Некоторые математические модели динамики плазменного шнура тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ



ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени М.В.КЕЛДЫША АКАДЕМИИ НАУК СССР

ГАВРИКОВ МИХАИЛ БОРИСОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ПЛАЗМЕННОГО ШНУРА 01.01.03 - математическая физика, 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.9 : 533.9

МОСКВА - 1991

Работа выполнена на механико-математическом факультете Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова и в Институте прикладной математике имени М.В.Келдыша Академии наук СССР

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

О.Б.Локуциевский.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А.В.Бобылев, кандидат физико-математических наук С.Я.Ищенко.

Ведущая организация: Институт теоретической и экспериментальной физики

Защита диссертации состоится "_" 1991г.

в "_"час. на заседании специализированного совета

Д 002.40.03 при Институте прикладной математики имени

М.В.Келдыша АН СССР по адресу: 125047,Москва.Миусская пл.,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР.

Автореферат разослан " 3> " 1991г.

Учёный секретарь ^

специализированного совета [) I А,

доктор физико-математических наук Е.И.Леванов

Общая характеристика работы

Диссертация представляет собой математическое исследование некоторых задач теории бесстолкновительной и гидродинамической плазмы и является частью работ по моделированию процессов в ^-пинчах и плазменном фокусе,проводимых в ШМ АН СССР

Актуальность темц.Как известно,на определённом этапе эволюции плазменного шнура вследствие его неустойчивости в нём возникают так называемые перетяжки,т.е.участки шнура,где его радиус резко уменьшается,достигая весьма малых( ** 5*-Ю-1'см.)значений.При этом длина такого участка(т.е.длина перетяжки)может достигать нескольких его радиусов.Процессы,протекающие в плазменном шнуре на стадии образования перетяжек,вызывают особый интерес,поскольку аменно эта стадия сопряжена с целым рядом физически важных и пло-со изученных эффектов(нейтронное и рентгеновское излучения,ускорение частиц,особенности на осциллограммах тока и т.д.).Понимание трироды всех этих эффектов крайне важно для проектирования новых физических установок.С другой стороны,все они теснейшим образом звязаны с процессами,протекающими в возникающих в шнуре перетяж-<ах(или плазменных фокусах на некоторых установках).В то же вре-ля плазма перетяжек обладает экстремальными параметрами.Это прежде всего относится к существенно более высоким чем в остальных тетях шнура значениям температуры и плотности перетяжечной'плаз-яы.Всё это,с одной стороны,вызывает повышенный интерес к динамике юретяжечной плазмы,а с другой - приводит к непригодности тради-шонных способов моделирования плазмы для её описания.Некоторые фивычные понятия при этом вообще теряют смысл и прежде всего щя перетяжки становится неопределённым унаследованное из гидродинамики представление о границе плазма-вакуум как о некой гео-ютрической поверхности.В работах В.С.Имшенника и др.(Сб."Дву-юрные численные модели плазмы"под ред.К.В.Брушлинского.стр. :20-198,М.,ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР,1979)для описания горячей шухкомпонентной перетяжечной плазмы была предложена гибридная годель(или магнитная кинетико-гидродинамическая модель,сокращённо [КГД-модель).согласно которой электроны описывались гидродинами-гески.а ионы - кинетически в бесстолкновительном приближении.Эти [ другие работы наряду с достижениями выявили и ряд узких мест

МКГД-модели.к которым прежде всего относится необходимость анализа процессов в пограничных с вакуумом областях перетяжки,т.е.по существу учёта вакуумной плазмы и её взаимодействия с плазмой шнура.Кроме того,возникла необходимость учёта дополнительных физических факторов и в первую очередь влияния ионов тяжёлой примеси и их радиационных свойств на динамику перетяжки.С другой стороны, построение математического формализма гибридной модели плазмы в часто встречающихся случаях.когда ионы сингулярно расположены в фазовом пространстве(скажем,локализованы на некоторой поверхности), сопряжено с рядом затруднений общего для физической кинетики характера.Кинетика таких сингулярных пучков частиц уже не описывается классическими уравнениями,которые в этом случае просто теряют смысл.Всё это требует разработки адекватного математического аппарата физической кинетики ансамблей частиц,сингулярно расположенных в Фазовом пространстве.

Таким образом,процессы,протекающие в перетяжках,интерпретируемые в рамках гибридной модели плазмы,представляют интересный и недостаточно исследованный объект изучения,требующий как аналитического, так и численного исследования.Решения соответствующих уравнений гибридной модели актуальны душ анализа процессов в пе-ретяжечной плазме и плазменном фокусе.

Цель работы состоит в математическом моделировании процессов в перетяжках и плазменном фокусе на основе МКГД-модели,в численном и аналитическом исследовании решений МКГД-уравнений и использовании результатов этого исследования для анализа процессов в перетяжечной плазме.

Научная новизна.В работе содержатся следующие новые результаты:

1.Построена гибридная модель трёхкомпонентной плазмы с учётом излучения ионов одного из сортов,

2.Построены математические модели вакуумной плазмы и её взаимодействия с плазмой шнура.

3.Разработан математический аппарат физической кинетики сингулярных пучков(доказан криволинейный аналог теоремы Лиувилля, выведены формулы для средних по скоростям величин,установлена связь частичной и полной функций распределения,изучены конкретные примеры).

4.Найдены различные серии нетривиальных точных решений уравнений гибридной модели двухкомпонентной плазмы,представляющие физический интерес.

5.Разработан эффективный алгоритм численного исследования цилиндрически симметричных решений уравнений гибридной модели.

6.На основе численного исследования получена важная информация о динамике перетяжки,в частности о роли тяжёлой примеси(и её радиационных свойств) и ускорении частиц плазмы в перетяжке.

Практическая и теоретическая ценность.Диссертация имеет теоретический характер.Однако её результаты непосредственно связаны с численным моделированием реальных физических задач и могут быть использованы для анализа и интерпретации экспериментальных данных по динамике £ -пинчей и плазменного фокуса.

Разработанные элементы математического аппарата физической кинетики сингулярных пучков являются теоретической основой для их аналитического и численного исследования.

Апробация работы.Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в МГУ.ИПМ АН СССР,ИАЭ,на заседании кафедры ОПУ мех-мата М1У,на Всесоюзной конференции по теории плаз-мн(4 - 8 апреля 1988г. в г.Звенигород).

Публикации.Всего по теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объём работы.Диссертация состоит из введения, двух глав(внутри каждой главы имеется деление на параграфы,а внутри параграфов - на пункты)и дополнения,содержит 33 рисунка и библиографию из 48 наименований.Общий объём работы - 189 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых задач. Приводится обзор содержания диссертациии изложены основные зё результаты.

В первой главе.состоящей из 4-х параграфов,в §1 выводятся уравнения гибридной модели(МКГД-уравнения)для трёхкомпонентной плазмы.состоящей из электронов и двух сортов ионов(основные и тримесные)с учётом излучения ионов примеси,которые следующим збразом записываются в векторном виде:

+ - о =0 ,

с- '

1ьэТ ЪЬ^.уТ + УГГ^ = Н = Уц+^Н^, _ + ТГ * Чхек

*5

где -функция распределения ионов 5 -го сорта,

объемная плотность числа электронов, Т =Те -электронная температура. Силовые поля р, , ^ .электрическое поле Е .даоулев нагрев и потери на радиационное излучение ионов примеси имеют вид: —»

еп сц ^ ута

где -масса ионов 5 -го сорта, С,, С^ -заданные константы, ^СТ)-заданная функция, -степень ионизации примесных( 5 » -X )ионов, -постоянная Больцмана.Основные физические допущения при выводе системы (1),(2) сводились к следующему.Плазма считалась квазинейтральной,а электромагнитное поле - квазистационарным .Ионы рассматривались в кинетическом бесстолкновительном приближении,а относительно электронов предполагалось,что они являются идеальным одноатомным сжимаемым газом с показателем адиабаты ^ Взаимодействие электронов с ионами 3 -го сорта моделировалось объёмной силой трения ^ .которая приводит к даоулеву нагреву (С."Й электронной жидкости.Такой подход позволяет редуцировать кинетические уравнения для ионов к уравнениям типа Лиувил-ля - Власова.Учтено также радиационное излучение многозарядннх ионов примеси,приводящее,в частности,к изменению температуры электронов.Остальные диссипативные факторы в рассматриваемых задачах являлись не суше ствеиными.Наконец,в (1),(2) игнорировалась инерция электронов,что позволило свести уравнение импульсов для

электронов к обобщённому закону Ома.В §1 рассмотрены также частные случаи приведённой системы(осесимметрическая задача,случай цилиндрической симметрии и пр.)и проведено обезразмеривание системы (I),(2).

Материал §1 изложен в работе £1] .

В §2 рассмотрено обобщение системы (1),(2) на случай,являющийся центральным в диссертации,когда каждый ион всё время двигается в некоторой(зависящей от иона)радиальной плоскости,т.е.плоскости, проходящей через ось симметрии ОЪ установки.Иными словами, отсутствует вращение частиц вокруг оси ьъ .В этом случае в фазовом пространстве ионы всё время располагаются на некоторой 5-мерной поверхности,геометрия которой подробно изучена в §2. Возникающая сингулярность в расположении ионов в фазовом пространстве приводит к тому,что классические уравнения кинетики для таких ансамблей частиц теряют смысл.Возникает естественный вопрос,как написать(и существует ли оно)уравнение кинетики для таких сингулярно расположенных в фазовом пространстве ансамблей ? Для построения расчётных формул принципиален также вопрос о вычислении средних по скоростям величин для таких ансамблей.Эти и другие вопросы имеют ключевое значение для гораздо более широкого класса задач кинетики сингулярно расположенных в фазовом пространстве ансамблей частиц,чем та конкретная сингулярность,с которой мы столкнулись в нашей задаче.Поэтому в §§2,3,4 для классического фазового пространства предложен математический аппарат таких сингулярных задач,проведено исследование некоторых из возникающих здесь проблем и рассмотрены конкретные примеры.Наш подход основан на геометризации основных понятий и конструкций классической кинетики(иной путь был разработан в статьях А.А.Арсеньева и его сотрудников).Прежде всего в §2 вводится понятие фазового ограничения (ф.о.).которое формализует представление о связях,наложенных на движение частицы ансамбля в фазовом пространстве Ц^6 .Математически ф.о.суть подмножества классического фазового пространства .которые,как показывают примеры,обычно являются многомерными поверхностями,т.е.подмногообразиями ^ .Последнее обстоятельство весьма важно,т.к. ф.о. играют роль искривлённого фазового пространства и,следовательно, на искривлённом фазовом пространстве естественным образом возникают разнообразные геометрические структуры и прежде всего эле-

мент риманова объёма,что в свою очередь позволяет рассматривать функции распределения.Пусть vMfc) с -искривлённое фазовое пространство в момент времени -t , -риманов объём на , тогда функция распределения это -суммируемая функция ■HjbjîJAtk) —> такая,что S^twAv* имеет

смыслчисла частиц ансамбля в множестве Ееиц*)для любого боре-левского Е .Основная задача заключается в получении уравнения, определявшего эволюцию -ffc) и поверхностей JUfc) .В §2 изучены конкретные примеры ф.о. и показано,что они могут представлять собой достаточно содержательные поверхности.Например,для центральной задачи работы,когда частицы двигаются в радиальных плоскостях,ф.о. в каждый момент времени является 5-мерной поверхностью IR.' .задаваемой уравнением «.'и*--xtii1=o, VxU+btïH +|Vl+nl\4 0 и диффеоморфной ,где Т*" -двумерный тор. Ещё более интересна кинетика радиальных колебаний бесстолкновите-льного газа около некоторой точки о .Соответствующее ф.о. в каждый момент времени является 4-х мерной поверхностью JU0t)s "з Ji^Ç R* .задаваемой уравнениями эе.хтГ»о , l%|-thn^o и диффеоморфной ß}.* ,где rpynnai^ttj действует на сферах S\ S2, антиподально.а в S4*SZ -диагонально.В §2 изучена геометрия поверхностей Jk5" и JJ? и приведены другие примеры ф.о. Итак,фазовые ограничения являются подмногообразиями vU(t;£ , по которым двигаются частицы в фазовом пространстве.Ф.о.делятся на стационарные (поверхности JUt) не зависят от -fc )и нестационарные^ противном случае).Показано,что ф.о. могут возникать из первых интегралов уравнений движения,при этом нестационарные ф.о. возникают из нестационарных интегралов.Для решения основной задачи вводится в рассмотрение расширенное фазовое пространство Jdf-=■ -U(jt)ç [Rx IR6 .Удобнее задавать сразу всё множество Ji* . Будем считать ,что JU* S 1°,+ связное правильное подмногообразие с, краем многообразия I«, +«о ) х (R,6 с краем , причём подмногообразия трансверсальны к vJl* для любо-го--Ь>о .Отсюда автоматически следует,что JU-fcJ=Jl*V>Появляется подмногообразием(без края) IR6 , сА;« и JU,* = Jlilti. Рассмотрим семейство Л - «"-конечных мер N*- .заданных на в"-алгебре всех борелевских подмножеств Jttfc) ,и некоторое множество пар ÖC Элементы 01 формализуют сингулярно расположенные в фазовом пространстве IR.6 ансамбли частиц.Нако-

нец,пусть для каждой пары из 0L задано 7-мерное векторное поле класса С1 на М.* : РбО^НЧ^Л.), 16JU* .связанное с физическим полем сил F*(t,-x.,Tr) соотношением F(t,xl«)= (.1, Ъ, ¡гУ) , (.t,».,\r) € vU* .Зависимость F ,Л) определяется внешними полями и взаимодействием между частицами(сюда могут входить и столк-новения)и считается известной.Конкретный вид множества 0L для нас несущественней:он определяется прежде всего теоремами существования и единственности решения кинетического уравнения,которые в диссертации не рассматриваются.Если поле F(l) касается , то определён поток : Jn*-> JU*, vfc>o поля fr : , где fy*) -непродолжаемая интегральная кривая поля f .удовлетворяющая начальному условию .Предполагается,что поле р в этом случае полное(т.е.любая непродолжаемая интегральная кривая р определена на [о, + ьо) ) .тогда ф*^) -класса С1 по совокупности аргументов.Основная задача кинетики может быть сформулирована так.Для данных 01 , F .многообразия JA ^ , 7-мерного поля Fe на М (того же типа,что и F )и f-конеч-ной меры tic на <г -алгебре всех борелевских подмножеств найти такую пару ( J**, А.) € Й. ,что:

, М°=Мо (где Л ) >

2) F касается

3) справедлив закон сохранения числа частиц:

N (Ф^)- ^ С^) , s.-Ь »о t Е Я. vH(.s)-борелевское

Ключевым результатом §2 является следующий криволинейный аналог классической теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объёма.

Теорема! .1 Пусть (JH* А)£ 01, А -< причём

N** абсолютно непрерывна относительно Vfc -элемента риманова объёма на JUtfc) .Пусть -fta= «INVJv* -функция^рас пределения ансамбля частиц (.Л*, Л) .Если и F(Jl",A.)6 C^CJfj.TO пара (Л*,Л) является решением основной задачи кинетикд тогда и только тогда,если F касается >Д* , Jj(o) = ЛЛ , F|iec = F0j f =«Mo/Jv* tfo^V0 )и справедливо тождество на Ji* :

- ^«мЛПи?]^ (3)

где оС^ -оператор дифференцирования функции вдоль поля F , V:JU* —» t , р) равно длине высоты,опущенной из точки

P+Fít,p; на касательную плоскость к Jilt) в точке févUlt) ,а o\tV вычисляется в метрике JH*" .

В Теореме!.1 Л1*.Уравнение (3) назва-

но нами обобщённым уравнением Лиувилля.Его частным случаем является классическое уравнение Лиувилля.Это легко увидеть на стационарном случае .Тогда [,*>+»в)х<А1 .все дГ*5 заданы на в"-алгебре всех борелевских подмножеств ,поле р* касается » K*sO и уравнение (3) принимает вид:

U + < «pU-f, ? + £ «U.V о (4)

где д. -метрика на JA , и вычисляются в метрике .

При AhR.' уравнение (4) переходит,очевидно,в классическое уравнение Лиувилля.Остаток §2 посвящён локальной записи уравнения (4) в различных координатах на поверхности vil Для случаев Л( = JH.4, IR6 ,где vAl4, -указанные выше поверх-

ности,и вычислению функции К*" в случае,когда ф.о.возникают из первых интегралов.

Материал §2 изложен в работе |j2j .

В §3 рассмотрен вопрос о вычислении средних по скоростям величин для сингулярно расположенных в фазовом пространстве ансамблей частиц.Пусть расположение частиц в фазовом пространстве задаётся конечными мерами Ыь , + .определёнными на «"-алгебре всех борелевских подмножеств = IR^xR* и А(х,тс) R4—* К. -гладкая функция,подлежащая осреднению и суммируемая по ^ для любого Тогда на Г-алгебре всех борелевских подмножеств конфигурационного пространства возникают две функции множеств:

h* С*) =* К.1) ✓ G4" 5 , Ъ í 1RJ -борелевское (5)

•fc ^

Нетрудно проверить,что У\ -конечная мера, -конечная обобщённая мера(заряд) и •

Определение. Обобщённая мера Шд называется неосреднённой величиной типа А .Производная Радона-Никодима dw^/ol** ^ é L, (ift^ къ) называется средней величиной типа А •

Основная задача состоит в нахождении зависимости яЫ) от функции распределения частиц f и исходной функции А .Поскольку в общем случае функция распределения не определена,то указанная

задача решается в каждом случае отдельно.В классической кинетике считается,что Ы* абсолютно непрерывны относительно меры Лебега Уч в ^ .Б этом случае ДЫ*/«*« и,как известно, =

= 1 М^И V ) .Нас интересует случай,когда частицы рас-

ГС? Л*

положены в каждый момент времени ± на некоторой поверхности Л1 = ЛЦ-Ь) с Ц^6 .В этом случае время можно "заморозить",а определяющую роль играет проекция 7Г: ^ —> 7г(тс,Т)= -х. в конфигурационное пространство.В классической формуле интегрирование происходит по неизменному пространству скоростей .В сингулярном случае пространство скоростей 7Г'(х.) с ^ меняется от точки к точке,а его структура зависит от отображения .Здесь могут быть самые разные варианты.В диссертации детально разобрана лишь одна необходимая для центральной задачи конкретная ситуация, когда <А1\иЛ1>3 ,а множество критических точек С-д- отображения

7г имеет меру о относительно риманова объёма V на Л4 .Основной результат содержится в следующей теореме,где И -конечная мера на б" -алгебре всех борелевских подмножеств , А -гладкая вещественная V -суммируемая функция на М

Теорема! .5 Пусть ЛмиЛА^г, л!<£">>, —сДм^еД^ ,а С*- го'еет "V -меру Ь .Тогда можно построить гладкую функцию £: \С*-

¡¡^ и выбрать измеримое ЦоСЦ - С л-) такие,что

Ц\цс имеет лебегову меру о и :

1) хб Цс ^Ы)9 Ст и является подмногообразием коразмерности а .причём суммируема на С*-) относительно элемента риманова объёма V*. на <а Функция

—? [, ЪАН^

I.

суммируема на ив относительно меры Лебега /ч .

2)Если и и определены формулой (5), Чво1мд/„|„ ,то Ц меры И, »пА сосредоточены на М» и на Ц0 :

Уи«»^, = (б)

Из сравнения формулы (6) с классической следует,что в сингулярном случае в выражении для средней величины появляется дополнительный множитель & .вычисление которого подробно разобрано в §3 .Множитель & Ж —» |Я определяется в §3 в общем случае

для отображения без критических точек У: М. —> римановых пространств,когда ,и конкретизируется в двух част-

ных случаях:а) ,б) ^ Д - ориентируемы.Наконец,вычисле-

ние проведено для центрального в диссертации случая движения частиц по многообразию <ДА С .задаваемому уравнением х^-я

+ о Тогда критические точки 7Г:> П^* определяются равенством С* ,а функция

^'«А^С* —» В!. задаётся соотношением:

(7)

Теперь мсшно.в частности,выписать криволинейный аналог системы (I),(2) в случае,когда ионы всё время двигаются в радиальных плоскостях,т.е.в фазовом пространстве располагаются на поверхности »А5" .рассмотренной выше .В этом случае функции заданы на ^Ц,^* ,а уравнения кинетики из (I) заменятся на уравнения 14),где р*- = [тг|?5),5»1,1.Формулы же для вычисления и у^ из (I) заменятся на (6),где ^ вычисляется по (7).Наконец, условие касания р^ поверхности Л^5* эквивалентно равенству ^^о.Последнее выполнено,например,в аксиально симметричном случае, когда Е"|р = ВГ = = о .

Содержание §3 опубликовано в работе [ЗД.

В §4 рассмотрено решение следующей важной во многих вопросах задачи.Пусть уравнения движения частицы допускают независимые первые интегралы , ..., .Для данных с.,, .... ск отберём все те частицы ансамбля,для которых значения первых интегралов ^^ равны,соответственно, с--», ..., с^ .Для бесстсшкновительной эволюции тем самым корректно определены частицы,которые назовём частицами С -го сорта с = Сс,,..., ск) £ К*" • Пусть и £ -функции распределения частиц С -го сорта и всех частиц ансамбля. называется частичной функцией распреде-ления.Спрашивается,как связаны {с I ^ ?Е §4 установлена следующая формула:

(8)

где Г -матрица Грама системы векторов Ч^,....^*., •

Формула (8) при внешней простоте требует для доказательства весьма тонких рассуждений.Ключевым моментом в её выводе является еле-

дующая теорема о разложении мер,доказанная в §4.

Теорема!.7 Пусть И>К>1 , и С К* -открытое, ^»(^.....^и-» К^- гладкое отображение ранга к. , Ы -конечная мера на -алгебре всех борелевских подоножеств Ц .абсолютно непрерывная относительно меры Лебега ы в Ц .Тогда:

1) Для любого с.€.1унУ можно построить такую конечную меру на

- б"-алгебре всех борелевских подмножеств .абсолютно

непрерывную относительно элемента риманова объёма на 4* Сс) , что совокупность мер удовлетворяет следующему усло-

вию: для любого борелевского Еб & функция с. >—(Еп^'Сч) суммируема по Ты^/ (относительно меры Лебега) и

>НЕ)= $ МсСБп^Мо\с (9)

2) Конечные меры ЫсС^Ч,, ссЬн V .удовлетворяющие (9) .можно выбрать так,что при некотором выборе производных Радона-Никодима ^=о№с./с1уь функция д.= и и^г'со —» Ч*.

С» О

измерима( ) .Этими условиями семейство мер^/^.^.^^

определяется однозначно: пусть ещё одно такое семейство,

тогда •= ^с Л®1 п°чти всех с е- ЗГ»*^ •

Теорема1.7 является по существу разновидностью теоремы Фубини для многообразий(Зуланке Р..Винтген П."Дифференциальная геометрия и расслоения",М.,"Мир",1975).которая,однако,не следует из известных её вариантов и требует самостоятельного доказательства.Из доказательства Теоремы1.7 вытекает,что ^^/Лу^ =■ Н• С^М^где Н определено по (8).Теорема1.7 и формула (9) имеют ряд важных следствий, обсуждённых в §4.Например отметим далеко идущее обобщение формулы дифференцирования из работы Хинчина(Хинчин А.Я."Математические основы статистической механики",М.-Л..ГИТТЛ,1943),которое в весьма частном случае к =1 даёт:

, Ес = <*€П (Ю)

У самого Хинчина рассматривался частный вариант формулы (10),отвечающий случаю Е = Ы •

Содержание §4 опубликовано в работе ¡Д].

Во второй главе.состоящей из трёх параграфов,рассмотрены вопросы математического моделирования процессов в перетяжечной области

плазменного шнура и численного исследования динамики цилиндрически симметричного самосогласованного сингулярного пучка ионов, уравнения которого были выведены в §§2,3 гл.1.Здесь же проанализированы результаты численных расчётов.

Как отмечалось выше,одна из проблем при моделировании перетя-жечной плазмы заключается в необходимости учёта вакуумной(или переходной,периферийной)плазмы.Таким образом,гибридная модель плазмы в перетяжке дополняется определённой моделью вакуумной плазмы.В §1 предложено три таких модели.Их конструкции обеспечивают соблюдение трёх условий:!!) в вакуумной плазме игнорируется столкновение электронов и ионов,2) электромагнитное поле в вакуумной плазме удовлетворяет уравнениям квазистационарного электромагнитного поля в вакууме,3) электроны,двигаясь в вакуумной плазме, "помнят" температуру,которой они обладали,покидая плазму шнура.Рассмотрим простейшую модель такого рода из §1.Пусть фиксировано пороговое значение плотности ^ > о ,а плазма перетяжки занимает в момент времени "Ь>о в расчётном цилиндре & —

х^а^бг.\ положение с .Разобьём на

области б* | ииП ,

и будем по разному моделировать перетяжечную плазму в и . В ^действует гибридная модель,согласно уравнениям (I) и (2).В области ^-ь электроны теряют гидродинамичность,но соблюдается условие квазинейтральности,кроме того электроны "помнят" температуру, которой они обладали в области и не сталкиваются с ионами.Простейший способ удовлетворить этим требованиям - полагать, что в совпадают функции распределения электронов и ионов: = {•,;= .Тогда можно считать,что электроны жёстко "привязаны" к ионам в области СЙ^ .Пусть 71 к,-*, г) -температура электронов (которую они" запомнили", покидая ),"привязанных" к иону 5 -го сорта,находящемуся в момент времени -Ь в точке х.6 е^и обладающему скоростью т .Тогда формальная постановка задачи сводится к нахождению областей , + .функций ¿^х^.хб бц^а^оО^.тгеК.3,*»«., , та.*), В

удовлетворяющих формулируемым ниже условиям.

1)В З^хЦ?.3' функции £ удовлетворяют уравнениям кинетики из (I),

а в области Я**К3, - уравнению

+ + (и)

где , &"л)-силы Лоренца, Е?

-электромагнитное поле в вакууме .На общей границе [р? й Т^х решения склеиваются по непрерывности.

2)В области поля Т и Е> удовлетворяют уравнениям (1),а

в области & \ .содержащей 0>ь »вакуумные поля Е**! В^удовлетворяют уравнениям квазистационарного электромагнитного поля в вакууме:

Д^о, , (12)

причём поля и Е ^ склеиваются с полями Е> и Е. в на

границе ^ по непрерывности.

3)Температурная функция удовлетворяет уравнению (II).

4)При "2=°, для всех функций ставится граничное условие периодичности .На общей части областей и 2)^ для любого

-Ь>о функции Т и Т5 связаны условиями:

Т^С+,х,тг) = Т(чг.х), x. Т. ¡Г 7 4.

где Т= , = - -внешняя нор-

маль к в точках боковой границы , и(х)=ии*-ско-

рость точки "х-е боковой границы,которая равна п. = и* — - .

5)При -Ь = о области л^о заданы.а Тц_о= Т Б| =

■^бг^о >° где Т°, В", , -заданные функции.

Условия 1)-5) необходимо дополнить граничными условиями для Ё^"1,которые целесообразно рассматривать в каждом конкретном случае отдельно.Если в вакуумной плазме учитывается излучение ионов примеси,то вместо уравнения (II) для расчёта температурных функций "П, используется уравнение

+ Т. ^ ^ н- -1 ^Ст)

В §1 задача 1)-5) конкретизирована для осесимметрического случая динамики сингулярного пучка ионов,рассмотренного в §§2,3 гл.1. Здесь же обсуждён вопрос о выборе порогового значения плотности

и рассмотрены две другие более сложные модели вакуумной плазмы,которые учитывают отклонение от её квазинейтральности и рассеяние частиц при переходе в вакуумную плазму.

В §1 детально рассмотрен вопрос о сохранении энергии в расчётной области й- .Для гибридной модели (1),(2) нетривиальным образом выполнен закон сохранения энергии,являющийся обобщением полученного ранее Имшенником В.С.(Сб."Двумерные численные модели плазмы", цитир.выше)закона сохранения энергии для двухкомпонентной гибридной плазмы.

Теотема2.1 Пусть -гладкие решения системы (1),(2)

в области О. 6 .Тогда если {¿ж ^=1. з. »то всюду

в справедливо равенство: ИЛ-**»

РДв "2.

В §1 получен также интегральный закон сохранения для всего расчётного объёма при условии,что перетяжечная плазма описывается моделью,предложенной выше.Наконец,в §1 рассмотрена проблема выбора начальных данных для задачи об эволюции перетяжечной плазмы и приведены конкретные формулы для расчёта начальных условий.

Материал §1 изложен в 1.1,4].

В §2 построен численный алгоритм нахождения цилиндрически симметричных решений системы из §§2,3 гл.1,описывающей динамику рассмотренного там сингулярного пучка ионов.В указанном случае в цилиндрических координатах и безразмерном виде она сводится к системе:

ЧВ (*. т-и* ( н«*г и -V Л

ъь >г ''»гЛ ** **')>

эТ . х ХЯ1У = м

>г а V Л цт^

(г *?) + }

где 5=&у^,г)>Т=Тв(^г) рас-

пределения сингулярного пучка ионов з -го сорта в цилиндрических координатах .При этом Бу.-Ь^о / , £в1 V,, > о -безразмерные числа подобия, £ "£0> о-константы,учитывающие мощность излучения ионов примеси,а добавки электрические поля и скорости v/, 1а. являются известными функциями от В и Т и средних величин.Последние имеют вид:

яе- ^^

В §2 дано подробное описание численного метода решения системы (13),(14) в предположении,что вакуумная плазма моделируется указанным выше способом.Основная проблема при построении численного алгоритма состоит в том,что заранее неизвестно взаимное расположение зон с вакуумной плазмой (V» $ V )и плазмой шнура ( Ь >, И* ). Вполне возможна,например,ситуация"слоёного пирога",когда эти зоны чередуются.Поэтому уравнение диффузии магнитного поля В» из (13) рассчитывается по неявной разностной схеме с использованием малой добавки(что равносильно искуственной малой проводимости вакуумной плазмы).которая позволяет вести расчёт В> сквозным счётом и автоматически восстанавливать вакуумное значение поля

Е,*' в вакуумной плазме .Уравнение энергии для температуры в (13) решается численно с использованием расщепления по физическим процессам: вычисление температуры на временном шаге ["-к».^**} Разбивается на два этапа.На первом этапе вычисляется изменение только вследствие джоулева нагрева и сжатия-расширения электронной жидкости,в результате чего находится промежуточное значение температуры у .На втором этапе находится изменение Т только вследствие переноса и излучения,при этом найденное промежуточное значение температуры X является начальным условием.Преимущество и смысл такого расщепления в том,что расчёт на втором этапе можно совместить,используя макрочастицы в качестве лагранжевых координат в фазовом пространстве,с решением уравнений кинетики

из (13).Уравнения кинетики из (13) решаются методом макрочастиц. Расчёт температурных функций Т5 происходит при расчёте движения макрочастиц,при этом макрочастицы играют роль лагранжевых меток в фазовом пространстве.В результате получается единообразный способ вычисления температурных функций и переноса температуры Т ,что позволяет автоматически восстанавливать границу * = уг^ .

Материал §2 опубликован в £53.

В §3 проанализированы результаты численных исследований динамики дейтериевой перетяжки с ксенонной примесью путём сравнения трёх типичных вариантов расчёта,отвечающих случаям,когда:1)нет примеси($г = о ),Шесть примесь и слабое излучение (1с=ас>( , 1П)есть примесь и сильное излучение ("£„=$4 и §. в (13) увеличено в раз).В начальный момент перетяжка имеет вид столбика высотой ЗММ и диаметром 1ММ,ток в перетяжке постоянен и равен 0.7МА,начальная температура равна 6.5КЭВ,а начальная плотность кроме того на каждый ион ксенона приходилось 100 ионов дейтерш. Начальные и граничные параметры расчётов соответствуют данным установки "Плазменный фокус".действующей в ИАЭ(Филиппов Н.В. Обзор экспериментальных работ,выполненных в ИАЭ им.И.В.Курчатова по исследованию плазменного фокуса.Физика плазмы,т.9,№1,1983, стр.25-45)Расчёты выявили ряд важных эффектов динамики перетяжки. К ним прежде всего относятся:I)образование плотного плазменного ствола и сильно разреженной короны,2)пространственное разделение ионов дейтерия и ксенона с преимущественным выходом ионов ксенона в корону,3)наличие двух стадий сильного ускорения ионов(первичное и вторичное ускорения)с ускорением ионов тяжёлой примеси на первичной стадии и ускорения ионов дейтерия на вторичной стадии, 4)образование сильного электрического поля в граничной с вакуумом области перетяжки,5)асимметрия функций распределения ионов в сторону отрицательных скоростей,6)стабилизирующая параметры динамики перетяжки роль примеси и дестабилизирующая роль излучения. Численные результаты в основном соответствуют экспериментальной информации и позволяют предсказать ряд важных закономерностей динамики перетяжки.

Материал §3 опубликован в £4Д.

В добавлении.состоящем из 4-х параграфов,приведены точные аналитические решения системы (1),(2) для двухкомпонентной( о )

плазмы.В §1 строится серия нетривиальных стационарных решений системы (1),(2) в плоско-параллельном случае .когда & = Вё£ , движение частиц плазмы происходит в плоскости ^ (ц.,»)^ и все величины не зависят от X .Основной результат состоит в еле дующем. Пусть б-^^Оьг)} -открытая область.

ТеоиемаД.2 Пусть ЦОД-ОД^'Ш) —г С -

голоморфная функция,такая что |<КШ1 ограничена в (» сверху,а - либо сверху,либо снизу.Тогда обезразмеренная система

(1),(2) имеет следующее решение:

^ + Т6М)

= ° »

где ^Ч^Т)-] .

При этом * ; [.о,+<у» 1 —> !>,+<*>) строго монотонно возрастающее отображение,а константы ^, ^ ? о, (}>о выбираются из ус-

ловий:

МФО, ^ >

Ограничения на 4*с заведомо выполнены,если (»- имеет компактное замыкание,а ^ определена в окрестности .ТеоремаД.2 позволяет легко строить конкретные стационарные решения системы (I),

(2).Физически их можно интерпретировать как стационарные режимы течения негидродинамической плазмы в плоских каналах,стенки которых являются линиями уровня гармонических функций.

В §1 приведены также некоторые простые стационарные решения с постоянным магнитным полем.

В §2 рассмотрены простые аналитические решения системы (1),(2) с постоянным магнитным полем и без примеси( §А » о ). Результаты §§1,2 опубликованы в [6Д.

В §3 исследуются некоторые точные аналитические решения системы (13),(14) без примеси( ^=0 )и с нулевым магнитным полем( 6 = = о ).Эти решения описывают специальные режимы динамики незамаг-ниченного цилиндрического плазменного шнура под действием магнитного поршня.В МГД-приближении динамика такого шнура описывается

моделью "снежного плуга"(Кролл н.,Трайвелпис А. Основы физики плазмы,М.,"Мир",1975),в бесстолкновительном как для ионов,так и для электронов приближении она изучалась Розенблютом(Сб.Магнитная гидродинамика.М.,Атомиздат,1958,стр.63-72).В §3 указаны точные решения системы (13),(14),для которых функция распределения 3 = 3-, имеет в некотором смысле автомодельный вид,т.к.зависит от Тг и г только в комбинации тГг/г ,в частности,функция распределения является немаксвелловской.Основной результат состоит в следующем.Введём полярные координаты на плоскости (г, 1Гг) : г = = .Тогда система (13),(14) с $¿ = 0; В-о

имеет решения вида( % =■ ):

с 7Г -периодической по ^ функцией .Решение для заданных начальных условий "Т\_о=.Т#70, = (Ч>|'1Гг:) > 0 ™еет вид:

I Mf.iT,) • и&;

-Ь Ъ. ^ +-00

При этом: ^^г ^ ц. » 1 .

Формула (15) задаёт формальное решение системы (13),(14).Оно является фактическим при некоторых ограничениях на начальную функцию распределения.

Теорема Д. 8 Пусть (.^ТГ*)^ о непрерывно дифференцируемая 7Г -периодическая по ^ функция,такая что:

а) ^ обращается для любого тГ^е-К. в нуль на каждом отрезке вида Ф + ц + *.*] , Z,

где гГ>о , 1,7о фиксированы и < 2Г )

б), интегралы сходятся: »

3 ^ 3 3* Ы>А) < +оо, 1 3 ) ^ 1 < + 00

—-

Тогда для .задаваемой (15) .интегралы при вычислении И(-ц

Щ) сходятся при любом о ix-tt Т1 ,а 9t= §> Tit), где Tit) вычисляется по (15),суть решения системы (13),(14) с В> -о.

В §3 показано,что в зависимости от могут возникать различные физически интересные режимы динамики шнура,в частности коллапс на ось шнура.Рассмотрена также динамика с разрывной функцией распределения.

Содержание §3 опубликовано в [j7j.

В §4 изучено разложение ^уравнений (13), (14) с ^-о вблизи-эси Ъ по параметру ^ _ vft^+ц-*1 .Необычный выбор параметра разложения имеет глубокий геометрический смысл и тесно связан с геометрией поверхности JU5" ,о которой шла речь в §2 глЛ.В результате получена бесконечная нерасцепляющаяся цепочка уравнений га коэффициенты разложений. Материал §4 опубликован в

Настоящая диссертация выполнена под руководством О.В.Локуци-!Вского,которому автор приносит глубокую благодарность.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

.Гавриков М.Б.,Имшенник B.C. Уравнения негидродинамической модели плазменного шнура с двумя сортами ионов и излучением. -М., 1986. -28с./Препринт/ИШ АН СССР :№72/.

.Гавриков М.Б. О некоторых свойствах уравнения Лиувилля на поверхности. -М.,1986. -28с./Препринт/ИПМ АН СССР :№36/. •Гавриков М.Б. Некоторые геометрические свойства функций распределения. -М.,1986. -28с. /Препринт/ИПМ АН СССР :№76/. .Гавриков М.Б. Численное исследование динамики плазменного шнура с двумя сортами ионов и излучением в негидродинкмической модели. -М.,1986. -28с. /Препринт/ИПМ АН СССР :М95/. .Гавриков М.Б. Численный метод решения уравнений негидродинамической модели плазменного шнура с двумя сортами ионов и излучением. -М.,1986. -28с. /Препринт/ИПМ АН СССР :№188/. .Гавриков М.Б. Некоторые стационарные аналитические решения уравнений негидродинамической модели плазмы. -М.,1985. -27с. /Препринт/ИПМ АН СССР 98/.

.Гавриков М.Б. Некоторые аналитические решения в задаче о динамике i -пинча под действием магнитного поршня. -М.,1987. -28с. /Препринт/ИПМ АН СССР :МЗ/.

8.Гавриков М.Б. О разложении решений уравнений негидродинамической модели г -пинча по малому параметру. -М.,1985. -28с. /Препринт/ИШ АН СССР :№74/.