Некоторые применения измеримых многозначных отображений к задачам управления в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Глава I. Замкнутость и компактность пучка траекторий динамической системы.

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Замкнутость пучка траекторий

§ 3. Необходимые условия замкнутости пучка траекторий

§ 4. Линейные системы.

Глава П. Динамические системы с заданными свойствами

§ I. Когда многозначная функция является интегралом Аумана или теорема Радона-Никодима для многозначных мер

§ 2. Реализация многозначных функций линейными управляемыми системами

I. В последние годы большое развитие, как в теоретическом, так и в практическом плане, получила теория оптимального управления, основы которой были заложены А.С.Понтрягиным, В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко в 1959 году в их фундаментальной работе Гб] .В [б] впервые в монографической литературе в явном виде была сформулирована ставшая с тех пор стандартной математическая постановка общей задачи оптимального управления:

- поведение объекта на временном отрезке 10,1 ] описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром ш = т); *(о) - о ; (ол)

- в каждый момент времени параметр и. Ш , называемый управлением, можно менять в пределах некоторого замкнутого ограниченного множества ;

- на множестве пар , где а - управление на отрезке Т , а Х((1) соответсвующая ему траектория, т.е. решение системы (0.1), задан функционал 7 со значениями в

Я ;

- требуется найти такое управление и* , что для любого управления и справедливо

7(uUaÖ) ^ 3(U,X(U)). (0.2)

Обозначая множество [{(¿.ХЛ)'- ие U(t)} через F(t,x), получаем задачу в близкой постановке с привлечением дифференциальных включений x(Ve F(tj x(t)) (0e3)

7(Х) men iQA)

Работа feJ посвящена получению необходимых условий оптимальности управления - наиболее важному с точки зрения приложений разделу теории. Однако в общей теории немаловажное место занимает и вопрос существования оптимального решения, который в конечном счете сводится к тому, достигает ли функционал своего экстремума на области определения. Ответ на этот вопрос зависит от двух факторов: свойств функционала и свойств его области определения. Б задачах оптимального управления областью определения функционала, как правило, является пучок траекторий, т.е. совокупность всех траекторий исходящих из начальной точки, или область достижимости за некоторое время

Т , т.е. сечение пучка траекторий в этот момент времени ttT .в предлагаемой диссертации предпринимается изучение этих объектов для динамических систем вида (0.1) (0.3) в различных пространствах.

В первой главе изучаются такие их топологические свойства, как замкнутость и компактность, а в случае линейных систем - также и их экстремальная структура.

Во второй главе ставится в некотором смысле обратная задача: построить линейную систему с заданными областями достижимости. Дается ее приближенное решение для любых заданных областей достижимости в , а также условия точной разрешимости для простейшего случая в пространстве Фреше.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9-12,] .

2. Впервые системы типа (0.3) были рассмотрены, по-види-моьлу, Марию Г 56, Ь7] и Зарембой [68] в 30-е годы нашего столетия. Для непрерывной функции X они определяли в точке контингенциальную производную йХ(^о) , как совокупность точек, представимых в виде предела

Со для некоторой последовательности точек Ф /<? . Траекториями считались непрерывные функции, удовлетворяющие на отрезке Т соотношениям г(Ь,х{±)), хсо)=о. (0в&)

Основным объектом изучения был не пучок траекторий, и так называемая зона достижимости, которая представляет собой график этого пучка. Однако, после того, как Важевский [66, 67^1У61 году показал, что условия:

X - непрерывная функция, 0Х0У<= Г(ЬХМ) всюду на Т , при некоторых естественных предположениях эквивалентны условиям

X - абсолютно непрерывная функция, х№) 6 F(t,x(t)) почти всюду на Т , систему (0.5) стали рассматривать в более удобной форме (0.3), а решения выбирать из класса абсолютно непрерывных функций.

Дальнейшее развитие теории по части существования решений системы (0.3) шло по пути ослабления ограничений на правую часть, см. [15,17,18,20,22,30} и др. В диссертации изучены теоремы существования для нового класса систем (0.3) - систем с невыпуклой слабокомпактной правой частью. Их доказательство использует идеи работ £"15, £2.] и существенно опирается на доказанный автором новый признак слабой компактности в пространстве (Т, X) интегрируемых по Бохнеру функций со значениями в банаховом пространстве X (теорема 1.3.1).

Замкнутость и компактность пучка траекторий систем (0.1), (0.3) исследовалась многими авторами, см., например, 14,19, ¿¿8,29,477 . Однако, по-видимому, впервые компактность пучка была получена Филипповым [19] . Существенную роль в его доказательстве сыграла так называемая лемма Филиппова об измеримом выборе. Дальнейшее развитие теории измеримого выбора Г34,53, 58,667 позволило осознать эквивалентность систем (0.1)и(0.3) и, следовательно, эквивалентность изучения пучков их траекторий . Б 1972 году Берковиц [27] предложил довольно общий и простой метод доказательства замкнутости пучка траекторий в ко -нечномерном пространстве, который позволял получить большинство известных в этой области результатов. Напомним суть этого метода. Из сходимости последовательности [Х^^иеА/} траекторий системы (0.3) к некоторой функции X получают слабую сходимость последовательности } их производных к

X . Затем, используя теорему Мазура, выбирают последовательность /У^'1^'^/ , элементами которой являются выпуклые комбинации элементов из , такую, что она сходится к X в пространстве (Т}Х) . В силу требуемой непрерывности функции в метрике Хаусдорфа и требуемой выпуклости ее значений получают, что Га,Х({)) / В(£) почти всюду на Т для любого £ > О . Здесь В (£) ~ шар радиуса £ с центром в нуле. Теперь остается только перейти к пределу по £ . В бесконечномерном случае из сходимости траекторий слабая сходимость их производных, вообще говоря, не вытекает. Поэтому схема Берковица не проходит. В диссертации предлагается другой подход. Он основан на одном результате из теории измеримых многозначных функций (леммы 1.2.1 и 1.2.4), который позволяет получить включение ха)е Гдля выпуклозначной функции ^ из имеющейся сходимости ^ Хк —^ X для любого измеримого множества А Т .

В бесконечномерном случае мы сталкиваемся с еще одной трудностью. Дело в том, что в этом случае не всякая абсолютно непрерывная функция почти всюду дифференцируема. В диссерта -ции эта трудность обходится двумя путями, позволяющими получить почти всюду дифференцируемость абсолютно непрерывной функции: сужается класс рассматриваемых пространств, а именно, берутся только банаховы пространства со свойством Радона - Ий-кодима; накладываются дополнительные ограничения на правую часть, а именно, требуется слабая компактность множеств (см. § 2 гл. I). Второй подход с более жесткими ограничениями на функцию Г предпринят также в [14] .

Известные автору результаты о замкнутости пучка траекторий, в том числе и доказываемые в диссертации, получены при предположении выпуклости правой части системы (0.3). Интересно выяснить, насколько условие выпуклости необходимо для замкнутости пучка траекторий. По-видимому, первый результат такого сорта был получен Бруновским [31] : выпуклость значений непрерывной функции Р необходима для замкнутости пучка траекторий системы (0.3), рассматриваемой в Толстоногов [16] показал, что для замкнутости пучка траекторий системы (0.3) с непрерывной компактнозначной функцией Г ^ рассматриваемой в банаховом пространстве, необходима выпуклость множеств почти всюду на Т вдоль всякой траектории X . В диссертации с помощью полученных теорем существования доказан аналогичный результат, который кратко можно сформулировать так: для слабой замкнутости пучка траекторий системы (0.3) с непрерывной слабокомпактнозначной функцией Р необходима выпуклость множеств /"V X) .

В бесконечномерном и конечномерном случаях для линейных систем вида (0.1) (слабую) компактность пучка траекторий обычно получают как следствие (слабой) компактности множества управлений [29, 47] , которое является множеством измеримых селекторов некоторой многозначной измеримой функции. Поэтому здесь на первый план выходит получение (слабой) компактности множества измеримых селекторов таких функций в пространстве . Первые такие результаты о слабой компактности были получены Дистелем [42] и затем улучпены Бирном [32] . Как уже отмечалось выше, в диссертации (теорема 1.3.1) получен довольно общий результат подобного сорта: требуется только слабая компактность значений измеримой многозначной функции. Доказательство опирается на критерий Джеймса слабой компактности множеств в банаховом пространстве [54] (см. также стр.30), а также существенно использует теорию измеримых многозначных отображений

36, Ы, 64, 65] .

Исследование экстремальной структуры пучка траекторий линейной системы вида (0.1) опирается на описание крайних точек множества измеримых селекторов измеримой многозначной функции (лемма 1.4.2). Полученный результат кратко можно сформулиро -вать так: при некоторых условиях крайние и сильно выступающие точки замыкания пучка траекторий системы являются ее траекториями.

3. В [46] Хермс поставил два вопроса: когда для системы (0.3) существует линейная система вида (0.3) с такими же (с точностью до выпуклой оболочки) областями достижимости; когда многозначная функция Р является интегралом на Т , т.е. когда существует другая многозначная функция (/ такая, что /•7£)= // 6- для всех ttT , где интеграл понимается в смысле Аумана [2б] . Эти вопросы тесно связаны, так как хорошо известно [4б] , что функция достижимости линейной системы является неопределенным интегралом Аумана с точностью до семейства линейных преобразований.

Продвигаясь в решении первого вопроса, Хермс с помощью леммы Дорна показал, что всегда существует линейная система с минимальными в смысле порядка по включению областями достижимости, содержащими области достижимости нервоначальной системы. В диссертации ставится чуть измененная задача: когда существует линейная система с заранее заданными областями достижимости? Показывается, что в К*1 задача всегда имеет приближенное решение, т.е. для любого £>о существует линейная система с областями достижимости, отличающимися в метрике Ха-усдорфа от заданных множеств не более чем на € . Основное место в доказательстве занимает построение абсолютно непре -рывной многограннозначной функции, приближающей заданную абсолютно непрерывную выпуклозначную функцию.

На второй вопрос ответ был дан Хермсом в той же работе [4б] . В более удобной форме, предложенной Артштайном [23] , он выглядит так: выпуклозначная функция ^ является неопределенным интегралом Аумана тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна и для любых точек существует такой выпуклый компакт , что Р(Б)+ К (5, = Г а) .

Абсолютная непрерывность здесь понимается в обычном смысле, только под расстоянием имеется ввиду метрика Хаусдорфа. Легко видеть, что этот результат можно сформулировать как теорему Радона - Никодима для многозначной меры. Действительно, для любого отрезка положим - .Допустим, что меру /Л можно продолжить на борелевскую & -алгебру отрезка Т . Тогда результат Артштайна выглядит так: мера с выпуклыми компактными значениями абсолютно непрерывная относи« тельно меры Лебега на отрезке имеет производную Радона -Никодима, т.е. существует такая многозначная функция & , что ~ для любого борелевского множества А — Т . Таким образом, мы приходим к дифференцированию многозначных мер. В этой области развитие идет в основном по пути ослабления условий на значения меры. Различные случаи были рассмотрены в [13,24,35,38-40,45,48] . В диссертации рассматриваются меры со значениями во множестве всех выпуклых ограниченных подмножеств сепарабельного пространства Фреше, обладающего свойст -вом Радона - Никодима. Полученные результаты улучшают подобные результаты работы [4д] в случае банаховых пространств и обобщают их на случай пространства Фреше. В доказательстве используется мартингальный подход. С каждой мерой А1 связывается многозначный мартингал ^ > пе N^ , где а возрастающая последовательность конечных измеримых разбиений / ^, порождает & -алгебру измеримых подмножеств. Основной шаг - доказательство существования "замыкающей" этот мартингал многозначной функции, которая и является производной Радона - Никодима меры Л1 .

4. Ь диссертации в основном используются методы функционального анализа и теории измеримых многозначных функций. В качестве источника для ссылок по функциональному анализу используется хорошо известная книга Данфорда и Шварца [I] . По теории измеримых многозначных функций нет столь же известного и доступного источника. Поэтому в диссертации (см. § I гл. I) приводятся основные понятия и необходимые результаты этой теории, которые можно найти, например в [51, 64] .

Система ссылок в работе такова: формулы, леммы и теоремы внутри каждой главы имеют автономную двойную нумерацию: первое число обозначает номер параграфа, второе - номер формулы (леммы, теоремы) внутри этого параграфа, фи ссылках на результаты другой главы используется тройная нумерация, где первая цифра обозначает номер главы.

Цитированная литература приводится в алфавитном порядке. В работе используются следующие обозначения: 1*1 - норма точки Л банахова пространства X ; |Д[ ** Sup/lXl: Xf А} ; с£А(ш£/\) (слабое) замыкание множества А ; со Д (со А) (замкнутая) выпуклая оболочка множества А ; TntА - внутренность множества А ; diantfl- диаметр множества А ;

W А - множество крайних (extreme ) точек множества А ; S&f А - множество сильно выступающих (strongly exposed ) точек множества А ; JC А - характеристическая функция множества А ; 0 - ноль линейного пространства; X* - топологически сопряжённое к X пространство; значение функционала X* на элементе хе X ; da А)- - расстояние от точки X до множества А в метрическом пространстве (Х,1) ; В(А,£)= [Х( X: Sj замщутая <f-окрестность подмножества А метрического пространства X . При этом В (®,£) = В(£) , 8(1) - В(Х)= В ;

- расстояние

Хаусдорфа между подмножествами А и С ; у у х - множество всех непустых подмножеств пространства л ; & (X) - множество всех замкнутых ограниченных подмножеств пространства X ; 1&с (X) множество всех слабокомпактных подмножеств пространства X ; N - натуральный ряд;

- (г -мерное евклидово пространство с обычной нормой, фи этом £ ;

- положительный ортант пространства ; Л

1 - класс эквивалентности, порождённый измеримой функцией р л . Замечание. Обычно мы не будем различать ^ и ^ ; /7 С 7~,Х) - пространство классов эквивалентности интегрируемых по Бохнеру функций р Ж с нормой ^./Д^/ ;

- пространство непрерывных функций : X с нормой /// = ; Х(Х, У) - пространство линейных непрерывных отображений

1: ^ V с нормой 1Л1= su.pl !Ах} В(Х)} .

1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. -М: ИЛ, 1962. - 895 с.

2. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 479 с.

3. Леваков A.A. Некоторые свойства решений дифференциальных включений в банаховом пространстве. Вестник Б1У. Сер. I, физ., мат., мех., 1981, $2, с.54-56.

4. Мейер П А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973. -322 с.

5. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. M.s ГИТТЛ, 1957. 552 с.

6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Наука, 1969. - 384 с.

7. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. - 319 с.

8. Рыбаков В.И. О векторных мерах. Изв. Высших учэбн. завед. Математика, 1968, т. 74, с. 92-101.

9. Суслов С.И. Управление в банаховых пространствах со свойством Радона Никодима. - В кн.: Управляемые системы, 1982, вып. 22, с.58-65.

10. Суслов С.И. О замкнутости пучка траекторий в банаховом пространстве. В кн.: Управляемые системы, 1982, вып. 22,с.66-69.

11. Суслов С.И. Реализация многозначных функций линейными управляемыми системами. В кн.: Управляемые системы, 1980, вып. 21, с. 62-69.

12. Суслов С.И. Мартингалы многозначных функций и теорема Радона Никодима для многозначных мер. - Препринт ИМ СО АН СССР, 1982, № 16.

13. Толстоногов A.A. К теоремам Радона Никодима и A.A. Ляпунова для многозначной меры. - ДАН СССР, 1975, т.225, № 5, с.1023-1026.

14. Толстоногов A.A. О структуре множества решений дифференциальных включений в банаховом пространстве. Мат. сборник, 1982, т. 118(160), с. 3-18.

15. Толстоногов A.A. О дифференциальных включениях в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью. Существование решений. Сиб.мат.журн., 1981, т.22, №4, с.182-198.

16. Толстоногов A.A. О плотности и граничности множества решений дифференциального включения в банаховом пространстве. -ДАН СССР, 1981, т.261, № 2, с.293-296.

17. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 1967, №3, с. 16-28.

18. Филиппов А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений. Мат. заметки, 1971, т.10, № 3, с.307-313.

19. Филиппов А.Ф. Онекоторых вопросах теории регулирования. Вестник МГУ, Сер. матем., мех., 1954, №2, с.25-32.

20. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. ДАН СССР, 1963, т.151, № I,с.65-68.

21. Шварц Л. Анализ, т.1. M.s Мир, 1972, - 824 с.22. dfttoaeurici HCL., СебСспа СС. CotiUnaous sefectcoas and dcffeienticLC zefatc'öns ^ IDcff. fycLcit19t-Г y1S,vZ, p, 336-593.

22. COisístecn. A. • Oh- tke cc¿Acc¿£aj o^ cfoSecí &a£uec¿J/ichajuz Ukcfc fiaUi^^ vZífí /Vf p. ^í.

23. Ciaste tu A. feiL-¿a^cced /ve&ncíej ^ ftdfy fa., /9^2, y /¿T, p /03-/2r.

24. CLtfsfek. 2., V¿to£e JP.a. (Z sAtvy Aa^o- cf riu*K&tj fen tancfani cenyoef 6Lhn. , i26. (Zccfricomi f!. 7. c^ j?CM.cZcoti4. -¡frM*th. ¿ZW. Ofpt., 19éy> V/2J t/11 p. /27. B&icourt'te byu'steftce ¿n frioé&wjY efytmoé Wí/- Síccdca Hatít., 19 1-2, V A

25. Bic'cí^vt¿¿ Af. Juyectozy ¿frtejfa&S tá fiuutiW.- Pctu^cc f. f/aXb.t Í9?0y V^/YÍ, p.

26. T.F. thertp o^ cCcffemifí'a£ efccaJtc'GKj- ftaíAi. 7/iórtjr1CJ69, v3, //A A ft-so.

27. B^éf^h. a. Oh. cícffetericé teéctfcow i&t'U ¿me*cendc^umM ic<f/k¿~ kaJz¿¿ 3¿cú. Tai Cju^ettce tkerlzvHfi £)ff éftccat; №0, v3?, //A />.¿9-9?.

28. P. Cu o^ <z c&tA<zA¿t cenvwecbp c&ncíc'ícon ^n ótm céomsie CÚH^I^jrtj&mzj,5I¿¿P\ / ¿WzW., v 6, #2, p. A? A~ /¿r

29. C. fofliOAsfo cm. -ZAiX y&A ¿f¿¿ep -y Sk£/ü2¿A and ¿ZctmztuL,- ^ MM.19?8, v69.J A/1 , p. 2.93-2V6,

30. C&J-'ícdb.j с Va£ac¿c&¿ /V- а^ьсс^^ otnc¿ trvzpyuwMjz ылЛХс^te rióte , — ¿ecta/Le Afoûj iÀzMotl?, уШ,B&lù'k. сьъеС AW ^W- Spu'fc^l V&lé&p,

31. CitcCtíMjz S. S). Mc(/Xcft^& (жмнУьр&Н'Се coi¿¿ tAe Rad&h A/íjt&dtfm ХАь&УШъ сн Всь/ъасА Spaced. - Afdû/i. ScQMd., 1962, f-21- Y1.

32. C&$t¿ 6C. La pwjyzvke' de P&¿¿*n -/Vtfodptn- C. P. CZcac£. Sec. Pa/l¿j} A, i WO , p. 1Г/Г- tJTft.

33. Cette CC.} Pa¿¡ftc-cCe l¿¿ Всши&г Р. Cík. t&esi&fbe cU Pacùn- AfcAootyfn ржл. -éej et ctmwpej á?c<zékme¿bt c¿n^<zctéj SC¿íoj d/l^cZe.CP CCcacC. Sc¿, Ра/ил} Seil A, 19ГУ, t ZJO, p. 2f5

34. Юм-yte/ P^ma^yPd ampz&f/z&zfUt L, (/с, Я/- (f&Jpwr platí . V, /Y"f, p

35. Tù'cù F. Pacám- /VcjL#¿¿^rn ^°<П ~V*. Vf , p 96- 91<$.

36. УбсОс F. ¿ün¿<f£cMt JbfepytzéSj csK^c'fr'ObcZif oy.pco'éccéc'OTi^ /n^tc'te^ctékj Y d-a£o^c¿6Ztu¿P.} 99?:9J У?, р- 9Y?~9#¿.

37. С PiectrmfOLot GebábActtm ^ /ъифг^-¿he (^тпХСшьс^у ô^ h(à,x).—paik. Шы ъ-. Podara ; i 9?-1 v ГО, р. 1<9S~-?<?<?.51. fântmeùby С ге&Лс'въх,- F^H¿¿. 19?î7 Vtf, p- K-7-Z.

38. Joffe Ct.Jt). ZeptSde^?«/^ sep- ytz&œd m^pptrt^S.- Jzcom. (ZfrLOî. М<г£/?, Soc., i99-9^V 2У2, p. 11}-9</6.53. 'pXLCú^s Q. Puna^kó (Пг -¿¿те Ъеаш^SPaM J. fod&í, i?¿7-, уГ p. 622-62?.

39. P.C. УеаЖ&г С&тъ-раоТ? -plaXÂ. Sec., v 913, p. 729-7<60.55. kcoz^ot&ykitkeeWK <т jeáct&bí.- ßa£tt C£ca¿¿. fc¿\} S¿¿. M^Á,UUmcrtK. PÁjH.j (//Л p- 39?- W,

40. P<e№¿ te ¿¿¿ ркмщг p Cemte?: Ú¿t&éjp¿¿¿, V&&Z dnc¿ Set- fatxet /пео^уш, T>p> ftf, puf£cc<zt('c?t<! fnayô/?^-matc'ffa&f cù ^'¿¿^t'u^uù Рс&Ш et Afaue Ссого?, У

41. Яску^рн^и S. 9u пмсгггиНЖ arattrf? m aofzccitb Spctce, — ßto&k/r^ of CetztzeC ctncC J/¿ebf,1?SQ} v9,/vZ, p. 121- /32,61. jW £. ¿fettatítcÚ? , fHhtj et py¿¿>-pU¿6í te fatwi-A/c'JkedpmCP. tfca¿¿. fc¿. Pz/¿¿d, S&d7W!T? i 2/0, tp

42. Van ûwt&frz ß. te am^&xes ^e%s>ie¿r а&аЯбъЛе* (¿chtet^ht fe псе. Útw. J^rtt. Pettz -cafre, JWZ, ~é ßW, и/f, p. ЗбУ-JJS:

43. Уа£о,сСс£4. /V/. e¿p>¿ba>rzce cem¿£¿&&njeé¡& nw¿écfrcr(pxe runz й&гп. Jmt. JP p&z'k.c&ït^19S0, t В XVI,/vZ? p f09- Ш.

44. Ш<рмг ¿0. bvwey of seékcti^m tAeeuwtj.- SPdM £ ûntvt cutc¿ 0ft., 197?, v/f, А p tr9-J?o3.Zzfpcj : Cfin Ufdafa. ¿WW иг V W, f.Вег&ъ ctncl Neu- Ifoï ,

45. Усс^ел^кг' 7Г Р^р&т^ de с^шт^п^ eà e^ua/СГИ4 ayP/iyi,, WY, v?? p, irf- /077

46. Ycoiôm^c T, fcc^ (¿иг CJTLcü'fc'úK erau cm^ù^^cp. ¿2ca:¿p. J&.PloA* Cfyfakent, fíyJ-, КУ, p. МГ-ftf*68. ^ceA&fr/z S. С. ax j&fcz&Vi