Некоторые уточнения центральной граничной теоремы для цепей Маркова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

КШВСЬКиЙ УН1ВЕРСИТЕТ IM. ТАРАСА ШЕБЧЕНКА

ДЕЯК1 УТОЧНЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНО! ГРАНИЧНОÏ ТЕОРЕМИ ДЛЯ ЛАНЦЮГ1В МАРКОВА

01.01.05. - теор!я ймов!рностей та математична статистика

автореферат

дисертацП на здобуття вченого ступени кандидата ф1зико-математичних наук

На правах рукотшсу

УДК 519.21

КиТв - 1994

Робота Еиконана на кафедр1 теорП ймов!рностей та иатема-тично! статистики механ1ко-математичного факультету КиТвського ун1верситету 1м. Тараса Шевченка.

Науковий кер!вник - доктор ф1зико-математичних наук, професор КАРТАШОВ М. В.

0ф1ц1йн1 опоненти - доктор ф1зико-математичних наук, професор А Н I С I М О В В. В.

кандидат ф1зико-математичних наук, козаровицький е. л.

Пров1дна установа - Льв1вський державний ун1верситет

1м. 1вана Франка

Захист дисертацИ в1дбудеться % " Ы^^ИЛ 199^. о ^ У год. на зас!данн! спец1ал1зовано! ради ¡С О/. &Ы! у КМвському ун1верситет! 1м. Тараса Шевченка за адресою: 252127, ки1в-127, пр. акад. Глушкова, 6, корпус механ!ко-ма-тематичного факультету, ауд. 42.

3 дисертац1ею ыожна ознайомитись у С10л1отец1 КиТвського ун1верейтету.

Автореферат роз!слано М^ОРТМго 1995р.

Бчений секретар л спец1ал!зованоТ ради ^(¡^ КУРЧЕНКО 0.0.

4-.nl -Т-ги. ги.V1 х. но 1 х ^и.

АктуальШсть теки. Проблеми перенесения класп'пш: результат ¡в теор!У ймов!рностей нз модель данцюга Маркова знаходяться е пол! зору досл1дник1в з початку нашого сто-л!ття, але не е ос-таточно вир1щеними 1 до цього часу.

В данШ дисертац!йн1й робот! розглядаеться гранична повед1кка суш ( ^^/(г^))//"! на однор!дному ланцюз! Маркова Х={хг, 1;>о} з дискретним часом 4=1,2,... 1 зл!ченним фазовим простором.

Досл1дкення ц!е! проОлеш проводились Б. I .Рсмановськш, А.Н.Колмогорова'., В.Дьобл1ном, С.Х.СиравдиноЕШ, С.В.Кагаевим, Ш.К.ФорманоЕКИ, Б.А.Л1фшкцен, С.Н.ьеркитейном, Ю.З.Л1нником, Н.А.СапогоЕКМ, Т.А.Сарилсаковим, з п!зн1ше В.В.Ан!с!мовнм, П.Гудинасом, В.М.Шуренковим, В.К.Мзленобськем.

Ними оуло ЕстаноЕлено не т!льки факт з31жкост1 нормовако! суми до нормального розпод!лу, але й знайдено порядок оц!нок

ШЕИДКОСТ1 3015ност1.

Але зазначимо, що наявн! на дан® час результата стосовко швидкост! з01жност! маять переважно як!сний характер остановлено лиге порядок ! в!дсутн! яен! ошнки).

Мета роРот. основной метою проведения досл!дкекь е уточнения облает! застссовност1 цтт та ЕКЕчення ееидкост! з01кност!.

Наукова ноеизнз. У дисертац1йн!й рооот!: - рогрослено новей метод доведения центрально! гранично!

- г -

теореми для ланцюг1в Маркова.

- знайдено яен! оц1нки швидкоет! зб!жност! в цгт для р!вном1рно ергодичшх ланцюг!в, виражен! в терм1нах норми оператора узагальненого потэнд1алу ланцюга.

- знайдено явн! оц!нки шввдкост! зб1жност! в цгт для однор!дних ланцюг!в.

Теоретична та практична ц!нн!сть. Отриман! результата

мозкнуть бути застосован! в теорП ланцюг!в Маркова. Дисертац1я

*

вкконана у в!дпов1дкост1 з планом наукових досл!джень кафедри теорН ймоЫрностей та математичноТ статистики КиТеського ун!версктету за темою "Розробка метод!в розв"язання проблем статистики Еипадкових процес!в 1 пол1в" (номер деркаЕНоГ реестрацп 1860089770).

Адробац!я роботи. Основк! результат дксертац1йноТ робэти були викладен! й обговорен!

- на М1шародн!й конференцП, присвячен!й пам"ят! академ!ка М.П.Кравчука (22-28 вересня 1992р.), КиТв-Луцьк, 1982, с.123.

- на ХХХУШ науков1й конференцП професорсько-викладацъкого склад}' Луцького державного педагог1чного Шституту 1м. Лес! УкраТнки, Луцьк, 1992.

- на VI-1й Шшародн1й конференцП з теорП ймов!рносте! та математичноТ статистики, м.В1льнюс, 28 черЕНЯ-3 липня 19ЭЗ р.--на III Донецьк1й М!кнародн1й конференцП "Ймов1рн1сн! моде л! процес!в в управл'кн! та над!йност1", м.Мар'уполь, 6-11 вересня 1993 р.

- на хь науковоУ конференцП професорсько-вккладацького складу 1 студент!в Волкнсъкого деркавного ун1версктету, Луцьк, 1994.

Публ1кац1Т. Зм1ст дисертацП в!добракено в трьох публ1ка-ц!ях, список яких наведено в к1нц! автореферату.

Структура та об"ем роботи. Дисертац!я складаеться з! вступу, двох розд!л!в та списку л1тератури, яккй м1стить 40 найменувань. Дисертац1я викладэна на 68 стор!нках машинописного тексту.

Автор Еиражае вдячн1сть своему пауковому кер!внику за допомогу та пост!йну увагу до ц1е! роботи.

короткий зм1ст роботи

У вступ! дана загальна характеристика роботи: обгрунтова-н! актуальн!сть теми, кета, теоретичне значения проведеких до-сл!даень, викладен! основн! положения дисертацП.

У перному роздШ розглядаеться цгт для р!внсм1рно ерго-дичних ланцюг1в.

В § 1.1 наводяться деяк! допом1кн! дан! з теорП потенц1алу ланцюг1в Маркова.

§ 1.2 м!стить цгт для вкладку р1вном!рно ергодичного ланцюга 1 задано" на нъому обмежено! функцП.

Нехай (Е,5) - вим1ркий прост!р. х = - однор!дний

ланцюг Маркова з! значениями в простор!(3,ъ) з дискретким часом t=1>2,... та перех!дним ядром р(х,а), хеЕ, а«. ь» -прост5р сбиежених г-вкм1рких функц1й на Е з нормою 5/й=гир!/(х)|. ш5 - прост!р ск!нченних м1р на г. Кехай га с тз -

банах!в п1дпрост!р.

Позначимо через р*(2,а) ймов1рн!сть переходу ланцюга х за t крок!в. Ядро р* е ь-кратною стбп!нню Р.

Позначимо р(1;)= 1Г1 25=о рЕЗ' де р(°)= р°= 1 ~ °даничнкй оператор в те.

Означенна I. Ланцюг х р1вном1рно ергодичний по в!дно-

шенню до норми якщо знайдетъся стохастичне ядро п таке,

що ЦР^-п| — о при 1;— • в 1ндукован1й операторн1й норм!.

Означенна 2. Нехай ? - стохастичне ядро на (Е,г). Стац1онарнкм проектором ? назвемо стохастичне ядро п таке, що

о

п*= п = рп = пр 1 з м®, сл!дуе, що р=яЛ.

Зауьакимо, що, ящо ? мае едину 1нвар1антну м!ру », то р мае стац!онарний проектор виду п= 1«т (т.т. п(х,А)= я (А), &-Е, А<Я).

Означення з. Нехай ядро Р мае стац!онарний проектор п. Шра м-ж е значениям м=ыК узагалъненого потенц!алу к ланцю-га х, якщо м в розв"язком системи

я(Г-Р) = -п), нП-0

Заувазкимо, що р!Бном1рна ергодичн1сть марк!вського ланцю-га р1БШсильна обмекеност! оператора узагалъненого потенЩалу.

Теорема 1.1

Припустимо, що виконуються уыови:

1. Ланцюг х р!ьном1рно ергодичний.

2. Функц1я { обмежена I задовольняе умову

((Зх)/ (г)=0.

е

Тод! при дов!льному початковому розподШ V /(х,,)

УТ? ^ к

слабо зб1гаеться до нормального П(о,с' ) розпод!лу, де

При . доведенн! теореми 1.1 використано метода пол!ном1ального наближення дШсних функцШ.

Серед викориетовуваних лем варто зазначити лему 1.1, в як!й пропонуеться представления для резольвента характеристичного ядра:

Лема 1.1.

• Для о ! и < 1 оператор I - иР 'мае обмежений обернений,

причому виконуеться р1вн!стъ:

, пт-ктбпт

(Г-Цр)"1 = НС + ..да ,

де в = Р - иР.

Тут т = (i + вю-1, а оператор р вкзначаеться як

Р(х,А) = |?(х,с1у)е2р[ех/(у)/ук] , 2КЕ, АеЗ, /ев.

Насл1док.

,, _ 1 - КГВ1

(i - x, р) 1 =--(1.10)

гттв1

Явн! 0Ц1НКИ ШБКДК0СТ1 зб!жност! в цгт м!стяться в §1.3: Теорема 1.2.

Нехай виконуються умови теореми I.I. Тод!

eu.p |?N(z) - 55(Z) | = 0((1п Ы)"1/32) дв ïK(a) = /(XjJ/Vïï < aj, 5i(z) - функц!я розпод!лу

N(0,а2).

В II роздШ розглядаються загальн! однор1дн! ланцюги Маркова, як! не оСов"язково е р1вном!рно ергсдичними. Так! ланцюги вивчались за умови зворотност! за Харисом (Малиновсь-кий В.К.), або ж при екв1валентних умовах (Нагаев C.B., Л!фаиц Б.А., Гуданас П.).

Вазначимо, що обмеження накладаються автора!®, як правило, на ланцюг ! функц!ю окремо. В дан!й робот! застосовн!сть цгт пов"язуеться не з властивостями окремо розглядуваних ланцюга та функцП, а з комО!нац!ею ланцюга та функц!!. Умовою, цо стосуеться т!льки ланцвга, е 1снування единоТ 1нвар1актноТ м1-ри ланцюга. Суттевою е умова, яка пов"язуе оператор узагальне-ного потенц!алу R I розглядувану на ланцюгу функц!ю /.

Заувакимо, що , хоча доведення цгт цроведене (теорема 2.1) в простор! обмекених функц!й, та виб!р метркчного простору для д&ного методу не прквдиповий. Аналог1чне доведення Суде мати м!сце в будъ-якому простор!, де Ц Р | < • •

В § 2.1. м1ститься центральна гранична теорема.

Творена 2.1

Нехай 1снуе едина 1нвар1антна м!ра т ланцюга х. Для функц!! / ьиконуються умови: / - обмекена; я/ = о.

Такок виконуються умови для узагальненого потенц1алу н та функцП /:

К/ - обмекена функц!я;

|й(1 + и/ - ехр({£/))! = 0(*=2);

11(1 - вхр(и/)№| < ».

Тод! при доб 1 льному початково?/у розпод1л1 £ /О^)

к=1

слабо зб!гаеться до нормального и(о,с' ) розпод!лу, де

с' = .

Останн! три умови поеднують в соб! властивост! ланцюга 1 задано! на ньому Функц!Т.

Кк 1 у Бипадку р!вном1рно ергодичних ланцюПв, при виконанн! вказаних умов отримано представления характеристичного ядра ¡Р:

Лема 2.2 В умовах теореми 2.1 оператор (1-и!Р)~1 (о.'им) 1снуе 1

(1-игр)~11 =

= (1+0(^//И))/(1-и + х2*2/(2Н) + 0(х/(Н/1?) + 0((1-и)х/У~Ю)

В §2.2 отримано оц!нку:

Теорема 2.2.

Нехай виконуються умови теорвми 2.1. Тод!

вир |Р„(и) - л<2)| = 0((1П К)"1/32) ъ

де = /(гк)/у"к <г], 31(2) - функЩя розпод!лу

ЖО,»2).

Основя! результат дисертац!Г опубл1коваи1 в застуттх

роботах:

1. Мамчич Т.I. Про одне уточнения центрально! гранично! теоре ми для сум на ланцюз! Маркова // В1сник КиТвського ун1 вереи тету. Ф!з.- мат. науки. 1992. Вил.7, с.85-90.

2. Мамчич Т.К. Операторный метод доказательства центрально предельной теоремы для сумм на цепях Маркова , К., 1991, 17 Деп. в УкрШЖГИ 16.05.91, Л 701.

3. Мамчич Т.I. До питания сумування на ланцюз! Маркова // Во-линський державний ун!верситет !м. Лес! УкраТнки. Матер1али хь науковоТ конференцП професорсько-викладацького складу 1 студент!в ун!верситету (сер!я математична), Луцьк, 1994, с.29 -

У.амчич Т.Н.

Некоторые уточнения центральной предельной теорем для цепей Маркова, рукопись. .Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05. - теория вероятностей и математическая статистика. Киевский университет им. Тараса Шевченко, Киев, I£>d4. Б диссертации предложен ноеый метод доказательства ц.п.т. для однородных цепей Маркова. Получены в явном еидэ оценки' скорости" сходимости, выраженные в терминах обобщенного потенциала цепи.

let¿ana I.Marachycii

The Some P.efinemsnts of The Central Liir.it Theorem for Markov chains. Manuscript. Thesis for a degree o-f Candidate of Science (Ph.D.J in Physics and Mathematics, speciality 01.01.05. - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kiev Saras Shevchenioo University, F.i-v, 1924. The thesis proposes a new method of proving the c.l.t. for the homo gene с us ifarkov chains. There liave been obtained explicitly the estimates of speed of convergence., expressed in terns of the generalised potential of the chain.

клк'чоб! слова

ланцвг Маркова, центральна гранична теорема,

узагальнений потенц!ал