Некоторые обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с сингулярными точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хидиров Худой кул Сатторовнч

Некоторые обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с сингу лярными точками

01.01.02- дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ОЕВ 2011

Душанбе - 2011

4856119

Работа выполнена в Кулябском государственном университете имени Абуабдуллохи Рудаки.

Научный доктор физико-математических наук,

рукогодц,-ель: академик АН РТ, профессор Михайлов Леонид Григорьевич

Офкцчал ьпые доктор физико-математических наук, профессор Усманов Нурулло

канвидаг физико-математических наук, доцент Шарипов Бобоали

Ведуцаг. Душанбинский государственный

оргт.н'.з«ы:1Ят педагогический уим^е рстст

им.ки Г.Айгш.

З-ларта состоится ¿С,6 с^£\20!.1г. в Пчасов на заседании

диссеига.шечного совета ДО? 047.067.01 прк Институте математики АН РТ, 73406:, г. Душанбе. у. Айнн 299/4.

С Д№хертаи%':к можно ознакомиться в библиотеке Института математики АНРТ.

Автореферат разослан

2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета

/

Халилов Ш.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. После работы М.В.Келдыша 1951г.1, а также работ М.М.Смирнова2 и А.В.Бицадзе1 и др. теория вырождающихся дифференциальных уравнений (сингулярных) приобрела значительную известность. В монографии Л.Г.Михайлова4, изданной в Академии наук Таджикской ССР в 1%3г., которая затем была переиздана в Голландии (Walters-Noord Hoff Public,Groningen, 1970) и в Германии (Academic-Verlag,Berlin, 1970), были развернуты исследования уравнений

+ + с(х)и = /(х), где *•=(*„...,*,), ' г2 "''"(0".'

i-0 ■

а затем они были продолжены его учениками А.И.Ачильдиевым5, Н.Раджабовым6, З.Д.Усмановым7, А.Мухсиновым8 и др.

С другой стороны, еще с 19-го века приобрела известность теория уравнений

xy't = "и W.V'i + (х)уг + • • ■ + atn (х)уп + fk (л), (к = 1,2..., п,0 <; х < 1) (2) где akj(x) и fs (*), (к, j = 1,2,...,«) аналитические функции, (т.е. сходящиеся степенные ряды), получившая наименование теории Фукса.

В работах Л.Г.Михайлова9'10 система (2) была изучена в том более общем случае, когда все atj{x) только лишь непрерывные функции, а либо

даже в точке х = 0 просто ограничены. Для этого Л.Г.Михайловым был рчзрабоган новый специальный метод: записав решение модельной системы (с коэффициентами <jt;(0)), а вычтенные слагаемые, перенеся в свободные члены, он приходит к системе интегральных уравнений с ядрами однородными степени (-1). Что касается системы уравнений типа (2), то надо сказать, что Л.Г.Михайловым был изучен только тот случай, когда для модельного уравнения корни характеристического уравнения все различны. В данной диссертациоииой работе изучается все другие случаи корней характеристического уравнения, А кроме того были изучены системы типа (2), но с двумя, либо с тремя сингулярными точками, т.е. системы типа (2) с левыми частями л(лг-1)>^, либо х(х-1)(х+\)у'к, а также уравнения высших порядков, сводящиеся к системам

1 Кеддыш М.В.// ДАН СССР, т. 77, № 1, 1951, с. 11-14, //ДАН СССР, т.77, №2, 1951, с. 181-183.

2 Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения, М., «Нвухз» 1966, 292с.

3 Бпцадзс А.В. Краевые задачл для эллиптических уравнений второго порядка, М, «Наука», 1966.. 204с.

4 Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциал пым уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе «Дониш»-1963,184с.

5Ачипьдиев А.И. //ДАН СССР. т. 152, №1,1963,-Докл. АН Тадж. ССР, т. 4, № 1,1961.

6 Раджабов Ц. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями, часть 4, Душан5е-198Я

7Усманов З.Д. //Сиб. матем. журн, т .14. № 5*,1973г, с. 1078-1079, //Докл. АН Тадж. ССР, г. 14, Л1> 11,1973,

с,16-20, //Докл. АН Тадж. ССР, т. 15,№4,1972, с.10-11.

' Лчухсинчв А. О некоторых формулах представления решений одного трехмерного сингулярного п ческого уравнения. //ДАН России, 2005, т.402, № 5, с. 596-600. (лов Г. //Доклады АН России, 1994, т.336,

1 п7 Л.Г. Интегральные уравнения с ядрами однородными степени (-1). Душанбе, h I > 1966.

первого порядка типа (2), (уравнения типа Эйлера только лишь с непрерывными коэффициентами)

х"/"> + р^К'-у"-» + - + Р, (х)у = /(*) (3)

Методика исследования. В диссертационной работе применяется способ исследования системы (2), (а также систем дифференциальных уравнений с двумя и тремя сингулярными точками), состоящий в том, что сначала решаются модельные системы уравнений, А потом общая система уравнений (2) с непрерывными коэффициентами (пользуясь методом вычитания), сводится к системе интегральных уравнений с ядрами, однородными степени (-1), либо локально однородными разработанный Л.Г. Михайловым11.

Цель работы. Изучить линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной либо с двумя и тремя сингулярными точками с непрерывными коэффициентами, а также одно уравнение высшего порядка типа Эйлера (3).

Научная новизна. В предлагаемой диссертационной работе впервые исследованы-

• Линейные системы первого порядка типа (2) для тех не изученных до сих пор случаев, когда ак, (.*) только лишь непрерывные, а корни характеристического уравнения являются кратными либо комплексными и т.д.

• Изучены уравнения высших порядков, т.е. обобщенные уравнения типа Эйлера только лишь с непрерывными коэффициентами.

• Изучены линейные системы дифференциальных уравнений с двумя и тремя сингулярными точками (и только лишь с непрерывными коэффициентами).

• Доказаны теоремы существования частных решений неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной, двумя и тремя сингулярными точками, а также неоднородных уравнений высших порядков типа Эйлера с непрерывными коэффициентами.

Теоретическая и практическая значимость Известно, что системы первого порядка, (а также высшего порядка) с сингулярными точками, т.е. типа Эйлера, очень часто применяются в математической физике, где чаще всего встречаются уравнения в частных производных, которые сводятся к указанным одномерным, т.е. обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Апробации работы. Основные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на общеинститутском семинаре Института математики АН РТ; на кафедре Математического анализа Кулябского государственного университета (руководитель профессор Акбаров Р., 2005-2009гг.); ка ежегодных научных конференциях Кулябского государственного университета (2005-2010гг.).

" Михайлов Л.Г, Дифференциальные и интегральные уравнения с сипгулярш,'»:) коэффициент»*. Душчнбе; «Дошли»-1959.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы а восьми работах, одна из которых - в Докладах АН Республики Таджикисг.-ш - выполнена в соавторстве с научным руководителем Л.Г. Михайловым.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, четыри глав, списка литературы, состоящего из 44 наименований. Работа изложена на 108 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении изложены актуальность выбранной темы, цель работы, научная новизна, методика исследования и краткое содержание работы.

Глава 1 - Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой - посвящена изучению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой и состоит из 3-х параграфов.

В § 1 изучены системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет к кратных и п-к различных корней.(некратных).

Общее решение однородной системы (1) имеет вид:

У/(х) = £(М'~' + О = 1.2.....п),

а частное решение неоднородной системы -

.. + (я=1.2.....я),

где 0)у = -

(К-Л, >0),

0]у = (ЫГМОЛ + ' КОЛДУЯ, < 0Ш :

и,...,«),

Теорема 1.1. Пусть в системе (%) коэффициенты а,,^(х)-заданные непрерывные функции н пусть, определяемое значениями а ^(0)-характеристическое уравнение, имеет к кратный корень Я, =я,,=■••• = \ = Л.и п-к различных корней, (вещественных или комплексных), причем

ЯеЛу #0,0 = 1,2,...,«). Тогда:

1) каков бы ни был отрезок [ОД] и свободные члены из С либо М0, всегда сугцествует частное решение неоднородной системы $) из тоге же класса.

2) однородная система (У имеетр-линейно-независимых решений одних и тех же в С и Мй, где р-есть число корней ,\гдля которых КеЯ^О. Каждое из

этих\(х) стлично от нуля всюду на отрезке [0,<1] за иасчючением точки х=0, в

' ' (Н

которой имеет место асимптотика \(х)-0(х " '"")ДеЛ0 = тшКе^*

Яел,

В § 2 изучены системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет только кратные корни.

Общим решением однородной системы (1) будет

а частным решением неоднородной системы (1) -

и н

о; у ^ ''[у] (1й<)1"'Х0Л,(КеА> О,к = 1, ?,..., п),

о;у = (1пг)"у(0<Л,(КеЛ < 0,к = 1,2,-,и) •

Теорема 1.2. Пусть в системе (7) коэффициенты а^х)-заданные непрерывные функции и пусть, определяемое значениями ак/ (0)-характеристическое уравнение, имеет кратные корни (вещественные или комплексные), причем КеЛ*0. Тогда:

1) каков бы ни был отрезок [0,(1] и свободные члены из С либо Ма, всегда существует частное решение неоднородной системы (I) из того же класса.

2) однородная система (1) имеет р-линейно независимых решений, одних и тех же в Си М0, где/3-чиспо корней Л, для которых ЛеЛ > 0.

В § 3 изучены системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристические уравнения имеют различные действительные корни и два комплексных корня Л„ч = а + /Ь,Л„= а-Л. Общее решение однородной системы имеет вид

„-г

У! = +е!""[с„-1 с(к(Ыпл:) + с„ $ш(2>1пл)],(у = 1,2,..„и)

Чг.стное решение неоднородной системы (1) имеет вид

п II

>0п > аи " алгебраическое дополнение элемента

уИ~ в матрице и

Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами»

Теорема 1.3. Пусть в системе (I) коэффициенты ац(х)-заданные непрерывные функции и пусть определяемое значениями я4Д0)- характеристическое уравнение имеет (п-2) различных действительных корней и два

комплексных Л„_,„=а±Ы, причем 11еЛ, * 0 (/с = 1,2,.. ,п).

1) каков бы ни был отрезок [0,d] и свободные члены из С либо всегда существует частное решение неоднородной системы $) га того же класса;

(Н

2) однородная система (X) имеет р линейно-независимых решений YU), одних и тех же в Си М0, где (3 есть число корней Я4, для которых Re<i4 > Q,(k -1,2,...,л).

си

Каждог из этих Y(*)- отлично от нуля всюду на отрезке [0,1/ за исключением

точки х~0, в которой имеет место оценка: Y(0) = o(xRe;i°~':),Re,?0 --miaRe^..

Глава 2 - Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка с одной сингулярной точкой - состоит из четырех параграфов. В этой главе рассматривается уравнение типа Эйлера

+ P, + р2 (лгК-У"-1' + ■ • ■ + (х) хух + рп (х).у ^ Дх) (4)

где р{{х),рг{х),...,рп(х) непрерывные функции (класс С), a fix)-непрерывная функция, но может быть также просто ограниченной в точке .г --- 0 (класс М„) Для однородного уравнения сначала рассмотрим модельное уравнение:

v(,,) + р, (0 )*"-у+ р2 (0).v""2.v("-2) + • ■ • + р„А (<W + р„ (0)у = 0 (5)

В § 1 изучается модельное уравнение типа Эйлера с одной сингулярной топкой.

В § 2 изучено неоднородное линейное уравнение высшего порядка с одной сингулярной точкой, но с непрерывными коэффициентами.

Рассматривая случай, когда корни характеристического уравнения различны,- методом вариации постоянных, находим частное решение неоднородного уравнения (4)

/, W = Iо„ 00 л, + fj(х) Sj,(X) s aJS(х)-а„ (0)

Тогда:

(Р = 1Д...,п) где

x"'Cj = *;<£>„я=<л.и=IX..,п),

°'у= Йт!'ут ' <=

о ' Ч ' /

а общее решение (4) дается формулой

Теорема 2.1. Пусти в уравнении (4) коэффициенты р^х)-заданные непрерывные функции и пусть определяемое значениями р,(0)- характеристическое уравнение имеет п различных корней ..,/<„ (вещественных ми

комплексных), причем (&40),и*%■■■■,»); Тогда:

1) каков бы не был отрезок [0,с/] и свободные члены из С и М0, всегда существует частное решение неоднородного уравнения ф из того же класса.

2) однородное уравнение (ф имеет р линейно-независимых решений, одних и тех же в С и М0, где ¡3-есть число корней рр для которых Ке/^ > 0.

В § 3 изучено неоднородное линейное уравнение типа Эйлера с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет к различных корней и (п-к) кратных корней.

Сбщее решение однородного уравнения имеет вид:

/ч ¡.М

а частное решение неоднородного уравнения (4) равно: Чр(х) = 0,/ где

¡А

а общее решение уравнения (4) дается формулой:

АХ) = ±С/'- + ± фхУ^х" +

¡--I >»+| >1

Теорема 2.2. Пусть в уравнении (4) коэффициенты рк(х)-заданные непрерывные функции и пусть опредечяемое значениями рк(х)-характеристическоеуравнение имеет к - различных корней и (я-к)-кратных корни ■•■,/'„ =/'

(вещественных кии комплексных),причем * 0,7 = 1,2,...,;;). Тогда:

1) каков бы пи Оы/1 отрезок [о,<1] и свободные члены из С и М0, всегда существует частное решение неоднородного уравнения (V) из того же класса;

2) однородное уравнение Щ) имеет р линейно независимых решений [одних и тех же в Си М0/, для которых >0.

В § 4 изучено линейное уравнение высшего порядка типа Эйлера, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни. Общее решение однородного уравнения имеет вид:

у(х) = (с, + с21п X + с, (1п + • ■ ■ + с„ (1п лг)"~' )х", а частное решение неоднородного уравнения -

Пх) = 2>,/ где 91 = = 1.2,...,»), в;у = -\ = .....И), . Ке//>0,

е]у=)Ц-У(шу-'у№,и = 12,...,п),- фвА< 0).

о' ч')

Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (4) к систему с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами»:

/(*) = £ р(х)х"]ум-'\х) + Дх), р. (*) = Р) (*) + Р] (0)

-Н

в-у = у^т^Кек, < о)

о ' V ^ /

Теорема 2.3. Пусть в уравнении (4) коэффициенты руО)- заданные непрерывные функции и пусть, определяемое значениями (0)-характеристическое уравнение, имеет один кратный корень, (кратности п) (¿г,...,/.'„ = С причем Ие/^О. Тогда:

1) каков бы ни был отрезок [о,й] и свободные члены т С и Мв, всегда существует частное решение неоднородного уравнения И) из того же класса.

2) однородное уравнение ф имеет р линейно-независимых решений, (одних и тех же вСи Мй) для которых Яе // > 0.

Глава 3 - Линейная систем обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками - состоит из 5-ти параграфов.

В этой главе рассматривается система обыкновенных дифференциальных1 уравнений

+//<*)• 0 = 1,2,...,«), (6)

где ак/{х)~заданные непрерывные функции (без ограничения общности можем считать их вещественными). Что касается свободных членов и решений, то при .т*0 и х * 1, они также считаются непрерывными, а непрерывно

дифференцируемыми;в сингулярных точках х=0 и х=1 они могут быт непрерывными (кпасс С) либо просто ограниченными (класс М0). Рассмотрим модельную систему

Хх-Ы =5>*(0)Л . 0 = 1Д...,"), (0<.т<1,(б,а),

Д(Л) = «1еф<(0)-/4 = 0, где Д0) = ||^.(0)|, (7)

/ - единичная матрица.

В § 1 изучена линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет п различных корней.

Общее решение однородней системы (6) будет: 1 '

1-

х

и = 12,..., п),

а частное решение неоднородной системы уравнения (1) дается формулами:

' =(/",)> вы=Е^ад*. (р=1>2,-■■,"),

о|/-1)

Теорема 3,1. Пусть в системе (6) коэффициенты а^х)-заданные непрерывные функции и г-устъ, определяемые значениями ак1(0)-характеристическог уравнение (?) имеет п-различных корней причем ЯеЯ^ ф 0,{к = 1,2,...,п).

Тогда:

1)на отрезке [0,1] и свободные члены из Си М„, всегда существует частное решение неоднородной системы (() из того же класса

2) однородная система (б) имеет р линейно независимых решение У (х), одних и тех же в С и Мй, где р есть число корней Я,, для которых Кс Л, > 0.

В § 2 изучена линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет два различных корня, остальные кратные.

Оощес решение однородной системы (6) будет:

а г

' 0п*)'"'>о-=1.2,....")>

а частное решение неоднородной системы (6) дается формулами: ,

= 2АЛ> где epl=£rftalye;¿p=hl...,n),

J-1

í-1 л+Г

t

y{l)dt,{KeX¡ > Ojie/. > 0J = 3,4,...,n),

ln

з-j

y(t)dt,(ReЛ, < O.Rex < 0,j = 3,4.....n),

¿НГ ■ о|'-1|

1 .V 1

о'у= \ . Г-Ц-

Теорема 3.2. Пусть в системе (6) коэффициенты ак1(х)- заданные непрерывные функции и пусть определяемое значениями (0)-характеристическое уравнение (7) имеет два различных корня Л,,Л1 и остальные кратные Л3 -Л,- = --- = Ля =Д кратность (п-3), причем ф 0,(к = 1,2.) и (ЯеД * 0). Тогда:

1) каков бы не был отрезок [0,1] и свободные члены из С и М0, всегда сугцествует частное решение неоднородной системы (£) из того же класса;

Ч») .

2)однородная система (б) имеет р линейно-независимых решений (*), одних и тех же в С и М0, где р есть число корней Л„,для которых !1е/ч >0. Каждое из

(1)

этих У (х\ отлично от нуля на отрезке [0,1] и за исключением точки х = 0, х = 1, в

которой имеет место равенство Y (0) = О

К-'

, Re/Í„ = minRely

В § 3 изучены линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет два кратных корня, остальные различные.

Общее решение однородное системы (6) будет:

1 '

уЛ*) =

i--! о

lnl--

,0 = 1.2,...,«),

А-З

а частное решение системы (6) дается формулами::

= где вР) = , (Р = 1А-.«).0' = U-.»),

Щу

= -'ÍT

í\t~ lf I ,Л-1

о: у

¡(f-r

lnl'-¿ lnl--

y(t)dí - J---¡^>(/)á/,(ReA > O.ReA, > 0),(k = 1,2,...,n),

»MI i,

y{í)dt + , -Х0<У,(ReA < o,ReЯ„ <'0),(k = 1,2,...,Теорема

3.3. Пусть в системе (6) коэффициенты a Jk{x)-заданные непрерывные функции и пусть, определяемое значениями аДО) -характеристическое уравнение (7), имеет два кратные Я, = Л2=Л корня и остальные различные Л, „Л,„ причем ReA; * 0,0 = 1,2,...,л). ' 11 •■■■" ''

Тогда:

1) на отрезке [0;1] и свободные члены из С и М„, всегда существует частное решение неоднородной системы (1) аз того же класса.

2) однородная система (6) имеет р линейно-независимых решений У(дг), одних и

тех же в С и М0, где р есть число корней Л],Ц = 1,2.....п) для которых Ке7.у >0.

Каждое из них отлично от нуля всюду на отрезке [0,1], за исключением точки

х = 0,х = 1 в которых имеет место оценка Y(0) = 0 1—,*~"ReAu = min ReÄ...

\ XJ . *4<0 '

В § 4 изучены системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя - сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет к-кратные корни и (n-k) различные.

Общее решение однородной системы (6) будет:

i-i t

in

1--

+

1" >0 = 1.2.....ri)

а частное решение неоднородной системы (6) -

= где вп = = 1.2,-алгебраическое дополнение

/»I

элемента уа -в матрице ||/Л,||.

1

ЪуЧтг

0-гГ

I (Д-1

In

,Д,-1

y{t)dt-

Л-1

¿4+1

yit)dt,(teX > O.Re^ > 0),(k = 1,2,...,и)

Теорема 3.4. Пусть в системе (6) коэффициенты а¡¿(х)-заданные непрерывные и пусть определяемые значениям я|;(0)~характеристическое уравнение (7) имеет к-кратные корни Л, = Л3 =.■•■= Л, = Л ( кратность к) и (п-к) различные корни

Лы„лнг.....Л„ причем КеЛ,Лу /0, (у =к + \,к + 2,...,п).

Тогда:

1) на отрезке х е [ОД] и свободные члены из С и М„, всегда существует частное решение неоднородной системы (Ё) из того же класса;

2) однородная система (6) имеет р линейно-независимых решений У(х), одних и тех же в С и Ма, где р есть число корней = 1,2,...,и) длякоторых 1?еЛ, Д, >0.

§ 5 посвящен изучению систем обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет только кратные корни.

Общее решение однородной системы (6) будет:

1

1- 1

'I i t

0 = 1,2.....я),

а частное решение неоднородной системы (6)-

у,(*> = где вр/ = £г^в*, .(А)

>1

ак/ - алгебраическое дополнение элемента у1к - в матрице |]>-у41,

^--¡Т^гН-7

у(1)с/1,(к = 1,2,...,п), (Яех > 0),

у(ОЛ,(к = 1,2.....п), (ЯеЛсО).

Д/-1Г

Возвращаясь к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами»;

/,« = ¿«у, + а^ша^-а^О).

Напоминаем, что во всех предедуших параграфах, вставляя их в формулу обращения общего решения системы (6), переходим к системе интегральных уравнений. Для последнего параграфа имеем такую систему интегральных уравнений.

У = + 1п1— + Т0К,где Т(у,у = Ёвч(а^у), (Б) (к,р = 1,2.....п)

*-1 Ь 1 \ н

Как показывают формулы (А) и (Б) все 1\р выражаются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами.

= Щ [*ь(0Х0] =-)т'--!йгУ(0Л, и. i = 1.2,..., п), О ('-и

Прежде всего, поскольку о,,(() непрерывны, то операторы в^ действуют и ограниченны в С к М0.

Теорема 3.5. Пусть в системе (6) коэффициенты а¡¿(х)-заданные непрерывные функции и пусть, определяемое значениями ащ (0) - характеристическое уравнение ф, имеет один п кратный корень л, = Д2 = • ■ • = Лп = Л, причем Яе Л & 0. Тогда:

1) на отрезке [0,1] свободные члены из С и М0, всегда существует, частное

решение неоднородной системы (£) из того же класса; >

т

2) однородная система (6) имеет /? линейно-независимых решений. У (.г), одних и тех же в С и М0, где /3 есть число корней ЯеЛ > 0. . ... , .. ..

Глава 4 - Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками.

В этой главе рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

лг(*-1)(*+1К +/,(*). а=и.....И), (8)

где ак] (х) - заданные непрерывные функции (без ограничения общности можем считать их вещественными). Что касается свободных членов и решений, то при и х * ±1 они также считаются непрерывными, а ук (х) - непрерывно дифференцируемыми; в сингулярных точках х = 0 и х = 1, х = -1 они могут быт непрерывными (класс С), либо просто ограниченными (класс М0). Рассмотрим модельную систему

+ (/' = 1,2,..., и), (0 < х< 1,(8Ф),

Д(Д) = с1е1|Л(0)-.М| = 0, где Л(0) = ||а,,.(0)|, (9) • /-единичная матрица.

В § 1 изучена линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений,'имеющая п различных корней.

Общее ^'еШёние однородной системы (8) будет:

О = 1.2.....и),

' х1

а частное решение неоднородной системы уравнений (8) дается формулами: Л«:? IX,(/,-), где (Р = и...,и),

о ,2,1,-1 , 9>у = ' ^ > = и......п)'

-1 г -II « Г-1

I

Теорема 4.1. Пусть в системе (8) коэффициенты ак1 (х) - заданные непрерывные функции И пусть, определяемые значениями характеристическое

уравнение (9) имеет п-различных корней Л,,Л2,...,Л„, причем Не/!., ф О,(к -1,2,...,«). 7огда:

1)на отрезке [-1,1] и свободные члены из С и Ма, всегда существует частное решение неоднородной системы (8) из того же класса;

2) однородная система (8а) имеет р линейно независимых решений У (х),одних и тех же в С и М0, где р есть число корней Лк, для которых. >0.

В § 4 изучена система обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристической уравнение имеет к-кратные корни и (п-к) различные.

Общее решение однородной системы (8) будет:

а частное решение-неоднородной системы (6) -

УР(х) = ]>Х/,, где ва = 91Р,(Р = 1,2,...,«),аи -алгебраическое дополнение

.И У-1

элемента ^ . - в матрице ¡¡у II.

1п1

>-(/)оГ/- } Г ' ' > ОДе^ > 0),(А = 1,2,....л)'

0\/

= + <0),(* = 1,2,...,«),

Теорема 4.2. Пусть в системе (8) коэффициенты а „¡(х)-заданные непрерывные и пусть определяемые значениями ак/ (0) - характеристическое уравнение (9),' имеет к-кратные корни Л, =Л2 =.•■• = Лк = Л( кратность к) и (п-к) различные корни .....Л„ причем КеД,Ду *0,и = к + Ък + 2,...,п). Тогда: '< ■

1) на отрезке *е[-1;1] и свободные члены из С и М0, всегда существует частное решение неоднородной системы (8) из того же класса;

м

2) однородная система (8в) имеет р линейно-независимых решений У(дг), одних и тех же в С и М0, где р есть число корней Лу,(у = 1,2,...,и) для которых Ч&Л,Л1 > 0.

§ 3 посвящен изучению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет только кратные корни.

Общее решение однородной системы (8) будет: 1

4

1п1 —

0 = 1.2.....п),

а частное решение неоднородной системы (8)-

дополнение элемента уц - в матрице I

(А), ак, - алгебраическое

X ¿Л

у(()Л,{к = \,2,-,п), (Р.еЯ>0),

(ЛелсО).

Возвращаясь,к общему случаю переменных коэффициентов, стандартной процедурой вычитания преобразуем (1) к системе с постоянными коэффициентами, но со «свободными членами»;

//*) »ЕМ*)*-+ /><*>•

аЛх)*аАх)-аЛ0).

Напоминаем, что во всех предыдущих параграфах, вставляя их в формулу обращения, общее решение системы (б), переходим к системе интегральных уравнений. Для последнего параграфа имеем такую систему интегральных уравнений.

У = ТУ + £с, У о (я)

*=1

1п1-4н

Г

+ Т0>-,где (Б) (к,р= 1,2.....п)

Как показывают формулы (А) и (Б) все Т1р выражаются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами над простейшими операторами.

,2Л-1

.....п)>

о(г2-1)

«г-О

Прежде всего, поскольку ои(г) непрерывны, то операторы г?*.,, действуют к ограниченны в С и М0.

Теорема 4.3. Пусть в системе (ё) коэффициенты ау(х)~ заданные непрерывные функции и пусть, определяемое значениями характеристическое

уравнение (й), имеет один п кратный корень Л, = Л2 = ••■ = Я„ = Л, причем ЯеА / 0. Тогда:

1) на отрезке-[ -1,1] свободные члены из С и М0, всегда существует частное решение неоднородной системы ($) из того же класса;

да

2) однородная система (б) имеет р линейно-независимых решений У(.х), одних и тех же вСи Мь, где р, есть число корней Яе Я > 0.

Пользуясь, случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН Республики Таджикистан, лауреату Государственный премии имени Абу Али Ибн Сино Л.Г.Михайлову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. Хидиров Х.С. Система обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными точками. //Тезисы докладов апрельской конференции Кулябского государственного университета. 2007, с. 107-110.

2. Михайлов Л.Г., Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками //ДАН РТ, 2009, т. 52, №3, с. 169-173.

3. Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными точками //ДАН РТ, 2009, т. 52, № 7, с. 507-512.

4. Хидиров Х.С. Неоднородное дифференциальное уравнение типа Эйлера с одной сингулярной точкой высшей степени //Вестник Кулябского государственного университета. 2009, № 1, с. 186-189.

5. Хидиров Х.С. Линейные системы с сингулярными точками^ //Вестник, Кулябского государственного университета. 2009, № 2, с. 98-101.

6. Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками. /АГезисы докладов республиканской конференции «Проблемы математических наук и естествознания». Душанбе, 2010, с. 194-196.

7. Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками //ДАН РТ, 2010, т. 53, № 1, с. 20-24.

8. Хидиров Х.С. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками. //Тезисы докладов научной конференции Кулябского государственного университета. 2010, с. 75-78.

Подписано в печать 12.01.2011. Формат60х84/16. Объем 1 пл. Заказ № 205. Тираж 100

Ивдательсто «Ёл» г. Душанбе, куч. А. Дехоги 9/1

Введение 4

Глава

Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой

§ 1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 10-16 уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет к кратных и п-к различных корней

§2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 16-23 уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни

§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 23 - 31 уравнений с одной сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет различные действительные корни и два комплексных

Глава

Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка с одной сингулярной точкой

§ 1 Уравнение типа Эйлера с одной сингулярной точкой 31

§2 Неоднородное линейное уравнение высшего порядка с 32одной сингулярной точкой

§3 Неоднородное линейное уравнение типа Эйлера с одной 38сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет различных и (п-к) кратных корней

§ 4 Неоднородные линейные уравнения высшего порядка типа 45 - 51 Эйлера, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни.

Глава

Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками

§1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 51-58 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет различные корни вещественные и комплексные)

§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 58-67 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет два различных и остальные кратные корни

§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 67 - 73 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет два кратных корня и остальные различные

§ 4 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 73 - 89 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет к кратные и (п-к) различных корней

§5 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 80-85 уравнений с двумя сингуляными точками, когда характеристическое уравнение имеет только кратные корни

Глава

Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками

§ 1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 86 уравнений с тремя сингулярными точками , когда характеристическое уравнение имеет различные корни (вещественные и комплексные)

§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 93 уравнений с тремя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет к кратные и {п-к) различных корней

§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 99 уравнений с тремя сингуляными точками,когда характеристическое уравнение имеет только кратные корни

После работы М.В.Кельдыша [17] , а также работ М.М.Смирнова [18] и А.В.Бизацзе [20] и др. теория вырождающихся дифференциальных уравнений (сингулярных) приобрела значительную известьность. В монографии Л.Г. Михайлова [6], изданной в Академии наук Таджикской ССР в 1963г., которая затем была переиздана в Голандии и в Германии были развернуты исследования уравнений п п г2Аи + г^Ьк(х)и'к +с(х)и = /(*),где * = (*„.,*„), г2 , к=1 к=0 а затем они были продолжены его учениками А.И.Ачилдиевым [19], Н.Раджабовым[8,43,44] и др. С другой стороны, еще с 19-го века приобрела п известность теория уравнений ху'к = ^¿^ (х)у1 + /к (х),(к = 1,2,., п,0 < х < 1), где ак]{х) и /к(х),(£,у = 1,2,., я)аналитические функции, (т.е. сходящие степенные ряды), получивщая наименование теория Фукса. В монографии Н.Раджабова [8] изучена система п т '

П - Ьк )у) + X ач (X)УJ (-г) = /у (х)> и = 1>2>-> т> а<х< Ь), Ьк 6 [а; Ь] при условиях к=1 /=1 типа а) ау (Ьк) = Ац при всех к = 1,2,.,/? и условиях на знаки

Р) акЛу <0, у) -1 <акЛ} <0, где числа ак коэффициенты разложения функции 1 "а П на простые дроби, т.е. -= ^——, -корни к=1 характеристического уравнения \Ак} - = 0, заметим, что при п = 2 и

1, Ь2=0 будет а1=1,а2=-1. В этом случае условия <0, и а2Лу<0, противоречат друг другу.

В работах Л.Г.Михайлова [1-3] были начаты исследования уравнений и систем вида ху' = /(х,у),(0<х<1). В точке х = 0 происходит вырождение порядка уравнения до нулевого , а в силу того, что после деления на х правая часть становится неинтегрируемой, точку х = О столь же естественно называть сингулярной.

Для таких уравнений и систем в [3] было установлено фундаментальное свойство вырождения: если Цх,у) непрерывна и существует непрерывное решение, то необходимо £(0, у 0 )=0, где у0 = у(0) •

Ясно что если при х = 0 задавать начальное значение, отличающееся от найденного из уравнения ^0,.у0) = 0, то задача Коши будет неразрешима, а если £(0,у0)*0 при всех 0<у0<+оо,то непрерывных решений не существует вообще. Посколькунеинтегрируема при /(х,у)Ф 0, то стандартный с метод интегральных уравнений здесь неприменим; тогда актуальным становится поиск новых методов решения. В одном частном случае, когда £(х,у)=с0 + х/0(х,у) где с0 = сош/, а /п(х,у) интегрируема, такой метод удалось найти в [1,2].

В работе Л.Г.Михайлова [1] был разработан способ построения решений линейных сингулярных систем: ху\ = «п ОО.У1 + ап МУ2 + - + а\п + Л (*) ху' 2 = а21 (х)у1 + а22(х)у2 +. + а2п(х)уп + /2(х) ( 1 ^ ху'п = а,л (*) У, + а„ 2 (х)у2 + . + ат (х)уп + /„ (х), где ак] (х) - заданные непрерывные функции, без ограничения общности можем считать их вещественными. Что касается свободных членов и решений, то при х*0 они также считаются непрерывными, а ук(х)непрерывно дифференцируемыми; в сингулярной точке х = О они могут быть непрерывными (класс С), либо просто ограниченными (класс М0). Будем пользоваться также векторной записью х-У = А(х) • У + ^(х) , (2) где А(х) =|| ак]{х)\\,{к,] = \,2,-,п), а У(х) - искомые функции, а ^(х)-заданные векторы-столбцы, в силу чисто технических причин записываемые, однако в строку :

У = (У\,У2,-,У„), г = С/1,/2 .-,/„)

Системам (1) и (2) соответствуют однородные уравнения, которые будем обозначать через (10)и(20)и т.д.

Рассмотрим сначала систему с постоянными коэффициентами (модельную систему) х-у'2 = аи(0)у}+аи(0)у2+-= а21(0)у1 +а22(0)у2 +• •■ + «.„(0 )уп+/1(х) ■■ + а2п(0)уп+/2(х) х-у'„ = ап1(0)у1+а2(0)у2+-- • + ат(Р)у„+/„(х)

Однородную систему напишем в виде: ху' =аи (0)У[ + аи (0 )у2 +••• + «,„ (0)уи = О ху'2 = а1{ (О )у2 + а 22 (0)у2 + ■ ■ • + а2п (0)у„ =0

До) ху» = ат (0)^1 + «»2 (0)У2 +''' = ап„ (0 )Уп = О

Пытаясь удовлетворить (10) степенными функциями хл, придём к характеристическому уравнению

Д(А)^ёе1[А(0)-Я1]=0 (3)

1-единичная матрица. В работе [1] рассматривался случай, когда его корни (вещественные или комплексные) все различные, обозначаются Я1,Я2,.,Яп, причем Яе Як ф 0, (к = 1,2,., и) (из этого необходимо следует, что А0 =с!еЫ(0)*0).

Если (у1к,у2к,.,упк),{к = 1,2,.,п) являются линейно независимыми решениями систем (с определителями, равными нулю, по рангу (п-1)

11 (0) - к ]уи + ах2 (0 )у2к +■■■ + «1 „(0)^ = 0

21 (0)/и + [«22 (0) - К ЛУгь +'' • + «2„(0)^ = 0 *

1(0К, +«2„ (0)^2* +" • + [««» (0 )-Як]упк = 0 то ёй укI = Г Ф 0 и тогда (уих^ ,у2кХ** ,.,упкх^) = к) где ск - произвольные постоянные, для нахождения частного решения неоднородной системы У(х) = (з>,3>2 ,.,у„) методом вариации постоянных будем иметь сЬс <Лс7 —- + • (Лх я. ¿сп ах = /,(*) йсх сЬс + у22х + я ¿с» ах = /2(*)

Уз,хЛ' с1сх с1х + /32^ 11с — + •• ¿¿с Л <1сп ' + УзпХ ~~ ах = Мх) (5) с, (Лх + Г„ 2^ + ах откуда получаем х-^ЗХлсх) (6)

Где ак] = Г^ /Г и Г^ -алгебраическое дополнение элемента ук] в матрице Ц/^Ц (А:,у = 1,2,.,« ). Интегрируя (6) в пределах [х,с1] при ЯеЛк>0 и в пределах [0,х] при Яе Як < 0 и вводя, операторы

0, г1 I X к У = 7 Л № «Л » У

ЯеЯ^ >0,)

7) в: у = -[-{- Х'М „Ни

ЫеЛ* <0), сможем записать

7=1 7=1 так что я

7=1 я

Ы1

Таким образом, общее решение (10) даётся формулами

7=1 (*) *=1

В дальнейшей работе мы используем тот же метод Л.Г.Михайлова, который им был применен для случая, когда все корни различны, для тех случаев, когда характеристическое уравнение имеет кратные а также и различные корни или только кратные корни. Этот метод также используем для исследования систем дифференциальных уравнений с двумя и тремя сингулярными точками.

В нашей работе мы также рассматриваем свойства операторов (7). Правые части из (7) относятся к классу операторов с ядрами однородными порядка (-1), которые достаточно подробно изучались в небольшой монографии Л.Г.Михайлова [2] , на которую постоянно будем опираться, но в отличие от [4], где операторы изучались в сингулярных классах функций, здесь их мы будем рассматривать в С и М0; требуемые при этом условия суммируемости ядер сводятся к очевидной интегрируемости функции х~А'~' на отрезке [с1,ао] при Ке^>0 и на отрезке [0,<1] при Ле^сО, чем было вызвано введение операторов со значками(+) и (-) .

Мы знаем, что для операторов вида

01У = ~\77 у№ * V ' / можно написать другое представление, если взять I = их, ск = xd.ii а а

1 ( X V4 Хг

01 у = Г- — у(их)хс1и = \и~хк~х у(их)йи их\их] { X

0~у = у(их)с1и .

Из этого видно то, что эти операторы непрерывны и ограничены в С и М0, вытекает из оценки свойство вырождения в точке х=0 [5], но требуется еще одно дополнительное свойство, которое нам понадобится в дальнейшей работе: если в уравнение у(х) = в^[а(1)у(()] + /(х),а(() е С[М,.;/(х) = х2/0(х), где /0(х) е С[0с1]иО <х< ЯсЯк то необходимо будет также ^(х) = хру0 (х), где у0 (х) е С[М].

С использованием этого метода в дальнейшей будем решать системы дифференциальных уравнений с сингулярными точками.

При использовании этого метода или способа надо учитывать два предложения.

Предложение 1. Если область [0; ¿/] достаточно мала, то система интегральных уравнений разрешима и притом единственным образом для любых свободных членов из С или М0.

Предложение 2. Для системы интегральных уравнений справедлива теорема Фредгольма, в частности, альтернатива Фредгольма в первом случае, когда однородная система интегральных уравнений не имеет нулевых решений, то неоднородная система разрешима для любых свободных членов из С и М0.

В этих предложениях речь идет о таких системах интегральных уравнений: (*)

У = ¥0(х) + Т0^ к=1 здесь система написана в векторной форме.