Некоторые теоремы единственности в анализе Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.5

ХОАНГ НГОК ТЬЕН

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ В АНАЛИЗЕ ФУРЬЕ

(Преобразование Фурье-Ватсона, единственность гиперфункции)

01.01.01 — математический анализ

Авторефер ат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1093

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.5

ХОАНГ НГОК ТЬЕН НЕКОТОРЫЕ ТЕОРИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ В АНАЛИЗЕ ФУРЬЕ (ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ-ВАТСОНА, ЕДИНСТВЕННОСТЬ ГИПЕРФУКЩШ) 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петер-бурского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-матетатических наук,

профессор ХАВИН Витор Петрович

' ф

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор 4изико-ыатетатических наук,

профессор ШИРОКОВ Николай Алексеевич

- доктор физико-матетатических наук, профессор ВИДЕНСКИЙ Виктор Соломонович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургское отделение математического института РАН имени В.А.Стеклова.

Защита состоится июня 1993г. в " часов на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.,2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского университета. Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " &" 1993г.

Учитай секретарь специализовакного совета,

кандидат ^мзико-математическшс наук,

доцент

О.И. РьИнсп

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа-посвящена некоторым фактам

гармонического анализа, иллюстрирующим "принцип неопределенности",

который запрещает ненулевой функции быть слишком »¿алой, если мало ее о

преобразование Фурье.

Большая часть диссертации (главы I и II) относится к теории преобразований Фурье-Ватсона. Мы распространяем на них принцип неопределенности Амрейна-Бертье (глава I), а в главе II показываем, что для rapo кого; класса таких преобразований имеет место явление принудительной гладкости для функций со спектром конечной длины. Интересно, что при этом конкретная аналитическая форма ядра, определяющего преобразование, почти не играет роли, а важен лишь факт унитарности соответствующего оператора и его связь с преобразованием подобия.

В главе III речь идет о принципе неопределенности для гиперфункции на единичной окружности. Мы, в частности, находим условие редкости спектра, обеспечивающее совпадение носителя ненулевой гиперфункции о окружностью. Это условие в известном смысле точно и в определенном отношении дает больше, чем классическая теорема Фабри о степенных рядах с пропусками.

Цель работы. Целью настоящей работы является перенесение теоремы Амрейна-Бертье и теоремы Зигмунда о принудительной гладкости лакунар-ного ряда на преобразования Фурье-Ватсона, а также выяснение связи между размером носителя гиперфункции и редкостью ее спектра.

Методы исследования. В работе применяются методы геометрии гильбертова пространства, теории операторов в гильбертовом пространстве, а

также методы комплесного анализа ( в частности, оценки целой фушции, ассоциированной с данным степенным рядом)

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

И

- доказано неравенство типа неравества Амрейна-Бертье, применимое к . широкому классу преобразований Фурье-Ватсона;

- доказаны теоремы о принудительной гладкости и аналитичности функций со спектром конечной длины (относительно данного преобразования Фурье-Ватсона);

- дана точная оценка размеров носителя гипофункции через некоторую плотность ее спектра.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут '..казаться полезными при доказательствах теорем единственности для различных интегральных преобразований и для оценок спектра обощенных функций и гиперфункций.

Апробация работы. Результаты докладывались на семинаре по спектральной теории функций (ПОМИ РАН, С-Петербургский университет).

ПусЩикация. Результаты работы подготовлены к публикации в журнале "Вестник Сб-ПГУ".

Структура и объем работы. Диссертация состоится из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на параграфов. Работа занимает 6& стршшц машинописного текста. Библиография содержит 11 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ГЛАВА I. Теорема Амрейна-Бертье для преобразований Фурье-Ватсона.

Буквой Ж мы будем обозначать прямую к или полупрямую . Рассмотрю* пространство «-*(*) функций, суммируемых с квадратом по мере

Лебега на X. Обобщенным преобразованием Фурье-Ватсона мы называем

унитарное преобразование Р:п-*(г)-► <lz{3>), заданное следующим

образом: F(f)=g, где

С(у)= Jk(xy)f(x)dx , Г в а.'(X), (*)

X

причем имеет место формула обращения

О

f(x)= Jh(xy)g(y)dy . X

Уточним смысл интегралов, участвующих в определении. Мы предполагаем что функции к и h измеримы (по Лебегу) на г и ограничены на каждом огрёниченном промежутке А <= X. Тогда интеграл

Jk(xy)f(y)dx =:gA(y) А

существует как интеграл Лебега для i е и для любого у « at. Мы

предполагаем, что gA сходится в n.*(S) к некоторой функции g, когда Д.

расширяясь, стремится к $; интеграл Jk(xy)f(x)dx понимается как

X

g(y). Тем самым он определен при почти всех у « X. Так же определяем

Jh(xy)g(y)dy • X

Эта схема наряду с классическими частными случаями

к(х) = -!—е1*, h(x)= J— etx <ЗЕ=к)

-fiT iiJT

k(x) = j— ein x = h(x) (3t=«,)

k(x) = JUT" cos x = h(x) (2=*,)

охватывает ряд другах преобразований, в том числе и таких, которые применяются в математической физике и многомерном гармоническс« анализе.

В монографиях Титчмарша 141, Джрбашяна 12}, Рисса и Надя И П

рассматривается более общая конструкция, в которой

d rki (ху)

F(f)(y)= — J-i(x)dx («»)

& X z

Мы ограничиваемся только теми случаями, когда "возможно дифференцирование" под знаком интеграла (»♦). Эти случаи достаточно многочисленны, но не охватывает , например, ядра Гильберта, имеющего неинте-грируемую особенность. В дальнейшем будет показано, что наложенное нами ограничение в известном смысле необходимо для справедливости теорем типа Амрейна-Бертье. Функции Кий называется ядрами преобразования Р.

В первом параграфе мы рассматриваем ряд примеров: преобразование Ханкеля, преобразование Титчмарша, преобразование Бейтмэна, частный случай преобразования Фокса и преобразование Гильберта (для которого принцип неопределенности действует в ослабленной форме).

определен»»». Существенны* носителел функции I • в.1 (X) называется множество Sei такое, что

mftr я ж \S,t[x)/Q) = mix « S,i(x)=0) = 0; обозначим S:=es8supp Г. (Буквой ш мы обозначаем меру Лебега ¡иногда вместо m(S) мы пишем |S|).Таким образом, евввирр Г определяется единственным образом с точностью до множества меры нуль. олр*д»л«ии«. пусть F-npeобразование пространства <L*(i) в себя.

Суи^стбеннил спектрах функции I относительно преобразования F новы бается существенный, носитель функции 7(1); ли обозначил его через GSSopvC Г,

н

Рассмотрим измеримые подмножества S, Z простраства X. Пусть »(S):=(r«L*(f ):eeeexipp Г с S) • (£):<=(f«L*(X):es88pec I с Е)

определение. Пара (в,2) называется аннигилирующей (или а-парой), если »(Я) П *(2)={0).

определение. Пара (8,2) называется сильно аннигилирующей (или

сильной а-парой), если существует такое С>0, что V ЗЧЛ-1 (X)

("сИп < с(/|Х|а€Ы +Л»(1)|*«Ьв ) х Е'

где х Е':=зе\Е.

Здесь мы придерживаемся терминологии книги Ерикке.Хавина [71. После некоторой технической подготовки в §5 мы формулируем и доказываем главный результат главы.

Теореме 5.4 ПрвОПОЛОХиЛ, Ч№ О) 5,2 с X, 0<|5||2|<+<» ,*

вЛк^-к» имх |Ыш<м>. ТогОа пара (Б,2) сильно анишигрует (относительно преобразования ?,заданного вврсии к и Ь

В §6 приводам примеры, удовлетворяюще условиям теоремы 5.4, и конпример, подчеркивании!! необходимость условия в) при теорема 5.4. А именно если Р-преоОразование Гильберта то любая пара (в, 2) .. с конечными длиными являются а-парой, но существует из них не сильной аннигилирувдей.

В случае классического преобразования Фурье этот результат был получен в работе Амрейна-Бертье [1]. Подчеркнем, что если К(ра-1— е1Ж, а множества. 5 и 2 ограничены, то сильную аннигиляцию

ШГ

пары б, 2 легко вывести из того факта, что любая функция 1 « а(3)П Л «(2) вместе с Р(Г) оказывается целой (конечной степени). В теореме Амрейна-Бертье (и в нашей теореме 5.4) оба множества в я 2 ыогут быть неограниченными, а аналитичность ядра нигде не используется. Ни следуем схеме доказательства Амрейна-Бертье. Некоторое т^хничеслм

С

осложнение связано с тем, что оба множества евввирр Г и еввврес 1 меняются под действием преобразования подобия (в классической ситуации имеют дело со сдвигами прямой к,не меняющими спектр).

Глава II. Принудительная гладкость функции со спектром конечной длины

Допустим, что мы имеем дело с "обычным преобразованием Фурье на прямой. Как видно из теоремы Амрейна-Бертье для классического преобразования Фурье.функция и ее преобразование Фурье не могут быть , слишком малыми вне некоторых множеств с конечными длинами. Иными словами, ш наблюдаем такое "явление вынуждения": если функция и ее преобразование малы на достаточных больших множествах, например, на дополнениях к множествам с конечными длинцми, то они должны быть малыми в целом, на всей прямой. В частности, если функция и ее преобразование равны нулю вне некоторых множеств с конечными длинами то они должны равны нулю почти всюду. Такое "явление вынувдения" моюй) наблюдать не только в отношении "малости" и не только для классического преобразования Фурье, но и в отношении, например, аналитичности и других видов гладкости и относительно обощенных преобразований Фурье. А точнее, мы получаем следующий "принцип вынужд&ния":

Если функция Г равна функции из какого-то специального класса вне некоторого множества конечной длины, а ее преобразование У(Г) вне никоторого множества конечной длины равно нулю, то сама Г принадлежит к тому жа специальному классу на всем пространстве X.

Зтот принцип составляет содержание главы II. Такой принцип можно назвать "принципом расширения гладкости".

Шргша результат тлкого типа принадлежит Зигмунду, который доказал

следующую теорему:

Если сумма' Б лакунарного ряда Фурье класса о.* совпадает с некоторой функцией класса с"*1 на множестве положительной меры, то Б принадлежит классу сп (на всей прямой).

Ему же принадлежит и такой результат: если сумма Б лакунарного а.1-ряда Фурье на некотором интервале аналитична, то Б аналитична всюду (Зигмунду[5]).

МЫ показываем в главе II, что., аналогичные утвекдения верш для любых преобразовании^ Фурье-Ватсона, удовлетворяющих условиям, сформулированным в главе I. Лакунарность спектра в теоремах Зигмунда заменяется у нас требованием конечности меры спектра. Из доказательства видно, что "принудительная гладкость" функций с малым спектром тесно связана с явлением сильной аннигиляции, описанным в главе I.

В §2 мы определяем специальный класс и" (Э?), где пет, аналогичный

классу Соболева класс тп($) состоит из тех функций Г « п-2(Ж). для

которых О* Г е о.а(*),к=0,1,2.....п, где оператор Т равен х— . Этот

(ix

оператор перестановочен с преобразованием подобия и поэтому более удобен при работе с преобразованием Р, чем обычное дифференцирование <1/<1х.( Т*! мы понимаем как обощенную функцию). Заметим, что Г « шп(Ж) тогда и только тогда, когда 1 в сп"(Х), а функция 1<п~" абсолютно непрерывна, и Т"1'" « о.*(*).

Пусть ^-измеримое подмножество пространства Ж. Определенна. (мп(у):={Г « о.жg е ып(зе) такая,ЧТО 1=&\у >.

В §3 мы формулируем следующую теорему .

Пусть излершые лнохества Б, Б с аг и унитарное преобразование 7 удовлетворят условия* тесрехы 5.4 главы I.

Предполагаем, что Г « еввврес f с s и f|(ï\S) « <nn(s\S).

Тогда 1 ® w" сае ;.

Кроме того, существует число С>0, не зависящее от п и такое, что

следствие. Бели функция Î имеет спектр (относитьтельно преобразования ¥) конечной блины и совпадает с некоторой функцией класса s(X) вне промежутка СО,А],(к>0), то функция î принадлежит ca(g), еде s(X) - класс Щварир всех быстро убывающих функций класса ст(Х). Теорема будет доказана в §6. А в §4-5 подготовки. В §7 мы рассмотрим принцип вынужденной аналитичности, теорем« 7.з. Пуст функция î удовлетворяет условиям теоремы §3. Кроме того,допустим, что существует число Q>0 такое, что

|х"<1пг|1_*(ае\5) « nier п=1,2,...

Тогда функция Г аналтияна на о?^.

следствие 7.4. Пусть î удовлетворяет условиям теоремы S3. Кроме того, пусть g:=I| (о^\(0,А)) атлшична в полуплоскости cA(=(z:Hez >А>) u |g(z)| « С/1z|. с>0, z* сд. Тогда î аполитична на в?^.

Глава III О спектре и носителе гиперфункции. Символом т мы обозначаем единичную окружность (|z|=1>. Как известно, функции и распределения,заданные на v подчиняется "принципу неопределенности который запрещает одновременную чрезмерную малость функции (распределения) f и ее коэффициентов Фурье. В этой главе мы рассмотрим некоторый вариант принципа неопределенности, применимый к любой гиперфункции. Этот вариант дает точную оценку редкости спектра гиперфункции через ее размер носителя В §1 введено понятие гиперфункций, как пар функций, анали-

t

тических, соответственно, в областях

и>+:={£«=с:|£|<1} и ID : = ЦеС: | £|>1 или i=a> >, причем f_(oo)=0.

Множество всех гиперфункций мы будем обозначать символом Hyp и .

По этому определению любые функции, суммируемые на единичной окрук ности, так же любые распределения на окружности (т.е любые линейныь непрерывные функционалы в пространстве с03(и)) являются гиперфункциями

Множество Нури изоморфно пространству всех линейных непрерывных функционалов в ©ПО, где ©(тг) пространство всех функций, аналитических на единичной окружности. Спектром гиперфункции, считается, по определению множество

spec Г:={пе2:Г(п)*0) здесь имеется в виду, что

= £ f(n)zn (|z|<i), f.(z) = - £T(n)z" (|z|>1).

n^O г» <0

Носителем гиперфункции, считается, по определению, дополнение к наибольшему открытому подмножеству окружности , через которое "положительная" часть f гиперфункции Г аналитически продолжима в ее "отрицательную" часть f_ , и обозначаем его через supp Г.

Отметим, что если Г-"обычлая" функция, суммируемая на u, а 1 *

Г(n)=— f r(eie)e_ln0de - ее коэффициент Фурье, (n=0,t1,±2,...), т».

2* -1С

данное только что определение носителя совпадает с обычным.

Размер носителя гиперфункции Г мы будем характеризовать числом о (=чз(Г)), равным половине длины минимальной компактной дуги, содержащей supp Г. Редкость спектра измеряется "считающей функцией" n:[0,+«J —• [0,-ко) (n=nf), которая задается так : n(t)= card{k«z:|k|<t, f(k)=0)

Чем быстрее растет величина п^Мпри 1;-+«»), тем, грубо говоря, "реже" спектр гиперфункции Г.

Задача о связи величины о, и редкости спектра для функций I « а.р (тг) и распределений на окружности была решена Берлингом и Малльявеном [6]. Вместо Э, они использовали другую, более сложную характеристику редкости спектра. Известны примеры, показывающие, что результат Берлинга-Малльявена, будучи точным для функций и распределений, не является точным для гиперфункций. Такие примеры вытекают из сопоставления результатов Бака [3] с теоремой Фабри о пропусках.

В §2 сформулирован основный результат главы III.

теорема: Бели 1«Нур тг, и

„ _ 1 0(1)

а.:= пш ——си > -—, (***)

и—,+СО и ЛУЖ 2\ 1с

■то 1=0 .(Это равенство означает, по определению, что Г =0 и Г =о ).

п.Ш 1

следствие. Бели с шествует й,:=11т (—-) и <1_>о,/1с , то Г=0. 1

Этот "принцип неопределенности" налагает запрет на редкость спектра ненулевой гиперфункции 1, носитель которой оставляет свободной некоторую невырожденную дугу окружности. Если дополнение такой дуги имеет длину 2а, то (1 < (о /1с). В частности, если 1«Нур т, Г ¡¿О, и если спектр 1 настолько редкий, что а,=1, то вирр Г=тг.

В §3-4 следуя известной схеме (Бибербах (8], Бак 13], Аракалян [9]), мы рассматриваем функции, ассоциированные с гиперфункциями . Говорят, что целая функция Р ассоциирована с гиперфункцией £ (=(Г.,Г )), если Е(п)=а , п«г .где

Т "" п

1,(2) = £ апгп , Г_(а) .

П^О П<Р

В §5 мы доказываем основной результат главы III. А в §6-7 мы

обсуждаем точность неравенства (***) и связь с теоремой Фабри о

степенных рядах о пропусках.

Точность теоремы §2 легко вытекает из рассмотрения функции F(z)=

и

sln(itz/N), New. она ассоцирована с некоторой гиперфункцией, носитель которой расположен на дуге длины of=ic/N, причем d,=1/H. Из теоремы Фабри о степенных рядах с пропусками следует такой фчкт Если

(nf ),(t)

IcHyp ТГ, ijtQ И litt ——- =1 О )

t -*»оо t

где (n,)t(t):=card tk: Oäcct, f(k)=0}, то supp Г=т.

Условие a,=1 выполнено, если кроме условия (+) выполнено симметричное ему условие

(п.) (t)

Ilm ——— =1 (-)

i-•♦оо t

Однако, нетрудно построить такое множество е с z, симметричное относительно начала, что число 3 , отвечающее функции

n: ti-► card(En(-t,t)), равна единице, но ни одно из

соответствующих условий (+), (-) не выполнено. Таким образом, в случае о = % наша теорема дает больше, чем теорема Фабри, примененная по отдельности к функциям Г,,!..

В заключение автор выражает искреиюю благодарность своему научному руководителю, профессору В.П.Хавину за постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1 .Amreln W.O. .Berthler A.M. On support propertlers or «.p-runctlonu and their Fourier transforms //Journ.Pimct.Anal. 24 H 3 (19771

P258-267.

2.D2h3baahyan M.M. Integral transforms and representations ot

functions In complex domain //Nauka, Moscow 1966 (Russian).

3. Buck D.C. An extentlon of Carlson's theorem.// Duke Math. J., 1946, V.13, P.345-349.

4.Tltchmrsh E. Introduction to the theory of Fourier integrals // Oxford Unlv.Press,London,New York 1937.

5.Zygmund A.Trigonometric Series .V I-II// Cambrlge,London,New York 1959.

6.Beurllng A.,Malllavln,P.On the closure of characters and the zeros of entire functions// Acta Math. 118 N1-2 (1967) P 79-93. Т.Ериккв Б.,В.П.Хавин.Принцш1 неопределенности в гармоническом анализе.(в печати).

в.Еибербах Л. Аналитическое продолжение// Наука, М., 1967, 240с. 9.Аракелян Н.У., Мартиросян В.А. Степенные ряды: аналитическое продолжение и локализация особенностей// Изв. Ереванского университета. Ереван, 1991, 99с.

Ю.Гарнетт.Дж.Ограниченные аналитические функции //Мир,М., 1984,470с 11 .Рисс ф.,Секефальви-Надь Б.Лекции по функциональному анализу //Ин Л., Москва, 1954, 500с.