Некоторые комбинаторные задачи теории решеточных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретическая и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

КАБАНОЕИЧ

Вячеслав Игнатьевич

УДК 531.19

Дубна - 1990

Работа выполнена в Институте системного анализа Академии творчества СССР и на физическом факультете Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научные руководители: член-корреспондент АН СССР профессор

доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник

Н.Н.Боголюбов.

А.М.Курбатов.

Официальные оппоненты: доктор.физико-математических наук ведущий научный сотрудник доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник

В.Б.Приезжев,

Ю.М.Кабанов.

Ведущая организация Вычислительный центр АН СССР.

СО

Защита диссертации состоится 199'с( г. на заседа-

нии Специализированного совета К 047.01.01 Лаборатории теоретическое физики Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенног института ядерных исследований. Автореферат разослан 'Ь-^о " ^вХО^Л 1990г.

Ученый секретарь совета кандидат физико-математических наук

А.Е(йорохо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В современной теории критических явлений большое внимание уделяется исследованию полуклассических моделей, начало которому положила модель Изинга. Этот интерес обусловлен как нетривиальностью содержания, отражающего многие свойства физических систем, так и невозможностью получить достаточно достоверное решение для более реалистичных моделей. Решеточные модели поставили и нетривиальные математические проблемы, решение которых стимулирует прогресс современной математики.

Точные решения для решеточных моделей получены лишь в отдельных случаях, так что остается актуальной проблема развития приближенных методов. Общим свойством известных приближенных методов, систематически повышающих точность вычислений, является быстрое нарастание объема вычислений при переходе к высшим членам последовательности приближений. По этой причине важное значение имеет выбор метода, обеспечивающего как хорошую точность в низших порядках приближений, так и регулярную сходимость их последовательности. О этой точки зрения, предложенный Энтингом метод конечных частей решетки заслуживает более серьезного внимания, чем только использование его в качестве технического приема для построения разложений термодинамических функций в двумерных решеточных моделях.

В теории решеточных систем важное значение имеет и развитие численно-аналитических методов определения функций Грина.

Цель настоящей работы заключается в решении ряда комбинаторных задач метода конечных частей решетки и теории решеточного потенциала. Выполненные исследования подчинены развитию общего научного направления диссертационной работы - численных методов теории решеточных моделей статистической механики и математической статистики.

Научная новизна и практическая ценность работы:

1. Построен метод анализа асимптотических свойств кластерног

I

разложения, основанный на диаграммном анализе.

2. Построен метод расчета коэффициентов Энтинга в основном сс отношении метода конечных частей, что позволило явно вычислить коэЗ фициенты Энтинга для треугольной решетки. •

3. Введено понятие сокращенных соотношений метода конечных час тей решетки, а также соотношений, обеспечивающих наиболее полную ш формацию о системе при заданной сложности вычислений.

4. Для оценки остаточной энтропии д-компонентной антиферрома] нитной модели Поттса на гшеркубической решетке проведено сравнен результатов метода Уд-разложения и метода конечных частей щ специальных граничных условиях.

5. Для модели димера на квадратной решетке осуществлено сочет ние метода конечных частей с диаграммным анализом. Построен алг ритм, вычисляющий диаграммную сумму Нэйгла на прямоугольных част решетки. Метод конечных частей применен для улучшения численн оценки молекулярной свободы димера.

6. Построено рекурсивное определение решеточной функции Грина

Перечисленные положения выносятся автором на защиту.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались

семинарах Лаборатории теоретической физики Объединенного инститз ядерных исследований, Отдела статистической механики Математическс института им. В.А.Стеклова.

По материалам диссертации опубликовано шесть работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четы] глав и заключения. Объем диссертации составляет 110 страниц. Спи< литературы содержит 53 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цель и задачи исследований, обоснована юс актуальность, перечислены основные известные результаты в области построения и применения кластерного разложения и метода конечных частей решетки.

В первой главе разработан метод анализа асимптотических свойств кластерного разложения.

В первом параграфе приводится краткое описание полуклассических моделей спиновых систем в статистической механике и трансляционных решеточных констант, возникающих при построении разложений свободной энергии в ряд по физическому малому параметру в случае трансляцион-но-инвариантной системы.

Во втором параграфе решается в общем случае проблема применимости кластерного разложения для построения разложения свободной энергии в ряд по заданному малому физическому параметру. Формальное решение проблемы не зависит от выбора малого параметра и исходит только из требования существования диаграммного представления статистической суммы такого, что в каждый порядок разложения по заданному малому параметру вносит вклад конечное число диаграмм. Для любой трансляционно инвариантной модели с близкодействием существует отвечающее этому условию высокотемпературное диаграммное представление. Требуемое низкотемпературное представление существует только при нулевой остаточной энтропии.

Сущность метода состоит в оценке снизу порядка малости кластерной функции по известной диаграммной функции на основании точного соотношения, связывающего кластерное разложение с произвольным диаграммным представлением. Таким образом, не проводя точных вычислений кластерной функции, оказывается возможным упорядочить множество

кластеров в соответствии с малостью их вкладов. Исходя из некоторог диаграммного представления статсуммы

2(я) = Е Ф(я').

Л/Й1

и уравнения, определяющего кластерную функцию Ф(лс) (под кластере понимается часть решетки со всеми взаимодействиями множества е спиновых переменных)

1пЯ(яс) = Е Ф(я£).

для функций Vф(зtc), ^(л) порядка малости диаграммной и кластернс функций, определенных соотношениями

Ф(л) = О [я ф I, ф(лс) = о1я ф 0 I,

при заданном малом параметре х, имеем неравенство

чЛл,,) > т1п ЧЛл'),

где в входят такие части решетки л', перенося связные компонент которых трансляциями на решетке С, можно получить связную л множеством вершин, совпадающим с множеством вершин %с.

Во второй главе изложены основные положения метода конечнь частей, решены некоторые комбинаторные задачи, связанные с пострс ением его основных соотношений и рассмотрены вопросы дальнейше1 развития и применения метода.

В первом параграфе рассмотрены особенности метода трансферма1] риц на конечных частях решетки, связанные с требованием построеш оптимального алгоритма суммирования конечной статсуммы.

Во втором,параграфе изложены основы метода конечных частей рассмотрен пример оптимизации Энтинга на квадратной решетке. Сформ: лировано условие, при котором множество конечных частей решеи может быть выбрано для построения метода конечных частей на осно]

кластерного разложения с множеством диаграмм (?с и функцией размещения L(g.g'): Vg б G 3 g{ e Gf: Vg} 6 <?f: L(g,g}) = L(gf,g}). Функция Ф^(я^), определяемой уравнением

lnZ(gf) = имеет порядок малости v^(g^)

<ff(gf) = o(xVf(Ä/)), который оценивается через v^gg) неравенством

vf(g,) > min v (g ), г r g0eG(gr) ф ß

G(gr) = {gc: Vg} e Gr: L(gc,g}) = Kg^.g})}.

Для основного соотношения введены понятия сложности, определяемой через размерность используемых трансферматриц, и порядка приближения как порядка малости по заданному малому параметру его отличия от точной свободной энергии. Оптимизацией Энтинга названы соотношения, не содержащие вкладов от частей решетки, порядок* малости функции которых превосходит порядок приближения соотношения. Рассматривая последовательность соотношений, полученных в оптимизации Энтинга, удобно ввести понятие порядка соотношения.

В третьем параграфе проведен анализ оптимизации Энтинга на треугольной решетке, и явно вычислены коэффициенты основного соотношения. Множество Gf включает кластеры . gp ограниченные выпуклыми шестиугольниками, стороны которых параллельны осям решетки, заданным парами ближайших соседей, так что g^ однозначно определен шестью числами, равными числу вершин на соответствующей стороне

g^ = (lp...,lg), l^e N; ¿i+l2 = Коэффициенты C^ (gf) основного соотношения порядка l в опти-

мизации Знтинга

Г1 = Е С1(вг)1пг(вг).

при I > 6 определяются формулой

С1(я/) = С{1-Кёг),шг)),

где

6 6 = Е I1 - 6, С(вг) = Е 0(14,1).

а все ненулевые С(а,Ь) сводятся к таблице

ъ а 0 1 2 3 4

0 1 1 1 1 1

1 -5 -4 -3 -2 -1

2 10 6 3 1 -2

3 -10 -4 -1 0 2

4 5 1 0 0 1

5 -1 0 0 0 -1

В- четвертом параграфе введено понятие сокращенных соотношений метода конечных частей для квадратной и треугольной рнгеток. Еттем дополнения соотношения оптимизации Энтинга вкладами ксечеых частей сложность которых не превосходит сложности соотнопвся Энтззга, минимизируется число отличных от нуля коэффициент в новом соотношении. Например, для квадратной решетки получек соотношения, в которых имеется только 7 ненулевых коэффициентов

Г1 = 21п2(21,I) - 21п2(21-1,1) - 21п(21,1-1) + 21п£(21-1,1-1; - Ш(1,1) + 21п(г-1,о - тг(1-1,г-1).

В пятом параграфе рассматриваются два подхода к х^аменених метода конечных частей. Традиционно метод конечных частег гспользгетсг

как вспомогательный при построении разложений свободной энергии двумерных решеточных моделей. В связи с этим показана возможность его улучшения путем вычисления ведущих порядков Ф^-функции прямым суммированием диаграмм. Метод конечных частей может применяться для непосредственной оценки величин в статмеханике. При этом, в целях наибольшего использования информации о системе, полученной методом трансферматриц и заключенной в точных значениях конечных статсумм, следует подставлять их в соотношения, содержащие наибольшее число вкладов заданной сложности. Такой подход равно применим как к двумерным так и к трехмерным моделям.

В третьей главе перспективы развития метода конечных частей решетки изучаются на двух хорошо известных и исследовавшихся ранее другими методами задачах статмеханики.

В первом параграфе проводятся оценки остаточной энтропии антиферромагнитной модели Поттса, причем наибольшее внимание уделяете случаю д = 3 на квадратной и кубической решетках.

Ненулевая остаточная энтропия вызывает в ряде случаев трудности при описании низкотемпературного поведения. Нельзя построить диаграммную технику такую, что вклад в каждый порядок низкотемпературного разложения будет исчерпан конечным числом диаграмм, и, следовательно, вычисление каждого коэффициента в таком разложении представляет собой нетривиальную проблему статмеханики. В связи с эти совершенствование численных методов должно обеспечить надежны! оценки коэффициентов разложения, достаточные для описания свойст: низкотемпературного состояния. Остаточная энтропия есть коэффициен нулевого порядка в гаком разложении.

Метод конечных, частей решетки может быть реализован на основ кластерного разложения, получаемого через кратность вырождена

основного состояния при свободных граничных условиях

ЙЧЛ) = Е П [1-0(5^5^)1. я С С. {5£} <и)

Малым параметром такого разложения является 1/ц. Для регулярны решеток удобно выбирать параметр разложения

х =

обеспечивающий сравнительно медленный рост коэффициентов (х(С) • хроматическое число решетки С).

Для треугольной и квадратной решеток использование метод; трансферматриц позволило вычислить 18 и 26 порядков разложения соответственно. При х < 1/3 точность оценок по полученным формула: не хуже, чем 0.001}6, но при х = 1/2 ряды сходятся медленно и дости гается лишь точность (в обоих случаях - q = 4 на треугольной : ц = 3 на квадратной решетках известны точные решения). Для гиперкубической решетки при выполнении условия

1/д-разложение не дает удовлетворительных результатов. Использовани точных статсумм в соотношениях метода конечных частей в этом случа также не приводит к заметному улучшению оценок.

Рассмотрен известный метод "растущих клеток", сводящийся : приближению остаточной энтропии следующим выражением

гмч.ч)

^•Ч) = + еп-

где и>(<1^) - экспонента остаточной энтропии на (1-мерной гиперкуби ческой решетке, - кратность вырождения на гиперкубе пр:

свободных граничных условиях, - кратность вырождения

одной исключенной угловой вершиной, еп - точность оценки. Путем со поставления с кластерным разложением выявлена некорректность этог

выражения, поскольку сп = 0(q-11) при всех п > 4 на квадратной решетке и &п = 0(q~5) при всех п > 2 на решетках высших размерностей, причем коэффициент при главной асимптотике не зависит от п, и нет

оснований полагать, что хотя бы для некоторых значений q lim е_ = о.

п-к» п

Для улучшения результатов кластерного разложения следует использовать произвол в его построении, связанный с граничными условиями. В данном случае удачным нулевым приближением является точная оценка снизу

ш(d,q) > q/2 при четном q,

Г 2 I1/2 w(d,q) > 1/21 q^" - lj при нечетном q,

получаемая при рассмотрении конфигураций основного состояния,

удовлетворяющих условию

s^ б Qj, если I б s^ е Qg, если t e С

где £2 - подрешетки, a Qj, Q2 - разбиение множества Q значений

s - переменных: QjU Q2 = Q, QjH Q2 = Я с числом элементов равным q/2

при четном q и (q ± 1)/2 при нечетном q.

Кластерное разложение, обладающее таким нулевым приближением,

строится на основе статсуммы

Й(л) = Е' П [l-ö(s£isj)], {s£> <ij>

отличающейся от 17(л) тем, что суммирование проводится по конфигурациям, в которых е Q, если ¿ел- внутренняя вершина в л, и Sj е QÄ, если I б ^л П ] - граничная вершина в л.

Система строгих неравенств для статсумм 17(л) и ^(л) позволяет показать их эквивалентность в пределе л - С.

Особенностью кластерного разложения при нечетных q является неэквивалентность подрешеток С^, £2> приводящая к необходимости определить множество диаграмм как множество частей решетки, непереводи-

мых друг в друга четными трансляциями (такими, при которых образ £' некоторой вершины I принадлежит той же подрешетке). Тогда кластерное разложение для гиперкубической решетки принимает вид

Ю(й.й) = П (фе(в(1))фе(в(2))] 1/2. где и переводимы друг в друга нечетной трансляцией.

Учет одновершинного кластера, являющийся нулевым приближением в построенном кластерном разложении восстанавливает значение описанной выше оценки снизу. Корректность метода конечных частей, основанного . на статсумме Й(л;) следует из того, что обеспечивается конечность множества диаграмм, дающих вклад в каждый заданный порядок разложения по параметру х = 1Д1, хотя при равной сложности достигается меньший порядок, чем в методе, основанном на йЧл). Превосходство этого подхода состоит в появлении нового малого параметра, обращающегося в нуль при (1 -» со.

При q = 4 рассматривается статсумма

«3,+СЬ), ч

= Е П (V) П 2 1 1 [1-6(5^)], (¿^ 1ел ал

где = 1, если е {1,2}, I е С2 или е {3,4}, I е С^ и б( = С в остальных случаях. Сопоставление ^(л) и $(л) при <з = 4 показывает, что если = {^,...,1^}, %2 = (11+2.....то

= тау11511 х = 2"2с1' 2 г

и в термодинамическом пределе

и>(с!,4) = 2шх(й) з 2 Иш^Ся)] при х = 2 .

По определению, величина ^(й) при фиксированном с1 являете* функцией произвольного х, и ее анализ, в том числе и оценка щи частном значении х, может проводиться по разложению в ряд по х

Расчеты показывают, что уже при с1 = 3 результаты этого метода . существенно улучшают результаты 1/ц разложения. Получена оценка

ш(3,4) = 2.06 ± 0.02.

При ч = 3 рассматривается статсумма

г пМл) - а, (а,+осг1)', ч

=Ш Е П1(П 2 1 ^ 1-6(5^) , {я{} ¿ел <и>

аг = 1 - 0(5£,1), я2(П) = ||л П С2\\, где суммирование производится по таким конфигурациям, что е {2,3}, если I е л П ¿2 граничная вершина в л и е {1,2,3} для остальных вершин в л. В этом случае также справедливы утвервдения, аналогичные сделанным для ^(л) при д = 4. Расчеты показывают, что для квадратной решетки оптимизация Энтинга с использованием точных значений статсумм ^(л) и (7(л) приводит к одинаковым результатам; для кубической решетки выявляется качественное превосходство метода основанного на (7^л). Получена оценка

Ы»(3,3) = 1.445 ± 0.002.

Во втором параграфе для модели димера решаются вопросы, связанные с оптимизацией метода трансферматриц, дополнением метода конечных частей прямым перебором диаграмм ведущих порядков, и оценкой молекулярной свободы димера в плотной упаковке (для квадратной и кубической решеток).

Согласно определению модели димера, всякая совокупность т пар ближайших соседей на решетке и инцидентных им 2т различных вершин дает вклад в статсумму равный (г - активность димера)

2(Л) = Е 2я1 б[и(л') - 2п(л')]. л'сл

Для определения статсуммы 2(л) через г-переменные вершин решетки следует положить число элементов множества Я значений я перемен-

ных равным (г+1), где г - число ближайших соседей вершины. При stoi трансферматрица, отвечающая добавлению n-вершинного слоя, имев' размерность (r+l)". Однако, использование свойств множества разрешенных конфигураций позволяет построить алгоритм, при котором размерность трансферматрицы га-вершинного слоя сводится к 2п. Расчет) проведены на прямоугольных частях квадратной решетки npi

Ц + 12 < 21, что дает 19-й порядок в разложении по активности даме ра. Следующие 4 коэффициента получены потем построения прямым пере бором классов диаграмм, дающих ведущие вклады в Ф-функцию прямоу гольных частей рещетки. Введена коэффициентная функция I)

Qü) = Фг(1',1-Г) = Е (-1 )l+\(l)zí_3+fe, l'=l Jc=l

и сделано предположение о представимости в виде

QkU) = Uk(l)Zl + Rk(l), l > к+2, где Uk(l), Rfril) - полиномы переменной I. При к = 1,2,3,4 явный ви этих полиномов получен диаграммным методом и проведена независима проверка путем сравнения' частных значений при к+2 < I < 21 с резуль татами метода трансферматриц. Заметим, что для всякого к, для. кото poro верно разложение Qk(l) по полиномам U и Я, достаточно использс вать диаграммный метод только как средство оценки сверху степене полиномов U и Я, тогда их коэффициенты определяются из систек линейных уравнений с известными частными значениями I) Окончательный ряд для функции

w(z) = lim Z(n) jw:1 *

приведенный в работе, содержит 23 порядка, что на 8 порядков улу* шает результат Гонта.

Для улучшения численных оценок молекулярной свободы u^j димера

плотной упаковке, определяемой асимптотикой

Ш(2) = 21/2(Ц)0 + 0(2"1/2)), метод конечных частей построен на основе диаграммного представления Нэйгла, использующего граничные условия, которые обеспечивают в нулевом порядке диаграммного разложения восстан'овление приближения Бете. Показано, как кластерное разложение может быть использовано для упрощения вывода представления Нэйгла.

Описаны алгоритмы, реализующие метод трансферматриц для вычисления как непосредственно диаграммной суммы Нэйгла так и порождающей ее статсуммы, причем на кубической решетке последний обладает заметным преимуществом.

Найдены члены последовательностей ©^оценок величины ш0 дс й = 23 для квадратной и к = 11 для кубической решеток путем подстановки в соотношения Энтинга точных значений статсуммы, вычислении) при значениях параметра Нэйгла, соответствующего г -* со, Анализ показывает монотонный характер сходимости последовательностей, приче» основной вклад в разность ю^- и>0 дает регулярный член . ед/&2 исключение которого обеспечивает следующие точные знаки величины и>0 а>0 = 1.3385.... на квадратной решетке, = 1.568... на кубической решетке.

Гонт установил, что последовательность Падэ-аппроксимантов дл, ряда Нэйгла в случае квадратной решетки не показывает сходимости, флуктуирует в интервале значений 1.334 - 1.342, так что описании метод существенно превосходит результаты анализа Падэ-аппроксиман тов. Для оценки а>0 кубической решетки Гонт, опираясь на анализ Падэ аппроксимантов, полагал точными знаки ш0 = 1.565..., так что и этом случае полученная в настоящей работе оценка выявляет превос ходство метода конечных частей.

В четвертой главе рассмотрены функции Грина разностны операторов и получена система уравнений, одним из решений которо

■з

является функция Грина f(r), г е С с R

Е р(г')Г(г+г') = 0, г * 0; г'

Е [r»r']p(r'K(r+r') = 0. г'

Для ряда частных случаев показано, что эта (система имее конечное число линейно-независимых решений и построено рекурсивно определение соответствующей функции Грина. Высказана гипотеза о том что данная система рекурсивно разрешима во всех случаях, когд множества {г: р(г) Ф 0} являются конечными частями решетки. Важны приложением развитого метода является построение соотношений вида

2л 2л

_1 Г Г l-cos(TO)cos(mp)dW _ 2л ¡1 ji 2 - соэф - cos\p

<° . к (21-1)2 - 4п2

= Е " 2 £ П .2 ... ..2 " Ш(2). |т| * \п\.

А=1 й=1 1=1 Ш "

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертаци

1. Для произвольной решеточной модели, обобщающей модель Изин га, в которой определен малый параметр х, разработан метод определе ния порядка малости кластерной функции через порядок малости диаг раммной функции произвольного диаграммного представления.

2. Проведено различие между двумя подходами к построению соот ношений метода конечных частей решетки: (а) учет вкладов вплоть д заданного порядка малости по параметру х (оптимизация Энтинга), (б) учет вкладов вплоть до заданной сложности вычислений, опреде ленной через размерность трансферматриц. Подход Энтинга ориентирова на вывод ряда по степеням х для свободной энергии, второй подход

на использование точных значений статсумм конечных частей решетки. Для плоских решеток введены сокращенные соотношения, содержащие меньшее число вкладов по сравнению с оптимизацией Энтинга с той же асимптотической точностью- и сложностью вычислений. Решена проблема явного вычисления коэффициентов соотношений метода конечных частей.

3. Для остаточной энтропии антиферромагнитной модели Поттса построено разложение по параметру х = (Х(£) - хроматическое число решетки С). Для квадратной решетки получены коэффициенты до порядка 26, для треугольной - 18. Выявлена неэффективность такого подхода для решеток высших размерностей при небольших д. Для гиперкубической решетки путем выбора подходящих граничных условий обеспечено лучшее поведение последовательности приближений метода конечных частей, получены числовые оценки в частных случаях и проведено сравнение с результатами других методов.

4. О позиций метода конечных частей критически проанализирован метод "растущих клеток" и сделан вывод о его некорректности.

5. На примере модели димера на квадратной решетке реализовано сочетание метода конечных частей с диаграммным методом-, что позволило получить 23 порядка в разложении свободной энергии по активности димера. Построен алгоритм суммирования диаграммного ряда Нэйгла на конечных частях решетки, эквивалентный методу трансферматриц.

6. Проанализирована последовательность приближений метода конечных частей для молекулярной свободы димера, получены численные оценки на квадратной и кубической решетках и сделан вывод о преимуществе метода конечных частей перед методом Падэ-аппроксимации.

■ 7. На основе системы разностных уравнений, полученной для решеточной функции Грина, построено ее рекурсивное определение и выведены аналитические следствия, вычисляющие фунцию Грина в ряде случаев.

Публикации по теме диссертации

1. Ермилов А.Н., Кабанович В.И., Курбатов A.M. Новые аналитически! представления в теории случайных блужданий на решетке. Первьй всемирный Конгресс общества математической статистики и теори вероятностей им. Бернулли. Тезисы, т. 2, с. 698, М., Наука, 1986.

2. A.N.Ermilov, V.I.Kabanovich, A.M.Kurbatov, analytio represents' tion of probability potential in the theory ol random walks on ; lattice, Inter. J. Mod. Phys., B1, p. 1265, 19B7.

3. Ермилов А.Н., Кабанович В.И., Курбатов A.M. Об одном аналитичес ком представлении функции Грина конечно-разностного оператор Лапласа. Я. выч. мат. и мат. физ., т. 28, с. 1258, 1988.

4. A.V.Bakaev, A.N.Ermilov, Y.I.Kabanovioh, A.M.Kurbatov, 1/(q-1) Ezpansion study of the q-color problem on a lattice, Can. J. Phys. 1989, v.67, No.5, pp.497-504.

5. Ермилов А.Н., Кабанович В.И., Курбатов A.M. Метод "окна" в задач димера на квадратной решетке. Препринт .N¡21/1989. МГУ. Физ. фак.

6. Ермилов А.Н., Кабанович В.И., Курбатов A.M. Исследование задачи раскрашивашш решетки q красками методом 1/q разложения. Сообщена ОМЯИ, Р17-89-469, Дубна, 1989.

Рукопись поступила 20 ноября 1990 года.