Некоторые точные решения задач теоретической и математической физики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Репннкова Надежда Павловна

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискаиие ученой степени кандидата физико-математических наук

ь ДБГ 1015

Москва-2015

005571233

005571233

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Иноземцева Наталья Германовна,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования Московской области Международного университета природы, общества и человека «Дубна», г. Дубна

Официальные оппоненты: Тернов Алексей Игоревич,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московского физико -технического института (государственного

университета)», г. Долгопрудный

Харрасов Мухамет Хадисовцч,

член-корреспондент АН РБ, доктор физико-математических наук, профессор, советник ректора Федерального государственного бюджетного

образовательного учреждения высшего

профессионального образования «Башкирский государственный университет», г. Уфа

Ведущая организация: Лаборатория теоретической физики имени Н. Н. Боголюбова Объединенного Института Ядерных Исследований, г. Дубна

Защита состоится «17» сентября 2015 г., в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, д.1, стр.2, физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук,

профессор ¿У П.А. Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В последние полвека большое внимание в различных областях математической и теоретической физики [1], [2], а также в прикладной математике [3], [4] уделялось подходам, обеспечивающим математически строгие результаты: поиску точно решаемых моделей, строгой формулировке исходных уравнений этих моделей, исходя из первых принципов.

В данной работе рассматривается построение точных решений модельных задач, обладающих самосогласованным полем. Примером таких задач является учет эффекта пространственного заряда пучка в ускорительной физике, а также задачи связанные с астрофизикой. Следует отметить, что рассматриваемые поля создаются системами многих взаимодействующих частиц. Например, пространственный заряд пучка частиц в ускорителе создается числом частиц порядка 10'5. При этом условия эксплуатации ускорителя требуют расчета параметров пучка с точностью, при которой существенны потери пучка на структурных элементах установки. Поэтому рассматриваемые системы многих взаимодействующих частиц имеет фактически переменное число частиц, что требует рассмотрения исходя из первых принципов, так как не во всех случаях возможно сокращение описания.

Наличие точно решеных модельных задач позволяет производить оценку различных численных методов, используемых при моделировании сложных динамических, самосогласованных систем.

Цель диссертации

Целью работы являлся поиск точных решений задач многих взаимодействующих частиц, разработка и тестирование численных алгоритмов для решения задач учета эффекта пространственного заряда пучка на точных аналитических решениях.

Научная новизна

1. Получено точное аналитическое решение для эволюции плотности заряда частиц

£>(/-, г) для сферической и цилиндрической области в виде бесконечного цилиндра.

2. Получено точное аналитическое решение для эволюции плотности массы частиц р(г,г) для сферической и цилиндрической области в виде бесконечного цилиндра.

3. Методом характеристик показано существование решений в виде ударной волны для задач эволюции плотности заряда р(г,/) в сферической области и цилиндрической области.

4. Методом характеристик показано существование решений в виде ударной волны для задач эволюции плотности массы р(г,/) в сферической области и цилиндрической области.

5. Предложена постановка начально-краевой задачи относительно вектора электрического поля Ь и скорости V в гидродинамическом приближении для описания эффекта пространственного заряда (5 V - задача)

6. Предложена постановка начально-краевой задачи относительно вектора функции плотности р(г,г) и скорости V в гидродинамическом приближении для описания эффекта пространственного заряда (р V - задача)

Научная и практическая значимость работы

1. Получены точные аналитические решения для задач системы многих взаимодействующих частиц, которые могут использоваться, как тестовые решения численных алгоритмов в задачах учета эффекта пространственного заряда

2. Произведено сравнение точных и численных решений (Ь V - задачи), которое показывает хорошее совпадение теоретических и численных результатов.

3. Произведён численный расчёт р V - задачи, который сравнён с полученными точными аналитическими решениями. Получено хорошее совпадение.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов полученных в диссертации обосновывается математически точными методами, применяемыми при решении поставленных задач. Достоверность обосновывается также хорошим совпадением, полученных теоретических результатов с результатами, следующими из численного эксперимента.

Апробация работы

Основные результаты исследований, вошедшие в содержание глав диссертации, докладывались и обсуждались на конференциях: The United Conference IVESC-ICEE-ICCTPEA-BDO-2014 (Санкт-Петербург, Россия) - 2 доклада, The 22th International Conference Mathematics. Computing. Education, 2015 (Пущино, Россия)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, из них 2 монографии, 5 статей в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 135 страницах, включает 39 рисунков, содержит 67 библиографических ссылок.

Краткое содержапие работы

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации и формулируется цель диссертации, а также приводится ее краткое содержание.

В главе 1 рассматривается поиск точных решений задач многих взаимодействующих частиц [61-63,67]. В §1 главы 1 рассматривается задача электродинамики для сферически симметричной области в виде шара. Методом характеристик получена формула, описывающая эволюцию функции плотности p,{r,t) заряда для сферически симметрично заряженного шара. Характеристики описывают эволюцию концентрических сфер. Внутри каждой такой сферы суммарный заряд остается постоянным. Рассмотрены частные случаи начальных распределений плотностей заряда. Для постоянного начального распределения плотности заряда характеристики не пересекаются, и в каждый момент времени плотность заряда внутри шара является постоянной. Получено выражение для максимальной скорости распространения сферической волны. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности заряда внутри шара, наблюдается пересечение характеристик, что приводит к решению типа ударной волны.

В § 2 главы 1 рассматривается задача пространственного заряда для области в виде бесконечного цилиндра. Методом характеристик получена формула эволюции плотности заряда. Уравнения характеристик описывают эволюцию концентрических бесконечных цилиндров. Графики характеристик для случая постоянного начального распределения плотности заряда не пересекаются, а плотность заряда внутри цилиндра не зависит от координаты. Максимальная скорость распространения цилиндрической волны в этом случае является неограниченной в отличие от сферической волны из §1 главы 1. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности заряда внутри цилиндра графики характеристик пересекаются, что приводит к решению типа ударной волны.

В § 3 главы 1 рассматривается сферическая самосогласованная модель с гравитационным полем. Учитывая гравитационное притяжение, методом характеристик получена формула эволюции плотности массы. Графики характеристик для случая постоянного начального распределения плотности массы в некоторый момент времени Т0 пересекаются в центре шара. До момента Г0 характеристики между собой не пересекаются. Плотность массы внутри шара остается постоянной. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности массы внутри шара графики характеристик пересекаются на некотором радиусе внутри шара. Пересечение характеристик приводит к бесконечному увеличению плотности массы на некотором сферическом слое.

В §4 главы 1 рассматривается цилиндрическая самосогласованная модель с гравитационным полем. Для цилиндрической области методом характеристик получена формула эволюции плотности массы. Для случая постоянного начального распределения плотности массы характеристики пересекаются только в центре цилиндра. Плотность массы внутри цилиндра не зависит от координат. В случае неоднородного (логнормального) распределения в начальный момент времени плотности массы внутри цилиндра графики характеристик пересекаются не в центре цилиндра, а на некотором радиусе. Пересечение характеристик приводит к бесконечному увеличению плотности массы на некотором цилиндрическом слое, что дает решение в виде «гравитационной ударной волны».

В §5 главы 1 рассмотрен случай, когда элементы среды имеют заряд и массу. Получены результаты аналогичные результатам из §1-4 главы 1. Если рассматривается

б

вещество с соотношением заряда к массе а>а„, где а„ = —, v„ =-, £ -

4якж 5

гравитационная постоянная Ньютона, то получаем задачу с электрическим взаимодействием, рассмотренную в § 1-2 главы 1. В такой ситуации действие отталкивающей силы Кулона превышает силу Ньютоновского гравитационного притяжения. В случае, когда а < аа получаем задачу с гравитационным взаимодействием рассмотренную в § 3-4 главы 1. Если величина а = а0 получаем состояние равновесия системы.

В Главе 2 для проблемы анализа эффекта пространственного заряда пучка предложены постановки начально-краевых задач в рамках гидродинамического приближения [64-66]. В § 1 главы 2 для случая сферически симметричной функции распределения плотности заряда сформулирована начально-краевая задача относительно вектора электрического поля D, и векторного поля скоростей v. Для предложенной постановки задачи найден вид решения в виде ряда, коэффициенты которого выражаются через начальные условия. Таким образом, для заданного начального распределения плотности частиц находится решение предложенной начально-краевой задачи, описывающей эволюцию функции распределения плотности заряда от времени.

Для численного решения начально-краевой задачи в §2 главы 2 предложена разностная схема, основанная на разложении решения в ряд. Проведены сравнения точных аналитических решений из главы 1 с численными решениями начально-краевой задачи и методом «частица на частицу» (РР: Particle to Particle). Получено хорошее соответствие точного и численного решения. Рассмотрены разностные схемы с первым и вторым порядком аппроксимации по времени произведено их сравнение.

Для общего случая произвольного распределения функции плотности заряда в § 3 главы 2 предложена начально-краевая задача относительно функции плотности заряда р и векторного поля скоростей v. Найден формальный вид решения в виде ряда. При этом коэффициенты ряда выражаются через производные по координатам от начальных условий ра и v0, а также через производные по времени от электрического потенциала и0.

Для численного решения начально-краевой задачи относительно р и v в §4 главе 2 построена разностная схема и рассмотрена ее устойчивость в случае

инжекционного канала. Рассмотрено два случая, соответствующих различным значениям числа С (число Куранта - Фридриха - Леви). Так при С >1 в наблюдается накопление погрешности, которое, в конечном счете, приводит к неустойчивости в виде быстро осциллирующей функции. В случае, когда число С <1 наблюдается устойчивость численного алгоритма.

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. Методом характеристик получено точное аналитическое решение для эволюции плотности заряда частиц р(г,1) для сферической и цилиндрической области в виде бесконечного цилиндра.

2. Методом характеристик получено точное аналитическое решение для эволюции плотности массы частиц р(г,г) для сферической и цилиндрической области в виде бесконечного цилиндра.

3. Показано существование решений в виде ударной волны для задач эволюции плотности заряда р(г,г) в сферической области и цилиндрической области.

4. Показано существование решений в виде ударной волны для задач эволюции плотности массы р(г,г) в сферической области и цилиндрической области.

5. Предложена постановка начально-краевой задачи относительно вектора электрического поля 5 и скорости у в гидродинамическом приближении для описания эффекта пространственного заряда ( 5 V - задача)

6. Произведено сравнение точных и численных решений (В у - задачи), которое показывает хорошее совпадение теоретических и численных результатов.

7. Предложена постановка начально-краевой задачи относительно вектора функции плотности р(г,г) и скорости V в гидродинамическом приближении для описания эффекта пространственного заряда ( р V - задача)

8. Произведён численный расчёт р у - задачи, который сравнён с полученными точными аналитическими решениями. Получено хорошее совпадение.

Список пу бликаций автора по теме диссертации

1. Е.Е. Перепёлкин, Н.П. Репникова, Н.Г. Иноземцева, Точные решения для задач многих взаимодействующих частиц, LAP LAMBERT Academic Publishing Германия, 2015, ISBN 978-3-659-70859-6,134 с.

2. E. E. Perepelkin, N. G. Inozemtseva, N. P. Repnikova, M. B. Sadovnikova, The hydrodynamic approach to the space charge problem modeling, Moscow University Physics Bulletin 6 (2014), pp. 53-56

3. Перепёлкин E.E., Питерский A.H., Репникова Н.П., Точные решения нелинейного уравнения дивергентного типа, LAP Lambert Academic Publishing, Germany, 2014, 104 с.

4. Н.Г. Иноземцева, Н.П. Репникова, Гидродинамическое приближение задачи пространственного заряда в терминах функции плотности заряда р и поля скоростей v , ВМУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2015, №2 с.15-18

5. Е.Е. Перепёлкин, Н.П. Репникова, Н.Г. Иноземцева, Точное решение задачи пространственного заряда для движения сферически симметричного пучка в однородном электрическом поле. «Математические заметки», 2015, т.98, вып.З, с. 386-392

6. Perepelkin Е.Е., Sadovnikov B.I., Repnikova N.P., Inozemtseva N.G., The hydrodynamic approach to the space charge problem modeling, IEEE Explorer, DOI 10.1109/BD0.2014.6890063

7. Perepelkin, E.E., Sadovnikov B.I., Repnikova N.P., Inozemtseva N.G., The exact solutions of the nonlinear space charge problem, IEEE Explorer, DOI 10.1109/BD0.2014.6890066

8. E.E. Perepelkin, N.G. Inozemtseva, N.P. Repnikova, pv-boundary value problem like the hydrodynamic approach to the space charge problem modeling, MKO-2015, c.145

Цитируемая литература

1. Н.Н. Боголюбов, Избранные труды по статистической физике. Издательство Московского университета, 1979

2. Н.Н. Боголюбов (мл.), Б.И. Садовников, Некоторые вопросы статистической механики. Москва, «Высшая школа», 1975.

3. Е.Е. Перепёлкин, Аналитическая модель краевого поля инфлектора в циклотроне, журнал «Математическое моделирование», N3, 2012

4. Zhidkov Е.Р., Perepelkin Е.Е. An analytical approach for quasi-linear equation in secondary order. CMAM, vol 1(2001), No.3 pp. 285-297.

Подписано к печати 25.06. 2015 г.

Тираж 30 экз. Заказ № 69 Отпечатано в отделе оперативной печати Физического факультета МГУ