Некоторые точные решения уравнений релятивистской теории гравитации и принцип причинности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕЗОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫМ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИИ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

ШНССН КИНГЕРО ХОРХЕ ЭНРИНЕ КОЛУМБИЯ

УДК 530.12,' 531 .51

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ И ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992 г.

Рзсстз заполнена на,кафедре квантовой теории и фязнв высоких энергий физического факультета Московского Госу дарственного Университета им. М. В.Ломоносова

Научный руководитель : доктор физжо-математическиз наук

Trr<.<v1va М л Mor»fTVQ\rr\Trm"CrT* ТГГ*

ilpV^/UWUWL/ ilia A ■ HiO W Л. ' 'Г' M" '

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук

профессор Ю. С. Вернов кандидат физико-математических наук

В. 0. Соловьев

Ведущая организация : Институт ФИЗИКИ АН БЕЛАРУСИ

Защита состоится " d-rL" U^OHX_ 1992 г_

на заседании специализированного Совета К-053-05.24 в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по

oimarnr' 1 17С5 Л Магчлво UMWWft \ГПУ 1Q х^ппгргп avmnvrrnvta ^

U^LWJ * I I IfUS UAbX/U у ¿¿хигыху? tiu- \J у I i^H^j ^ f uj u^jiti IW.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КИИЯФ МГУ. Автореферат разослан " ^2 " Ьл.д_Я._ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

Доктор физико-математических Ю. А. Фомин

наук-

\ !

I '< ' -1

I /у гс.зи: - '' 'л

ОЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш диссертации. Настоящая диссертация посвящен: точным внешним аксиально-симметричным (АС) и шьяяндрическк-симме-тркчным решениям, а такхе решениям типа Кагкера з Релятивистской Теории Гравитации (РТГ). Приведем краткий обзор основных полоз:зн:й РТГ.

РТГ -теория гравитации , в основу которой залохени десять универсальных законов сохранения: четыре закона сохранения энергии-импульса и шесть законов для момента количества движения.

Современная теория электромагнитного, слабого и сильного взаимодействия построена на базе псевдоеклидовой геометрии. Уравнения, списывавшие . эта взаимодействия, содержат _метрическии тензор пространства Минковского. Так как на сегодняшний день не а экспериментальных фактов, ставящхх под сомнение фундаментальность пространства Минковского, то естественно считать псевдоезклидов;,' геометрию единой для всех физических теорий, не делая исключения у. для теории гравитационного шля. Очевидно, при этом, выполнение десяти_ законов сохранения во всех теориях будет гзрзнтирсзанс автоматически.

Это положение стало одним из постулатов Релятивистской Теории Гравитации.

Гравитационное поле в РТГ рассматривается как реальнее,вещественное (вообще говоря с ненулевой массой покоя) физическое поле.

обладавшее всеми присущими другим физическим полям атрибутами. Оно

11с

описнзается тензорнш.1 полем второго ранга Ф (П с прздставления-соответствующими спиновым состояниям 2 и 0 : Поэтому на псле. накладываются следующие 4-услсвия

Эд Сг~' = О , (1 )

где В -ковгриатнэя пгспзводная по метрике пространства Минковкогс.

П» - ~ - -

^чаг^т-л ттттгг<-\|* ис.гчп^у, т%'.г<,г><+ еплгу^игг ттптта аг>паагпг»а

набор правил, харэктеразуюшгл его взаимодействие с веществом. Б ?ТГ в качестве такого Элемента теории выступает "принцип геометризации". Согласно этому принципу гравитационное поле в плотности лагранжиана вещатзз ( 7 т , Фд ) подключается к

метрическому тензору пространства Ыинковсксго следующим образом

- = -у + ,

где т"® = /^Г У®. Г^ = /~=Г в™ и = /^г Ф®-Как обычно е = аег 7 = det ФА- поля вещества.

Б ?ТГ .наряду с пространством Ыинковского возникав! эффективное риманово пространство с метрическим тензором. ё^С!), которое обязано своим лроислозкаением только наличию гравитационного поля

Принцип геометплззции обеспечивает универсальность воздействия гравитационного поля нз все виды вещества я приводит к тому, что описание дву^ения вещества под действием гравитационного поля в псевдоезклкдозом пространстве- зремеки эквивалентно описанию его движения в эффективно:/. риг.'.ановсм пространстве с метрическим тензо-рсм (?), заданным на одной карте.

"Кадеброгочай ирзшилп". Плотность лагранжиана свободного гравитационного поля ъ^ строится з РТГ как квадратичная функция ко-вэриантниг по метрике ($) пространства Минковсксго производных первого порядка.

Единственный лагранжиан свободного гравитационного годя" пос-гроенккй на основе калибровочного принципа, имеет еид:

ё

где

<& = Ч (ц

Л)1

2 * (Сш «р1 + % " Зр Пш5"

На основе принципа наименьшего действия, учитывая полевое уравнение (1), из (2) получаем систему уравнений: РТГ:

Т^Б^Ф™ = 16 %

эк б321 = о , (4)

из • , где 1 -.полная плотность тензора энергии-импульса вещества и

гравитационного поля в пространстве Минковского. Систему уравнений

(3,4) можно переписать в другом .виде, используя метрический тензор g-jjj.Cn эффективного риманова пространства

-Ч <5 к = 8 %т%> (5)

Ьп Г® = О, (5)

где тензор энергии-импульса вещества в эффективном римановом

пространстве.

В РТГ система координат и } в пространстве Минковского задается метрически,! тензором а гравитационное поле з зтпт. координатах подчиняется ойцековэрпзнтннм уравнениям (3), которые

=> 51 = -7-а(5) 8м Ш

УЧ

Здесь а - обобщенный даламбериан:

1 & = /¡^ ^

где Tpq<?> -символы Кристоффеля, составленные лз метрических коэффициентов TjjJi)-

■ Именно на этом.многообразии, которое арифметизозанс с псмоеь; (S3"}. "определяется метрический тензор g^-Ц) эффэктавного'-ЗЕйанов: пространства. Поэтому найти решение уравнений РТГ ознзчает постро ить эффективное риманово многообразие на одной карте с метрически тензором g^d).

Актуальность исследованных в диссертации задач определяется н только новизной теории, но и особой значимостью точных решений, н основе которых появляется возможность изучения физических, явлек: как в сильных, так и в слабых полях, удается дать физическую ж терлретацию источников, а также ответить на вопрос - является : полученное гравитационное поле физически, удсзле^вор^КЕИ пу причинности.

Дель предлагаемой диссергашш. Настоящая диссертация посзятз; получению и изучению точных внешшх решений уравнений ?ТГ, облад; :сзпх, по крайней мере, аксиальной симметрией. Рассмотрены стаци: парные, нестэтические к статические решения.

Мозн;,'д гвоультаткмл, зккоо:т>:ыж1 но защиту, являютсл следу::^:

Получено вакуумное, стационарно"-. a:cc;ia.~bKc-c;i.Mv.e .'рич-сэ р?г

¿1 £L_ 'Ра- а*»

S U >.

"/-gi;

DO

- о -

кие совместной системы уравнений РТГ для гравитационного поля, создаваемом источником массы "М" и ЕуТ параметром "г".

На основе решения уравнений движения пробной частицы установлено, что данное гравитационное поле не удовлетворяет принципу причинности.

Построены оолие внешние статические шмшдрически-симметричные уравнения РТГ. Получено частное решение этих уравнения, являющееся статическим вакуумным решением Леви-Чивиты в РТГ. Проведений анализ принципа причинности доказал, что и б данном поле он нарушается.

Найдены решения уравнений РТГ, в которых метрический тензор зависит либо только от временной переменней , либо только от

пространственной переменной ( нестатитические и статические

решения Казнера ). Доказано, что . зти космологические модели в РТГ такае нз удовлетворяют принципу причинности.

Построена обобщенная модель типа Казнера, где не все конпонен-ты тензора знергаи-имщгльса вещества равны нулю. В случае нестатической модели тензор энергии-импульса при определенных значениях казнеровсклх параметров удовлетворяет энергетическому условию, а гравитационное поле - принципу причинности.Следовательно, таксе гравитационное поле является физически?.!. Для статической модели гравитационное поле является нефизическим .

Научная ценность "Результатов диссертации. В диссертации решены задачи, имеющие существенное значение в РТГ. Получены новые точные аксиально-симметричные, внешние, стационарные решения уравнений! РТГ, а так:хе нестатические и статические решения типа Казнера. На основе изучения "-уравнений движения пробных частиц проведен анализ лргншша причинности для полученных решений. Результат

могут оыть использованы в качестве моделей различии;; зстрофазичег объектов, в работах по исследованию процессов, происходящих сильных гравитационных полях.

Публикации : По теме диссертации опубликовано четыре работы. Объем работы. Диссертация содержит 83 страниц машинописно: текста и состоит из введения, четырех глав основного содержали.' заключения и списка цитируемой литературы из 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ео введении сформулирована цель диссертации и дано обоснование актуальности ее темы. Сделан обзор основных принципов и знергет: ческого'условия в'РТГ. В конце приведены те новые положения, кст< рые выносятся на защиту.

В первой главе содержатся основные принципы и формулиров" энергетических условий в релятивистской теории гравитации.

В § 1.1 дается строгий еывод - основных уравнений, ставит зздача и формулируются общие принципы поиска внешних решений ура нений РТГ.

В § 1.2 раскрывается роль пришита причинности при исслед зании решений уравнений РТГ.

Согласно этому принципу :

Решения урашений РТГ удовлетворяют принципу причинности, соответствующие им поля гравитации являются физическими, если вс совокупности возможы:-: времениподсбных и изотропных геодезическ з эффективном эдмановсм пространстве отвечают мивозые линии плоском про с тпанстве -втземени .Чинксвсксгс.

В математическом виде этот щзиешг мскет быть 'выражен в вп

сладуюипс неравенств:

ё11с (?) и1 и1- <о, (з;

71к (?) и1 =0, (9:

ПЛИ

«00^> + 26^(5) * еа е.3 < 0, (10)

п "а

где и~-лвбой изоттошшй 4-зектор, еи = " /..о (а = 1,2,3)

и.

компоненты единичного вектора скорости в еклидовом пространстве в декартовых координатах.

В § 1.3 сбсуадаются таете "энергетические условия" для тензора энергии-импульса вещества, которые, дополняют законы сохранения энергии-импульса и момента импульса для вещества. Во многих случаях энергетические условия вместе с принципом причинности необходимы и достаточны для полного определения физичности гравитационного поля.

Слабое энергетическое условие имеет вид

V1 го. (И)

условие экер-

где V1- времеЕЕПОдобний 4-вектор.

Лак известно, сушестзует также сильное условие ^доминантности

гп

"Не

V1 Vя > О,

7 V1 О-

Эквивалентным этому является утверждение, что энергия доминирует над другими компонентами Tik , т. е.ТЗМ удовлетворяет неравенству

Зо второй главе построении стационарные аксиально-симметричные, вакуумные решения Тзубз-КУТа в РТГ.

Р Я 9 1 XIсз /лоилюо MorpoTr.TVTí rioorrc* ттаттггсг г>аот>тлггг>Яг тт тта

■LJ íf «Val UUU^UU iUU J, U U^W/ V ÜJIW X 1 " ' ■ ' ' 1 , ' " j ^UUMi^WM i

случая метрики ТАУБА-НУТ, впервые получено точное решение системы уравнений РТГ. • Решение ■ уравнений (7) искалось в виде :

t = т.

z = A cos Р + В sin Р ., (13)

у = A sin 1 -В cos F , z = u,

где А, в, и -функции, зависящие от г, в .

Решения системы уравнений (7) в области г > т+ для функций А,

в, и имеют вид [ = м + Jм2 + i2 J :

а 1

А(г,В) = С (г-И) Sin 0 + Z^ Pn(Cos 9),

В(г,В) = Z b О (?) (Cos В), n=o n

а 1 U(г,9) = С (г - И) Cos 6 + £ о Q_ (О P„(Cos 6),

n=0 п

где an t> , q^ -некоторые действительные константы, С^Ц)-Функция Лезкандрз второго рода. Pn(Cos 6) -полином le хандра,

з ?,; (Cos а ) -пБисоеддненнзя функция Лззсзнгоз.

Частным случаем является решение Тауба-НУТа, соответствующее значениям г - с, t>n = о, qn = с. Связь сферическими координатами пространства Мкнксеского { t, r, 6Q, ср0 } задается соотношения?,¡и :

1 = Т, R = С (г - М), 6„ = е, а = F, (14)

О О

где с * 1, о < 6 < гс , о < ср < .2 гс.

Б § 2.2 получены уравнения движения пробного тела з аксиально-симметричном, стационарном, гравитационном поле Тауоз-НУТ в FTP. она имеют вид :

d Т _ 2 d S

= р~2 | П £ - 4 г Cos 2(е/2) a },

=-р-2 { р4 s2 - А (р2 + К2] }1/2, (15)

- = р 2'sin 2е [ 4 I Sin2 (6/2) s + а ], ^ = р~2 Sin Э |к2 Sin2 е - [4 I Sin2(6/2) £ - а J2 |1

ООО

f = Т1- + I" ,

а 2 9 ц 2

О _ г-2 _ ,t 7 .1 r^i-д/о'

вдесь 2, -I, К -KOHCT2HTH интегрирования, ^ксиоующие траек^

3 § 2.2 для решений уравнения ?ТГ, рассмотренных в предыдущее параграфе проанализирован принцип причинности.

Из формулы для максимального значения скорости частицы i пространстве Минковснсго

о ( г - и }2

7 Ls ! _ = -• (1б:

( р2 А 1/2 - 2 г tg 9/2 )2

еледует,что при г * о всегда мокно указать такую траекторию, которая является решением уравнений движения (11) в области г > г_ ; для которой з некоторой точке ( г, в ) выполняется соотношение

р2 д-1/2 _ 2 Z tg 6 /2 = О.

Г •

Последнее означает, что скорость частицы в пространстве Мин-ковского, независимо от выбора константы "С", становится бесконеч' ной.

Таким образом для случая, когда i * 0, всегда можно указать таку геодезическую, которой в пространстве Минковского будет соответст возэть нэвременшодобная мировая линия d о2 < о. Это обстоятель ство говорит о том, что исследуемое гравитационное поле не явля ется физическим.

Третья глаза посвящена построению внешнего, статического щтлишфически-симметричного решения уравнений РГГ.

В § 3.1 кратко изложены общие цилиндрически-симметричные урав кекия для гравитационного поля и показано, что решение урзвнени (?) зависит от одной функции, которая определается из уравнен»!

Глльоарга-Эйеттзйна.

В § 3.2 изучается, статическое вакуумное "овЕенйе Лезм-Чизита : РТГ.язляющезся одни из частных случаев цияшдрэтесгсьсжуетрпчгго: гравитационного поля.

Общее уравнение (7) в данном случае принимает вид

Р +

. о

(-1 - Рг to--1'} и-

О,

где штрих означает производную по р. Исключая из рассмстренш тривиальный случай п = О, которому соответствует решение ?. : Const, р, из (12) находим связь R с р в зависимости от значена константы " п

R ( Р ) = CL

„п

п

, nil.

(IS

В § з.з проведен анализ принципа причинности лля решени* Лези-Чивита в РТГ в галилеевых координатах пространства Минковс-кого. На основании неравенства

2п

[х (е1) + у (е2)]" р-(п-')

- [ з (е1) - у (е2? ]

«Jolt Св).

2 р~2(п~1)

л

R"'

В?

р2л(г.-1) (е3)2 s с>

(13)

бил сделан зкеод, что решение Деви-Чквита np:n-:ip~ причин-

нее.:: не удовлетворяет, п следовательно, не соответствует физич-; кому гравитационному полю.

~ ЧбТВвОТСй ГЛЭВе ПРИВО РбЩ^ЧИЯ КаЗ^130^ И ^бО^'Щ11'1

решения типа Казнера з РТГ.

В § 4.1 найдены решения уравнения РТГ, в которых методе с:

о

тензор зависит от временной переменней " ? " или от простра; твенной переменной пространства Минковсквого. Эти нестатя'

ческие и статические решения названы рееениями типа Казнера в ?'

В § 4.2 исследовалось соблюдение принципа причинности для моделей. Решение уравнения (7) дают связь между координата®! пр< транства Микковского СЕ1} и римановыми координатами {г1} : :•: = Зхр (1 Г- В), = 2гр (А с° - В), при А = -I И В - О.

Л 2а0 2а. , , ¿а, ,

= X ^ й. Г" - л а ГС - л ~ а Г" - '£ " а

где параметры а0 - а- связаны соотношениями а0 - г2 - а3 = а, +1,

4*4+а? = (а1"1

Лля совладения принципа причинности в области ; додимо выполнения неравенств

а < а. т 1. з.. < р. . о. ^ а- . -0 1 ' 0 2 ' 0 3 '

а з области V - о соответственно, неравенств

а. & — 1 . ° - ^. > ъ _

- _, • , -- - , _ .

з облает ?0 =: 0 параметры {?_.} необходимо выбрать так, чтобы имели место неравенства

г 1, ?2 > 1, ?3 > . 1, (23а)

а в области 5 о неравенства

?1 < 1, ?2 < 1, ?3 < 1. (23В)

Соотношения (20) не совместны с неравенствами (21) и, соответственно, соотношения (22) не совместны с неравенствами (23). Поэтому решения Казнера как статические, так :г нестатические не удовлетворяв принципу причинности.

В 5 4.3 построена сбебаеннзл .модель типа Кагнерз, где не все компоненты тензора энергии-импульса вещества равны нулю.

Нестзтический интервал эффективного ржаного пространства имеет вида

а статический, соответственно

d S2 = Exp 2[а0 0(X) х] dt2-E®2[(a1 t1] 6(Х) х] d Z2 -- Exp 2|aP 9(X) x] а'Г - Ezp 2ja3 S(X)~ l] d Z2,

где P0 , P1 , ?2 , P-, И aQt av a,, a-, -некоторые числа, a o(t) - ступенчатая функция.

Решение уравнения (7) дают линейную связь между координата пространства Минковского {I1} и ршановыми координатами {х1} : X = А В, t = А + В, при условия.(20а).

В § 4.4 показано, что нестатическое обобщенное решение т: Казнера при s 'о ' автоматически.удовлетворяет принципу щ "чиности, а в области г о возникает ряд огрничений на значе! параметров ig , Р1 , ?2 и При этом из принципа причинное следует,-что "должны выполняться неравенства :

Р1 г Р0 + 1, Р2 i Р0 + 1, Р3 ^ ?0 + 1, (2

а из энергетического условия наряду с. тем же тремя неравенствам] еще одно

р., ?„ -г + ^ о. С

1 с. • ; с J

В этом случае тензор энергии-импульса будет удовлетвор энергетическому условию, а гравитационное поле - принципу прич носта. Такие значения параметров существует, поэтому данное гра тационное поле будет физическим.

Аналогично, соблюдение яркншщэ причинности для статическ обобщенного решения типа Казнера в РТГ в области > о.бу тлеть место, если будут выло.члены неравенства

а0 2 а1 + а0 - а2' а0 - а3- (25)

Из энергетического же условия вытекают прямо противоположные неравенства, поэтому невозможно найти такие значения параметров {г.. }, которые удовлетваряли бы одновременно как принципу причинности, так и энергетическоиу условию.

Таким образом, статическое обобщенное -решение типа Казнера з РТГ является нефизическим. -

В заключении перечисляются важнейшие результаты, полученные в настоящей диссертации.

Основные результаты полученные в диссертации :

1) Дается строгай .вывод . основныхТуравнений;: сформулированы общие принципы поиска точных внешних решений уравнений -РТГ « раскрывается роль принципа причинности и энергетического условия при исследовании этих решений.

2) На осноез методики разделения переменных, развитой для случая метрики ТАУБА-НУТ, зависящей помимо гравитационной массы источника "М" и НУТ параметра "г" еще от одной константы "с", впервые получено точное решение системы уравнений РТГ. На основе решения уравнений движения пробной частицы установлено, что гравитационное поле ТАУВА-НУТ не удовлетворяет принципу причинности.

3) Исследовано статическое вакуумное решение Леви-Чивита в РТГ, являвшегося одним из частных случаев цялиндричесзси-симметряч-зого гравитационного поля, для которого проведен анализ принципа таичинности, и показано, что это решение Леви-Чивитз не соответс-?ует физшескому гравитационному полно.

4) найдены решения уравнений РТГ, в которых метрический т зсров зависит либо только от временной переменной "t", либо тол от пространственной переменной V. (кестатитические и статич кие решения Казнера). Показано, что эти модели в РТГ так же при дят к нарушению принципа причинности.

5) Рассмотрена-обобщенная модель типа Казнера в РТГ, где все компоненты тензора знергии-шпулъса вещества равны кулю случае нестатической модели тензор энергии-импульса при опреде: ных значениях казнеровскпх параметров удовлетворяет энергетик кому условию, а гравитационное поле - принщшу причинности, статической модели гравитационное поле является нефязическим.

. ■ Основные результата диссертации опубликованы в следу! работах:

1. Пинсон Кинтеро X. Э., Карабут П. В., -НУТ-решение ураЕН( релятивистской теории гравитации, М. : Вестник Москови университета, Серия 3, Физика, Астрономия, 1991, Т. 32, Je С.37-41.

2. Пинсон Кинтеро X. Э., О цилиндрически-симметричных и ст;

T10r>Lrr.T"V TNOmOtTTTaV Т> -ПО ngrp7,TDTTprT>p'Lfpffr шрллтят Г»"П ОТ2Т/Т>ОТТТ*Т* ЦЛ • рйЛ!

W А Vi АЛ. UUUWMMUW U \J<J*HL i Ji-U.»i.O J. OxVWJlA X Uwyiui X »Ju^JfAX ифш у 1U • • ÜV \J

.Московского Университета, Серия 3, Физика,Астрономия, 1991, Т. 3 .5, С. 78-80.

5. Пинсон Кинтеро X. Э., Решения Казнера и принцип причинное релятивистской теории гравитации, М. : Теоретическая и Матем чеекзя Физика, 1991, Т. 89, Лз. 2, С. 317-320. л. Пинсон Кинтеро X. г., Нестатические решения типа Казна]

TvCi .т»алт\тт тгг\с>,этя,то1Пгг* М • /Pür>r>aimjrt7or»t/kc»a т* Мотом

• ЛХЛш*жл W - WJ А W ujrijti. х bJLJXJH Л Ui+tiJi f itt « * Л UCfc/W 1 'JVMVU'4 ЛЛ <««<-4 Л UiU

ческая Физика, 1992, Т. 91, .'s .1, С. 172-176.