Некоторые краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений с кратным спектром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г

V.

4 1\ Минет ерстмгосвгги Укра'ти

• ^ Лышськнн державник ушверситст ¡м. 1в. Франка

На правах рукопису УДК 517.95

Буишакщ В'ктор Мцколайовпч

Деяю крайов1 зада1п для диференщально-операторних р1внянь з кратним спектром

01.01.02 - Диференщалъш ршняння

Автореферат

дисерташгна здобутгя паукового ступени кандидата фЬико-матештичних наук

Льв1в - 1997'

Дисергацкю е рукопис,

1)обога виконана в Державному уш'верситет! "Льв1вська полпехжка".

Науковий кер(вник: Оф|°ц)йн1 опОненти :

Провщна установа:

доктор (¡йзико-математичних наук, професор Капснюк Петро Гванович доктор ф|'зико-математичних наук,, професор Радино Яюп Валентинович, доктор фЬико-матрматичних наук )1авренюк Серпй Павлович'

Черш'вецькнй державний унтерсигет |м. Ю. Федь ковича

Захнст вщбудеться "«¿^ " У?¿смою 1997 р. о "»О год. на засщант спет'агпзовано! вчено! ради Д 04.04.01 при Льв1вському державному ушверситеп ¡м. 1в. Франка ( 290001, м. Львш, вул. Уж-верситетська, I", ауд 377 ).•■"'

3 дисертащ'сю можна ознайомитися в б!блютеш Льв1вського державного ужверситету ¡м. 1в. Франка ( м. Львш, вул. Драгоманова, •5).

Автореферат роз1'слано

"Уб " с1чн,2 1997 р.

Вчений секретар спец1алЬовано'1 вчено! ради

Микитюк Я. В.

Загальна характеристика робота

Актуалмпсть теми. Для певного кола задач магематично! (¡нзики, ям виникають ¡з проблем теорн плазм и, вологопереносу, пер1рдимних хвильовод^в та ипиих, застосування методу Фур'е приводить до нелокально! зада'й на власш значення, що мае краткий спектр, якому в систем! власних та приеднаних функщй вщгювщае зл1чена множима приеднаних. Так1 липши та спектр алый зада'И розглядалйсь в роботах В. А. 1лына, М. I. 1онкша, С. I. Моисеева, А. Ель-Ка;н та шших авторш. В теоретичному плат спектралып задач1 з кратним спектром привертають увагу тим, що до них не можуть бути застосоваш класимш метод» Б1ркгофа:Тамаркша, теор1я спектральнпх операторе Данфорда-.

Зада'11 вказаного типу вивчались в ряд! роб[т П. I. Каленюка та його учшв. Трудной«, обумовлсш наявшстю зл1чено1 множини приеднаних вектор1в,для оператор1в в спектральнпх задачах, були подолаш в результат! модернйацн класичного Методу власних функцш ( метод Фур'е ). на осноеи викоргтстання апарату узагальненого методу вщокремлення змшних, рэзробленого П. I. Калешоком.

Абстрактний вар1ант узагальненого методу вщокремлепня змшних ( вщокремлепня в тензорному добутку сепарабельних . гшьбертових простор!в ) був усшшно рсал1зований П. I. Калеиюком та Я. О. Баранецьким при розв'язанш багатьох важливих проблем, пов'язаних з досл1дженням нелокальннх граничних задач- для диферёпщ'ально-операториих ришянь' вищ'нх порядкзв, коефнн'енти. яких полпюм1ально залежать вщ деякого абстрактного постшного необмеженого оператора з кратним спектром. Такнй шдхи дав можливють будувати приеднаш вектори вщпов|'дних спектральнпх задач 'в узагадьнено . вщокремленому пигляд1 I отримувати розвиисння розв'язмв неоднорщних ршпяиь'з однорщними гранич-ними умовами в ряди за системою власних та приеднаних вектор1в'.

Вищезгадаш дослщження нелокальннх граничних задач обмежуиадись випадком, коли крлгиосп власних значень абстрактного олератора е рттжнрно обмеженим!: Огримат результат!) не переносились 1,)ив1алып1М чином на пипплок необмеженост! кратиостей, оскшькп методика досл1дження еуттево опиралася на факт обмеженосп останшх. Природньо вии.юсла постановка зад.ти про вивченнА випадку иеобмежепосп кратиостей власних значень з тим, июб надати дослщженню з вказано! тематики завершеного вигляду. Одним ¡з джерел виникнення задач з такою спеиифжг'о с некласйчш.граничш умови, зокрема нелокалмм умови

типу Бщадзе-Самарського. Вказаний випадок становить предмет кдослщження першого роздщу дисертацШйсн робота:

В другому роздш роботи вивчаються питания розв'язност)' абстрактно! задач! Кош) в пльбертовому простор! для лнпйного однородного диференщального р1вняиня першого .порядку ¡з стал им необмеженим оператором, що мае кратнйй спектр. Розглядаються випадки як обмежених так \ необмежених кратностей власних значень.

Якщо для лнпйного р|вияння з обмежеиим оператором питания ¡снування та единост! розв.'язку задач! Кони, неперервно! залежноси вщ початкових даних завжди вирщувалися позитивно, 1 ■ тому основна увага прндшялаея дослщженню поведшки розв'язюп на-нескшченност!, то для ра'вняння з необмеженим оператором ш питания стають центральиими.

Початок теорп лшшних диференщалышх р1вняиь в банаховому простор1 з необмеженими операторними коефщкитами закладеш роботами Е. Хшле та К. 1оЫда, в яких були отримаш перип теореми ¡сиування розв'язмв.задач! Копи з необмеженим оператором, сфор-мульоваш в термшах теори швгруп операторов. К. 1осща, В. Федлер пов'язали ш дослщження гнвгруп з багатьма задачами для ртняння дифузп. Паралельно з цим Е. Хьлле та Р. Фшпю почииають будувати теорио. абстрактно! задач 1 Копи в банаховому простор!. На початку п'ятдесятих роив П. Лаке, А. М!льграм,-В. Е. Лянце застосовують гивгруиов! методи до дослщження рппих клаив парабол1чнпх р!внянь. Суттевий крок вперед в загальнш-теори був зробленнй в робота^. Т. Като, присвяченнх вивчзнню питаль юнування розв'язив задачГ Кони ¿з змншим необмеженим оператором. В подальшому Р13Н1' аспекти теори лшшних диференшалышх р1внянь в банахових та ■ гшьбе^юиих,. просторах дослщжувались М. I.. Вшиком, О. О. Ладиженською, М. 3. Соломяком, С. Я. Якубовим, 0..1. Прозо-ровською, М. О. Красносельськйм, П. Е. Соболевським, С. Г. Крей-ном, Ю. Л. Далецьким, В. ¡. Горбачук, М. Л. Горбачуком, В. В. Горо-децьким та шшимк.

Мета поботи. Використовуючи !дею методу узагапьненого вщокремленпя змшпих, отримати умови кормсгно! розв'язност1 нелокально! гранично! задач! з двома обмеженими операторами в граничних умовах, коефщенти диференшалыюго р!вняння яко! залежать вщ абстрактного иеобмеженого оператора з кратним спектром в систем! кореневих векторга якого м!ститься злменна множина присдианих для випадку, коли кратност! власних значень не е р(оном1рпо обмеженими.

Досшдити також питания, пов'язаш з розв'язшстю в пльбертовому простор! зада'н Коии для лшшного однородного диферешнального р!вняння першого порядку з даним абстрактним необмеженим оператором як для випадку обмежених так I необмежених кратностей спектра. Внявити вплив нескшченних кратностей на характер результате дослщжуваних задач.

Наукова новизна роботи. Встановлено достатт умови коректно! розв'язносп нелокально! гранично! задач1 для диференщально-операторного р1вняння парного порядку з коефщкнтами, залежними вщ абстрактного необмеженого несамоспряженого оператора, граничш умови яко'1 мштять два оператори.

Осооливютго такоУ задач! е те, що у вщповвднй спектралынй задач!:

а) граничш умови по видшешй часовш змшнш е регулярними, але не посилено рёгулярними;

б) система кореневих вeктopiв мютить зл1ченну множину приеднаннх, ям можуть бути побудоваш на основ! узагальненого методу роздмення змшних;

в) довжини ланцюжюв з власного та приеднаннх вектор1в не е р1вном!рно обмеженими.

Отримано достатш умови р!вном!рно! коректностз задам! Кони для лшшного однорщного диференщалыюго р1вняння першого порядку з необмеженим несамоспряженим постшним оператором. Встановлено формули, за якими можна визначити тип задач!, внходячи ¡з и спектральних даних.

Вкачано клас початковнх даних, дпц яких- можна будувати класпчш розв'язки задач! Кош! за. допомогою оберненого перетворення Лапласа для випадку, коли спектралыи властивост! абстрактного оператора не гарантують и коректпо'1 постановки.

Видшено клас початковнх значень (• слдав ) 1 вшповщно клас коректиост! для узагальнених розв'язкчв задач! Кош!, що являе собою певний прост!р Соболева, побудований за абстрактним оператором р!вняння.

Метод» дослщжеиь. В. днсертаципнп робот! внкорисговуються методн загально! теорн диферешнальних р!внянь, теорп функцш комплексно! змншо!, функшонального анал!зу.

Достошпшсть основних науковнх положень I отриманих результат . забезнечуеться стропстю " постановки задач!, математнчним обгрунтуванням результат.

Наукопа та практична пшшсть поботп. Робота мае тсоретичннй характер I и результат сформульоваш у внгляд!

теорем. Отримаш результат» можуть знайти застосування в питаниях визначення розв'язност! кола конкретних ■ залач з початковими даними, мшаних задач математично'! ф1зики, охоплюваного рамками класу абстрактних задач, дослщжених в дисертаци.

Отримаш в робот1 формули для визначення типу задач! Komi мають як теоретичне так i практично значения. 3 теоретично! точки зору вони дають можлиш'сть кшьюсно ошнити яюсш 3Miim в поведшщ розв'язк1в задач! Komi при переход! в1д скшченннх кратностей спектра до нескшченних. 3 практичного боку за цими формулами можна обчислювати типи конкретних задач i тим самим дослщжувати поведшку розв'язшв на нескшчешшсп, а також ix гладмсть вщносно просторових змшних.

На основ! результат! в другого параграфу другого роздшу можна будувати класичш розв'язки задач! Komi -для початкових данях певно! гладкосп нашть я кто ця задача не е коректио поставленою, але задовольняе умови вшповщно!' теореми.

Anpofianifl роботи. OcnoBiii результата дисертаци доповшалися i обговорювалися на : III Всесоюзшй конференци "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений"

( 1991 р., м. Дрогобич ); Всеукрашськш науковш конференци "Hoßi пщходи до розв'язання диференшальних piBimiib" ( 1994 р.,' м. ' Дрогобич ); lUKO.'ii-ceMinapi "Нелнийш грашгчш. задач! математично'1 ,.ф1зики та ix застосуванйя ( 1994 р., м. Тернопшь ); М!жнароджй математичш'й конференци, присвяченш пам'яп Ганса Гана ( 1994 р., м. Чершвщ); М1жнароднш математичжй конференци "Нелшжш Диференшальн! р!вняшш" ( 1995 р., м. Кшв ); идор!чних конференциях' професорсько-викладацького складу Лымвсько!' полггехшки' ( 1992 - 1996 рр.' ); пауковому ceMiiiapi в!ддшу диференшальних ржянь 1ППММ HAH У кражи ( 1993 р., м. JlbBie ); пауковому ceMiiiapi кафедри обчислювальио! математики та програмування Львшсько! •полп'ехжки ( 1.993 р., .1996 р, ); Льв!вському м!ському пауковому ceMiiiapi з диференшальних р1внянь ( 1996 р.). ' '

ПуГ>л!кпцГ|. За материалами дисертаци опублжо'вано 10 poöir, перелж якнх наведено в Kitmi автореферату.

Особиетии »песок диссртанта. Основш результата- дисертаци огрнмаш автором caMOCTiüHO, результата робота [ 10 ] належать авторам в однакошй Mipi.

OcHonui положении дисертаци, то нпиосн п.сп на чахтч: • Огрпмажш умов коректио! ршв'ялтеп нелокально! гранично'! задач! для дифсрсмшальио-онератриою ршшшня

вищого порядку з абстрактним необмеженим оператором, що мае иеобмсжеш крат ност1 спектра.

• Доведения теорем про ¡снування та едиш'сть класичних та узагальнепих розв'язшв абстрактно! задач1 Копи при наявносп необмежених кратностей спектра.

• Встановлення властивостей абстрактного оператора з кратним спектром, що можуть бути використаш в теорн диференщально-операторних р1внянь.

Структура та об'см дисертацп. Дисертащя складаеться з вступу, двох роздшш I списку цитованоУ штератури.- Робота викпадена на 120 сторжках I включае список л1тератури, що мютить 82 джерела.

Короткий змют роботи.

В робол прийнят1 пастушн позначения I означення :

1. С - множини во'х натуральних, дШсних, комплексних чисел. .

2. [А', У] - множина лшшних- обмежених оператор1в, що дпоть з простору X в У- [X] = [X, X].

3. Н - комплексний сеперабельний гшьберт1в проспр; || • || ■- норма в Я.

4. ст(А), р (А), 1(Л(Л) - спектр, резольвентна множина, резольвента ль-иного оператора А : Н —> Я.

5. ¿2((0,1), Я) - пльбертт проспр вектор-функшй 13 (0,1) в Я з

нормою = 11 ■

6. Ц' - сильна похщна ] - го порядку в простор! ¿2((0,1), Я).

7. Оператор /((/!: И —» Я) - позитивний, якщо А - замкнений, 0(А) = Я, швшеь (- ад,0] с р(Л) 1 на нш виконуеться ощнка

11^(4^ <с(/()(1 + |л|)">с(^)>0.

8. Ям(л) = {/, е ф'Ж., = И1 + \\АЩ2](Р 6 Я) для позитив-

ногооператора А.

9. и;((0,1), А) = {«(<) е ¿2((0,1)Яо,„(Л)): Ц'ЧО е Я)),

Ю. С([а,/? ], X) - проспр неперервних за нормою простору X на пром1жку. [а-, р ] с ¡1 вектор-функщй.

- fu(t) e Cfla, P IH) : Л W"~'u(t) e] .11 .C-i\a,p\H,A)= \ \ ' ' VM

12. C'"((0,l), H, A) = {«(i) 6 C-f[a,p ],H,A)\a,p ] с (0,1)}, m ё N

13. K{H,a,v,V,M0). - множима лнийних, замкнсних, щш.но визначених операторов А : Н —> Н , що задовольняють умови

а) а = <г(А) е C:|z(| < |г1+||,А: е N} - чисто точковий;

б) V - е Н.к е N,j = 0,vt,vk < ooj - система власних та приеднаних BeicropiB оператора А, яка утворюе базу Picca в Н:

Av\-= ztvj , Av{ = rtvi + £ ivf1 , i i e С, Л. e NJ = ; + v = lim vA ;

А' —»«О

в) < A/0|Rert|, M0 > 0, к в N, j = l/v^; < - inf{A/0} .

14. K(H,cr,v,V, M0) - розширення кпасу cr, v, М0) в ' результат закипи умови vt < м на v, < щ .

15 Х+,,= {К}Г cC:.Rert >и е//} .

16 Х'±1=.{ЫГ с С > О ¡are2,1 <| - S,k е tfj

У вступi подаеться короткий огляд праць по тем! дисертацп, обгрунтовуеться акгуальшсть теми дошдженпя, визначаеться мета робота, описуеться змкт дисертацп, основш результати та !х наукова новизна.

ПепШнй |)оз;нл. Дос.™1джснпя нелокально! гранично)' задач! для диференщалъно-операторного ршияиия.

Дании роздш присвячений дослщженню нелокально! гранично! задач1 з двома обмеженими операторами в граничних умовах для диференшально-операторного р1вняння парного порядку з коефииентами, що полшом1ально залежать необмеженого

абстрактного оператора А е A'(tf, a, v, V, Л/0) для v = от.

Власш вектори uie'i задач] не утворюютв бази в розглядуваному npocTopi L2((0,l), Я). Систему власних BeicropiB можна доповнити до

бази приеднаними векторами, яких виявляеться несюнченно багато, причому вони можуть бути побудоваш в узагальнеио вщокремленому вигляд!. Другою - особливютю зада'П е те, що

довжини ланцюжгав з власних та приеднаних векторт не • е pÍBuoMipHo обмеженими, що суттево ускладшое дослщження задач1. Маючи базу з власних та приеднаних вектор1в, яка е базою Picca, будуемо розв'язок у вигляд1 бюртогонального ряду.

В § 1.1 розглянуто дсяи властивост! абстрактного оператора з кратким спектром, власш вектори якого маготь несюнченний дефект в систем! кореневих вектор1в, а кратное™ vt не е pÍBii0M¡pH0 обмеженими ( v = со ) . Лема, що формулюеться нижче, дозволяе будувати операцшне чнслення для розглядуваного класу необмежених onepaTopiß.

Лсма 1.1.1. Нехай оператор А е К(Н, cr,v,V, Мй) ,

а - а (Л) е £ +, , V = 00 . Л^о е (О>0 > тод' Л е позитивним

оператором. Для позитивного оператора А визначена деяка максимальна алгебра £/п,„х(Л) функцш шд А , причому для довшыю!' оператор-функцн 93 (Л) е (7тач(Л) мае мшце зображення

víM =ÉÍA>(Ó'/í-rvr .

г=0 ' -

де ■

1 , г = О

r = = 6^., k e N. Осюльки алгебра í7max(/l) мштить степеш Aß для довщьних ß е R , то для достджуваного оператора визначеними е простор» Н0„(А) , /,2((0,1), H0JA)) , С'"((0,1), W, /1) ( р е R , т е N ).

Доведена теорема, яка е аналогом теоремн Ж,- Л. Люнса про np0M¡>KK0BÍ noxiflHÍ та слщи.

Теорема 1.1.2. Нехай виконуються bcí умови леми 1 1.1, тод1 мають Micue nacTynni два вюночення :

ФМ 4фмии,„:Vl_yi(A))}, j = .

Зпуппження 1.1.2. 3 теоремн про пром1жков1 похщш ( пункт 1 теоремн 1.1.2 ) випливае, що, якщо //(г) е ^„((0,1), /í) , то для

довшьних а) eC'jy = 0,2//) векторнозначна функшя

<р{,)=^а1А-'ЧУ1и(1)

1. D¡.e

2. D! е

е елементом пльбертового простору Л1 ((0,1), //). Тому для и(/) е ^„((0,1), Л) мае сенс диференщально-операторне р1вняння вигляду

Р(Ц,А)и(,) = = /(0,/(0 е ФЛ"). .

Зауваження 1.1.3. 3 теореми про слщи ( пункт 2 теорем 1.1.2 )> випливае, що для н(() е Жп((0,1), Л) мае змкт (Ц'и)((0) для

довшьного значения /0 е [0,1], _/" = 0,2« - 1 , а саме : •

(А'»)(0 = К, 6 н0^х-у(А) ■

Таким чином для вектор-функцш и(<) е

можна

ставити граиичш умови, в яких значения цих функщй та !х похадних потр1био вибирати гз простор1в елдав Н ,,(А) .

При дошидженш гранично! задач! для одпорщного диференщально-операторного р1вняння з неоднорщними граничнимй умовами суттевими е властивост1, що доводяться в наступшй лемк

ЛемаЫ.З. Нехай оператор А е К(Н,сг,у,У, М0), а = а (Л) 6 ]Г+1 п V = со-, М0 е(0,1) , ш < 0 , 10 е[0,1],

/ е Н , тод1

1. А"*4* е[я,12((0,1),я)] ;

2. А""4'/ е С((0,1), Н, Л) , Чт е N.

В § 1.2 дослщжусгься нелокальна гранична задача з умовами, що мютять два оператори.

р{- Ц2,л)и(0 = ¿а^-^Ц/) = /(/), / 6 (0,1), (1) (') = К'Ц2'"" (0) - (- В,)'" (1) = ; (2)

^ = О, и - 1, / = 0,1, а) е ф" = 0,«) , а„ = I ,

= е 1УВИ>(Л) (« - 0И).

Означения 1.2.1. В припущешн, що /) 6 К(Н, о\у, V, Л70), а = ст(Л) е £ 0 ,'»'=.+«>, М0 е (0,1) , Ви, В„ В = (й0 - В,)" х х (*„• + *,) 6 иш(А) о [Я], /(<) е ф,\),>/), 6 //„ „.,^(/1),

розв'язком зада'п (1), (2) будемо називати вектор-функшю ;/(?) е ((0,1), Л), яка задавольняе р1Вност!

И- Ц.лЩ - /(01, = о, - <р\= о,

у -1 1 ■ . = и ______ >7 = 1,2«.

Задача (1), (2) мае таю особливосп : I) граничш умови по видшенш змшш'й ! е регулярними, алё не посилено регулярними за Б1ркгофом; 2) оператор А породжуе в систем! кореневих вектор1в а) несюнченну кшьмсть приеднаних, б) як завгодно велит за довжиною ланшожки п пласного та приеднанних вектор!в.

Нелокальна гранична задача (1), (2) розбиваеться на дв1 задач1:

;•(- ц\/!)«(/) = /(1), /Х0 = °. №

/'(- д\ аЩ = о, /;Ы(г) = <р, (у = Щ. ■ (4)

Доводиться теорема 1.2.1 про коректну розв'язшсть задач! (3) . Загальний вигляд розв'язку однородного р1вняння встэновлюсться в теорем1 1.2.2, з яко! зокрема випливае однозначна розв'язшсть задач1 (4) для довшьних вектор1'в <р) е Я0пДл) (у = 1,2л). На основ! те! ж

теореми 1.2.2 та леми 1.1.3 описуеться гладюсть розв'язку одпор|'дного р1вняння всередиш ¡нтервапу (0,1) в термшах простора С"((0,1), Я, А), т е N ( теорема 1.2.3 ), а також доводиться неперервна залежш'сть розв'язку задач 1 (4) вщ граничних значень <Р, е Н0^(А), у = 1,2и (теорема 1.2.4).

Наступна теорема шдсумовуе ш результата 1 е головного в § 1.2. Теорема 1.2.5. Нехай А: е К(Н, а, v, V, А/„),

а = ст(А) <= £ +±?> у = °° ' 6(°'0- Полшом Р(у,г)

' г

задовольняе нер^вшсть |/-(у,г)| С(/>^" + для у > 0, Яег £ 1, С(Р) > 0, р1вняння <а3,1) = 0 мае прос-п дшсш корен}. Оператори Ва,Вх, В е (/^(А) п [Я]. Тод1 для довшьних /(/) е ¿2((0,1),Я) , е ЯОЛ1у(Л) (у = гснуе единий розв'язок и(г) задач! (1), (2) 1 вшгонуеться оцшка

КС.«,,,,, 2 с(р()1п€ +1Й,,) • ОД >0 ■

Другнй розд1л. Дошджения задач/ Коий з ппстШнии цеобмежетш оператором. . .

В даному роздм! вивчаеться абстрактна задача Копи

= МО (5)

к(0)=«0,/>0 (6)

в гшьбертовому простор! Я ¡з сталим необмеженим оператором А, що надежить до класу К(Н, а, v, V, М0), або К{Н, сг,.у, V, М„),

Класичний розв'язок ршняння (5) визначасться як така вектор-функщ'я и({) ( и(/) е Н для ва'х ( 2 0 ), що

«(/) е й(л), / ^ о; 'ы о 1(го;

Задача Кош» (5), (6) вважасться поставленою коректно ( дшномщно коректно ). якшо :

1)для дов1'льних к0 е £)(/!) ¡снуе п единий класичний розв'язок;

2) цей розв'язок неперервно залежить В1Д початкових даних в тому сена', що ¡з и0 п -> О (п -> оо,и„_я е для вщпо-. вшних класичних розв'язкт .«„(О випливае и„(/) -> 0 для кожного ( ^ 0 ( "„(1) -> 0 р1вном1рно по ( на кожному скшченному промГжку [0,7'] ) •

Нехай и„({) - оператор, який ставить у вщповщш'сть кожному елементу и„ еО(/1) значения розв'язку и(/) задач! Кош! (5), (6) в момент часу I.

Якщо задача Кош! коректно поставлена, то оператор (/0(7) визначений на 0(А) , лшШний та обмежений. Осмльки 1)(А) - Н , то С/0(<) продовжуеться за неперервшстю до лшШного обмеженого оператора [/((), визначеного на всьому простор! Н. Ом'я оператор1в [/(/) ( / £ 0 ) утворюе сильно неперервну при / > 0 швгрупу. Таким чином, класичний розв'язок коректно поставлено! задач1 Коии мржна записати у вигляд! и(/) = (/(/)м0 («0 е 0(А)) , де !/(/) сильнонеперервна ш'вгрупа обмежених оператор|'в. Якщо ид не надежить Е>(А), то функщя и([)ид може бути недиференшйовною 1' п значения можуть не належати /)(Л). Функцно для и„ е И

будемо називати узагальненим розв'язком ршняння (5). •

ГПвгрупа (/(/'), шо вщповщае р1вном|'рно коректшй зада1« Кони, волод|'г властиш'стю //(')"„ -» ип при 1 —» +0 для довшыюго и0 е Н, тобто задовольняе С0 - умову. Для не! виконуеться сщшка

РЩН] < Мс°" '(, >0), для яко1 точна нижня межа сои чисел со називаеться типом т'вгрупи. або типом задач1 Кони .

В § 2.1 доводяться теоремы про достатш умови р1вном1рно'| коректносл задач|' Кони (5), (6) для оператора А е К(Н, сг, v, V, А/0). При цьому використовуеться теорема Х|'лле-Ф|'лтса-М|'адери, яка стверджуе, то необхшною \ достатньою умовою р1вном|'рно1 коректносп зада'н Коил для р1вняння (5) ¡з замкненим оператором А е виконання нер|'вностей

П^'Ъ^гк■ <"

Точна нижня межа чисел р в оцжках (7) визначае тип а>„ задач) • Кошг

Теорема 2.1.1. Пехай А е К(Н,<т, V, А/„), спектр <т = <у(А) задовольняе умови Яег, <0, Яег^, <Яе24 б Лг),

Яе:г4. -».-от при /:—»<», М0 е (0,1). Припустимо, що в пром1жок ^Яег,Д1 - попадають / значень Яегк (к = П7},тод1

1) задача Кош1 (5), (6) е р1'вном|"рно коректною ;

2) тип о)„ зада41 визначасться формулою

Яе г, , якщо < вд = 1, /] ;

(| - Л/0') Яег^ , якщо 3 V* =да (Л = 1,/) ,

де. Яегк| = тах {Яет* = «} .

В наступш'й теоремI розглядасться випадок, коли Яел, > 0.

Теорема 2.1.2. Нехай Ае М0), спектр а = <х(Л)

задовольняе умови Яег, > 0, Яег4+| < Яе 2к [к е //), Яег4 -» -оо при ¿-»со ', М0 €(0,1). Припустимо, що в ПР0М1Ж0К (Яе^Д! + М,'),Яе г,| попадають I значень Яег4 (/с = 1,/| ¡тод!

. 1) задача Кони (5), (6) е ртном1рно коректною ;

2) тип ю,, задач! визначасться формулою

(У„ =

В § 2.2 розглядаеться задача Кони за умови шдсутпосп шформаци про коректшсть и постановки 4 здшснюеться побудова розв'язюв на основ! оберненого перётворения Лапласа.

Якщо задача Коин (5), (6) е коректною 1 оператор А мае резольвенту Нх (Л) при Г1е Л > со, то н класичний розв'язок може бути знайдений за допомогою перетворення Лапласа 1 матиме зображення

(8)

для довшьних а > со, ( > 0 .

Якщо наперед нев1домо, що задача Коин коректна, то можна пробувати буаувати ц клпсичш розв'язки за формулою (8) . Ускладненням на цьому шляху.е те, що ¡нтеграл в правп! частши формули. (8) не буде, як правило, абсолютно зб1жним, оскьчьки

резольвента не може спадати швидше шж р- . Знаючи однак

Г ' '

поведшку на нескшченносп норми резольвента для даного оператора А, в багатьох випадках можна знаходйти такт початков! елементи г/0 6 , для яких штеграл в формул! (8) та його похщна по I ¡снуватимуть в сенс! головного значения при вшх / > 0.

Наприклад ( результат Ю. I. Любича ), якщо резольвента оператора А юнуе при Б.е Л ~> а ! и норма задовольняе нер!вшсть

* м(\ +,|я \у- (9)

при деякому к > -1, то формула (8) визначае класичний розв'язок задач! Кош! (5), (6) для довшьних и0 е О^л'1'") ( [&] - цша частина числа к ).

В даному параграф! припускаеться, що спектр сг(/)) належить до множинн

= А 0 * /7 < та ; 3|1*егк| > е^ , к е /у} . 3 множиною ^Г пов'язуеться дов!льне д|'йсне число ар, утворене за наступим правилом :

Г ар > 0 , якщо Р < 0 ;

(10)

> 2р , якщо Р > 0 .

На основ! оцжки (9), яку вдаеться 'довести для к = 0, встановлюються достатн! умови ¡снування класичннх рот'язкт задач! (5) (6)..

Теопема 2.2. Нехай А е К(Н,сг,у,К,"М0), <т = а(А) ё £ , число ар вибране за правилом (10) I мае М|'сце один ¡з наступних випадыв :

1) ук < V < со для вс!х к е N, Мй е(0,со).

2) у = ю, в цьому випадку накладаються обмеження на характер росту кратностей V,,. в залежносп в!д величини стало! М0, а саме :

а) Мй е(0,1), тод1 Ук со при к —> «э без обмеження на швидмсть росту, бшын того, допускаються р!аносп ■ = +со для окремих або вах к е N ;

б) М0 = 1 , тод| < См • |Иег, ], к е N,

в) М0. £ (1,<»), тод1 V, < Ьй^С^Кег^), к е N .

Тод! задача Кош! (5), (6) мае класичний розв'язок и(1) для довшьного початкового значения и„ е £>(л3), який мае зображення (8) з а = а„ ■

§ 2.3 присв'ячений доодджешио коректно! рози'язносп в рамках узагальнсних розв'язкш задач! Кош!

О')

«{0) = мвбЛ0>}(Л) в гшьбертовому простор! ¿2((0, 7'),#) (О < Т < <х>) для оператора А £ К(Н, сг, V, V, М0) ¡3 спектром а (/1) е ^

Узагальнеш розв'язки задач! (11), (12) шукаються в простор! Соболева

И{((0, Т), Л) = {«(/) £ ф, Т), Н01{А)) : Цк(0 е ¿2((0,7'), Я)} '

з »ормош \тща,т],л]=т+\\м€+ра€ (о <г < с«).

Розглядуваний туг клас операгсрв А забезпечуе для вказаногр простору Соболева виконання теореми про слщи, аналопчшй теорем! 1.1.2 ( пункт 2 ), а саме якщо

и(1) е !К,((0,7'), А), то »(/) е с|[0, 7'], На, (Л)|, так що початкова

умова (12) е коректною.

Пи роэв'язком задач! (11), (12) розулпемо вектор-функчио н(/) е '^((О,'/'), /1), яка задовольняе ртност!

^+>[=0,|КО)-«0|,, =0.' .

Теорема 2.3.1. Нехай виконугаться наступш умови: А е К(Н, сг,у,У,М0), ст = а(Л) е £ +, пI ±Г

(О, со) , якщо V < со ; Мв е Тод1 для довольного и0 е Н0, (/1)

(0,1) , якщо v = ос . 'i

¡снуе единий розв'язок зада>й Кони (11), (12) "(') =

= е~А'иа е Г^((0,7'),/1) 1 мае м1сце ошнка

Наступив теорема описуе гладюсть розв'язку задач1 Кош! (11), (12) всередиш пром1жку (0, 7').

Теорема 2.3.2. Нехай виконуються умови теореми 2.3.1 1 «(/) - розв'язок задач! Коня (11), (12), тод!

1. !((/) е С"((0, Г), Н, Л) для допшьного те//;

2. С(а,/},т, А)1«Х.

Ут € ЫУ[а,/3]а(0,Т). Зауваженпя 2.3. Результата даного параграфа з певними обмеженнями узагальнеш автором на випадок задач! Конп для диференщально-операторного р1вняння п - го порядку

Р(Ц,А)и(1) = ^а1А'"'0,'и(1) = 0 ,

у-0

г,Ь)(0) = (р _ 6 Я0 (А) , а, е С, ) = М , ' = О,и - 1.

Задача коректпо розв'язана в простор! ¿2((0,7'), Я), класом коректносп е шдпроси'р

1ф,Т),А) = {«(г) е А2((О,7 ),//о „(Л)):ДЧ0 е Г),//)).

Висновки

1. На основ! узагальненого методу вщокремлення змшних отримано достатш умови коректно! розп'язност! нелокально! гранично! задач! для диференшально-операториого р!вняння парного порядку, коефшенти якого е степенями абстрактного необмеженого оператора з кратним" спектром 1 необмеженимн в сукупносп кратностями спектра, а граничш умови мютять два оператори, що е функщями в>д першого.

2. Встановлеш достатш умови р1БНо\прио1 коректноеп задач! Копи для однорадного диференщального р1вняння першого порядку' з абстрактним необмеженим оператором, що мае кратний спектр. Розглянуп випадки р1вном!рно! обмеженост! та необмеженосп кратностей спектра. Вказано формули для визначения типу задач! Кош!, на основ! яких зокрема проанал1зовано вплив несшнченних кратностей на властивост! отримуваних розв'язю'в.

3. Вищевказана задача Кош! розглянута в ситуацн, коли н

' спектральш параметри не гарантують коректну розв'язн!сть.

За умови певних обмежень на швидкють росту кратностей власних значень абстрактного оператора видщено клас початкових. вектор!в, для яких ¡снують класичш розв'язки задач! Кош!. Останш будутоться за допомогою формули обер-неного перетворення Лапласа.

4. Отримано достатш умови коректно! розв'язност! абстрактно! задач1 Кош! в просторах Соболева.

5. Доведено теореми про властивост1 оператора з кратним' спектром при наявност! необмежених кратностей, зокрема теорема про промшков! пох!дн! та сл!ди.

Ochobhí результата дпсертацп опублtKonani в роботах :

1. Бушмакин В. Н. Некоторые дифференциально-операторные уравнения с возрастанием кратности спектра // Мат. методы и физ,-мех. поля. - 1994,- Вып. 37. - с. 12 - 16.

2. Бушмакш В. М. Дрстатня умова розв'язност1 абстрактно! чадачi Kouii // Bien. Льва». полггех. in-ту. - 1993. - № 269. - с. 20 - 23.

3. Бушмакш В. М. Про розв'язшсть абстрактно! задач i Komi з наростаючою KpaTnicno спектра // Bích. держ. ун-ту "Льв!вська полтехшка".- 1995,- № 286.- е. 19 - 23.

4. Бушмакш В. М. Деяй диференщалыш-операторш ртняння з наявшетю необмеженост1 числа приеднаних Betcropiß // Сборник научных трудов "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения". - К.: Ин-т математики HAH Украины, 1994,-с. 41,

5. Бушмакин В. Н. О гладкости: производных решении некоторых дифференциально-операторных уравнений с нарастающей кратностью спектра. Львов, 1993,- 9 е. - Укр. -Деп. в ГНТБ Украины 07 06.93, № 1117'-Ук 93. . ...

6. Бушмакин В.Н. О разрешимости задачи Коши в гильбертовом пространстве с несамосопряжённым 'оператором при. ограниченности кратности спектра. Львов, 1993. - 4с. - Укр. - Деп.. в

. ГНТБ Украины 07.06.93, № 1119 - Ук 93. ' .

7. Бушмакин В. Н. Достаточное условие разрешимости задачи Коши в гильбертовом пространстве с несамосопряжённым оператором при наростаиии числа присоединённых векторов. Львов, 1993.. -6 с. - Укр. - Деп. в ГНТБ Украины 07.06.93, № 1118 - Ук 93.

8. Бушмакин В. 11. Некоторые дифференциально-операторные уравнения с возрастанием кратности спектра // Новые подходы к решению дифференциальных уравнений : Тез. докл. Ill Всесоюз.

. коцф. - Дрогобыч, 1991. - с'. 20/

ч. Бушмакш BiKTop. Про розв'язшсть абстрактно! задач: Komi для одного класу несамоспряженпх операторт в пльбертовому простор) // Матер^алн лнжнародно! конференци, прпсв'ячено! пам'ят! Ганса Гана.- Mepiimni: Рута, 1994,- с. 20.

10. Baranetsky J. 0„ Bushmakin V. М. On siifficicent conditions for solving tlie abstract Cauchy problem in Hilbert space with unbounded eigenvalue .multiplicities // Intern. Conf. .on Nonlinear DiiTerential Equations, Aug 21 -27, 1995, Kiev, Book of Abstr.-. Kiev, 1995,- p, 8.

Bushmakin V. M. On some boundary problems for differential -operator equations with multiple spectrum.

. Candidate of Science Thesis ( Physics and Mathematics ), speciality 01.01.02 - Differential equations. Lviv State University, Lviv, 1997.

The nonlocal boundary problem containing abstract unbounded operator with multiple spectrum in differential equations and two bounded operators' in boundary conditions is investigated. Such problem attracts attention due to the countable set of associated vectors to be presented in system of eigenvectors and associated vectors of the corresponding eigenvalue problem. What is more length of chains of eigenvectors and associated vectors aren't unifoinly bounded: Caushy problem with this kind of abstract operator: is considered too. The results connected with different sides of the solving of the problems in questions are obtained.

Бушмакин В. H. Некоторые краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений с кратным спектром.

Диссертация на соискание- учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения, Львовский государственный университет им. Ив. Франко, Львов, 1997. •

Исследуется нелокальная краевая задача, содержащая абстрактный неограниченный оператор с кратным спектром в дифференциальном уравнении и два ограниченных оператора в краевых условиях. Такая задача характерна тем, что содержит в системе корневых векторов соответствующей спектральной задачи счётное множество присоединённых. Более того, длины цепочек из собственного и присоединённых векторов не ограничены равномерно. Рассматривается также задача Коши с таким абстрактным оператором. Получены результаты относительно различных аспектов разрешимости рассматриваемых задач.

Ключов! слова : диференщалыю-операгорне р1впяння, нелокалый граничж умови, задача Komi, пльберт'в npocTip, необмежений оператор, кратний спектр, база Picca, коректна розв'язжсть, тип задач! Komi.