи (1988), Аграновского (1893), Ахернз и Рудинз (1991), Хана и Юссфи (1931), Ахернз и Касканте (1992), Дч;эс Еиинга (1992). ЦЕЛЬ РАБОТУ. ' ) Исследование граничного иеопзэтп*-

ченных гармонических функций, их обобщений и аналогов.

2) Получение интегральных представлений ^-гармонических функций, их приложение.

зГогеШ Г. PluriftamioniciTy in terms of harmonic slices.// Math. Scand., 1977, V 41, 358-364.

¿GrahsE C.R. The Dirichlet probleE ior the Bergman Lspls-cian I.// Coehl. Part. Dili. Sc., 1933, V S, 433-476.

sUiinch 2. Radial limits ol ^-subharsonic functions.// Trans. Amer. Math. 5oc., 1985, V 292, if 2, 501-518.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются метода теории фушшиа многих действительных и комплексных переменных, теории меры, теории уравнений в "частных производных. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссерггации получены следующие новые результаты.

1. Доказано, что функция, супергамоническая в липшишвой области из ж"*1 , не может иметь некасательный предел -к» на множестве положительной п-мерной меры Лебега на границе этой области.

2. Доказано, что функция, кратносупергармоническая в про-

п

изведении р полупространств (1<к<р), не может иметь некасательный предел +® на множестзе положительной меры на остове этого произведения.

3. Доказано, что -и-супергармоническая в В функция не может иметь -ко в качестве К-предела на множестве положительной меры на границе шара В.

4. Получены интегральные представления -и-гамонических функций в подобластях шара В и рассмотрены их приложения.

5. Доказана теорема о К1-пределе интеграла Пуассона-Сеге от функции, суммируемой на сфере Б = <?В и неизотропно дифференцируемой в некоторой точке на Б.

ПРИЛОЖЕНИЯ. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории граничных свойств гармонических функций и их аналогов, теории потенциала, теории дифференциальных уравнений в частных производных. АППРОБАПИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Результаты диссертации докладывались в МГУ имени М.В.Ломоносова на семинаре по теории приближения

к граничным свойствам функций (руководитель профессор Е.П. Долженко), на семинар© в Институте математики и механики АН Азербайджана, на Одесской школе по теории функций (1891г., сентябрь) и на конференции "Проблемы нелинейного анализа" (Махачкала, июль 1992г.).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 5 работ список, которых приведен в конце реферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих шесть параграфов и списка литературы из названий. Общий объем работы страниц.

Содеркание работы.

Во введении приведен краткий исторический 'обзор, даны некоторые определения и обозначения, сформулированы основные результаты.

Е §1 первой главы доказана следующая теорема. теорема 1. Пусть функция и(г) определена и супергармонична в липшитавой области о с с?"*1 (ц>1), Е(и) - множество всех точек седБ , в которых и(2) имеет -и» своим, некасательным пределом. Тогда Е(и) имеет п-мерную меру Лебега нуль на <?Б: ше£п1 = 0.

Следствие. Если функцда ¿(г) голоморфна в липшицэвой областн из сь (п>1) и имеет нулевой некасательный предел ва множестве положительной (2п-1)-мерной меры на границе этой области, то = 0.

Сформулирован аналог теоремы 1 для суперрешенкй равномерно эллиптических уравнений с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в липшицевых областях'из .

Во втором параграфе главы I содержится следующий результат.

теорема 2. Пусть функция и^ ,... ,г ) (2. =<х,у. ), х « к", у. е ж, 1=1,...,р определена на декартовом произ-

п. 1

ведении полупространств к/ = {(х^ )'• \ € . У1 > 0>

п . + 1

(1=1,...,р) и при каждом 1=1..,р сугаргармонична в к/ по г. = Ц ,у._ ), (при каждом наборе фиксированных остальных

п * 1 п * 1

2. , 3 ¡«1), Т = ак/ х...х аи^ р . Тогда множество Е(и) всех точек с«=1, в которых и(г......г ) некасательным образом стремится к -н» , имеет меру нуль на Т :

п г»

тез 1 . р Е(и) = 0.

Для изложения результатов зторой главы введем некоторые определения и обозначения.

Ддя 2,а « В через р&(г) обозначим дробно-линейное би-голоморфное отображение шара В на себя, меняющее местами точни а и 0 . Для любого открытого множества о с в инвариантный оператор Лапласа д определяется на функциях Цг) е С2 (п) .следующим образом: (дП(2) = д(£-?_)(0), где г « п , д - обычный лапласиан.

Функция Г(2) € С2 (л) называется ^-гармонической на п, если в любой точке а е п имеем (д!)(а) = О-

Функция и(2): В - (—оо, -ко] называется ^к-супергармони-ческой, если она полунепрерывна снизу и в каждой точке а е В душ всех г е С0,1) выполнено неравенство

и(а) ^ Г и(р0(гс ))йо(с) , где Б = ав, б - мера Лебега на Б а

,S , нормированная условием o(S)=1.-

Непрерывиая в В функция f(z) ^-гармонична тогда и только тогда, когда последнее неравенство обращается з равенство при любых а е в, г « [0,1).

Ядро Пуассона-Cere (инвариантное ядро Пуассона) в шаре 3 определяется следующим образом ?(z,<) = (1-|z|2)n х

х 11 -<z>|"2п, где zeB, <z,f> = Ц.Г^Сь, Iz| =

Через (Pf)(z) будем обозначать интеграл Пуассона-Сеге (инвариантный интеграл Пуассона) от функции £ е (S): (Pf)(z) = J P(z,?)i(?)do<f).

Заметим, что при п=1 и только в этом случае ядро (интеграл) Пуассона-Сеге совпадает с обычным ядром (интегралом) Пуассона в единичном круге из с. При п>1 интеграл ДуассоЕа-Сеге решает в В первую краевую задачу для инвариантного уравнения Лапласа ли - 0.

Для а>1 и обозначим через Da(?) множество

всех таких точек zee" , что j1-<z,s>| < a(1-|z|z)/2. Будем говорить, что функция f(z) имеет з точке К-пре-

делом число А, если для любого а>1 и для любой последовательности (zk te Ва(0. сходящейся к с, £(z* ) - А при 1с - а> . Из наличия у функции К-предела в точке c^S следует существование некасательного предела в зтоа точке, однако обратное неверно, поскольку область Da(с) содержит и касательные к S пути, ведущие в с.

Инвариантный оператор Лапласа может быть записан в еле-

• дующей форме: (д!)(а)= 4(1-|а|2 )Еа "к = 1 -к-а. ^ >(В. )(а),

где аеВ, 1(г)еСг(В), Б = ¿»/¿»г. , Бк= , 6^к = 0 при о *к,

6 = 1. 3 о

Введем обозначения N. = (1-1212 )"п Е " (6..-2. г. )Б ,

к j — j'c j

\ = (1 -12 |г " (6.к-2.2к )Б. , №(2) = йг^.-.Л^ ,

«к (2) = (-1й24л...[к]...лйгп , где символ [к] означает, что к-Е член йгк пропущен.

Функция Грина си,г) с полюсом в точке г е в для инвариантного уравнения Лапласа в шарэ В задается формулой: с(2,г>= в(р_(1>>, гда иъ, ё(р)= о г1 (т-г2)"'1 г2"1^,

^ 1Р1

Ьп = 2(-1)п,п~1>'2<п-1>!/(2я1),\

Отметим, что функция. £(р) - сферически симметричное решение инвариантного уравнения Лапласа в В\(0> .

Для множества Тсс" и неубывающей и положительной при г>0 функции у(г) через веБ^т будем обозначать внутреннюю хаусдорфову у-меру множества V, а через ч(6Д,У) -модуль непрерывности порядка 6 функции Кг), определенной еэ множестве V.

Определение Фушшию К?) (?=(?, ,?2.....?п) е Б ) назовем неизотропно дифференцируемой в точке Б , если существует таког многочлен Г(?) от переменных Ие ?. , 1ш ?. (1=1,...,п ) степени.не выше двух, что в окрестности точки

на Б имеем КО = Г(?) + о( ,гг°) ), где й(с,т?) -- нэизотропзая квазимэтрика на Б: й(? ,тг>| (5 ).

При n=i зга квазиметрика совпадает с обычной евклидовой метрикой на единичной окружности. Поскольку при п>' для любых i -s 5 верны неравенства s £ I?-7?!, то функция, неизотропЕО дифференцируемая в точке , дифференцируема в этой точке з обычном смысле (как функция на многообразии 5 ). Очевидно, из дифферендаруемости функции не следует ее неизотропная дифференцируемость.

Для z^B через I7(S(z)) обозначим касательную плоскость к сфере S(z):= Cte<cn: iti = izi> в точке z. Определение. Пусть I е T^(S). Скажем, что функция i(z)

класса С1 (В) имеет з точке ? KL-предел, если для каждого а>1, каждой последовательности точек {z*}^^ Da(f). стремящейся к ?, при к - ш , и каждой последовательности

касательных векторов CIk е Т (S(zk)}a' , сходящейся к век-

z * ~1

тору L , существует предал Ид. (Llti)(zk).

В §1 главы II доказана

теорема з. Если функция u(z) z +оо является -н-супер-гармонической в В , а Е(и) - множество всех точек c^S, в которых u(z) имеет -и» своим К-предалом , то о{Е(и)) = 0.

В §2 главы II для -«-гармонических функций получен аналог представления гармонических функций в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя. А именно, доказана

теорема л. Пусть п - область в шаре В с с" с границей <ю класса С2 , г = эо ^ s . Если функция Hz) ^-гармонична з области п и непрерывно дифференцируема вплоть до ее граниш , то в любой точке а е о справедлива

1С.

формула:

1<в) = J î(z) E <KkG)(s,z) *k(z) л s(z) -

<ю\г 1

- J G(e,z) E " (Ni Hz) Ï (z) л w(z) +

«3NT

+ J (1 -Iai2 )n I l-<z,a> f2n i(z) tto(z) , p

В качестве следствия установлена единственность решения задачи Кош для инвариантного уравнения Лапласа: если о -область в шаре В , у - открытый дважды гладкий кусок ее граниш, функция ï(z) ^-гармонична в n , непрерывно дифференцируема в о вплоть до у и I(с)= gradi(i)= 0 на у, то Hz) = 0.

Е.П.Долженко 0 получил интегральное представление гармонической функции в случае, когда последняя имеет в области о некоторое множество неизолированных особых точек и при приближении к во ведет себя достаточно гладким образом. В §3 главы II настоящей работы для л-гармонических функций получен аналог этого представления.

теорема ъ. Пусть о - область произвольной связности Б шаг» В с с" , Е - подмножество в о , не имеющее внутренних точек, v(r>- неотрицательная и неубывающая при г>0 функция.

Если mes X < » при у (г) = rn"4v(r), Hz) e >t(o\I) ,

s v(r>, i,o\I) < y(r>, l,n\I) < v(r)

0 Долженко Е.П. 0 представлении непрерывных гармонических функций б виде потенциалов // Изв. АН СССР, серия матем., 1964, т.28, 1113-1130.

(k=i ,...,n), то 1{z) представила з ям з виде :{z) = u(z) - J.. G(z,0(i-iC!2 У л (С >. d3esy(c) -

- J., (N. GHZ.Í )t\ (c) aseste) ,

где u(z) - ^н-гасмоЕична в я , H - замкнуто в n, н с i,

ч(с ), (С) - измеримые по Борелю функции, модули которых ограничены сверху числом, зависящим .тишь от п.

С помощь» этого интегрального представления переносятся на .н-гзрмонические функции теоремы Долженко7 об устранимых особых множествах гармонических функций. В частности, получается

теорема 6. Для того, чтобы множество Е с 3 было устранимо для класса Функций, имеющих в области с В производные из Lip с. (0<а<1) и .«-гармонических з я\Е, необходимо и достаточно, чтобы дез2""1 1 = 0.

3 §4 главы II классическая теорема Фату о существовании некасательных пределов трансверсальноя производной интеграла Пуассона з граничной точке :-сруга, з которой граничная функция дифференцируема, распространяется в соответствующей форме на интеграл Пуассона-Cere з шаре 3 с с" .

теорема 7. Если функция f суммируема на 3 и неизотропно дифференцируема в точке , то для любого 1 •= Т,(S) интеграл Пуассона-Сегэ от Г имеет з точке ; KL-предэл, равный (lí)(0-

7 Долженко Е.П. Об особых точках непрерывных гармонческих функций. // Изв. АН СССР, 1964, т.28, 1251-1270.

Построен пример, показывающий,. что для. функции, диффе- ■ ренлируемой б точке £ье 5 (б обычном смысле), утБврищение теоремы вообше говоря не выполняется .

В заключение хочу вьгрззить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Е.П.Долженко за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Кулиев Э.А. О бесконечных граничных пределах гармонических к ^-гармонических функций.// Деп. в ВИНИТИ.

2. Кулиев Э.А. О бесконечных некасательных пределах гармонических. // Матем. заметки, 1991, Т 50, выл.З, с. 76-8С.

3. Кулиев З.А. О бесконечных граничных пределах -^-гармонических функций.// Вестник Моск. ун-та, сер. I. Математика. Механика. 1991. Ко, с. 81-53.

4. Кулиев З.А. Интегральные представления ^«-гармонических функций. Теорема единственности. Особые точки./'/" Деп. Е ВИНИТИ, /4.01.3$, 33>С.

5. Кулиев З.А. О граничном поведении неограниченных супергармонических функций. // Дел. ь ВИНИТИ. /V- £<?з

С?-$3, <Ус,