Некоторые математические задачи динамики бесконечномерных систем Гамильтона-Дирака тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Бесконечномерные гамильтоновы и лагранжевы системы со связями

1.1 Основные понятия и обозначения.

1.2 Некоторые сведения из теории банаховых пространств

1.3 Построение СГД для лагранжевой системы с неголоном-ными связями.

1.3.1 Обобщенное преобразование Лежандра.

1.3.2 Построение обобщенного преобразования Лежандра

1.3.3 Построение СГД.

1.4 Соответствие между лагранжевыми и гамильтоновыми системами со связями

2 Процедура выявления связей

2.1 Процедура выявления связей.

2.2 Классификация связей.

3 Гипотеза Дирака

3.1 Конечномерные системы Гамильтона-Дирака.

3.2 Формулировка гипотезы Дирака.

3.3 Вспомогательные результаты.

3.4 Доказательство гипотезы Дирака.

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются математические задачи, связанные с гамильтоновой динамикой бесконечномерных систем Гамильтона-Дирака (СГД), фазовыми пространствами которых являются бесконечномерные рефлексивные банаховы пространства. Систематическое развитие теории СГД началось с работы [18] П. Дирака, который называл их обобщенными гамильтоновыми системами; сейчас их чаще всего называют гамильтоновыми системами со связями. Используемое здесь название впервые появилось в работе [64] С. Альбеверио и О.Г. Смолянова. Оно кажется более подходящим, поскольку название "гамильтоновы системы со связями" ассоциируется с лагранжевыми системами со связями, тогда как в действительности СГД соответствуют лагранжевым системам с вырожденными лагранжианами (при этом, если гамильтониан СГД невырожден, то соответствующая лагранжева система не имеет связей), и, соответственно, лагранжевы системы со связями и с невырожденными лагранжианами соответствуют обычным га-мильтоновым системам с вырожденными гамильтонианами.

В диссертации получено описание соответствия между СГД и лагранжевыми системами (со связями) и исследована бесконечномерная процедура выявления связей. В частности, определено обобщенное преобразование Лежандра и исследованы его свойства, на основе обобщенного преобразования Лежандра построено соответствие между СГД и лагранжевыми системами, выяснены условия его существования и взаимной однозначности. Кроме того, для конечномерных СГД получено новое доказательство гипотезы Дирака; это доказательство применимо к классу СГД значительно более широкому, чем ранее известные доказательства.

Лагранжевы системы, введенные в конце восемнадцатого века, стали первым формализованным средством описания классических динамических систем. Гамильтонов формализм появился спустя примерно пятьдесят лет (в 1835 году), сейчас это хорошо развитая теория, имеющая большое число приложений (см. [66], [67] - [69], [83]). Класс СГД является естественным расширением класса гамильтоновых систем. Хотя переход от гамильтоновых систем к СГД формально аналогичен переходу от лагранжевых систем к лагранжевым системам со связями, эти последние и СГД описывают совершенно различные аспекты динамики. СГД описывают такие динамические системы, которые имеют вырожденные лагранжианы. В связи с тем, что лагранжианы классических динамических систем невырождены, для их описания достаточно гамильтонова формализма. Именно поэтому теория СГД появилась лишь спустя примерно сто лет после появления гамильтоновой динамики, когда возникла необходимость работать с бесконечномерными динамическими системами — полями (сами поля появились, конечно, намного раньше). Уже первая модель поля, описывающая электромагнитное поле, имела вырожденный лагранжиан, т. е. описывалась СГД.

По-видимому, впервые переход от вырожденных лагранжевых систем к СГД был рассмотрен еще в работе [54] JI. Розенфельда, в своей следующей работе [55] он использовал этот переход для квантования поля. Основателем же теории СГД считается П. Дирак, который первым в своей статье [18] изложил основы конечномерной обобщенной гамильтоновой динамики. Окончательную форму дираковский формализм СГД приобрел в его книге [20]; в ней же Дирак сформулировал свою гипотезу: все связи первого рода являются генераторами преобразований, не связанных с изменением физического состояния. Спустя год после работы Дирака [18] в статье [1] Д. Андерсона и П. Бергмана была построена ко-вариантная теория поля с квадратичным лагранжианом и конечным числом связей в каждой точке фазового пространства (естественным примером является электромагнитное поле). От аналогичных более ранних работ она отличалась тем, что поля в ней рассматривались уже в рамках развитого Дираком формализма СГД. Эта работа положила начало теории бесконечномерных СГД, поэтому в случае полевых моделей процедуру выявления связей Дирака часто называют процедурой выявления связей Дирака-Бергмана.

Одним из важнейших приложений гамильтонова формализма является его использование в процедуре квантования. Конечно, классическую динамическую систему можно квантовать и в лагранжевой формулировке (это может быть полезным, например, при квантовании релятивистской модели), но классический подход к квантованию (каноническое квантование), фактически принадлежащий П. Дираку (см. [22]) и аксиоматизированный Фон Нейманом в 1930 году (см. [48]), использует гамильтонову формулировку. Именно задача квантования вырожденных лагранжевых систем привела П. Дирака к созданию обобщенной гамиль-тоновой динамики, и до конца семидесятых годов дираковский формализм СГД использовался, главным образом, только в качестве удобного инструмента для квантования. Тогда наибольшее развитие получил подход [7], известный сейчас как BRST квантование (ср. [3], [4]). Аббревиатура BRST составлена из первых букв фамилий авторов этого метода квантования: С. Беччи, А. Руэ, Р. Стора, И.В. Тютин. Отметим, что работы И.В. Тютина в этом направлении предшествовали работам С. Беччи, А. Руэ и Р. Сторы, однако долгое время были неизвестны на западе. Обзоры различных подходов к квантованию СГД можно найти в работах [35] М. Энно, [38] М. Энно и С. Тейтелбаума, статьях [53] и [59].

Только с появлением теорий с массивными векторными полями, моделями суперструн и суперсимметрии возникла необходимость в более детальном изучении внутренних свойств СГД. Подробные обзоры теории СГД, а также большое количество ссылок на другие работы можно найти в работах [34] А. Хансона, Т. Регжа и С. Тейтелбаума и [61] К. Сандермейера. Главной спецификой почти всех работ, посвященных СГД, является их физический уровень строгости. Причем это касается не только прикладных работ в этой области, но и базы теории, которая была заложена П. Дираком только для конечномерных систем. Поскольку большая часть работ выполняется именно в рамках дираковского формализма СГД, их авторы, изучая поля, на самом деле исследуют лишь конечномерные системы. Таким образом, математическая теория бесконечномерных СГД фактически отсутствует. Среди немногих работ в этой области отметим серию статей О.Г. Смолянова с соавторами (уже цитируемая выше работа [64] и др.), некоторые затронутые там вопросы более подробно исследуются в диссертации. Для полноты обзора отметим также работу [41] О. Крупковой, в которой подробно изложена математическая теория конечномерных СГД. В этой работе используется новый подход, совершенно отличный от классического (дираковского). Здесь теория СГД излагается на языке дифференциальной геометрии: СГД задаются на специальных накрытиях фазового пространства — пространствах струй, а процедура выявления связей переформулирована в терминах векторных и ковекторных полей на пространствах струй. Этот подход является сейчас наиболее общим, он позволил провести процедуру выявления связей для тех СГД, для которых ранее это было невозможно. Среди результатов можно отметить обобщение теорем Нетер на случай вырожденных лагранжевых систем, исследование первых интегралов и решений уравнений движения для СГД и пр. Обширная библиография в конце этой работы свидетельствует о большом интересе, проявляемом сейчас математиками к теории СГД.

Одной из частных задач, возникающих в рамках теории СГД, является доказательство гипотезы Дирака. Сейчас уже известно (см. [11]), что гипотеза Дирака неверна в применении ко всем СГД. Заметим, что сам П. Дирак не нашел контрпримера, хотя их построение не является сложной задачей (см. ([12], [25], [60] и др.). По-видимому, он искал контрпример среди физически интересных моделей СГД, но в то время (50 - 60-ые гг.) почти все такие СГД имели только невырожденные связи первого рода, т.е. гипотеза была для них справедливой. Сейчас модели стали сложнее, появились теории общего вида (например, модели суперструн), на фоне которых построенные контрпримеры уже не выглядят такими искусственными. Поэтому задача полного описания класса СГД, для которого справедлива гипотеза Дирак, является сейчас достаточно актуальной. Важность гипотезы Дирака состоит ещё в том, что она задаёт нетривиальное разбиение множества всех СГД на два подмножества: СГД, удовлетворяющие этой гипотезе и не удовлетворяющие. Главный вопрос, который здесь возникает и ответ на который ещё не получен, имеет ли это разбиение какой-либо физический смысл (для моделей, описывающих некоторые физические процессы), или оно обусловлено только математическими причинами. Другой вопрос, имеющий непосредственное отношение к первому, связан с природой различий между обычными связями первого рода и исключительными связями (т.е. связями первого рода, генерирующими канонические преобразования, не сохраняющие физического состояния СГД). Эти вопросы часто обсуждаются в литературе по СГД (см., например, М. Готе [31] или Р. Сугано и Т. Кимура [60]). Интересный общий результат получен в работе [16] Н.П. Читая, С.А. Гогилидзе и Ю.С. Суровцева: авторы доказывают, что для каждой СГД фазовое пространство всегда можно расширить так, что гипотеза Дирака для неё станет справедливой. Отметим также работу [32] М. Готе и Дж. Нестера, в которой авторы изучали математическую причину появления исключительных связей. Они исследовали процедуру выявления связей (ПВС) Дирака и показали, что, как правило, связи первого рода (п-ого шага ПВС) являются следствиями сохранения во времени связей первого рода (п — 1-ого шага ПВС), соответственно связи второго рода (тг-ого шага ПВС) являются следствиями сохранения во времени связей второго рода (п — 1-ого шага ПВС). Это правило может нарушиться, если в ПВС появляется, по терминологии авторов, неэффективная связь. В конце статьи авторы отмечают, что именно нарушение этого правила становится причиной появления исключительных связей, и формулируют два естественных предположения, которые уточняют гипотезу Дирака: эти предположения касаются ограничений на класс СГД, для которых справедлива гипотеза Дирака (неверная в общем случае). Эти предположения, по-видимому, верны, но еще не доказаны.

Первые доказательства гипотезы Дирака для некоторых классов СГД можно найти в работах [10] А. Кабо, [2] Д. Эпплби, [72] Д.М. Гитмана и И.В. Тютина. В работе Д.М. Гитмана и И.В. Тютина рассматривается класс СГД, близких к квадратичным, вспоминая о работе [32], можно заметить, что этот класс СГД в точности совпадает с классом СГД, у которых отсутствуют неэффективные связи. У Д. Эпплби рассматривается тот же класс СГД, а у А. Кабо — более узкий. В следующих работах класс СГД больше не расширялся, появлялись лишь новые, иногда более короткие, доказательства. Одним из результатов диссертации является новое доказательство гипотезы Дирака для более широкого класса СГД, включающего в себя СГД с неэффективными связями. Полученный результат согласуется с предположениями из работы [32] (хотя и не доказывает ни одного из них).

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Определено обобщенное преобразование Лежандра на рефлексивном банаховом пространстве и исследованы его свойства.

2. На основе обобщенного преобразования Лежандра построено соответствие между лагранжевыми и гамильтоновыми системами со связями. Сформулированы достаточные условия, при которых это соответствие корректно определено. Доказано, что это соответствие эквивалентные системы переводит в эквивалентные и на классах эквивалентных систем является взаимно однозначным.

3. Описана процедура выявления связей Дирака для бесконечномерного фазового пространства.

4. Доказана гипотеза Дирака для нового, ранее не рассматривавшегося, класса СГД.

Методы исследования.

В работе используются различные методы анализа на банаховых пространствах, классического математического анализа и теории оптимального управления.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в теории бесконечномерных гамильтоновых систем, при квантовании систем Гамильтона-Дирака и калибровочных полей (полей Янга-Миллса).

Апробация диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по бесконечномерному анализу под руководством проф. О. Г. Смолянова и проф. Е. Т. Шавгулидзе (механико-математический факультет МГУ), в Отделе математической физики МИАН им. В. А. Стеклова, на XXIV конференции молодых ученых (Москва, 2002).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 85 страниц. Список литературы включает 83 наименования.

Краткое содержание диссертации

1. Anderson J. L., Bergmann P. G. Constraints in covariant field theories. //The Physical review, vol. 83, №5, 1951, p. 1018

2. Appleby D. M. Proof of Dirac's conjecture concerning the generators of surfaces of physically equivalent points. //Journal of physics, ser. A, vol. 15, №4, 1982, p. 1191

3. Batalin I. A., Fradkin E. S. Operator quantization of relativistic dynamical systems subject to first class constraints. //Physics letters, ser. B, vol. 128, 1983, p. 303

4. Batalin I. A., Vilkovisky G. A. Relativistic S-rnatrix of dynamical systems with boson and fermion constraints. //Physics letters, ser. B, vol. 69, N 3, 1977, p. 309

5. Barcenas D. Constrained controllability in non-reflexive Banach spaces. /Diestel J. Merida. -1993,- 31p.

6. Becchi C., Rouet A., Stora R. The abelian Higgs-Kibble model, unitarity of S-operator. //Physics letters, ser. B, vol. 52, 1974, p. 344

7. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of gauge theories. //Annals of physics, vol. 98, №2, 1976, p. 287

8. Bergmann P. G. Non-linear field theories. //The Physical review, vol. 75, №4, 1949, p. 680

9. Bergmann P. G., Goldberg J. Dirac bracket transformation in phase space. //The Physical review, vol. 98, №2, 1955, p. 531

10. Cabo A. On Dirac's conjecture for systems hsving only first class constraints. //Journal of physics, ser. A, vol. 19, №5, 1986, p. 629

11. Cawlay R. Determination of the Hamiltonian in the presence of constraints. //Physical review letters, vol. 42, N°-7, 1979, p. 413

12. Cawlay R. Augmented algorithm for the Hamiltonian. //Physical review, ser. D, vol. 21, 1980, p. 2988

13. Chaichian M., Martinez D. L. Physical quantities in the Lagrangian and Hamiltonian formalisms for systems with constraints. //The physical review, ser. D, vol. 46, JVM, 1992, p. 1799

14. Chernoff P., Marsden J. Properties of infinite dimensional Hamiltonian systems. Springer - Verlag, 1974. ( Lecture Notes in Math.,№425 )

15. Chitaia N. P., Gogilidze S. A., Surovtsev Yu. S. Constrained dynamical systems: separation of constraints into first and second classes. Dubna, 1996. 14 p. (preprint of JINR)

16. Chitaia N. P., Gogilidze S. A., Surovtsev Yu. S. Quasigroup of local-symmetry transformations in constrained theories. Dubna, 1996. 24 p. (preprint of JINR)

17. Clauder J.R. Quantization of constrained systems. In: Lecture Notes in Physics, №572, 2001, p. 143-208

18. Dirac P. A. M. Generalized Hamiltonian dynamics. //Canadian journal of mathematics, vol. 2, №2, 1950, p. 129

19. Dirac P. A. M. The Hamiltonian form of field dynamics. //Canadian journal of mathematics, vol. 3, 1951, p. 1

20. Dirac P. A. M. Lectures on quantum mechanics. Yeshiva University, New York, 1964. (Belfer Graduate School, Monograph Series 2)

21. Dirac P. A. M. Lectures on quantum field theory. Yeshiva University, New York, 1966. (Belfer Graduate School, Monograph Series 3)

22. Marmo G., Mukunda N., Samuel J. Dynamics and symmetry for constrained systems: a geometrical analysis. -Bologna: Ed. Compository, 1983. (La rivista del nuovo cimento, ser. 3, vol. 6, №2, 1983)

23. Mielke A. Hamiltonian and lagrangian flows on center manifolds: with applications to elliptic variational problem. Berlin, Springer, 1991. -140p. (Lecture notes in mathematics, №1489)

24. Neumann Von Johann V. Mathematishe Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin: Springer, 1932.

25. Pervushin V. N., Smirichinski V. I. Bogoliubov quasiparticles in constrained systems. Dubna, 1998. 8 p. (preprint of JINR)

26. Pitanga P. Projector in constrained quantum dynamics. / Mundim K. C. Rio de Janeiro, 1988. - lip. (in Notas de fisica)

27. Pitanga P. Symplectic projector in constrained systems. / Amarai С. M. do. Rio de Janeiro, 1988. - lip. (in Notas de fisica)

28. Rabei Eqab M., Tawig Salam Hamilton-Jacobi treatment of gauge field theories as constrained systems. Miramare, Trieste, 1995. - 8p.

29. Roll R. Canonical and BRST-Quantization of constrained systems. //Contemporary Mathematic, vol. 132, 1992, p. 503

30. Rosenfeld L. Zur quantelung der wellenfelder. //Ann. Physik, vol. 5, 1930, p. 113

31. Rosenfeld L. La theorie quantique des champs. //Annales de l'lnstitut Henri Poincare, vol. 2, 1932, p. 25

32. Sniatycky J. Constraints and quantization. In: Proceedings of the Clausthal workshop, 1981. Berlin: Springer, 1983. (Lecture notes in mathematics, №1037)

33. Shabanov S. V. Quantization of constrained systems and path integral in curvilinear supercoordinates. Dubna, 1991. 34 p. (preprint of JINR)

34. Simms D. J., Woodhouse N. M. J. Lectures on geometric quantization. Berlin: Springer-Verlag, 1976. (Lecture notes in physics, №53)

35. Stasheff J. Homological (ghost) approach to constrained Hamiltonian system. //Contemporary Mathematic, vol. 132, 1992, p. 595

36. Sugano R., Kimura T. Pathological dynamical systems with constraints. //Progress of theoretical physics, vol. 69, 1983, p. 1241

37. Sundermeyer K. Constraint dynamics with applications to Yang-Mills theory, general relativity, classical spin, dual string model. Berlin: Springer, 1982. (Lecture notes in physics, №169)

38. Constraint's theory and relativistic dynamics. Proceedings of the international workshop in Frienze, Italy, May, 1986 / Ed.: Longhi G., Lusanna L. Singapore: World Scientific, 1987. - 300p.

39. Integrable systems and applications. Proc. of a workshop held in Oleron, France, June 20-24, 1988. Berlin: Springer, 1989 (Lecture notes in physics, №342)

40. Альбеверио С., Смолянов О.Г. Теорема Лиувилля для бесконечномерных систем Гамильтона-Дирака. // ДАН. 1997. т.355. №1. с.7-11

41. Альбеверио С., Смолянов О.Г., Хренников А. Ю. Представление функциональными интегралами решения уравнения Лиувилля для обобщенных гамильтоновых систем. // ДАН, 2001, т. 381, №2, с. 1-5

42. Топологические методы в теории гамильтоновых систем. /Сб. статей под ред. А. В. Болсинова и др. М.: Факториал, 1998. - 320 с.

43. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. М.: Наука, 1997. - 352 с.

44. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т.1: Геометрия, топология, классификация. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999. - 443 с.

45. Соболев А. С. Hamilton-Dirac systems in reflexive banach spaces. //Russian journal of mathematical physics. 2002. - v. 9. - № 2. -p. 201-220

46. Соболев А. С. Бесконечномерные системы Гамильтона-Дирака. — В кн.: Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М. В. Ломоносова. М.: Мехмат ф-т МГУ, 2002. - с. 163-166

47. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем. М.: Факториал, 1995. - 448 с.