Некоторые математические задачи механики сплошных сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

I I VJ

НШ01И933

ТБИЛИССКИЙ ИАТШАТИЧВСКИЙ ИНСТИТУТ sa. А.Ы.РАЗШЗЕ

академии наук грузий

tía празах рукопяоа

ЧИЧШШ2 РАФИИ КОНСТАНТЙНОШ

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

01.01.03 - катекатпчэйяая фззяяа

АВТОРКФВРАТ

дясоертацгт на совоюшио учаноЗ стапвяа доктора фазнзго-штеаэтнчооааз гаув

тйпяттоп 1993

Работа выполнена в Тбилисском математическом институте юа. А.Ц.Разиацзе АН. Грузии

Официальные оппоненты: Гршгеенко Виктор Тимофеевич, чд.-корр. АН Украины, ! доктор фи.-мат.наук; " Вашакмацэе Тамаз Сергеевич, профессор, доктор фив.наат.наук { ,

Натрсшвияя Давид Георгиевич, профессор, доктор фиа.нют.наук.

Защита диссертации состоится -ИЛС^- К 1993г. на

ааседанда учоно-аттеогааионного совета РИ 01.01 .С #1-2 в Т.баяисском ыатеыаткчесхом институт* вы. А.М.Размадзе (380093. Тбилиси, ул.Рухадзе, I, тел. 364595, 365977). ч

Ознакомиться с диссертацией иозшо в научной библиотеке Института. •

■ - I "5 ¡1.

Автореферат разослан * г " ^Л-Кх-Л., 1993г.

Учения секретарь

учено-еттестацйонного совета .

хавд.физ.-иат. наух ^ Л¿ли/Ч Р.Абдулаев

Основные классические уравнения механики сплошных сред -дифференциальные уравнения теории упругости, уравнения Навье-Стокоа движения жидкости, получены в первой половяно прошлого столетия и успешно применяются при решении многочисленных прикладных вадач.

Однако существуют явления, которые не находят удовлетворительного объяснения в рамках классических теорий. Например, в круппоэернистых материалах и при больших градиентах напряжений были обнаружены значительные отклонения реадьпоЯ картины калря-. хонного состояния от состояния, идеализированного а классической теории упругости. В работе А.Ерикгена указывается пример жидкоо-тн, содержащей з ввде принеси полимерные частицы, при обтекании которой твердого тела возникает поверхностное трение на ЭО-35Я меньшее, чей в случае жидкости без полимерных добавок. Автор утверждает, что классическая теория Кавье-Стожса бессильна предо-казать татке эффекты. Можно привести другие примеры аналогичного содержания. Например, неудовлетворительно описывается в раюсах классической"теории прохождение коротких акустических води а высоких полимерах в в других крупнозергастых материалах.

Эти и другие соображения послужили причиной поисковуоовер-иенотвованных моделей сплошоЗ среды. Одна ив первых работ такого рода принадлежит ЗГ.Фойгту, который параду о силовым напряжением ввел моментнае напряжения. В мемуарах К. я Ф.Коссера дано систематическое развитие механики сплошной среди о учетом момеят-ных напряжений и заложены оспови теории, получиваей а настоящее время название моментной теории упругости. /

За последние 30 лет опубликовано большое количество' работ, • посвященных обоснованию и некоторым уточнениям основных роотпоав-ний механики сплогашх сред с учетом коментннх напряжений. Эти вопросы в теории упругости обсуждены в работах: Э.Аэро, Д.йесава, В.Койтерз, Е,Кубинского, И.Кухетз, Р.Мпцшла, В.Нокщкого, В, Пальмова, П.Теодороску, Г.Тнротена, Р.Тушша а др.'

Сравнительно гало работ по гпдртаохашзке ьпнрополярна^ сред. Основные соотповешш елтзгай гпдаостз, учитивгкзяэ икхзнтпио саи-ргЕспля, била получегш А.Ерзпгтю:!, а такао ДЛСопдифси а П.Даг-лером. Такпе ¡щдкоста Л. Ер алгол шзотаэт иизрогшяршза аадкво-тлми, я 5.М будем прядерзпаться этого аазззпня« В попотсрых рабо-

тах употребляется такно торг^гп: еддкостп о снтпоиилатрпчесгам тенаорш напряжения.

Матоматггеесзше вопросы новых моделей {геханнки сплошных сред изучались сотрудникам отдела механики сплошных срсд сначала в Институте прикладной штшгатпкл ТбйЙпсского университета, а затеи (о 1931 года) в Иатематичеекад пнотктутс им. 'А.Ы.Раюаздве ЛН Грузинской Республики. Езагодарл усилиям сотрудников этого отдела к других .ученых Грузна, довольно полно изучены матеиатс-чеокке ¿адачк моцеигпой теории упругости (И.Агттазшгли, М.Бша-дейшшш, Т.Бучукури, Р.Гачечкладзо, Т.Гегелка, Л.Гворгашвилк, Г.Вакшшаили, Р.Дихагандаия, Ш.Зазашвнли, А.Калаядня, Р.Калг-надзе, Ц.Евинхкадзе, О.Ыалсаиа, Р.Меладзо, О.Напетваридзе, Д. Натрэишшг, Е.Оболашвнли, Р.Рухвдзе, Р.Чичшшдзе и др.).

Автор диссертации, как сотрудник назвшшого отдела, участвовал в разработках указанных кололаЧасть этих разработок продо-ташдет ссдеркание настоящей диссертации.

..В дервой части диссертационной работы изучены* краевие Ездачж для вязких шшрополярных жидкостей. Основы теории таких жддкостеЗ но являются так же общепраиятями, как классическая теория Навье-Стокса, в освящпш только в гурнаЛьной литературе. В связи с этой,

некоторые термины и остановимся более подробно над основными соотитеншщп и следствиями, вытекащими иг них.

Как в классической теории Навье-Стокса, так и в теории мик-роцохлрных жидкостей выделяют силы двоякого рода: хаосоше силы, двйотвунаие на массу объемного элемента, и силы нацрягения, действующие па поверхностные элементы. .....

Предполагается ,\Что воздействий сил на частицу с массой А т. ыоашо представить в виде силы 7" (Лпь) ж пары сил ^ (Дга) , приложенных в центре касс, в, что существуют пределы:

:Гш и. ч- и.^.

Дт.-»о Лгги Дт.--о от>

Бзктор У. назызавт массовой силой, а вектор - мас-

совым коментш. Они зависят от точхв я - центра массы чаогицы Дтн и, в динамическом случае, от времени 'Ь

Аналогично вводятся силовое (х<л^) и коиентное (у(п)) напряаания, которые зависят от направления а (норыали рассматриваемой пяовдотО, точки » и врекени Ь

В классической теории Навьв-Стокса не учитывается влияние

тассових моментов п момсптпого няпртапшг. Огтп очитаются раишжт нулв: С, О , Я тесршт кшгролсялршя жгдпсетсй такого

прядпологеияя не делапт, л ото яаяяотоя отлтгатсльпоЗ харакгор-ной чертой подоОгшх ;гидкостеЛ.

Спрагедлпги слодуицаа ссотпсгет;

• = j® 1,2,3, (I)

j , j

где х- я - компонента мктэров т(а> а , когда нор-

паль п. ® (п^п.,,^) совпадает о направлением L —ой координатной ооя.

Здесь пряпято otíimoe правзло сзтетроЕО-тая: ко аовторнгдаг- _ ся явдсксек подразумевается сум-нгровалго от I до 3.

В шгкреп&ялрпи ягдтостях дмкеиие хондой тетещ орвда харак-терязуэтея вектором скорости v = (УцЧиЧ) к Bsaanacissaí от него вектором шперовраяепая со = ' *

Сг-стегя оснеткплс ypasiremrf! нестадвокзрпого тзчоклл esseoS пссз:г!:ае.г:оЯ жкреполлрпой гядттостп □ трехмерной сдучаэ a sersto-нентах напряжения пишется а гаде:

Эт:ц(«'А) , _т>„ is - .ЭУ^х.» , ... gVj(x,t) __ ¿. (x,t) « у -,

axt

где t - время; х * (х,,хг, х,) - точка трзЕзеряого етаивдэш пространства R® ; - салго-З Лезтз-Чяюта; ааотпеоть £ а

иоие'нт инврцап Э предполагается полозлтелыпея постояпгашз.

К этой спет«« прлсосдиотст такзэ трастеялв пэразраЕгосга, ítOTopoe а случая аесгакггиоЯ кщкосгз consl) E-tcát взд

(3)

Чтобц нолутять заютугуэ спстс?^' п^стац^спарлото тачзиал вязхсЗ нвогз!илвгай юдассети, доязш еуявстгохать оаяза кзацу компонентами reirropoa егтороета и игкроэргцтаоя а веаювйачаяг íeitnopoB сплобого а.игокштоого юфзвзшл. Таказ связи уогаказ-лтеаот обобщепнгя птотега Яьвтопз. Сйта да? зяжкоЗ, сдцородиг-З изотропной маярополярноЗ гядкоетп апаэтея а вязм

(4)

где р - давление; у, \), ^ - постоянные, характеризую-

щие фяаичесгога свойства 'среда; • — символ Кронекера;

„ Эи

Отиетш, что пакшггельвая определенность удельной энергии деформации

г- к

Д = А —+

относительно восемнадцати переменных налагает

па поотоянныа у, «I, £, г1, ^ следувдие ограничения:

¿»о, >0, • зе+;и>о, |>о. С)

В дальнейшем вти условия будем считать выполненными • ( Учитывая соотношения (4) в уравнениях (2), замкнутая система уравнения нестационарного течения вязкой вескимиемоЗ (однородной, изотропной) микрополярной жидкости примет вид: .

' *ч ' ' Эх,,

¿IV у(ясЛ)- О,

а ооответотцупвая систеш уравнений стационарного течения - вид:

• ■ ' V;

(11+р)Дю(»)+ + ¿а* и)(»)+ у(х)-

¿xv у(х) в о,

Сестс?,« (В), а также система (9), яахжтся обобщениями кдао-сическхх уравнений Навье-Стокса. Здесь, при описании движения жидкости, кроне давления р и вектора скорости V , участвует вектор микровращения о> , ж, наряду о вектором массово! сили Т, вводится вектор кассового момента . Особу® роль в втях уравнениях приписывают постоянной Я , которую часто навивают • моментной постоянной. Она объединяет поде скорости и микроврвяв-ния. Исчезновение этой постоянной приводит к классическим уравнениям Навье-Стскса относительно р и V .

Как классические уравнения Навье-Стохса, так и сиоте^Й! (8) и (9), нелинейны, и исследование поставленных для них краевых задач является довольно слсетой математической проблемой. Однако большинство конкретных задач о движении вязкой жидкости, шевдпс тот или иной практический интерес, репавтоя приближенными методами, позволяющими упрощать уравнения - линеаризовать их. Для уравнений Навье-Стскса известны линеарявации Стокса ж Озеена. Как известно медленное течение жидкости хорово описывается уравнениями Навье-Стокса при линеаризации Стокса, т.е. при полном отбрасывании нелинейных членов. Но с другой стороны, воли скорооть течения жидкости не является малой, то аояучае!£ая картина обтекания при линеаризации Стокса з налой степени согласуется о реальной, в то время, кап прп линеаризация Озеепа (калпнеЬше таена частично учитываются) она удоплетеортггели о согласуется о картавой действительного обтешшя.

При линеаризации по Стоксу система (8) принимает гзД1

сЬ/ О,

Иоследшз систеду будем называть уравнениями Стскса нестационарного течения вязкой пзсаиыаемой мнкрополярной вдкостп. Уравнениями Стокса стационарного течецгл вязкой несжимаемой мпк-рополярпой жидкости нашшшт систеиу:

У(х)=0,

-Ч*а)(®)+О.

Рассмотрим линеаризации Озеепа для системы (9). В этом еду»-чае принимается, что течение жидкости мало отличается от течения вдоль некоторого направления о постоянной скоростью у0 . Считая, что это направление совпадает с направлением координатной оси X, , подстановкой Ч, в V, + У/ , Ц^' (кж1,2,3) я отбрасыванием нелинейных членов, получаем ¿IV VI»)* О,

где вместо у' а ы'. сохранены обозначения V с и ,

. - • (13)

Последах» систему назовем уравнениями Озеепа стационарного течения вязкой несжимаемой шхрополярноЯ жидкости.

В настоящей работе будут изучены краевые задачи для линеаризовавшее уравнений течения ыикрополярпых жидкостей методами потенциала и интегральных уравнений. Хотя ш существенно не поль-вуемся следствиями, вытекащш из общей теории дафференцпалышх уравнений с учетом их типа (по классификации Петровского, Дггли-са-Ниренберга и др.), всё жо укажем к какому известному типу при-надлеаат етн уравнения. Классическая стационарная система Навье-Стокса при линеаризации Стокса является эллиптической в смысле Думиса-Ниренберга в но является зллиптической в смысле Петровского. Аналогичный результат справедлив для систем (II) и (12) при уежгааах (7),

Диссертационная работа состоит вз двух частей.

Первая часть посвящается главным образом изучению движения шшрополярных жидкостей оиисаннши уравнениями (10)-(12). Если вз этих уравнений найдены вектора скорости V п цшеровращенпл оо , а также давление р , то с помощью соотношений (I), (4) и (5) можно определить тага® векторы силового и иоментного напряжения. Мы исследуем, в основпом, начально-краевые задачи течения жидкости. Задание начальных условий необходимо линь при рассмотрении нестационарного течения. Разные краевые условия порождают разные задачи. В теории шпфополярных жидкостей, благодаря наличию векторов вращения и иоментного напряжения, а значительной степени расширяется класс краевых задач по сравнению о клао-сической теорией Навье-Стокса.

Мы будем рассматривать задачи двух типов: когда на границе среды заданы векторы скорости и микроврадения - первая задача или векторы силового и иоментного напряжения - вторая задача. Прж нестационарном движении жидкости к этим условиям добавляются и начальные условия - в начальный момент времени заданы векторы скорости и минроврадения.

Для исследования этих задач в настоящей работе, следуя традициям Грузинской математической школы, применены метода сингулярных уравнений и теории потенциала, развитые в монографиях Н. Мусхелишвили ("Сингулярные интегральные уравнения", II., 1968, "Некоторые основные задачи математической теории упругости", М., 1966) и В.Купрадзе, Т.Гегелиа, М.Башелейшвили, Т.Вурчуладае ("Трехмерные.задачи математической теории упругости я термоупругости". М., 1976). Исследования можно было бы верти и другие методами, например, методами функционального анализа и Гильбертовых пространств, как в монографиях О.Ладыженской ("Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости", Ы., Д970) и Р.Темама ("Уравнения Навье-Стокса, М., 1981) для классических уравнений Навье-Стокса. Но методы потенциала и интегральных уравнений, наряду с теорема!® существования и едпнотвеннооти, дают конструкцию для ретения в виде специальных поверхностных интегралов типа потенциала а обладают веска прсняздастааш кзтода "Граничных интегральных уравнений".

Следует отметить, что прз пссясдога^ля ираегах задач вязкой мгскрополярной згдкостя методам потенциала и шггегралышх уравнений, кроме технических сдоетостей сутзеотиешпм является то

обстоятельство, что здесь получаются сингулярные интегралыше уравнения, в то время, как классические задачи сводятся к интегральным уравнениям Фредгодьма со слабыми особенностями.

Исследованию краевых задач для уравнений Навье-Стокса, как линеаризованных, так и нелинейных, которые являются предшественниками краевых эадач для течения вязких несжимаемых микрополяр-шх жидкостей, посвящена обширная литература. Основные результаты, касающиеся разрешимости и дифференциальных свойств решений этих задач, содержатся в названных выше монографиях О.Ладыженско! и Р.Темама. В этих работах тах же имеется весьма обширная библиография. Здесь мы отметим некоторые работы, близкие к нашей тематике .

■Трехмерные стационарные задачи для уравнений Навье-Стокса "при линеаризации Стокса методами потенциала и интегральных уравнений были исследованы в работах Л.Лихтенштейна, Ф.ОдкБйста, Л. Магнарадзе, а двумерные задачи - в работе А.Попова. В работе Л. Цагкарадзе исследованы нестационарные задачи для уравнений Навье-Стокса при линеаризации Стокса. Эти вопросы рассматриваются также в монографии Д.Долидзе.

Краевым задачам для уравнений Навье-Стокса при линеаризации Озеена посвящены работы К.Озеена. Методами потенциала и интегральных уравнений в. работе Г.Факсена исследованы трехмерные ста-• ционарные задачи, а в работе Л.Авалишвили - нестационарные задач!

Нам известно сравнительно мало работ по математическим вопросам в теории микрополярных жидкостей. В работах Г.Рамкинсона и С.Мвжуадара, а также Л.Драгоша и ДДоментовча разными методами построены фундаментальные решения для системы (II). А.Ерингеном рассмотрена частная задача - движения вязкой микрополярной жидкости в круглой трубе. В работе Г.Лукашевича исследованы краевые задачи для сжимаемой микрополярной жидкости. Методами потенциала к интегральных уравнений в работе М.Абид изучены некоторые математические задачи для системы (II).

Во второй части диссертации эффективно решаются краевые ва-дачи механики сплошных сред для шара и всего пространства с шаровой полостью. Круг рассмотренных задач довольно широк. Сюда можнс было включить краевые задачи для уравнений Стокса стационарного течения вязко! несжимаемой микрополярной жидкости, исследованные я первой частя настоящей работы. Решения можно было построить методом рядов о учетом следующей теоремы.

T e о p e u а. Если

K» = . ____________4*

то p, V a со , определешше формулами p = (di.v Д ( xi1 - Ц Д ( tl ifj)) ;

V= gtadl го1 (xift)+-toliot (x.r*ij>}) +

+ ■£<*.( lot (=c^t) + xoliol (xyj) ,

to- (päd X1wl toi (xi^)--L toi +

+ (iot tot (xifj- к* гоЬ (xiyt))

( Д - оператор Лапласа, |x|l = x*+xi* ж,4 ), явля-

ются решением системы (II) при 5F=0 u = 0 •

воздержались от вклхчения в диссертации реиеняй задач, представленных рядами, так как метод представления решений о помогцью рядов по сферическим функциям, помимо громоздких вычислительных работ, требует для обоснования высокие свойства гладкости от данных, и такие представления мало пригодны для установления граничных свойств решений, что весьма важно для наших целей.

В главах 5-9 без привлечения рядов решены в квадратурах краевые задачи для линеаризованных стационарных уравнений Навье-Стокса, статические задачи классической теории упругооти, термоупругости, упругих смесей, задачи для полигармонических уравнений. Основнач инструментом исследования является специальное представление решений иадач с помощью гарлонических функций типа Марко-лоиго, классические формулы Дуассона и Неймана, а такав формулы, далцие решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решения краевых задач пишутся аффективно в виде потенцеалов, ядра которых выражаются в элементарных функциях. Получе!Шые эффективные решения позволяют установить теореш единственности классических решений задач при мшпмашшх, d некотором смысле, условиях, накладываемых на краевые фупяаня, зздашшо па сферо. *

Здесь, крете явного построения рокг .лй, оущестЕешюо меото уделено установлению дпф?ере!пщ-злышх свойств решений в са?-кнутих областях.

Краевые задачи механики сплошных сред для областей, ограниченных сферическими поверхностями, имеют как практический, так и теоретический интерео, что стимулировало появление многочисленных работ по этим вопросам. В главах 5-9 даны краткие библиографические указания работ, нмеющих самое непосредственное отношение х нашей тематике.

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава "Трехмерные краевые задачи для уравнений Сток-са стационарного течения жидкости" оостоит из вести параграфов (параграфы 1-6). 1

В этой главе рассмотрены задачи для уравнений (II). Эти уравнения записаны в виде

/-\(эх)У-£(дх)Р*зе=о, (14)

¿IV V* 0,

где

■ V* IV. 1т, у4«у1( 1-1,2,3.

Вшшоаш в алеыентарннх функциях матрицы фундаментальных ре «¡НЕЙ и » | и^ я 0= для системы (14)

■Д\(Ои(®-з)-&(Эх)* С1(х-а)=0, хе^Мя}, где операция * означает диадное произведение (если

• то У*^!!^!*»* •

= ^^ ) • Каждый К -й столбец матриры I) и К -й компонент вектора 0. в паре дают решение системы (14) при

о .

Установлены свойства матриц и(х) и Шх) в окрестностях начала координат (|х|=о) я в бесконечности (1x1

Пара [V, р] называется регулярной в области «О* ,

В) Если в предложении участвует двойной знак ± , то это предложение следует понимать, как ¿окрашенную запись двух предложений:

одно - когда в втом предлохенкл двойней знак заменяется т-ирхнга " зиаао:.:, агорсс - гогд^ шганет.

если

УбС4(Я4)ПС1(3*), рвС1(2^ПС(£*).

В случае области 3) пара [V, р] подчиняется еде дополнительному ограннчешго в окрестнооти |х|ж» :

рХх>=о(|х|1), УДх)=0(1хГ'), хг-Удх^О^хГ1),

4 (15)

Цдось 5)+ - конечная область из К' о границей Б ,

а 5Г= (2)+и 3). •

Соотношения, связывающие векторы силового напряжения т"1' и моментного напряжения о векторами скорости V и

микровращения со , и с давлением р записаны я вида (см. (I). (4), (5))

Х.МТ^.аЛ/- Мр\ ,

где К/ 1-1,4.3, ^^

где [4= Оч.п», 0,0) , a-K.at.rv,) - едюсгошв

Сформулировали краевые задачи двух типов о нахождения регулярных решений [\Лр] системы (14) > ,2* , когда на Б удовлетворяется условие

Дити У<*>*$(3)

- первая задача (задача (1)^" ) или

+

- вторая задача (задача (П)^ ).

Здесь $ = ( ^,..., ) - заданный век-гор на 5 , - (п.1(у), ^(у), гц(у)) - орт нормали позерхпоотя Б в точка , внешней по отногаеншо к . Выведены формулы, аналогичные тотдоствая Гртаа и с их по?-:оаы> доказаны следугяке теоремы единственности (задачи при ~ 0, 5=0 обозначены чцрез (I)* , (П)~ ).

Т е о р е м а 1.2.я' Одпородшо содачи (1)" н (П)£ в

[здесь сохранена нумерация теоргм, нргшппя в диссертации»

власов регулярных решений могут плеть только тривиальные решения

V- o , р» о

Теорема 1.3. Если задача имеет регулярное регае-

ние, то оно имеет вид V = 0, р = р0 , где р, - произвольная постоянная.

Теорема 1.4.. Если задача (П)£ имеет регулярное решение, то оно имеет вид v=[ax«] + t, w*cl, р= 0 , где а и t - произвольные постоянные трехмерные векторы ( С- * О означает векторное произведение).

Взедены сингулярные интегралы типа объемного потенциала, а тайке потенциалы типа потенциалов простого и двойного слоев. Потенциалами простого слоя с плотностью = (у ,... ,\Ct) пазваяы интегралы

а потенциалами двойного слоя - интегралы

Т(у)(*)> J (Ti^.ataoU^-xj-NiaJ^Qijj-x))'^^«!^,

s ■

4(rj>)(x) = ^ (T^.nc^GKx-tj^itjjd^S ,

вде втрих означает операцию транспонирования матрицы. Установлены следуюцие свойства этих потенциалов. Теорема 1.8. Если SecA^O), ye CU(S), 0<£<nv, пъ - произвольное натуральное число , _0 <; & < М ? 1 ,, то ^(гр)б а(ч>)еСи(Я') » Vae S :

Теорема 1.9. Если S е Л»(*), \f eCM(S), nv - произвольное натуральное число, о < & . то

UyieC^iS*) , VaeS:

в

- K(»J)* QiyiijywiuS.

С помощью этих теорзн задачи (1)Г а (П)^ озедеиы к сяаду»-щим системам сингулярных интегралышх уравнении:

б

Б лд

Доказывается, что если 5 6 еЛ-^Д*) и $-е С ' (5) , , т. - целое натуральное чпсло, то для уравпений (1)+ и , (I)" и (П)$+ справедливы теореьш Фредголыга в

пространстве С"'^.

Исследованы однородные уравнения. В частности доказана оле-дуювде теоремы. .

Теорема 1.12. Если ввс/Ц (<*) , то в классе С"^(3) интегральнее уравнение (П)~ смеет единотвенное нетривиальное решение '

N (а) = (п.,(г), гцДа), тц(г), 0, 0, о), где а(а) = (п.1(г), П-^г.), п.4(а)) - орт нормали поверхности Теорема 1.13. Если

Я е ЛМ)

, то векторы Ц, о, о, 0,0, О)',- у(а)«(о,-г„г», 1,0, о),

у(г)я(0, 1, о, О, О, 0), $(>)>(»*. О,-V0« 1'°)*

ЧЧ*) = (о.о, I, о, о,о), о, 0, о, I)

образуют полную систему линейно независимых реаеикй интегрального уравнения Шд в классе С0'* (3) .

Теоремы 1.12 и 1.13 применены для исследовалял краех&х задач. Доказаны следуйте теоремы. .

Теорема 1.14. Если БбЛ^}, $6 С'-^З), 0«К-<Аб1 а удовлетворяется условие

о,

то задача (1)^ гсгеет регулярное рекеттас, которое врздставдяется в виде потенциалов двойного слоя, плотность которых является решением сингулярного интегрального уравнения (I)* аз класса С1Д(3) . *

Теорема 1.15. Веди ЗЫ.М, }еС°Л(5), то задача (П)~ имеет регулярное решение вида

\/(х)= ^ В0.(х.) , ' р(х) = сцу)(х),

где и а.(у) - потенциалы простого слоя, а

в« 5 0(3)^)^5, й к

^ является решением класса С ' ( 5) интегрального уравнения

' Теорема 1.16. Если Бе ЛкЫ), $&С°'\5),оД<«и{ и удовлетворяются у еловая

1 МьЦЯ = 0 , 5 (ЦзЛ/(В)+к»»С5^32 = 0, 1=1,4,3,

то задача (Ю* смеет регулярное решепие, оно представляется в оде потенциалов простого слоя, плотность которых является решением сингулярного интегрального уравнения (Л)^ класса С0' (£?) . , Те орема 1.17. Выи БеЛ^Ы), $еСа(5), ,

то задача (1)^" имеет -регулярное решение вида

•' р(«) а 4(у)(х) + ¿^ сла(ш)(х),

»»I

где С4,,.., С4 - вполне определенные постоянные, является решением класса С4,1 (5) интегрального уравнения

ч(г)+ ^ (Т(э3,п{!,))и(з-х)- N(3)* у»;

«1 = 1

Вторая глава "Двумерные краевые задачи для уравнений Сток-са стационарного течения жидкости" состоит иэ четырех параграфов (пираграфц 7-10). .

В згой главе изучены краевые задачп для двумерного стационарного течения вязкой несжимаемой тгкроподярной жидкости, описанные уравнениями Стокса:

где

аС(э,)и-й(9«)р* Р. о,

+ = о

Эх1 ~ '

(16)

^ка.^К.^оо); Р-ск.Е.Р.МЗ;,^),

Л - дпумерный оператор Лапласа, Еу - символ Деви-Чивита.

Здесь, скорость V и массовая сила У являются векторами , . а мккроврадение <*> н массовый момент имеют по одному компоненту а считаются скалярными.

И для двумерного течения строятся фундаментальные решения, устанавливаются их свойства в окрестности полюса и в бесконечности. Отметим, что в двумерное случае фундаментальные решения выражаются в спецэтошпдх функциях в то время, как в трехмерном случае они пишутся в элементарных функциях.

С применением 'Туютзментальннх решений метода?,ш потенциала в сингулярных интегральных уравнений проведено полное исследование двумерных краевых задач. Выделена особенности, характеризуйте двумерное течение.

Третья глава "Кранпне задачи дая уравнений Стокса нестационарного к.-ченпя жидкости" состоят из шести параграфов (параграмм 11-16).

Уравнения Стокса нестшцтояаргаго течения вязкой поожимаеглой

гнягропгачрной -едкости записали в вядо (см. (1.0))

(ft (a*)- x|r) V(«,t) - G ox)f>(x,t> = P(x,t),

cU v(x,t) = o, (W

где 1 = Ц tu | **б - диагональная матрица ^¿j = 0 при i, tu= = "tjisp, г„= = Г - шестикомпонентный

вектор (одностолбдевая матрица) Р= -f^) . 3" -

массовая сила, ^ - кассовый момент.

Пусть + Тв [о;о>[ н предположим, что жидкость заполняет область 3) с границей S

Дара tv.pl- называется регулярной в , если

p.V.^VfiClS'xiT),

I:«lrv' ^V-C(^T),

Расймотрены две начально-краевые задачи.

Задача (D*. Найти регулярное решение системы (17) по на-« чалыюму условию: ' '

УхеЛ)*: • tim. V(x,i)= Щх.), и краевому условию:

V(4,l)eSxT: ' Jun V(x,t)-S(j,,t).

Задача (П)+ отличается от задачи (1)+ только краевым условием, которое пишется в виде:

Etw. (TO«.i43))V(«,i)- N(a)p(x,t))=X(a,i).

а»я-з«з

, Здесь f, £ и % ~ заданные "шестикомпонентные векторы. В этих задачах в начальный момект времени заданы векторы скорости и микровращения, а на границе среда заданы также векторы скорости и микровращеяия в случае задачи (1)+ и векторы силового и ыоментного напряжения в случае задачи (П)+.

Для однородных задач (при F= 0, 5 = ^=0, tp = 0 ) приняты обозначения (I)* и (П)* .

Доказаны следующее теоремы единственности регулярных решений.

Теорема 3.1. Если задача (I)* имеет решение, то оно имеет вид V= 0 , р = ро (Д) , гди р„ - произвольная функция от t , непрерывная в [0;°°С .

Теорема 3.2. Задача (П)* может иметь только тривиальное решение, т.е. V=0, р= О

Нестационарше задачи о помоцыо преобразования Лапласа при-веде;п; к задачам для вспомогательной стационарной системы, содержащей комплексный параметр X :

(Л (Эх)-Хг)Ч (хД)- G(дх)рв(х,л)» V, (х, , div V.(*,X)» Ö. - (»>

Получены асимптотические оценки преобразования Лапласа заданных функций относительно комплексного параметра X . В элементарных функциях построены матрицы Фундаментальных решений для системы (18). Эти матрицы обозначены через

, Q(x> = IQ^La .Каждый К-»

столбец матрицы U(x,X) и каждый К. - ий элемент матря ..

Q(x) в паре удовлетворяют однородной система (18) в каждой точке х е R1 \ ^ 0}

Доказана теорема относительно фундаментальной матрицы \J , которая играет существенную роль для исследования краевых задач.

Теорема 3.3. Существует положительное число А' такое, что матрица Шх,л) аполитична относительно комплексного параметра X в полуплоскости Re.X> X' и при о» , справедливы оценки:

|äwUu,*>| |тп.|я 0,1,...,

пг= (т^тп-ь, m.j) , |m.|* m^+m.j.+ m.j ,

«

Рпс смотрены вспомогателыто краевые задачи для системы (10), соответствующие нестационарным задачам (1)+, Ш)+, и они обозначены через (1)+ п (П)+. Применением фундаментальных решений Ul^.X) ir Q(^) эти задачи сведены к сингулярным тггеграль-

-гоним уравнениям, исследование которых позволяет доказать теоремы ' раареиимости вспомогательных задач (Т)+ и (П)+ в классе регулярных функций и установить оценки решений относительно комплексного параметра.

Теорема 3.8. При ( Д' - определенное чис-

ло) ^краевая задача^ (1)+ имеет регулярное в решение

[ V"., р, 3 , V, и р, ' аналитичны по Л в полуплоскости

R¿ % > А* и справедливы оценки:

ке 1. 2, S,

где <®o - область из R такая, что .

На основании свойств преобразования Лапласа к теоремы 3.8 установлено существование регулярного решения нестационарной задачи (I)*. Решение этой задачи [V,p] дается формулами:

»♦i»

г А ~

e-i»

p(«,i)- \ ekipe(x,x)dx + p,(t), e»*\

»-i«

гдо [V., р.] является решением краевой задачи (I)+ ; Ф и

^ - определе1шые функции, р, - произвольная Функция от t Аналогичное утверждение справедливо и для нестационарной задачи (П)+ .

В конце третьей главы рассмотрены нестационарные двумерные задачи.

Четвертая глава "Краевые задачи для уравнений Озеена стационарного течения жадности" состоит из семи параграфов (параграфы . 17-23).

В этой главе рассмотрены уравнения Озеена стационарного точения вязкой несжимаемой мнкрополярной жидкости (12), которые записаны в матричной форме:

2(эх)У(*)-0(Э*)р(х)-|-Х(х) = 0 ,

Аи У(х) = 0. <Х9)_

Рассмотрена также союзная с (19) система

Система (20) получается 1Гз (19) заменой постоянных ^ и ^ на и , соответственно.

Для этих систем изучаются краевые задачи, состоящие в отыскании регулярных решений в области Ъ ив области ЗУ , когда на границе Б задан вектор

V

(векторы скорости и микровращения) или вектор Р (г^, п.) V (векторы силового

и моментного напряжения). Эти задачи обозначены через (1)^ и (П1— для системы (19) и через (1)^ и (П)}- для системы (20).

фундаментальные решения системы 119) пищутся я виде пара

[ Г*. О»] , где 0« - к-ий элемент матрицы

* *

а Г" = ( г*„..... Р..). 'к»¿,...,6 и дается в виде квадратур.

Для матрицы Г = || Г;] И4,4 в окрестности бесконечности получено представление ,

Г(х)= Г(х)+ Г(х), «в

где элементы матрицы Г сланная часть матрицы Г ) построены ягпо, я для элементов матрицы Г получены асимптотические оценки, изучены такге свойства матрицы Г в окрестности точки х = О .

Теоремы едикотпенности решений задач доказываются с помощью формул, аналогичных ({ормулам Грина, которые шшдятся при миной жестких ограничениях, чем условие (15) и существенно опираются на явное выражение матрицу Г . Отмот;м, что эти теоремы единственности решений являются новыми и относительно краевых задач для классических уравнений Озеена, обобщением которых являются краевые задачи для системы (19).

^ С помощью сингулярных потенциалов краевые задачи (I)± , (II)i, (I)p , сводятся к сингулярным интегралышм уравнениям, ко-

торые обозначается теми же символами (1)~ (П)~ . ^

Теорема 4.12. Если и ^еС"" (S) ,

О < ft <• í: i , к - произвольное неотрицательное целое число, то для уравнений (1);+ и (П)~, (I)j~ и (П)$+ , (П) + и (1)~, (П)Г и (I),* справедливы теоремы Фредгольма в пространстве

VA(S) .

На основании втой теоремы исследованы соответствующие краевые задачи.

Последний параграф-четвертой главы посвящен исследованию двумерных задач для уравнений Озеена стационарного течения вязкой несжимаемой микрополярной жидкости.

Пятая глава "Краевые задачи гидромеханики" состоит из семи параграфов (параграфы 24-30).

3 эго£ главе рассмотрены краевые задачи (в шаре и во внешности шара) для линеаризованной но Стокоу. системы Навье-Отокса

рй v(x)-grad р(к) = 0, dlv v(x)= 0, (21)

где х = (x^Xi.x^eR3 , Д - оператор Лапласа,

v= vx , Vj ) - вектор скорости, р - давление, j< -коэффициент вязкости.

Вектор напряжения 6(Г1>= (б","1', б'^, <cf') определяется . формулой

Приняты обозначения: В* - тар в R3 радиуса § и с центром в точке £=0 , S - ci7*;pa, ограничтаамцая этот пар, В~ = RJ\ U S ) .

Пзучеш следупгде задачи: наГти. в В+ гм с Р~ пару

О.р] - решение системы (21), если Уу е 5 удовлегго-ряетея одно из следузицих услошгй: = - задача {!)-■,

(у) = ИЗ) - задача (П)*;

(ку)£(У) = задача (И)±;

. (лв^)*(5)=д(3), (у-я(ау))*(5)=Цл) - задача (ГУ)-, где $г ,$,),

^ ~ (Дг > 1з) и % ~ заданные на 5 функции. Решение этих задач основывается на специальном представления решений, выраженном следующим предложением. Теорема 5.11. Если

где 4и-0, = 0 и и- к I связаны между собой

соотношением ( го пара [V, р] будет решением

системы (21) как в 8* , так л л В"

ъ э

Рассмотрим задачу (1)+. Реисние этой задачи даётся формулами:

Здесь г= = , эте|^=,х1эх-

V(x)~ ТТШ(х) - ^ ^ Асу ПШ(«> '

о

(22)

где

1 \ РЧ*!4

в

- интеграл Пуассона.

Решение (22) записано также в упроиешгом тще:

"«•-■¿г

5

<4 ■' ¿5 - Н*»^ а •

где

X 1х,л)» 1х-а| + ^ ас^к ((К) .

Как известно, теоремы единственности в классе регулярных решения задач (1)^,..., (1У)- доказываются на основании формул Грина. Решение О.р] системы (21) называется регулярным в В+ , если Уе С1(В*) П СЧВ*), ре С1(В+) 0 С (В+) -Чтобы доказать регулярность пары [V, р! , данной формулами (22) ми (24), требуется высокая гладкость краевой функции $ , и прямая проверка этого факта - трудная задача. Ситуация упрощается введением классических решений. Решение [у>рЗ задачи (1)+ назовем классическим, если р<= С1 (В+) , С1(В") ПС (б1-)

Доказывается теорема.

Теорема 5.17. Если С(5) и удовлетворяется условие

Б

то пара Cv.pl , определенная формулами (24), является классическим решением задачи (1)+. При этом V единственно, а р определяется о точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Отметим, что теорема единственности для ръ^улярных рете:гай является вспомогательным при установленпа единствмшости классических решения задачи (1)+.

В параграфаэс26-29 решета краевые задачи И)~, (П)—, (Ы)— и (17)-. Для гсех этих задач решения выражены в виде поверхностных потенциалов, ядра которых пишутся явно, с элементарных фушэдигх, а плотности суть задгапше функции. Проведен анализ построенных решении.

Метод решети вгдач для трехмерного шара почти без изменения применяется и для двумерного пара. В конце пятой главы длл иллюстрации в случае крут решена первая задача (на окружности задан вектор скорости V = ( у4 , ) ).

В копогра^яг. Г. получено прсдставланус оссого релезкк

системы (21) с помощью сферических радов и рассмотрены частные задачи для шара. В монографии Дж.Хаплела и Г.Бреннера, на основании приведенного в монографии Г.Ламба представления решений, схематически решены краевые задачи для пара и всего пространства с шаровой полостью. В этой же работе приведены многие задачи, связанные с областями со сферичесзшми границами и указаны их первоисточники.

Отметим, что реиеняя краевых задач (Ш}£ и (1У)*,

в том виде, в котором получаны в настоящей главе, и доказательства теорем единственности для них в литературе нам не встречались.

Шестая глава "Краевые задачи статики классической теории упругости" состоит из шести параграфов (параграфы 31-36).

В этой главе решены основные задачи классической теории упругости для шара и для внешности шара.

Для уравнения

уДЩх)+ (Д^)^тао! ¿¡у и(«)=0, (25)

где и.= (и1( и4, и4) -смещение, X и у -постоянные Ламе, рассмотрели краевые задачи для областей В* и В , когда на сфере Б заданы: смещение - задача (1)^ или напряжение -задача (П)-; нормальная составляющая смещения и касательные составляющие напряжения - задача (Ы)^ или нормальная составлямцая напряжения и касательные составляющие смещения - задача (1У>*; линейная комбинация смещения и напряжения - задача (У)—.

Остановимся более подробно на задаче (П)+. В линейной теории упругости связь между векторами напряжения

(г"? . г<? , г"?) . и смеиеилом ^- (и,, и-4,и,) пивется в виде ^

Следовательно, задача (П)+ может бить сформулирована следующим образом.

Ыгл ршуллряое реаенле уравнения (25) в области В , по краевому уолонип

«

Решение и система (25) называется регулярном в В* , если ие С* (В*) П С1 (6*) .

Кроме регулярных мы рассматриваем такге классические решения.

. Реыенив и. задачи (П)+ называется классическим, если ив С4(ВЧ П С (Г) и И+£-С(3) Для решения задачи (П)+ применяется представление смещение, внразйщюе следующей теоремой. Теорема 6.6. Если

.р1-!31!1 I

и,= V1- х(гэ,-ц)\р- ч^дгаД у —,

где

то П. является решением уравнения (25) в К.Л\ Э Решение задачи (Ц)+ пишется в виде

(я» ■" +

- сд.твол Левн-Члвита, ,ах, а^ ^ - произ-

вольные постоянные,

^(^»-чкш'-т-т1)^^'

о

Доказывается теорема:

Теорема 6,19. Если C(S) и удовлетворяются условия

^ J(g)djS = 0 , J [íx^djS-O,

S s

то , определенное формулой (27), является классическим репе-нием зaдáчи (II)4". Все классические решения задачи (Л)+ даются формулой (27), т.е. разность двух классических решений макет равняться вектору вцца (вектор жесткого смещения),

= ( 0-1 , » ) Я I = ( , , Oj) - произвольные постоянные векторы.

Все остальные задачи классической теории упругости реиенн в параграфах 32-36 и доказаны теоремы, аналогичные теореме 6.18.

Краевым задачам для шара и всего пространства с шаровой полостью посвящена обширная литература. Перечень основных работ по этим вопросам имеется в монографиях В.Гринченко и А.Улитко; четырех авторов: В.Купрздзе, Т.Гегелиа, М.БапслеЙшвшш, Т.Бурчу-ладзе; А.Лява; Е.Треффтца и др.

В большинстве работ, посвященных построению решений краевых задач для шара, предпочтительно применяется метод представления решений с помощью рядов сферических функций. Имеются работы, в которых решения краевых задач представлены в виде квадратур. Такой подход к вопросу для задачи (1)+ имеется в работе Р.Марколон-го, где применением специального представления репенпя с помощью гармонических функций репеюш строятся без привлечения рядов, вакткчески этим методом построено решение задачи (1)+ в настоящей работе. Решение задачи (1)+ построено также в работах М. БвшелеЯшвилл, Д.Натрошвилн и др. «. '

В монографиях А.Лява и Е.Греффтца указываются способы построения решений задачи (Ю* применением рядов. В монографии А. Лурье строится решение в виде ряда сферических функций. В работах Ц.БацелеЙашплк и Д.Латрохвшн: удаётся проектировать ряды, представляющие реиеиня.-и получить решения в квадратурах. Формулы ре-' с с иг.", подученные в работах М.Еашелейивили, Д.Натрошвили, отлпча-

ются от представлений (27).

Задача (Ш)+ в одном частном случае, когда касательные составляющие вектора напряжения на сфере ранни кулю, была решена в работе Х.Адамара. Указанное ограничение в отой работо является существенным. Решения задач (Ы>£ и (1У>£ с помощью рядов строятся в работе Д.Натроывили, где суммированием полученных рядов решения записаны в квадратурах. Формулы, приведенные в работе Д.Натрошвили существенно отличаются от соответствующих формул, полученных в диссертации.

Глава седьмая "Краевые задачи теории термоуцругости" состоит ив шести параграфов (параграфы 37-42).

Рассмотрит краевые задачи в областях В п В~ для системы статики теории термоуоругости

^ + ¿¡У и-¡({рсиЛб , Д0=О, (28)

где и» (иь, иЬ) и,л) - вектор смещения, 6 - температура, у и у - постояшше.

Вектор напряжения в теории термоупругости определяется формулой

р<ю_ 1

где Х(м - пектор, определенный (формулой (2С).

Краевые условия на афере Б для смещения и для напряжения следующие: и1 « $ гли (х(л) - хбп)* = £ , иди

н (х,*>-л(ах0О))*=1 или (лт^-ае^З и (и- п.(п.и.))* = 1 . Шесте с тем па Б относительно

Л ' ' . .А л » х

0 удовлетворился условия 8 =или - • Таким

образом, для каждой из облаете!: В+ к В" можно ргшешгроть восемь зграевих условий, но;орыо шроздиол сестИсдцыъ гадач. Стп задачи обозначены через (.I-1)—, (1.И)—,...,(1У.П)£. Например, задача (1.11)+ формулируется ило^^вди;.! обт-цзом.

НаГлч; кару Си, б] , удоаэтододфи в В саишю (¿¡3) я на Б ьраегому уелоиль

+ , • (ЪЭУ

ъ <в> = на). и-а~]

где (5,, К. У 55 Ч - заданные на Б -ушадаи,

а в (пи - орт но;«ал:! 1. Б , г.-»л-гт.Г. во э'п:о:.г-:ль.'

Б* •

Для решения краевой задачи (1Л)+ пользуемся следущпы представлением вектора смещения: Теорема 7.0. Если

У-|х|* .

и= V + — ^шау,

где ДУ=*0, Ду= О,

б - произвольное решение уравнения ДЭ- 0 >

5—4-.,

то пара 0] является решением системы (28) в В* . Решение задачи (1.11)^ пишется в виде:

Б Э

6(х)= N (>?)(=с)+ в0 , е0=еоа$1, '

где

ММгД).

Й Г X ■ э Г / Ц

-^(Охх-ГЛ + уМх«!*)-^;

Г % Эх^х-И У/Х^Чз»»'

'0

(29)

Т е о р 6 и а 7.13. Если у е С (Б) и ^ удовлетворяет условию

5 м^б-о,

Б

то пара [и, 6] , определенная формулами (29), является классическим решением задачи (1.П)+. При этом и, -определяется однозначно, а 0-е точностью до произвольного постоянного.

Аналогичные теоремы справедливы для остальных задач терио-упругости, и их решения построены в параграфах 3&-41.'

Краевые задачи статики теории термоупругости разделяются и ' получаются краевые задачи отдельно для уравнения Лапласа относительно температуры и отдельно для уравнения теории упругости относительно вектора смещения. Тем самым статические задачи теории термоупругоаги сводятся к задачам классической теории упругости. На этом пути новых проблем, с точки зрения теоретических исследований,не возникает и поэтому эти задачи не представляют теоретического интереса. Совершенно по иному обстоит дело при построении эффективных решений. В полученных задачах классическое теории упругости система уравнений неоднородна. Следовательно формулы, полученные в предыдущей главе и дающие представления решений п квадратурах, здесь мало пригодны.

Заметим также, что приведенные в этой главе решения задач теории термоупругостп дают непосредственно решения зедач теории упругости душ неоднородной системы в том случае, когда ей правая часть является градиентом гармонической функции.

Трехмерные статические задачи, термоупругостн, рассмотренные в этой главе, решены другим методом в работе.Д.Натрошвили, где решения записаны неокольцо в иной форме. В работе И.Цагареди в квадратурах решаются также двумерные задачи для круги.

Восьмая глава "Краевые згдачи теории упругих смесей" состоит из четырех параграфов (параграфы 43-4С),

В этой главе рассмотрена следута:|дя краевая задача (задача '

Найти в В , векторы и. к а - решение системы «чДги ^^гас! о1ху и,+ CДu.tc!^гаcl сЬ/ й - О (з0)

. ьДи+с^гак! ¿¿у и + а1Ди+ & §га<1 Аху й.= 0

если т. £

УуеБ: (и.) (ц)=5(з>. <л=М-

Здесь система (30) представляет собой уравнения статики линейной теории упругой смеси двух изотрошшх материалов, а,, , li.lt. с, Л - постояшше, и= и»), Л* (¿».¿»."й^-

векторы смещения, ( , , *,), т=1,2- вадшпшо на

Б " Э векторы.

На основании представлений

п т Р1-|х|1 , т где Ду=0, '

без привлечений рядов построены решения задач (1)+ и (1)~. Например, решение задачи (I)" получено в виде

1 Т^Й^5 + оп

где функции

"1,к=1,г лине&ю выражаются через $ в $ , у, , Кг --определенные постоянные,

Теорема 8.3. Если ^ Д € С(3) , уо пара [¿.,6,] ' , определенная формулой (31), является единственным классическим решением задачи (1)~, удовлетворяющим условиям (|х|»«>)

' K-i.it'1-1,1.*.'

Краевые задачи, рассмотренные в этой главе (задача (1)+ и (1)~), применением рядов сЛ.'ричезких *ункций реьены так же в работах Л.Гиоргашвплп к А.^жагкаидзе.

Девятая глава "Краевые задачи для полигармонического ураэ-И8нея" состоит из одиннадцати параграфов (параграфы 47-57).

Эта глава посвящена построению решений краевых задач в шаре для полигарыониче ского уравнения

' Д9+1 и= 0, 1> = 1,2,..., (32)

Где Д1 = Д ( Д') , . Д1 = Д - оператор Далласа. Рассмотрены следуювде две задачи.

Найти полигармоническую функцию и порадка в шаре

В* (непрерывную функцию в В+ , имеющую все производные до порядка ¿(1)+1) , включительно, ж удовлетворяющую уравнению (32)) по краевым условиям:

У^Б: к = 0,

- задача (1)+ (задача Лауричелла) или

^«Б: , »4=0,1.....

- задача (П)+ (задача Рикье).

Здесь £„,..-»$» - заданные на БеЗВ* функции. Решение задачи (1)+ построено в видо

¿15 ¿(^)' пса.), «з,

I

где П Ш интеграл Пуассона (23), а Р*^ - полиномы, определенные следующими рекуррентными соотношениями:

к= 0,1—, , ->-к,

(Х-(Р-О).

Токаи построено решение '¿адцчй (П)*:

¿| * ((*|1-с1)Рир(х) , (34)

ро Тр. * "

где u0(r)Ä T7(i.)(») , а гармонические функции'и*,--»»^

определены слодупдпми рекуррентными соотношениями:

(по,))(«>, ит(х)= 5(тк$Р))и-

" U/ P*1'4'-" ^

■(K-l), Рсхзо^ГсЬ, . .

Доказан рад вспомогательных утверждений и установлены слэ-духадиа основные теоремы.

Теорема 9.6. Если е С ( S), i = 0,i,... , J-i f ^ € С (S) , то и , определенная формулой (33), является единственным классическим решением задачи (1)+ (решение tt задачи (1)+ называется классическим, еоли е С к« ........* . ). .

Теорема 9.8. Если- e C(S), tc=0,l,...,-? , то U, , определенная формулой (34), является единственным классическим решением задачи (П)+ (решете U- задачи (П)+ называется классическим, если Д*гиб

С (В4-)

, к.= о, i,., 9 ).

Если i=i , то уравнение (32) называется бигармоническим.

К бягармоническому уравнению сводятся многие задачи математической физики (двумерные задачи теории упругости введением функции Ери, двумерные задачи'течения вязкой жидкости относительно функции тока, задачи, связанные с изгибом пластпп и др.). С другой стороны полигармогагческое уравнение - самое простое дифференциальное уравнение высшего порядка. Повидимому эти и, быть может, другие причины обусловили особый интерес учета к этоцу уравнению. • _ •

Сущее гветшй вклад в ого направление внесли Э.Альманзн, Т. Бодано, И.Векуа, З.Всльтерра, Е.:Гурса, Г.Лаурячеяга, T.JIeви-Чяви-та, Е.;<1атие, Е.Г.'лранда, Н.Цусхелпшвшт, М.Николеско, Е.Еткольс-' кий, К.Приватов, С.Соболев, Г.Фпг.пра и др.

Остановимся на некоторых работах, имеюцях близкое отношение к результатам этой главы.

Для бигармоюте-ского уравнения регсеуяе задачи (1)+ было построено Г.Лауркчелла (круг) и В.Вольтеру (трехмерный шар). Для задачи (1)+ в случае 'rjpyra (ври произволзпом ^ ) фушоцю

Грина явно построена в работах Й.Векуа к М.Николеско, а для т- -мерного шара (при произвольном V ) - в работе Г.Бремеркампа к О.Боттема. Заметим, что если построена функция Грина, то, как известно, и решение задачи (1)+ можно выразить эффективно. Но в смысле практического применения формулы, возникают некоторые осложнения. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Обозначим £ункцгао Гршга задачи (1)+ для уравнения (32) через . Тогда решение задачи (I)4" пишется в ввде

... <35)

где [1] - целая часть числа ^ .

В этой формуле кроме и. к , которые заданы на гра-

нице, участвуют еще Д и. , ^¡^ ..... Правда эти последние величины непосредственно не задается на граница, но все производные, участвующие в них, могут быть выражены с помо!дью заданных йгнкциИ •• • , ^ , в каждой точке сферы Б . Эти связи носят локалышй характер и существенно снижают эффективность представления (35).

Формула, получе!шая нами для представления решения задача (1)+, свободна от этого недостатка.

Отметет, что в работе И.Векуа функция Гршш задачи (1)+ применяется при исследования краевых задач для уравнений более сложной структуры, чем полигармоничеокоо. В монографии И.Векуа ("Ноше методы реыеши эяяпят.пеекпх уравнений", , 1948) приведено решение задачи (1)+ для круга при произвольном 2 Обобщение этого результата на т,-мерный шар. (по 2.) не представляет труда, но решенко будет иметь сложную структуру и установление для пего теоремы единственности требует позыпенную гладкость функций ^ > .

В рабою П.оерагия пр:менснисм метода II .Мусхсл:швпли задача (1)+ решена для круга и_областей, огобразаидася па круг ¡национальными фунхц;ш.\:и.

Для бигарконячоского уравпец/л ¡¡чзи-шг.ю задачи (П)+ (задачи Рикье) построено в работе М.Шиолеоко, а .Тупкцкя Грина в работе Г.Мархасева. В работе МЛ'дколеоко алеется также представление

решения задачи (П)+ г общем случае о помощью функции Грина. Это федставление применяется в работе Г.Мархасепа, где использовании специальных многочленов построено решение задачи (П)+ в частных случаях (-P = i,2.,i) .

В работе П.Берагия на основании формулы представления общего решения полигармонического уравнения при помощи аналитических Йуикций от одной комплексной переменной исследована задача (П)+ з двумерном случае. Для уравнений Д*"и. = 0 и äjil=0 эффективно решена задача (П)+ в случае круга.

Основные результаты диссертации докладывались:

- на Международном конгрессе математиков (Варшава, 1983)[17];

- на конференциях математиков высших учебных заведений ГССР ;Телави, 1983; Кутаиси, 1986) [3, 8] ;

- на П Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, [984) [5] ;

- на Международной конференции, посвященной столетию А.М. 'азмадзе (Тбилиси, 1989) [13] ;

- на расширенном заседании семинара Института прикладной гатематики им. И.Н.Векуа Тбилисского университета (Тбилиси, 1991) [12] ;

- на Симпозиуме, посвященном столетию акад. Н.И.Цусхелишвили ;Тбилиси,.1991) [19] ;

- на научном семинаре "Дифференциальные уравнения и математическая физика" Математического института им. А.М.Размадзе Ьсадемии паук Грузии.

Результаты диссертащш систематически докладывались и об-:уадалпсь на научном семинаре по интегро-дифференцкалышм урезаниям п краевым задачам математической физики отдела механики :плотных сред Тбилисского математэтеского института им. А.М.Раа-шдзе Акадешги наук Грузии.

Основное содержание диссертащ;и опубликовано В следующих иботах:

[. Чичшвдзе Р.К. Фундаментальное репеште уравнения стационарного течения мпгрополярной жидкости п связанные с шн потенциалы U Сообщ. АН ГССР. 1983. Т. 109, * 3. С. 485-487. C«t»th. R«». 19841. И 76016; Zent. für Math. 1^84, 522, * 76007).

2. Чичюшдзс P.K. Исследование граничных задач стационарного точеная вгзкой иешиаемой мшсропаляриоЗ авдкости // СооОац. Aii TCGP. I3Ü3. T.1IU, & 3. С. 485-488 ( сы. »Uta. Tvev. 19в5&, a 760221 gent, für btotb. 1S04, 522, К 760C6.".

3. Чгчш1адзе P.K. О некоторых стационарных граничных задачах вязкой несж!згае?лой иккрсполярной ащдкостп. X Республиканская научи.-штод.конф.матем.выси.уч.заведений'ГССР, Телам, 9-12 ноября 1283г. Тезисы докладов. Тбилиси,' 1983. С.160.

4. Чичпнадзе Р.К. Граничные задачи стационарного течения вязкой несжшаеиой микрополярной вдкости // Труды Тбилисского матеа 22i-та иы.А.Ы.Размадзе АН ГССР. ISS4. Т. LXX7. С. III-I32.

5. ЧичдладЕе Р.К. О двумерных нестационарных задачах ¿шкрополяр-Hofi среда. П Всесоюзная конференция по теории упругости, Тбилиси, 8-10 декабря 1984г. Тезисы докладов. Тбилиси, IS84.

С. 291-292.

6. Чкчкнедзе Р.К. Двумерные задачи стационарного течения вязкой несжимаемой микрополярной хшсостп // Сообщ. AI! ГССР. I98G. ".121, & 3, С.485-488. (см. üeth. й«т. 19S7J, Н 760t5i Zent. für lUth. 1968, 621, 1 35078).

7. Чичинадзз P.K. Решение первой краевой задачи дня уравнений Стокса в случае области со сферической границей // Сообщ. АН ГССР. 1936. Т.124, *2. С. 277-280 (см. Math. K.v. 198во,

К 35128| I«nt. für Hath. 19S8, 622, H 35060).

8. Чичшвдзе P.K. Решение краевой задачи Стокса' для круга. XI Конференция матом.высш.уч.зав. ГССР, Кутаиси, 28-30 мая 1986г ТозисШ докладов. Тбилиси, 1986. С. 225-226.

S. Чичанадзе Р.К. Краевые задачи для уравнений Стокса в случае области со сферической границей // Труды Тбилисского матем, . ян-та им.А.М.Разыадзе All ГССР. 138?. Т.07. 0.136-149 (см. liath. Rsv. 19S9a, И 35162).

10. Чнчинадзе Р.К. О краешх задачах теории упругости для шара // Труды Тбилисского матем. ин-та ш. А.М.Гаэшдзе Ail Грузин. 1991. Т.96. С.97-122.

11. Чин:шадзе Р.К. Решение первой краевой задачи теории упруги .смесей в случае области со сферической границей //Сообщ. All Грузил, 1991. Т.141, & 2. С.293-296.

12. Чыаднадзе Р.К. О краевых задачах для уравнений Навьа-Стокса с случаэ области со сферической грашщгй // Докл. расы, засед. семхч. ИПМ им. И.Н.Векуа Тбилисского ун-та. 1991. Т.6, ß 2. С. 173-176. '

13. Чичшгодзе P.K. Решение третьей и четвертой краевых аадач теории упругости для шара // Сообщ. АН Грузии. 1992. Т.145, Я 3, С. 493-498.

14. Чичлнадзо Р.К. Репеше краевой задачл Лауртелла для пара // Сообщ. АН Грузии, 1992. T.I4S, й I. С. 135-140.

15. Чкчинадзе Р.К. Краевая задача Ргпсье дол пира // Сообц. АЛ Грузии. 1992. T.I4S, Л 3. С.515-520.

16. Еучукурн Т.В., Чичинадзо Р.К. Краевые задачи стационарного течения вязкой несжимаемой микрополярной жгощоотн в случае линеаризации Озеена // Труда Тбилисского .татем, ин-та ем. А.М.Размадэе АН Грузии. 1991. Т.95. С.29-60.

17. Oegelia T.G., ChiohinadEB R.K. Boundary value probleas for flow of a viscous inoonpresclbla nicropolar fluid. International Congress of liathsraticle.-a. Poland 16-24 August. Short Communicationa (abstracts) XI. Section 13» Kothematical phyeicn and asthenics. Rarsewa. 19S3. 17.

10. Chichinadze B.K., Qeßelia Т.О. Solution in Quadratures cf the Baoic РгоЫеиз of thsrnoelostioity for a 3ph«re and a Spherical Cavity //Zeits. fur Anal. Anwend. 1989. Bd. 8(6). S. 515-553 (Kath.Rev. 1991c, И 7300g).

19. Buchukuri T.V., Chiohinadze R.K. Two-diaenBional probler.n of stationary flow of a viscous incompressible micropolar fluid are studied by the aethod of potential and singular Integral equations at Oseen linearisation. Syrsposiira Dedicated to the Centenary of Acadenlcinn N.Kuskellehvlll» Continuua Hechanloo end Related Problems of Analysis. Abetracta. Tbilisi, 19S1• P. 70.