Некоторые конструктивные методы теории функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации

Удмуртский государственный университет

на правах рукописи

КОРНГОВА Марина Александровна

УДК 517.929+519.67

НЕКОТОРЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЩОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕШЩЛЬНЫХ УРАЕИЕНИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание.ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 1993

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете

Научные руководители

доктор физико-математических наук, профессор Н.В.Азбелев; доктор физико-математических наук, профессор В.П.Максимов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.Я.Дерр; кандидат физико-математических наук доцент Ю.Н.Сколин.

Ведущая организация - Уральский государственный университет.

Защита состоится «.

¿г _ часов на заседании

ииоилЛ

на

присуждению

1993 г совета

специализированного ученей степени кандидата физико

К 064.47.01 по

математических наук в Удмуртском государственном университете по адресу : 426037, г. Ижевск, ул. Красногеройская, 71.,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета. ' .

Автореферат разослан

» 1992 Г.

Ученый секретарь специализирова: кандидат физико-математических наук, доцент •

.Г.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Математическое моделирование ряда задач современной физики, экономики, теории управления, биологии и т.д. пшводит к фушщганально-дифференциальным уравнениям и краевым задачам для них. Разработка численных процедур приближенного решения краевых задач и задач управления осуществляется в предположении их разрешимости. Отсюда следует актуальность построения эффективных методов исследования разрешимости этих задач.

' Для многих задач, рассматриваемых в диссертации, существуют хорошо разработанные теоретические методы исследования. Однако предлагаемые там критерии чаще всего формулируются в терминах объектов, недоступных для реализации. Их эффективная проверка невозможна в силу невычислимости параметров. Предлагаемые же достаточные условия обычно являются довольно грубыми.

Настоящая работа посвящена построению эффективных методов исследования разрешимости краевые задач и задач управления для функционально-дифференциальных уравнений, ориентированных на применение ЭВМ. ..

.Цель работы. Разработка эффективных методов' установления факта разрешимости краевых задач.для функционально-дифференциальных уравнении и реализация этих методов для некоторых классов задач средствам! систем аналитических вычислений на ЭВМ.

Общие'метода исследования. В диссертации применяются методы функционального анализа, теории функционально-дифференциальных уравнений, теории-приближений.

. ' Научная новизна.' Разработан.и обоснован конструктивней подход к исследованию разрешимости задачи управления для линейного функционально-дифференциального уравнения. В рамках этого подхода получены реализуемые конструктивные теоремы о разрезамости задачи управления для :•

- дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием,

- дифференциального уравнения с сосредоточенным запаздыванием.

На основе этих теорем разработаны и реализованы средствами систем аналитических вычислений алгоритмы исследования разрешимости таких задач.

Разработаны алгоритмы построения верхних и нижних оценок спектрального радиуса линейных операторов и оценок решений нелинейных уравнений. ' •■ , .

Предложен алгоритм исследования разрешимости Линейной краевой задачи с краевыми условиями в виде функциональных неравенств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и об-сувдались на научной школе-семинаре "Моделирование и устойчивость физических процессов" (Киев, 1991 г.), на Третьей Северо-Кавказской конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (Махачкала, 1991г.), на Математическом семинаре Ижевска (Ижевск, 1992г.), в лаборатории математических методов анализа динамических моделей экономики ПТУ (Пермь, 1990-1992 гг.), на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (1990-1992 гг.), на семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета (Екатеринбург, 1993 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести работах. '

Структура и объем работы. Диссертация состоит из предисловия, трех глав и списка литературы. Содержание изложено на 87 страницах. Библиография содержит 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ •

В работе приняты Следующие обозначения: .

R11- линейное пространство n-мерных вещественных векторов

ancolia*.....оЛ с нормой ~|а|= йог |а*|;

(=1 ,п

для a.peR11 неравенство агф означает, что р£, i=TTñ ; -

R11*11.- линейное црострайство вещественных. матриц с нормой п 1 ■ ■

•А| Г'Ч7|: |А| íla^JJ:

1^t^nгJ

Сп-пространство непрерывных функций х: [0,1 bR11 с нормой

|х| = та • !x(t)|; с11' t€C0,1I

D^-прострэнство абсолютно-непрерывных функций х: [0,13-*Rn таких,

что xeL", jxl^lxCO)! + |x|Ln;

р - р

Lp, Кр<оэ - пространство функций х: [0,1 ЬИП, суммируемых со сте-г 1 -J/P

J|x(s)lPds ;

КЗ

L" -пространство измеримых и ограниченных.в существенном функций х:[0,1] R", Jxtrn= vralsup |x(t)|;

00

Ь"*п- пространство. функций У: [0,1 R""11 с суммируемыми элементами и нормой |Y|jn*n= j"|Y(3)|ds; ' .

1 о '. •

Зафиксируем систему• рациональных точек 0=t0<t1 < ... <t.

пенью р, lxîLn= р

m

=1.

Через PC^im) обозначим пространство функций х: [0,1 ]•»• R?-пред-

ставимых в виде x(t)=x0(t)+ £ c^Ct), где CjCR, xQ€C, £=1,т-1; • ^ . • Х£(0 -характеристическая функция'отрезка [t{,11 :%{(t)=0, .ее.™

t i Itt,1], и x('(t)=1, если tçCtt,1]; '•

Пространство PCn(m) с нормой Jx5p^^j - • яаг |x(t)| явлнзтея банаховым.

Во введении обосновывается актуальность теш исследования я дается краткая аннотация полученных результатов.

В первой главе рассматривается задача управления для систем:; функцконально-даффервнцизлыих уравнений

(£x)(t) = (Gu)(t) + v(t), tcfO.n. i>il£f ' (П

x(0) = a,, x(i ) = ou, (2)

с линейными ограниченными операторами О:!®-»!^, 1 ¿р<оо.

Относительно свойств оператора £ предполагается, что в представлении (ах) (г) = (ОхШ) + АСЬ)х(О), которое имеет место для

всякого • линейного ограниченного оператора Ь^, оператор 0

тлеет вид : <3=1-К, где К - вольтерров' интегральный оператор.

Пусть (0и)(1;)=0(1:)и(г). Как известно*, критерием разрешимости задачи управления (1),(2) является обратимость матрицы 1

М = / С(1,8)0(3)СТ(1 ,Б)Ст(8)с1з, где С(г,з) матрица Коши о

уравнения £х=и.'

Предлагаемый подход к исследованию разрешимости задачи управления (1),(2) основан на практической возможности аффективной проверки указанного критерия. Такую возможность предоставляет ■ теорема об обратном операторе . А именно, если будет построена такая обратимая матрица 41, что при этом выполнится условие

|1Н1Г| < 1/-|?Г1

то -матрица М также обратима. Из теорем о непрерывной зависимости решений краевых задач от параметров вытекает, что в качестве" № следует брать матрицу

•• . . ■ . 1 .. •.. и= I с(1,з)а(з)ст(1,а)пт(з)й8, (3)

о ' •

где 5:Ь™>Ьр - линейный ограниченный оператор, близкий к оператору 0," .а 0(1;,б), матрица.Коши уравнения £х=и . с линейным ограниченным оператором близким к оператору а.

В §1.1 приводятся некоторые сведения из общей теории функ-вдонально-дифференциальных 'уравнений. Использование современных

*Азбелев Н.В., Максимов В.П.,. Рахматуллина Л.О. Введение в теорию фУЕКЦИонально-даф^еренциальннх уравнений.-М.:Наука, 1991, -280 с.

**Тем ке. .. '•

вычислительных - средств (системы аналитических вычислений (СЛВ)), накладывает определенные ограничения на операторы и функции. Это потребовало описания классов операторов, и функций, обладающих

"свойством В" (вычислимых)? Примером вычислимой функции может служить полином с рациональными коэффициентами. Определениями классов вычислимых операторов и Функций и завершается этот параграф. При разработке конструктивных схем для конкретных классов

задач управления предполагается, что операторы Е и U и элементы

матрицы С вычислимы.

В §1.2 сформулирована и доказана общая конструктивная теорема:

Teopeual, Пусть существуют такие операторы, й и G , то выполнятся неравенства:

|C(1,s)-B(1,s)| * Су , |C(1.s)|<Cu>

П

J<8jq(*)-Sjq<t»2<K

lo

1/2

< Sjq. V {S/q}' ■ <4>

1

о

в([0,11, j=T7n, q=T7m, где Cv . Gy ,GM ,CM - постоянные мщящы. Если при жол матрица W обратила и илеет лвсто неравенство

tCHGM+Gv)+CM'Gv](GM+Gv)T(CM+Cv)T+ .

.. . +VGMiGX+Cv)T+GM C^<1/|W-1| (Б)

то- задача управления (\),(2) разрешила для любых vetf , a, .а^н".

'Максимов В.П.,Румянцев А.И. Конструктивные методы в теории функ ционально-дифференциальных уравнений и их компьютерная реализация. //Функционально-дифференциальные уравнения : Меж- вуз. сб. науч. тр./ Пермский политехнический институт.-Пермь. 1990.

На основании теоремы 1 сформулирована общая схема конструктивного исследования .разрешимости задачи управления (1), (2):

1) построение вычислимых операторов £ и G ; 1

2) построение матрицы. Ü;

3) определение констант'(4);

4) построение матрицы W , определяемой равенством (3) и ее обращение;

5) проверка неравенства (5).

Далее для конкретных классов операторов сформулированы и доказаны конструктивные аналоги теоремы 1:

В §1.3 - о разрешимости задачи управления для уравнения с распределенным запаздыванием аргумента . t

(Äx)(t) = x(t) •+ J «yut^sJxCs) = (Gu)(t) + ü(t). teIQ.1l (6) о

с краевыми условиями (2). .

Элементы г{у матрицы R удовлетворяют следующим условиям:

г,,(-,а) и pff(')= var r,f(',8)eL¡, í,J=T7ñ; для любого

teto.1] Ttj(t,>) - кусочно-непрерывные слева функции; R(t,1)s0;. элементы gtg матрицы G - кусочно-непрерывнуе слева функции. g=1 ,т.

.В §1.4-о разрешимости' задачи управления для уравнения с сосредоточенным запаздыванием

х . •

(fix)(t) = x(t) +^Pz(t)xth2(t)] = (Gu)(t) + tf(t), tefO.1l.' (7)

x(C)=0. если £¿[0,11, ' -

•с краевыми условиями (2). Здесь Pz€b"Kn, hz - строго возрастающая ,

кусочно-непрерывная слева функция.

На основе этих теорем разработаны конструктивные схемы исследования разрешимости задач (6) и (7) с краевыми'условиями (2), реализованные средствами CAB MuMATH. Приводятся иллюстрирующие примеры. • ■ '

В §1.3 доказана также теорема о. принципиальной возможности установления факта разрешимости для любой разрешимой .задачи управления (6),(2) с использованием предлагаемой схемы. В §1.4 доказана аналогичная.теорема для задачи управления (7),(2).

Использование CAB предоставляет реальную возможность не только исследовать разрешимость задачи управления , но и построить управление , решающее задачу управления с заданной точностью. Описанию алгоритма построения такого управления и посвящен §1.5.

Во второй главе построен алгоритм вычисления двусторонних оценок спектрального радиуса для кекоторах- классов линейных операторов. Этот алгоритм основан на реализации известной теоремы о возможности эффективной оценки спектрального радиуса по значению оператора только на одном элементе, если этот оператор положителен*.

В §2.1 приведены необходимые в дальнейшем сведения из теории пространств, полуупорядоченных с помощью конуса.

§ 2.2 посвящен описанию общей конструктивной схемы построения верхних и нижних оценок спектрального радиуса. >

Назовем вектор-полиномом с рациональными коэффициентами

функцию p:[0,1]-»Rn .компоненты которой являются•полиномами с рациональными коэффициентами.

Пусть задана система рациональных точек 0=t1<t2< ... <tffl=l.

Через PR^m) обозначим линейное многообразие функций х: [0,1 ]-»Rn,

m-1

представимых в виде x(t)= J'X{(t)P£(t), где pt(0 - вехтор-поли-

.1=1 . нош с рациональными коэффициентами. ■

Определение!.'. БуОел говорить, что . оператор ' А:С11-» принадлежит классу 50. если для-любого

' 'Красносельский М.А., Лифшиц Ё.А., Соболев А'.Б. Позитивные • линейные системы: метод положительных операторов. -М.: Наука, 1985, -256 с.

веитор-полинола р с рацишалъныли коэффицие>ипат значение д=Ар также является вектор-полинолол с рационалъныли коэффициентами.

Определение 2.- Будел говорить, что оператор А:РСп(т)->РСп(т) (А:Ьр->Ьр,1^р«») принадлежит классу дро, если для любого ветор-полипола р с рационалъныли коэффициентали значение

д=Ар принадлежит лшейнолу многообразию РКп(т). «

Для этих классов операторов доказана теорема о принципиальной возможности реализации предложенной схемы.

Т е о р е и а 2. Пусть АгС11-» (^(АгРС^т) -» РсЯоп)) - линейный положительный оператор. Если существует такая функция иеС.что ь(Х)-(ко)(Х)>0, [0,1 ], то существует ветор-полинол q с рацио-налъкыли коэффициентами, такой, что q(t)-(Aq)(г)>0, ШО.И.

В § 2.3 приводится подробное описание алгоритма вычисления двусторонних оценок спектрального радиуса линейных положительных операторов, принадлежащих классам С0. £рс.

Алгоритм реализован средствами САВ МиМАТН. Возможность получения оценок спектрального радиуса для конкретных операторов в

пространствах 1 иллюстрируется примерами §2.4.

Алгоритм, описание которого приведено приведено в §2.3, может быть использован. при построении инвариантного конусного, отрезка для уравнения х=Вх с вообще говоря нелинейным оператором В. Обсуждению деталей реализации алгоритма в этом случае посвящен §2.5. ' . -

В главе 3 объектом исследования является линейная краевая задача с краевыми условиями в виде неравенств:

(йх)(1;) = 1'«), геЮИз. ' • (8)

' 1

Шх(0) + /Ф(з}Х(в)(1б « р: (9)

о

Предполагается, что оператор (главная часть оператора . £)

обратим, ®eRn"n , элементы матрицы Ф - кусочно-непрерывные справа функции, perf1.

В §3.1 приводятся некоторые сведения из общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений.

В §3.2 предлагается алгоритм исследования разрешимости задачи

(8), (9), основанный на реализации теоремы работы*. Приводится пример исследования разрешимости одной краевой задачи, возникающей в математической экономике.

Автор выражает глубокую блегодарность й прзнательность своим научным руководителям Н.В. Азбелеву и В.П. Максимову а также ведущему научному сотруднику лаборатории математических методов анализа динамических моделей экономики ПТУ А.Н. Румянцеву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Корытова М.А. Об оценке спектрального радиуса некоторых линей--• ных операторов. //Функционально-дифференциальные уравнения Мех-

вуз. сб. науч. тр./ Пермский политехнический институт. - Пермь. 1992, -с.239-245.

2. Корытовз М.А. О построении конусного отрезка некоторых классов линейных операторов. //Моделирование и исследование' устойчивости физических процессов. :Тез. докл. научной школы-семинара. - Киев,

. 1991.-с.78* •

3. Корытова М.А. Один конструктивный метод оценки спектрального радиуса линейного- положительного оператора. // Моделирование к исследование устойчивости физических процессов. :Тез. докл. научной школы-семинара. -Киев, 1992.-с.45.' •

4. Корытова М.А., Румянцев А.Н. О некоторых алгоритмах конструктивного исследования линейной краевой задачи с неравенствами. //Краевые задачи . Межвуз. сб. науч. тр./ Пермский пелатзхничое-кий институт.-Пермь. 1991, -с.49-57

'Максимов В.П. Линейные краевые задач1/ с условиям;! в виде неря-венств//Докл. распиренкых заседаний семинара института прикладной математики им.И.Н.Зекуа.'-Тбилиси:Изд-во ТГУ.1990.

' 5. Корытова M.А., Румянцев А.Н. О конструктивных алгоритмах исследования разрешимости линейной краевой задачи с неравенствами. //Функционально-дифференшюльше уравнения и их приложения :Тез. докл. третьей Северо-Кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их прилоэкеншо. - Махачкала, 1991 ,-с.86.

6. Korytova M.A. On computing of spectral radius ior some of linear operators. //Abstracts oi Invited Lectures and Short Communications Delivered at the Third International Colloqulm oî Differential Equations. Plovdiv. Bulgaria. 1992, p. 83.

Подписано'к■печати 20.04.93. Формат 60X90 I/I6. Печ. л. I. Уч.-кзд. л. 0,75. Тираж 100 экз. Заказ 130.

Издательство ЧГТУ.454080,г.Челябинск, пр".кы.В.И.Л,еника, 76.