Некоторые контактные задачи теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНШЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ПАРФШЬЗВА Ольга Борисовна

НЕКОТОРЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТВОГШ УПРУГОСТИ 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1992

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель -

доктор $кзико-математических наук, ведущий научный сотрудник

м.в.шюгао

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

А.Ы.ЛИНЬКОВ

ктздидат физико-математических наук, доцент

А.В.ЯРОСКУРА

Ведущая организация - Санкт-Петербургский механический институт

Защита состоится " ^¿¿(кЯ 1992 г. в /У~~~час. на заседании специализированного совета К.063.57.13 по присук-дению ученой степени каздидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, дом 2, математико-ыоханическмЯ факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослав!

«/Я» ШУ&ЬЯ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент Ы.А.Нарбут

I ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

] Актуальность теми. Задачи динамического контакта с трени-"ем между упругим телом и абсолютно жестким или между двумя упругими телами, допускают формулировку в ввде вариационных неравенств или в форме граничных интзгральных уравнений. Имеются сложности в доказательстве существования и единственности решений этих задач. Существующие ныне работы опираются, главным образом, на предположение о малости трения. Поэтому, представляет интерес построение решения подебных задач для некоторых областей частного вида, например, для областей с дуговыми границами, моделирующих часто встречающиеся соединения элементов конструкций. Актуальной является и численная реализация алгоритма решения стационарной контактной задачи с классический граничными условиями.

Цель работы - получение эффективных алгоритмов решения контактных задач теории упругости и их численная реализация. Динамические задачи рассматриваются для областей с круговыми границами с учетом трения; стационарные задачи исследуются для классических граничных условий.

Общая методика исследования. В динамической контактной задаче для расчета применены метод разделения переменных и метод поиска решения в ввде рядов по степеням малого параметра. Полученные результаты иллюстрируются графиками. Стационарные контактные задачи исследованы при помощи метода В.Д.Купрадэе. Численное решение граничных интегральных уравнений выполнено методом последовательных приближений на основе пахета программ ВЕЕЛАМ и методом Галеркина.

Научная новизна. В динамических контактных задачах для областей с круговыми границами с учетом трения получены аналитические решения, подтверждающие экспериментальные наблюдения. При исследовании стационарной задачи о полупространстве с включением, имеющим гладкую границу, построена рекуррентная система граничных интегральных уравнений. Доказано, что операторы рассматриваемых уравнений Фредгольмовы. Получено обосно-

вание предположения Ь.Д.Купрадое о5 аналитической зависимости • решения ог разности коэффициентов Пуассона среды и включения. Осуществлена численная реализация предложенного метода. Вычислена потенциальная энергия упругого полупространства с включением в форме шара.

Практическая ценность результатов исследования заключается в возможности их применения при моделировании часто встречающихся соединений элементов конструкций в машиностроении, при расчетах напряженно-деформируемого состояния в задачах о запресованных. деталях, о замерзании г.идкости в каверне, о горячей и прессовой посадках, в задачах оценки качества сварных соединений и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на У1 конференции молодых ученых института механики АН Армянской ССР (Арзакан, 1087 г.), общесоюзном семинаре "Разрушение горных пород" (Ленинград, 19ЬЗ г.), научных семинарах инс-титуга математики им. А.М.Размадзе АН Грузинской ССР (Тбилиси, 1£чЗЭ г.) и лаборатории математических методов механики сплошных сгед И1Ж.!а ЛГУ.

Публикации. По результатам исследований опубликовано две работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего наименований, и двух приложений. Общий объем составляет 192 страниц машинописного текста, включая 12 рисунксв и €6' страниц приложений.

ССДКРЖлИИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор раЛт, посвященных контактным задачам, связанных с темой диссертации.

Сначала рассмотрена литература посвященная задачам, прч решении которых необходим учет трения. ПеромЧ примером общего анализа колебательных процессов являются классические исследовании Релея. Основоположники теории колеоаний и, в частности,

автоколебаний в нашей стране - А.А.Авдронов и Л.И.Мандельштам. Наиболее известны гакзхв книги К.Й.Теодоровича, П.С.Лаеда, Я Г. Пано&ко, статьи Г.В.Воронцова, А.Н.Кабелькова по автоколебаниям. Обрацечо внимание и на тип релаксационных колебаний - на задачи, даэцие объяснение природа часто встречающихся скачкообразных скольжения одного тела по другому. Это явление положено Боуденом в основу теории сухого трения. С.Э.Хайкин и Н.Л.Кайдановский доказали, что скачки при трении являются механическими релаксационными колебаниями. А.В.Ишлинский базирует объяснение скачков при трении на "аличии упругости системы и учете возрастания силы трения трогания с места в зависимости о* продолжительности неподвижного контакта. Теория А.Ю.Ишлинс-кого хорошо подтвервдает экспериментальные наблюдения.

Освящена также литература по одному из наиболее эффективных методов решения задач теории упругости для кусочно-однородных полубесконечных областей - методу потенциала. Основы этог.о метода были заложены в работе Дж. Грина. Новый импульс развитию методов потенциала дало создание теории интегральных уравнений Фредгольма. Развивая и модифицируя метод Фредгольма, первую основную задачу теории упр.тости исследовали Лауричел-ла, Марколонго, Корн, Тедоне, Д.И.Шерман. Значительные работы по многомерным сингулярным уравнениям принадлежат Ф.Трикоми. Этот автор впервые ввел понятие характеристики интеграла, установил формулу дифференцирования двойных интегралов со слабой особенность» и правило композиции двойных сингулярных интегралов. Следующими значительными работами по. многомерным сингулярным интегралам являются работы Жиро. Жиро подробно исследовал композицию интегралов, один из которых сингулярный, а другой имеет слабую особенность; для общего уравнения эллиптического типа второго порядка построил аналог потенциала простого слоя. Большой вклад в общую теории многомерных сингулярных интегральных уравнений внес С.Г.Михлин. Он связал с сингулярным оператором некоторую функцию, называемую символом отого оператора. В терминах символа очень гфосто решена задача о регуля-

ризации и эквивалентной регуляризации сингулярного уравнения и систем сингулярных уравнений. Многие работы В.Д.Нупрадзе посвящены методу потенциала и интегральным уравнениям. В.Д.Нупрадзе применил метод сингулярных интегральных уравнений к трехмерным задачам теории упругости для изотропных, но неоднородных сред, им была изучена основная гранично-контактная задача. В обзоре отмечены также работы Д.И.Шермана. Он подробно исследовал интегральные уравнения первой и второй основных задач плоской теории упругости и распространил их далее на смешанные задачи. & работах Иенча, Мауля и др. применение, методики потенциала и сингулярных интегральных уравнений исследованы задачи термоупругости; введены в рассмотрение новые гра-кично-конталтйые задачи, отличащиеея от основных контактными условиями; сформулирована новая смешанная гранично-контактная задача, когда на различных поверхностях контакта задаются различные контактные условия.

& первой плаве рассмотрены динамические контактные задачи с -фением между упругим телом и абсолютно жестким и между двумя упругими телами. В качестве таких тел выбраны области с круговыми границами контакта, моделирующие часто встрекаициеся соединения элементов конструкций. Решение предполагается осе-симметричным. В § I, 5 2 рассмотрены задачи контактного взаимодействия с трением для названных областей при учете динамики явления. Сила трепля"трогания с моста" задана возрастающей функцией продолжительности соприкосновения двух тел при отсутствии проскальзывания между ними. Сила трения движения не зависит от скорости скольжения одного тела по другому и задана убывающей функцией времени движения, так что в момент начала движения сила трения движения равна силе трения "трогания с места", о за некоторый короткий промежуток времени резко убывает и становился практически постоянной. Решения исследуемых задач получены аналитически в виде беснонечных рядов по специальным функциям. Построены графики переаещешй и скоростей соприкасающихся поверхностей. Согласно полученным решениям, при

т

небольших скоростях скольжения, грашщы соответствующих областей двигаются прерывисто или скачкообразно (т.е. имеют место механические релаксационные колебания), причем первый скачок значительно больше последующих. Полученные решения хорошо обг-. ясняют действительное поведение трущихся поверхностей, наблюдаемое экспериментально и ввфоко- описанное в литературе. Этот результат базируется на выборе силы трели трогания с места, возрастающей в зависимости от продолжительности неподвижного контакта. Задача, рассматриваемая в 5 3 является следующий нагом по сравнения с задачами 5 I, 5 2. Сила трения движения отлична от силы трения движения, заданной в § I, 5 2. Здесь она является нелинейной функцией от разности скоростей скольжения • соприкасающихся поверхностей - содержит ев первую и третьи степени. Бри малых отклонениях от состояния равновесия основное значение имеет линейный член силы трения, который оказывает дестабилизирующее действие. При возрастании колебаний увеличивается демпфирующее влияние кубического члена, приводящее к режиму автоколебаний. Из линеаризованных уравнений задачи определено условие начала самовозбуждения автоколебаний - кри-т?меское значение постоянной скорости движения вала, а также . приближенное значение частот автоколебаний. Из нелинейных -амплитуды я поправки к частотам. Задачи, рассматриваемые в этой главе имеют практическое приложение к вопросам машиноведения. ■

Во рторой глапе исследована контактная задача теории упругости для полупространства с включением произвольной формы, с заданными на границе включения скачком перемещений и скачком напряжений. В 5 I для решения этой задачи применен метод В.Д. Купрадзе решения задачи для кусочно-однородной среды с близки-ни коэффициентами Пуассона. Суть его состоит в представлении решения в ввде ряда по степеням разности коэффициентов Пуассона среды и включения и построении рекуррентной системы граничных иьтегральных уравнений, на каждом шаге которой приходится решать неоднородное сингулярноо интегр! :ьное уравнение П рода со спектральным параметром больше нуля и меньше единицы и не-

однородное интегральное уравнение I рода со слабой особенностью. Правая часть этих уравнений вычисляется по решениям, найденным на предадут1® шагах. В § 2 показано, что операторы рассматриваемых уравнений (¡гредгольмовы и доказательство разрешимости их единственном образом сведено к использованию альтернативы Фредгольма. В § 3 доказана теорема, обеспечивающая аналитическую зависимость решения исходной задачи от разности коэффициентов Пуассона, что обосновывает применимость метода В.Д.Купрадзе решения задач теории упругости для полупространства с включением.

'ХЪетья глава посвящена численному решению полученной ао второй главе рекуррентной системы граничных интегральных уравнений. В § I дано пошаговое алгоритмическое описание численного решения рассматриваемой системы. Неодн ¿юдное сингулярное интегральное уравнение П рода предложено решать методом последовательных приближений на основе пакета программ BEUL AN , предназначенного для решения трехмерных задач теории упругости с помощью граничных интегральных уравнений. Дано описание основных изменений в некоторн* подпрограммах пакета, необходимых для решения данного уравнения. Неоднородное интегральное уравнение I рода со слабой особенностьв решено методом Галеркина с использованием для этого отдельных подпрограмм из того же пакета программ BELLAN . Более подробно на методе Галеркина, примененному к интегральному уравнению I рода остановились в § 2. Там изложены результаты, касающиеся обоснования применимости этого рузтода. В § 3 приведено аналитическое решение задачи о температурных напряжениях в полупространстве со сферическим включением с разными коэффициентами теплового расширения. На границе включения возникает скачок напряжений. По полученным решениям вычислены потенциальная энергия включения и потенциальная энергия окружающего полупространства. Выяснено, что при удалении включения от поверхности полупространства потенциальная энергия включения и потенциальная энергия окружающего полупространства убывают до некоторых постоянных значений, приблизительно pf-эншс между собой. Для сравнения посчи-

тана потенциальная энергия в такой не задаче, но для упругого пространства со сферическим включением. Потенциальная энергия включения и окружеяцего пространства постоянны и равны между собой, к тому so они равны тому постоянному значению, к которому стремятся потенциальная энергия включения и окружающего » полупространства при удалении включения от поверхности полупространства.

В приложении I приведены результаты тестирования работы пакета программ BELL AN на примере расчета напрякенно-де-формированього состояния цилиндра, сжатого по боковой поверхности диаметрально противоположными сосредоточенными силами. Распределение перемещений и напряжений в этой задаче известно из экспериментальных данных. В ходе работы программы вычислены перемещения и напряжения ча граничной поверхности и в заданных продольном и поперечных сечениях" циливдра. Построены изостатн г"1«покент тензора напряжений и интенсивности напряжений в этих сечениях. Полученное с помощью программы BELLA N решение качественно совпадает с экспериментальным.

В приложении 2 помещены материалы по численной реализации предложенного в рассматриваемой работе метода. Приведены: тексты подпрограмм из программного комплекса BE .LAN , в которые внесены изменения, списанные в § I главы 3; распечатки результатов работы модифицированного программного комплекса на примере задачи о шаровом включении в полупространстве с заданным на граничной поверхности шара скачком нагряжений и со скачком перемещений равным нулю, моделирующей задачу о шаровом очага под давлением в полупространстве. Эти результаты сравнивали с известным аналитическим решением.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТА

I. Получены аналитические решения, описиващие возникновение и установление режима автоколебаний и релаксационных автоколебаний в контактных задачах с трением для ойяастей с кру-

fofibMH границами, подтверждающие экспериментальные наблюдения.

2. Исследована контактная задача об упругом включении произвольной фирмы в полупространстве при использовании метода В.Д.Купрадзе, получено обоснованно предположения В.Д.Купрадзе пб аналитической зависимости решения от разности коэффициентов

t Пуассона среды и включения.

3. Разработана программная реализация предложенного метода для решения задачи об упругом включении произвольной формы в Полупространство.

4. Вычислена потенциальная энергия упругого полупространства со сферическим включением, исследовано ее поведение при удалении включения Ьт поверхности полупространства.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Парфентьека О.Б., Паушто Ы.В. О методе В.Д.Купрадзе решёния задачи об упругом включении в полупространстве. Д., 1989. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.09.89, » 606I-B89.

2. Парфентьева О.Б., Семенов В.Н. О контактной задаче для кольцевой области // Вестн. Денингр. ун-та. Сер. I. 1989. Вып. 2 ¡f Ö. С. 104-106.