Некоторые вопросы аппроксимации функциями типа Миттаг-Леффлера в весовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

г

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.53

ГРИГОРЯН НАТАШ ВАГАМАКОЕКА

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЯМИ ТИПА МИТТАГ-ЛЕМДЕРА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1994

Работа выполнена в Ереванском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научные руководители : академик АН Республики Армения

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

Защита диссертации состоится " 2Ц " дн (Ц->_9 1992г. в IS час на заседании специализированного совета К 055.01.12 прн Ереванском государственном университете по адресу: 375049в Ереван-49, Мравяна 1. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

профессор Дкрбашян М.М., кандидат физико-математических наук0 старший научный сотрудник Мартиросян В.М.

профессор Захарян B.C.

кандидат физико-математических наук

доцент Хачатрян И.О.

Автореферат разослан

Ученый секрета^ специализированного

V.; V./' -3-

^'рт^ц^ I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Вопроса?« полноты - замкнутости различных семейств аналитических функций в различная метриках аппроксимации,, начиная с классической теоремы Вейерзтрэсса с приближении обычными или тригонометрическим поликсмаки» за ряд проведших десятилетий было посвящено огромное количество глубоких исследований. Однако представляет тоже особый интерес другой: аспект проблем аппроксимации,, связекетй з заведомо неполными з выбранной метрике сзмейстзамн этом случае возникает вопрос о возможно полком кшзлеззк сп6ни®ичвских свойств функций, входящих з линэйнуя оболсчусу неполного з выбранной метрике семейства функций.

Цель диссертационной работы. Данная работа посвящена ксслэ-дованкч указанных вопросов для оярздзлзгспсг. сегайств фуякцяй типа Мпттог-Леффлера, обобщавдих тригонокетрическуа систему.

Методика исследования. В диссертационной работе используются методы теории функция комплексного перемзчного.

Научная новизна.Теоретическая и прдкт1г;сская,цзш1сстьа Все оскоише результаты диссертации являются исзь'.ми ж обобтс"?? некоторое' хорошо известные теорзмы теории аштроксш^зц"";.

Результаты диссертации носят теоретический характер л могут быть использованы при исследовании вопроса" полноты и представления функций рядами.

Апробация работа и публикации. Результаты дассартедак докладывались на сеикнарах отдела теории фукяцй! ^ждекскогз переменного в Институте математики АН РэспуОлкзи Армевпя и секинзрс кафедры теории опттаального управления р пркйщш^етх методов ЕГУ.

Осноъкоо содаркение диссертации спуогиковане в четт;рзт. работвх, стгсск которых приводите;: з *со:-:це р.:.берета.

состоит кд

5 пер?гр:'фсвя списка /гтарг, ,рн и на 103 «гтргггцдх

кшиопштаго текста» «язяюгряую содсгтчт м таадхяп&хл.

Крат—".': ос'г.ор кзьзсг!1чт р-гулугатоь.Д.'Н ио.. 23 по-гтагс

иог.схг-'п актуальное::,: ^гсг^з^Пл'.-'ьх сг^от ос*?г

•/орчх гселздовг'таз^ тепосл ^пс-лго^-о сгзязе.г,:-гг .V] гс-~1

... 1-г а*-•'

(а) Обобщавший теорему Шонца известный критерий Caca а .

(1916) полноты системы {t (Re^>- в La(0,1) путем за-

мвны переменной t=e~2 можно сформулировать следующим образом

V х

Теорема 1 (Сас (1916)). Для полноты системы {е (Re \> О a \ при k^ k2) в Ьг(0,+<») необходимо и достагоч-

I 2

но условие

Е(1 + 1Л!11г)~1Ее\ = -ко. (1)

к=1

В цикле исследований М.М.Джрбешяна, подытоженных в его иоЕОграЗии" „ на , основании замечательных асимптотических свойств целых функций типа Миттаг-Леффлвра:

zn

En(Z„H)= У -— , Р21/2, ро. (2)

р néi г(ц+пр ')

была построена завершенная теория' гармонического анализа для

произвольной конечной системы лучей, исходящих из точки ^=0

комплексной плоскости с, аналогичная классической теории Фурье-

Кланшереля в пространстве Ьг(-оо,+оо).На базе этой теории, в

частности, было установлено следующее существенное обобщение

теоремы 1 Caca.

Теорема 2 (М. М. Джрбашян(1974)). Пусть 1 1+йнр

¿<а<+со , 1 + 1 = 2, -1<и<1, м- = —грГ (3)

Пусть

{Лк}~ с ца) = {z е с: largzK 0 < Izl < +«> }, (4)

а ок- кратность появления числа Як на отрезке { Л.}^ Тогда для полноты системы функций типа Миттаг-Леффлера

(5)

(Ер <Л*. V х }1

в пространстве L¡t(xu'dx; (0,+»)) необходимо и достаточно условие

Е (1 + 1\12а Г1 Re +<» (6)

k=i

1>Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., " Наука " , 1966.

Заметим, что Ep(z„n) является целой функцией порядка р и типа 1 при любом значении параметра ц,а в случае p=u=1 2t(z;f)= = exp(z). Поэтому в теорема 2 содержится следующее обобщение теоремы 1 Caca.

Ч • Г -V 8 -',N<3

Следствие 1. Для полноты системы <е .i I (Пе\>0) в пространстве L (0;+«>) необходимо и достаточно условие

00 О 1 1

Е (1 + I\I2) Re \ = +00 = (7)

К=1

В двадцатые годы известный венгерский математик Сэге (1921) доказал одну замечательную теорему, влияние которой ка дальнейшие глубокие исследования в комплексно:.? анализ 0 з . теории приближений к в теории вероятностей трудно переоценка. . Теорема Сэге гласит.

Теорема -3 (Сеге(1921)).Пусть (-xstsrc), w(t)«L(-í5,fC).

причем

а

Jw(t) dt > 0.

-1С

Тогда ДЛЯ любого р е (Ое+оо)

%

lim min Г I e!°l+aei"'"t+...+a lp dt = G(t),

{ак} -тс 1

где ' '

Т

[езр(,Д Jlnví(t)dt)0 с еда

[ О, если lR?(t).«L{-Ttíc)

-среднее геометрическое функции í?(t)„

В качестве одного из векнойягах схэ.тствяЯ из этой тастна вытекает» в честности» вратаре полнот» систеш футпцкб {e'^'j" в пространство Lp (r(t;it; [-c0-*¡) (pit К Этот кргош^ Слз сатои сбсйдзя на классы L^(do(t); í-rr.-x)) (pal), гдз oC;.i- .„.-г^зег^зя на l-r.,%] (¡цахжп orpa-.sr-,'e.--.!cS «wtsucu Од Фйря'^щ-узжх 2f«s?s образом;

Геотека * (Сего г у Егоров „• !«,Г.1Соо;:,>г). Дая зг^-лзугсз-

rs Е L?(új(t);f-~.a]) (oil) CS3T0--.? íysors гзобюй?»

п лостатотсо, sTrfi

рде o'(t)- производная абсолютно непрерывной части функции o(t). Дальнейшее развитие этого обобщения теоремы Сеге было достигнуто Ы.Г.Крейном (1S45) (пра р=2), а затем Н.М.Ахиезерсм "(при любом psi). Была установлена следующая теорема.

Теорема 5 (М.Г.Крейн, Н.И.Ахиезер). Для замкнутости семейства функций {e*at} (Оах<+«>) в классе Lp (do(t) ;(-»„+«>) ) необходимо и достаточно, чтобы неубывающая на (-<»,+оо) функция о('£) ограниченной вариации удовлетворяла условию

(б) По-видимому„ первыми работами в направлении решения задачи выявления специфических свойств функций» принадлежащих зшкёниям неполных систем, связанных с классической теоремой Нкыца0 явились небольшак заметка Кларксона и Эрдеша (1943) и опубликованное почти одновременно с ней более общее и глубокое исследование Шварца!'

-А. X

Очевидно, что если ряд (1) сходится, го система {е }t порождает определенное собственное подпространство в Ъг(0,+®). Ошсанш этого подпространства в случае, когда Хк вещественны, дано Шварцем31 и А.Ф.Леонтьевым (1950), а свойства этого подпространства в зависимости от последовательности изучены в работах Нусиса (1957) и Лакса (1957). Один из основных результатов Шварца заключается в следующем.

Теорема 6 (Шварц(1943)).Если £ 1/Л^+оо и q > 0, то

L (0,+00) (isp<+oo), обладает следующими свойствами:

1)Существует функция F(z), аналитическая при Res > О, которая совпадает п.в. на (0,+°°) с функцией F(х). 2 Справедливо разложение

со -А. х FJz) = z ске

00

кавдая функция F(x), принадлежащая замыканию системы {е в

2,Akhelezer N.U. Theory of Approximation. Un^ar, Ncw-ïork(l956). 3>Schwarts L. Edute des somms d'exponentelles, 1 -ere ed., Paris, Hermann, 1943 ,2-ere ed., Strasburg, 1959.

нормально сходящееся з квкдсЗМтлгдаш^ййтаШ: Z■ 2 е > 0„ 3) Имеют место нэраввнстш:-

е 1 l?(2)! * е №ф<в •

s. р '

М.М.Дкрбаашн (1931) стоэотввшю.обоййшзг?; asojsvq? к усгако-

вил следующий результат.-.

Теорема 7 (М.М.Дкрбаяшд 90V) ) »._Пгрз:Ь; нрз Besoiopra а

(О s а < 1 ) кослэдсватзлвкссть-; ^удокктаорябс ХШ»2КЯг«

со.

larg А. ! <{ш)/г, Е 1/1^1. <

Тогда __ _

1) Кандоя функция î(x), щжпедлзкезея sfaoe-se™-?т>

С -Kz S.-1.SO

сисгеш <6 " z J- з Lj(Oi+n-)i псс.-та.жзазЕЭ^я ®э gsaçssdl

на мкокэстзэ • нулевой кэш., допускает: з- проуслх'эгг-г.е з

угловую область ¡arj з.!- <•:. (:У?.)(•;••<).., г?":;;.«

■fror. " '

SUD Î (&ris,<tf ОЖ-ъ),

KpKOx/SKi-cg '^-g. -Ь

2) Класс }; соЕ.~ада1}тг с-Г(в). голоморфных з угловой области larg si. <(т:-/2 ;■(.'•-<?,>

там в качестве сумма ряда

со"

Ш) = s 0 7 (a), I<

х = г

где {с,некоторая последовательность :-'сутт'жсг&х числа,

со

подчикбнкая дгавь условия sic(.l,< ,, г {¡Тк'ДГ', -

Ъ = 1 14

т -/4.2. S^—

лпзацяя система -';с. " д ~ 3 s 7,„(<?-. -«й^

3) Каждая 2(3.) S&^fe зг^сзггпЕЗД образен раз,пзгзстс^ s 5яд

ш> = s егхь, m

ебсоелго s ъ^зс.'Згео сходос&сч -з л"!'.:? ;т.-:эгой езетеш (0) = {/л largzl s z(1 -а)/Ла 3 л is! «

з

; C j с. а < à г. о. <t г> ; •> -.-.» j „ 4-Еата 0 s Л < niiit «iat'-'ic^"---?.^!/ic-^CTts^n^r

so сущэогвувт постоянная С(А„а14<3)8 зависящая только от К, е., б е от последовательности tx }as такая5 что

со со

li(z) - £ cji)7,(a)! s 0(-\,a,,S) { r 1/l\i }1/2e"?a,

1 .5 21 < -К» „ Z = X-t-ly e Ka(6).

Таким образом„ отрезки ряда (8) равномерно аппроксимируют функция Uz] на каздом угловом секторе Кд(б) с касанием порядка e_/U в бесконечности. '

Не останавливаясь на подробностях, отметим, что М. М. ДШ5оякогл(1931, 188i) были установлены также другие результаты в аетл направлении к далеко идущие обобщения теоремы 6 Шварца, при stom отличными от примененных Шварцом метода;,ж.

Для неполных систем функций типа Миттаг-Леффлера С. А. Акопян и И. 0„ Хачатрян (1976) установили следующий результат.

Теорема 8 (С.А'.Акопян,И.0.Хачатрян(197б)). Пусть =

с4ф) ( р > a ) и l\„J / IA.J > q > 1. Тогда справедливы следующие утверждения :

1)Любая функция Г (х)„ принадлежащая замыканию системы (5) допускает аналитическое продолжение в угловую область Д(зе), где (1 /а) = (1/р)+(1/эе), и .кроме того ,

•+СО

sup { J I Кге1"®) I гг0,аг 1 < + oo. 191 <%/ (£ss) о

2)Справедливо разложение

со

i(z) = Е а^Е (-Л. z, |Х), s g Д(зе),

равномерно и абсолютно сходящееся в области Д(эе)\(1г1 < е) ( а > 00 аг ).

(г) Следует отметить, что в упомянутых выше работах Кларксона, Эрдеша и Шварца не была исчерпана проблема полной внутренней характеристики замыканий линейных оболочек рассматриваемых неполных систем функций -je ( О ). М. М.

Дйрбаиян (1961,1981) выявил полную внутреннюю характеристику f -х.х s - К со

замыкания системы |е х J (Be Ак> 0) в случае ее неполноты в Lt(0, +со).с этой целью им был введен класс Н* {1^,}. определяемый следующим образом : если ряд (7) сходится, то

н: - это множество функций f(а), удоаязгзсрявдас сдадзпс-

13КУ1 условиям :

1) г(а) - 1+(3) е Н* „ In 2 > О,

2о X(z) з Г_(п) = i%(2)B(z)„ la а < Ос « Г,

3)почти для зсзк х « (-«>г -'-») существуя? И P33HS Пр3.г.9Л1:

iin iy) -3 л. с:;- - IIE zu+iyh

V ->4-0 у- > -С

Здесь B(z) -сходящееся произведена Зляшхв :

a s - 1\ И - ЯС1 '

B(z) --= р. -= -Т ,

^ = 1 s + 1 - лх

s (z) в н" , ведя голоморфна соогезтотрзяко зря:

* 1т,z > 0 и удовлетворяет уело;;:® +00

SUp \ П?+(2±1у) ^ < + 50 е У >"0 " 4 J

J —со

Теорема 9 (М.М.1йтоб8аяи(1561 )).3сж (?) аюзпея, "го

■|з т. " ¡» (Re.\|l> О) з (Ос -к») сов—

зечзкгаке системы -|з z

падает с кеоизством фушгакй f (х)р предстезр>ж: з в*т 1 J~-*

•t(2) - . j (Г/)бУг 0 < Ж < *».

(2-л) ".j.

где л'CTv) а -а-;7?,гггл Г.-. (G,

С.,-.оЛкопе-j х И.О.Хзчетря-: (>'S73: сбоС.т,:,T-'I 3IGT ^ЗУу^Ь^г?5 Ч.Н,.йфОа-",с;нэ п дали ¿"ояну.'о ыгутрешю^ ¡¡агезйног облзувзд счстгин (5) з ь {О, -:■»)),. С1, eve»

от ввз.'с: простргкство HT^iACpL РО^Ь пшяпзэся o-'cdxrr^rsM ггссстаанстве к сгоэгчпя^.-ое згедугг^у. ой^'-с5;»

Если ряд (6) сгодится, те 3/'[4{р), >\}"3 - Я-JO 1РЗГr^gfJi-ствс с гордой !•; ел (о)'. ?(z), г.

А(р) u i"(p) \ (хте Л*(р) -- с n ь я яшятоезяж*

едэдчтгг-г: , с.,"с~ттрм ;

IVia) • [о, ? ••

г; - ^ , 7~0

и* - ,: - :

-103) угловые граничные значения функции F(z) слева и справа от контура сД(р) почти всюду совпадают.

При 8Т0М Нг[р„ но] - это введенное М.М.Джрбаияном (1952) пространство $yiEciótíí,íta).-аналитических в угловой области Д(р) и удовлетворяющие уюншаю

"F S А(р)п .,= isim if if ll{reW)lVudrl1/2< +«>.

Теперь результат CJA.S4Kfflmra -r И.О.Хачатряна можно сформулировать, следующим оброзом.

Теорема 10 ( С.А.Акопян, И.О.Хачатрян (1976)). Пусть выполнены условия (3)„(4) и ряд (6) сходится. Тогда замыкание, линейной оболочки системы (5) в Ь2(хшйх; (08 +<»)) совпадает с множеством функций 1(х)„ допускающих представление вида

. Р. Р(1-Ц) 5РХР р(1-ц)

Их) = 1Л.т —х / е í (10)

О -> +00 2*1 Lp(o)

(Lp(o)- это часть контура Lp = <ЭД(р), лежащая в круге l£l ¿о, а интеграл сходится в метрике Ьа(хш&х ; (0, +«))), где F(|) е

в Н^[А(р) о

(д) В связи с теоремой 5 Крейна-Ахиезера в работе Левинсона и Маккина (1964) была дана характеристика замыкания линейной оболочки семейства {е1шс} (0 s u < +<») в Ьг(<р(х)йх ; (-а>, +со)) в случае ее неполноты, т. е. при условии +03 I In cp(t)l

Г - dt < + со. (10)

I 1 + t*

Чтобы сформулировать их результат, обозначим через u(z)

гармоническую в верхней полуплоскости функцию

у +to in cp(t) u(z) = — J -г-^ at,

а через v(z) - сопряженную гармоническую, и полоким

w(z) = exp{u(2) + lv(s)} Теорема 11 (Левинс-он, Мактт( 1964)). При условии (11) замыкание

линейной оболочки семейства {elulc} (u¿0) с Lt(cp(t)dt ;(-<*>,+<*>)) совпадает с множеством функций, •удовлетворяющих условию

На) w(z) е н.;.

-ll-

Ce) Пусть 1/2 < p < +co и на общей границе Ър областей

А(р) ж Д*(р) = с\ ЗТр) определена вещественная измеримая

функция со(t)„ удовлетворяющая условиям

Ф('с) s I, î s L, lira co(t) = +».

^ Ii ¡->W

Пусть Сф(Ьр) - множество непрерывных на Lp функций ï(t)D для которых

lire ri(t)/cp(t)] = 0.

I tl ->+oo

Если норму элемента f e C^CLp) определить равенством «Г» ='sup {lîCt)IAp(t)}»

t - Ьр

тс Сф(Ьр) будет нормированным пространством.

Из асимптотических свойств функций ЗрСа» ц) :

Е (а. и) = 0(l/z), I arg zi s тс/(2p)„ ¡а!->+с=„

Ер(г, (J.) = Od/z), i arg zl > тс/(2p), Izi -> +co0 (12)

в частности следует, что при ц г 1

sup IE (z, (X)i < -но.

ts v

В работе И.О.Хачатряна (1975) были исследованы дза вопросам 1 ) для каюк пространств 0^(1 ) семейство целых фушецкй

{Ep(u£, |Л)} (и 2 0) ; ц s I, (13).

(ц - фиксированно ) замкнуто в C^CLp)?

2) если семейство (13) не замкнуто в С^(Ьр), то некие функции из С (Lp) все же допускают аппроксимация линейными комбинациями функций семейства (13)?

Интересующая задача аналогична известной проблеме СоН. Бернштейна о весовом приближении непрерывных функций полиномами на вещественной оси и обобщениями этой проблемы на случай приближения в комплексной области.

В 1956 году Б.Я.Левин показал*1, что метода С.Н.Мергеляна решения проблемы G.н.Бернштейна о приближении непрерывных функций многочленами на вещественной оси могут быть применены для

'Результата Б.Я.Лесина, приведенные в его спецкурсе, прочитанном в î.'1'У, не опубликованы. Определение Ф-пространств и одн'1 теорема о полноте тригонометрических полиломов приведены в работе Ю.М.Любарского (1972).

пространства достаточно общей природа ( Ф - пространств).

В работе И.О.Хачатряна (1975) показано, что схека рассмотрений С.Н.Мергеляка к Б.Я.Левша проходит также в случае весовой аппроксимации (в равномерной метрике) з кокшлексной ' области.

Отзэт на первый вопрос дается следуют,с*; утверждением.

Теорема '2 (К.0.Хачатрян(1975)). Для того, чтобы семейство функций типа Мкттаг-Леффлера (13) было замкнутым в С<р(Ьр) необходимо и достаточно, чтобы расходился шгееграл

ltla~4dti

m <p(t) -¡—„ (U)

■"о +

гдз a = р/(2p—1).

Слэдстаиб 2. Если функщк ф(1) ограмчена или непрерывна в окрзскостк точки t = 0„ ?о :шобходюй?л к достаточна;.: условием замкнутости сзмзйства (13) е 0 (L_) иапяэгея условие

г г idt!

т 1 + Iti

"P

Рада; простоты изложения далее в работе И.О.Хачатря.на (1 £75) прэдяологаотеги. что фужадея 1/фШ непрерывна на Прзддолокцм„ что тси-аграл (14) сходится. Тогда согласно еледст-вяв 2 са:-:ействс (13) не полю Ь 0<П(Ц). это означает,, что за-*E2f685*3 С®(bp) семейства (13) ы совпадает с C^i L0), о со;:"аз-•кллore некоторое подпространство, ш хотим пзазв'стк результат Н»0.:ймстрйнзо п~:л;се списание пространства С°(Ь0).

С о той ц:-дь» закэтин.'что интеграл

u(s) = Jln:p(t) gjj G(t„a)ds (15)

LP

(где Q(tgS)- фуяхшя Гр:.иа области ¿*(р)) сходятся для жос^о е « ¿°(р) к прэдстэнляет гсрлюц^ческуи н области дв(р) функцдэ U(C) с придалывзд значвЕиаш не ь р&шдщ ЛоэШ.

OOcsaa<œ.-i sopja ?(в) сопрягашуя с и(в) гар^схлашсуа fôaaîZEJ с кахоглл

- ОХ? {-U(s)-i.'(s;}. а « (1С)

'¿"•ОТДВ EiiSV

Теорзма 13 (И.0.Хачтрян(1975)).Длп зюотения 1 « С°(Ь,.) необходимо достаточно, чтсбв фузгскя ¿(4) являлась сулзккём годокор?аой з Л*(р) фунхнш* X (к ■, удовлетворяющей условии

¡№.)и(2)! £ Сг. 2 ¿"(р). гд^ определяется равенствами (15) и (16).

Отйета!, наконецс что исследования по вопросам агшрсксяма-ций систойамя Функций типа Миттаг-ЛсФЗлора проводятся токк? з Ростовской, у.{«мской, Одесской математических шкохах.

Данный обзор естественно приводит к постановке следующих задач :

!)00обцить теорему о Крейна-Ахиезера к установить критерий полноты семейства функций типа Миттаг-Лефрлера {Ер(и£„ц)} (О ^ и < +оо) в пространстве Ьр(йст(г); Ъ^) (1 £ р < -:- =о) где о(£) - нетривиальная неубывающая функция ограш-гсенной вариации» так что

О < Гйо(Н < +со.

2) Обобщить теорему 11 ЛеЕинсона-Маккина и дать характеристику зашкания линейной оболочки семейства {Е0(и|,ц)} (О < и < +оэ) в пространстве Ьр(йо(£).Ьр) (1 < р < +оз) в случае ее неполноты ( о(|) - опять нетривиальная неубывающая на Ьр функция ограниченной вариации, причем мера <1о(£) абсолютно непрерывна относительно меры т. е. йо(£) = о^(5)с!£ ).

3)Установить аналог теоремы 7 М.М. Дзкрбашяна для систем функций типа Миттаг-Леффлера (5) в случае их неполноты в Ь2(хийх; (0, +оо)).

В данной работе дано полное решение этих задач и установлены другие, связанные с ними результаты.

Содержание работы:

Во- введении излокенк основные сведения., относящиеся к истории вопроса, и формулировки полученных в диссертации рэзультатов. Дается такие обошя характеристика-работы.

В §1 приведены часто используемые в последующем обозначения к леобходшые сведения из работ других'в'вТйрЬв.

В §2 установлен один из главных результатов работы -крз:терий полноты семейства функций типа- ЬЙ'Н'аТ^-Лёф&лера

{ Е (u£„ti) } (0 s u < w) (17)

< ц. фшссшзовашо) в пространстве Lp(d0(5!)ÍI<^)'(р'2- 1» р > 1/2), гдэ о(5) - неубывающая на Ьр фукгсцкк о'грзк^йеЙЙЙС'зарЕаща-г.

Установлен первый главный результат1'рйб5тЬ; ( мы сохраняем црсдолу» в параграфах нумерация теоремУ.-

Теорема 2.1 .Для полно ты семейства • ф&^ЬИг1 (17) • в b¡j(éa(í )г (1 í р < -юз) необходимо к достаточйй; ч^обк- заполнялось условие ,

' ieig --- (18)

•J 1 + !£l2u "Р

где а = p/(2p-1)„ a 0¿(í)- производная adhoidoi'Híi'непрерывной часта ®ункщш оЦ).

Мотод доказательства этой теорозд, по ийаэ-' олззквд

к штоду Н.И.Ахкезера 'доказательства теоремы 5' ддя' семейства йгшашй {eiU2}/(u ь 0)р сопрявен .с преодолением трУдноь?зВ определенного характера» связанных с переходом к раесл-атрешк саиабств функция тгшз Ыиттаг-Лейфлэрв, кыевдих, суцэ'ствэию баков слоааую прароду, чей семейство экспонент.- ff той аз раздолз установлен та;с:а слодаксий критерий полноты систем ра-ТСод&глиг "полиномов".

лворйма 2.2. Для полнота в Lp(üo(£),Lp) (l£p<+o, 1/2 <р<

< czciDírj, раццэаалыаг ®ункца£

{(£ - И"}?

EWKSSQSE» Е достаточно У&ЕОЕНЭ (18).

В 53 деаа xepasttejccíZKa аеаыкшш лынзйкоа оОагз«® сакэ£-ít?i в Хр(&}(61„Ьр) а сгучеа ss aanasaaiu» «.o.nps усгзек;

- Лд !51а 11 <3.е! > -00. (19)

ЬР

Чтобы сформулировать соответствующий результат, заметил» что при условии (19) интеграл

11(2) = /1п[о^а)} ^ 0(х,г)йз (20)

ЬР

(0(1,2)- функция Грина области А (р) ) сходится для любого 2 е А*(р) и представляет гармоническую в области Д°(р) функцию с угловыми граничными значения;® яа Ь0» рзЕкымк 1п[о^ ("!;)]. Обозначим через 7 (г) сопряженную с и(г) гармоническую функцию и пологам

','/(2)-= ехр (и(з) + 17(2)}, г е д*(р)„ (21)

Тогда второй главны« результат работы формулируется следугщим образом.

Теорема 3.1, При условии (19) замыкание семейства (17) з пространстве Ьр(йо(г)в Ь^) (р > 1) совпадает с множество?« аналитических в Л(р) функций, удовлетворяющих условию

1{г,)1\ч{7.)]1-'р е Нр[Дв(р)], (22)

где определяется равенствами'(20), (21).

Здесь через Н [Д*(р)3 обозначен класс функций ?(г)„ голоморфных в угловой области Д*(р) и удовлетворяющих условию

эир Г/^(ге^мР&г! < +оо,

(х/2р)<"Э<(2тс-Ск/2р)) 0

Заметим, что поскольку Н[Д*(1)] совпадает с классом Харди Н[Не г<0],то теорема 3.1 является существенным обобщением теоремы 11 Левинсона-Маккина. Отметхм, что, как и з работе И.О. Хачатряна(1975), при доказательстве теоремы 3.1 мы также используем схему рассмотрений С.Н.Мергеляна и Б.Я.Левина, о которых говорилось выше.

В том же §3 в дополнение к теореме 2.2 установлена следующая

Теорема 3.2. При условии (19) замыкание системы {(М)-*}^ в пространстве Ьр(йо(г), Ьр) (р>1) совпадает с множеством ана-литгческих в Д*(р) функций 1(а), удовлетворяющих условию (22).

§4 связан с вопросом почти-ортогонализации системы (5). Для этого используются определенные системы рациональных функ-. цийс построенные В.М.Мартиросяном (198?) иявляющиеся аналогами систем рациональных функций Фабера-Джрбашяна (1957,1962, 1S67>í Эти системы определяются следующим образом.

Пусть 1/2 < а < +оо и с А (а). Конформное отображение ,'области &°(р) (<1/а) + (1/р) = 2) на полуплоскость Ira w < 0 :

и = <р(2) =-l(-z)a0 z«=A°(p),

.переводит последовательность в последовательность

(La ^ > 0)0 причем

^ = (К = 1,2,...).

С последовательностью ассоцкруем систему рациональных

функций {^(я) ортонорлированную в Lt(-o, +<» ) ;

П-i №=1.2....)

J=4 w - M-j

(об истории возникновения этой системы см. в работе Ы. М. ДнрбашянЕ (1979)).

Пологим V = (a+ü>-1 )/2 (-1<ш<1) и рассмотрим систему ®уккций {Gt(z)}®0 где

Gh(z) = C>4<tp(z))(-z)v (k=1,2,...)„

Очевидно, что функция G^tz) мероморфна в Д°(р) и {-А.^}^-последовстельность ее полюсов из д°(р), с учетом кратностей.

Обозначим через Н^ (s) сукму главных частей лораноЕсккх разложений функций Gt(z) б окресностях всех ее отличных друг от друге полюсов „;располоаеншх в точках z - (3 = Tekkí образом' ^(z)- это рациональная функция с полюсами в точках (J=i,...,k), причем с теми ке глашшми частями,

что н у функции Gk(z).

Введем в рассмотрение та:" э систему функций го-

дкорфаых в А*(р), гдо

®a(<p(8))tp'(E)(-a)v (ü=l.2....). В работа В.и.иартиросяна (1907),, в частности,, установлена Сзортогоааяьизсть etes двух сасгеа в аюдущзн ояслэ ;

í В,«) û£ - { J: g; (J.oi.2....).

eatp)

В §4 определяется система функций {Е^ (1;) являющаяся

Л1шейной комбинацией функций системы (5)„ и система (£)}"» биортогональная с ней в следующем смысле:

+С0 Э

А именно, при I « (О,-к») полагаем

— — ]-НЦе 2Р К|Р][е^Р К(Р] <К,

-1т1"Р

^ —оэ

Основной результат §4 формулируется так» Теорема 4.1. Сфаведливы следующие' утверждения : 1)Если выполнено условие

Е (1 + 1\1 2аГ1Не Л," = +оо, (23)

Х-- !

то система функций является базисом Рисса пространства

Ь2(1;ш«, (0,+<») лагается в ряд

L (tudt, (0,+оо)), и любая функция f(t) в L (t4it, (0,+оо)) рвз-

+0О л

I(t) - Е ak(i)Ek(t), a^ti) = j i(t)x(t)dt 0 (24)

k. = i о

безусловно сходящийся к f(t) в L2(t dt, (0,+»))=

2) Ее ли ряд (23) сходится, то система функций является базисом Рисса пространства {\0» и любая

функция Г(t) е Ь§ы(к+. разлагается в ряд (24)„ безус-

ловно сходящийся к f(t) в b2(twdt, (0,+оо))„ (Здесь через

обозначено замыкание линейной оболочки системы (5) в 1.г<t, (0,+«)) в случае ее неполноты).

На основании результатов §4 и установленных в §5 тонких оценок для функций GK(2), ¡^(z) и E^(z), в §5 устанавливается еще один главный результат работы. Этот результат, обобщающий ряд основных утверждений теореш 7 М.М.Джрбашяна, формулируется следующим образом.

Теорема 5.1. Пусть 1/2< а <+со, -1 <ск1 (и ¡г 1-а) (1/а)-1 < (1/(2зе)) < 1/(2а),

larg\l s {%/{2аг)) (к=1,2,...), Е l\l mln(a» 1HJ)< +«„ • Тогда s

1),Какдая функция f(x)„ принадлежащая замыканию

{X,}"/ г°) сЕСтеки (5) в L2(tudte (О.+со))„ после изменения ее значений на множестве нулевой меры допускает аналитическое продолжение в угловую область Л(т]), где (1/т))=(1/сс)-(!/ае). Ирк этом в каздом угловом секторе s^ (Ô) = {ZI larg Zl <(ГС/(2Т)), ö<lzK+oo} (0<Ô<+co„ 0<(1/T)tX(1/T|))

выполняется оценка

11(a)I < A(Ö0T),)lirii .. IZ|P(1~'A). Z e S„ (Ö),

L2>u)(tUdts(0„+œ)) \

где постоянная Atö.TiJX) не зависит от z и I(z).

2)Класс lB ,,(R. „{À. }га„к) совпадает с классом N? ,,(Д(Т1), {\0 ФУНКЦИЙ î(z)„ голоморфных в угловой области Д(Т}Ь''(1/Т)) = = (1/а) - (1/гг)„ и представимых там в качестве сужы ряда

со

t(z) = S ^(а), s € ¿(71).

ЗЖьвдая функция Г(2) ® = H^iAOlM^O

едааствошшн образок разлагается в ряд

00

î{z) =Z\(z)El(z), bk(î) = Jf(x)i(s)dx, (25)

G

ебсоллтко к равво?/вр;;о сходящийся на любом кошактз К с д(т)).

4)Есля 3>0 и 0<С1 /т)г )<(1/г|), то существует постоянная С(0 = T)t)>00 не зависяпвя от n,z и £(z)c такая, что

/ 1Г(г) - 2 \ ( Г ) Е^ S z ) I s

' k-A

( » -т1п(а,-1-и)у» пп-чп

^(t^dt.tO.-Ko))^^4 J

1 < n < -i-oo, z «s S (5).

o's

îaxuu образу c»ïpd3i® pua (25) ракаскзрко ашрогавдяр/эт фгшад» f(s) на кехчоа углоьои секторе Sv \t>).

5 зшуавчашю us'iOp BupasaoT глуоокую благодарность своим naycasi руковослодаи : профессору я.у.дзроашщу г. кавдсдагу е25Ейачгяскйтач9<жгз наук B.!£.i!?;?Ts.pocaay es постановку задач s тастог=гэа tzzzzszs с сосэха при сасолааняы дааглй p.vJoe;,

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих этах

1)Джрбашян М.М., Григорян Н.В. Об одном новом обобщении ссическоИ теоремы Г.Сеге.-ДАН СССР- IS85.-t.28I.-N 5.-С 176 32.

2) Djrbashlan М.М.„Grlgorlan N.V. A New Generalization oi Classical Theorem of G.Ssego.- Math.Nachr.-1988.- 138 -

39-254.

3)Григорян Н.В. Характеристика замыканий неполных семейств <ций типа Миттаг-Леффлера в весовых пространствах.-^. :ЕГУ,

I.-7с.. Деп. в АрмНИИНТИ, К 9, Ар 91, 20.02.1591г.

4)Григорян Н.В.Об аналитическом продолжении и представле-функций, принадлежащих замыканиям неполных систем типа

гаг-Леффлера.-Ер.-ЕГУ,1991.-7с., Деп в АрмНИИНТИ, N 6, Ар 91. 3.1991г.

Сдано в производство 26,1 1Л921Г« Бум. 60x34 печ, 1,25 листа Заказ 117 Т краг. 100

Цех "Ротапринт" Ереванского гссуншзерситета, Ереван, ул. Мравяна 1„