Некоторые стационарные осесимметричные модели, описываемые формализмом Эрнста

Родченко, Егор Дмитриевич

Некоторые стационарные осесимметричные модели, описываемые формализмом Эрнста тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Родченко, Егор Дмитриевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Некоторые стационарные осесимметричные модели, описываемые формализмом Эрнста»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые стационарные осесимметричные модели, описываемые формализмом Эрнста"

80460015?

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Родченко Егор Дмитриевич

НЕКОТОРЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ФОРМАЛИЗМОМ ЭРНСТА

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

1 ДПР

004600157

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Манько Владимир Семенович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор член-корр. РАН Боголюбов Николай Николаевич (МИРАН им. В.А.Стеклова)

доктор физико-математических наук профессор Кротов Сергей Сергеевич (МГУ имени М.В.Ломоносова)

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна)

Защита состоится "22" апреля 2010 г. в "15" час. "30" мин, на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан "12" марта 2010 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 профессор

Ю.В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Формализм Эрнста, позволивший впервые записать в простом и компактном виде самосогласованную систему уравнений Эйнштейна-Максвелла для стационарного осесимметрич-ного электровакуумного случая, сыграл важнейшую роль в последующей разработке различных методов генерирования точных решений полевых уравнений на основе углубленного изучения их внутренних симметрий. Генерационные методы существенно пополнили арсенал физически интересных точных моделей ОТО как в плане описания внешних нолей вокруг астрофизически значимых изолированных объектов, например, нейтронных звезд, так и в более широком плане описания многокомпонентных систем. Последние системы привлекают в настоящее время все большее внимание исследователей, поскольку дают возможность изучения нелинейного взаимодействия источников аналитическими методами. Однако уже в случае бинарных конфигураций имеются трудности как получения подходящего точного решения для их описания, так и их последующего физического анализа. Это объясняется тем, что, к примеру, общие точные решения для двух заряженных черных дыр могут быть построены только с помощью интегрального метода, разработанного в 1984 г. профессором МГУ Н.Р. Сибгатуллиным и значительно позднее других методов взятого на вооружение отечественными и зарубежными учеными, а также математическими трудностями получения подходящих физических представлений рассматриваемых моделей. В связи с этим выбор темы диссертации представляется актуальным, поскольку, помимо новых приложений формализма Эрнста и метода Н.Р. Сибгатуллина, в

работе существенное внимание уделяется физической интерпретации рассматриваемых решений и поиску их удачных физических представлений.

Целью работы является:

- Вывод в рамках формализма Эрнста простой формулы для вектора Пойнтинга и ее применение к анализу эффекта увлечения системы отсчета заряженным массивным магнитным диполем.

- Получение общих условий на осевые значения потенциалов Эрнста. определяющие подкласс экваториально-антисимметричных пространств расширенного многосолитонного решения.

- Построение двух новых экваториально-антисимметричных метрик для описания одинаковых противоположно вращающихся заряженных и намагниченных источников, и аналитическое решение задачи равновесия в полученных бинарных моделях.

- Вывод физического представления решения для двух одинаковых керровских черных дыр с противоположными угловыми моментами. Демонстрация возможности образования черной дыры Керра из двух струнообразных нутовских источников.

Научная новизна результатов состоит в следующем:

- Проведена ревизия формализма Эрнста с учетом правильного знака электрической компоненты электромагнитного 4-потенциала. Это позволило впервые получить простую формулу для вектора Пойнтинга в случае стационарных осесимметричных электровакуумных полей.

- Получены условия, определяющие подкласс экваториально-антисимметричных решений расширенного многосолитонного решения электровакуума. Построены две новые метрики, обладающие; эквато-

риальной антисимметрией, и для каждой из них в аналитическом виде решена задача равновесия.

- Впервые найдено физическое представление для простейшей системы, описывающей две черные дыры Корра, рассмотрены ее термодинамические характеристики, а также найден вид решения в предельном случае экстремальных вращающихся источников.

- На примере точной модели, описывающей нелинейную суперпозицию двух решений НУТ, показана возможность образования черной дыры Керра из пары струнообразных нутовских источников.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации, приводимые ниже, получены автором диссертации лично.

Научная и практическая ценность. Работа имеет теоретический и практический интерес, поскольку полученные и ней точные решения вносят весомый вклад в изучение экваториально-антисимметричных пространств, а полученная формула для вектора Пойнтинга существенно облегчает анализ эффекта увлечения в решениях электровакуума. Рассмотреные решения могут быть также использованы в качестве "затравочных" полей для изучения более общих физических моделей, например, в дилатонной или многомерной гравитациях.

Научные положения, выносимые на защиту, содержатся в списке основных результатов, который приводится в заключении дис-сергационной работы.

Апробация работы. Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. М.В.Ломоносова,

на 7-ой Мексиканской школе по гравитации и математической физике (Плайа дель Кармен, Мексика, 2006), Лондонском семинаре по относительности и космологии (Колледж королевы Марии, Англия. 2008), Испанской гравитационной конференции (Саламанка, Испания, 2008), мини-симпозиуме "Нелинейные процессы: теория и приложения" (То-лука, Мексика, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в пяти статьях, опубликованных в реферируемых журналах. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы -100 страниц машинописного текста, включая 3 рисунка. Библиография содержит 97 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор различных методов генерирования точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла и некоторых важных результатов, полученных с их помощью, определяется историческое место интегрального метода Сибгатуллина как подхода, основанного на общем преобразовании внутренней симметрии уравнений Эрнста. Формулируются основные цели работы и обосновывается актуальность выбранной темы.

Первая глава, состоящая из трех разделов, имеет целью подробную ревизию формализма Эрнста и описание метода Сибгатуллина построения точных решений уравнений Эрнста. В разделе 1.1 дается вывод полной системы уравнений Эйнштейна-Максвелла в стационарном осесимметричном электровакуумном случае, описываемом метрк-

кой Папапетру, причем для электрической компоненты электромагнитного 4-потснциала с самого начала выбирается правильный знак. В разделе 1.2 рассмотрен формализм Эрнста сведения четырех уравнений Эйнштейна-Максвелла к двум нелинейным дифференциальным уравнениям 2-го порядка для пары комплексных потенциалов Эрнста 8 и Ф, зависящих только от двух координат риг, а также даны примеры некоторых простейших преобразований симметрии для уравнений Эрнста. Основная схема метода Сибгатуллина построения потенциалов £ и Ф, удовлетворяющих уравнениям Эрнста, по их значениям на оси симметрии е(г) = £(р = 0,2) и /(г) = Ф(р = 0, г) приведена в разделе 1.3 для случая, когда е(г) и /(г) являются рациональными функциями. Здесь же показано, как найти метрическую функцию ш из интегральных формул, а не из дифференциальных уравнений, связывающих о; с потенциалами £ и Ф.

Во второй главе на базе расширенного четырехсолитонного электровакуумного решения рассматриваются две бинарные модели, антисимметричные относительно экваториальной плоскости, а также выводятся условия на параметры многосолитонного решения, характеризующие подкласс экваториально-антисимметричных метрик. В разделе 2.1 методом Сибгатуллина строится явный вид потенциалов Эрнста четырехсолитонного решения и полный набор соответствующих метрических функций, входящих в стационарный осесим-метричный интервал Папапетру. Определители 5-го и б-го порядков, через которые записано четырехсолитонное решение, затем раскрываются с помощью правила Лапласа для дальнейшего использования полученных выражений при разработке конкретных частных елуча-

ев, что предполагает при проведении расчетов серьезное применение компьютерных программ аналитических вычислений. Раздел 2.2 посвящен установлению вида потенциалов Эрнста на оси симметрии в экваториально-симметричном и антисимметричном случаях расширенного многосолитонного решения, определяемого осевыми выражениями

где а/, 6/, С; - 3N произвольных комплексных параметров. Применяя теорему Эрнста-Манько-Руиза к данным (1), показывается в частности, что подкласс экваториально-антисимметричных солитонных решений характеризуется следующими ограничениями на параметры:

В разделе 2.3 рассмотрена модель двух противоположно вращающихся заряженных источников типа Керра-Ньюмена-НУТ, характеризуемая осевыми значениями потенциалов Эрнста вида

где шесть действительных параметров т, а, д, 6, и и к связаны со следующими физическими характеристиками источников: масса, угловой момент на единицу массы, электрический и магнитный заряды, параметр НУТ и расстояние между компонентами бинарной системы. В сравнении с известным решением Бретон-Манько, данные (3) дополнительно содержат параметр НУТ и магнитный заряд (параметр 6). Для осевых данных (3) получен вид потенциалов Эрнста во всем

(1)

01 = {-!)%, С1 (—1),+ 1с; = 0, / = 1,..,ЛГ. (2)

(г — т — ш)2 — (к + га)2 , 2(д + г6)г

пространстве и найдены соответствующие им метрические функции из интернала Папапетру. Для полученной бинарной модели рассмотрена задача равновесия двух источников. Условие отсутствия конических особенностей на участке оси симметрии, разделяющем источники, сводится к требованию 7 = 0, ш = 0 на этом участке, и данная система уравнений может быть решена аналитически, приводя к следующему условию равновесия:

Ш2 + г/2 - <?2 - Ь2 = 0, (4)

обобщающему условие тп2 = q2, которое определяет равновесие в известных решениях Маджумдара-Папапетру и Перьеша-Израэля-Вильсона. Модель для двух одинаковых противоположно вращающихся намагниченных масс построена и проанализирована в разделе 2.4 Эта модель определяется следующими значениями потенциалов Эрнста на оси симметрии:

(г-т)2-(А; + т)2 2гЬ

У > (г + т)2 - (к + га)2' П > (г + т)2 - (А; 4-га)2' и

где физическое значение параметров т, а и к - такое же, как и в (3), а действительная постоянная Ь описывает магнитный дипольный момент системы. Как и в предыдущем случае, по данным (5) найден вид потенциалов Эрнста во всем пространстве и получены выражения всех метрических функций. Задача равновесия для этой модели также может быть решена в аналитическом виде, причем равновесные конфигурации без подпорок оказываются невозможными ни при каких значениях параметров модели.

Третья глава состоит из четырех разделов, которые посвящены двум специальным бинарным вакуумным моделям и выводу форму-

лы для вектора Пойнтинга с последующим ее применением к эффекту увлечения системы отсчета. Основной целью раздела 3.1 является получение физического представления для простейшего решения, описывающего бинарную систему двух вращающихся черных дыр. Для ее реализации используется частный вакуумный случай метрики Бретон-Манько, а также один из результатов, полученный в 1998 году Г.Г. Варзугиным для двойного решения Керра. Тогда удается сначала получить репараметризованное значение потенциала Эрнста на оси симметрии в форме

_ г1 ~2Мг - {\11+ М-1а)2ц __ Д-2М в{-г) ~ г2 + 2 Мг - + М- га) У ^ Д + 2М' где М - комаровская масса каждой черной дыры Керра, а - комаров-ский угловой момент на единицу массы нижней компоненты (угловой момент верхней компоненты при этом равен —Ма), а затем восстановить потенциал Эрнста во всем пространстве и построить соответствующие метрические функции в простом виде, очень удобном для анализа физических свойств полученЕюго решения. В рамках найденного физического представления удалось получить простые формулы для площади горизонта и угловой скорости горизонта каждой отдельной черной дыры, а также для такой важной физической характеристики субэкстремального источника как поверхностная гравитация. В предельном случае двух экстремальных черных дыр Керра с противоположными угловыми моментами вид потенциала Эрнста и всех метрических функций еще больше упрощается, и для каждой компоненты имеет место неравенство а2 > А/2, которое заменяет равенство а2 = М2, характеризующее изолированную экстремальную черную дыру Керра. В разделе 3.2 продемонстрирована возможность образо-

вания черной дыры Керра из двух струнообразных источников НУТ. Для этого сначала строится нелинейная суперпозиция двух путовских источников, а затем указывается конкретный выбор параметров решения, при котором происходит переход к метрике Керра. В разделе 3.3 результаты, полученные в первой главе, используются для вывода простой формулы, которая определяет единственную ненулевую компоненту вектора Пойптинга в стационарном осесимметричном электровакуумном случае:

sv = Ц—1т(ф,А*)- (7)

47Г р

Формула (7) содержит только производные электромагнитного потенциала Эрнста Ф, и в нее не входит метрическая функция ш, построение которой всегда сопряжено с наибольшими вычислительными трудностями. Замечательным свойством полученной формулы дляЯ^ является ее инвариантность относительно дуальных вращений Ф —> ехр(га)Ф, а — const. В разделе 3.4, завершающем третью главу, с помощью формулы (7) продемонстрирован эффект Боннора увлечения системы отсчета заряженным массивным магнитным диполем на примере двух известных точных решений; при этом, поскольку второе решение записано в вытянутых эллипсоидальных координатах, в этих же координатах дополнительно получен и вид формулы (7).

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:

кий Эйнштейна-Максвелла и метрики Папапетру с использованием правильного знака для электрической компоненты электромагнитного 4-потенциала.

2. С помощью интегрального метода Сибгатуллина в явном виде построены две новые метрики, обладающие экваториальной антисимметрией и описывающие противоположно вращающиеся заряженные массивные источники. В общем случае многосолитонного решения получены условия на параметры, характризующие подкласс экваториально-антисимметричных метрик.

3. В аналитическом виде решена проблема равновесия для построенных пространств-времен. В случае обобщения метрики Бретон-Манько получено условие равновесия вида т2 Л- V2 = ц2 + Ь2, которое обобщает аналогичное условие равновесия в известных решениях Маджумдара-Папапетру и Перьеша-Израэля-Вильсона. В другом случае, описывающем две противоположно вращающиеся намагниченные массы, строго показано отсутствие равновесных состояний между компонентами.

4. Получено физическое представление решения для двух противоположно вращающихся черных дыр Керра и продемонстрирована справедливость массовой формулы Смарра для каждой из компонент. Построен предельный случай этого решения, описывающий конфигурацию двух экстремальных керровских источников, и показано, что равенство а2 = М2, имеющее место в случае изолированной экстремальной черной дыры Керра, для неизолированного экстремального керровского источника переходит в неравенство а2 > М2.

5. На основании точного решения, описывающего нелинейную су-

перпозицию двух источников НУТ, продемонстрирована возможность образования черной дыры Керра из пары струнообразных объектов.

G. Для случая стационарных осесимметричных пространств получена простая формула для вектора Пойнтинга, которая, благодаря применению формализма Эрнста, не содержит метрическую функцию и). Эта формула включает только производные электромагнитного потенциала Эрнста Ф и является инвариантной относительно дуальных вращений Ф —> ехр(га)Ф, где а - произвольная действительная постоянная.

7. Полученная формула для вектора Пойнтинга с успехом применена к двум точным решениям, описывающим внешнее поле статической заряженной и намагниченной массы. Она позволила продемонстрировать аналитически, что эффект Боннора увлечения системы отсчета заряженным магнитным диполем объясняется потоком энергии в азимутальном направлении, описываемым соответствующей компонентой вектора Пойнтинга.

Список опубликованных работ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Manko V.S., Rodchenko B.D., Sadovnikov B.I., Sod-Hoffs J. The Poynting vector of axistationary electrovac spacctimes reexamined // Class. Quantum Grav., 23 (2006) 5289-5395.

[2] Sod-Hoffs J., Rodcheriko E.D. On the properties of the Ernst— Manko-Rniz equatorially antisymmetric solutions // Class. Quantum Grav., 24 (2007) 4017-4G29.

[3] Manko V.S., Rodchenko E.D., Ruiz E., Sadovnikov B.I. Exact, solutions for a system of two counter-rotating black holes // Phys. Rev. D, 78 (2008) 124014-1-4.

[4] Manko V.S., Rodchenko E.D., Ruiz E., Sadovnikov B.I. On the simplest binary system of rotating black holes // AIP Conf. Proc., 1122 (2009) 332-335.

[5j Маиько B.C., Родченко Е.Д., Руиз Э., Садовникова М.Б. Возникновение ксрровской черной дыры из двух струнообразных объектов НУТ // Вестник Моск. Университета, Физика, №4 (2009) 3-5.

1-1

Подписано в печать 11.03.10 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 920 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Родченко, Егор Дмитриевич

Введение

1 Основные уравнения и метод их решения

1.1 Уравнения Эйнштейна-Максвелла в стационарном осе-симметричном случае.

1.2 Формализм Эрнста.

1.3 Метод Сибгатуллина.

2 Расширенное 4-солитонное решение электровакуума

2.1 Вывод расширенного 4-солитонного электровакуумного решения

2.2 Экваториально-симметричные и антисимметричные поля Эйнштейна-Максвелла.

2.3 Обобщение метрики Бретон-Манько для двух вращающихся заряженных масс.

2.4 Модель двух вращающихся масс с произвольными электрическим и магнитным дипольными моментами.

3 Две асимптотически плоские модели. Вектор Пойнтинга

3.1 Модель двух противоположно вращающихся частиц Керра.

3.1.1 Предельный случай а = 0.

3.2 Образование черной дыры Керра из двух струнообразных источников НУТ

3.3 Вектор Пойнтинга в формализме Эрнста.

Введение диссертация по физике, на тему "Некоторые стационарные осесимметричные модели, описываемые формализмом Эрнста"

Точные решения являются фундаментом общей теории относительности (ОТО). Они позволяют существенно продвигаться вперед в понимании физического смысла эйнштейновской теории, поскольку описываемые ими модели допускают возможность глубокого и всестороннего аналитического анализа с помощью хорошо разработанных математических методов. Ввиду крайней сложности самосогласованной системы уравнений, описывающих гравитационное и электромагнитное поля, точные решения обычно ищутся для определенных классов задач, обладающих симметриями. Случай осевой симметрии, вместе с предположением о стационарности пространства-времени, представляет несомненный физический интерес, поскольку включает в себя внешние поля хорошо известных астрофизических объектов, таких как черные дыры и нейтронные звезды (или их системы). До 1968 года поиск точных решений данного типа не носил систематического характера, и число найденных физически интересных метрик было сравнительно небольшим, хотя к тому времени уже и были известны все решения для одиночных черных дыр [89, 87, 83, 48, 81]. Только после выхода в свет двух работ Эрнста [28, 29], в которых уравнения Эйнштейна-Максвелла в стационарном осесимметричном случае были записаны в очень простом виде, началось серьезное изучение внутренних симметрий этих уравнений, что первоначально привело к отысканию простейших преобразований инвариантности [49], а в конечном счете - к созданию мощных методов генерирования точных решений.

Основоположником теоретико-группового подхода к получению точных решений является Киннерсли [50], и основные достижения этого подхода связаны с отысканием группы непрерывных преобразований симметрии для уравнения Эрнста, известных под названием преобразований Хоэнселарса-Киннерсли-Ксантопулоса (НКХ) [45], с помощью которых был построен ряд асимптотически плоских вакуумных метрик, не имеющих шварцшильдовского предела, а также рассмотрены некоторые частные задачи равновесия в двойных системах (см., например, [26]). Другое направление генерирования точных решений развивалось Белинским и Захаровым [2, 3] на математическом фундаменте обратной задачи теории рассеяния. Эта техника позволила, в частности, получить статическое ./У-солитонное вакуумное решение и особый класс стационарных электровакуумных суперэкстремальных решений [1]. Преобразования Бэклунда для уравнения Эрнста были найдены Харрисоном [41] и Нойгебауэром [77], а в работе [78] данная техника генерирования была распространена на уравнения Эйнштейна-Максвелла. Пожалуй, самым интересным результатом, полученным с помощью данной техники, является так называемое двойное решение Керра [54], которое описывает нелинейную суперпозицию двух черных дыр Керра, расположенных на оси симметрии. Под стать ему и решение Нойгебауэра-Майнеля для твердотельно вращающегося тонкого пылевого релятивистского диска, построенное в работах [79, 80]. Переформулировка метода Киннерсли на языке однородной задачи Римана-Гильберта была выполнена Хаузером и Эрнстом [42, 43], которые таким образом ввели в генерационные техники мощный аппарат теории функций комплексной переменной. Отметим, что эквивалентность различных подходов к генерированию точных решений была продемонстрирована в вакуумном случае Косгроувом [23, 24], а в случае электровакуума - Крамером [53]. Простые формулы, описывающие нелинейную суперпозицию решения Керра с произвольным статическим полем Вейля, были получены в работе [36], и с их помощью был построен целый ряд метрик, обладающих интересными физическими свойствами. Так, например, асимптотически плоские электровакуумные решения, имеющие шварцшильдовский предел, были сгенерированы в [6, 7, 25, 35, 37, 57], а в работах [22, 38] были построены двупараматрические стационарные вакуумные решения, также асимптотически плоские и переходящие в статическом случае в метрику Шварцшильда, но отличающиеся от метрики Керра. Стационарные обобщения чернодырных решений Шварцшильда, Керра и Керра-Ньюмена на случай произвольного набора внутренних или внешних массовых мультипольных моментов были получены в работах [17, 18, 56, 64].

Следует отметить, что в электровакуумном случае упомянутые выше методы позволяли генерировать из пространства Минковского только суперэкстремальные решения, и распространение этих методов на субэкстремальный случай, включающий в себя решения для черных дыр, долгое время считалось важной нерешенной задачей. Появление в 1984 году интегрального метода Сибгатуллина, творчески развившего подходы Киннерсли и Хаузера-Эрнста, дало выход из кризиса, связанного с электровакуумными полями, который переживали различные научные школы. Главной заслугой метода Сибгатуллина является то, что он основан на общем преобразовании симметрии уравнений Эрнста, и это позволяет переходить с его помощью от пространства Минковского к любому произвольному стационарному осесимметрич-ному электровакуумному решению уравнений Эйнштейна-Максвелла одним приемом, без необходимости применять нескольку раз одно и то же частное преобразование симметрии, как это имело место в других подходах; к тому же, решения получаются в аналитически расширенном виде, описывая как суперэкстремальные, так и субэкстремальные источники. Среди точных решений, построенных методом Сибгатуллина, можно отметить асимптотически плоские магнитные обобщения метрик Керра и Керра-Ныомена [58, 59], нелинейную суперпозицию двух произвольных источников Керра-Ньюмена [61], шестипарамет-ричекое электровакуумное солитонное решение, обладающее экваториальной симметрией [62], решение для внешнего поля нейтронной звезды [63]. Методом Сибгатуллина были также построены аналитически расширенные многосолитонные решения [68, 88], двойное решение Райсснера-Нордстрема [20, 60], решен ряд задач равновесия нескольких тел [21, 69, 70, 73]; этот метод лег в основу строгого подхода к сравнению точных и приближенных решений [71].

Нельзя не обратить внимания на то, что особое место среди решений, получаемых методом Сибгатуллина (равно как и другими методами), принадлежит экваториально-симметричным полям, поскольку описываемые ими модели имеют достаточно простой вид и могут характеризовать компактные астрофизические объекты. Анализ пространств-времен, обладающих такой дополнительной симметрией, был проведен, в терминах потенциалов Эрнста, в работах [76] (вакуумный случай) и [31] (случай электровакуума). В последней работе помимо экваториальной симметрии был подробно рассмотрен и случай так называемой "экваториальной антисимметрии", когда соответствующие решения также имеют относительно простой вид, а описывают противоположно вращающиеся источники. В настоящей диссертации различные аспекты экваториально-антисимметричных моделей получат дальнейшее развитие; в частности, будут получены условия на параметры многосолитонного решения, определяющие подкласс экваториально-антисимметричных пространств, а также построены в явном виде две новые метрики из этого подкласса, описывающие противоположно вращающиеся заряженные источники.

Важной составной частью изучения точных решений является анализ их физических характеристик. Зная вид потенциалов Эрнста, можно, например, установить мультипольную структуру решений вакуума и электровакуума, используя определения мультиполей Героча-Хансена [34, 39, 33] и Бейга-Симона [90]. В случае многокомпонентных моделей, мультипольный анализ поведения решений на бесконечности дает информацию только об их общих свойствах, а индивидуальные характеристики каждой из компонент конкретной модели, такие как масса, угловой момент или заряд, находятся локально, например с помощью интегралов Комара [52]. Физические эффекты в полях одиночных черных дыр хорошо изложены в известных монографиях [5, 12]; очевидно, что в осесимметричных конфигурациях нескольких черных дыр физический анализ моделей значительно усложняется. Прежде всего, трудности возникают уже на уровне построения желаемого точного решения, удовлетворяющего требованиям поставленной задачи; кроме того, даже построив решение, зачастую нужно еще найти его физическое представление, удобное для дальнейшего анализа, а также учесть целый ряд дополнительных моментов, не возникающих в случае одиночных черных дыр, таких как наличие равновесных конфигураций, взаимодействие источников и др. Наличие электромагнитного поля тоже может усложнять анализ физических свойств точных решений, что подчас приводит к необходимости независимой проверки уже опубликованных в литературе результатов. Хорошим подтверждением последнему служит сравнительно недавняя статья известных специалистов в области ОТО Эрреры с сотрудниками [44], в которой была сделана (неудачная) попытка вывода формулы для вектора Пойнтинга в рамках формализма Эрнста с целью ее использования при анализе стационарных потоков энергии в некоторых известных электровакуумных пространствах. То, что авторам работы [44] не удалось использовать комплексные потенциалы Эрнста для упрощения конечного выражения, наводит на мысль о возможных ошибках, вкравшимся в их вычисления. Учитывая важность вектора Пойнтинга для правильной интерпретации электровакуумных метрик, в данной диссертационной работе будет дан независимый вывод формул, определяющих этот вектор, что позволит, в частности, установить источник ошибки, допущенной в работе [44] - разный выбор знака электрической компоненты электромагнитного 4-потенциала в базовых соотношениях формализма Эрнста и при выводе формулы для вектора Пойнтинга. Учитывая, что в основополагающей работе [29] электрическая компонента была взята Эрнстом с противоположным общепринятому знаком, в диссертации будет проведена подробная ревизия формализма Эрнста, используя правильные знаки всех потенциалов и исходя прямо из системы уравнений Эйнштейна-Максвелла, а не из вариационного принципа, который применялся Эрнстом. Это в конечном счете позволит вывести простую формулу для вектора Пойнтинга, включающую только первые производные электромагнитного потенциала Эрнста. Полученная формула будет применена к двум точным решениям, опи- * сывающим внешнее поле заряженной намагниченной статической массы, чтобы подтвердить гипотезу Боннора о том, что эффект увлечения системы отсчета, имеющий место в моделях этого типа, объясняется стационарным потоком энергии в азимутальном направлении, который описывается соответствующей компонентой вектора Пойнтинга.

Помимо детальной ревизии формализма Эрнста и вывода на этой основе простой формулы для вектора Пойнтинга, другой важной целью настоящей диссертации является получение условий, определяющих подкласс экваториально-антисимметричных солитонных решений, построение полного набора метрических функций для новых точных решений, обладающих экваториальной антисимметрией, и решение задачи равновесия в этих моделях; получение физического представления для простейшего решения, описывающего две стационарно вращающиеся черные дыры; демонстрация возможности образования черной дыры Керра из двух струнообразных нутовских источников.

Диссертация состоит из трех глав, включающих в себя одиннадцать разделов. В первой главе проведена подробная оригинальная ревизия формализма Эрнста, а также изложен интегральный метод Сибгатуллина, позволяющий строить решения уравнений Эрнста с заданными физическими характеристиками. Во второй главе метод Сибгатуллина применяется к построению четырехсолитонного электровакуумного решения, являющегося основой для последующего рассмотрения конкретных бинарных моделей, и находятся условия, которым удовлетворяют данные на оси симметрии экваториально-симметричных и экваториально-антисимметричных подклассов мно-госолйтонного решения. Здесь же строятся две новые экваториально-антисимметричные метрики, и для них в аналитическом виде решается задача равновесия. В третьей главе сначала находится физическое представление простейшей метрики для двух стационарно-вращающихся черных дыр Керра, включая предельный случай экстремальных черных дыр, а затем строится двойное решение НУТ, с помощью которого демонстрируется возможность образования черной дыры Керра из двух струнообразных объектов. Последние два раздела этой главы посвящены выводу простой формулы для вектора Пойн-тинга в стационарных осесимметричных электровакуумных пространствах и ее применению к объяснению бонноровского эффекта увлечения системы отсчета заряженным массивным магнитным диполем.

Результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. М.В.Ломоносова, на 7-ой Мексиканской школе по гравитации и математической физике (Плайа дель Кармен, Мексика, 2006), Лондонском семинаре по относительности и космологии (Колледж королевы Марии, Англия, 2008), Испанской гравитационной конференции (Саламанка, Испания, 2008), минисимпозиуме "Нелинейные процессы: теория и приложения" (Толука, Мексика, 2009).

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ниже формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Проведена детальная ревизия формализма Эрнста сведения стационарной аксиально-симметричной задачи электровакуума к двум дифференциальным уравнениям для пары комплексных потенциалов, исходя непосредственно из самосогласованной системы уравнений Эйнштейна-Максвелла и метрики Папапетру с использованием правильного знака для электрической компоненты электромагнитного 4-потенциала.

3. В аналитическом виде решена проблема равновесия для построенных пространств-времен. В случае обобщения метрики Бретон-Манько получено условие равновесия вида га2 + ^2 = д2 + 62, которое обобщает аналогичное условие равновесия в известных решениях Маджумдара-Папапетру и Перьеша-Израэля-Вильсона. В другом случае, описывающем две противоположно вращающиеся намагниченные массы, строго показано отсутствие равновесных состояний между компонентами.

5. На основании точного решения, описывающего нелинейную суперпозицию двух источников НУТ, продемонстрирована возможность образования черной дыры Керра из пары струнообразных объектов.

6. Для случая стационарных осесимметричных пространств получена простая формула для вектора Пойнтинга, которая, благодаря применению формализма Эрнста, не содержит метрическую функцию ш. Эта формула включает только производные электромагнитного потенциала Эрнста Ф и является инвариантной относительно дуальных вращений Ф —> ехр(1о;)Ф, где а - произвольная действительная постоянная.

7. Полученная формула для вектора Пойнтинга с успехом применена к двум точным решениям, описывающим внешнее поле статической заряженной и намагниченной массы. Она позволила продемонстрировать в аналитической форме, что эффект Боннора увлечения системы отсчета заряженным магнитным диполем объясняется потоком энергии в азимутальном направлении, описываемым соответствующей компонентой вектора Пойнтинга.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Родченко, Егор Дмитриевич, Москва

1. Алексеев ГА. JV-солитонные решения уравнений Эйштейна-Максвелла // Письма в ЖЭТФ.- 1980.- Т.32 - С.301-303.

2. Белинский В.А., Захаров В.Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений // ЖЭТФ,- 1978.- Т.75.- С.1953-1971.

3. Белинский В.А., Захаров В.Е. Стационарные гравитационные со-литоны с аксиальной симметрией // ЖЭТФ,- 1979 Т.77 - С.З-19.

4. Варзугин Г.Г. Сила взаимодействия вращающихся черных дыр, находящихся в равновесии // ТМФ,- 1998 Т.116 - С.367-378.

5. Гальцов Д.В. // Частицы и поля в окрестности черных дыр.- М.: Изд-во МГУ, 1986.- 288 с.

6. Гуцунаев Ц.И., Манько B.C. Электровакуумное решение уравнений ОТО, имеющее шварцшильдовский предел // ЖЭТФ-1989.-Т.95- С. 1537-1540.

7. Денисова Т.Е., Манько B.C., Хакимов Ш.А. Стационарное электровакуумное обобщение решения Шварцшильда, отличное отметрики Керра-Ньюмена // Письма в ЖЭТФ- 1991- Т.53-С.54-56.

8. Крамер Д., Штефани X., Херльт Э., Мак-Каллум М. // Точные решения уравнений Эйнштейна.- М.: Энергоиздат, 1982 416 с.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теория поля М.: Наука, 1973-504 с.

10. Манько B.C., Родченко Е.Д., Руиз Э., Садовникова М.Б. Возникновение керровской черной дыры из двух струнообразных объектов НУТ // Вестник Моск. Университета, Физика.- 2009 №4-С.3-5.

11. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. // Гравитация. Т. 2 М.: Мир, 1977,- 525 с.

12. Новиков И.Д., Фролов В.П. // Физика черных дыр М.: Наука, 1986,- 328 с.

13. Сибгатуллин Н.Р. // Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях.- М.: Наука, 1984 352 с.

14. Bonnor W.B. Exact solutions of the Einstein-Maxwell equations // Z. Phys.- 1961.- V.161- P.439-444.

15. Bonnor W.B. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole // Z. Phys 1966 - V.190 - P.444-445.

16. Bonnor W.B. Dragging of inertial frames by a charged magnetic dipole // Phys. Lett. A.- 1991.- V.158 P.23-26.

17. Bretón N., Denisova T.E., Manko V.S. A Kerr black hole in the external gravitational field // Phys. Lett. A.- 1997.- V.230 P.7-11.

18. Bretón N., García A.A., Manko V.S., Denisova T.E. Arbitrarily deformed Kerr-Newman black hole in an external gravitational field // Phys. Rev. D 1998,- V.57.- P.3382-3388. •

19. Bretón N., Manko V.S. A binary system of 'antisymmetric' Kerr-Newman masses // Class. Quantum Grav.- 1995 V.12 - P.1969-1975.

20. Bretón N., Manko V.S., Aguilar-Sánchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: the electrostatic case // Class. Quantum Grav.- 1998,- V.15.- P.3071-3083.

21. Bretón N., Manko V.S., Aguilar-Sánchez J.A. On the equilibrium of charged masses in general relativity: II. The stationary electrovacuum case // Class. Quantum Grav.- 1999.- V.16.- P.3725-3734.

22. Castejón-Amenedo J., MacCallum M.A.H., Manko V.S. On an axisymmetric solution of the vacuum Einstein equations for a stationary rotating mass // Class. Quantum Grav.- 1989.- V.6.-P.L211-L215.

23. Cosgrove C.M. Relationships between the group-theoretic and soliton-theoretic techniques for generating stationary axisymmetric gravitational solutions // J. Math. Phys.- 1980.- V.21- P.2417-2447.

24. Cosgrove C.M. Backlund transformations in the Hauser-Ernst formalism for stationary axisymmetric spacetimes //J. Math. Phys.1981,- V.22 P.2624-2639.

25. Denisova T.E., Manko V.S. Exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a charged spinning mass // Class. Quantum Grav.- 1992.- V.9.- P.L57-L60.

26. Dietz W., Hoenselaers C. Stationary system of two masses kept apart by their gravitational spin-spin interaction // Phys. Rev. Lett.1982.- V.48 P.778-780.

27. Dietz W., Hoenselaers C. Two mass solutions of Einstein's vacuum equations: The double Kerr solution // Ann. Phys. (NY)- 1985-V.165 P.319-383.

28. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem // Phys. Rev 1968.- V.167.- P.1175-1178.

29. Ernst F.J. New formulation of the axially symmetric gravitational field problem. II. // Phys. Rev.- 1968.- V.168- P.1145-1417.

30. Ernst F.J. Charged version of Tomimatsu-Sato spinning-mass field // Phys. Rev. D.- 1973.- V.7.- P.2520-2521.

31. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes // Class. Quantum Grav.- 2006,- V.23.-P.4945-4952.

32. Ernst F.J., Manko V.S., Ruiz E. Equatorial symmetry/antisymmetry of stationary axisymmetric electrovac spacetimes: II // Class. Quantum Grav.- 2007.- V.24.-P.2193-2203.

33. Fodor D., Hoenselaers C., Perjes Z. Multipole moments of axisymmetric systems in relativity //J. Math. Phys 1989 - V.30-P.2252-2257.34. (GJeroch R. Multipole moments. II. Curved space //J. Math. Phys-1970,- V.ll.- P.2580-2588.

34. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On the gravitational field of a mass possessing a magnetic dipole moment // Phys. Lett. A 1987-V.123 - P.215-216.

35. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a family of solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav- 1988- V.20 -P.327-335.

36. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. New static solutions of the EinsteinMaxwell equations // Phys. Lett. A.- 1988 V.132.- P.85-87.

37. Gutsunaev Ts.I., Manko V.S. On a stationary generalization of the Schwarzschild solution // Class. Quantum Grav 1989 - V.6.-P.L137-L139.

38. Hansen R.O. Multipole moments of stationary space-times //J. Math. Phys.- 1974.- V.15 P.46-52.

39. Harrison B.K. New solutions from the Einstein-Maxwell equations from old // J. Math. Phys.- 1968.- V.9.- P.1744-1752.

40. Harrison B.K. Backlund transformation for the Ernst equation of general relativity // Phys. Rev. Lett.- 1978.- V.41.- P. 1197-1200.

41. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations // Phys. Rev. D- 1979.- V.20-P.362-369.

42. Hauser I., Ernst F.J. Integral equation method for effecting Kinnersley-Chitre transformations. II // Phys. Rev. D- 1979-V.20 P. 1783-1790.

43. Herrera L., González G.A., Pachón L.A., Rueda J.A. Frame dragging, vorticity and electromagnetic fields in axially symmetric stationary spacetimes // Class. Quantum Grav.- 2006.- V.23 P.2395-2408.

44. Hoenselaers C., Kinnersley W., Xanthopoulos B.C. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell equations. VI. Transformations which generate asymptotically flat spacetimes with arbitrary multipole moments // J. Math. Phys.- 1979.- V.20 P.2530-2536.

45. Israel W. Line sources in general relativity // Phys. Rev. D.- 1977-V.15- P.935-941.

46. Israel W., Wilson G.A. A class of stationary electromagnetic vacuum fields // J. Math. Phys.- 1972.- V.13 P.865-867.

47. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics // Phys. Rev. Lett.- 1963 V.ll-P.237-238.

48. Kinnersley W. Generation of stationary Einstein-Maxwell fields // J. Math. Phys.- 1973.- V.14 P.651-653.

49. Kinnersley W. Symmetries of the stationary Einstein-Maxwell field equations. I. // J. Math. Phys.- 1977,- V.18.- P.1529-1537.

50. Kinnersley W., Chitre D.M. Symmetries of the stationary EinsteinMaxwell field equations. IV. Transformations which preserve asymptotic flatness // J. Math. Phys.- 1978- V.19 P.2037-2042.

51. Komar A. Covariant conservation laws in general relativity // Phys. Rev.- 1959.- V.113 P.934-936.

52. Kramer D. Equivalence of various pseudopotential approaches for Einstein-Maxwell fields // J. Phys., A: Math. Gen.- 1982.- V.15-P.2201-2207.

53. Kramer D., Neugebauer G. The superposition of two Kerr solutions // Phys. Lett. A.- 1980.- V.75 P.259-261.

54. Majumdar S.D. A class of exact solutions of Einstein's field equations // Phys. Rev.- 1947.- V.72.- P.390-398.

55. Manko V.S. New exact solution for the exterior field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett.- 1990.- V.64 P. 1625-1627.

56. Manko V.S. New axially symmetric solutions of the EinsteinMaxwell equations // Gen. Relativ. Grav.- 1990.- V.22.- P.799-809.

57. Manko V.S. On the simplest magnetic generalization of the Kerr-Newman metric // Phys. Lett. A.- 1993,- V.181- P.349-352.

58. Manko V.S. New generalization of the Kerr metric referring to a magnetized spinning mass // Class. Quantum Grav.- 1993.- V. 10-P.L239-L242.

59. Manko V.S. Double-Reissner-Nordstrom solution and the interaction force between two spherical charged masses in general relativity // Phys. Rev. D 2007.- V.76- P.124032-1-6.

60. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Metric of two arbitrary Kerr-Newman sources located on the symmetry axis //J. Math. Phys.-1994 V.35 - P.6644-6657.

61. Manko V.S., Martin J., Ruiz E. Six-parameter solution of the Einstein-Maxwell equations possessing equatorial symmetry // J. Math. Phys.- 1995.- V.36.- P.3063-3073.

62. Manko V.S., Mielke E.W., Sanabria-Gomez J.D. Exact solution for the exterior field of a rotating neutron star // Phys. Rev. D.- 2000.-V.61.- P.08501-1-5(R).

63. Manko V.S., Novikov I.D. Generalizations of the Kerr and Kerr-Newman metrics possessing an arbitrary set of mass-multipole moments // Class. Quantum Grav 1992 - V.9.- P.2477-2487.

64. Manko V.S., Rodchenko E.D., Ruiz E., Sadovnikov B.I. Exact solutions for a system of two counter-rotating black holes // Phys. Rev. D.- 2008.- V.78.- P.124014-1-4.

65. Manko V.S., Rodchenko E.D., Ruiz E., Sadovnikov B.I. On the simplest binary system of rotating black holes // AIP Conf. Proc-2009 V.1122.- P.332-335.

66. Manko V.S., Rodchenko E.D., Sadovnikov B.I., Sod-Hoffs J. The Poynting vector of axistationary electrovac spacetimes reexamined // Class. Quantum Grav.- 2006.- V.23.- P.5289-5395.

67. Manko V.S., Ruiz E. Extended multi-soliton solutions of the Einstein field equations // Class. Quantum Grav.- 1998.- V.15 P.2007-2016.

68. Manko V.S., Ruiz E. Exact solution of the double-Kerr equilibrium problem // Class. Quantum Grav.- 2001.- V.18 P.L11-L15.

69. Manko V.S., Ruiz E. A remark on the mass-angular-momentum relation in the double-Kerr solution // Class. Quantum Grav-2002,- V.19 P.3077-3081.

70. Manko V.S., Ruiz E. How can exact and approximate solutions of Einstein's field equations be compared? // Class. Quantum Grav-2004.- V.21- P.5849-5869.

71. Manko V.S., Ruiz E. Physical interpretation of the NUT family of solutions // Class. Quantum Grav.- 2005 V.22- P.3555-3560.

72. Manko V.S., Ruiz E., Manko O.V. Is equilibrium of aligned Kerr black holes possible? // Phys. Rev. Lett.- 2000.- V.85.- P.5504-5506.

73. Manko V.S., Sanabria-Gomez J.D., Manko O.V. Nine-parameter electrovac metric involving rational functions // Phys. Rev. D-2000.- V.62- P.044048-1-10.

74. Manko V.S., Sibgatullin N.R. Construction of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations corresponding to a given behaviour of the Ernst potentials on the symmetry axis // Class. Quantum Grav-1993.- V.10- P. 1383-1404.

75. Meinel R., Neugebauer G. Asymptotically flat solutions to the Ernst equation with reflection symmetry // Class. Quantum Grav.- 1995-V.12- P.2045-2050.

76. Neugebauer G. Backlund transformations of axially symmetric stationary gravitational fields //J. Phys. A: Math. Gen.- 1979-V.12 P.L67-L70.

77. Neugebauer G., Kramer D. Einstein-Maxwell solitons //J. Phys. A: Math. Gen.- 1983,- V.16- P. 1927-1936.

78. Neugebauer G., Meinel R. The Einsteinian gravitational field of the rigidly rotating disk of dust // Astrophys. J 1993 - V.414 - P.L97-L99.

79. Neugebauer G., Meinel R. General relativistic gravitational field of a rigidly rotating disk of dust: axis potential, disk metric, and surface mass density // Phys. Rev. Lett.- 1994 V.73.- P.2166-2168.

80. Newman E.T., Couch E., Chinnapared K., Exton A., Prakash A., Torrence R. Metric of a rotating charged mass //J. Math. Phys.-1965.- V.6.- P.918-919.

81. Newman E.T., Tamburino L., Unti T. Empty-space generalization of the Schwarzschild metric // J. Math. Phys 1963.- V.4.- P.915-923.

82. Nordstrom G. On the energy of the gravitational field in Einstein's theory // Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.- 1918.- V.20.- P.1238-1245.

83. Papapetrou A. A static solution of the equations of the gravitational field for an arbitrary charge distribution // Proc. Roy. Irish Acad. A.- 1947- V.51- P. 191-204.

84. Papapetrou A. Bine rotationssymetrische Losung in der Allgemeinen Relativitätstheorie // Ann. Physik.- 1953,- V.12- P.309-315.

85. Perjes Z. Solutions of the coupled Einstein-Maxwell equations representing the fields of spinning sources // Phys. Rev. Lett.- 1971-V.27.- P.1668-1670.

86. Reissner H. Uber die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie // Ann. Physik.- 1916,- V.50.- P.106-120.

87. Ruiz E., Manko V.S., Martin J. Extended N-soliton solution of the Einstein-Maxwell equations // Phys. Rev. D.- 1995-V.51- P.4192-4197.

88. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.-1916,- V.7.- P. 189-196.

89. Simon W., Beig R. The multipole structure of stationary space-times // J. Math. Phys.- 1983. V.24 P. 1163-1171.

90. Smarr L. Mass formula for Kerr black holes // Phys. Rev. Lett.-1973.- V.30 P.71-73.

91. Sod-Hoffs J., Rodchenko E.D. On the properties of the Ernst-Manko—Ruiz equatorially antisymmetric solutions / / Class. Quantum Grav.- 2007.- V.24.- P.4617-4629.

92. Tomimatsu A. On gravitational mass and angular momentum of two black holes in equilibrium // Prog. Theor. Phys.- 1983 V.70-P. 385-393.

93. Tomimatsu A., Kihara M. Conditions for regularity on the symmetry axis in a superposition of two Kerr-NUT solutions // Prog. Theor. Phys.- 1982.- V.67 P. 1406-1414.

94. Tomimatsu A., Sato H. New exact solution for the gravitational field of a spinning mass // Phys. Rev. Lett 1972,- V.29 - P.1344-1345.

95. Wolfram S. // The Mathematica Book (4th Edn.)- Cambridge: Wolfram Media, Cambridge Univ. Press, 1999.

96. Yamazaki M. On the Kinnersley-Chitre spinning mass field // Prog. Theor. Phys.- 1980,- V.63 P.1950-1956.