Термоупругие и термоупругопластические процессы при конечных деформациях: применение формализованного подхода тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Столбова Ольга Серафимовна

ТЕРМОУПРУГИЕ И ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ПОДХОДА

01 02 04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□ □34443 ¿->

Пермь — 2008

003444913

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред УрО РАН

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук Роговой Анатолий Алексеевич

доктор физико-математических наук Свистков Александр Львович

доктор технических наук, профессор

Труфанов Николай Александрович

Институт механики и прикладной математики им И И Воровича Южного федерального университета

Защита состоится ^ 2008 г в на заседании диссер-

тационного совета Д 004 012 01 при Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу 614013, г Пермь, ул Академика Королева 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМСС УрО РАН

Автореферат разослан 46 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Г Березин И К

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Построение определяющих уравнений, экспериментальная идентификация параметров, входящих в них, и аттестация на доступных независимых экспериментах - основная задача современной механики Опираясь на общие законы механики, термодинамики, общие соотношения кинематики и принцип объективности строится множество моделей поведения сложных сред при конечных деформациях Эти модели отличаются положениями, заложенными в основу разложения полной кинематики на упругую и неупругую, часто без достаточного обоснования, кинематическими переменными, входящими в определяющее уравнение, используемыми объективными производными, с непонятными критериями их выбора, и дополнительными уравнениями для неупругих деформаций Такое многообразие моделей, описывающих один и тот же процесс в одной и той же среде, необходимость искать нетривиальные подходы, чтобы описать другой процесс, вызывает определенную неудовлетворенность, так как делает построение определяющих уравнений не наукой, а, в большей степени, искусством

В настоящее время разрабатывается формализованный подход к построению определяющих уравнений и моделей упруго-неупругих процессов при конечных деформациях Формализация основана на кинематике, существенно использующей близость промежуточной и текущей конфигураций, опирается на законы термодинамики и принцип объективности Получаемые с помощью ее эволюционные определяющие уравнения автоматически приобретает соответствующую объективную производную В отличие от многих других подходов к построению уравнений состояния, в развиваемом все кинематические, силовые и энергетические величины, известные в механике, находят свое место и взаимно согласованы С помощью этого подхода построены определяющие соотношения упругопластических и вязкоупругих процессов при конечных деформациях Актуальной является задача дальнейшей аттестации подхода Для этого развиваемый подход применен для построения моделей поведения термоупругой и термоупругопластической сред при конечных деформациях

Цель работы - применение формализованного подхода к построению моделей поведения термоупругой и термоупругопластической сред при конечных деформациях и аттестация этих моделей на простейших задачах На защиту выносятся:

1 построение на основе формализованного подхода замкнутых моделей термоупругих и термоупругопластических процессов при конечных деформациях,

2 дифференциальная и вариационная постановки связанных термоупругой и термоупругопластической задач,

3 результаты решения тестовых задач термоупругости и термоупругопла-стичности при конечных деформациях

Научная новизна диссертационной работы состоит

1 в развитии формализованного подхода и его применении к построению в рамках конечных деформаций замкнутой модели термоупругого процесса в слабосжимаемом материале,

2 в развитии формализованного подхода и его применении к построению в рамках конечных деформаций замкнутой модели термоупругопласти-ческого процесса,

3 в дифференциальных и вариационных постановках связанных термоупругой и термоупругопластической задач, использующих полученные в рамках формализованного подхода соотношения Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением с известными решениями и экспериментальными данными В частности, термоупругая модель хорошо описывает такие экспериментально наблюдаемые эффекты в эластомерах как энтропийная упругость, температурная инверсия, изменение температуры в адиабатическом процессе

Практическая значимость работы состоит в подтверждении (на примерах термоупругой и термоупругопластической задачах) возможности использования разрабатываемого формализованного подхода к построению моделей поведения термо-упруго-неупругих сред, то есть в возможности, выполнив последовательность определенных действий, получить согласованные со всеми законами механики соотношения

Апробация работы. Материалы диссертации обсуждались на семинарах Института механики сплошных сред УрО РАН и на профильных кафедрах Пермского государственного технического университета

Работа по частям и в целом была доложена на Всероссийских конференциях молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2002 и 2003), Конференциях молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2003, 2005, 2006 и 2007), Конференции молодых ученых "Поздеевские чтения" (Пермь, 2006), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2007), Международной молодежной научной конференции "XXXIV Гагаринские чтения" (Москва, 2008)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе статья в российском журнале, который входит в Перечень ВАК, рекомендованный дня публикаций результатов диссертаций

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержит 150 страниц и 19 рисунков

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении рассматриваются основные теоретические положения, которые необходимо выполнить для построения корректных определяющих уравнений

В первой главе представлен обзор основополагающих работ, в которых рассматриваются подходы к построению моделей поведения сложных сред при конечных деформациях Обоснована актуальность и новизна диссертации, сформулирована цель работы, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации, а также приведены сведения об апробации работы

Во второй главе рассмотрены кинематические соотношения, определяющее уравнение и уравнение теплопроводности в термо-упруго-неупругом

процессе Для линеаризации уравнений, описывающих процессы при конечных деформациях, используется наложение малых деформаций на конечные Для этого вводятся промежуточные конфигурации, близкие к текущей Тогда градиент места Р из начальной конфигурации в текущую представляется в следующем виде

? = Ь в Я*, (1)

где Р» - градиент места, переводящий начальную конфигурацию в первую промежуточную, а Ге, ^у и {ц- градиенты места (температурный, неупругий и упругий), переводящие первую промежуточную конфигурацию во вторую, вторую промежуточную - в третью, а третью промежуточную - в текущую

Близость промежуточных конфигураций к текущей формализуется введением малой положительной величины е Градиент места (г = Е,Ш, 9) связан с соответствующим градиентом перемещений Ьг соотношением

£г = 8 + еЬг = е + £(ег + а,) (2)

Здесь g - единичный тензор, ег = г/2- тензор малых деформаций, а с!г = УгСЬ, — Ь^) - тензор малых поворотов (упругих, неупругих или температурных) Тогда с = ещ Ь еш + е© и с! — с1в + ¿е ~ тензоры полных малых деформаций и поворотов

Соотношение (1), с учетом (2), записывается, с точностью до линейных по е слагаемых, в виде

Р - [е + £ (ея + едг + е0 4 йЕ + йт + <1е)] Р* (3)

При устремлении времени перехода из первой промежуточной конфигурации в текущую к нулю, из (3) получается точное (эволюционное) уравнение В результате его решения находится разложение полного градиента места Р на упругую ¥е, неупругую Еш и температурную Ре составляющие Р = Рг • Ре, где

Рв = [Е + еЬв].Р£.. ¥т = [ё + е¥^ Р&]

= + ¥е\ Ье Р£* Ре*

В этом разложении упругий градиент места не меняется при чисто неупругом и температурном изменении конфигурации, неупругий - при чисто упругом и температурном, а температурный - при чисто упругом и неупругом ее изменении

Далее вводится приращение и скорость изменения меры деформации Коши-Грина С = Рт Р относительно промежуточной упругой конфигурации к2 (¿С)«2 = 2РТ с1еЕ Р, (С)К2 = 2РТ ев Р = 2РТ Р Здесь = еЕ - деформация скорости упругих перемещений, совпадающая со скоростью упругой деформации

Определяющее соотношение для упруго-неупругого процесса в простом материале принимается в виде

Т = ^Р ё(СВ)/0 Рт (4)

Здесь J = 13{¥) - третий главный инвариант Р, определяющий относительное изменение объема, Се = Р^-Р^., ¡1, - объективные скалярные параметры, §(С- тензор отклика материала на упругую деформацию, в котором ц1 определяют изменение этого упругого отклика в зависимости от предшествующих неупругих или температурных деформаций

В качестве функций ¿г, для термо-упруго-неупругого процесса выбраны температура 0 и ~ объективные скалярные функции (конечное число параметров), характеризующие изменение внутренней структуры материала в процессе деформирования Тогда соотношение (4) относительно промежуточной конфигурации принимает вид

Т-[1—е/1 (е)]Т»+еЬ Т.+еТ.

дХг

д<Э

+еС™ еЕ (5)

е-е.

Здесь Т* - напряжение, достигнутое в промежуточной конфигурации, и 0* - значения параметров в промежуточной конфигурации, ^ и в - малое приращение этих параметров, а С^ - тензор четвертого ранга (в общем случае анизотропный), определяющий отклик материала на малые упругие деформации относительно промежуточной конфигурации

Приближенное уравнение (5) сводится к точному с объективной производной Трусделла ТГг = Т 4- ^(Б) Т - 1 Т - Т 1Т, где Б = е и I = Ь, при устремлении к нулю времени перехода из промежуточной конфигурации в текущую

гТг .

дТ

ВТ

ах, <90

iv

Б

Е,

где Хг =-" Х'ч 0

Тензор истинных напряжений Т представляется в виде Т = 7_1Р-Рц Рт, где Рн - тензор Пиола-Кирхгофа второго рода, который, в свою очередь, определяется через упругий потенциал У/, являющийся функцией только упругой кинематики, с константами аь зависящими от неупругой кинематики и температуры а^ = а^Хи ©) В результате, связь тензора истинных напряжений с упругим потенциалом принимает вид

Т = Г1¥ Рм ¥Т = 4Г1Р-

/

Ю

Ро-

зе1

Е

(6)

Записывая соотношение (6) относительно промежуточной конфигурации и сравнивая полученное уравнение с соотношением (5), получаем представление тензора С¡У

'IV .

4 Р,

дс%

Сь—СЕ*

где о - позиционное скалярное умножение тензора второго ранга слева на третий базисный вектор тензора четвертого ранга, * - позиционное скалярное

умножение тензора второго ранга справа на второй базисный вектор тензора четвертого ранга

В качестве параметров удельной свободной энергии (отнесенной к единице массы) выбраны мера деформации Коши-Грина СЛ2, температура О и конечное число внутренних параметров \г Свободная энергия Ф представлена в виде суммы двух слагаемых

Ф = Ф(СМ, х„ в) = Фг(См, Хг, ©) + Фг(в)

Первое слагаемое зависит от изменения упругой деформации, температуры и структурных параметров (Ф1 = 0, если (С)^2 -^Н})—Второе-слагаемое зависит только от температуры и связано с теплоемкостью материала при нулевом напряжении (Ф2 — 0, если 0 — 0О, где 6о - начальная температура) В работе вводится функционал

4 г г

IРп СК2 йт = I (Р Р„ Рт) ЪЕс1т = IЗТ ВЕс1т, 0 0 о

который, б случае чисто упругого процесса, совпадает с упругим потенциалом, и из требований, налагаемых на составляющую Фх в свободной энергии, вытекает что ро Ф1 =

Из термодинамического неравенства Клаузиуса-Дюгема в случае, когда для температурных деформаций записывается закон линейного температурного расширения Бе = ее = /?0g, где /? — коэффициент линейного температурного расширения, получены соотношения для напряжений, энтропии и дополнительное неравенство

дСКг Ро Ро 30 30

1 дУ/у

Т-.Б V 1п 0 > 0

дХг

Здесь Бда = еда, q - вектор теплового потока, V - оператор Гамильтона в текущей конфигурации

Рассматривая процесс деформирования, происходящий за счет только неупругого и температурного воздействий, и полагая, что теплоемкость единицы массы при нулевом напряжении ст зависит только от температуры в виде сг(0) = сто + /е0 с.л(©1) <^©1. получено выражение для Фг(0) В результате соотношение для энтропии приведено к виду

в

а = J £ h(T) - - ^ + сго In -I + / In стфг) dQu Ро Pq 30 ©о J 0i

е0

и, используя первый закон термодинамики, построено уравнение теплопроводности

Ав + ве + с = р£1 + V (Ave), где (7)

4 _ 0 (9Р г то. о в Ыг(Т) г-1 ^Л ^ ! о «/С,™ т. ЗА(Т) „,„ ^ \ 6Т л зт „

с = - т в^ + ^^х,

ОХг

Здесь д = —А V©, А - коэффициент теплопроводности Записано также линеаризованное уравнение теплопроводности

В уравнении теплопроводности выделены слагаемые, определяющие теплоемкость с, скорость производства тепла упругими деформациями (¿е и скорость производства тепла неупругими деформациями и структурными изменениями в материале фот В результате, соотношение (7) записывается в виде

св = <2ь + (2т + рП + Ч (Д V©),

В уравнения, полученные в главе, входят как полная мощность, так и мощности упругого деформирования, механической и тепловой диссипации Если первая из них не зависит от смены систем отсчета текущей, неупругой и температурной конфигураций, то последние могут сильно меняться только из-за изменения системы отсчета Они не будут зависеть от смены системы отсчета, когда для любого момента времени ортогональные тензоры Ида и 1?е в полярных разложениях градиентов места Рду = 11глг Цдг и Ре = П-е и© будут единичными То есть, неупругий и температурный градиенты места должны быть чистыми деформациями без вращений Рду — Иду и Ре — Ц"б В работе показано, что приращения тензоров П,/лг и И,© связаны как с малыми поворотами йщ и с!е, так и с малыми деформациями см и ее

Чтобы выделить упругую кинематику в процессе деформирования, необходимо знать на каждом шаге малые упругие деформации е^ = е —еда —ее и малые упругие повороты с!^ = (1 — йцу — с!е Задавая известные соотношения для неупругих е¡н и температурных ев деформаций и учитывая ограничения = ё и К© — {■>. получены уравнения для нахождения тензоров малых поворотов с1гд' и в© В случае, когда для малых температурных деформаций принимается закон линейного температурного расширения ее — получается, что с!е = О

В третьей главе рассмотрено поведение начально изотропного сла-босжимаемого материала в термоупругом процессе с конечными деформациями Для малых температурных деформаций из промежуточной конфигурации в текущую принят закон линейного расширения (в этом случае с!е = 0) Полный градиент места принимает вид Р = Ре Ре, где ¥е = [щ+е(Ъ-13*в£)} Р£„,Ре=-ие = (1+е Д» 0)ие*, А-значение коэффициента линейного температурного расширения в промежуточной конфигурации

Для термоупругой среды удельная свободная энергия зависит только от меры деформации и температуры Ф = 1/ро И^С^, 0) + Ф2(©) Определяющее соотношение (5) и уравнение теплопроводности (7) принимают следующий вид

дТ, дв

-хд2\УЛ

Т= [1-£/1(е)]Т, +еЬ Т. + еТ„ + В

9рт т + 2/з5/1(т) т-

е-е.

+ оГ1 р0 ст

(с-& ев),

е+

+

дТ

/3(2Т D + g С" В

е = рП ЬУ (А ТО) (8)

В качестве упругого потенциала IV использован потенциал, позволяющий описывать конечные деформации начально изотропного слабосжимаемо-го материала

ИЧД, 4 /з) = Д) + XI(Л, Л) & - 1) + УгХ2(Л, Л) (/з -1)2, (9)

где введена новая группа инвариантов, определяемая через главные инварианты меры деформации Коши-Грина Д = Д(Св) ~ Л(Св) — (/з(Св) - 1), /2 = /2(Св) = /2(СВ) - 2(/3(Св) - 1), /3(Св) = /з(Ся)_ В (9) приняты простейшие линейные зависимости IV — кх (Д — 3) + ^ (Д - 3),

Хх = Р1 (А - 3) + (Д ~ 3), Х2 = Хо + Чх (Д - 3) + д2 (Л - 3), где ^2, Рь Р2> Хо, 91, <72 _ параметры материала, причем 2(к\ + ]<%) = С -модуль сдвига Тогда рх = рх С, р2 = Р2 С, qí = ^ (7, = ?2 <3

В работе получена свертка (е — Д, 0 g) = ев, соответ-

ствующая упругому потенциалу (9) Зависимость параметров материала 7г = Аг,Хо от температуры задается в виде

9

7> — 7г0 + /уа (©1) £¡01 = 71 (в«)+711 (9*) (в—в*), М*1 = 711(в) (10)

е0

Это позволяет вычислять производные от ев), Т и И^ по температуре, используя единый алгоритм

Выписана дифференциальная постановка связанной термоупругой задачи, включающая уравнение равновесия, определяющее уравнение (6), кинематические соотношения для Р, уравнение теплопроводности (8), граничные условия для перемещений на поверхности 5„ и усилий на поверхности 8Р (5 = ¿'„ий'р - полная поверхность тела в текущей конфигурации), граничные условия для температуры на поверхности и теплового потока на поверхности (|9 = 5е и59 - полная поверхность тела в текущей конфигурации), начальные условия ¥(1^) = g, ¥Е^о) = g, Т(^0) = О, 9(¿о) = ©о

Применяя стандартную процедуру Галеркина к уравнениям равновесия, теплопроводности и к граничным условиям для напряжений и температуры,

и учитывая связи, наложенные на перемещения на поверхности Su и температуру на поверхности Sq, записана слабая связанная постановка термоупругой задачи в расширенной форме Лагранжа для начальной конфигурации

Рассмотрены однородные задачи об изменении температуры при адиабатическом растяжении упругого стержня вдоль его оси и о нагревании предварительно растянутого стержня Весь процесс растяжения стержня вдоль оси 2 представляется в виде последовательного перехода от начальной конфигурации ко к текущей к через промежуточные, близкие друг к другу Относительные удлинения стержня в поперечном п и осевом f = l/la (lo и l - начальная и текущая длина образца) направлениях в текущей конфигурации задаются в виде а — а*. + еа' и £ = + где а» и - относительные удлинения в лромежуючной конфигурации, а' и их приращения При этом и -заданные величины, а а* известна из решения задачи на предыдущем шаге В процессе растяжения боковые поверхности стержня свободные (одноосное напряженное состояние), rey тензоров Т и Рц ненулевой является только одна составляющая

В задачах об адиабатическом и изотермическом растяжениях стержня поля напряжений и температуры однородны Однако использованы вариационные уравнения связанной постановки термоупругой задачи для их аттестации при решении этих задач Для приращения удлинения стержня в поперечном направлении а' и приращения температуры в получена система линейных уравнений

а' а'

ап--Ь а и в = bi —, ü2i--Ь «22 0 = Ь2 — + ро ш, где (11)

а* а*

ац = Хп(п+]з) + Х22{п f jj), 6i = -[Xn(fcfc)+X22(fcfc)]

«12 =

0P||*

дв

6=8.

(n + 33)-l34Xn(S)+X22(g)},

021 = o*

d¡3

0T.

+0;

дв

/?,JI(Y(« + JJ))

dh{T.)

e=e.

(« + jj)

h{Tt) + 20,

e=e. b2 = -0,

dQ

, «22 = J*1 PO CT* +

PWu

6=9,

ЯТ

2/?Tf+ /Ui(Y(fcfc))-^

se2 kk

e=e.

e-e.

Здесь г, у, к - базис в декартовой системе координат, а Л"тп(М) - составляющие тензора Х(М) - 3, Г;1 М) Р;т = Л р;1 У(М) Р;:т, записанного в декартовом базисе Первое уравнение в (11) получено при 5а', второе - при 5в

При решении задачи о растяжении стержня весь процесс разбивается на ряд достаточно малых шагов п = 0,1, и на каждом шаге задается

относительное удлинение образца в осевом направлении Зная а+, ©*, Т„ и М/х* с предыдущего (п —1)-го шага, на п-ом шаге решается система (11) (в случае адиабатического процесса) или первое уравнение в (11) при 0 — О (в случае изотермического процесса температура постоянна, а значит 50 = О, и однородна) В результате получается приращение удлинения а' и приращение температуры 9 (в адиабатическом процессе) При нагревании стержня весь процесс нагревания разбивается также на ряд достаточно малых шагов к — О,1, , К, и на каждом шаге задается приращение температуры в На ком шаге при однородном распределении температуры и отсутствии внутренних источников решается только первое уравнение-в-(11-упри-известном приращении температуры в (в этом случае также 59 = 0) В результате получается приращение удлинения а!

При изотермическом растяжении стержня исследован вклад внутренней энергии Ти и энтропии в производство осевого напряжения Т33

Т33 — Ти + Т3, где Г„ = р£(и/0, Т, = -рв£(з/£)

Для численного расчета принималось, что начальная температура ©о = 293 К Константы материала при этой температуре были взяты для резины 2959 кш = 0 25 МПа, к2о = 0 25 МПа, %0о = 770 МПа, рх = 1, р2 = 0 425, <21 — 374, = 300 Принималась линейная зависимость к\, к2 и %о от температуры в рассматриваемом интервале 9 6 [©о, ©о + 100 К] При этом кц = ¿21 = 8 Ю"4МПа/К,Х01 =-2 МПа/К (в обозначениях (10)) Коэффициент линеиного температурного расширения /3 = 13 5 • 10~5 К-1 Плотность материала в начальной конфигурации ра = 121 103кг/м3 Коэффициент удельной (на единицу массы) теплоемкости при нулевом напряжении ст линейно зависит от температуры в рассматриваемом интервале ее изменения и, в обозначениях (10), сто = 1 9 10~3 МДжДкг К), сТ1 = 0 01 10"3 МДжДкг К2)

Стержень растягивапся в 18 раза с постоянной скоростью удлинения £ = 0 008 сек-"1, за 10000 шагов На рис 1, а показано изменение температуры Д© = ©—©о в процессе адиабатического растяжения стержня, а на рмс 1, Ь - начальный участок предыдущего графика В работе также приведено относительное изменение объема ДV в процессе адиабатического растяжения стержня, при этом изменения температуры и объема хорошо коррелируют

Изменение единственной составляющей тензора истинного напряжения Т33 в процессе адиабатического растяжения стержня, в силу малого изменения температуры, практически совпадает с кривой, построенной на основе аналитического решения задачи об изотермическом растяжении стержня (рис 2, а, кривая 1) При изотермическом растяжении стержня показан вклад энтропии и внутренней энергии в производство осевого напряжения (рис 2, а, кривые 2 и 3 соответственно) Основной вклад в производство осевого напряжения в изотермическом процессе дает энтропия (наблюдается энтропийная упругость)

При численном решении задачи о нагревании предварительно растянутого стержня, последний сначала изотермически за 10000 равных шагов

0.20

а) оло

де, к

Д9 ■ 1Û3. к

1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14

Рис. 1. Изменение температуры в процессе адиабатического растяжения

де, к

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 -и0 10 20 ~30 40 50 60 70 80

Рис. 2. Изменение осевого напряжения

растягивался до определенной величины а затем нагревался тоже за 10000 равных шагов на 80 К при постоянном удлинении (приращение температуры на шаге в = 0.008 К). На рис. 2, b показано изменение истинного осевого напряжения при нагревании предварительно растянутого стержня. Кривая 1 соответствует удлинению £ — 1.02, кривая 2 - £ — 1.13, кривая 3 - £ = 1.4, кривая 4 - £ = 1.8. Напряжение в стержне с ростом температуры уменьшается при малых степенях удлинения и возрастает при больших.

Таким образом, полученная модель хорошо описывает такие экспериментальные факты, как изменение температуры и объёма при растяжении, энтропийную упругость и температурную инверсию.

В четвёртой главе рассмотрен термоупругопластический процесс при конечных деформациях. Для малых температурных деформаций из промежуточной конфигурации в текущую снова принят закон линейного расширения Се = ß*dg (тогда de = 0). Для скорости пластических деформаций принят закон пластического течения с упрочнением ёР = (Зст,;)/(2Яс^) S при ai — егт и ёр — 0 при < aj\ Здесь S - девиатор истинных напряже-

ний, а, — х/З/ЗЗ- 8 - интенсивность напряжений, ат - предел текучести на растяжение, II - модуль пластического упрочнения

Полный градиент места принимает вид Р = Ед • Рр Ре, где Рд =

[е + £ (ь - Ър - Мш)] ■ Т!е+. ¥р = ир= + £¥-е1 Ьр Чр„

Ре = Йе = (1 + £0* 0)\3в* В этих соотношениях Ьр ^ ср + (1 р, тензор малых пластических деформаций относительно промежуточной конфигурации еР — (9(Т —Т») • 3.)/(4Нсг^) в, (линеаризованный закон течения), а с!р находится из уравнения, связывающего тензор малых пластических поворотов с тензором малых пластическил деформаций

Для термоупругопластической среды удельная свободная энергия зависит только от меры деформации и температуры Ф = 1/ро В) + Ф2(В) Определяющее соотношение (5) и урав-

нение теплопроводности (7) принимают следующий вид (для активного процесса нагружения)

Определяющее уравнение в термоупругопластическом процессе конкретизировалось для материала, упругое поведение которого описывается упрощенным законом Синьорини

где А - параметр Ляме, С? - модуль сдвига, ТЕ - тензор истинных напряжений в упругом материале, АЕ = х/2(8 ~ Рд1) - тензор упругой деформации Альманзи В работе получена свертка С^ еЕ для упрощенного закона Синьорини Зависимость параметров материала от температуры задавалась в виде (10)

Выписана дифференциальная постановка связанной термоупругопластической задачи, которая отличается от постановки термоупругой задачи видом упругого потенциала в определяющем соотношении, дополнительным уравнением для тензора скоростей пластических деформаций ер, соотношением для нахождения тензора <1р, видом уравнения теплопроводности Записана слабая связанная постановка термоупругопластической задачи в расширенной форме Лагранжа для начальной конфигурации

Рассмотрена задача об изменении температуры при адиабатическом растяжении упругопластического стержня вдоль его оси В процессе растяжения боковые поверхности стержня свободные (одноосное напряженное состояние) Известно относительное удлинение стержня в осевом направлении

2 Наг

= [А/а(Ая) + - (А + (Ав)]8 + 2 [в - (А + едА£)]Ая,

1

необходимо найти относительное удлинение в поперечном направлении а и изменение температуры в стержне Задача, аналогично задаче об адиабатическом растяжении упругого стержня, решалась в приращениях

Б задаче об адиабатическом растяжении стержня поля напряжений и температуры однородны Однако использованы вариационные уравнения связанной постановки термоупругопластической задачи для их аттестации при решении этой задачи Для приращения удлинения стержня в поперечном направлении а' и приращения температуры 9 получена система линейных уравнений, аналогичная системе (11)

(«п - ^гаЛ а- + (ап - 0=(Ь1 + £

V 1+Л1 /а* \ 1-I Ах ) \ 1 + Л1

К3 \ а ' ( А'з \ ( Кл \ е

ьттх;ап)'а;+(°^+ггкат=(12)

а31=Х^{гг+зз)~2Р^, а32

зч „

кк-0.Х*(Ш),Ьз = ХЛ1(кк)+Р$, е=е.

00

К\ - К0Х33{8*), К2 - К0 [Хи(Я.) + Х22(8»))

Кг = Къ

9 ^ и* 50

3 т33

ло = т-тг

9 о I*

Данные соотношения справедливы для активного процесса нагружения При нейтральном нагружении, разгрузке из упругопластического состояния или пассивном нагружении АГ0 = 0, а значит Ал = АГ3 = О В этом случае коэффициенты в (12) примут тот же вид, что и в соотношении (11)

В результате получена система линейных уравнений (12) для нахождения неизвестных а' и в при активном нагружении При решении задачи о растяжении стержня весь процесс разбивается на ряд достаточно малых шагов п — 0,1, ,АТ и на каждом шаге задается относительное удлинение образца в осевом направлении Пока сг, < ит, зная а*, ©*, Т+ и И^» с предыдущего (п - 1)-го шага, на гс-ом шаге решается система (11) и получается приращение удлинения а' и температуры 9 Если аг = от, для нахождения а' \л 9 используется система (12) (при этом на каждом шаге дополнительно решается уравнение для вычисления с!р)

Для численного расчета принималось, что начальная температура 00 = 293 К Константы материала при этой температуре были взяты для стали ЗОХГСА Л0 = 8 8 104 МПа, С0 = 8 0 104 МПа Зависимость Л и в от температуры в рассматриваемом интервале 0 £ [0О - 10 К, 0О +10 К] считалась линейной При этом Л1 =--0 0024 104 МПа/К, вх = -0 0022 104МПа/К (в обозначениях (10)) Коэффициент линейного температурного расширения ¡3 = 12.0 10~6 К-1 Плотность материала в начальной конфигурации

ро = 8.0- 103 кг/м3. Коэффициент удельной теплоемкости при нулевом напряжении ст = 0.46 ■ 10_3МДж/(кг • К). Предел текучести ат - 640 МПа и модуль пластического упрочнения Н — 350 МПа.

Стержень растягивался в 1.1 раза с постоянной скоростью удлинения, равной £ — 0.001 сек-1, за 10000 шагов. На рис. 3, а показана зависимость ненулевой составляющей тензора истинных напряжений от заданного удлинения при адиабатическом растяжении стержня. На рис. 3, 6 показано изменение температуры в процессе адиабатического растяжения стержня.

Таким образом, полученная модель описывает увеличение температуры при наступлении пластичности в адиабатическом процессе, что согласуется с данными экспериментов.

Рис. 3. Изменение осевого напряжения (о) и температуры (Ь)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• Общий подход развит на термоупругие и термоупругопластические процессы. Для общего случая термо-упруго-неупругого процесса построены определяющее уравнение и уравнение теплопроводности.

в Кинематические соотношения, определяющие уравнения и уравнения теплопроводности конкретизированы для термоупругого и термоупру-гопластического процессов при конечных деформациях.

• Построены тензоры отклика материала на малые упругие деформации относительно промежуточной конфигурации, соответствующие упругому потенциалу слабосжимаемого материала (термоупругий процесс) и упрощенному закону Синьорини (термоупругопластический процесс).

• Осуществлены дифференциальные и вариационные (слабые) постановки связанных термоупругой и термоупругопластической задач.

• Решены тестовые задачи. Получена система линейных уравнений относительно приращения удлинения стержня в поперечном направлении и приращения температуры. Разработаны алгоритмы численной реализации задач.

• Выполнено сравнение полученных решений с экспериментальными данными.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1 Роговой А А , Столбова О С Эволюционная модель термоупругости при конечных деформациях // Прикладная механика и техническая физика — 2008 - Т 49, № 3 - С 184-196

2 Роговой А А, Кольцова(Столбова) О С Эволюционные определяющие соотношения для конечных термоупругих деформаций // Сборник Научно-Образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" Итоги работы за 2003 год — Пермь 2004 — С 86-88

3 Роговой А А , Столбова О С Конечные термоупру!ие и упругопласти-ческие деформации // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" — Пермь 2005 — С 81

4 Роговей А А, Столбова О С Определяющее уравнение термоупругости при конечных деформациях и уравнение теплопроводности // Сборник Научно-Образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" Итоги работы за 2004 год — Пермь 2005 — С 93-96

5 Роговой А А, Столбова О С Конечные термоупругопластические деформации // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" — Пермь 2006 — С 75

6 Роговой А А, Столбова О С Определяющие уравнения упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Сборник Научно-Образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" Итоги работы за 2005 год - Пермь 2006 - С 70-74

7 Роговой А А , Столбова О С Построение моделей сред при конечных деформациях термоупругих и упругопластических // Сборник трудов конференции молодых ученых "Поздеевские чтения" — Пермь 2006 — С 109-112

8 Роговой А А, Столбова О С Термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Сборник Научно-Образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах" Итоги работы за 2006 год - Пермь 2007 - С 102-107

9 Роговой А А, Столбова О С Модель конечных термоупругопластиче-ских деформации // Сборник трудов всероссийской конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая)" — Т 3 — Пермь 2007 - С 152-154

10 Роговой А А, Столбова О С Моделирование поведения термоупруго-пластического материала при конечных деформациях // Сборник трудов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" - Пермь 2007 - С 366-369

11 Столбова О С Описание термоупругого и термоупругопластического процессов нагружения материала при конечных деформациях // Тезисы докладов и сообщений Международной молодежной научной конференции "XXXIV Гагаринские чтения" - Т 1 - Москва 2008 - С 201-202

Подписано в печахь 02 07 2008 Формат 60X90/16 Уел печ ч 1,0 Бумага ВХИ Набор компьютерный Тираж!00экз Заказ№545/2008

Oí печатано с готового оригинал-макета заказчика

в типографии ИД "Пресстайм" Адрес 614025, г Пермь, ул Героев Хасаиа, 105

Введение

1 Подходы к описанию термомеханических процессов при конечных деформациях

1.1 Общие подходы к построению определяющих уравнений

1.2 Определяющие соотношения нелинейно-упругой среды.

1.3 Определяющие соотношения упругопластических сред.

1.4 Кинематика упруго-неупругого процесса.

1.5 Примеры построения моделей упруго-неупругих сред.

1.6 Уравнение теплопроводности.

Поведение сплошной среды описывается системой уравнений, состоящей из уравнения движения (уравнения Эйлера), кинематического соотношения, определяющего уравнения, граничных и начальных условий. Уравнение движения вытекает из общего закона механики - закона изменения количества движения. Симметрия входящего в него тензора истинных напряжений следует из другого общего закона механики - закона изменения момента количества движения. Кинематическое соотношение связывает вектор перемещений, описывающий движение точек сплошной среды, с мерами деформаций (или тензорами деформаций) и строится на основе общей кинематики. То есть два первых уравнения не связаны с конкретной средой и вытекают из общих законом механики и общих соотношений кинематики. Поведение конкретной среды описывается определяющим уравнением, устанавливающим связь между силовыми и кинематическими величинами, входящими в первые два соотношения. Построение таких уравнений, экспериментальная идентификация параметров, входящих в них, и аттестация на доступных независимых экспериментах - основная задача современной механики.

Структура определяющего уравнения и соотношение для энтропии вытекают из второго закона термодинамики. В частности, для упругого материала в изотермическом процессе уравнение состояния имеет вид

T = 2P0J-F.M.F- (*)

Здесь Т - тензор истинных напряжений, ро - плотность массы в естественной конфигурации, F - градиент места (деформации), J - якобиан, определяющий относительное изменение объема в текущей и начальной конфигурациях и равный третьему главному инварианту F, С .'= FT • F - мера деформаций Коши-Грина и ф - свободная энергия. Определяющее соотношение должно быть объективным, то есть удовлетворять принципу материальной независимости от выбора системы отсчета: силовой отклик материала не должен зависеть от того, относительно какой системы отсчета (не координат) определяется кинематика среды; выбор системы отсчета субъективен, отклик материала объективен. Удовлетворяющий принципу объективности тензор напряжений Т "преобразуется в? тензор Т'по правилу ТЛ = О - Т • О? для любого собственно ортогонального тензора О! Как показал В. А. Пальмов, принцип объективности выполняется; если свободная энергия будет функцией от инвариантной по отношении* к такому ортогональному- преобразованию кинематической величины (этому условию удовлетворяет тензор меры деформаций Коши-Грина: С' = С).

Понятие объективности (или'индифферентности) связано с жестким поворотом текущей (актуальной) конфигурации со всеми; "вмороженными", в нее векторными, и тензорными объектами, отнесенными к текущему базису. Начальный базис при этом не меняется (поэтому мера деформаций С - тензор, отнесенный к начальному базису, не меняется при таком преобразовании). Ортогональные же преобразования начального базиса приводят к понятию анизотропии: для среды, обладающей определенной анизотропией; существуют такие ортогональные тензоры О^, образующие группу, для которых выполняется равенство ф(С)=ф(С*), С* = Oi • с • oj. • (**)

Эта группа называется группой равноправности (равноправности свойств материала по отношению к направлению деформирования). Так как скалярная функция тензорного аргумента есть функция от координатных составляющих этого тензора - аргумента, то ф{&) = ф(Сп, С12,., С33) и соотношения (**) определяют комплексы (связки) из координатных составляющих тензора С, в виде которых и только которых могут присутствовать эти координатные составляющие как аргументы скаляра iJj. В частности, для изотропного материала группой равноправности является полная ортогональная группа и поэтому координатные составляющие тензора С должны присутствовать в качестве аргументов у ф в таких комплексах (связках), которые не меняются при любом повороте начального базиса. Как известно, это главные инварианты тензора С. Поэтому для изотропного материала ф(0) = ^(/i(С),/2(C),/3(С)) и соотношение (*) становится определяющим уравнением упругого изотропного материала для конечных деформаций. Причем, начально изотропного материала, потому что в процессе деформирования он приобретает так называемую деформационную анизотропию.

В этом рассмотрении конспективно выписаны основные теоретические положения, которые необходимо выполнить для построения корректных определяющих уравнений. В случае упруго-неупругого процесса встает еще проблема выделения из полной кинематики упругой и неупругой составляющих. Определяющее уравнение в случае упруго-неупругого процесса может связывать не только силовые и кинематические величины, но и производные от них по времени. Принцип материальной независимости от системы отсчета требует использования объективных (индифферентных) производных. Таких производных множество. Поэтому встает проблема обоснования критерия их отбора. Описание же термо-упруго-неупругих процессов требует привлечения уравнения теплопроводности, вытекающего из первого закона термодинамики. В следующих разделах приводится обзор основополагающих работ, в которых рассматриваются подходы к решению отмеченных выше проблем, как общих для всех сред, так и для конкретных сред, рассматриваемых в диссертации.

5. Заключение

1. Общий подход, позволяющий формализовать построение определяющих соотношений, удовлетворяющих принципам термодинамики и объективности, для сложных сред при конечных деформациях, развит на термоупругие и термоупругопластические процессы. Мультипликативное разложение полного градиента места на упругую и неупругую части дополнено температурной составляющей. Для общего случая термо-упруго-неупругого процесса построены определяющее уравнение и уравнение теплопроводности.

2. Кинематические соотношения, определяющие уравнения и уравнения теплопроводности конкретизированы для термоупругого и термоупру-гопластического процессов при конечных деформациях. При этом для описания малых температурных деформаций, переводящих одну промежуточную конфигурацию в другую, близкую к ней, использован закон линейного расширения, для малых пластических - закон пластического течения с упрочнением.

3. Построены тензоры отклика материала на малые упругие деформации относительно промежуточной конфигурации, соответствующие упругому потенциалу слабосжимаемого материала (термоупругий процесс) и упрощенному закону Синьорини (термоупругопластический процесс). При этом параметры материала полагались зависящими только от температуры.

4. Осуществлены дифференциальные и вариационные (слабые) постановки связанных термоупругой и термоупругопластической задач.

5, Решены тестовые задачи об изменении температуры при адиабатическом растяжении упругого и упругопластического стержня вдоль его оси и о нагревании предварительно растянутого упругого стержня. При изотермическом растяжении упругого стержня показан вклад внутренней энергии и энтропии в производство осевого напряжения. Получена система линейных уравнений относительно приращения удлинения стержня в поперечном направлении и приращения температуры для термоупругого и термоупругопластического процессов растяжения. Разработаны алгоритмы численной реализации описанных задач.

6. Выполнено сравнение полученных решений с экспериментальными данными. Модель термоупругого процесса для слабосжимаемого материала при конечных деформациях хорошо описывает энтропийную упругость, температурную инверсию, а также изменение температуры и объема при адиабатическом растяжении упругого стержня. Модель термоупругопластического процесса нагружения материала Синьорини при конечных деформациях хорошо описывает увеличение температуры при адиабатическом растяжении упругопластического стержня.

1. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Мир, 1975. — 585 с.

2. Лурье А. И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 939 с.

3. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

4. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. — М.: Мир, 1965. — 456 с.

5. Гольденблатп И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. — М.: Наука, 1969. 336 с.

6. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. — JL: Машиностроение, 1986. — 336 с.

7. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моек ун-та, 1978. 287 с.

8. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: Наука, 1963.— 312 с.

9. Жермен П. Курс механики сплошных сред. — М.: Высшая школа, 1983. 399 с.

10. Пальмов В. А. Принципы термодинамики в теории определяющих уравнений // Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. - С. 112-118.

11. Dafalias Y, F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations // J. Applied Mechanics.— 1983.— Vol. 50, no. 3.— Pp. 561-565.

12. Коробейников С. H. Нелинейное деформирование твердых тел. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 262 с.

13. Коробейников С. Н. Естественные тензоры напряжений // Прикладная механика и техническая физика. — 2001. — Т. 42, № 6. — С. 152-158.

14. Коробейников С. Н. Объективные производные Ли тензоров в механике сплошной среды // Труды третьей Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". — Красноярск: 2002. — С. 133-139.

15. Vujosevic L., Lubarda V. A. Finite-strain thermoelasticity based on multiplicative decomposition of deformation gradient // Theoretical and Applied Mechanics. 2002. - Vol. 28-29. — Pp. 379-399.

16. Lubarda V. A. Constitutive theories based on the multiplicative decomposition of deformation gradient: Thermoelasticity, elastoplasticity and biomechanics // Applied Mechanics Reviews. — 2004. — Vol. 57, no. 2. — Pp. 95-108.

17. Meggyes A. Multiple decomposition in finite deformation theory // Acta Mechanica. — 2001. Vol. 146. - Pp. 169-182.

18. Трелоар JI. Физика упругости каучука. — М.: Изд. иностр. литературы, 1953. 240 с.

19. Исследование объемной сжимаемости резины в сжатом тонком слое / М. А. Лейканд, Э. Э. Лавендел, С. В. Львов, В. 3. Болотин // Механика эластомеров. — 1983. — № 2. — С. 4-8.

20. Лейканд М. А., Львов С. В., Лавендел Э. Э. Экспериментальное исследование изменения объема резины при сжатии и растяжении / / Вопросы динамики и прочности. — 1981. — № 38. — С. 49-53.

21. Лавендел Э. Э., Хричикова В. А., Лейканд М. А. Расчет жесткости сжатия тонкослойных резинометаллических элементов // Вопросы динамики и прочности. — 1981. — № 38. — С. 57-63.

22. Кузнецова В. Г., Роговой А. А. Эффект учёта слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 1999. — № 4. — С. 64-77.

23. Кузнецова В. Г., Роговой А. А. Эффект учёта слабой сжимаемости эластомеров. Осесимметричная задача. Аналитическое решение // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2000. — № 6. — С. 25-37.

24. Черных К. Ф., Шубина И. М. Об учете сжимаемости резины // Механика эластомеров. — 1978. — № 2. — С. 56-62.

25. Репп R. W. Recent advances in the phenomenological theory of rubber elasticity // Rubber Chemistry and Technology. — 1986. — no. 3. — Pp. 361-383.

26. Ogden R. W. Non-linear elastic deformations. — Chichester: Horwood, 1984. 532 c.

27. Ogden R. W. Recent advances in the phenomenological theory of rubber elasticity // Rubber Chemistry and Technology.— 1986.— no. 3.— Pp. 361-383.

28. Роговой А. А. Уравнение состояния и функционал для слабосжимаемых и несжимаемых материалов при конечных деформациях // Механика эластомеров. — Краснодар: КГУ, 1988. — С. 72-88.

29. Роговой А. А. Модель слабосжимаемого и несжимаемого упругого тела при конечных деформациях // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов / Под ред. В. В. Мошева. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. — С. 375-442.

30. Rogovoy A. Effect of elastomer slight compressibility // Eur. J. Mechanics A / Solids. 2001. - Vol. 20. - Pp. 757-775.

31. Новокшанов P. С., Роговой А. А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2002. — № 4. — С. 77-95.

32. Новокшанов Р. С., Роговой А. А. Эволюционные определяющие соотношения для конечных вязкоупругих деформаций // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2005. — № 4. — С. 122-140.

33. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. — М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

34. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969. — 420 с.

35. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 704 с.

36. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1971. — 232 с.

37. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. — М.: Машиностроение, 1975. — 400 с.

38. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. — М.: Мир, 1979. 302 с.

39. Безухое Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. — М.: Высшая школа, 1968.— 512 с.

40. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т.2. — М.: Наука, 1984. — 560 с.

41. Васин Р. А. Определяющие соотношения теории пластичности // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твёрдого тела. ВИНИТИ. 1990. - № 21. - С. 3-75.

42. Валанис К. Обоснование эндохронпой теории пластичности методами• механики сплошной среды // Труды ASME. Теоретические основы инженерных расчётов. — 1984. — Т. 106, № 4. — С. 72-81.

43. Линь Т. Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7. — М.: Мир, 1976. С. 7-68.

44. Келлер И. Э., Трусов П. В. Обобщение теории Бишопа-Хилла пластического формоизменения монокристалла //' Известия РАН. Механика твёрдого тела. 1997. — № 6. — С. 93-103.

45. Ашихмин В. Н., Волегов П. С., Трусов П. В. Конститутивные соотношения с внутренними переменными: общая структура и приложение ктекстурообразованию в поликристалла-х // Математическое моделирование систем и процессов. — 2006. — № 14. — С. 11-26.

46. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопластиче-ские деформации: теория, алгоритмы, приложения. — М.: Наука, 1986. — 232 с.

47. Левитас В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. — Киев: Наукова Думка, 1987. — 232 с.

48. Левитас В. И. Теория больших упругопластических деформаций при высоком давлении // Проблемы прочности. — 1986. — № 8. — С. 86-94.

49. Левитас В. И. Определяющие уравнения в скоростях для изотропных и анизотропных упругопластических материалов при конечных деформациях // Доклады АН УССР. Серия А. — 1986. — № 6. С. 35-38.

50. Коновалов А. В. Определяющие соотношения для упругопластической среды при больших пластических деформациях // Механика твёрдого тела. 1997. - № 5. - С. 139-147.

51. Толоконников Л. А., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела. — Калинин: КГУ, 1986. С. 49-57.

52. Трусов П. В. Большие упругопластические деформации: некоторые аспекты теории и приложения. — 1984. — С. 116-126.

53. Трусов П. В. К обобщению теории упругопластических процессов Ильюшина на случай больших пластических деформаций. — 1986. — С. 116-122.

54. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

55. Lee Е. Н. Elastic-plastic deformation at finite strains // J. Applied Mechanics. — 1969. — Vol. 36, no. 1. — Pp. 1-6.

56. Clifton R. J. On the equivalence of fpfe and fefp // J. Applied Mechanics. — 1972. Vol. 39. - Pp. 287-289.

57. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elastoplasticity // Int. J. Solids and Structures. — 1979. — Vol. 15.-Pp. 155-166.

58. Green A. E., Naghdi P. M. A general theory at an elastic-plastic continuum // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1965. — Vol. 18, no. 4.-Pp. 251-281.

59. Green A. E., Naghdi P. M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain // Int. J. Engineering Science.— 1972.— Vol. 39.— Pp. 287-289.

60. Палъмов В. А., Штайн E. Разложение конечной упругопластической деформации на упругую и пластическую составляющие // Математическое моделирование систем и процессов. Сборник научных трудов. — № 9. Пермь: ПермГТУ, 2001. - С. 110-126.

61. Палъмов В. А. Сравнение методов декомпозиции деформации в нелинейной вязкоупругости и упругопластичности // Упругость и неупругость. Сборник научных трудов. — М.: МГУ, 2001. — С. 81-87.

62. Lu S. С. Н., Pister К. S. Decomposition of deformation and representation of the free energy function for isotropic thermoelastic solids // Int. J. Physics of Solids. 1975. - Vol. 11, no. 7/8. - Pp. 35-40.

63. Чернышев А. Д. Моддель термопластического тела при конечных деформациях // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. — 1980. — № 1.-С. 110-115.

64. Paglietti A. Universal deformations of thermoelastic-plastic materials // Archives of Mechanics. 1975. — Vol. 27, no. 5/6. — Pp. 773-789.

65. Svendsen B. On the modelling of anisotropic elastic and inelastic material behaviour at large deformation // J. Solids and Structures.— 2001.— Vol. 38. Pp. 9579-9599.

66. Кондауров В. И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями // Прикладная механика и техническая физика. — 1982.- № 4 (134).- С. 133-139.

67. Lion A. Constitutive modeling of the dynamic properties of elastomers // Proceedings of the 5th european conference on constitutive models for rubber. 2007. - Pp. 9-18.

68. Lion A. Tixotropic behavior of rubber under dynamic loading histories: experiments and theory // J. Mechanics and Physics of Solids. — 1998. — Vol. 46. Pp. 895-930.

69. Bergstrom J. S., Boyce M. C. Constitutive modeling of the large strain time-dependent behavior of elastomers // J. Mechanics and Physics of Solids. 1998. - Vol. 45, no. 5. - Pp. 931-954.

70. Boyce M. C., Socrate S., Liana P. G. Constitutive model for the finite defirmation stress-strain behavior of poly (ethylene terephthalate) above the glass transition // Polymer. — 2000. Vol. 41. — Pp. 2183-2201.

71. Lion A. A physically based method to represent the thermomechanical behavior of elastomers // Acta Mechanica. — 1997. — Vol. 9. — Pp. 1-25.

72. Lion A. On the large deformation behaviour of reinforced rubber at different temperatures // J. Mechanics and Physics of Solids. — 1997. — Vol. 45, no. 11/12.-Pp. 1805-1834.

73. Miehe C. A constitutive frame of elastoplasticity at large stains based on the notion of a plastic metric // Int. J. Solids and Structures. — 1998. — Vol. 35,no. 30. Pp. 3859-3897.

74. Haupt P., Lion A., Backhaus E. On the dynamic behaviour of polymers under finite strains: constitutive modelling and identification of parameters // Int. J. Solids and Structures. — 2000. — Vol. 37. — Pp. 3633-3646.

75. Helm D., Haupt P. Shape memory behaviour: modelling within continuum thermomechanics // Int. J. Solids and Structures. — 2003. — Vol. 40. — Pp. 827-949.

76. Holzapfel G. A., C. Simo J. A new viscoelastic constitutive model for continuous media at finite thermomechanical changes // Int. J. Solids and Structures.— 1996.-Vol. 33, no. 20-2,- Pp. 3019-3034.

77. A thermo-viscoelastic model for elastometric behaviour and its numerical application / A. Boukamel, S. Мёо, O. Debordes, M. Jaeger // Archives of Applied Mechanics. — 2001. Vol. 71. — Pp. 785-801.

78. Boukamel A., Мёо S., Lejeunes S. Fe-implementation of a statistical hyper-visco-plastic model // Proceedings of the 5th european conference on constitutive models for rubber. — 2007. — Pp. 255-261.

79. Hoo Fatt M. S., AlTQuraishi A. A. High strain rate constitutive modeling for natural rubber // Proceedings of the 5th european conference on constitutive models for rubber. — 2007. — Pp. 53-60.

80. Свистков A. JI. Дифференциальные определяющие уравнения сред, работающих в условиях конечных деформаций // Математическое моделирование систем и процессов. — 2005. — № 13. — С. 84-92.

81. Svistkov A. L., Lauke В., Heinrich G. Modeling of viscoelastic properties and softening of rubber materials // Proceedings of the 5th european conference on constitutive models for rubber. — 2007. — Pp. 113-118.

82. Маркин А. А. Термомеханика процессов упругопластического и сверхпластического деформирования металлов // Прикладная механика и техническая физика. — 1999. — Т. 40, № 5. — С. 165-172.

83. Rooney F. J, Bechtel S. E. Constraints, constitutive limits and instability in finite thermoelasticity // Journal of Elasticity. — 2004. — Vol. 74. — Pp. 109-133.

84. Маркин А. А., Соколова M. Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной термоупругости для анизотропных тел // Прикладная механика и техническая физика. — 2003. — № 1. — С. 170-175.

85. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. — М.: Мир, 1970. — 256 с.

86. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

87. Карнаухов В. Г. Связанные задачи термовязкоу пру гости. — Киев: Нау-кова Думка, 1982. — 260 с.

88. Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. — Киев: Наукова Думка, 1965. 204 с.

89. Коваленко А. Д. Основы термоупругости.— Киев: Наукова Думка, 1970. 308 с.

90. Коваленко А. Д. Термоупругость. — Киев: Вища Школа, 1975. — 216 с.

91. Li Z., Lambros J. Dynamic thermomechanical behavior of fiber reinforced composites // Composites: Part A. — 2000. — Vol. 31. — Pp. 537-547.

92. Li Z., Lambros J. Strain rate effects on the thermomechanical behavior of polymers // J. Solids and Structures. 2001. - Vol. 38. - Pp. 3549-3562.

93. Ковтанюк JI. В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневосточный математический журнал. 2004. - Т. 5, № 1. - С. 110-120.

94. Роговой А. А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций // Прикладная механика и техническая физика. 2005. - Т. 46, № 5. - С. 138-149.

95. Роговой А. А. Термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Прикладная механика и техническая физика. — 2007. Т. 48, № 4. - С. 144-153.

96. Роговой А. А. Кинематика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Прикладная механика и техническая физика. — 2008. — Т. 49, № 1. — С. 165-172.

97. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1988. — 552 с.

98. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 832 с.

99. Роговой А. А. Дифференцирование скалярных и тензорных функций тензорного аргумента // Вестник ПермГТУ. Динамика и прочность машин. — № 2. — Пермь: ПермГТУ, 2001. С. 83-90.

100. Карнаухов В. Г., Сенченков И. К., Гуметок Б. П. Термомеханическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом нагружении. — Киев: Наукова Думка, 1985. — 288 с.

101. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978. — 280 с.

102. Роговой А. А., Столбова О. С. Определяющие уравнения упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Сборник Научно-Образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах". Итоги работы за 2005 год. — Пермь: 2006. — С. 70-74.

103. Роговой А. А., Столбова О. С. Термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Сборник Научно-Образовательного центра "Неравновесные переходы в сплошных средах". Итоги работы за 2006 год. Пермь: 2007. - С. 102-107.

104. Mohsin М. A., Berry J. P., Treloar L. R. G. An experimental study of the thermodynamics of rubber in extension and torsion // British Polymer Journal. 1986. - Vol. 18, no. 3. - Pp. 145-150.

105. Lyon R. E., Farris R. J. Thermomechanics of rubber at small strains // Polymer. 1987. - Vol. 28. - Pp. 1127-1132.

106. Зотин В. HКовров В. Н. О влиянии температуры на сжимаемость резины ИРП-1226 // Реологическое поведение деформируемых сплошных сред: Сборник научных трудов. — Свердловск: УрО АН СССР, 1990.— С. 77-78.

107. Физические величины: Справочник / А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина, А. М. Братковский и др.; Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991.— 1232 с.

108. Теплофизические и реологические характеристики полимеров. Справочник / А. И. Иванченко, В. А. Пахаренко, В. П. Привалко и др.; Под ред. Ю. С. Липатова. — Киев: Наукова Думка, 1977.— 244 с.

109. Роговой А. А., Столбова О. С. Эволюционная модель термоупругости при конечных деформациях // Прикладная механика и техническая физика. 2008. - Т. 49, № 3. - С. 184-196.

110. Rogovoi A. A., Stolbova 0. S. Evolutionary model of finite-strain thermoelasticity // J. Applied Mechanics and Technical Physics. — 2008. — Vol. 49, no. 3.-Pp. 500-509.

111. Роговой А. А., Столбова О. С. Построение моделей сред при конечных деформациях: термоупругих и упругопластических // Сборник трудов конференции молодых ученых "Поздеевские чтения". — Пермь: 2006. — С. 109-112.

112. Колъцова(Столбова) О. С., Роговой А. А. Модель слабосжимаемого материала при больших термоупругих деформациях // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — Пермь: 2002. — С. 26-27.

113. Кольцова(Столбова) О. С., Роговой А. А. Модель слабосжимаемого материала при конечных термоупругих деформациях // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". — Пермь: 2003. — С. 52.

114. Роговой А. А., Столбова О. С. Конечные термоупругие и упругопластические деформации // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". — Пермь: 2005.— С. 81.

115. Жуков А. М. Некоторые особенности поведения металлов при упруго-пластическом деформировании // Вопросы теории пластичности. М.: АН СССР, 1961. - С. 30-57.

116. Rosakis P., Rosakis A. J., Ravichandran G. A thermodynamic internal variable model for the partition of plastic work into heat and stored energy in metals // J. Mechanics and Physics of Solids.— 2000.— no. 48.— Pp. 581-607.

117. Роговой А. А., Столбова О. С. Модель конечных термоупругопластиче-ских деформации // Сборник трудов всероссийской конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая)". — Т. 3. — Пермь: 2007. С. 152-154.

118. Роговой А. А., Столбова О. С. Моделирование поведения термоупругопластического материала при конечных деформациях // Сборник трудов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". — Пермь: 2007. — С. 366-369.

119. Роговой А. А., Столбова О. С. Конечные термоупругопластические деформации // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". — Пермь: 2006. — С. 75.