Некоторые пространственные динамические задачи теории упругости и вязкоупругости для тел сложной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

2. Исследование влияния присоединенных к диску локализованных масс на его колебания.

2.1. Собственные колебания упругого диска с присоединенными к нему несколькими локализованными массами.

2.2. Вынужденные колебания вязкоупругого диска с присоединенными массами.

3. Алгоритм решения пространственной динамической задачи теории упругости.

3.1. Постановка задачи об определении собственных форм и частот колебаний упругого тела.

3.2. Алгоритм решения задачи, основанный на методе обратных итераций.

3.3. Применение метода геометрического погружения.

4. Реализация алгоритма решения пространственной динамической задачи теории упругости.

4.1. Конечно-элементная реализация алгоритма.

4.2. Определение собственных частот и форм колебаний упругих тел.

5. Вынужденные колебания вязкоупругих тел.

5.1. Решение задачи в разложении по собственным формам колебаний упругого тела.

5.2. Построение амплитудно-частотных характеристик.

6. Основные результаты диссертации и выводы.

7. Литература.

Настоящая работа посвящена решению некоторых динамических задач теории упругости ивязкоупругости.

Рассматриваются два вида задач: о собственных колебаниях упругих и о вынужденных колебаниях вязкоупругих систем.

Б задаче о собственных колебаниях предполагается отсутствие внешних воздействий: массовых внешних сил, усилий или перемещений на поверхности. Отыскиваютс собственные частоты и соответствующие им собственные формы колебаний рассматриваемой механической системы.

В задаче об установившихся колебаниях вязкоупругих систем рассматриваются периодические по времени внешние воздействия. Начальные условия не ставятся. Определяются периодические по времени перемещения точек системы.

Задачи указанных типов поставлены и решены для механических систем сложной геметрической формы.

Ниже приводится обзор публикаций, посвященный различным аспектам рассматриваемой проблемы. Этот обзор не претеццует на полноту, он имеет целью показать работы различных направлений.

Для решения задач теории упругости для различных областей применяются как аналитические, так и численные методы. Аналитическое решение задач терии упругости связано с большими трудностями для областей более или менее сложной геметрии, известные нам работы посвящены решению некоторых частных задач для ограниченного класса тел и нагрузок. 130,42,23,24"! . Чаще применяются проекционные методы 2X1 , существенные трудности в которых возникают при выборе координатных функций. Эти трудности тем больше, чем сложнее геометрия рассматриваемой области. Методами этой группы в настоящее время решено большое количество задач. Так, в работе 150"\ решается пространственная задача для тела близкого к осесимметричному -полого короткого цилиццра, внешняя образующая которого представляет собой окружность, а внутренняя - эллипс. Торцы неподвижны, внутренняя поверхность свободна от нагрузок, на внешней поверхности задаю распределенное давление. В работе С 51 У рассматривается, методом возмущения формы границы, пространственная краевая задача о напряженном состоянии сплошного изотропного, однородного цилиндра конечной длины с двумя кольцевыми выточками, находящегося под действием постоянного осевого сжатия. Проводится сравнение полученных результатов с экспериментом, а в работе С52] тем же методом рещаются задачи теории упругости для замкнутых толстостенных оболочек вращения, близких к сферическим. В работе С 53 3 изучены задачи типа Сен-Венана для составных тел с боковыми поверхностями, отклоняющимися от цилиндрических по полиномиальному закону с малым параметром. Эти задачи, с точностью до определенной степени малого параметра, сведены к изученным задачам аналогичного типа для тел с цилиндрической поверхностью.

Что касается задач в динамической постановке, то и для них проекционные методы являются наиболее употребительными. Так в работах С25,26,27,281 исследуются не-осесимметричные собственные формы и частоты колебаний оболочек вращения. В работе С95 3 исследуются свободные изгибные колебания круглых пластин с начальными неправильностями. При решении учитывается влияние поперечного сдвига и инерции. В работе 1621 энергетическим методом получено уравнение движения сварной многослойной цилндри-ческой оболочки. Исследования для шарнирно-опертой по краям оболочки выполнены с использованием одночленной аппроксимации. Задача о собственных колебаниях ненагружен-ной составной оболочки исследована в работе методом конечных разностей [60 3 , а в работе 164предложена методика определения форм и частот свободных колебаний тонкостенных конструкций на основе методов пошагового поиска, последовательных приближений и разложения собственных функций в конечномерном базисе. В работе С 94*1 излагается конечно-разностная формулировка метода вычисления собственных частот произвольной тонкой анизотропной оболочки вращения, в частности цилиццрической. Рассматривается случай неоднородных граничных условий, приводятся примеры расчета однослойных и двухслойных цилиццрических оболочек.

Среди работ, посвященных решению задач теории упругости в рамках этого подхода, не удалось обнаружить посвященных исследованию областей сложной геометрической формы в пространственной постановке.

Среди многочисленных приближенных методов вццеляет-ся своей универсальностью метод конечных элементов £ 101. Суть метода состоит в том, что исследуемая область разбивается та некоторое количество подобластей - конечных элементов. Поле перемещений аппроксимируется внутри элемента фукцией координат, имеющей какой-либо простой вид, например - линейной. Стыковка элементов между собой осуществляется в узлах. Использование вариационной постановки позволяет свести задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений. Специальный вид базисных функций обусловливает разреженность и ленточную структуру матриц алгебраической системы и устойчивость численного решения, что облегчает использование ЭВМ для реализации алгоритма метода конечных элементов. Отметим, что этот метод решения задач теории упругости по существу совпадает с методом Ритца при специальном выборе базисных функций 1291. С помощью метода конечных элементов решено большое количество как статических, так и динамических задач теории упругости для областей сложной геометрии. Так в работе 1543 для решения линейных трехмерных статических задач используются восьмиугольные изопараметрические конечные элементы с переменным числом узлов, которое меняется от 8 до 27. Отмечена эффективность использования врожденных конечных элементов для сложных областей. В работе £553 метод конечных элементов применяется для исследования оболочек слонной геометрической формы. В работе производится дискретизация только искомых функций, входящих в вариационное уравнение теории оболочек, что позволяет избежать погрешностей, связанных с дискретизацией срединных поверхностей оболочечных конструкций. В работе [903 излагается конечноэлементный метод приближенного расчета таких конструкций, которые, при общей осесимметричной конфигурации, содержат отдельные неосесимметричные элементы. Исследован полый неосесимметричный цилиздр под внутренним давлением. Прямоугольные подструктуры - суперэлементы -рассматриваются в задачах о колебаниях пластин в работе [913 , из этих суперэлементов исключены внутренние узлы и есть возможность учесть неоднородность распределения массы и жесткости. Составлен каталог пластиночных супер-элементоа В работе С 611 рассмотрен метод построения расчетной сетки для сложных пространственных тел с помощью криволинейных элементов сетки второго порядка, изучены погрешности, возникающие при решении задач теории упругости в телах вращения, при использовании рассмотренного метода. Конечноэлеменгная модель, обеспечивающая анализ относительно толстостенных оболочечных конструкций, основанная на отказе от гипотезы прямой линии и обеспечивающая учет нелинейного закона изменения напряжений и деформаций по толщине оболочки, предложена в работе [93"\ . В работе [633 рассмотрено применение метода конечных элементов в сочетании с разложением нагрузки и искомых величин в ряды Фурье по окружной координате к решению задач о напряженно-деформированном состоянии осесимметричных конструкций, состоящих из тонких пластин и оболочек при неосесимметричных воздействиях. В работе С641 построен алгоритм расчета установившихся вынужденных колебаний циклически симметричной конструкции в конечноэлеменгной аппроксимации с применением разложения по собственным формам колебаний. Выполнены расчеты для диска постоянной толщины, как для циклически симметричной конструции. Собственные формы колебаний циливдров исследованы в работе £871 с помощью кольцевого конечного элемента с шестнадцатью степенями свободы, а в работе £881 рассмотрены собственные колебания циливдров со свободными торцами и боковыми поверхностями. В работе С391 выполнено исследование зависимости собственных частот и форм колебаний коротких циливдров от соотношений их размеров для различных вариантов граничных условий. Исследованы осесимметричные и неосесимметричные формы колебаний. В работе (.431 рассмотрены пространственные собственные колебания оболочки, использованы четырехугольные оболочечные элементы.

Непосредственное применение метода конечных элементов к пространственным задачам связано с определенными трудностями - ограниченными ресурсами ЭВМ по памяти и быстродействию. Этими трудностями объясняется отсутствие в литературе решений пространственных динамических задач, полученных в рамках этого метода.

В настоящее время имеется значительное число работ, в которых решаются задачи о колебаниях конструкций с присоединенными к ним массами. Так, в работах £44,451 рассмотрены, на основе метода Ритца, свободные колебания ор-тотропных оболочек с сосредоточенными массами. Исследовано влияние величин и мест расположения масс на собственные формы и частоты колебаний конструкции. В работе £461 методом малых возмущений определяются частоты и формы свободных колебаний пологой оболочки с сосредоточенной массой. Решение ищется в виде разложения в ряд по степеням малого параметра, в качестве которого взято отношение сосредоточенной массы к массе всей оболочки. Задача о собственных колебаниях круговой цилиндрической оболочки с присоединенными массами рассматривается в работе С471. Решене раскладывается в двойные тригонометрические ряды. Собственные частоты получены из равенства смещений масс и прогибов оболочки в точках их присоединения. В работе С. 481 энергетическим методом с использованием процедуры Ритца анализируется влияние сосредоточенных масс на собственные частоты колебаний оболочки. В работе £49 3 исследуется вопрос о взаимовлиянии присоединенных к оболочке масс при собственных ее колебаниях. Обсуждаются вопросы оценки основной частоты колебаний оболочки с несколькими массами в зависимости от их взаиморасположения. В работе £891 собственные формы и частоты круговых цилиндрических оболочек с присоединенной массой определяются с помощью приближенного энергетического метода. Дается оценка влияния величины и места присоединения массы на собственные частоты колебаний оболочки.

Как видим, в работах этой группы исследуется присоединение масс к таким конструкциям как балки, пластины, оболочки, а работы посвященные исследованию пространственных задач для тел сложной геометрической формы отсутствуют.

Таким образом модно констатировать, что наличие большого числа работ, посвященных решению динамических задач теории упругости свидетельствует об актуальности такого рода задач, а относительная цростота конфигураций исследуемых конструкций свидетельствует о том, что задача далека от своего окончательного решения в случае тел сложной геометрической формы.

Что касается задач о колебаниях вязкоупругих тел, то прямой, или символический, метод Вольтерры получил в настоящее время, весьма широкое распространение для самых различных конструкций. Так, в работе С571 рассмотрена задача о колебаниях конструкций с неоднородными вязко-упругими свойствами, которая представляется в виде набора конечных элементов, внутри каждого из которых свойства однородны. В работе [.581 исследуется напряженно-дсформированное состояние упругих и вязкоупругих те вращения при действии внешнего динамического давления. Подход к решению динамических задач для осееимметричных упругих и вязкоупругих тел описан в работе 1631 . Рассмотрены собственные колебания короткого полого циливдра, выполненного из линейно-вязкоупругого материала. В работе С 591 рассмотрена начально-краевая динамическая и квазистатическая задача для геометрически нелинейных оболочек. Для случая весъма малого параметра, характеризующего инерцию оболочки, получены достаточные условия асимптотической близости решений задач квазистатики и динамики на конечном отрезке времени.

Оцин из перспективных подходов к решению динамических задач вязкоупругости состоит в использовании, в качестве координатных функций, собственных форм колебаний упругого тела. В работах С36,37,383 предложена общая постановка линейных и нелинейных задач вязкоупругости и схема решения этих задач, основанная на представлении искмого решения в виде разложения по собственным формам упругой задачи. В работах 122,39,403 с помощью такого разложения решены динамические задачи для осесимметричных тел и осесимметричных оболочек. Цредставляе^ интерес вопрос о выборе числа координатных функций, удерживаемых в разложении. Часто удерживают одну - две функции. В работах

U39, 40 3 утверждается, что в каздом конкретном слу-чаенеобходимо специально исследовать это число.

Вообще, в рамках этого подхода, вызывает затруднения само определение собственных форм колебаний уцругого тела, и работ, посвященных решению пространственных задач для тел сложной геметрической формы, обнаружить не удалось.

Подводя итог сказанному, можно утверждать, что решение пространственных задач о колебаниях тел сложной геометрической формы является весьма актуальной и далекой от своего окончательного решения задачей. Рассмотрению именно этой проблемы посвящена настоящая работа, в которой показана необходимость постановки пространственных задач о колебаниях для областей сложной геометрии; предложен итерационный метод решения пространственной задачи о собственных значениях, сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие его сходимость, предложен один из вариантов численной реализации метода, проведены расчеты собственных форм и частот колебаний нескольких конструкций сложной геометрической формы, решена задача о вынужденных колебаниях вязкоупругого , тела в разложении по собственным формам колебаний упругого тела, построены амплитудно-частотные характеристики колебаний нескольких конструкций сложной геометрии.

Кроме настоящей, работа включает еще четыре главы.

Во второй главе поставлена и решена модельная задача о свободных колебаниях упругого и вынужденных колебаниях вязкоупругого круглого диска с присоединенными к нему несколькими локализованными массами. Исследовано влияние дискретности распределения масс по внешнему контуру на вянужденные колебания диска. Показана необходимость учета неравномерности распределения при со единенных масс.

В третьей главе приведена постановка пространственной задачи о собственных колебаниях конструкции сложной геометрической формы. Предложен подход к решению такой задачи, основанный на использовании обратных итераций для нахождения собственных форм и частот колебаний конструкции и метода геометрического погружения для решения вариационного уравнения, возникающего на каждой итерации. Сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие сходимость разработанного итерационного алгоритма.

В четвертой главе изложены основные аспекты численной реализации алгоритма. Предлагаемый вариант реализации основан на использовании полуаналитического метода конечных элементов. Приведены примеры расчета собственных частот и форм колебаний нескольких конструкций сложной геометрической формы.

В пятой главе поставлена и решена задача о вынужденных колебаниях вяхкоупругого тела. Решение ищется в рамках линейной наследственной теории Больцмана - Вольтерры в разложении по собственным формам колебаний упругого тела. Приведены амплитудно-частотные характеристики колебаний точек нескольких конструкций сложной геометрии.

Результаты нветоящего исследования опубликованы в работах С 71,72,73,74,75 3 . Отдельные результаты и работа в целом доложены на IX Всесоюзной научно-технической конференции по конструкционной прочности двигателей /Куйбышев, 1983/, на I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам механики деформируемого твердого тела /Москва, 1984/, на Всесоюзной конференции по проблемам снижения материалоемкости силовых конструкций /Горький, 1984/, на П ' Всесоюзной конференции по теории упругости /Тбилиси, 1984/, на семинаре, под руководством профессора Л. А. Толоконнико-ва /Тула, 1984/, на семинаре под руководством профессора Б.Е. Пэбедри /Москва, 1984/, на семинаре кафедры механики МЙЭМ /Москва, 1984/.

б. Основные результаты диссертации и выводы.

1. Поставлены и решены задачи о собственных колебаниях упругой и вынужденных колебаниях вязкоуцругой пластины с црисоединенными к ней несколькими произвольно локализованными иассами. Цродемонстрирована необходимость учета несимметричности присоединения масс, в особенности в случае наличия в спектре собственных частот кратных или близких значений.

2. Предложен алгоритм решения задачи о нахождении собственных форм и частот колебаний упругого тела, ориентированный на использование преимущественно для тел сложной геометрической формы. Алгоритм основан на использовании метода обратных итераций с применением метода геометрического погружения на каждой итерации. Сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие сходимость предложенного ал- \ горитма.

3. Предложенный алгоритм реализован с помощью полуаналитического метода конечных элементов. Найдены пространственные собственные формы и соответствующие им собственные частоты колебаний упругих тел сложной геометрической формы. Численно исследована скорость сходимости. Проведено сравнение с известными результатами.

4. Полученные пространственные формы использованы для исследования вынужденных колебаний вязкоупругих тел в разложении по этим формам. Приведены амплитудно-частотные характеристики колебаний точек рассматриваемых тел сложной геометрической формы.

1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. -М. :МГУ, 1978. 287 с.

2. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. -М.: Машиностроение, 1970. 734 с.

3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. -М.: Наука, 1979. 560 с.

4. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. I и П. -М.: Наука, 1970.

5. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. I и П. -М.: Мир» 1964.

6. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1980. 408 с.

7. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. -М.: Наука, 1967. 344 с.

8. Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир, 1975. 872 с.

9. Зенкевич 0., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошной среды. -М.: Недра, 1974, 240 с.

10. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. 541 с.

11. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970. 564 с.

12. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. -М.: Наука, 1970. 280 с.

13. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. -М.: Наука, 1971. -245 с.

14. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977.

15. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. -М.: Госстройиздат, 1968. 416 с.

16. Мельников Н.П.,Малый В.И. ,Базилевский С.В. Особенности динамического расчета оболочечных конструкций при импульсном нагружедаи. Труды ЦНИИПроектстальконструкция. -М.; 1980. с. 3-15.

17. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.: Наука, 1975. 632 с.

18. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. -М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

19. Кармишин А.В., Мяченков В. И., Лясковец В. А., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. -М.: Машиностроение, 1975. 375 с.2D. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. -М.: Наука, 1966. 752 с.

20. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. -М.: Наука, 1971. 245 с.

21. Шейба Л. С., Шляпочников С.А. Об одном классе собственных колебаний упругого цилиццра. -Аккустический журнал, 1974, 20, 2.

22. Лийва Т.В., Товстик П.Е. Свободные неосесимметричные колебания оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны. -Тр. УП Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. 1969. -М.: Наука, 1970. с. 365.

23. Саргасян Г.Л. Формулы для числа частот неосесимметрич-ных колебаний оболочки вращения. -Тр. Московского физико-технического института. Аэрофизика и прикладная математика. 25 научная конференция МШТС. 1979. -М.: 1980. с. 80-82.

24. Медведев В.И., Мяченков В.И. Неосесимметричные колебания оболочек вращения. -Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1971, №2. с. 53-58.

25. Товстик П.Е. Неосесимметричные колебания оболочек вращения с небольшим числом волн по параллели. -В сб.: Исследования по упругости и пластичности. Р 8. -Л.: Издательство ЛГУ, 1971, с. I3I-I40.

26. Колтунов М.А., Кравчук А. С., Майборода В. П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. -М.: Высшая школа, 1983. 349 с.

27. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории уцругости. -М.: Наука, 1981. 688 с.

28. Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. 940 с.

29. Вайнберг Д.В., Ворошко П.П., Синявский А.Л. Численное решение пространственной задачи теории упругости.-В сб.: Расчет пространственных конструкций. Вып. 12. -М.: 1969. с. 4-26.

30. Золотов А.Б. Решение пространственной задачи теории упругости методом сеток. -В кн.: Строительные конструкции. Вып. I. -М.: 1969. с. 255-258.

31. Вольмир А.С., Сметаненко В.А. Исследование собственных колебаний пластинок, выполненных из композиционных материалов, с помощью метода конечных элементов. -Механика полимеров, 1976, № 2.

32. Царицына И.В., Самокиш Б.А. Построение неосесимметрич-ных собственных форм оболочек вращения методом конечных элементов. -Известия ВНИИГ им Веденеева, том 103, 1973.

33. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. Геометрически нелинейная задача теории вязкоупругости. -Механика Эластомеров, 1977, Р X.

34. Кравчук А.С., Моргунов Б.И., Трояновский И.Е. Вынужденные нелинейные колебания вязкоупругого тела. Механика полимеров, 1977, 4.

35. Трояновский И.Е. Вынужденные колебания вязкоупругой системы с конечным числом степеней свободы. -Механика полимеров, 1973, 5.

36. Матвеенко В. П. Оптимизационный, деформационный и динамический расчет вязкоупругого оеесимметричного тела со смешанными условиями на границе. Автореферат диссертации на соискание ученой степени каццидата физико-математических наук. -М.: 1976.

37. Мирсаидов М. Установившиеся колебания осесимметричных вязкоупругих оболочек. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, -М.: 1976.

38. Носиров А. А. Пространственные колебания осесимметрич-ных теле присоединенными массами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени каццидата технических наук. -М.: 1983.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1967. 575 с.

40. Чхиквадзе К.Т. Пространственные собственные формы колебаний железобетонной запретной оболочки АЭС. -Сообщет ния АН Грузинской ССР, 1981, 102, № 3, е.- 637-640.

41. Лиходед А.И., Малинин А.А. Собственные колебания бочкообразных оболочек с сосредоточенными массами. -Изв. АН СССР. Механика тведого тела, 1972, 2, с. 167-170.

42. Лиходед А.И., Малинин А.А. Колебания подкрепленных оболочек рващения с сосредоточенными массами и осци-ляторами. -Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1971, № I, с. 42-47.

43. Галченко А.А. Влияние сосредоточенной массы на частоту и формы свободных колебаний пологой оболочки двоякой кривизны. -В сб. трудов Ленинградского инженер но-строительного института, 1971, Р 68, с. 176-179.

44. Козлов С.В. К вопросу об определении собственных частот и форм малых колебаний ортотропной цилиндрической оболочки с присоединенными массами. -Прикладная механика, 1981, 17, № 2. с. 46-51.

45. Цыбин Е.Н., Ярошенко В. А. Свободные колебания циливд-ра оболочки с присоединенными массами в случае упругой заделки ее краев. -Тр. Николаевсого кораблестроительного института, 1979, № 155, с. I07-II3.

46. Авдреев А.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Взаимовлияаде присоединенных к оболочке точечных масс при собственных колебаниях. -Тр. Днепропетровского института инженеров железнодорожного транспорта, 1982, № 214/25. с. 15-19.

47. Кан М.А. Применение метода конечных элементов к расчету упругих изотропных и трансверсально-изотропных теп близких к осесимметричным. -Вестник Каракалпакского филиала АН УзССР, 1982, № 4, с. 9-II.

48. Немиш Ю.Н., Вологжанинов Ю.И., Зирка А.И., Блошко Н.М. Теоретико-экспериментальное исследоание напряженно-деформированного состояния упругих цилиццров с выточками. -Прикладная механика, 1983, 19, № 10. с. 36-40.

49. Немиш Ю.Н., Лялюк Д.Ф., 0 напряженном состоянии толстостенных неканонических оболочек близких к сферическим. -Црикладная механика. Киев, 1983, 19, № 8. с. 29-34.

50. Хатиашвилли Г.М. Приближенные решения задач о деформации составных тел, близких к цилиццрическим. -Прикладная механика. Киев, 1983, 19, № 7. с.71-76.

51. Алехин В.В., Коробейников G.H. Линейный расчет трехмерных статических задач теории упругости. -Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1983, № 61, с. 3-II.

52. Копытко М.Ф., Муха И.О., Савула Я.Г. Задачи статики и динамики для оболочек сложной формы. -В сб.: ХП Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983, ч. 3. -Таллин: 1983. с. 66-71.

53. Деревянкина Е.Н. Расчет цилиццрической оболочки из нелинейного вязкоупругого материала. -Прикладная теория упругости. Саратов, 1983. с. 66-70.

54. Мэкеев В.В. О решении задач динамики неоднородных вяз-коупругих тел с использованием метода конечных элементов. -В сб.: Динамика и прочность конструкций. -Челябинск, 1892. с. 47-52.

55. Ренжин А.Ю. Численное решение задач осесимметричных динамики упругого тела. -В сб.: Аэрофизические и геокосмические исследования. -М: 1983. с. 81-82.

56. Лебедев Л. П. О решении динамической задачи вязкоупру-гости оболочек. -Доклады АН СССР, 1982 , 267, № I,с. 62-64.

57. Макаревский Д.И. Собственные колебания составной оболочки. -В сб.: Прикладные методы расчета строительной механики, экспериментальные исследования. -М.: 1982. с. 38-40.

58. Коклюев Г.А. Построение расчетной модели в методе конечных элементов при решении пространственных задачтеории упругости. -Проблемы прочности, 1982, № 10. с. 102-103.

59. Толбатов Ю.А. Свободные колебания сварной многослойной цилиццрической оболочки. -Проблемы машиностроения. Киев, 1982, № 17. с. 32-33.

60. Балакирев А.А. Об одном способе решения динамической осесимметричшй задачи упругости и вязкоупругости. Московский институт электронного машиностроения. -М.: 1982, II с. / Рукопись депонирована в ВИНИТИ II февраля 1982 г., Ш 751-82 деп./.

61. Журавлева A.M., Териков Ю.П. Исследование вынужденных колебаний диска как циклически симметричной конструкции.65» Михзшн С.Г. Вариационные методы в математической физике, -М.: Наука, 1970. 512 с.

62. Оьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980. 5X2 с.

63. Лурье А.И. Пространственная задача теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

64. Колтунов М.А. К вопросу о выборе ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации. -Механика полим^юв, 1968, 4. с. 483-491.

65. Треногин В.А. функциональный анализ. -М.: Наука, 1980. 195 с.

66. Шардаков И.Н., Трояновский И.Е., Труфанов Н.А. Метод геометрического погружения для решения краевых задач теории упругости. -Препринт. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. 65 с.

67. Пустовойт К.С. Прочностной расчет накопителя энергии. -Тезисы докладов I Межреспубликанской конференции по динамике и прочности машин. -Пермь, 1981.

68. Пустовойт К.С. Исследование влияния присоединенных к диску локализованных масс на собственные формы и частоты его колебаний. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 5 июня 1984 г. № 3650-84 деп. II стр.

69. Пустовойт К. С. Исследование влияния неравномерности присоединения масс на внешнем контуре диска на вынужденные его колебания. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 5 июня 1984 г. Р 3649-84 деп. 9 стр.

70. Шардаков И.Н., Трояновский И.Е., Труфанов Н.А, Пустовойт К. С. Решение статических и динамических задач теории упругости для тел сложной конфигурации. -Тезисы докладов П Всесоюзной конференции по теории упругости. -Тбилиси, 1984.

71. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. -Киев: Вища школа, 1982. 352 с.

72. Богданов Б. А., Свияженинов Е.Д., Штукин Л.В. Метод "погружения" в задаче о колебаниях упругого тела при сложной конфигурации поверхности и граничных условиях. -Тр. Ленинградского политехнического института, 1982, № 388. с. 71-73.

73. Богданов В.М., Фридман В.М., Штукин Л.В. Об одном методе решения задачи о колебаниях упругого тела при сложных граничных условиях. -МГТ, 1980, Ш 4. с. III-II9.

74. Фридман В.М., Черни на B.C. Видоизменение метода Бубно-ва-Галеркина-Ритца связанное со смешанным вариационным принципом теории упругости.-МТТ, 1969, №1. с. 64-78.

75. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обощенных функций с приложением в технике. -М.: Мир, 1978. 518 с.

76. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. -М.: Высшая школа, 1972. 752 с.

77. Хатсон В., Ним Дж. С. Приложения функционального анализа и теории операторов. -М.: Мир, 1983. 432 с.

78. Хьюз Дж., Мичтом Дж. Структурный подход к программированию. -М.: Мир, 1980. 278 с.

79. Йодан Э. Структурное проектирование и конструирование программ. -М.: Мир, 1979.

80. Богомолов С.й., Журавлева A.M. Взаимосвязанные колебания в турбомашинах и газотурбинных двигателях. -Харьков: Вшца школа, 1972. 176 с.

81. CJbivM &.Н Vj VA Д. оллоЛц^cxwd A'VOVA.^4 ^ ^ A 1.1. UL. G.H.L. AkAuvafiee. Qew^V с^&хАед^. "^.S^c^wA cwc