Некоторые точные решения уравнений Эйштейна-Максвелла и их физическая интерпретация тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

В а ел Загхлоул Ел-Санед Ахмед

Некоторые точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла и их физическая интерпретация

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

003459604

Работа выполнена на кафедре теоретической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Гуцунаев Царай Иванович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Кречет Владимир Георгевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Черняев Вячеслав Алексеевич

Ведущая организация

Всероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы ВНИИМС

Защита состоится "20" января 2009г. в "17®" часов на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал 1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан "19" декабря 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук,

доцент Будочкина С.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Актуальность проблемы отыскания новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, имеющих физическое содержание, в настоящее время всё возрастает. Это вызвано, с одной стороны, требованиями современного гравитационного эксперимента, а с другой стороны всё возрастающими потребностями использования точных решений в современной астрофизике.

Можно сказать, что прогресс в эйнштейновской теории гравитации в значительной степени зависит от нахождения точных решений. Однако своеобразие сложившейся в обшей теории относительности ситуации состоит в том, что, если её математический аппарат несомненно отражает объективную реальность, то физическая интерпретация многочисленных точных решений оставляет желать лучшего. Такое положение дел в этой теории сохраняется, к сожалению, и в наши дни. В связи с этим выбор темы диссертации нам представляется актуальным, поскольку помимо классификации и обобщения известных решений, в работе предпринимается попытка в ряде случаев физически интерпретировать полученное решение. В первую очередь это относится к решениям вакуумных статических уравнений Эйнштейна (глава II), а также к евклидонным решениям (глава III).

Цель исследования заключается в :

- Дальнейшая разработка обоснованного с физической точки зрения метода сингулярных источников для решения статических аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна.

- Анализ физического содержания статических и стационарных евклидонных решений, которые являются как-бы " кирпичиками" метода, позволяющих строить некоторые точные решения (включая1

решения Шварцшильда и Керра) вакуумных стационарных аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна.

- Распространить евклидонный метод на случай решения электровакуумных статических уравнений Эйнштейна-Максвелла.

- Анализ специального решения статических уравнений Эйнштейна-Максвелла, содержащего семь произвольных параметров, и с помощью которого наряду с известными магнитостатическими и электростатическими решениями можно получить новые.

Научная новизна исследования состоит в следующем :

- Получено новое точное решение статических аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна, выраженное через полный эллиптический интеграл первого рода и обобщающее сферически-симметричное решение Шварцшильда.

- Дана физическая интерпретация евклидонным решениям стационарных уравнений Эйнштейна.

- С помощью модифицированного евклидонного метода получено новое точное асимптотически плоское решение статических уравнений Эйнштейна-Максвелла.

- С помощью специального решения, построенного с использованием преобразований симметрии и содержащего семь произвольных констант, получено несколько новых магнитостатических и электростатических решений уравнений Эйнштейна-Максвелла.

Методика исследования.

В работе используется теория систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, а также векторный и тензорный анализы.

Научная н практическая ценность.

Работа имеет теоретический и практический интерес, так как полученные в ней точные решения могут быть использованы в современной астрофизике для описания гравитационных полей различных звёзд.

Научные положения, выносимые на защиту, содержатся в списке основных результатов в Заключении диссертационной работы.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывлись на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН, на всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии ХЫН факультета физико-математических и естественных наук РУДН и на всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии ХЫУ факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Полный объём работы - 105 страниц машинописного текста, библиография содержит 75 наименований.

Содержание диссертации

Во введении сделан обзор литературы по наиболее известным точным решениям аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна-Максвелла. Сформулирована цель работы и актуальность выбранной темы.

Глава I имеет вспомогательный характер. В ней приводятся уравнения Эйнштейна-Максвелла для случая аксиальной симметрии и даются различные формы их записи. Приведены также формулы конечных преобразований симметрии. Эти формулы позволяют строить новые решения из известных решений.

Глава П посвящена вакуумным статическим гравитационным полям и состоит из двух раздела.

В разделе 2.1. точные решения уравнений гравистатики Эйнштейна находятся с помощью метода сингулярных источников, в основу которого положена физически понятная идея о взаимосвязи между полем и источниками.В случае вакуумных статических полей проблема нахождения точных решений сводится к решению уравнения Лапласа. В этом разделе в правую часть указанного уравнения вводятся различные сингулярные источники, математически выраженные через конкретные обобщённые функции. В результате интегрирования такого неоднородного уравнения получаются как известные решения (Шварцшильда, Зипоя, Шази- Керзона, евклидонное решение ), так и новое решение.

В его выражение входит полный эллиптический интеграл первого рода. Окончательный вид полученого решения представлен в виде ряда и содержит два параметра т и р0. При ро=0 найденное решение сводится к шварцшильдовскому. Полученное решение может быть использовано в задачах теоретической астрофизики для описания гравитационного поля звезды, когда оно отклоняется от сферической симметрии.

В разделе 2.2. диссертации рассматриваются различные мультипольные решения вакуумных статических уравнений Эйнштейна. В частности, приводится выражение для поля гравитационного квадруполя, построенного по мтоду Гуцунаева-Манько. Оно отличается от соответствующего

выражения, полученного в своё время Г. Эрецом и Н. Розеном.

6

Глава Ш состоит из пяти разделов и посвящена изложению евклидонного метода, разработанного Ц.И.Гуцунаевым и его учениками.

В разделе 3.1. рассмотрено статическое одно-евклидонное решение и дана его физическая интерпретация. Показано, что статический евклидон описывает плоское пространство и характеризует некоторую релятивистскую неинерциальную систему отсчёта.

В разделах 3.2. и 33. показано, как достигается обобщение статического евклидонного решения на стационарный случай. Полученный таким образом стационарный евклидон также описывает плоское пространство, но характеризует инерциальную систему отсчёта, которая совершает более сложное движение по сравнению с системой отсчёта, порождаемой статическим евклидоном.

В разделе 3.4. строится статическое двух-евклидонное решение, которое в частном случае совпадает с решением Шварцшильда. Это решение в малой области пространства- времени также характеризует инерциальную систему отсчёта, совершающую гиперболическое движение по оси г.

В разделе З.5., используя метод нелинейной суперпозиции стационарного евклидонного решения с произвольным решением вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна (евклидонный метод), получено стационарное двух-евклидонное решение, частным случаем которого является решение, переходящее в решение Керра с помощью преобразования симметрии.

Глава IV состоит из четырёх разделов и посвящена методам решения электростатических и магнитостатических уравнений Эйнштейна-Максвелла.

В разделе 4.1. Показано, что статические уравнения Эйнштейна-Максвелла допускают существование либо только магнитной компоненты 4-потенциала электромагнитного поля, либо только электрической компоненты. В заключение этого раздела рассмотрены уравнения силовых линий для электрических и магнитных полей для случая искривлённого пространства- времени.

В разделе 4.2. наиболее известные решения электростатики (магнитостатики) - решение Боннора-Мелвина, решение Райсснера-Нордстрёма, решение Гуцунаева- Эльсгольц получены единым способом.

В разделе 43. Рассматривается модифицированный евклидонный метод, с помощью которого возможно построение точных решений электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла. В качестве приложения этого метода получено магнитостатическое решение, которое может быть использовано для описания гравитационного поля магнитного диполя.

В разделе 4.4. приводится класс асимптотически плоских решений статических уравнений Эйнштейна-Максвелла и содержащий семь произвольных действительных констант. Рассмотрены наиболее интересные с физической точки зрения решения, которые содержатся в этом классе.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты работы :

1. Для статических вакуумных уравнений Эйнштейна записано в интегральной форме решение, включающее в себя ( в виде частных случаев) как все известные в настоящее время решения, так и новое, которое содержит

два параметра - массу m и р0, параметр р0 характеризует отклонение полученного решения от сферически-симметричного решения Шварцшильда.

2. Рассмотрена физическая интерпретация евклидонных решений в ОТО и, в частности, предпринята попытка физического анализа решения Шварцшильда.

3. Евклидонный метод решения вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна в модифицированном виде применён для решения электровакуумных статических уравнений Эйнштейна-Максвелла, в качестве приложения метода получено точное магнитостатическое решение, которое может быть использовано в теоретической астрофизике для описания гравитационного поля звезды, наделенной помимо массы и магнитным дипольным моментом.

4. С применением теоремы Боннора и преобразований симметрии записан класс асимптотически плоских решений статических уравнений Эйнштейна-Максвелла. Это решение содержит семь произвольных действительных констант, которые позволили рассмотреть наиболее интересные с физической точки зрения решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гуцунаев Ц.И., Шайдеман А.А., Вайл З.Ел., Эльсгольц С.Л. К вопросу о физической интерпретации стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна //Вестник РУДН. Серия " Математика. Информатика. Физика."- М., РУДН, 2008.- № 1.- С. 90- 93.

2. Gutsunaev Ts.I., Shaideman А.А., Wael Z.E.A. A new class of solutions of the magnetostatic Einstein- Maxwell équations. //Gravitation and Cosmology. Moscow, 2007.- V. 13- № 2 (50).- P. 133- 136.

3. Шайдеман A.A., Эльсгольц С.Л., Вайл З.Ел., Ариас Х.Э., Ермолаев Ю.Г., Нуруллина Л.Х. Об одном решении статических уравнений Эйнштейна. //Всероссийская Конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии,- М., РУДН,- 2007.- Т. 43.- С. 77.

4. Эльсгольц С.Л., Вайл З.Ел., Ариас Х.Э., Ермолаев Ю.Г., Нуруллина Л.Х. Об одном обобщении статических вакуумных аксиально- симметричных решений уравнений Эйнштейна. //Всероссийская Конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии.- М., РУДН.- 2008,- Т. 44.- С. 77.

5. Shaideman A.A., Wael Z.E.A, Arias Kh.E, Ermolaev Yu.G. // On a static generalization of the Schwarzschild solution. Тезисы докладов. 13-я Российская Гравитационная Конференция.- М., Изд-во РУДН.- 2008.- С. 64.

Аннотация

Ваел Загхлоул Ел- Сайед Ахмед (Египет)

Некоторые точные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла и их физическая интерпретация

Для статических аксиально-симметричных вакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла с помощью модифицированного евклидонного метода нелинейной суперпозиции решений получено несколько новых электровакуумных решений,имеющих шварцшильдовский предел. Методом сингулярных источников получены некотрые обобщения статических вакуумных решений. Дается попытка физической интерпретации некотрых точных решений уравнений ОТО с помощью релятивистиских неинерциальных систем отсчета. Получены новые решения из специального электровакуумного класса.

Annotation Wael Zaghloul El Sayed Ahmed

Some exact solutions of the Einstein-Maxwell equations and their physical interpretation

The dissertation gives some new electrovacuum solutions having Schwarzschild limit, the solutions are obtained with the help of modified euclidon method of nonlinear superposition of solutions for the Einstein-Maxwell static axial-symmetric vacuum equations. Some generalisations of static vacuum solutions are obtained by the method of singular sources. The dissertation makes an attempt of physical interpretation of some exact solutions of the equations of General Relativity, with the help of relativistic non-inertial refrence systems. New solutions from a special electrovacuum class have been obtained.

Напечатано с готового оригинал-макета

ООО «Документ сервис «ФДС»» Подписано к печати 10.12.2008 г. Формат 60x90 1/16. Усл. Печ.л 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 463. Тел. 935-00-89. Тел./факс 432-99-96 119421, г. Москва, Ленинский проспект, д.99

Введение.

Глава 1. Уравнения Эйнштейна - Максвелла в случае аксиальной симметрии.

1.1. Основные уравнения.

1.2. Другие формы записи основных уравнений.

Глава II. Вакуумные статические гравитационные поля.

2.1. Метод сингулярных источников.

2.2. Мультипольные решения статических уравнений

Эйнштейна.

Глава III. Евклидонные решения вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна.

3.1. Статическое одно-евклидонное решение и его физическая интерпретация.

3.2 Стационарное одно-евклидонное решение.

3.3 Физическая интерпретация стационарного евклидона.

3.4. Статическое двух-евклидонное решение и его физическая интерпретация.

3.5. Стационарный евклидон в произвольном стационарном поле Эйнштейна.

Глава IV. Электростатические и магнитостатические уравнения Эйнштейна- Максвелла.

4.1. Основные соотношения.

4.2. Наиболее известные решения электростатики магнитостатики).

4.3. Использование евклидонного метода в магнитостатике электростатике).

4.4. Класс асимптотически плоских решений магнитостатики и электростатики Эйнштейна- Максвелла.

Точные решения уравнений Эйнштейна- Максвелла (см., напр., [2]) имеют большое значение для понимания физического содержания общей теории относительности. В работах [50], [51], [52], [53] дан обзор известных в настоящее время точных решений В астрофизике и космологии особый интерес вызывают точные аксиально- симметричные решения. Известно большое количество аксиально- симметричных решений Однако большинство этих решений не удовлетворяет реальным физическим требованиям, главным из котороых является требование асимптотической плоскостности

Одним из немногих решений, удовлетворяющих этим требованиям, является точное решение уравнений Эйнштейна, найденное Шварцшильдом [3]. Как было показано Биркгофом [4] и позднее Израэлем [5], это решение является единственным внешним точным решением в случае сферической симметрии, имеющим полностью регулярный горизонт событий. Это означает, что любое стационарное вакуумное аксиально- симметрическое решение в предельном случае стремления к нулю параметра вращения должно стремиться к метрике Шварцшильда. Точно так же любое электро-или магнитостатическое решение в предельном случае стремления к нулю электрического или магнитного параметра должно стремиться к метрике Шварцшильда.

Другим решением, но уже стационарным, удовлетворяющим физическим требованиям, является решение Керра [29]. Робинсон [1] установил, что метрика Керра является единственным асимптотически плоским стационарным аксиально- симметрическим решением, имеющим гладкий горизонт событий. Стационарные электромагнитные решения при стремлении к нулю электромагнитного параметра должны в пределе давать метрику Керра.

Следует отметить важность получения любых точных решений. Она состоит в том, что помогает разрабатывать математические методы получения решений с асимптотикой, удовлетворяющей физическим требованиям. Кроме того эти решения часто служат исходными решениями при генерировании решений, имеющих реальный физический смысл. Дадим краткий обзор некоторых решений и методов.

Вейлем [8, 9] были получены и исследованы аксиально- симметричные решения уравнений. Было показано, что любое статическое решение уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии можно представить в виде решения уравнения Лапласа в канонических координатах Вейля.

К статическому вакуумному классу Вейля относятся и известное решение Шази [10] и Керзона [11], которое имеет ньютоновский предел, но не имеет особенностей, поэтому не может описывать реальное гравитационное поле сколапсированной массы.

Вейленом [12] было получено общее статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна в случае аксиальной симметрии в виде интеграла, включающего решения Шварцшильда и Шази- Керзона как частные случаи.

Эрецем и Розеном [13] было впервые получено статическое аксиально-симметричное решение, описывающее внешнее гравитационное поле массы с мультипольным моментом. Позднее Ц И.Гуцунаевым и В.С.Манько [14] было также найдено статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна для внешнего гравитационного поля массы, обладающей мультипольным моментом. И решение [13] и решение [14] в пределе дают ньютоновский потенциал для массы с квадрупольным моментом [15].

Тирринг и Лензе [16] рассмотрели случай слабого поля. Они получили метрику, описывающую пространство-время вдали от стационарно вращающейся массы [17], [18]. Льюис [19] и Ван Стокум [20] получили стационарные аксиально- симметричные вакуумные решения, которые не являются асимптотически плоскими. Однако в работах [21], [22] они успешно использовались для генерирования новых решений, обладающих надлежащей асимтотикой.

Папапетру [23] и Льюис [24] записали метрический интервал для стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля в канонической форме. Это позволило не ограничивая общности задачи упростить уравнения. В этой же работе [23] Папапетру нашел новый класс решений аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна. Позднее Ньюмен, Унти и Тамбурино (НУТ) [24] нашли решение из класса Папапетру, которое переходит в решение Шварцшильда. Поэтому некоторое время его рассматривали как стационарное обобщение решения Шварцшильда. Обсуждению его физического смысла были посвящены работы [25], [26]. Однако решение НУТ не обладает свойством асимптотической плоскостности.

Как указывалось выше важнейшим стационарным решением явилось решение Керра [29]. Оно реально может описывать внешнее гравитационное иоле стационарно вращающегося изолированного источника. Бойер и Линдквист [30] преобразовали это решение к виду, который дал возможность исследовать это решение известными методами.

Вейль [9] нашел класс решений статических уравненний Эйнштейна-Максвелла. Его называют классом электровакуума Вейля. Этот класс содержит решение Райснера Нордстрема [6], [7]. Последнее описывает гравитационное поле массы, обладающей электрическим зарядом.

Боннор [57] впервые получил магнитостатические решения. Одно из них тоже принадлежит классу электровакуума Вейля и описывает гравитационное поле безмассового магнитного диполя. Второе решение Боннора, полученное в этой работе, независимо было найдено Мелвином [57, 59] и носит название "магнитной Вселенной Мелвина". Теоремы, сформулир- ованные Боннором в работах [17] и [18], дали новое направление в генерировании точных решений уравнений Эйнштейна и уравнений Эйнштейна-Максвелла. Боннор показал, что чисто электростатическому решению уравнений Эйнштейна- Максвелла, которое определяет метрику и тензор электромагнитного поля, соотствует магнитостатическое решение с такой же метрикой и однозначно определенным тензором электромагнитного поля. Он также установил однозначное соответствие между внешними стационарными решениями и статическими решениями уравнений Эйнштейна- Максвелла. Боннором [19] было получено также магнитостатическое решение с двумя параметрами, которые можно было рассматривать как массу и дипольный магнитный момент. На бесконечности полученная метрика стремится к метрике Минковского, а электромагнитное поле к полю магнитного диполя. Крамер [58] получил магнитное решение, в предельном случае переходящее в решение Керра. Однако действительное решение получено только для ограниченного параметра.

Работы Эрнста [31, 32] дали новое направление в генерировании точных решений уравнений Эйнштейна и уравнений Эйнштейна- Максвелла. Эрнст ввел новые комплексные функции и получил симметричную запись уравнений. Это значительно упростило задачу получения точных решений. Томимацо и Сато [28, 29] построили решения, зависящие от целочисленного параметра. Эти решения описывают внешнее гравитационное поле стационарно вращающихся деформированных источников.

Существует много направлений в построении и исследовании точных решений. Так , Петров [27, 28] предложил метод инвариантного исследования характеристик гравитационного поля. Он базируется на изучении алгебраической структуры тензора Римана.

Элерс [34, 35], Харрисон [36, 37], Букдал [38, 39, 40] строили точные решения, используя внутреннюю симметрию уравнений Эйнштейна. Киннерсли, Читре, Героч [41,42, 43] использовали теоретико-групповой метод. Захаров, Белинский, Алексеев [44, 45, 46] пользовались методом обратной задачи расеяния. Нойгебауэр [47, 48] находил точные решения на основе метода преобразований Беклунда. Косгроув [49] показал, что все эти методы математически эквивалентны.

Херльтом [39, 40] был предложен метод, с помощью которого было получено электростатическое асимптотически плоское решение.

В последнее время новым стимулятором для получения точных решений вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна и уравнений электровакуума Эйнштейна- Максвелла явились работы Ц.И.Гуцунаева и др. [60, 61, 62] , разработавших так называемый евклидонный метод. Этот метод подробно описан в диссертации и рассмотрены некоторые его приложения.

Целью данной диссертации, помимо использования различных математических методов для получения точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, является попытка физическои интерпретации этих решений. Последняя, как известно, стала камнем преткновения для гравитационистов, получающих точные решения в ОТО и интерпретирующих их. Например, в случае так называемых " островных" систем физический анализ ясен до конца лишь на больших расстояниях от источников.

Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе приведены самосогласованные уравнения Эйнштейна- Максвелла в случае аксиальной симметрии, а также даны различные формы записи этих уравнений.

Вторая глава посвящена вакуумным статическим полям Эйнштейна. С помощью метода сингулярных источников, основанного на физически понятной идеи о взаимосвязи между полем и источником, в ней получены наиболее известные решения уравнений гравистатики Эйнштейна, а также рассморено новое, описывающее обобщение решения Шварцшильда на случай аксиальной симметрии.

Третья глава диссертации посвящена изложению евклидонного метода, разработанного Ц.И.Гуцунаевым и его учениками [60, 61, 62]. В этой главе также рассмотрена физическая интерпретация статических и стационарных евклидонных решений, и в том числе анализируется ( в малой области 4-простанства- времени) решение Шварцшильда, которое является частным случаем статического двух-евклидонного решения.

В последней, четвёртой главе диссертации, рассмотриваются способы построения точных решений электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла и, в том числе модифицированный евклидонный метод, с помощью которого получено новое решение. Это решение может быть использовано в теоретической астрофизике для описания гравитационного поля магнитного диполя.

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах теоретической физики РУДН, на всероссийской конференции по проблемам математике, информатики, физики и химии XLIII факультета физика- математических и естественных наук РУДН ( 26 апреля 2007) [65], на всероссийской конференции по проблемам математике, информатики, физики и химии XLIV факультета физико- математических и естественных наук РУДН ( 23 апреля 2007) [75] и на 13-ой Российской Гравитационной Конференции [76].

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей диссертации •

1. Для статических вакуумных уравнений Эйнштейна записано в интегральной форме решение, включающее в себя ( в виде частных случаев) как все известные в настоящее время решения, так и новое, которое содержит два параметра - массу т и ро, параметр ро характеризует отклонение полученного решения от сферически- симметричного решения Шварцшильда

2. Рассмотрена физическая интерпретация евклидонных решений в ОТО и, в частности, предпринята попытка физического анализа решения Шварцшильда.

3. Евклидонный метод решения вакуумных стационарных уравнений Эйнштейна в модифицированном виде применен для решения электровакуумных статических уравнений Эйнштейна- Максвелла, в качестве приложения метода получено точное магнитостатическое решение, которое может быть использовано в теоретической астрофизике для описания гравитационного поля звезды, наделенной помимо массы и магнитным дипольным моментом.

4. С применением теоремы Боннора и преобразований симметрии записан класс асимптотически плоских решений статических уравнений Эйнштейна

Максвелла. Это решение содержит семь произвольных' действительных констант, которые позволили рассмотреть наиболее интересные с физической точки зрения решения.

1. Зельдович Я.В., Новиков И. Д., Релятивистская Астрофизика, j j М.: Наука . 1967 .

2. Крамер Д., Штефани X., Как-Каллум М., Херльт Э., Точные Решения Уравнения Эйнштейна. // М.: Энергоиздат . 1982 .

3. Schwarzschild К. Uber das Gravitationsfeild eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1916. V. 7.

4. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т.2. // М.: Мир. 1977.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. // М.: Наука. 1988.

6. Reissner Н. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. // Ann. Physik. 1916. V. 50. P. 106- 120.

7. Nordstrom G. On the energy of the gravitational field in Einstein's theory. // Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. 1918. V. 20. № 9- 10. P. 12381245.

8. Weyl H. Zur Gravitationstheorie. // Ann. Physik. 1917. V. 54. P. 117145.

9. Weyl H. Bemerkung uber die axialsymmetrischtn Losungen der Ein-steinschen Gravitationsgleichuungen. // Ann. Physik. 1919. V. 59. P. 185- 213.

10. Chazy J. Sur le champ de gravitation de deux masses fixes dans la theorie de la relativite. // Bull Soc.Math.France. 1924. V. 52. P. 1738.

11. Curzon H.E.J. Cylindrical solutions of Einstein's gravitational equations. // Proc.London Math.Soc. 1924. V. 23. P. 477- 480.

12. Waylen P.C. the general axially symmetric solutions of Einstein's vacuum equations. // Proc.Roy.Soc.London. 1982. V. A382. P. 467- 470.

13. Eres G., Rosen N The gravitational field of a particle possessing amultipole moment. // Bull.Res.Council Isr. 1959. V. F8. P. 47- 50.у

14. Gutsunaev Tkl., Manko V.S. On the gravitational field of a mass possessing a multipole moment. // Gen.Relat.Gravit. 1985. V. 17. P. 1025- 1027.

15. Quevedo H. On the exterior gravitational field of a mass with a multi-pole moment. // Gen.Relat.Gravit. 1987. V. 19. № 10. P. 1013- 1023.

16. Lense J., Thirring H. On the influence of the proper rotation of central bodies on the motions of planets and moons according to Einstein's theory of gravitation. // Phys. Z. 1918. V. 19. P. 156- 159.

17. Вавилов Б.Т. О слабых полях гравитации. // Изв. ВУЗов. Физика. 1959. № 2. С. 73- 77.

18. Mashhoon В., Hehl F.W., Theiss D.S. On the gravitational effects of rotation masses: The Thirring-Lense Papers. // Gen. Relat. Gravit. 1984. V. 16. № 8. P. 711- 716.

19. Lewis T. Some special solutions of the equations of axially symmetricgravitational fields. // Proc.Roy.Soc.London. 1932. V.A136. P. 176j192.

20. Van Stockum W.J. The gravitational field of a distribution of particles rotating about an axis of symmetry. // Proc.Roy.Soc. Edinburgh. 1937. V.A57. P. 135- 154.

21. Herlt E. Static and stationary axially symmetric gravitational fields of bounded sources. I.Solutions obtanable from the Van Stockum metric. // Gen.Realt.Gravit. 1978. V. 9. № 8. P. 711- 719.

22. Nakamura Y. On a linearisation of the stationary axially symmetric Einstein equations. // Class.Quantum Grav. 1987. V.4. P. 437- 441.

23. Papapetrou A. Eine rotationssymmetrischen Losung in der Allge-meinen Relativitatstheorie. // Ann.Physic. 1953. V. 12. P. 309- 315.

24. Newman E., Tamburino L., Unti T. Empty-space generalization of the Schwarzschild metric. // J.Math. Phys. 1963. V. 4. P. 915- 923.

25. Bonnor W.B. A new interpretation of the NUT metric in general relativity. // Proc.Camb.Phil.Soc. 1969. V. 66. P. 145- 151.

26. Sackfield A. Physical interpretation of NUT metric. // Proc. Camb.

27. Phil. Soc. 1971. V. 70. P. 89- 94.Г

28. Collinson C.D.,Dodd R.K. Petrov classification of stationary axisymmetric empty space-time. // Nuovo Cimento. 1968. V. 62. P. 229234.

29. Collinson C.D.,Dodd R.K. Symmetries of stationary axisymmetric empty space-time. // Nuovo Cimento. 1971. V. B3. P. 281- 284.

30. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics. // Phis.Rev.Lett. 1963. V. 11. P. 237238.

31. Boyer R.H., Lindquist R.W. Maximal analitic extension of the Kerr metric. // J.Math.Phys. 1967. V. 8. P. 265- 281.

32. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. // Phys.Rev. 1968. V. 167. № 5. P. 1175- 1178.

33. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem II. // Phys.Rev. 1968. V. 168. № 5. P. 1415- 1417.

34. Zipoy D.M. Topology of some spheroidal metrics. // J.Math. Phys. 1966. V. 7. P. 1137- 1143.

35. Ehlers J. Konstruktionen und charakterisierungen von losungen der

36. Einsteinschen gravitationsfeldgleichungen. // Dissertation. Hamburg. 1957.

37. Ehlers J. Exterior solutions of Einsteins gravitational field equations admitting a tow-dimensional Abelian group of isometric correspondences. // Colloq. theorie relativ. Bruxelles. 1959. P. 49- 57.

38. Harrison B.K. Electromagnetic solutions of the field equation of general relativity. // Phys.Rev. 1965. V. B138. P. 488- 492.

39. Harjison B.K. New solutions of the Einstein-Maxwell equations from old. // J.Math.Phys. 1968. V.9. № 11. P. 1744- 1752.

40. Buchdahl H.A. Reciprocal static solutions of the equations o- // Quart.Journ.Math. Oxford Ser. 1954. V. 5. № 18. P. 116- 119.

41. Buchdahl H.A. Reciprocal static solutions of the equations of the gravitational field. // Austral.Journ.Phys. 1956. V. 9. № 1. P. 13- 18.

42. Buchdahl H.A. Reciprocal static metrics and scalar fields in the general theory of relativity. // Phys.Rev. 1959. V. 115. № 5. P.1325- 1330.

43. Kinnersley W.,Chitre D.M. Group transformation that generates the

44. Kerr and Tomimatsu-Sato metrics. // Phys.Rev.Lett. 1978. V. 40. № 25. P. 1608- 1610.

45. Geroch R.J. A method for generating solutions of Einstein's equations. // J.Math.Phys. 1971. V. 12. № 6. P. 918- 924.

46. Geroch R.J. A method for generating new solutions of Einstein's equa-tions.II. // J.Math.Phys. 1972. V. 13. № 3. P. 394- 404.

47. Белинский B.A., Захаров B.E. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычислениеочных солитонных решений. // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. С. 1953- 1971.

48. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные солитоны с аксиальной симметрией. // ЖЭТФ. 1979. Т. 77. С. 3- 19.

49. Алексеев Г.А., Белинский В.А. Статические гравитационные солитоны. // ЖЭТФ. 1980. Т. 78. С. 1297- 1313.

50. Neugebauer G. Backlud transformation of axially symmetric stationary gravitational fields. // J.Math.Phys. 1979. V. A12. № 4. P. 6770. ^

51. Neugebauer G. Recursive calculation of axially symmetric stationary Einstein fields. // J.Phys.ArMath.Gen. 1980. V. 13. R 1737- 1740.

52. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions. // J.Math.Phys. 1980. V. 21. P. 2417- 2447.

53. Kinnersley W. Recent progress in exact solutions. In: Shaviv G., and Rosen J. (Ed.), General Relativity and Gravitation (Proceedings of GRG 7, Tel-Aviv 1974), Wiley, New York, London. 1975. P. 109- 135.

54. Ehlers J., Kundt W. Exact solutions of the gravitational field equations. In: Witten L. (Ed.), Gravitation: an introduction to current research, Wiley, New York, London. 1962.

55. Башков В.И. Классы точных решений уравнений Эйнштейна. Итоги науки и техники, Серия Алгебра, Топология, Геметрия. М.: ВИНИТИ. 1976. Т. 14.

56. Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э., (под редакцией Э.Шмутцера). Точные Решения Уравнений Эйнштейна. М.: Энергоиздат, 1982.

57. Waylen Р.С. The general axially symmetric solution of Einstein's vacuum equations. // Proc. Roy Soc. London. 1982. V. A382.- P. 467470.

58. Дорошкевич А.Г., Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Гравитационный коллапс несимметричных и вращающихся масс. // ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 170- 181.

59. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. // М.: наука.Москва. 1973.

60. Bonnor W.B. Static magnetic fields in general relativity. // Proc.Phys. Soc. London. 1954. V. 161. P. 439- 444.

61. Kramer D. Class. Quant. Grav. // 1984. P. 1- 45.

62. Melvin M.A. Pure magnetic and electric geons // Phys.Lett. 1964. V. 8. P. 65- 67.

63. Gutsunaev Ts.I., Chernyaev V.A., Elsgolts S.L. // Gravitation and Cosmology. 1999. V. 5. P. 335- 337.

64. Gutsunaev Ts.I., Shaideman A.A., Elsgolts S.L. // Gravitation and Cosmology. 2000. V. 6. P. 254- 256.

65. Gutsunaev Тз.1., Shaideman А.А. // Gravitation and Cosmology. 2002. V. 8. P. 206- 209.

66. Гуцунаев Ц.И., Шайдеман A.A., Вайл З.Ел., Эльсгольц C.J1. // Вестник РУДН: Серия " Математика. Информатика. Физика.", № 1. 2008. С. 90- 93.

67. Gutsunaev Tls.L, Shaideman А.А., Wael Z.E.A // Gravitation and Cosmology. 2007. V. 13. № 2 (50). P. 133- 136.

68. Шайдеман A.A., Эльсгольц C.JI., Вайл З.Ел., Ариас Х.Э., Ермолаев Ю.Г., Нуруллина JI.X. // Всероссийская Конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. 2007. Т. 43. С. 77.

69. Abramyan S.M., Gutsunaev Ts.I. // Phys. Lett. 1990. V. A144. P. 437- 439.

70. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C., Абрамян C.M. //В сб.: Проблемы стат. физики и теории поля. М.: РУДН, 1987. С. 123- 125.

71. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. // Gen. Relat. Grav. 1988. V. 20. P. 327- 330.J

72. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. // Phys. Lett. 1988. V. A132. P. 85- 87.

73. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. //В сб.: Проблемы стат. физики и теории поля. М.: РУДН, 1990. С. 28- 31.

74. Yoenselaers С. // Progr. Theor. Phys. 1982. V. 67. P. 697- 700.

75. Manko V.S.// Gen. Relat. Grav. 1990. V. 22. P. 799- 801.

76. Gutsunaev Тз.1., Elsgolts S.L.// Zh. Eksp. 1993. V. 104. P. 2257- 2261.

77. Hanni R.S., Ruffini R.// Phys. Rev. 1973. V. D8. P. 3259- 3264.

78. Shaideman А.А., Wael Z.E.A , Arias Kh.E., Ermolaev Yu.G. // On a static generalization of the Schwarzschild solution. Тезисы докладов. 13-я Российская Гравитационная Конференция. М.: Изд-во РУДН, 2008, С. 64.