Некоторые проблемы повышения чувствительности гравитационной волновой антенны тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

Введение

1 Эффект параметрической колебательной неустойчивости

1.1 Эффект параметрической колебательной неустойчивости в интерферометре Фабри-Перо.

1.1.1 Примеры параметрических эффектов.

1.1.2 Постановка задачи.

1.1.3 Упрощенная одномерная модель резонатора Фабри-Перо

1.1.4 Трехмерный модовый анализ.

1.2 Эффект параметрической колебательной неустойчивости в LIGO интерферометре

1.2.1 Роль РЕМ в гравитационной волновой антенне.

1.2.2 Трехмерная модель LIGO интерферометра.

Альберт Эйнштейн в 1916 году предсказал существование гравитационных волн как части общей теории относительности. Он представлял пространство и время как различные аспекты нашей действительности, в которой материя и энергия связаны друг с другом. Пространство-время можно представить как некоторое "образование", определяемое измерением расстояний с помощью линейки и измерением времени с помощью часов. Наличие большого количества массы или энергии искривляет пространство-время, вызывая появление гравитации.

Когда два массивных объекта (например, две нейтронные звезды) вращаются друг относительно друга, пространство-время возмущается их движением и гравитационная энергия излучается во Вселенную. Гравитационная волна представляет собой "рябь" в пространстве-времени. Источниками образования гравитационных волн являются, например, столкновения двух черных дыр или взрывы сверхновых звезд. Это "возмущение" в пространстве-времени достигает Земли и соответственно несет с собой информацию о природе сталкивающихся объектов и характере их взаимодействия[1, 2, 4, 3, 5].

В настоящее время несколько лабораторий по всему миру занимаются созданием лазерных гравитационно-волновых антенн (проекты LIGO, VIRGO, GEO-6OO, TAMA), которые позволят в недалеком будущем зарегистрировать гравитационные волны. Упрощенная схема интерферометра LIGO (Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory) показана на Рис. 1. Два зеркала цилиндрической формы подвешивают на большом расстоянии друг относительно друга, образуя при этом одно "плечо" интерферометра, а два дополнительных таких же зеркала образуют второе "плечо" интерферометра, перпендикулярное первому. Лазерный луч проходит в два "плеча" через светоделитель, расположенный в точке пересечения линий "плеч". Предполагается, что свет многократно отражается от зеркал внутри каждого "плеча", прежде чем он вернется на делитель луча. Если два "плеча" имеют одинаковые длины между зеркалами, то интерференция между лучами от

Рис. 1: Упрощенная схема интерферометра LIGO каждого "плеча", возвратившихся к делителю, имеет место и весь свет направляется обратно к лазеру. Если существует некоторая разница между длинами двух "плеч", то часть света распространяется по направлению к фотодетектору и регистрируется им.

Когда гравитационная волна приходит на данную установку, она уменьшает расстояние между зеркалами в одном "плече" LIGO интерферометра и увеличивает в другом. Предполагаемые изменения достаточно малы: ~ Ю-16 см при длине "плеча" 4 км за время ~ Ю-2 с. Эти крошечные смещения можно зарегистрировать, если изолировать зеркала от разного рода внешних влияний, добиться устойчивого циркулирования мощных световых пучков между зеркалами и интерференции лучей от двух "плеч" интерферометра друг с другом. Даже незначительные смещения зеркал приводят к тому, что лучи приходят к светоделителю с измененными фазами и тем самым имитируют обнаружение гравитационной волны[6, 7].

Существует множество различных силовых случайных воздействий на пробные массы (зеркала) как теплового, так и нетеплового происхождения, которые приводят к значительному ограничению чувствительности гравитационной волновой антенны. Среди них можно выделить: собственные шумы пробных масс, сейсмические флуктуации, шумы подвеса пробной массы, флуктуации частоты лазера, шум силового воздействия со стороны измерительного прибора (обратное флуктуацион-ное влияние) и т.д.

Собственные шумы пробных масс

Флуктуации координаты отражающей поверхности пробной массы относительно ее центра масс (внутренний механический шум пробной массы) являются одной из ключевых проблем в интерферометрических гравитационно-волновых антеннах. Оптический интерферометр Фабри-Перо образован двумя зеркалами с практически плоскими цилиндрическими поверхностями. Очевидно, что лазерный интерферометр может дать информацию не о смещении центра масс цилиндра, а о сумме этого смещения и собственных внутренних колебаниях цилиндра. Эти колебания, если они вызваны внутренними силами (внутреннее трение в материале), не смещают центр масс, но дают шумовой вклад в измеряемую величину.

Собственные шумы зеркала можно разделить на две основные части: броуновские и термоупругие шумы пробной массы.

В данной работе мы будем называть броуновскими флуктуациями такие флуктуации, которые обычно рассчитываются, используя феноменологическую модель структурных потерь в материале (угол потерь не зависит от частоты). Под термоупругими же флуктуациями мы будем понимать флуктуации, источником которых являются термодинамические флуктуации температуры, приводящие к изменению формы (объема) пробной массы благодаря явлению теплового расширения[8, 9, 10]. Такие флуктуации температуры являются следствием обычных равновесных флук-туаций, полная дисперсия которых равна[11, 12]: (AT2) — ^^г, где кБ — постоянная Больцмана, С — удельная теплоемкость, Т— температура, р — плотность и V — объем образца. Другими словами, между участками с разной температурой возникают тепловые потоки, ведущие к увеличению энтропии и необратимому превращению механической энергии в тепловую.

Плавленый кварц, используемый как материал для пробных масс первой серии антенн (LIGO-I, VIRGO)[6, 7], на самом деле имеет один существенный недостаток — относительно большие внутренние броуновские флуктуации (угол потерь ф ~ 5 х Ю-8). Поэтому появилось много предложений использовать синтетический сапфир вместо кварца, так как броуновские флуктуации в сапфире намного меньше (угол потерь ф cz 3 х Ю-9). Но, к сожалению, в сапфире слишком велики термоупругие флуктуации, что было продемонстрировано в [13] для модели бесконечной пробной массы. Этот же результат для случая конечной пробной массы был получен в [14] (разница между спектральными плотностями внутреннего шума для бесконечной и конечной пробной массы не превышает нескольких процентов для планируемых размеров пробной массы). Все расчеты были проделаны, используя флуктуационно-диссипационную теорему (ФДТ) как для броуновских, так и для термоупругих флуктуаций [13, 15, 16, 17].

Как известно, флуктуационное смещение поверхности пробной массы в каждой точке определяется суммой смещений от различных собственных механических мод пробной массы. Саулсон в [18] предпринял попытку рассчитать тепловой броуновский шум пробной массы, используя два достаточно грубых приближения: выбирались две низкочастотные механические моды, форма которых описывалась зависимостью: un{z) = u0sin^—J , где n — индекс механической моды, h — толщина зеркала. Последнее приближение дает вполне удовлетворительное описание для флуктуаций от низкочастотных мод, однако эта модель не может точно описать распределение высокочастотных механических мод. Предполагая, что потери в материале равны ф — 2.5 х Ю-7, была получена оценка теплового броуновского шума (значение спектральной плотности усредненной координаты поверхности пробной массы) Sx(f) = (2.5 х 10-34см2) х (1//). Но для того, чтобы точно описать тепловой броуновский шум, необходимо принять во внимание не только низкочастотные моды пробной массы, но и высокочастотные моды. В [19] Раабом и Гилиспи было получено, что для таких же параметров как в [18], значение для спектральной плотности усредненной координаты Sx(f) = (1.5 х 10~33см2) х (1//), где были учтены первые сто аксиально-симметричных механических мод пробной массы.

К сожалению, флуктуации поверхности цилиндра (координаты поверхности зеркала) в интересующей нас части спектра не ограничиваются только одними броуновскими флуктуациями. Как было сказано выше, существует также один эффект нелинейного происхождения, чей вклад вполне сравним с чисто броуновским шумом, — термоупругие флуктуации. Этот эффект есть следствие ангармонизма решетки, который порождает тепловое расширение пробной массы. Для этого типа флуктуаций в [13] были получены аналитические выражения для спектральной плотности флуктуаций средней координаты поверхности зеркала с радиусом светового пятна г0. Существует, по крайней мере, две возможности ослабить этот эффект: увеличение го и вычитание флуктуаций координаты поверхности зеркала (компенсация).

Кроме указанных выше эффектов существует множество других, также уменьшающих чувствительность гравитационной волновой антенны. Среди них: тепловой шум в покрытиях зеркал[20, 21] (случайное поглощение оптических фотонов в поверхностном слое зеркал вызывает флуктуации координаты поверхности зеркала из-за ненулевого коэффициента теплового расширения покрытия) и терморефрактивный тепловой шум[22] (такое же случайное поглощение оптических фотонов вызывает флуктуации фазы отраженной волны из-за зависимости показателя преломления от температуры).

Сейсмические шумы

Также одним из важнейших вопросов для гравитационной волновой антенны является проблема уменьшения сейсмических шумов до уровня, когда тепловой шум подвеса зеркал становится определяющим. Для этого необходимо наличие антисейсмического подвеса пробной массы в гравитационно-волновых интерферометрах, чтобы увеличить чувствительность антенны до нужного уровня.

Антисейсмический подвес — это система, которая позволяет осуществить сейсмическую изоляцию, используя пассивные механические фильтры и значительно уменьшить сейсмический шум благодаря инертному ослаблению, начиная с 4Гц[23]. Принцип работы антисейсмического подвеса основан на свойствах функции пропускания гармонического механического осциллятора, которая дает фактор ослабления ~ 1/и!2 выше его резонансной частоты. В свою очередь, цепочка механических фильтров может дать ослабление ~ 1/ш2п, где п — число фильтров. Как было показано, например в [24], фактор ослабления равен 60 дБ при 10Гц.

Другой важной характеристикой антисейсмического фильтра является его частота обрезания — это частота, при которой смещение пробной массы из-за сейсмического шума равно смещению от преобладающих источников фундаментальных шумов (эффект радиационного давления и тепловой шум). Частота обрезания антисейсмического фильтра закладывается в LIGO-II на уровне 10Гц, который частично определяется техническими возможностями системы. Для установления низкочастотного уровня чувствительности в LIGO-II фиксируется сейсмический шум каждой пробной массы равным не более, чем 5х = 10-18м/>/Гц при 10Гц [25].

Шумы подвеса пробных масс

Тепловой шум в подвесах пробных масс дает существенный вклад в рабочем частотном диапазоне гравитационной волновой антенны вблизи предполагаемой частоты гравитационной волны wgrav = 2п х 100с"1. Маятниковые и струнные моды подвесов зеркал являются одними из основных мод, ответственных за тепловой шум вблизи Wgravi так как частоты маятниковых мод подвеса (порядка нескольких герц) и частоты струнных мод подвеса (порядка нескольких килогерц) окружают частотный диапазон гравитационных волн[26].

Для того, чтобы уменьшить уровень этого теплового шума, нужно увеличить значения добротностей Q мод в подвесах, т.е. уменьшить диссипацию энергии в них. В работах[27, 28] было продемонстрировано, что добротности этих мод в подвесах из плавленого кварца лежат в пределах Q = (0.5 — 1) х 108. Эти значения на несколько порядков больше значений, полученных, когда массы были подвешены на стальных струнах[29].

В [30] представлены результаты экспериментов, в которых измерена добротность крутильно-маятниковой моды маятника из плавленого кварца (массой 2 кг). Ключевой проблемой в получении значения добротности Q ~ 10® и выше является утечка механической энергии в опору, на которой подвешен маятник. Добротность крутильно-маятниковой моды колебаний цилиндра может быть рассчитана по формуле [30]: лх vGr4 . 1 [vEr*.

Qtors-pend « ~Мда? + Щ 2ЩФв> где G — модуль сдвига материала подвесов, г — радиус нити подвеса, а — амплитуда крутильно-маятниковой моды, М — масса маятника, фй, Фе — углы потерь в материале, I — длина подвеса, Е — модуль Юнга.

В описанных экспериментах использовались четыре маятниковых подвеса и были получены значения добротностей соответственно равные Qtore-pend — (0.5 — 1) х 108, что соответствует временам затухания маятника порядка 3 лет.

Дальнейшие проведенные эксперименты[31, 32, 33, 34] также заявили о необходимости использовать плавленый кварц в качестве подходящего материала для подвесов пробных масс. Для пробной массы, подвешенной на четырех нитях (или на двух подвесных петлях), угол потерь для маятниковой моды подвеса фрепd(ui) и угол потерь для материала подвеса фтat(w) связаны соотношением[34]:

1 1 mgl pendM Ф1nat(w) Ау/ТЕГ где т — масса маятника, I — длина маятника, Т — натяжение в каждой нити, Е — модуль Юнга материала подвесов, I — геометрический момент инерции каждого подвеса (I = 7гг4/4 для цилиндрического подвеса). Это выражение справедливо, когда нет избыточных потерь в месте соединения подвесов и массы маятника. Пробные массы для GEO-6OO массой 16 кг, например, требуют подвесных нитей с потерями в материале меньшими, чем ф ^г 6 х 10~6. Брагинский и другие [31] указали на то, что для хорошо приготовленных нитей из плавленого кварца угол потерь может быть и меньше.

Стоит также заметить, что измеренные добротности Q маятников, созданных из очень чистых образцов плавленого кварца, имеют значения, не превышающие ~ 108 для маятниковых и двунитных (бифилярных) крутильных мод [27, 30].

При изгибе нити подвеса появляются также потери, связанные с периодическим переносом тепловой энергии от одного конца подвеса к другому, — термоупругие потери в подвесе. Для нити диаметром d угол потерь из-за этого механизма потерь дается формулой[35]: где А — релаксационная прочность и т-1 — характерная угловая частота потерь, определяемые формулами: л а2ЕТ „„„ лп,раР

А =-, т = 7.37 х 10 -—, рс к где а — коэффициент теплового расширения материала подвеса, с — удельная теплоемкость при постоянном натяжении подвеса, к — коэффициент теплопроводности материала подвеса, р — плотность материала подвеса, Т — температура подвеса. Для подвесов из плавленого кварца при комнатной температуре ф{со) имеет максимальное значение равное А/2 = 1.6 х Ю-6. Характерная частота /с, при которой появляются эти максимальные потери, является функцией диаметра подвеса, и при d = 290мкм она равна /с = 21Гц.

До сих пор при рассмотрении флуктуаций в нитях подвесов зеркал мы ограничивались лишь рассмотрением случая теплового равновесия, к которому применима идеология ФДТ. Однако кроме таких флуктуаций существуют и иные, не подчиняющиеся ФДТ. Например, совершенно очевидно, что для получения больших значений частот струнных мод подвеса, напряжение, прикладываемое к струне, выгодно приближать к напряжению разрыва нити. Но давно установлено, что при растяжении, близком к разрыву твердого тела, наблюдается явление акустической эмиссии, которое есть следствие перераспределения части свободной энергии (рождение дислокаций и т.д.). Другими словами, из-за натяжения происходит преобразование малой доли свободной энергии нити в акустическую эмиссию, т.е. в колебания нити, добавочные к равновесным тепловым шумам (неброуновский или избыточный шум).

Например, в [36] было проведено наблюдение избыточного шума в вольфрамовых нитях. В этих экспериментах было сказано о двух типах избыточных шумов: спонтанное увеличение интенсивности шума в течение определенных конечных временных интервалов и случайные всплески амплитуды колебаний подвеса. Случайный темп "всплесков" коррелирует со значением приложенных механических напряжений. Относительно высокий уровень наблюдаемых избыточных шумов объясняется сильной неоднородностью вольфрамовых нитей. В [37] представлены результаты наблюдений избыточных шумов в стальных проволоках с меньшим размером. Главный вывод заключается в существовании избыточного шума в основной струнной моде в стальных проволоках. Интенсивность и величина спонтанных отклонений амплитуды, как было показано, значительно меньше, чем в [36]. Это объясняется более однородным внутренним строением стали по сравнению с вольфрамом. Стоит также заметить, что эти шумы значительно отличаются при использоваг нии разных образцов, что доказывает неоднородность распределения шума внутри проволок. Стоит отметить, что эти отклонения могут быть достаточно большими, что скрывает детали зависимости избыточного шума от приложенных напряжений и других факторов. Быстрые изменения амплитуды колебаний, превышающие обычные (соответствующие модели броуновского движения), могут быть результатом лавинообразных процессов внутри малых областей образца, которые содержат некоторый тип неоднородности.

Дополнительные потери в LIGO интерферометре

При наличии различного рода шумов, ограничивающих чувствительность гравитационной волновой антенны, существует ряд ограничений на потери световой энергии, циркулирующей в двух плечах LIGO интерферометра. Часть энергии гауссова светового пучка LIGO интерферометра теряется при выходе "хвостов" распределения интенсивности в пучке за пределы радиуса зеркал. Такие потери световой энергии в дальнейшем будем называть дифракционными потерями, уровень которых в LIGO интерферометре принят равным Ю-5 от всей интенсивности в световом пучке за одно отражение от пробной массы (или Юррт, где "ррт" обозначает "parts per million"). Однако наряду с этими потерями интенсивности света, существуют также потери световой энергии, связанные, например, с паразитной перекачкой энергии из основной моды накачки в стоксовы оптические моды резонатора и механические собственные моды пробной массы соответственно (см. главу 1), а также с рассеянием света на оптических неоднородностях среды, вызванных флук-туапиями плотности и температуры, при прохождении света через пробные массы, и другие виды потерь. Анализу потерь световой энергии при дополнительных механизмах рассеяния света на оптических неоднородностях среды безотносительно к гравитационным волновым антеннам посвящена последняя глава данной работы.

Стандартный квантовый предел

В настоящее время проводится множество исследований в области создания гравитационной волновой антенны для того, чтобы достичь в 2008 году планируемого уровня чувствительности, соответствующего стандартному квантовому пределу — SQL (Standard Quantum Limit).

Рассмотрим понятие стандартного квантового предела на примере непрерывного измерения координаты свободной массы. Минимальная сила, действие которой может быть обнаружено по отклику свободной массы, определяется квантово-механическими особенностями свободной массы и временем действия силы. Действие силы на свободную массу можно обнаружить, наблюдая изменение ее координаты и импульса. Мы должны измерить координату Xq массы в некоторый момент времени to и точно измерить ее же координату в момент времени to + г. Известно, что измерения приводят к возмущению импульса Ар0 так, что среднеквадратичные ошибки Лх0 и Лро связаны соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Следовательно, только за счет возмущения значения импульса и неопределенности измеренной координаты неопределенность координаты в момент времени to + т будет равна где m — масса тела, Н — постоянная Планка.

Так как изменение конечной координаты за счет действия постоянной силы F равно Ft*/2т (тх — время действия силы), то среднеквадратичная ошибка измерения силы будет равна

Предполагая, что постоянная сила действует на свободную массу в течение времени Ti, равному времени наблюдения т, найдем, что минимум последнего выражения достигается при среднеквадратичной ошибке координаты в начале измерения [38,

Д*о)2 (Дро)2 > ~

39, 40]:

Д*0)2

Пт freemass

Окончательно получаем

Поэтому минимальная сила i^min, которая может быть обнаружена по отклику свободной массы, равна р . =С .I,/М mm S Л/ ! г V т где £ — некоторый коэффициент больше 1, зависящий от достоверности обнаружения и формы силы.

Точно такие же рассуждения приведут к неопределенности координаты осциллятора:

WosciUator = где и>т — собственная частота осциллятора.

Следовательно, чувствительности будут ограничены данными величинами, которые носят название стандартных квантовых пределов для координаты.

В проекте LIGO используется интерферометрический измеритель координаты на основе оптического резонатора Фабри-Перо. Информация о координате пробной массы содержится в фазе отраженной от пробного тела сигнальной волны. Легко видеть из соотношения неопределенностей Гейзенберга, что при точном измерении координаты пробной массы, значительно возмущается его импульс. Поэтому для увеличения чувствительности гравитационной антенны вплоть до SQL необходимо использовать мощную световую волну накачки: например, в проекте LIGO планируется использовать волну накачки мощностью ~ 830кВт.

Целью настоящей диссертационной работы явилось: а) анализ эффекта параметрической колебательной неустойчивости как для отдельного интерферометра Фабри-Перо, так и для интерферометра LIGO при наличии зеркала с рециркуляцией мощности; б) анализ компенсации внутренних механических шумов лицевой поверхности пробной массы гравитационной волновой антенны; в) исследование возможности замены цилиндрических зеркал и гауссовых световых пучков в гравитационной волновой антенне для уменьшения уровня термоупругого шума пробных масс; г) анализ двух фундаментальных дополнительных видов рассеяния света в сплошных средах.

Диссертация состоит из четырех частей.

В первой части работы будет проанализирован неожиданный эффект параметрической колебательной неустойчивости — " западня", которая (при ее игнорировании) создаст значительное уменьшение чувствительности гравитационной волновой антенны и даже может сделать антенну не способной работать точно. Проблема состоит в следующем: большое значение чувствительности антенны предполагают достигнуть благодаря значительному улучшению изоляции пробных масс (зеркал Фабри-Перо резонатора) от различных источников шума, а также благодаря увеличению чувствительности оптической считывающей системы. Ожидается, что это увеличение будет получено из-за роста величины оптической энергии So, запасенной в оптической моде накачки Фабри-Перо резонатора: So > 30 Дж (это соответствует циркулирующей мощности W более, чем 1 МВт). Но вместе с этим большие значения So и W могут стать источником параметрической колебательной неустойчивости, приводящей к возбуждению оптической стоксовой моды частоты u>i и собственной механической моды пробной массы частоты шт за счет основной оптической моды накачки частоты Шо при выполнении условия и>о — Wi + изт.

Во второй части работы будет рассмотрена возможность компенсации внутренних флуктуаций пробной массы. Мы обсудим также, насколько большим может быть величина компенсации внутренних механических флуктуаций пробной массы, если для измерения разности усредненной координаты отражающей лицевой поверхности пробной массы и усредненной координаты задней поверхности той же пробной массы используется идеальный измеритель. Оказывается, что использование такой компенсации поможет преодолеть стандартный квантовый предел (SQL) в несколько раз. Тем не менее, анализ конкретного идеального интерферо-метрического измерителя с лучами, распространяющимися внутри пробной массы, дает негативный результат, так как паразитный терморефрактивный эффект препятствует компенсации. Этот эффект состоит в термодинамических флуктуациях температуры, которые являются источником флуктуаций показателя преломления из-за его зависимости от температуры.

В третьей части работы детально рассмотрена возможность замены гауссовых световых пучков, используемых в интерферометре LIGO, световыми пучками, имеющими плоское распределение интенсивности в их центральной части и быстро спадающее по краям, а цилиндрических пробных масс интерферометра — на пробные массы, поддерживающие данные световые пучки, или на конусообразные пробные массы. Следует отметить, что спектральная плотность термоупругого шума при этом может быть уменьшена на порядок по сравнению со схемой Advanced LIGO интерферометра, что в свою очередь может привести к достижению гравитационной волновой антенной уровня стандартного квантового предела.

В четвертой части работы рассмотрены два дополнительных фундаментальных механизма рассеяния света в сплошных средах — перекрестные фотоупругое и терморефрактивное рассеяния света. Показано, что для некоторых веществ величины интегральных интенсивностей рассеянного света имеют значения по порядку величины приблизительно равные интегральным интенсивностям при хорошо известных видах рассеяния света на флуктуациях плотности (давления) и температуры (энтропии). Выполнен детальный анализ спектрального состава рассеянного света при таких механизмах рассеяния. Для изгибных колебаний твердых тонких стержней получено максимальное значение коэффициента перекрестного терморе-фрактивного рассеяния света, которое оказалось намного меньше значения коэффициента перекрестного терморефрактивного рассеяния света, вызванного продольными колебаниями стержней.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. S. Е. Strigin and S. P. Vyatchanin, The problem of compensation of internal mechanical noise in test mass of gravitational wave antennae, Physics Letters A272, 143-150, (2000).

2. V. B. Braginsky, S. E. Strigin and S. P. Vyatchanin, Parametric oscillatory instability in Fabry-Perot interferometer, Physics Letters A287, 331-338, (2001).

3. V. B. Braginsky, S. E. Strigin and S. P. Vyatchanin, Analysis of parametric oscillatory instability in power recycled LIGO interferometer, Physics Letters A305, 111-124, (2002).

4. Стрыгин С. E., Перекрестное фотоупругое и терморефрактивное рассеяние света в сплошных средах, Оптика и спектроскопия 96, №5, 818-825, (2004).

5. Е. d'Ambrosio, R. O'Shaughnessy, К. Thome, Ph. Willems, S. E. Strigin and S. P. Vyatchanin, Advanced LIGO: non-Gaussian beams, Classical and Quantum Gravity 21, S867-S873, (2004).

6. Стрыгин С. E., Брагинский В. Б., Вятчанин С. П., Анализ параметрической колебательной неустойчивости в LIGO интерферометре, Сборник тезисов X международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003", секция "Физика", стр. 132-133, (2003).

7. Стрыгин С. Е., Перекрестное фотоупругое и терморефрактивное рассеяния света в сплошных средах, Сборник тезисов XI международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2004", секция "Физика", стр. 227-228, (2004).

8. V. Braginsky, Е. d'Ambrosio, R. O'Shaughnessy, S. Strigin, К. Thome, and S. Vyatchanin, LIGO Report Number LIGO-G010151-00-R (16 March 2001), URL http://admdbsrv.ligo.caltech.edu/dcc/.

9. V. Braginsky, E. d'Ambrosio, R. O'Shaughnessy, S. Strigin, K. Thorne, and S. Vyatchanin, LIGO Report Number LIGO-G010333-00-D and LIGO-G010297-00-D (15 August 2001), URL http://admdbsrv.ligo.caltech.edu/dcc/.

10. V. Braginsky, E. d'Ambrosio, R. O'Shaughnessy, S. Strigin, K. Thorne, and S. Vyatchanin, LIGO Report Number LIGO-G020543-00-R (6 September 2002), URL http://admdbsrv.ligo.caltech.edu/dcc/.

11. V. Braginsky, E. d'Ambrosio, R. O'Shaughnessy, S. Strigin, K. Thorne, and S. Vyatchanin, LIGO Report Number LIGO-T030009-00-R (23 January 2003), URL http: //admdbsrv.ligo.caltech.edu/dcc/.

В заключение мне хотелось бы выразить искреннюю признательность Владимиру Борисовичу Брагинскому и Сергею Петровичу Вятчанину за предложенные интересные темы и постоянное внимание и содействие в работе; а также Фариду Яв-датовичу Халили, Валерию Павловичу Митрофанову, Игорю Антоновичу Биленко, Юрию Ивановичу Воронцову, Михаилу Леонидовичу Городецкому и Штефану Леонтьевичу Данилишину за полезные советы и доброжелательное отношение.

1. К. Thorne, "300 Years of Gravitation", Cambridge University Press, (1987).

2. Ч.Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, "Гравитация", Бишкек, Айнштайн, (1997).

3. Брагинский В. Б., Гравитационно-волновая астрономия: новые методы измерений, УФН 43 (7), 691-699, (2000).

4. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М., "Теория поля", М.: Наука, (1988).

5. J.Weber в сборнике "Новейшие проблемы гравитации", Москва, ИЛ, с.446, (1961).

6. A. Abramovici et al., Science 256, 325, (1992).

7. A. Abramovici et al., Physics Letters A218, 157, (1996).

8. Брагинский В. Б., "Физические эксперименты с пробными телами", М.: Наука, (1970).

9. Брагинский В. Б., Митрофанов В. П., Панов В. И., "Системы с малой диссипацией", М.: Наука, (1981).

10. Брагинский В. Б., Манукин А. Б., "Измерение малых сил в физических экспериментах", М.: Наука, (1974).

11. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М., "Статистическая физика", М.: Наука, (1995).

12. Квасников И. А., Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем, Москва, МГУ, (1987).

13. V. В. Braginsky, М. L. Gorodetsky and S. P. Vyatchanin, Physics Letters A264, 1, (1999).

14. Yu. T. Liu and K. S. Thorne, Phys. Rev. D62, 1222002, (2000),(available in archive xxx.lanl.gov: gr-qc/0002055).

15. V. B. Braginsky, Yu. Levin and S. P. Vyatchanin, Meas. Sci. Technol., 10, 598, (1999).

16. Yu. Levin, Phys. Rev. D57, 659-663, (1998).

17. F. Bondu, P. Hello, Jean-Yves Vinet, Physics Letters A246, 227, (1998).

18. P. R. Saulson, Rhys. Rev. D42, 2437, (1990);

19. G. I. Gonzalez and P. R. Saulson, J. Acoust. Soc. Am., 96, 207, (1994).

20. A. Gillespi and F. Raab, Phys. Rev. D52, 577, (1995).

21. V. B. Braginsky and S. P. Vyatchanin, Physics Letters A312, 244, (2003).

22. V. B. Braginsky and A. A. Samoilenko, Physics Letters A315, 175, (2003).

23. V. В. Braginsky, М. L. Gorodetsky, and S. P. Vyatchanin, Physics Letters A271, 303-307, (2000).

24. A. Bertolini et al., Nuclear Inst, and Meth. in Phys. Research A461, 300-303, (2001).

25. G. Cella, R. de Salvo, V. Sannibale, A. Takamori, H. Tariq, C. Wang, Performances of the First Prototype of Geometric Anti-spring Filter For Seismic Attenuation, LIGO Project internal document LIGO-TOOOIOS-OO-R, (1999).

26. D. Shoemaker, D. Coyne, LIGO II Seismic Isolation Design Requirements Document, LIGO internal document LIGO-E990304-01,{ 1999).

27. K. Yamamoto et al., Physics Letters A280, 289-296, (2001).

28. V. B. Braginsky, V. P. Mitrofanov and O. A. Okhrimenko, Physics Letters A175, 82, (1993).

29. V. B. Braginsky, V. P. Mitrofanov and К. V. Tokmakov, Physics Letters A186, 18, (1994).

30. A. Gillespi and F. Raab, Physics Letters A190, 213, (1994).

31. V. B. Braginsky, V. P. Mitrofanov and К. V. Tokmakov, Physics Letters A218, 164, (1996).

32. V. B. Braginsky, V. P. Mitrofanov and S. P. Vyatchanin, Rev. Sci. Instrum. 65, 3771, (1994).

33. S. Rowan, S. Twyford, R. Hutchins and J. Hough, Class. Quant. Grav., in press.

34. S. Rowan, R. Hutchins, A. C. McLaren, N. A. Robertson, S. M. Twyford and J. Hough, Physics Letters A227, 153, (1997).

35. S. Rowan, S. M. Twyford, R. Hutchins, J. Kovalik, J. E. Logan, A. C. McLaren, N. A. Robertson and J. Hough, Physics Letters A233, 303-308, (1997).

36. A. S. Nowick and B. S. Berry, "Anelastic Relaxation in Crystalline Solids", Academic Press, New York, (1972).

37. A. Yu. Ageev, I. A. Bilenko, V. B. Braginsky and S. P. Vyatchanin, Physics Letters A227, 159, (1997).

38. A. Yu. Ageev, I. A. Bilenko, V. B. Braginsky, Physics Letters A246, 479, (1998).

39. Брагинский В.Б., ЖЭТФ 53, 1434, (1967).

40. Брагинский В.Б., Воронцов Ю. И., УФН 114, 41, (1974).

41. Воронцов Ю. И., "Теория и методы макроскопических измерений", М.: Наука, (1989).

42. V. В. Braginsky, М. L. Gorodetsky, F. Ya. Khalili and К. S. Thorne, Report at Third Amaldi Conference, Caltech, July, (1999).

43. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М., "Теория упругости", М.: Наука, (1987).

44. Advanced LIGO System Design (LIGO-T010075-00-D), Advanced LIGO System requirements (LIGO-G010242-00), available in http://www.ligo.caltech.edu.

45. M.Pinard, Z. Hadjar and A. Heidman, http//:xxx.lanl.gov/quant-ph/9901057, (1999).

46. В. Б. Брагинский, И. И. Минакова, Вестник МГУ, сер. III, №1, 83, (1964).

47. В. Б. Брагинский, А. Б. Манукин и М. Ю. Тихонов, ЖЭТФ 58, 1550, (1970).

48. V. В. Braginsky, Е. d'Ambrosio, R. O'Shaughnessy, S. Е. Strigin, К. Thome, and S. P. Vyatchanin, Report on LSC Meeting, Baton Rouge, LA, 16 March 2001, LIGO document G010151-00-R (http//:www.ligo.caltech.edu/).

49. D. Shoemaker and the LIGO Scientific Collaboration, LIGO Report Number LIGO M030023-00M, (2003).

50. E. D'Ambrosio, Phys. Rev. D67, 102004, (2003).

51. FEMLAB, described at http://www.comsol.com

52. A. Siegmann, "An Introduction to Lasers and Masers", McGraw-Hill, (1971).52. "Physical acoustics. Principles and Methods." Edited by W. P. Mason, Vol. I, Methods and devices, Part A, Academic press, New York and London, (1964).

53. Kenji Numata, "Intrinsic losses of various kind of fused silica", proceedings of Forth Edoardo Amaldi Conference, Pert, (2001). (Trancparencies are temporary available in ftp://t-munu.phys.s.u-tokyo.ac.jp/pub/numata/Transparencies/Amaldi/Amaldi4.pdf).

54. S.Solimeno, B.Crosignani, P.DiPorto, "Guiding, Diffraction and Confinement of optical Radiation", Academic Press, INC.: London, (1986).

55. H. W. Kogelnik and T. Li, Appl. Opt. 5, 1550, (1966).

56. Ахманов C.A., Дьяков Ю.Е., Чиркин A.C., "Введение в статистическую радиофизику и оптику", Москва, Наука, (1981).

57. Мелешко В. В., Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, "Закономерности установившихся волновых процессов в конечных упругих телах и волноводах", Киев, (1983).

58. Ageev A. Yu., Penn S. D., private communications.

59. W. Kells and E. d'Ambrosio, Physics Letters A299, 326-330, (2002).

60. И. Л. Фабелинский, "Молекулярное рассеяние света", Наука, Москва, (1965).

61. И. Л. Фабелинский, ДАН РФ 377, 180, (2001).

62. И. Л. Фабелинский, УФН 164, 897, (1994).

63. Леонтович М. А., "Избранные труды", М.: Наука, (1985).

64. Старунов В. С., ДАН СССР 153, 1055, (1963).

65. Старунов В. С., Тиганов Е. В., Фабелинский И. Л., Письма ЖЭТФ 5, 317, (1967).

66. Рытов С. М., ЖЭТФ 33, 166, (1957).

67. Рытов С. М., ЖЭТФ 33, 514, (1957).

68. Рытов С. М., ЖЭТФ 33, 669, (1957).

69. P. Flubacher, A. J. Leadbetter, J. A. Morrison and В. P. Stoicheff, J. Phys. Chem. Solids 12, 53-65, (1959).

70. Рытов С. M., ЖЭТФ 59, 2130, (1970).

71. Рытов С. М., ЖЭТФ 58, 2154, (1970).

72. Городецкий Е. Е., Евтюшенков А. М., Есипов В. С., Кияченко Ю. Ф., ЖЭТФ 81, 588, (1981).

73. Анисимов М. А., Городецкий Е. Е., Евтюшенков А. М., Кияченко Ю. Ф., Оптика и спектроскопия 54, 505, (1983).

74. Городецкий Е. Е., Евтюшенков А. М., Кияченко Ю. Ф., Крюков А. В., Рытов С. М., ЖЭТФ 92, 1401, (1987).

75. Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц, "Электродинамика сплошных сред", Наука, Москва, (1982).

76. А. Д. Коваленко, "Термоупругость", Вшца школа, Киев, (1975).

77. V. В. Braginsky, М. L. Gorodetsky, and S. P. Vyatchanin, Physics Letters A271, 303, (2000).

78. Л. Д. Ландау, E. M. Лившиц, "Теория упругости", Наука, Москва, (1987).

79. Н. Wahid, J. Optics (Paris) 26, 109, (1995).

80. К. В. Чернышев, "Волновые задачи теории упругости", МГУ, Москва, (1985).81. "Физические величины", Справочник, Энергоатомиздат, Москва, (1991).