Некоторые операторные уравнения, связанные с обобщенным интегрированием, и сверки в пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

°\ !;

^ *0 Міністерство освіта Украпи.

Львівській держашглії університет ім. І.Франка

На пра.6ах рукопису

Звоздзцмгліі Тарує Івянович .

ДЕЯКІ ОПЕРА'ГбРШ РІВНЯННЯ, ДО ПОВ’ЯЗАНІ 3 УЗАГАЛЬШіаЧ ІНТЕГРУВАННЯМ, ТА ЗГОРГК.К В ПРОСТОРАХ АНАЛІТИЧНИХ «УНКПІЯ

01.01.01. - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ дасертаЦі і їіь здобуття- наукового' стутнії кандидата фі зико-язтвма'ЮТ'іШ наук

Львів - 1996

Дисертацією є руиапис .

Робота виконана на кафедрі математичного аналі&у Чернівецького державного університету ги. Е.Содькотгія.

Науковий керіимк

ка'їдадат фізжо-математичних наук, Д'"чс:іт З.К.Майгачоїко

Офіційхіі опоненти -

доктор ф і зика-матьматачиих

а у :< К.. ;:!жіг}'ОцЬК>0! .

доктор ф І ЗЖСО- МЙТЙ мотичних

наук 0. В. Лопу цапе: хий

Провідна установа

Інститут математики Академії наук Унраїни

Захист відбудеться 21 листопада 1996 року о 15 год на засіданні спеціавізованої вченої ради Д.04.04.01 при Львівському державному університеті ім.І.Франка за адресою: 290001, м.Львів, вул. Університетська 1, ауд.377

З дасвртаціета можне ознайомитися у бібліотеці ЛДУ (м. Львів, вул. Драгоманова, 5)

Автореферат розіслано 15 жовтня 1996 р.

Вчений секретер спеціалізованої Вчешл Ряди Д.04.04.01. /'ЗЇТ^у

Я.В.Млкитюк

ЗАГАЛЬНА ШАКТЕРИСТЙКА РОБОТИ Актуальність темі. Класичні згортка відіграють важливу роль у гармонійному аналізі, операційному численні, теорії розподілів. За останні двадцять років у роботах болгарських матоматикі» t .Диювського та Н.Божвнова вивчалися різні ' властивості згорток в абстрокттах просторах та їх застосу-вяшя до розв’язування деяких задач аналізу в конкретних функціональних просторах.. Зокрвма, в просторах аналітичних функцій за допомогою згортка •Бврга-Лімовського . одержане ефективно зображання комутантів довільних операторів, лкі в правими оберненими до звичайного десфоренціивошя. Але щр недостатньо досліджені методи побудови нових згорток у функціональних просторах, о також використання для цієї мета розв’язків певная класів огоряторітх рівнянь.

У різких питашшх математики та близькі® до неї паук часто зустрічааться загальна проблема зняходааяня розв’язків Т операторная рітянь ваду Т А. = В ?, до А та В - фіксовані лінійні неперервні omporcpz, а також дослідження властпвос-те® цкх розв'язків. Зокрема, тут містяться 38Д8Чі визначення контакта даного лінійного неперервного оператора і знаходження умов подібності двох зядаанх лшійшга неиврзрвшк операторів. Різні аспекти ціві проблеми дослідаувакнся в комплексному аналізі пера за все у випадку, коля задзш і иуво-ний оператора діть у просторах екалітичних в областях функцій. Цим дослідженням присвячені численні робота відомих математиків: Х.Дельсарта, Ж,- Л. Ліонса, Р.П.Бозса, D-Ф.Коробейника, МЛ.Нагнибіди, В.В.Каполкова, В.А.Ткаченка, І .Ді-мовського, В.П.Захарвта, М.П.Царькова, !.Райчинова, В.П.Под-поріпи та інших.

Починаючи з 50-60-х років, у комплексному аналізі роз-

глядашься різноманітні задач і,що пов'язані з узагальненими диференціюванням та інтегруванням. Тому природно виникав питання про знаходження в просторах аналітичних функцій та •застосування нетривіальних згорток для довільних операторів, 1 які'є правами оббрндгим.; до узагальненого диференціювання. Згортки в просторах аналітичних в областях функцій для різних операторів узагальненого інтегрування’Гольфоцда-Леонтье-ва буди отримані І .Дішвськям, В.Кір'яковою, Н.б.Лшчук, . а для довільних правих обернених операторів до узагальненого диференціювання Помм'е ~ і,Дімовськи?л та Д.Шнеффом.

Иете робота .Робота присвячена побудові в нрасторах аналітичних фуинцій нетривіальних згорток для довільних операторів, які е правиш оберненими до узагальненого диференціювання, а такоа и’шходаэннв та дослідженню властивостей розв'язки? деяких операторная рівнянь, що містять оператора узагальнених інтегрування та диференціювання.

Ііатода доояідаашщ. Згортки в просторах аналітичних функцій для задания опэраторт будуються за допомогою кому-тентів цп операторів. Пра розв'язуванні операторгазх рівнянь використовується взаємозв'язок МІК лінійними неперервними операторами, що діять у просторах аналітичних функцій, та аналітичними функціями двох змінних. Застосовуються такон метода функціонального аналізу і згорточне числення.

Кяукова новизна. У просторах функцій,аналітичних у кругових областях, описані комутанти довільних оператор їв, як і е правиш оОчрвешзш до узагальненого диференціювання, а також побудовані згортки для таких операторів.Використовувчи властивості їда згорток, одержане зображення коефіцієнтних мультиплікаторів формальних розкладів аналітичних функцій за

пиотемам-л■'ллпсшх: функцій операторів узагальненого даівраи-

ЦШ?П!ШЯ. , ■ ‘

У просторах функцій, аналітичних у р-оауклях областях, опис пні комугзнга довільній операторів,які е правима оберненими до у^лгальнопого даіюрощігоагіня Гольфоидз-Л&онтьєво,. побудовані лгортаз для цях операторів, отримані необхідні й ДОСТЯТНі .умови подібності ДОВІЛЬНИХ двох таких операторів, описані ійом >рїіз;\и, шростаии з узагальненим даЗероицію-вандям Галь^он^а-Лооятьс&й. . . -

Наукова та практична цінність. Дисертація мае теоретичний характер. Отримані в ній результати в новими, tx можна застосонупати до розв'язування ко;крот;піх опвраторних рівнянь, що містять опора тори узагальнених 'інтегрування і диференціювання, а м&юда, розвинуті в дасортвції, мозкуть бути вшгористані при розв'язуванні інших аналогічних зады.

Основні полокзкия дисертації., що виносяться на захист!

- опис їсомутаптів операторів, які в правши оберненими до узагальненого даїеренщпванпя, та побудова згорток для

, V ' ' .

цих операторів у просторах аналітичних функцій; '

- зображення новфіцівнтшх мультиплікаторів деяких фор-кальних розкладів аналітичних функцій;

- встановлення азобхі/лях і дость лііх умов подібності-двох одораторів, які є правими оберненими до уовгашюгого дЕфоренц ішшшя Гольфонда -Лоонтьвва;

Особистий внесок дисертанта. Всі нвввдєні в дисертації основні результати одержані самостійно. Із спільних робіт використано лише ті розультати, які одержані дисертанток.

Апробація роботи. Основні результата робота доповідали-'тися на міжнародній математичній. конференції,присвяченій па-

- б -

м'яті Г.Гана, в м.Чернівці на всеукраїнській конфв-

реіщі і "Сучасні ф'їзико-мятематичні дослідження молодих науковців вузів Уцра.лк” у м.Києві (1994), на всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в наукгво-техіпчшіх дослідженнях", присвяченій 70-річчв від дай' народасения професора П.С. Кашмірського, у м.Львові (1995), не науковій коїтфвронцп викладачів, співробітників та студентів, присвяченій 120-річчю заснування Чернівецького університету (1995), бо всеукраїнській конференції " Дик >ре. ді Г'льїто-функціонлльні рівняння та їх застосування", присвяченій 60-річчю від дня народзимшя ВЛ.Фодчука, в М.40pHiL.lt (1996), на нвуковону семінарі з теорії шалітич-НИХ функцій у Львівському У'сіі 'ВрСИТЙТІ. '

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у десяти роботах, описок Яі -лх подано в кінці реферату. Зокрема, в публікаціях (1,5,7,9,101 С.С.Лінчуку належать постановки задач та обговоренштрзультатів.-• ' . - * ‘

Структура і об’єм робота. Дисертація ■складається зі

вступу, двох розділів, розбитих на 11 параграфів, і списку літератури. Об'єм дисертації - 135 сторінок машинописного тексту. Бібліографія складає 57- найменувань. .

. *

ЗМІСТ РОБОТИ

.У вступі дається короткий історичний огляд по темі ди-сзртатдії, а також викладаються основні, результати дисврта-. ційноі роботи, які порівняться о результатами, отриманими рвн:ие іншими Авторами. * •

Наведемо спочатку деякі необхідні для подальшого викладу поняття та позначення. '

_ 7 -

. Нехай X - лінійний простір,, а М: X -*■ X - лінійний оператор. ВШніЯиа, комутативна й асоціативна операція *: X <-■ X -*• І називається згортко» дал М на Д", якщо

г к </•* є) = {«/) * в, д в'с х.

Оператор V, ігри цьому називається мультаплі катором згортки «. Як правило, розглядаться непврерші згортки для лінійних иешрврвних огирятор ІВ,- що діють в топологічних векторних просторах. •

Нехай С, - довільна оолясть комплексної площини С. Через Н(С) позначимо простір усіх аналітичних в області С функцій, що наділвняй топологієм компактної збіжності, а символом «к - простір Я(Г,), якцо С (г с (С: |г)<К> (0<Р.йл>). Через £(Н(а1),7Ц0 )) позкачаг-мемо множину всіх лінійних неперервних операторів, що діють з ЩС1) в Н(С ), а через Н’ (0) -• простір усіх лінійних неперервних функціоналів на К(С). Крім цього, якщо С1= Се= С, то 38Иість £(М;С(),7((Сг)) Оудрмо ви-ксристовувати символ .

Перший розділ дисертаїи * присвячений опису комутантів операторів, які в правими оберненими до узагальненого диференціювання, побудові згорток для цих операторів у простореж многочленів і аналітичних у кругових "5ла<шіх функцій, а також деяким їхнім застосуванням.

ІІЄХіГй Р($) ЛІНІЙНИЙ простір усіх многочленів від комплексної змінної над полем Е, а {ап: пїо} - послідовність відмінних від нуля комплексних чисел. Через Ота І иозна-

• а. сх

чию відовідао лінійні оператори узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування, які на довільний многочлен рєР(С) діють наступним чином:

Очевидно, *’Р-Г f’ прлнйм оберненим оператором до D на Р(<Г), а загальний вигляд таких лінійних операторів А подається формулою .4 = 'Г + Ь, до Ь - довільний лінійний функціонал на Г (С). У § 1.1, який мчє допоміжний, характер, описані комутснти довільних операторів, які п правими оберненими до узягяльнмзоги диференціювання, та побудовані згортки для цих операторtп у Р/С). ■ ’ .

, f 1.2 присвячэяиЯ побудов» узагальнених многочленів Бернуллі {В (я): п>0) во дови»ноа іюслгдошіісти відаінних від нуля комплексних чисел <ап: г»о). Відзначимо,, що

- л»

■коли а =1/п1, п=о,і ,2,..., то многочлени <Вп(г): п^о) - збігаються з класичними многочленами Бернуллі.

Hoxsit tan: п»о) - послідовність відмінних від нуля комплексних чисел, для якої '

• • І

I in У\а ,/а І = 1 (3)

_ ' п+1 п1 - '

П-*С0

при R<e> або " -

0 < геп ,/а Т е та УІоГ ,/а7 < “ * W

. ЇГЙ5 1 П+1 п* п-« nt1 п при R=t».Відомо, ідо тоді (і лише тоді) оператори узагальненого даферошиивашш та узагалі .некого інтетрування Г , які на Лд визначаються відповідно формулами (1) і (2), одночасно належать до простору £{А}1). ' .

•' Центральне місця у гшрмму розділі займає f 1.3. У ньому розглядається задача про опис усіх операторів Т € C(AR),

переставних з оператором і і, до І - довільний фіксований функціонал з /д, ь також будуитьоя згортки для Іа+І в <4^.

НвХЙЙ І. - ДОВІЛЬНИЙ фІКСОВЯШІІ фі'НИЦІОНйЛ з а МЛ=

= /ІО)-Т,(Г.'а/>. Спочатку показана (тьердшгня 1.3.1), що кола, оператор Т(Л(Ап) в переставним з Т., то для довільної функції ДЛГ< при |и|•'П ■

де ф - деяка функція з ііричочу ф-Т1. відзначимо, що завдяки належності оператора Т до простору £(ЛВ), для функції Ф=Т1__і довільної функції /(Ая р}!Д у правій частині останньої рівності збігається рівномірно всередині круга )г|<-Е.

ІПой одержати повний опис комутанта оператора І +-Ь в 4К, потрібно накласти певні умови на послідовність {а : п»о), функцію та функціонал які б 'забезпечували збіж-

ність ряду з правої частиш (5). за топологією простору Аи, тобто гарантували б то, що оператор,який визначається формуло® (5), належить простору ЦА^). Хотілося, щоб ці достатні умови були в певному розумінні й необхідними. Використовуючи принцип рівномірної обмеженості, був’отриманий критерій збіжності. ряду з правої частини (5) за топологією простору Дд для кожних ф./єА^. Таким чином,- була встановлена

Те орема 1.3.2. Нехай Ь - довільний фіксований функціонал з А^, Л(/)=/(0)-Х(Оа/), а 1п= Л(2П),П=0,1,2,... .. Для того щоб формулою (5), у якій <р пробігає весь простір Лк, визначалися їю і Оператори Т і £(АЯ), переставні з Га+ Ь,

П

(5)

НОООХІДНО І ДОСИТЬ, ИІОб

V г2< К 3 00 3 г(<К V п,яі = 0,1,2,...

V к = 0,1,... ,т(п {п,ю), шах {п.шЗгі,. ..,а+ш+1: >

а 'а, гп*т ^

Ід+ш-к-И і ^ г> *

а а * п+ш-к+і' ■*- „к

• ' п ® ' Г

при Н«» або -

В М>0 Уп,т=о,і, ...Ук=о,і,... ,т£п(гі,т),тшЧп,га}+і,...,п+ти :

п-і-т-к-і-1 Дк І п ч . ' і ^ М‘‘+“ )

а а • п+ш-к+1' *•

п т 1 . ,

при І(=а>.

Нехай Ь=0. Годі з теореми 1.3.2 отримується твордаышя . про опис комутанта операторе узагальненого інтегрування Га в

просторі А^. Ця задача, ала в дещо іншій постановці, розглядалася раніше М. КНагнибідою. Крім цього, описом комутантів • ■ • операторів узагальненого інтегрування в різних просторах

* • ' аналітаишх функцій займались також У.Б.Царьков,С. А.К ірютен-ко, В.Ф.Коробейник, В.А.Ткаченко, С.Н.Меліхов, І.Дімовський, В.Кір'якова, Н.Є.Лінчук та інші математики.

Осгашшм результатом $ 1.3 е -

Т о^о рема 1.3.3. Нехай І - довільний фіксований функціонал з А</)=/(О)-Х(0а/), їп= Л(ап), п-о,; ,2,...., і послідовність відмінних від нулл комплексних чисел (ап: п>о) задовол. и є умови (3) та (б) при йо» або (4) та (7) при Ії=<». , Тоді для функції! ір./їА^ при |з| <К формулою .

<Ф*/Н и) = І

п-о п! а

[п г і г п-к+К

„Ы'-Ь »]<в1

■ ■ (8) визначається нетривіальна неперервна згортка для оператора

- ґ П-ІС+1 л ТІ а (*« *)«•>]'.]

- 11 - . .

І * Ь в А^, причому .

[іви]Г-і */.' Г<\с

ВІДЗНАЧИМО,ЩО ПОСЛІДОВНІСТЬ (І ІП'їО} з (6) чм (7) залежить- від кошсротаого фуикціонаду Ь, тобто для різних функціоналів аа послідовність (к ^ гік^> шагладат’ься, взагалі кажучи, різні умова. Тому було встановлено також, що умова (б) чи (7) виконуєтьгл для кожного функціоналу з відоовідаого простору А'к ТОДІ і лише ТОД І, коли

V є>0 З С:>0 V Ії,Л1 - 0,1,2,... '

V к = 0,1,... ,иіп<Гі,т},шаіСп,пі'>і 1,..., т-ти: '

а а. <9)

' * -\ «с о+Е>п+ш

* га гг; '

Ярі} Н\і» або •

З М>0 Уп,т=о,і,.. .Ук-о,ч,.. .,т{п{п,мі,т.т{п,т}+і,... .л+пв-і:

І^п+ш-к^ І ^к| £10)

(І а . ** М

’ п т 1

при К=а>.

На завершення § 1.3 наведені приклада послідовностей відмінних від-нуля кошілєксіш: чисел (ап:п£0), які задовольняють умови (3), (9) чи (4), (10). Так, послідовність

• )■>у ■ ■ ——1

(а : і&О), дая якої існує границя 11т /|а | = а, причому 0 <

П П->00 ! п '

< а < оо, задовольняв умови (3), (9). Яшцо ж'

Гі - ■- '1 П У" '-•••••у

0 < 11т /)аІ < ГШ /|а | < », .

- П-ХО П-*00 11 '

то для (а га^О викочумться умови (4),(10). Нарешті, коли

3 р>0 3 о>0: Ііт пі/р )а ),',п = (оер)І/р, (11)

аг*» п _

то їа : п.50) пядовоЙьняв умови (?), (9). Зауваягшо, що у

цьому випадку відповідні он&ратори Э та І називають,;м оиь -ратораш узвгадьиьного даївротиішаяяя 'їа ііжігруьаїшіі І\»ль фонда--Леонтьева. .

' Е&хай. а -1 /пі, п=о,т-,?.,... . їоді имш'гош 6 •», {

П л ■* іі и,

. ыШ’аотьс. відоовідао -о уиичайиш дл{*.»роюитиліни ти ■ чайним 'ттегрувйншш Вольїврри. Скаьы(ь гьі^лил-ь «а : гі>0) задовольняє» очевидно, співвідношення (‘ і) з р -о - і. Тому для довільного функціояаду Т. 6 А'и (0 . 1: і- форм/лоа (8), да Л(/)=/(о)-Ь(/‘), визначається ц&тривіальна нышрорв-ііа згортка для опэрйч'ор ка (§) набуває вигляду

на згортка для отратюра І+Ь в А . Ал& с цьому випадку агорт--

</ * в)(а) = А і

Г йШ £111, (12)

тобто вона збігаються із агортков Варта-Дімовського. •

Зазначимо т&кож, цо для = 1 , п -о,1,2,... , формула (8) вазначае згортку, яка була раніше побудована і.Дімов-сыам та Д.Шшйом.

, ; І.Дімовськиа застосував згортку (12) дті опасу коефіці-еи.’шш.. мультиплікаторів формальних. розкладів • авалгачнах Функцій у ряди ев шотс-мнма експонент. Заувоісимо, що при функція./ (2)--е.ір(Хз) в ыгасною функцією для оператора зш-^чайгого дифьр&шцшавдя. ' .

' ,У і 1.4 розглядаються формальні розклади аналітичних у кругах функцій за системами власних функцій оператора узагальненого даферонц'іивааня та-описуються кавфіцівитні мультиплікатори цих розкладів. Робиться це, використовуючи властивості з.'орток для правих оборн&шж операторів до узагаль-. иеного дифороїщішьаиш. Оокрьмп, встановлено,що мно»лна всіх " коефіцієнтних мультіїлікзторів у ішіасі С() даного Ісрмаль-

. - 13 -

його ровкладу зйігайтьея з комутантом дня кого, повним чином вибраного, оператора, який с праним огі&рнвіпш до узагально-. ного дифврочціаяшнй. Показано такийс, ідо аглли послідовність (а : к>з> задовольняє *моьу (11), ти иіднонідина формальний розклад зб шиться з формнльизд розклад ш Леонтьова гшалі-тичтіх у ісруог функцій. Г> >дзначимо, щ<- дчп шаьаного випадку і.Ф.Лзоігрьввим ’іш»іаяи<їя умови, при шейх формальний ряд збігається до своєї функції'. •

Другая розділ дисередці і присвячьшгй опису комутанта оператора, якій у ідзввим ийврн&шім до узагальненого диференціювання Гильфовд* -Льоптьвва, в просторі аналітичних. у р-опуклій (р:*о> області функцій, побудові зі'ортки для цього оператора у вказаному просторі, яка .узагальнює згортку Бар-va-Кімовського, та деяким іншим задачам, іцо пов'язані з узагальненими інтегруванням та диференціюванням Гельфонда~Ле-онтьеьа. '

Німецькім математиком Г.Кате Дула встановлена взаєшю-одаозначиа відповідність шн лінійними шшорервціча операторами, що діють в аналітичних просторах, та лонально-аналі-тичнкми функціями дах змінних. Подібний взаємозв'язок ус-шшо використовувався в роботах Ж..Цшіьсарта/t а,- Л. Ліоне а, Б.Я.Лешна, И.Ф.Коробейника, В.ГЇ.Подпоріна, С.С.Дінчука,

Н.Є.Лшчук та інших матег,патиків при дослідженні різних класів лінайіих шгюрорішкх операторів. У § 2.1 розгадається задача про встановлення відповідності Mis мновиною лінійних неперервних операторів, щр діють в просторах аналітичних функцій. *а одним класом аналітичних функцій двох змінних. Отримані тут розульїрти застосовуються в наступних караі’ра-

' ‘ Ф '

фах дп:і розв'язування деяких ошратортех рівнянь. ’

_ 14 -

Нехай.р>0 та реС (Не р>0) - фіксовані стпі.а К (й;ц) -

. . . - ■ р

функція Міттаг-Лефлара, яка при ае£ визначається рівпіста

• ’ *<М ‘ ,,Гі .

■ вр(я;ц) =^о гтпТіїнц-

Для кожного оператора ) ,ЩИ„)) (г^ і (і пласті в

(П) Зйункч'іі

. г(?і,а) - Т |вр(\2;р)], X. ( €, ач П_,

називатимемо характеристичною. Показано, що м&е місць .

. Т й оре ма 2.1.1. Якщо Сч і йг ■ довільні області в ОС, причину а^- - р-онукла, то функція даох змінних ї(А.,&) є характеристичною для деякого оператора Те£(7£(С1 ),П(йг)) тоді і лише тоді, коли вона аналітична при Х*€ та і V К£<г Сг З С>0 3 ІЦс 0] Пб С:

юг |Ш,а)| С С таг )Е (Ла;и)|,

й&Ъ аек1 р ■ •

де К у і ~ компактні шдмножини відповідних областей.

Відзначимо, що твердження, яке отримується з творами

2.1.1 у випадку,коди р^і=1 .раніше було доведене С.С.Лінчуком.

¥ і •

Вважаємо надалі, що область КсС е зірковою відносно нуля. Н.е.Лінчук було показано, що оператор узагальн&нога диференціювання Гельфонда-Лвонтьева В , яйиЯ на елементах.

Р >,и

повної в'?{(С) системи {Ер(Хг;(і): \£(П) визначається співвідношеннями ■ .

= *• Ер(Яа;ц), Я.,и і С,

можна продовжити лінійно та неперервно на весь простір Я(Г").

Одним із правих обернених'до 0 е оператор узагальненого

■ Р •

інтегрування Гельфонда-Леонтьева Гр , який лінійно та неперервно діє в 71 (О) зя правилом

Гг0'и^)<2> = —*— / о-ю1'р-1 г»*-1 /т1'1*) «.

І Р.и і Г(і/р) о

- 15 -

де г^~1= ехрі (ц-і )int]. Загальний: вигляд правих обернених до D оператори Ае£(Я(0)) дається формулою А = І + L, де

Р ' ' Р*)^

b€«*(G). - .

. У 5 2.2 за допомогою розглянутих в і 2.1 характеристик- . них функцій операторів з £(Я(С)) для кожного фіксованого функціоналу Г.£?{' (G) описурться ксмутавт оператора І + L.

Р * ^

Для цього спочатку вивчаються деякі аналітичні властивості узагальненого перетворення Боредя певних функцій.

. Основним результатом 5 2.2 в

Теорема 2.2.! . Нехай G - р-опукла область комплексної площини, X - довільний функціонал з Я' (G), 8 Л(/) =

= /(0) - L(Dp /). Для того іцоб оператор Te£(?l(G)) був переставним зі ♦ І., необхідно і досить, щоб для довільних Л-р»н .

допустимого р-опуклого компакту McG і функції £їЯ(0) при Z(U

да g(t,,At), ' „з,

t а

Вр - оператор р,(і-пвретворення Вородя, ? - замкнений контур, що міститься в G t схоплює М, а ф - деяка функція з' ЩG), причому <р = Т1. •

У § 2.3, на основі результатів попереднього параграфу, побудована нетривіальна неперервна згортка для довільного оператора, який е правим оберненим до узагальненого диференціювання Гельфондз-Леонтьева.. 4 .

Теорема 2,3.1. Нехай G - р-опукла область кой • плексшг плоіііяни, ІеЯ' (G) і Л(/) - /(0) - L(D /). Тоді для'

- Р*)-** -

довільних Л—допустимого р-опукдого компакту М С 0 і . функцій

• <►. .

/ ТЧ ф з Н{Г.) при нсм ФОРМУЛОЮ

(/*Ф>(а)=Л

і

------гЯЛ*)'Р(т;)їі В Гжг.г.а.ОІсіиїх], (14)

.(2КІ)уу (р»)\р>иі J } ■

де й(г,т;,г,С,) задається сііівтдаошьнням (13), а 7 - заміщення контур, що міститься в С і охоїшиз М,визначається ньтри-віальна но^эрорша згортка для оператора Ір * Ь, причому

. (ГР,„+ ь] / - 1 »/. / <

' Нехай 041=1. Тоді оииратори Ті ти ьбігаатгьсн із звичайними диференціюванням та інтогрувс• *тм,шнн'ітл р-оцук-лості для області рівносильне звичайній опуклості і згортка (14) збігається :н згортко*) Борта -Німанського (12). Відзначимо, ідо операція . '1* Ф'= 0- Ь * ф), /,<р Є Н(0), (15)

Р >

е також згортко» для І +-. Ъ в Н((ї) (наслідок 2.3.2). Якщо

Р » ^ '

Ь = □, то формулы (15), до * - відповідна згортка .(14),визначаються згортка дня опорітора Гр ^ и ЩО). Показано,що при р=1 вона збігається із згорткоя І .Дімовського для оператора Гр 1, а пря реС (Пе р>0) - із згорткоя н.б.Лінчук для оператора І .

р.м *- ■

Н&хаЭ топор р=1, а р-1/п, пс-М. У цьому випадку добуток

двох функцій Мтяг-Іефлорп можнп подати у вигляді лінійної . комбінації .таких зш функцій. Використовуючи цо,одержане (наслідок ,2.3.3) наступне зображання для згортки (14):

Г> ж—Ч '

•П-1

. (/*ф)(а) =. А

5

П у—і Т-’ — —-> • ^ _____

де /и = у )»ї| еір[{(аг'а и + 2шпс)/ц] для і іп=о,п-і, а інтегрування здійснюється по відрізках, що з'єднують відпо.-

ВІДНІ ТчІКИ.

6 2.4 присвяченні* задачі про опис у.просторі аналітич-

. ' - 17 - .

ігах в р-оп.уклїй області функцій коиутянта оператора вигляду

[ір ц.^*) . ДЗ п - фіксоване натуральна число, а І - фіксований лінійний неперервний функціонал на цьому, просторі.

.Зауважимо, що отримане в даному параграфі зображення коиутянта оператора Г” • (якщо покласти І.=0) при р.=ц=1 з<Л-гається з фзрчулою і .ГоЯчшюім, при р>0, (г=1 - з формулою

І.Дімавського,а при р>0, }к<Г(К<.}Л>0) - з формуло» Н.Є.Лінчук.

У 5 2.5 розглядаються {пральні розклади аналітичних в р-оиуклтк областях функцій вигляду , ,

» т"_1 V ’

• ЛЯ)-- Б Е а (/) в* Е'к)а а;ц), (16)

П=1 к=0 пК , р • 11 ■ ■ ,

ДЭ ДЛЯ КОЖНОГО ПбМ ЧИСЛО Д-п Є короне».' ЯТНОС'ГІ Шп (Шп£й)

деякої цілої функції Ііл) з класу Гр.оо). відзначиш, що для

випадку ц=1 такі роз-слада розглядалися А.Ф.Леонтьввим. Ним

-та вивчалася умови, при яких ряд з (16) збігається до своєї

функції. Далі в даному параграфі мотодом.шсий аналогічний до

запропонованого ! .Діиовським для випадку р=ц=1, описуються

всі коефіціентаі мультиплікатори формального розкладу (16).

. МЛ .Нагтшбіда показав, що коли - зіркова область

відносно точки а (£=і,2), то оператори Г,, (!.,/)(а) =

й £

- ; /<Ю сії (ДЖС,)), та І„,(І2Л(к) = і Ці) йї (/еН(С )>,

е подібними тоді і лише тоді, коли С(- а1= С,г- а,. Крім цього, у випадку, коли і С2 - зіркові відносно нуля області в Е, І - оператор звичайного інтегрування * а 1. є Я' (0{) (1=1,2), С.С.Лінчук та М.І.Нягнибіда встановила деякі необхідні умови подібності операторів Г + 1^ в Я(01) та Г + в }ЦСг), які в правими оберненими до диференціювання, а також ВИСЛОВИЛИ ПріЩуіЦОЇІНЯ,що ЦІ оператори Є .подібними тоді і .лише тоді, коли, гснує тако що с2+сК] і

' - 13 - ■

ь, (Л = ? Я*> м + ^[/(вш)], / < же,). . (17)

У } Р.. 6 розглядується задаче про подібність двох операторів, які є правима оберненими до узагальненого доїеротцю-вання Гельфовда-Лэоатьчвя. Сформулюємо основне^ твердженая цього параграфу. .

Теорема 2.0.1. Бехай Б - р-опуклв область в С, а

І. ( ?{'((і{) (і=і,г). Оператор ір Ъ, в И(р,) є подібним до оператора Тр + Ь, в Я (Я,,) тоді і ляше тоді, коли '

1) для характеристичних Функцій І^іХ) = 1^{Ер(Ле:ц)| функціоналів Ъ; (ї=1^ї) виконується співвідаошння ,

1/Т{р) - \ 1,(А.) - ехрГр(Л)1 [1/Г(ц) - А. де р(Л) - многочлен, степінь якого не перевищує р, притому р(0) = О; . . .

2} якщо стотиь многочлена р (А.) строго менший за р, то Й1 = (!г, а якщо еге пінь многочлена р(Я) дор'івна» р, то р-оігарні функції йрСв;С1) і йр(в;Я?) р-опуклих областей а, і йг пов'язані співвідаошвіі іям •

• .?ср(0;О,) = йр(в;С,г) + йе(и>е'1р0), -я < в < тс.

у якому ао - це коефіцієнт при Кр у р(Я).

Як наслідок з цієї теореми, при р=^і=1 отримуємо, що. коли С І с. • в опуклими областями в <П, ;^;і містять нулі?, то оператори Г+Ь, в 71(0,) та І+Ьг в Н(Сг) подібні тоді і дше тоді, коли існує таке ас; С(, що аг+а=С1 і функціонали Ь1. та Ъг пов’язані співвідношенням (17).

У роботах М.І.Нагнибіда, М.й.Царьковз, В.А.Ткаченка, В. ії. Подпор і на/ Р.Ф.Коробейішка, С.С.Лінчукз та інших мзтема-тиків ізтачалисн лінійні неперервні спораторл, переставні, з К-чгаріьненим диференціюванням, у різних просторах а нал і тич-

- 19 -

них функцій, Зокрема, В.А.Ткячэнком для випадку, коли С, і 0г є р-опуклими областями в С, причому Ч, 5 0г> було шшсано множину всіх операторів 'Ге£(Л(0 ),К(0г)), для яких вігкоііу-

ВТЬСЯ СПІВПІДНОЮЯШІЯ ■

ТО -П Т. <1«)

• ' р»ц- р.^

Ало залишалося яідкрити.ч шітаннл про зображення ізоморфізм нз Т: Ч(С,(і ), які задовольняють (18). Зауважиш, що

М.Г.Непщбїлою буж чеканено, що кода Я, і п одаозв'язвд-

• І с.

ми областгаяі и С, то оператор Тс,С<7£((ї() ,7((П?)) в ізоморфізмом, для якого 'Г д§ = 37 'г» Т°Д1 і лигав тоді, коли існуй таке аеС, що а -чі=(; і

, (Т/)(й) - С /(а + а), / € Я(а,),

да С * 0 - деяка стала. " •

У 5 2.7,вико;жгтовуичи результата новдрэднього параграфу, для довільних р-апуклнх областей. 0, І С Із Ш отримано зображення всіх ізоморфїзмїв Т: Я(<11) -> ,7{(0г),які задовольняють рівність (13)- А сака, доведена

Т е о р о м а 2.7.1. Нехай 5, і Сг - р-опуклі 'області комплексної площини С. Опорптор Т?/Г(7<(С, )»ЩС?)) в ізоморфізмом, гаий задовольняв рівність (!8), тоді і лише тоді, коли його характеристична функція ї(А,я) = Т [Е (Ая;ц)] подається у ВИГЛЯДІ ~

Ш.г) = едр [р(\)1 Ер(А.гз;д), АеС, ае5г,

ДО ]?(А) цо многочлен, степінь якого зо. пер; видує р, і виконується умова 2) теореми 7^ '

- го - '

• В її С Н О В К її. ,

У двспртацШОй роботі и просторах аналітичних функцій

побудовані нвтріт і •эльш згортка для операторів, які ,в правими оберненими до у^ат'ял-нй/того д’Л?щр,о;ац»ва;!ши Пикор'лотову-ети властгоюсті'отриманая згорток, описуються коефіцієнтаі мультсисікатори давши ф. рмя/шгах розглядів "аяйліти-ших' функцій, а твхпїі онпу«даться розв’язкк доякик операторная рівшк», що містять оператори узапуіьяеїшх інтегрування і дафероївцгозаиіиі, і дослідіг/оться властивості цих розв'язків.

Дисертація містить нов'і обгрунтовані таоратичні результати, які е певним ипвском у тоорїв лінійних ішіюрбрвішх операторі», що діють у. просторих аналітичних функцій.

. Список опублікованих рг'Ят по темі дисертації:

1. Звоздэцъйий ТЛ.,Лшчук С.С: Узагальнення згортки Ворга-Дімовського і) просторах ’аналітичних фучкцій//Укр.муї. *. -

' 1996.- Т.48, Я С.910-919. .

2. Зпоздоцький Т.І. Про ізоморфізни. які в трестввват з

' . оператором узагальненого дифорешиювешш Гольфоодз-Ле-

онтьева //Інтегральні перетворзшя та їх застосування до крайовжс задач: Зб.наук.пр,- Київ: ін-т математики ІїАІІ

. України,1995,- Вин. 10.- С.243-248. ■ . , ■

3. Звоздацький ТЛ. Зображення коефіцієнтних щльтишіійаторів розкладів аналітичних функцій .у ряди, за системой * функцій ШгтйГ~Ле$щеря // Матеріали міжнародно! матвшз-

^ тичної конференції, црисвячоної нам’яті Ганса Гана.-Чернівці: Рута,1995.-С. 110-118. ’

4., ЗвоздоцькиЙ'".І. Про одав узагальнення згортки Бєрга-Ді-мовсукого,- .Чернівці, 1993,- 31 с.- Доп. в ДІЖ України 19.ОТ.93, » 153V - Ук 93. ' '

- С. І —

5. Лінчук С.С., Звоздецький Т.І. Деякі згортки в просторах Цілих фуіг-цій та їх застосування.-Чернівці,1993.- 22 с.-Двп. В ЦНТБ України 13.08.93. Л 1702 - Ук 93.

6. Звоздецький Т.Ь Комутант степеня оператора, - який е права* обйрнешм ДО уЗйГИХЬНи’ЮГО диференціювання Гольфон-да-Леонтьева,- Чернівці.1994.- 16 с.-Деп. в ДНТВ України 13.09.94, й 1874 - Ук 94.

7. Звоздецький ?. і.,Лінчук С.С. Про одну згортку в просторі

аналітичних функцій.- Чернівці, 1994.- 9 с,- Дец. в ДНТВ України 13.09.94, >в 1875 - Ук 94. ' .

8. Звоздоцький-Т.І. Узагальнені многочлени Бернуллі// Мато" ріали наукової конференції викладачів, снівроб'ітннків та

, студентів,присвіїченої іго~річчю заснувшая Чернівецького університету (4-6 травня 1995 р. ).Т.2. Фіздао-матемвтич-ні науки.-Чернівці: Рута, 1995.- С.88.

9. Звоздецький Г., Лінчук С. Про одну згортку в просторі аналітичних функцій // Всеукраїнська наукова конференція "Розробка та застосування математичних методів у науково-технічних дослідженнях", присвячена 70-річчю від дня нзродоння професора П.С.Кашмірського (5 - 7 . жовтая І995 р.). Тези доповідай.Частина І.-Львів.1995.-С.75-76.

10. Лінчук С., Звоздецький х\ Конутант оператора,;*отй в правим оберненим до узагальненого диференціювання, і його застосування //. Всеукрякксьха конференція "Диферанці-ально-фуштцюяальні рівняння та їх застосування", присвячена 60-річчл від дня народження ВЛ.Фодчука (15 - 13 тршня 1996 р., м.Чернівці). Тези донов*деЯ.-Киів,1996.-0.112.

Згоздецккй Т.Н. Некоторив операторные уравнения,снизанные с обобщенным интегрированием, и свертки в пространствах аналитических фуїсчдий.Рукопись.Диссортаціїл на соискание ученой степени кандидата Физшо-штеыатических наук по специальности 01.01.01математический анализ. Львовскиа государственник университет, Львов, 1996. .

В пространства?: аналитических функций построена натри- ' виальчне сверпот для произвольных операторов,являющихся Правима обратными к обобщенному ДйфїОрЄНЦИрОВ8ШШ. Крокэ тоге,с помшдъо хар&.лгордсппосиих функций лшейвцх нэпрерданих операторов найдеш рэяэшзя некоторых операторных уравнений, со-деркапцтх онэраторн обобщенных интегрирования п дифференцирования, а таете исследована свойства етах рэтеяиа.

2voadet3lor ?.I. Somo operator equations connected with generalized Integration, arid convolutions to spaces of analytic functions.Manuscript.Theeis for a degree of candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Siatheffiatics, speciality 01.01.01Mstheraatleal Analysis. L'viv state university, L’viv, 1936.

Convolutions for. arbitrary right inverss operators of the generalized differentiation have been built in Bpaces of analytic functions. BeoideB.by means of characteristic functions of linear continuous operators tie solutions of some operator equations contained tfte operators of generalized integration and differentiation have been found and the properties of these solutions have been investigated..

Ключові слова: згортка, комутант, узагальнене Інтегрування, узагальнене дьЦ»рэнЩвв'”гг,“ ’