Некоторые приложения метода экстремальных метрик и метода вариаций к теории однолистных конформных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ПРОБЛЕМЫ МОДУЛЯ ДИН НЕКОТОРЫХ СЕМЕЙСТВ КРИВЫХ.

§ I. Проблема модуля для классов кривых на

§ 2. Проблема модуля для классов кривых на

HoAe^W. зз

Глава 2. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ

ГОМЕОМОРФИЗМОВ КРУГА НА НЕНАЛЕГАЩИЕ ОБЛАСТИ

§ I. К задаче об экстремальном разбиении замкнутой плоскости на семейство одноовязных областей

§ 2. Задача о максимуме произведения конформных радиусов в семействе пар областей, не содержащих заданных пар точек

§ 3. О монотонном изменении емкости.

§ 4. О значениях, выпускаемых в круге j функциями классов я (Л) 5"'(Л)

Глава 3. О МНОЖЕСТВЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ В КЛАССАХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

§ I. Множество значений j(}о) -в классах Sj^

§ 2. Минимум | j"(jo)j в классе Sr

§ 3. О значениях, выпускаемых функциями класса

5 [э в круге Ijl^t

Глава 4. К ОЦЕНКАМ НАЧАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В

НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

§ I. Оценки »

Н £ Л £ 1 , в классе

§ 2. Оценки otg+d^ в классе

I. К основным методам теории однолистных функций относятся метод площадей, параметрический метод Левнера и вариационно-параметрический метод Левнера-Куфарева, методы внутренних и граничных вариаций, метод экстремальных метрик, метод симметризации. Метод экстремальных метрик возник сравнительно недавно и наиболее тесно связан с дифференциальной геометрией и топологией. В основе этого метода лежат данное Л.Альфорсом и А.Бейрлингом определение экстремальной длины семейства кривых, представляющее собой существенное обобщение модуля Гретша, и предложенное Дк.Дженкин-сом распространение этого понятия на случай нескольких семейств кривых (см. [i] ). Метод экстремальных метрик успешно сочетается с вариационными методами и методом симметризации. В настоящее время имеются различные формы указанного метода. Одной из этих форм можно считать решение экстремальных задач теории конформных отображений при помощи "общей теоремы о коэффициентах" Днсенкинса [i, 2] . Эта теорема является реализацией принципа Тейхмюллера для широкого круга экстремальных задач. Отметим, что доказательство "общей теоремы о коэффициентах" опирается на результаты о глобальной структуре траекторий квадратичных дифференциалов, обусловленные развитием вариационных методов. В свою очередь, факты о структуре траекторий систематически используются в современных исследованиях вариационными методами и значительно упростили применение этих методов. При помощи "общей теоремы о коэффициентах" было получено решение большого числа экстремальных задач см. [i] ), а также [з , введение] ). Одаако имеются экстремальные задачи, к которым "общая теорема о коэффициентах" либо вообще неприменима или ее утверждение оказывается мало содержательным.

В последние годы получила широкое распространение другая форма метода экстремальных метрик, получившая название метода модулей. Эта форма указанного метода наиболее непосредственно восходит к методу полос Гретша. Метод модулей основывается на связи рассматриваемой экстремальной задачи с той или иной проблемой модуля для семейств гомотопических классов кривых. При этом отмеченные точки на поверхности, фигурирующие в определении этих семейств классов кривых, играют роль неизвестных параметров-функционалов исследуемой экстремальной задачи. В соответствии с принципом Тейхмшлера, отмеченные точки служат полюсами ассоциированного квадратичного дифференциала.

Указанная проблема модуля, как правило, представляет собой задачу об экстремальном разбиении плоской поверхности на семейство неналегаоцих областей, не содержащих отмеченных точек , и модуль этой экстремально-метрической проблемы выражается в терминах соответствующих конфорлных инвариантов и их аналогов и представляет собой функцию от параметров &« . При решении экстремальной задачи в некотором классе отображений или систем отображений, как правило, рассматриваются проблемы модуля для одного или нескольких семейств кривых как в плоскости независимого переменного, так и в плоскости образа. К числу задач, для которых метод модулей применяется наиболее непосредственно, принадлежат вопросы об экстремальном разбиении всей замкнутой плоскости С или круга (2/на семейство неналегающих односвязных и двусвязных областей заданной геометрической структуры. Этому кру:гу вопросов посвящены известные исследования Г.Гретша, М.А.Лаврентьева, Г.М.Голузина и других авторов (см. [4 - 14 ] ). Из более поздних укажем работы Ф.Хукеманна [15] , У.Пиряя [1б] , Г.П.Бахтиной [17, 18J , В.А.Андреева [l9] , И.А.Александрова и В.А.Андреева [20] , Г.В.Кузьминой [3l] , С.И.Федорова [з2, 4l] .

При помощи метода модулей и метода симметризации Дж.Дженкинс решил задачу о максимуме модуля функции и другие экстремальные вопросы в классе функции Бибербаха-Эйленберга [21; 1,П] , проблему Гронуолла в классе S [22] , получил ряд теорем о граничном искажении в классах однолистных отображений [2з] . Этим же методом Хукеманн независимо и одновременно с П.М.Тамразовым [24] , получил решение задачи о максимуме (f'f^o)! в классе конформных гомеоморфизмов кругового кольца [25] . Дж.Дженкинсом [2б] , К.Штребелем [27, 28] , П.М.Тамразовым [29] (см. также [зо] ) и Г.В.1фзьминой [з] были установлены общие результаты качественного характера в вопросах существования и единственности экстремальной метрики проблемы модуля для нескольких семейств кривых (о некоторых из этих результатов говорится ниже). Применениям метода модулей посвящена работа Г.В.Кузьминой [з] , там же дается обзор результатов, полученных этим методом. К последним исследованиям методом модулей относятся работы [31 - 42] .

Для многих экстремальных задач, остающихся до настоящего времени нерешенными, число полюсов ассоциированного квадратичного дифференциала достаточно велико, что и определяет трудность решения этих задач. Метод модулей оказывается эффективным методом для решения многих таких вопросов; существенную роль при этом играгат результаты единственности экстремальной метрики проблемы модуля. К указанным задачам относятся, например, воцросы о нахождении областей значений и точных оценок для различных функционалов в основных классах однолистных отображений и систем таких отображений. В данной работе приводится законченное решение некоторых таких задач методом модулей.

2. Везде в дальнейшем пользуемся терминологией, употребляемой в [i] и[з] . Приведем некоторые основные определения и факты теории модулей семейств кривых, используемые в данной работе.

Замкнутая плоскость С - риманова поверхность, конформно эквивалентная двумерной сфере, и на всей поверхности С (или в некоторой области D на С ) естественно рассматривать конформно инвариантные метрики. В частности, метрику рассматриваем как такуюметрику. В соответствии с этим под спрямляемой кривой "ft4 на С понимаем кривую, для которой интеграл L. су0 ществует (как интеграл Лебега) и, возможно, равен +со . Под локально спрямляемой кривой понимаем кривую, любая замкнутая дуга которой спрямляема. В дальнейшем везде рассматриваем классы локально спрямляемых кривых, не отмечая это в ряде формулировок.

Приведем определение модуля одного класса кривых ( L -определение модуля).

Пусть D - некоторая область на С . Пусть Н - класс локально спршлляемых кривых в D . Для Н определена проблема модуля, если шлеется непустой класс Р метрик р(ъ) , заданных на D , где р (?) - неотрицательная измеримая функция, удовлетворяющая следующим условиям. Для любой локально спрямляемой кривой У" в области D интеграл ^ j)(z)ldzj существует (как интеграл Лебега) и при этом

Далее, интеграл существует и конечен. Тогда модуль семейства Н оцределяется равенством

Л(Н)= Ktf/Mdxdy .

Каждая метрика из Р называется допустимой. Если в Р существует метрика p^fe) fct , ,для которой

Л(н)= ^p*l(z)dxdu , D то эта метрика называется экстремальной.

Основным из свойств модулей семейств кривых является конформная инвариантность. Хорошо известны примеры модулей простейших классов кривых и их связь с характеристическими конформными инвариантами области [i] . Так, для модуля двусвязной области D относительно класса кривых, разделяющих ее граничные компоненты, имеем равенство у где MCD) - конформный модуль области JJ . Через Л (D> ol) обозначаем приведенный модуль односвязной области D , CL £ D , относительно точки d :

Mfi^i-tyRM. если где R CD, л) - конформный радиус области V относительно точки CL , R (D,oo) равен емкости границы области!) .

Выше уже отмечалась существенная роль данного Дк.Дкенкинсом распространения определения модуля одного класса кривых на случай нескольких классов кривых (см. [i] ). В работе [2б] Дженкинс доказал существование и единственность экстремальной метрики такой проблемы модуля для семейства гомотопических классов { hlj} J = . - -; I , жордановых кривых на Я = £N A t где R - конечная ориентируемая риманова поверхность, А= • •; ^h}- множество отмеченных точек на & . Экстремальной метрикой этой проблемы модуля служит метрика , где - квадратичный дифференциал, регулярный на Я- и имеющий простые полюсы в точках из А . Как показано в [2б] , рассматриваемая экстремально-метрическая проблема соответствует задаче об экстремальном разбиении К. на семейство двусвязных областей и четырехугольников, ассоциированное с семейством классов кривых {Нj j . Экстремальным свойством квадратичных .дифференциалов с замкнутыми траекториями в задаче об экстремальном разбиении римановой поверхности Я- на семейство двусвязных областей посвящены, работы К.Штребеля [27, 28] . Естественно, вопрос об аналитическом выражении для. экстремальной метрики в работах [26 - 28] не рассматривался.

Важным для приложений является распространение данного .Пден-кинсом определения проблемы модуля для нескольких классов кривых на тот случай, когда среди рассматриваемых классов Hj имеются классы, кривых, гомотопных точечным кривым в отмеченных точках на (С [з] : рассмотрения такого рода связаны с теорией емкости плоских множеств. Единственность экстремальной метрики такой проблемы модуля была доказана П.М.Тамразовым (см. [29J , а также [зо] ).

В дальнейшем, в соответствии с определением в [3J , под критическими траекториями квадратичного .дифференциала понимаем те его траектории, которые имеют некоторые из отмеченных точек на С своими предельными концевыми точками или содержат эти точки. Через CjO обозначаем объединение замыканий всех критических траекторий дифференциала Q(z)dz*' . Приведем краткую формулировку результата Г.В.Кузьминой [з] , дающего полное качественное решение указанной выше проблемы модуля для семейства классов кривых на замкнутой плоскости С [з, теорема 0.1 ] .

Пусть С=СЧА^В) , где множества отмеченных точек на . Пусть

Н)'}9 j=V' ••> p+^rL t семейство гомотопических классов замкнутых жордановых кривых на С , где Hj, j=</;.;p , класс кривых, отделяющих некоторые из отмеченных точек на С' от остальных из этих точек и не гомотопных нулю на С , Нр+£ , . hi -класс кривых, гомотопных точечной кривой в . Пусть c^j , j= = . положительные числа. Пусть кяасс всех метрик JD(sj|o!.Ej , где pfs) - вещественная неотрицательная измеримая функция, удовлетворяющая следующим условиям. Для любой локально спрямляемой кривой ^ на (L интеграл существует и при этом для £ Hj

H^pfe) Idzl >o6j 9 j=<ir • tn+p • (i)

Во-вторых, fj^p^fe) существует и конечен, если множество

В пусто. Если же точки имеются, то существует и конечен соответствующий предел. Проблема модуля rfg/fah' ^p+hi) состоит тогда в нахождении точной нижней границы с., оОр + ы) интеграла , если точки $>£ отсутствуют, и упомянутого предела, если эти точки имеются, в классе >••• ? dp+hv) . Экстремальной метрикой в этой проблеме модуля является метрика iQfzf'Idzl , где сЬнФП к^'И

Pfe)-С П(е-С;) - полином степени 4 k+2ht-lj . Объединение I замыканий всех критических траекторий дифференциала (2) разделяет С на семейство ID областей Dj;J = .Ьъ t ассоциированное с семейством классов [ Hj} , и для искомой нижней границы имеем равенство pHiv ^

М>-( dj? ' • ' ) dp+ht

Здесь р - модуль двусвязной области , ассоциированный с классом , Ьг - приведенный модуль односвязной области Dp+l относительно точки Si . Для любого допустимого семейства ID областей -[ Dj} , ассоциированного с семейством классов [Hj] , имеем неравенство

- 12 pthu Pm

ZotjzJl(dj)4 Ъ^ЛЩ) (3) здесь

Л( Dj) - модуль области Dj , ассоциированный с Hj ), и равенство в (3) имеет место только для семейства Ю . Экстремальная метрика указанной проблемы модуля единственна и существует только один дифференциал вцца (2), для которого объединение замыканий всех кольцевых и круговых областей совпадает с 1 . Коэффициент L и нули Ск полинома определяются условием связности компонент множества Ф ,для дифференциала (2) и условием равенства в (I) для траекторий дифференциала (2) в области Dj . Если множество Ь не пусто, то для определения полинома P(sj имеем Иг алгебраических условий.

Проблема модуля для семейства гомотопических классов замкнутых жордановых кривых и дуг в круте с отмеченными точками в U* и на границе JJ легко сводится к рассмотренной в теореме 0.1 из [3] проблеме модуля для семейства классов кривых на С как .дубле JJ . В этом случае имеем соответствующее аналитическое выражение для экстремальной метрики £з, теорема 0.2J .

Указанные результаты существенно используются в дальнейшем.

3. Первая глава диссертации посвящена некоторым проблемам модуля для семейств гомотопических классов замкнутых жордановых кривых на всей замкнутой плоскости с исключенными отмеченными точками. Качественные результаты в общей проблеме модуля такого вида установлены в сформулированной выше теореме 0.1 из [з] .

Исследуемые в первой главе проблемы модуля равносильны задаче о максимуме суммы оС - неотрицательное вещественное число, в семействе Ю всех пар областей (D^ Dz] > гДе Di » 00 & Д , - односвязная область, Dz - двусвязная область, D^ , I)? ассоциированы с соответствущими классами кривых на плоскости С с исключенными отмеченными точками.

В § I первой главы переизлагаются некоторые из результатов Г.В.Кузьминой [зз] : приводится решение задачи о максимуме суммы (4) в семействе всех пар областей на С = вещественное число, где Ж/ , £ 9 односвязная область, ассоциированная с классом кривых, отде-лягопщх оо от точек 0 у eL ^ ^, - двусвязная область, ассоциированная с классом кривых, разделяющих пары точек 0 , оо и и гомотопных на £>/ по разрезу по ломаной с вершинами в точках

Z' ,(-<)J4£ , (теоремы I

1 и

1.2). В дальнейшем через Е ( 9 9 9 ) обозначаем континуум наименьшей емкости, содержащий указанные точки. Первая из упоминаемых теорем посвящена задаче о континууме Е (09 , представляющей собой частный случай указанной задачи при оС~0 Пусть экстремальная пара областей рассматриваемой задачи в семействе jD^ . В дальнейшем существенно используется поведение величин и нуля ассоциированного квадратичного .дифференциала, как функций от У и оС , аналитические выражения для ваются в теореме 1.2 и в замечании I.I приводятся выражения для производных этих функций ПО У' и по оС

§ 2^посвящен решению задачи о максимуме суммы (4) в семействе ID ^ пар областей где C<i>0 , ^ - вещественное. Здесь , £ D-j? - односвязная область, ассоциированная с классом Н^ кривых, отделящих

• | оо от точек 0 , С| , D^ - двусвязная область,

разделящая точки , и точки 0 , С1 t 00 и ассоциированная с классом где Н/1^ и Н^ - классы кривых, гомотопных на С разрезу по ломаной е вершинами соответственно в точках , в точках , б"6^ ( £ > 0 и достаточно мало). Решение этой задачи при всех a^tf ,

XfCff/ft и дается теоремами 1.3 - 1.5. Доказательство этих теорем проводится по схеме в работе [38J : наличие двойного нуля у ассоциированного квадратичного дифференциала позволяет и в этом случае получить решение задачи в терминах эллиптических функций. Теорема 1.3, посвященная предельному случаю cL-0 , дает решение задачи о ежости континуума Е • # \ /iLV' sM

6 56 ) . Заметим, что указанный континуум имеет различную структуру при различных зависшяостях между и ; при некоторых значениях С( , V Е совпадает с континуумом нашленьшей емкости для тройки точек 0 , , , описанным в теореме I.I. Теоремы 1.3 - 1.5 доказаны при условии

О ^ С^ ^ Z Се5 ^ .В дальнейшем требуется распространение функций этих теорем на другие значения fyj^ . Этому вопросу посвящено замечание 1.7 в конце первой главы.

Легко видеть, что проблема модуля § 2 этой главы находится в простой связи с соответствующей проблемой модуля для .двух классов кривых в круге : с исключенными отмеченными точками 0 , (L , (L , где О < 4 . Проблемы модуля для двух классов кривых в JJ N {0} d2J рассматривались в недавней работе Лиао [зб] и цривели к решению некоторых экстремальных задач. В отличие от проблем модуля § 2 этой главы, в [Зб] рассматривались только классы кривых, не гомотопных нулю в JJ .

4. Во второй главе рассматриваются задачи о максимуме произведения конформных радиусов R в семействах неналега-ющих одно связных областей , и приложения этих задач к вопросам о значениях, выпускаемых в круге ЩуЩ функциями некоторых классов однолистных функций. Пусть ?,. отj множества отмеченных точек на С . Решение задачи о максимуме суммы 1м.

Z*?M(l)t9h) , (5) ы где ^hv- положительные числа, в семействе Ю систем неналегающих односвязных областей где $1 £ Di ,

•дается теоремой 0.1 в [з] . Эту задачу будем называть здесь задачей I.

В § I второй главы рассматривается задача - будем называть ее задачей П - о максимуме суммы (5) в более широком семействе систем неналегащих односвязных областей f 6

Именно, предполагается, что hi- з рде

А , т.е. каждая из областей SiI не содержит некоторого подмножества к^ - своего для каждой области - множества А,

Применением метода внутренних вариаций и метода модулей устанавливается, что экстремальная конфигурация {еды} задачи П единственна и что кавдая из областей = ^ - круговая область для квадратичного дифференциала вида (2). При этом в отличие от задачи I некоторые из нулей Сj дифференциала (2) могут совпадать с некоторыми из точек йк ив том случае, когда эти точки лежат внутри тожества (теорема 2.2).

Простые примеры показывают, что задачи I и П, вообще говоря, различны. В замечании 2.1 конца § I обсуждаются случаи возможного совпадения экстремальных конфигураций задач I и П.

В § 2 решается задача о максимуме произведения конформных радиусов пар неналегающих областей. Эта задача непосредственно связана с задачами о емкости, рассмотренными в первой главе. Используя теоремы I.I - 1.3 первой главы, а также результат § I этой главы, приходим к следующей теореме, которую приводим в сокращенной формулировке:

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть Ji(o,°o'}Cl) - семейство всех пар неналегающих односвязных областей , где , && , & ,(16 В] ,

• Тогда для любой пары Вг} справедливо точное неравенство к (Вьо) R'TBz.oo) 4 tap4(o,к, Ш,ф.% (6) где Равенство реализуется единственной парой областей BW . , определяемой условиями: m= |!г 6 Bj(&)J, при преобразовании Z-* каждой из областей соответствует область

Пусть L=L(0- эллипс с фокусами в точках 0 , Ц , определяемый уравнением |z) +/Н-4) = t >\ ; — '2(4+ t) и lx*il(il-0/A '— точки пересечения L с координатными полуосями; U ~ L1 ($) - ветвь софокусной гиперболы, определяемая уравнением \ •

В §'3 показывается, что при движении точки / по .дуге эллипса ш от точней fy до точки или по .дуге гиперболы от точки до оо емкость Е(о, ^ S>4) монотонно возрастает. Как известно, Дж.Дженкинс [43J'рассмотрел задачу о минимуме Е(о} i) при всех $&L(t) ж показал, что этот минимум реализуется только в случае . Указанный результат был установлен одновременным использованием метода модулей и метода симметризации и получил большое число приложений. Однако для получения гребущегося нам результата использовать метод непрерывной симметризации оказывается довольно затруднительным и мы устанавливаем указанные свойства td^ t исходя непосредственно из аналитических выражений для этой емкости в терминах эллиптических функций, полученных в теоремах I.I и 1.3 первой главы.

Пусть & - класс однолистных функций Бибербаха-Эиленберга, т.е. класс регулярных и однолистных в VL функций i(})^C,i}+Cz}Z+ , (7) удовлетворящих условию f ffi)ff$z) ^ 1 при любых fi , fz £ Н ,

S ^ - класс регулярных и однолистных в Ы функций с разложением (7), в U ,

Я (г) и $(1)М

- классы фтнкций из (А/ - класс функции из S^M с вещественными ^, >. . К

§ 4 посвящен вопросу о значениях, выпускаемых в круге XL функциями классов ш и sm . Решение рассматриваемых вопросов следует из результатов §§ 2 и 3 этой главы и устанавливается теоремой 2.5 и следствиями 2.4 - 2.6. Эти результаты допускают простую геометрическую интерпретацию и приводят, в частности, к решению задачи о множестве Кебе в классе fa) , которая дается следующей теоремой.

ТЕОРЕМ 2.6 . Пусть . Тогда п wumi-o Ш)иЩ-пад am есть область, симметричная относительно обеих координатных осей и ограниченная кривой 2 = X) eLLf , 0 ^ Ц>< Ztf , где при

О kfo Я) < jу - решение уравнения

А = сор4 (о, ч, Ст(*е<'*), aftf'y.

Указываются все граничные функции этого множества.

Множество Кебе во всем классе 52. (Я) найдено в [зз] : граничные точки последнего множества определяются в терминах экстремальной конфигурации задачи Чеботарева для тройки точек, в расположении которых, вообще говоря, уже не тлеется симметрии относительно какой-либо прямой.

5. Пусть S - класс функций 1+с2?Ч., регулярных и однолистных в круге И , - класс (функций из с вещественными коэффициентами ' *

Третья глава посвящена вопросу о значениях, принимаемых функциями класса Sr . В § I рассматривается задача о множестве значении , где fv - произвольная точка bL , в классе

SR . Тогда как задача о множестве значений ■£(?©) во всем классе S была решена Х.Грунским еще в 1932 г. и в настоящее время известно решение значительно более общей задачи о множестве значений системы (t&Cj ^ id^ ^е,)} в классе 5 (см. [44-4б]), указанная задача до сих пор не получила законченного решения.

Пусть Щ0), где Л<(i)- функция

Кебе, и пусть Г(}ь) - дуга окружности, проходящей через точки О , , , которая соединяет точки , z?/ и не содержит начала. В силу известного результата В.Рогозинского для типично вещественных функций [47] , при ittlf0rO множество значений f(f0) в классе Sg - обозначим его через Р(}ь) - содержится в сегменте, ограниченном .дутой Г(}ь) и отрезком . При этом

Остальная часть границы множества P(f0) - обозначит»! ее через ~ имеет весьма транс-центную природу. Задача о множестве Р(}о) исследовалась В.В. Черниковым [48J с помощью вариационного метода Г.М.Голузина и Дж. Дженкинсом [49j с помощью "общей теоремы о коэффициентах". Так, В.В.Черников показал, исходя из вида дифференциального уравнения для граничных функций, что функции класса Sg , вносящие в Pffo) точки на Г (}е>) , отображают U на области одного из двух различных типов. Лд.Дкенкинс установил, что каждой точке Z € Fffo) соответствует единственная функция и что эта функция отображает Ы на область, допустимую относительно квадратичного дифференциала определенного вида. В [49] устанавливается, как меняется вид этого дифференциала, следовательно, вид области

U) , при движении точки z? по .дуге Г fa) от до . Вопросы получения аналитических выражений для ^Yfo) и для параметров указанного дифференциала, а также исследования геометрических свойств Г7 (fb) в зависимости от положения точки в [49J не рассматривались и была отмечена трудность такого исследования.

В § I третьей главы находятся аналитические условия, определяющие Г1 (}о) , и тем самым полностью определяется множество значений £(}*) в классе . Для возможности прямого применения результатов первой главы вводится в рассмотрение класс !*£= {FM: 6 5g} функций, мероморфных и однолистных в области Д= €s[^LfJ . Обозначая множество значений в этом классе функций через , шлеем j£ Р(Сг 1(w0)}J t пусть ~ соответствующая граничная .дута множества множества Ь/о) . Посредством одновременного рассмотрения экстремальных конфигураций проблем модуля §§ I и 2 первой главы соответственно в плоскости образа и плоскости независимого переменного находим аналитические условия, определяющие ^(ь/о) , а потому и искомое множество значений теорема 3.1). При этом условие равенства конформных модулей двусвязных областей в указанных конфигурациях определяет параметр & и выбор гомотопических классов в этих проблемах модуля (лемма 3.1). Это же условие позволяет указать .для любой точки £ £ T(Wc) граничную функцию , именно, получить аналитические выражения для параметров определяющего ее квадратичного дифференциала (лемма 3.2). Теорема 3.2, дающая решение задачи о множестве значений в классе , уже непосредственно слецует из теоремы. 3.1.

В § 2 проводится детальное исследование граничной дуги множества . Показывается, что обладает различными геометрическими свойствами при различных положениях точки ЬГ0й Д' в некоторых: случаях "Jff^*0) определяется уравнением 2= C^fyjQ1^ 9 где монотонно возрастает, в других случаях C^fo) имеет на промежутке задания одш или два локальных максимума (теорема 3.3). Отсюда получаем решение задачи о минимуме j-f(fo)j в классе S £ (теорема 3.5). Пусть ^ = 0<М 9 .Теорема 3.5 показывает, что при экстремальной является функция Кебе %(}) . При ШЦ>< ^искомый минимум определяется в терминах аналитических выражений теорем 3.1 и 3.3. В § 3 находится множество где в классе Sg (теорема 3.6, замечание 3.4). Граница этого множества конкретно определяется также в терминах теоремы, 3.1.

6. Четвертая глава посвящена точным оценкам начальных коэффигк циентов в некоторых классах однолистных функций. Пусть 5 К- класс функции из $ вида + Сш . .

JE - класс функций мероморфных и однолистных в области с разложением вида р Ж

- 22 класс функций из 2 , в Ы* вида т'}*<£** У0"0* ЪмГ'*?.;

S^ , и - соответственно классы функций из S ,2" и 2, с вещественными коэффициентагли в указанных разложениях.

Хорошо известна та роль, которую сыграла в общей проблематике и развитии методов геометрической теории функций гипотеза Бибер-баха, состоящая в предположении, что для каждой функции класса справедливы неравенства и равенство здесь имеет место только для функции Кебе f/fa't})^ , 1&I ~ ^ .В 1936 г. Робертсон предположил, что для S^ справедливо неравенство

И.v

Гипотезы Бибербаха и Робертсона были доказаны совсем недавно Луж де Бранжем [50j при помощи метода Левнера. В вопросе о точных оценках начальных коэффициентов в классе (ив классах 5К ) к настоящему времени получено сравнительно мало результатов. Так, i И-Zjij.p известны следующие точные оценки начальных коэффициентов (см., например, [5l] ):

В 1976 г. Лшлан [52 J получил для $•(}) € S % точное неравенство | С £1090/1023 .

Трудность получения оценок в классе .21 (как и в классах 5 ^, 1< = обусловлена тем фактом, что оценка коэффициента для каждого И- имеет щдивщдуальный характер. В классе X известны. точные неравенства (см., например, [l] );

В 1975 г. Кубота [53, 54] получил точные оценки для Re, и & о в классе функций из X соответственно с вещественным оС^ и вещественными о^ и d& . Полученная оценка для & была первым опровержением предположения, что в классе для всех четных К & .

В § I четвертой главы устанавливаются точные неравенства .для четвертого коэффициента разложения f ($(?)/}] , £ % 4 1 , в ряд по степеням ^ в классе (теорегла 4.1).

При выводе оценок теоремы 4.1 используются неравенства Грунс-кого, дающие необходимые и достаточные условия принадлежности функции классу S и факты о структуре траекторий ассоциированного квадратичного .дифференциала. Доказательство существования и единственности экстремальных отображении теоремы 4.1 основывается на одновременном рассмотрении структуры концевых областей квадратичных дифференциалов в плоскости независимого переменного и в плоскости образа: рассмотрения такого рода проводились в работах рдда авторов цри применении "общей теоремы о коэффициентах" Дженкинса. Из теоремы 4.1 вытекают следующие точные неравенства в с К классе при К = (следствие 4.1):

3 Kz+3k + 0 1

Шн)1 1 п У л

-- , если u^f-t £ и .

1)*> J

Указываются все экстремальные функции этих оценок. Ясно, что полученные неравенства дают и точные оценки снизу для С-зц+j в

С К с-К. классе о^ . Аналогичные оценки получены и в классе А^К'ЦЗ.,., (следствие 4.2). Следствие 4.1 при K-Z усиливает указанную выше

Л с 2 оценку, полученную Лиманом для "у. в классе Ьд . В § 2 главы 4 доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА. 4.2. Пусть {(}) € . Тогда справедливы точные неравенства: если d^O у если dj £ 0 .

Находятся все экстремальные функции этих неравенств.

Теорема 4.2 усиливает для функций из Z£ соответствующее неравенство для , установленное Куботой [53 J более сложным путем для функций -j-(f) 6 И с вещественными о^ и . Вы

L+ jL. 3 W lil 3 ^ № вод неравенств теоремы 4.2 проводится по той же схеме, как и в § I этой главы, а их точность следует из точности оценок теоремы 4.1.

7. Результаты диссертации докладывались на УШ и IX Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям, а также на совместной конференции молодых ученых МИАН, ЛОМИ, ТбГу, на Ленинградском семинаре по геометрической теории функций.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Г.В.Кузьминой за постановку задач, постоянное внимание и поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

42] , [бб] .

1. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М., ИЛ, 1962, 265 с.

2. Jenkins J.A. An extension of the general coefficient theorem.-Trans.Amer.Math.Soc., 1960, v.95, N 3, p.387-407.

3. Кузьмина Г.В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы. Труды Мат.ин-та игл.В.А.Стеклова АН COOP, 1980, т. 139, 240 с.

4. Grotzsch H. Ober ein Variationsproblem der konformer Abbildung. Ber.Verh.Sachs.Akad.Wiss. Leipzig, Math.-Phys.Kl., 1930,Bd 82, S 251-253.

5. Лаврентьев M.A. К теории конформных отображений. Труды Физ.-Мат. ин-та АН СССР, 1934, т.5, с.195-246.

6. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении. 1У. -Мат. сб., 1951, т.29(71), Ш 2, с.455-468.

7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Изд.2-е, М.," Наука", 1966, 628 с.

8. Куфарев П.П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей. ДАН СССР, 1950, т.73, 5, с.881-884.

9. Куфарев П.П., Фалес А.Э. Об одной экстремальной задаче для дополнительных областей. ДАН СССР, 1951, т.81, № 6, с.995-998.

10. Колбина Л.И. Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении. ДАН СССР, 1952, т.84, J6 5, с.865-868.

11. Jenkins J.A. A recent note of Kolbina. Duke Math.J., 1954, v.21, N 1, p.155-162.

12. Лебедев Н.А. К теории конформных отображений круга на нена-легащие области. ДАН СССР, 1955, т.103, IH, с.553-555.

13. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.,"Наука", 1975, 336 с.

14. Александров И.А. Параметрические цродолжения в теории однолистных функций. М.,"Наука",1976, 343 с.

15. Huckemann F. On extremal decompositions of the unit disk. -J.Anal.Math., 1967, v.19, p.173-202.

16. Pirl U. liber die geometrical Gestalt eines Extremalkontinuums aus der Theorie der konformer Abbildung.- Math.Nachr.,1969, Bd 39, H.4-6, S 297-312.

17. Бахтина Г.П. Об одной экстремальной задаче конформного отображения неналегаицих областей. Укр.мат.журн., 1974, т.26,5, с.646-648.

18. Бахтина Г.П. Об экстремизации некоторых функционалов в задаче о неналегащих областях. Укр.мат.журн., 1975, т.27,J£ 2, с.222-224.

19. Андреев В.А. Экстремальные задачи для неналегающих областей.-Автореф. кацц.дисс. Донецк, 1976, II с.

20. Александров И.А., Ацдреев В.А. Экстремальные задачи для систем функций без общих значений. Сиб.мат.журн., 1978, т.19, В 5, с.970-982.

21. Jenkins J.A. On Bieberbach-Eilenberg functions. I,It ,- Trans. Amer.Math.Soc., 1954, v.16, N 3, p.389-396; 1955, v.78, N 2, p.510-515.

22. Jenkins J.A. On a problem of Gronwall.- Ann.Math., 1954 , v.59, N 3, p.490-504.

23. Jenkins J.A. Some theorems on boundary distortion.- Trans. Amer.Math.Soc., 1956, v.81, N 2, p.477-500.

24. Тамразов П.М. 0 некоторых экстремальных задачах конформного отображения. Мат.сб., 1967, т.73(115), В I, с.99-125.

25. Huckemann F. Extremal elements on certain classes of conformal mapping of an annulus.- Acta Math., 1967,v.118 , N 3 4,p.193-221.

26. Jenkins J.A. On the existence of certain general extremal metrics. Ann.Math., 1957, v.66, N 3, p.440-453.

27. Strebel K. tiber quadratische Differentiale mit geschlossen Tra-jektorien und extremale quasikonforme Abbildungen.- In: Fest-band zum 70. Geburdstag von R.Nevanlinna. Berlin u.a., Sprin-ger-Verlag, 1966, p.105-127.

28. Strebel K. On quadratic differentials with closed trajectories and second order poles.- J.Anal.Math., 1967, v.19, p.373-382.

29. Тамразов П.М. Метод экстремальной метрики и конформное отображение. Автореф.канд.дисс. Киев, 1963, 23 с.

30. Тамразов П.М. Теоремы покрытия линий при конформном отображении. -Мат.сб., 1965, т.66(108), 14, с.502-524.

31. Кузьмина Г.В. К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегащих областей. Зап.научи. семин.ЛОМИ, 1980, т.100, с.131-145.

32. Федоров С.И. 0 максимуме произведения конформных радиусов четырех неналегающих областей. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1980, т.100, с.146-165.

33. Кузьмина Г.В. Теоремы покрытия в классах функций Бибербаха-Эйленберга. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.112, с.143-158.

34. Федоров С.И. О максимуме одного конформного инварианта в задаче о неналегащих областях. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.112, с.172-183.

35. Liao L. Certain extremal problems concerning module and harmonic measure.- J.Anal.Math., 1981, v.40, p.1-42.

36. Кузьмина Г.В. К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегащих областей в круге. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1983, т.125, с.99-113.

37. Кузьмина Г.В. 0 максимуме одного конформного инварианта, связанного с емкостью. Зап.научн.семин.ЛОМИ,1983, т.125, с.114-127.

38. Кузьмина Г.В. Об одной проблеме модуля для семейств кривых.-Препринт ЛОМИ Р-6-83. Л., 1983, 43 с.

39. Гаврилюк М.Н., Солынин А.Ю. Применение проблем модуля к некоторым экстремальным задачам. Деп. в ВИНИТИ, В 3072-83, 139 с.

40. Гаврилюк М.Н., Солынин А.Ю. Оценки модуля производной в некоторых классах однолистных функций. Деп. в ВИНИТИ, $ 5656-83, 18 с.

41. Федоров С.И. 0 вариационной проблеме Чеботарева в теории емкости плоских множеств и теоремах покрытия для однолистных конформных отображений. Мат.сб., 1984, т. 123(165), № 5,с.I2I-I39.

42. Федоров С.И. Модули некоторых семейств кривых и множествозначений в классе однолистных функций с вещественнымикоэффициентами. Зап.научн.семин.ЛСМН, 1984, т.139, с.156-167.

43. Jenkins J.A. On certain geometrical problems associated with capacity.- Math.Nachr1969, Bd 39, H. 4-6, S 349-356 .

44. Попов В.И. Область значений одной системы функционалов на классе S . Труды Томск.ун-та, 1965, т.182, с.107-132.

45. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций. ДАН СССР, 1970, т.194, J5 5, с.750-753.

46. Горяйнов В.В. Об экстремалях в оценках функционалов, зависящих от значений однолистной функции и ее производной. В кн.: Теория отображений и приближение функций. Киев, "Науко-ва думка", 1983, с.38-49.

47. Rogosinski W. uber positive harmonische Entwicklungen and typisch-reelle Potenzreichen.- Math.Z., 1932, Bd 35, N 1, S 93-121.

48. Черников В.В. Однолистные функции с вещественными коэффициентами Уч.зап.Томск.ун-та, I960, 36, с.3-12.

49. Jenkins J.A. On univalent functions with real coefficients,-Ann.Math., 1960, v.71, N 1, p.1-15.50. de Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture.- LOMI Preprints, E-5-84, Leningrad: LOMI, 1984, 21 p.

50. Голузин P.M. Некоторые вопросы теории однолистных функций. Труды Мат.ин-та им.В.А.Стеклова АН СССР, 1949, т.27, 109 с.

51. Leeman G. The seventh coefficient of odd symmetric univalent functions.- Duke Math.J., 1946, v.43, N 2, p.301-307.

52. Kubota Y. A coefficient inequality for certain meromorphic univalent functions.- Kodai Math.Semin.Rep., 1974/1975, v.26,N 1, p.85-94.

53. Kubota Y. On the fourth coefficient of meromorphic univalent functions. Kodai Math.Semin.Rep., 1974/1975, v.26, Ж 2-3, p.267-282.

54. Schiffer M. Univalent functions whose n first coefficients are real. J.Anal.Math., 1967, v.18, p.329-349.

55. Федоров С.И. К оценкам начальных коэффициентов в классах однолистных функций. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1983, т.125,с.166-183.

56. Jenkins J.A. On certain extremal problems for the coefficients of univalent functions. J.Anal.Math., 1967» v.18,p.173-184.