Некоторые вопросы асимптотической теории внутренних волн в пограничных слоях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Проценко Игорь Геннадьевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В ПОГРАНИЧНЫХ

СЛОЯХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005 год

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета) и в Вычислительном центре им. АЛ.Дородницына Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Жук Владимир Иосифович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Липатов Игорь Иванович

кандидат физико-математических наук Богданов Андрей Николаевич

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск.

Защита состоится "26" мая 2005 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д002.017.01 в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук.

Автореферат разослан " 22- " ¿U/мД__2005 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д002.017.01 д.ф.-м.н.

СП. Попов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Введенная в конце шестидесятых годов концепция самоиндуцированного давления оказалась исключительно плодотворной и во многом определила облик современной теории пограничного слоя с взаимодействием и отрывом. Согласно этой концепции градиент давления, в отличие от классических представлений Прандтля, индуцируется самим пограничным слоем и не может быть вычислен по решению внешней задачи потенциального обтекания. Результат асимптотического анализа системы уравнений Навье-Стокса состоит в выводе уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением для непосредственно прилегающей к обтекаемой поверхности узкой подобласти, которая оказывает преобладающее влияние на рост толщины вытеснения пограничного слоя.

Наиболее впечатляющим результатом названной теории явилось раскрытие внутренней структуры течения вязкого газа в окрестности точки отделения нулевой линии тока от тела, включая описание самой сложной из подобластей в глобальной картине поля скоростей, а именно, той подобласти, где меняется знак па-раболичности системы уравнений Прандтля. Применение метода внешних и внутренних асимптотических разложений и построение решения уравнений Навье-Стокса в виде рядов по обратным степеням числа Рейнольдса в трех расположенных друг над другом слоях (палубах) фактически придавало совершенно иной, неклассический, смысл уравнениям для пристеночной зоны течения: хотя эти уравнения сохраняли вид уравнений Прандтля, градиент давления уже не являлся известной функцией и подлежал определению из решения нетривиальной краевой задачи.

Нелинейная теория возмущений, описывающая процесс свободного взаимодействия, допускает обобщение на нестационарные течения, причем производные по времени в уравнениях первого приближения следует удержать лишь в упомянутом пристеночном подслое. Таким образом, нестационарный вариант трехпалубной теории свободного взаимодействия подразумевает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции.

Если амплитуды возмущений превышают порядки величин, диктуемые предположениями трехъярусной теории, то асимптотический анализ пульсацион-ных полей базируется на более сложной структуре поля потока. Для сверх- и дозвукового диапазона такой анализ приводит к формулировке четырехслойной асимптотической теории, существенным компонентом которой является обоснование применимости уравнений Бюргерса и Бенджамина-Оно к описанию эволюции возмущений.

Если применимость концепции взаимодействия к внутренним течениям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о входе потока в канал или трубу, то в случае развитого невозмущенного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутренних течений от внешних: отсутствие примыкающего к вязким пограничным слоям основного невязкого потока. Тем не менее, деформация стенок канала формирует градиент давления посредством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре течения, которое взаи-

модействует с вязкими нелинейными пристеночными слоями. В результате, как и во внешних течениях, даже сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала) неровности на стенках могут приводить к большим локальным перепадам давления и вызвать отрыв вязкого потока.

Таким образом, разделение поля возмущенного потока на ряд расположенных друг над другом подслоев и последующее асимптотическое сращивание решений в каждом из них оказалось адекватным математическим приемом для асимптотического описания не только течений в пограничных слоях, но и внутренних течений в каналах и трубах. Элементы новизны по сравнению с известными результатами вносят именно асимптотические исследования, в которых обнаружены явления и особенности движений вязкой жидкости, ранее остававшиеся вне поля зрения, но, как оказалось, поддающиеся анализу в рамках теории свободного взаимодействия.

Дополнительный интерес к асимптотическим подходам при описании течений в случае больших чисел Рейнольдса придает достаточно глубокая связь между теорией устойчивости пограничного слоя и свободным взаимодействием. Включение временной переменной в уравнения многоярусных схем поэтому можно трактовать не как реализацию формальной возможности модификации некоторой известной асимптотической теории, а как принципиальный элемент для правильного описания нового класса физических механизмов. Классическая задача об устойчивости пограничного слоя уже в своей формулировке отражает асимптотическую природу объекта изучения, ибо сам пограничный слой существует для чисел Рейнольдса, стремящихся к бесконечности.

То обнаруженное обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпалубной структуре возмущенного поля скоростей, является, достаточно неожиданным. Для верхней ветви нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие усложнения и включает пять подобластей. При этом именно асимптотическая трактовка задачи устойчивости имеет рациональный базис, поскольку только в пределе больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму пограничного слоя.

Предлагаемая работа иллюстрирует возможность распространения основных представлений асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком на задачи устойчивости внутренних течений типа Ку-этта-Пуазейля, а также устойчивости плоской струи, ограниченной снизу плоским экраном. Применение многоярусных асимптотических конструкций позволяет не только уточнить поведение нейтральных кривых и свойства собственных функций уравнения Орра-Зоммерфельда, но и установить асимптотическую структуру флуктуационных полей и указать физические механизмы неустойчивости.

Тот факт, что внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга (собственных решений уравнения Орра-Зоммерфельда) в пределе больших чисел Рей-нольдса, служит руководящим соображением для асимптотического описания как верхней, так и нижней ветвей нейтральной кривой. Дополнительный анализ исходной системы уравнений Навье-Стокса приводит к асимптотической теории,

пригодной к предсказанию потери устойчивости плоской струи и течения Куэтта-Пуазейля.

Применяемые асимптотические модели оказывается очень содержательными, что, в сочетании с возможностью получения точных аналитических решений, демонстрирует важную роль асимптотических подходов к исследованию вязких течений с большими локальными градиентами. В частности, увеличение амплитуды внешних возмущающих факторов приводит к доминированию нелинейных эффектов, что позволяет вывести локально-невязкие уравнений для возмущений. Что касается вязких напряжений, то они проявляются в тонких пристеночных подслоях (и в критическом слое), толщины обоих подслоев много меньше, чем толщины нелинейных областей. Поэтому в главном приближении механизм взаимодействия оказывается невязким. Данное обстоятельство служит математической основой описания класса нелинейных возмущений в виде солитонов и кнои-дальных волн.

Цель работы:

Построение асимптотической теорий линейных и нелинейных возмущений в струе вязкой жидкости, ограниченной снизу плоским экраном. Применение асимптотических подходов к исследованию механизмов неустойчивости данного класса течений.

Изучение спектра собственных линейных колебаний. Поиск нейтральных решений, построение асимптотики верхней и нижней ветви нейтральной кривой.

Установление основных свойств поля скоростей жидкости для возмущений типа волн Толлмина-Шлихтинга. Вывод дисперсионного соотношения, связывающего частоты, фазовые скорости и волновые числа.

Исследование механизмов распространения вверх и вниз по потоку возмущений, описывающих асимптотику волн отрыва. Установление связи между градиентом самоиндуцированного давления в струе и знаком фазовой скорости возмущения.

Решение задачи о генерации волновых пакетов и волн Толлмина-Шлихтинга посредством установленного на обтекаемой поверхности гармонического осциллятора.

Построение асимптотической теории внутренних волн для случая нелинейных возмущений сравнительно небольшой амплитуды. Исследование применимости к задаче об эволюции пульсаций солитонных и периодических нелинейных решений уравнения Кортевега-де Вриза. Отыскание связи между параметрами кноидальной волны в струе из условия существования периодического решения в нижнем вязком пристеночном подслое возникающей четырехъярусной картины поля потока.

Асимптотическое описание структуры линейных и нелинейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса с привлечением концепции свободного взаимодействия. Построение трехпалубной теории взаимодействия пристеночных слоев с ядром течения Ку-этта-Пуазейля. Анализ линейного приближения. Вывод дисперсионного соотношения в задаче устойчивости течения Куэтта-Пуазейля. Исследование существования нейтральных решений при различных скоростях стенок канала.

Изучение структуры флуктуационных полей в зависимости от соотношения между числом Рейнольдса и скоростями стенок. Построение асимптотики верхней ветви нейтральной кривой для течения Куэтта-Пуазейля (аналогичной кривой для течения Пуазейля).

Исследование характерных режимов, для которых существуют нейтральные моды в спектре собственных колебаний, но которые вместе с тем не имеют аналогов в случае течения Пуазейля.

Методы исследований. Методы и подходы к служащему предметом диссертационной работы кругу задач диктуются, с одной стороны, чрезвычайно успешным применением асимптотических разложений в теоретической гидродинамике, а с другой стороны, существом сформулированной проблематики, которая при математическом описании характеризуется присутствием функций течения, зависящих от переменных совершенно разного масштаба. Последнее обстоятельство (как следствие появления малого параметра при старших производных в уравнениях Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса) делает крайне затруднительным прямое применение вычислительных технологий и компьютерного моделирования без предварительного асимптотического анализа задачи. Таким образом, принятый в качестве основного инструмента исследований аппарат сращиваемых внешних и внутренних асимптотических разложений представляется естественным в свете упомянутых трудностей. Разумеется, последовательное применение асимптотических методов включает численное решение возникающих краевых задач, которые, однако, уже не содержат малых или больших параметров.

Предусматривается сведение решений асимптотических уравнений к специальным функциям математической физики. Что касается построения решения в линейных задачах по обрисованной тематике, то они поддаются исследованию , при помощи интегральных преобразований Фурье-Лапласа.

Степень достоверности и результатов. Для проверки адекватности предлагаемых математических моделей результаты диссертационной работы сравнивались с аналитическими или расчетными данными других авторов. Там, где это возможно, полученные аналитическими методами результаты воспроизводились численными решениями. Во всех случаях тщательно проверялась внутренняя непротиворечивость асимптотической структуры решений и возможность сращивания разложений в различных подобластях. Большое внимание уделялось рассмотрению различного рода предельных ситуаций, сводящих задачи к ранее известным и опубликованным в литературе.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенные модификации существующих асимптотических теорий и созданные новые асимптотические конструкции позволяют указать на ряд процессов и явлений, проявляющихся в течениях жидкости при больших числах Рейнольдса, имеющих отношение к возникновению и развитию неустойчивости, а также к появлению пульсаций сравнительно большой амплитуды. Рассмотренные в диссертации вопросы Отражают, в частности, парадоксальную ситуацию в современной гидродинамике: при больших (в пределе — стремящихся к бесконечности) числах Рейнольдса ряд тонких (и одновременно наиболее итересных) эффектов в течениях оказываются недос-

тупными для существующих компьютерных технологий несмотря на чрезвычайно мощное развитие последних. Далекой от своего разрешения в настоящее время остается фундаментальная проблема ламинарно-турбулентного перехода. В своих частных аспектах, как например, экспериментально обнаруженные недавно возникновения локализованных структур типа "паффов" (порывов), "волновых поездов", подавление турбулизации пограничного слоя продольными микробороздками ("риблетами") на обтекаемой поверхности, новая трактовка всплесков вторичной неустойчивости как солитонов и т.д. — эта проблема делает очевидной необходимость построения новых асимптотических моделей, способных дать теоретическое описание явлении, характеризующихся чрезвычайно короткими пространственно-временными масштабами.

Применяемые асимптотические подходы, первоначально предназначенные для описания нелинейных отрывных течений, правильно описывают волны Тол-лмина -Шлихтинга, волновые пакеты, резонансные тройки, генерацию внутренних возмущений звуком и другие механизмы неустойчивости и восприимчивости пограничного слоя (что достаточно неожиданно). Следует отметить возрастающий интерес в классической математике к спектральным свойствам оператора Орра-Зоммерфельда. Представляется перспективным продолжить разработку асимптотических методов для создания моделей течений, возникающих при нетривиальном взаимодействии разномасштабных вязко-невязких структур с образованием локальных отрывов, автоколебаний, генерацией волновых пакетов, возникновение местных сверхзвуковых зон (при трансзвуковых режимах), а также различных типов неустойчивостей.

Совокупность технических приемов и математический аппарат, используемые в диссертации, отражает современные тенденции в развитии данного направления исследований. Более того, ряд математических методов и способов асимптотического представления искомых решений, предложенных в работе, могут служить основой для последующего изучения линейных и нелинейных возмущений в пограничных слоях и различных стадий ламинарно-турбулентного перехода.

Научная новизна. Предложен вариант асимптотической теории вязких ie-чений типа пристеночной струи с трехъярусной структурой возмущенного поля скоростей, который сводится к уравнениям Прандтля с самоиндуцированным давлением. Дан способ асимптотических оценок масштабов зависимых и независимых переменных, вытекающий из предположения о свободном взаимодействии основной толщи струи с ее донной частью, непосредственно соприкасающейся со стенкой, где возмущенное движение нелинейно. Изложенный формализм свободен от каких-либо параметров, связанных с числом Рейнольдса, которое предполагается стремящимся к бесконечности.

Показано, что линеаризованная теория свободного взаимодействия с трехъярусной структурой правильно описывает окрестность нижней ветви нейтральной кривой из теории устойчивости течения в пристеночной струе. Выведено дисперсионное уравнение, найден спектр его решений, исследовано поведение нижней ветви нейтральной кривой, описаны возмущения в виде волн Толлмина-Шлихтинга и в виде волн, являющихся асимптотикой вверх по потоку волн отры-

ва.

Впервые построена пятиярусная теория линейных возмущений с параметрами из окрестности верхней ветви нейтральной кривой в применении к пристеночной струе. Выведено дисперсионное соотношение и, в частности, изучено поведение верхней ветви нейтральной кривой,.

Специальный случай течений в пристеночных струях, когда амплитуда возмущений сравнительно велика, при некоторых дополнительных предположениях (которые сформулированы впервые) правильно моделируется четырехъярусной асимптотической теорией. В этой ситуации ее формализм базируется на уравнении Кортевега-де Вриза. Солитонные решения данного уравнения указывают на один из возможных механизмов, ответственных за возникновение упорядоченных детерминированных нелинейных пульсаций на ранних стадиях ламинарно-турбулентного перехода.

Методом Фурье-Лапласа решена задача об установленном на стенке гармоническом осцилляторе. Реакция (восприимчивость) течения в струе по отношению к таким внешним возмущениям, а именно, генерация волн Толлмина-Шлихтинга и волновых пакетов, исследована впервые.

Привлечение асимптотической теории свободного взаимодействия пристеночных слоев с ядром течения Куэтта-Пуазейля вносит новые элементы в анализ потери устойчивости течений вязкой жидкости в каналах. Линеаризация уравнений такой теории соответствует окрестности нижней ветви нейтральной кривой, причем критические слои нейтральных колебаний совпадают с пристеночными слоями.

Впервые показано, что нижняя ветвь нейтральной кривой может описываться многозначной функцией: нейтральная кривая распадается на три либо пять кривых. Зарождение дополнительных ветвей проанализировано, исходя из выведенного дисперсионного соотношения.

Новым результатом является асимптотическое описание перехода из окрестности нижней ветви нейтральной кривой в окрестность верхней ветви, причем последняя соответствует структуре волн с отделенными от стенок критическими слоями.

Рассмотрены четыре различных режима распространения волн неустойчивости течения Куэтта-Пуазейля, для каждого из которых впервые предложен вывод асимптотических оценок скорости стенок канала, волновых чисел и фазовых скоростей в терминах степеней числа Рейнольдса (стремящегося к бесконечности). Среди возможных картин флуктуационных полей, которые существенно зависят от соотношения между числом Рейнольдса и скоростью стенок, можно выделить такие, которые не имеют аналога в случае течения Пуазейля.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Московского физико-технического института (МФТИ) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный 2001, 2002, 2003, 2004 гг.), Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники" (г. Жуковский 2001 г.), научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ под руководством член-корреспондента РАО Яковлева Г.Н.. вычислительного

центра им. А.А. Дородницына РАН «Методы решения задач математической физики».

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 8 работах, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка цитируемой литературы из 123 наименований. Общий объем работы составляет 136 страниц, включая 30 иллюстраций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, дается краткий исторический обзор исследований внутренних волн в пограничных слоях.

В главе 1 предлагается асимптотическая модель эволюции возмущений с приложением к теории устойчивости плоской пристеночной струи вязкой жидкости. Предположение о свободном взаимодействии основной части струи с ее донной частью приводит к следующим асимптотическим разложениям. В основной части течения

и = щ + Яе'1/7 и1т + Не'2!7 щт +„ = Це~31н у1т + Яе~51и ь2т +...,

Р = Роо + Ке'2!7 Р1т + Де"^7 Р2т + -и пристеночной нелинейной области:

и = Яе'1!7 иц + ...,« = Ие~°1Н уц + ...,р = рж + Ее'^ рц + ..., где и0 = и0(ут), функции с индексами 1т, 2т, ... зависят от переменных «и = Яе2/7 Ь, хт = Яе!7 х, ут = , а функции с индексами 11, 21, ... зависят от переменных г£ = Яе2!7 х( - Яе3!7 х, у( = Яе!Ц у.

Из условия сращивания асимптотических разложений в двух областях и условия прилипания на стенке задача эволюции возмущений сводится к задаче в пристеночной нелинейной области:

ди _ др_ д2и др^_п — п хЛ)

Ж + + + д^+ду"°' Р~~ дх2 '

и = V = 0. у = 0.

и —» у + А(х,1), у —» оо. где А(х,1) и р(Ь,х) подлежат определению (в отличие от классических уравнений Прандтля).

С целью исследования устойчивости решение данной системы ищется в виде свободных колебаний вязкой жидкости р = и = у - аеы+Дг

ау

V — 1аке'*'Ыг}(у). Линеаризация уравнений по амплитуде а возмущений приводит к задаче на собственные значения. Частота свободных колебаний и и вол-

dAi(n)

dz

число к -i

дисперсионным

соотношением

J Ai(z)d2

— ill3k7lJ, £ = il'3 -j^j, где Ai(z) — функция Эйри.

На рис. 1 нанесены траектории, вычерчиваемые комплексной переменной ш = иг + ги, при изменении действительного к, полученные в результате численного решения дисперсионного соотношения.

Рис. 1. Решение дисперсионного соотношения для ш — шг + lui, при различных значениях действительного к.

Рис. 2. Решение дисперсионного соотношения на плоскости с = сг + »с, для различных к.

При исследовании дисперсионного соотношения показано наличие неустойчивой моды в спектре собственных колебаний, а также численно найдено нейтральное значение к0 = 1.0003, ш0 = -2.29772, с0 = 2.29703, что позволяет построить асимптотику нижней ветви нейтральной кривой С = йе ^ с0 (где С-фазовая скорость в исходной системе единиц). Такие значения параметров кии отвечают нейтральной волне Толлмина-Шлихтинга, распространяющейся вниз по потоку с фазовой скоростью Ср. В случае к <к0 имеем —и, < 0 — движение устойчиво; в случае к > к0 справедливо неравенство —и/, > 0 — движение неустойчиво. При этом поле котловых возмущении в струе, принадлежавших окрестности

нижней ветви нейтральной кривой, имеет трехпалубную структуру.

Показано, что дисперсионная кривая обладает бесконечным (счетным) количеством ветвей (несколько первых из них изображены на рис. 1 и 2).

Волновые возмущения с параметрами из окрестности верхней ветви нейтральной кривой образуют пятипалубную структуру. Теория верхней ветви базируется на асимптотической оценке Не длины волны возмущений. При этом удается получить точное нейтральное значение скорости, с которой распространяется волна Толлмина-Шлихтинга:

"" \2

дЛ?

где - постоянные.

В главе 2 продолжено построение трехпалубной теории внутренних волн для предельного случая сильно нелинейных возмущений. Получено четырехпара-метрическое семейство волновых решений уравнения Кортевега-де Вриза конечной амплитуды (кноидальных волн) с фазовыми скоростями любого знака:

Как видно из последнего уравнения, периодическое возмущение распространяется по постоянному фону с-к?. Дальнейшее изучение роли вязкого пристеночного подслоя позволяет охарактеризовать характер распространения возмущений: в вязком подслое существует пристеночный слой, обеспечивающий условие прилипания, по которому «скользит» волновое решение уравнения Кортевега-де Вриза.

лЛ'Чд'/"

-0.001,

Рис. 3. Возникновение солитонов на препятствии С —

В части 2.2 изучается невязкая задача в случае осциллирующей по закону стенки. После выполнения преобразования Прандля

дА° . ,„ дА° ^ д'А° д'С Ох1

данная задача сводится к изучению уравнения

дг Ох"

дх°<

Для

решения полученного уравнения совершалось прямые, а затем обратные преобразования Фурье и Лапласа. После исследования полученных интегралов методом перевала было получено решение

где б'^к)- Фурье-образ функции й^х).

Изучение нелинейного уравнения Кортевега-де Вриза со свободным членом вида — 95(г(Ь",х0)/дхо!1 показало (рис. 3), что может происходить генерация возмущений солитонного типа, бегущих с отрицательными фазовыми скоростями.

Глава 3 посвящена построению асимптотической теории взаимодействия пристеночных слоев с ядром плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. При' скоростях стенок расстояния от критических слоев до стенок канала порядка толщины самих критических слоев и, следовательно, структура поля потока становится трехъярусной. При рассмотрении данного режима получено дисперсионное соотношение, связывающее волновое число к = и фазовую скорость

возмущений и скорость стенки

Здесь к, с взяты в системе единиц, где масштабом длины служит полуширина канала.

Следующие рисунки иллюстрируют свойства собственных значений. На рис. 4 представлено решение дисперсионного соотношения для скорости стенки Лщ = 0 (то есть для течения Пуазейля).

При увеличении скорости стенки количество нейтральных решений увеличивается. На рис. 5 представлены решения дисперсионного соотношения для действительных с . Данные рисунки иллюстрируют возможность наличия одного, двух, трех, четырех и пяти нейтральных решений. Так на рис. 6 представлено поведение первой моды при различных скоростях стенки.

Из последних рисунков видно, что наличие скорости стенки качественно меняет поведение дисперсионной кривой, соответствующей первой моде. В отличие от течения Пуазейля (рис. 4) число нейтральных решений для задачи Куэтта-Пуазейля может быть несколько.

В главе 4 продолжается изучение устойчивости вязкого течения Куэтта-Пуазейля. Выводимые асимптотическими методами дисперсионные соотношения, связывающие параметры линейных пульсаций, обладают качественно новыми свойствам, которые не имеют места в случае течения Пуазейля. Показано, что картина флуктуационных полей существенно зависит от соотношения между числом Рейнольдса и скоростями стенок, причем можно выделить четыре характерных режима, для которых существуют нейтральные (или близкие к нейтральным) моды в спектре собственных колебаний.

Рис. 4. Решение дисперсионного соотношения при и = 0. Плоскость с - фазовой

скорости.

Рис. 5. Некоторые решения дисперсионного соотношения для действительных с.

Плоскость К(йт).

Рис. 6. Решение дисперсионного соотношения на плоскости фазовой скорости с,, при различных скоростях

В пункте 4.4 главы 4 рассмотрена многоярусная схема возмущений, соответствующая скорости стенки . В данном режиме расстояния от критических слов до стенок канала превосходят по порядку величины толщину критических слоев, что соответствует аналогу асимптотики верхней ветви нейтральной кривой течения Пуазейля.

Рассмотрение режима приводит к дисперсионному соотношению

В пункте 4.5 главы 4 построена структура возмущений, соответствующая скорости стенки , с двумя критическими слоями, один из которых

граничит с верхней стенкой. В этом случае возможно получение дисперсионного соотношения - константы):

у)

8г

15

Иу'т

Исследование последнего соотношения позволило заключить, что существует значения К, отвечающие нейтральным возмущениям, причем нейтральные параметры удовлетворяют уравнению

1т

щ и

1Ш

9 [ 2

В пункте 4.6 главы 4 рассмотрена структура возмущений, соответствующая

скорости стенки иш = 0(Не~*/19), с одним критическим и двумя пристеночными слоями. В данном режиме получено дисперсионное соотношение в параметрическом виде (К = Ее3/19к , = Де^'Ч»):

2К2

Со - '

йш

7ГИш

+

Г

+ -

36 5(2КЪК)>12 Щй

5 ' ^К^й1'2

сг = Ке-6!19с4К,йт), с, = Пе-^с/К,^). Такой режим | с |< принципиально отсутствует в течении Пуазейля. Выводы.

1. Построена трех- и пятипалубная асимптотическая теория возмущений в струе вязкой жидкости, ограниченной снизу плоским экраном. В рамках трехпалубной теории получены асимптотические разложения нелинейного решения уравнений Навье-Стокса как в основной части течения, так и в пристеночной нелинейной области. Названные разложения описывают свободное взаимодействие основной толщи струи с ее нижней частью, соприкасающейся с твердой границей. Рассматривая асимптотические уравнения в линейном приближении, удалось получить дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости с волновым числом и соответствующее окрестности нижней ветви нейтральной кривой, асимптотика С — 0('Яе'1!1) которой также показана. Доказано существование неустойчивой моды в спектре собственных колебаний, а также то, что дисперсионная кривая обладает бесконечным (счетным) количеством ветвей.

2.' При численном решении дисперсионного соотношения получены траектории, вычерчиваемые комплексными переменными и

с = сг + гс,, а также графики инкремента усиления -у, и фазовой скорости с,., с, в зависимости от действительного . Показано решение дисперсион-

ного соотношения для фиксированного к.

3. В рамках пятипалубной теории (соответствующей окрестности верхней ветви нейтральной кривой) получено точное выражение для нейтрального решения и нейтральное значение фазовой скорости, с которой распространяется волна Тол-лмина-Шлихтинга.

4. Построена четырехпалубная теория волновых движений для случая возмущений сравнительно большой амплитуды. Проиллюстрирована применимость к рассматриваемой задаче об эволюции возмущений в пристеночной струе солитон-ных решений, а также периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза (кноидальных волн).

5. Показано, что учет в четырехпалубной теории вязкого пристеночного подслоя уменьшает число независимых параметров в семействе периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза.

6. Изучена задача о генерации волновых пакетов и волн Толлмина-Шлихтинга посредством установленного на обтекаемой поверхности гармонического осциллятора. Применением интегральных преобразований Фурье-Лапласа и метода перевала выведено выражение для пульсационных полей и их асимптотика.

7. Установлена асимптотическая структура линейных возмущений плоского те-

чения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольд-са. Получено дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости в пристеночных слоях с волновым числом. Показано, что дисперсионное соотношение, связывающее параметры собственных линейных колебаний, приобретает качественно новые свойства, которые не имеют места в случае течения Пуазейля.

8. Доказано существование одного, двух, трех, четырех и пяти нейтральных решений при различных скоростях стенки в линейной задаче устойчивости течения Куэтта-Пуазейля. Получен вид решений дисперсионного соотношения на плоскости фазовой скорости при различных скоростях стенки. Найдены значения скорости стенок, при которых рождаются новые ветви нейтральной кривой.

9. Проанализирована асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рей-нольдса. Показано, картина флуктуационных полей существенно зависит от соотношения между числом Рейнольдса и скоростями стенок. Выделено четыре характерных режима, для которых существуют нейтральные моды в спектре собственных колебаний: построены трехъярусная схема возмущений для скорости стенки и многоярусные схемы возмущений с отделенными от стенок критическими слоями для и^ = 0(.Ие'^11), с двумя критическими слоями, один из которых граничит с верхней стенкой для иш = 0(В.е~е!гз), с одним критическим и двумя пристеночными слоями для

Список публикаций по теме диссертации

1. Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотические задачи теории устойчивости вязкой жидкости // Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. Сообщения по прикладной математике. Москва. 2003.54 с.

2. Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотика решений уравнения Орра-Зоммерфельда в окрестностях двух ветвей нейтральной кривой // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43.11. С. 1737-1753.

3. Жук В.И., Проценко И.Г. О нейтральных кривых в задаче устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Москва, изд-во МФТИ. 2004. С. 61-74.

4. Жук В.И., Проценко И.Г. Об устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Доклады РАН. 2005. Т.401.3. С. 316-320.

5. Жук В.И., Проценко ИГ. Осциллирующая стенка. // Труды ХЬУ научной конференции МФТИ, 2003. Ч. 7. С. 19-20.

6. Жук В.И., Проценко И.Г. Некоторые типы взаимодействия солитонов уравнений Кортевега - де Вриза и Захарова - Кузнецова // Труды ХЬУ научной конференции МФТИ, 2002. Ч. 7. С. 4-5.

7. Жук В.И., Проценко И.Г. Двухпалубная теория пограничного слоя. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой // Труды ХЬГУ научной конференции МФТИ, 2001.4.7. С. 32.

8. И.Г. Проценко, Гузаева К.В. К вопросу асимптотической теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Труды ХЬУГГ научной конференции МФТИ, 2004.4.7. С. 88-90.

Проценко Игорь Геннадьевич

Некоторые вопросы асимптотической теории внутренних волн в пограничных слоях

Изд. лиц. ИД 05403 от 16.07.2001. Подписано в печать 21 апреля 2005 г. Формат 60 х 80 1/16- Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ Ф-419.

Издательство «Азбука» 105187, Москва, ул. Кирпичная 39.

S-

í

■¿9HfKif>"1 M -í i ••

4 •

09 ИЮШ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ЭВОЛЮЦИИ ВОЗМУЩЕНИЙ И ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИСТЕНОЧНОЙ СТРУИ. АСИМПТОТИКА ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ВЕТВЕЙ НЕЙТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Трехпалубная теория свободного взаимодействия возмущений в плоской струе несжимаемой жидкости. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой.

1.2.1. Асимптотические разложения в основной части течения.

1.2.2. Асимптотические разложения в пристеночной нелинейной области.

1.2.3. Линейное приближение.

1.2.4. Неустойчивая мода в спектре собственных колебаний. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой.

1.2.5. Асимптотика функции Эйри в окрестности отрицательной вещественной оси.

1.2.6. Анализ бесконечного спектра собственных решений.

1.2.7. Некоторые решения дисперсионного соотношения.

1.3. Пятипалубная теория устойчивости пристеночной струи. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой.

1.3.1. Решение уравнений для возмущений в основной толще пограничного слоя.

1.3.2. Критические и вязкие критические слои.

1.3.3. Сращивание асимптотических разложений.

1.3.4. Вывод дисперсионных соотношений.

ГЛАВА 2. ЧЕТЫРЕХПАЛУБНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПРИСТЕНОЧНОЙ СТРУЕ.

2.1. ЧЕТЫРЕХПАЛУБНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ возмущений.

2.1.1. Вывод уравнения Кортевега-де Вриза.

2.1.2. Фазовая плоскость автомодельных решений уравнения Кортевега - де Вриза.

2.1.3. Роль вязкого пристеночного подслоя.

2.2. Осциллирующая стенка.

2.2.1. Генерация солитонов на неоднородности поверхности.

ГЛАВА 3. О НЕЙТРАЛЬНЫХ КРИВЫХ В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА-ПУАЗЕЙЛЯ.

3.1. Нелинейное взаимодействие пристеночных слоев с ядром течения Куэтта-Пуазейля.

3.2. Асимптотическая теория устойчивости течения Куэтта-Пуазейля

3.3. Свойства дисперсионного соотношения.

3.4. Предельный случай для дисперсионного соотношения.

ГЛАВА 4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОГО ТЕЧЕНИЯ КУЭТТА-ПУАЗЕЙЛЯ.

4.1. Введение.

4.2. Ядро возмущенного течения Куэтта-Пуазейля.

4.3. Трехъяруснаясхемавозмущений: uw = 0(Re~2'7).

4.4. Многоярусная схема возмущений с отделенными от стенок критическими слоями: uw = 0(ReT2!11).

4.5. Структура возмущений с двумя критическими слоями, один из которых граничит с верхней стенкой: uw = 0(Re~2/13).

4.6. Структура возмущений с одним критическим и двумя пристеночными слоями: uw = 0(Re~^19).

ВЫВОДЫ

Введенная в конце шестидесятых годов концепция самоиндуцированного давления оказалась исключительно плодотворной и во многом определила облик современной теории пограничного слоя с взаимодействием и отрывом. Согласно этой концепции градиент давления, в отличие от классических представлений Прандтля [1], индуцируется самим пограничным слоем и не может быть вычислен по решению внешней задачи потенциального обтекания. Результат асимптотического анализа системы уравнений Навье-Стокса [2-8] состоит в выводе уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением для непосредственно прилегающей к обтекаемой поверхности узкой подобласти, которая оказывает преобладающее влияние на рост толщины вытеснения пограничного слоя.

Наиболее впечатляющим результатом названной теории явилось раскрытие внутренней структуры течения вязкого газа в окрестности точки отделения нулевой линии тока от тела, включая описание самой сложной из подобластей в глобальной картине поля скоростей, а именно, той подобласти, где меняется знак параболичности системы уравнений Прандтля. Применение метода внешних и внутренних асимптотических разложений [9-16] и построение решения уравнений Навье-Стокса в виде рядов по обратным степеням числа Рейнольдса в трех расположенных друг над другом слоях (палубах) фактически придавало совершенно иной, неклассический, смысл уравнениям для пристеночной зоны течения: хотя эти уравнения сохраняли вид уравнений Прандтля, градиент давления уже не являлся известной функцией и подлежал определению из решения нетривиальной краевой задачи.

Нелинейная теория возмущений, описывающая процесс свободного взаимодействия, допускает обобщение на нестационарные течения [17-20], причем производные по времени в уравнениях первого приближения следует удержать лишь в упомянутом пристеночном подслое, если скорость набегающего из бесконечности потока сверх- либо дозвуковая. В двух других подобластях, а именно, в основной толще пограничного слоя и внешнем потенциальном потоке, движение газа квазистационарно, а производные по времени входят лишь в асимптотические уравнения для высших приближений.

Наоборот, при трансзвуковых скоростях движения газа зависимость искомых функций от времени оказывается существенной именно во внешней потенциальной части течения. Последнее обстоятельство составляет важную особенность распространения предложенной в [21] асимптотической модели взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым потоком на нестационарные движения [22]. Здесь квазистационарными оказываются поля скоростей в основной толще пограничного слоя и в вязком подслое. Однако обобщение [22] асимптотической схемы [21] не является единственно возможным. Альтернативный подход [23] к построению трехслойной теории нестационарных трансзвуковых течений имеет следствием ситуацию (не встречавшуюся ранее в асимптотическом анализе), когда члены с производными по времени входят как в систему уравнений для вязкого пристеночного подслоя, так и в уравнение для внешних потенциальных возмущений (которое, в отличие от аналогичного уравнения [22], становится линейным).

Если амплитуды возмущений превышают порядки величин, диктуемые предположениями теории [2-8], то асимптотический анализ пульсационных полей базируется на более сложной структуре поля потока. Для сверх- и дозвукового диапазона такой анализ приводит к формулировке четырехслойной асимптотической теории [24, 25], существенным компонентом которой является обоснование применимости уравнений Бюргерса [26] и Бенджамина-Оно [27, 28] к описанию эволюции возмущений.

Развитые в [24, 25] представления позволили рассмотреть трансзвуковые течения с четырехслойной структурой области взаимодействия [29]. Как и в [22], волновая картина включает существенно нестационарные области в нижней пристеночной части пограничного слоя и в верхнем потенциальном поле потока. Однако само асимптотическое разделение области самоиндуцированного давления на четыре подслоя связано с рассмотрением класса возмущений, характеризующихся иной по сравнению с [22] нормировкой независимых переменных и искомых функций, в частности, большей относительной величиной амплитуд. Полученное в [29] интегро-дифференциальное уравнение, которое описывает процесс свободного взаимодействия, приводится к уравнениям Бюр-герса либо Бенджамина-Оно при выходе из трансзвукового диапазона (в сторону увеличения либо уменьшения числа Маха). В этом смысле развитая в [29] теория является аналогом подходов [24, 25], предложенных для отличающихся от единицы на конечную величину чисел Маха.

Если применимость концепции взаимодействия к внутренним течениям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о входе потока в канал или трубу [30], то в случае развитого невозмущенного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутренних течений от внешних: отсутствие примыкающего к вязким пограничным слоям основного невязкого потока. Тем не менее, как показано в [31], деформация стенок канала формирует градиент давления посредством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре течения, которое взаимодействует с вязкими нелинейными пристеночными слоями. В результате, как и во внешних течениях [32], даже сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала) неровности на стенках могут приводить к большим локальным перепадам давления и вызвать отрыв вязкого потока. Дальнейшие асимптотические свойства и детали поля скоростей, присущие внутренним течениям, изучены в цикле работ [33-37].

Таким образом, разделение поля возмущенного потока на ряд расположенных друг над другом подслоев и последующее асимптотическое сращивание решений в каждом из них оказалось адекватным математическим приемом для асимптотического описания не только течений в пограничных слоях, но и внутренних течений в каналах и трубах. Элементы новизны по сравнению с известными результатами вносят выполненные в [38-42] исследования, в которых обнаружены явления и особенности движений вязкой жидкости, ранее остававшиеся вне поля зрения, но, как оказалось, поддающиеся анализу в рамках теории свободного взаимодействия.

Исследование коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля потребовала существенной модификации математической теории течения жидкости в области взаимодействия [43-46]. В качестве одного из результатов проведенного анализа обращает на себя внимание обнаруженная неединственность решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится данная задача при удовлетворении всех необходимых краевых условий. Более того, родственная по своей математической формулировке задача об отрыве обтекающей гиперболический профиль вязкой струи [47] обладает бесконечным числом решений. В связи с этим отметим, что движение в стационарном ламинарном двумерном конвективном течении около ориентированной вертикально нагретой пластины, а также в вязкой пристеночной струе аналогично пограничному слою, причем изменение на коротких расстояниях граничных условий (например, разрыв температуры либо излом поверхности) влечет за собой возникновение области взаимодействия с многослойной структурой [48-51].

Круг проблем неклассической теории пограничного слоя, который поддается исследованию посредством современных асимптотических методов, обрисован в обзорах [3, 5, 52-62] и в монографиях [8, 63, 64], по которым может быть восстановлена разработка интересных и важных вопросов, не затрагиваемых в дальнейшем изложении.

Как отмечено выше, нестационарный вариант трехпалубной теории свободного взаимодействия подразумевает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции. Впервые нестационарные эффекты рассмотрены в [17, 18, 22]; зависимость от времени включена в уравнения пограничного слоя для возмущений внутреннего течения в [31]. Однако начало исследований, в которых включение временной переменной в уравнения трехпалубной схемы трактуется не как реализация формальной возможности модификации некоторой известной асимптотической теории, а как принципиальный элемент для правильного описания нового класса физических механизмов, положено в работах [19, 20, 22]. Найденное в [20] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны демонстрирует существование нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задается величиной градиента давления в начальных данных: волна бежит вверх по потоку, если градиент давления достаточно велик, и вниз по потоку, если инкремент роста градиент давления не превышает критической величины, найденной в ранней работе [65].

Дополнительный интерес к асимптотическим подходам при описании течений в случае больших чисел Рейнольдса придает достаточно глубокая связь между теорией устойчивости пограничного слоя и свободным взаимодействием [66, 67]. Классическая задача об устойчивости пограничного слоя уже в своей формулировке отражает асимптотическую природу объекта изучения, ибо сам пограничный слой существует для чисел Рейнольдса, стремящихся к бесконечности.

То обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпалубной структуре возмущенного поля скоростей, является, по сделанному в [66] замечанию, достаточно неожиданным. Для верхней ветви нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие усложнения и включает пять подобластей [68-72]. При этом именно асимптотическая трактовка задачи устойчивости, как подчеркивается в [70], имеет рациональный базис, поскольку только в пределе больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму пограничного слоя.

Общие свойства выведенного в [20] дисперсионного соотношения исследованы в [73-75]. Предпринятый анализ показал, что для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей, хотя перемещающаяся вверх по потоку волна определяется единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории критического слоя [76-78], понятие которого играет большую роль в теории устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубой; таким образом, как отмечается в [20], задача устойчивости формулируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии нестационарного пограничного слоя.

Следует отметить, что к обсуждаемому вопросу можно подойти с несколько иной точки зрения. Трехпалубная теория, представляя собой теорию малых возмущений, описывает реакцию пограничного слоя на внешние воздействия различной природы, учитываемые при формулировке соответствующих математических задач через начальные и граничные условия. Система уравнений свободного взаимодействия допускает тривиальное решение при однородных начально-краевых условиях, которое соответствует продолжению решения Блазиуса через всю рассматриваемую область. Естественный интерес представляет вопрос о степени отклонения решения от тривиального при наличии возмущающих факторов (амплитуда которых мала в исходных переменных и порядка единицы после нормировки в терминах фигурирующего в трехпалубной теории малого параметра). Найденное в [65] в рамках линейного приближения отличное от тривиального стационарное решение (являющееся частным случаем решения [20]), которое ответвляется от решения Блазиуса, экспоненциально растет вниз по потоку и переходит в задающее отрыв от гладкой поверхности нелинейное решение [2-3]. Последнее, таким образом, представляет собой нелинейную собственную функцию задачи для уравнений свободного взаимодействия со сверхзвуковым внешним потоком. В этом смысле отрыв пограничного слоя интерпретируется в [79] как специфическая форма потери устойчивости.

Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [80]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную систему внутренних волн.

Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [81] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга [82] с прилегающими к стенке критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [66, 67] применительно к внешним течениям ив [38, 83] к течениям в каналах. Именно в такую волну Толлмина-Шлихтинга вырождаются возмущения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [84-86].

Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом зависит от двух координат (являясь "почти параллельным" лишь при стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное усложняющее свойство основного течения обсуждается в [87]. Теория [66, 70], где эффекты непараллельности учитываются в нескольких старших членах асимптотических рядов, свободна от недостатка присущего исследованиям в предположении о плоскопараллельном невозмущенном течении, и в первом приближении воспроизводит обычные результаты устойчивости локально-одномерного потока.

Предлагаемая работа, основные результаты которой опубликованы в [8895] (еще три работы автора приняты к печати: Жук В.И., Проценко И.Г. Об устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Доклады РАН. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая теория устойчивости испускаемой вдоль стенки струи вязкой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая структура волновых возмущений в теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004) иллюстрирует возможность распространения основных представлений асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком на задачи устойчивости внутренних течений типа Куэтта-Пуазейля, а также устойчивости плоской струи, ограниченной снизу плоским экраном. Применение многоярусных асимптотических конструкций позволяет не только уточнить поведение нейтральных кривых и свойства собственных функций уравнения Орра-Зоммерфельда, но и установить асимптотическую структуру флуктуационных полей и указать физические механизмы неустойчивости.

Тот факт, что внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга (собственных решений уравнения Орра-Зоммерфельда) в пределе больших чисел Рейнольдса, служит руководящим соображением для асимптотического описания как верхней, так и нижней ветвей нейтральной кривой. Дополнительный анализ исходной системы уравнений Навье-Стокса приводит к асимптотической теории, пригодной к предсказанию потери устойчивости плоской стуи и течения Куэтта-Пуазейля.

Применяемые асимптотические модели оказывается очень содержательными, что, в сочетании с возможностью получения точных аналитических решений, демонстрирует важную роль асимптотических подходов к исследованию вязких течений с большими локальными градиентами. В частности, увеличение амплитуды внешних возмущающих факторов приводит к доминированию нелинейных эффектов, что позволяет вывести локально-невязкие уравнений для возмущений. Что касается вязких напряжений, то они проявляются в тонких пристеночных подслоях (и в критическом слое) толщины обоих подслоев много меньше, чем толщины нелинейных областей. Поэтому в главном приближении механизм взаимодействия оказывается невязким. Данное обстоятельство служит математической основой описания класса нелинейных возмущений в виде солитонов и кноидальных волн.

Выводы

1. Построена трех- и пятипалубная асимптотическая теория возмущений в струе вязкой жидкости, ограниченной снизу плоским экраном. В рамках трехпалубной теории получены асимптотические разложения нелинейного решения уравнений Навье-Стокса как в основной части течения, так и в пристеночной нелинейной области. Названные разложения описывают свободное взаимодействие основной толщи струи с ее нижней частью, соприкасающейся с твердой границей. Рассматривая асимптотические уравнения в линейном приближении, удалось получить дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости с волновым числом и соответствующее окрестности нижней ветви нейтральной кривой, асимптотика С = 0(Яе~117) которой также показана. Доказано существование неустойчивой моды в спектре собственных колебаний, а также то, что дисперсионная кривая обладает бесконечным (счетным) количеством ветвей.

2. При численном решении дисперсионного соотношения получены траектории, вычерчиваемые комплексными переменными £ = + , и = иг 4- щ и с = сг + щ, а также графики инкремента усиления и фазовой скорости сг, с,- в зависимости от действительного к 6 (0;+ оо). Показано решение дисперсионного соотношения для фиксированного к.

3. В рамках пятипалубной теории (соответствующей окрестности верхней ветви нейтральной кривой) получено точное выражение для нейтрального решения и нейтральное значение фазовой скорости, с которой распространяется волна Толлмина-Шлихтинга.

4. Построена четырехпалубная теория волновых движений для случая возмущений сравнительно большой амплитуды. Проиллюстрирована применимость к рассматриваемой задаче об эволюции возмущений в пристеночной струе солитонных решений, а также периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза (кноидальных волн).

5. Показано что учет в четырехпалубной теории вязкого пристеночного подслоя уменьшает число независимых параметров в семействе периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза.

6. Изучена задача о генерации волновых пакетов и волн Толлмина-Шлихтинга посредством установленного на обтекаемой поверхности гармонического осциллятора. Применением интегральных преобразований Фурье-Лапласа и метода перевала выведено выражение для пульсационных полей и их асимптотика.

7. Установлена асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. Получено дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости в пристеночных слоях с волновым числом. Показано, что дисперсионное соотношение, связывающее параметры собственных линейных колебаний, приобретает качественно новые свойства, которые не имеют места в случае течения Пуазейля.

8. Доказано существование одного, двух, трех, четырех и пяти нейтральных решений при различных скоростях стенки в линейной задаче устойчивости течения Куэтта-Пуазейля. Получен вид решений дисперсионного соотношения на плоскости фазовой скорости при различных скоростях стенки. Найдены значения скорости стенок, при которых рождаются новые ветви нейтральной кривой.

9. Проанализирована асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. Показано, картина флуктуационных полей существенно зависит от соотношения между числом Рейнольдса и скоростями стенок. Выделено четыре характерных режима, для которых существуют нейтральные моды в спектре собственных колебаний: построены трехъярусная схема возмущений для скорости стенки ию = 0( 11е~2/7) и многоярусные схемы возмущений с отделенными от стенок критическими слоями для ии, = 0(Ле~2^и), с двумя критическими слоями, один из которых граничит с верхней стенкой для ию — 0(Яе"2/13), с одним критическим и двумя пристеночными слоями для и» = 0(11е-^9).

1. Prandtl L. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl d. III Internat. Mathem. Kongr., Heidelberg, 1904. Verlag von B.G.Teubner, Leipzig, 1905. S.484-491.

2. Нейланд В.Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. N.4. С.53-57.

3. Нейланд В.Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений // Труды ЦАГИ. М., 1974. Вып. 1529.

4. Stewartson К., Williams P.G. Self-induced separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1969. V.312. N.1509. P.181-206.

5. Stewartson K. Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies // Adv. Appl. Mech. 1974. V.14. P. 145-239.

6. Messiter A F. Boundary layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. 1970. V.18. N.l. P.241-257.

7. Сычев B.B. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. N.3. С.47-59.

8. Сычев В.В., Рубан А.И., Сычев Вик.В., Королев Г.Л. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. В.В.Сычева. М.: Наука, 1987. 255 с.

9. Van Dyke M.D. Perturbation methods in fluid mechanics // New York: Academic Press, 1964. (Рус. пер.: Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.)

10. Cole J.D. Perturbation method in applied mathematics // Waltham (Mass.): Blaisdell Publ. Co., 1968. (Рус. пер.: Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.)

11. Lagerstrom P.A., Casten R.G. Basic concept underlying singular perturbation techniques // SIAM Review. 1972. V.14. N.l. P.63-120.

12. Eckhaus W. Matched asymptotic expansions and singular perturbations // Amsterdam-London, North-Holland Publ. Co., 1973.

13. Lagerstrom P.A. Solutions of the Navier-Stokes equation at large Reynolds number // SIAM J. Appl. Math. 1975. V.28. N.l. P.202-214.

14. Рыжов O.C. Асимптотические методы в динамике жидкости // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1980. Т.20. N 5. С.1221-1248.

15. Диесперов В.Н., Рыжов О.С. Асимптотические методы в механике жидкости // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1982. N 2. С.75-87.

16. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач // М.: Наука, 1989.

17. Schneider W. Upstream propagation of unsteady disturbances in supersonic boundary layers // J. Fluid Mech. 1974. V.63. N.3. P.465-485.

18. Brown S.N., Daniels P.G. On the viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillating plate // J. Fluid Mech. 1975. V.67. Pt.4. P.743-761.

19. Рыжов O.C. Уравнение нестационарного пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1977. Т.234. N.4. С.780-783.

20. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением // ПММ. 1977. Т.41. N.6. С. 1007-1023.

21. Messiter A. F., Feo A., Melnik R.E. Shock-wave strength for separation of a laminar boundary layer at transonic speeds // AIAA Journal. 1971. V.9. N.6. P.l 197-1198.

22. Рыжов O.C. О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением при околозвуковых скоростях внешнего потока // Докл. АН СССР. 1977. Т.236. N.5. С.1091-1094.

23. Рыжов О.С., Савенков И.В. Об устойчивости пограничного слоя при трансзвуковых скоростях внешнего потока // ПМТФ. 1990. N.2. С. 65-71.

24. Жук В. И., Рыжов О. С. О локально-невязких возмущениях в пограничном слое с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1982. Т.263. N.l. С.56-59.

25. Smith F.T., Burggraf O.R. On the development of large-sides short-scaled disturbances in boundary layers // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1985. V.399. N.1816. P.25-55.

26. Benjamin Т.В. Internal waves of permanent form in fluids of great depth // J. Fluid Mech. 1967. V.29. Pt.3. P.559-592.

27. Ono H. Algebraic solitary waves in stratified fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1975. V.39.N.4. P.1082-1091.

28. Жук В.И. Нелинейные возмущения, индуцирующие собственный градиент давления в пограничном слое на пластине в трансзвуковом потоке // ПММ. 1993. Т.57. Вып.5. С.68-78.

29. Smith F.T. On entry-flow effects in bifurcating, blocked or constricted tubes // J. Fluid Mech. 1976. V.78. Pt.4. P.709-736.

30. Smith F.T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: Parts 1 & 2 // Ouart. J. Mech. Appl. Math. 1976. V.29. Pt 3. P.343-364 & P.365-376.

31. Smith F.T. Laminar flow over a small hump on a flat plate // J. Fluid Mech. 1973. V.57. Pt.4. P.803-824.

32. Smith F.T. Pipeflows distorted by non-symmetric indentation or branching // Mathematika. 1976. V.23. Pt.l. N.45. P.62-83.

33. Smith F.T. Steady motion through a branching tube // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1977. V.355. N.1681. P.167-187.

34. Smith F. Т. Upstream interactions in channel flows // J. Fluid Mech. 1977. V.79. Pt.4. P.631-655.

35. Smith F.T. The separating flow through a severely constricted symmetric tube // J. Fluid Mech. 1979. V.90. N.4. P.725-754.

36. Smith F.T., Duck P.W. On the severe non-symmetric constriction, curving or cornering of channel flow I I J. Fluid Mech. 1980. V.90. Pt.4. P.727-753.

37. Жук В.И., Рыжов О.С. О свободном взаимодействии пристеночных слоев с ядром течения Пуазейля // Доклады АН СССР. 1981. Т.257. N.1. С.55-59.

38. Bogdanova E.V., Ryzhov O.S. Free and induced oscillations in Poiseuille flow // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1983. V.36. Pt.2. P.271-287.

39. Савенков И.В. Резонансное усиление двумерных возмущений в полубесконечном канале // ЖВМ и МФ. 1992. Т.32. N.8. С. 1332-1339.

40. Savenkov I.V. Wave packets, resonant interactions and soliton formation in inlet pipe flow // J. Fluid Mech. 1993. V.252. P. 1-30.

41. Савенков И.В. О нестационарных осесимметричных течениях в трубах с упругими стенками // ЖВМ и МФ. 1996. Т.36. N.2. С.147-163.

42. Рубан А.И. Особое решение уравнений пограничного слоя, непрерывно продолжимое через точку нулевого поверхностного трения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N 6. С.42-52.

43. Рубан А.И. Асимптотическая теория коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. N 1. С.42-51.

44. Stewartson К., Smith F.T., Kaups К. Marginal separation // Stud. Appl. Math. 1982. V.67. N.l. P.45-61.

45. Brown S.N., Stewartson К. On an integral equation of marginal separation // SIAM J. Appl. Math. 1983. V.43. N.5. P.l 119-1126.

46. Заметаев В.Б. Существование и неединственность локальных зон отрыва в вязких струях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 1. С.38-45.

47. Messiter A.F., Linan A. The vertical plate in laminar free convection: effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature // Z. angew. Math. Phys. (ZAMP). 1976. Vol.27. Fasc.5. P.633-651.

48. Smith F.T., Duck P.W. Separation of jets or thermal boundary layers from a wall // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1977. V. 30. Pt. 2. P. 143-156.

49. Merkin J.H., Smith F.T. Free convection boundary layers near corners and sharp trailing edges // Z. angew. Math. Phys. (ZAMP). 1982. Vol.33. N.l. P.36-52.

50. Merkin J.H. Free convection boundary layers over humps and indentations // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1983. Vol.36. Pt.l. P.71-85.

51. Brown S N., Stewartson K. Laminar separation // Ann. Rev. Fluid Mech. 1969. V.l. P.45-72.

52. Рубан А.И., Сычев B.B. Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Успехи механики. 1979. Т.2. Вып.4. С.57-95.

53. Боголепов В.В., Елькин Ю.Г., Ермак Ю.Н., Липатов И.И. Некоторые проблемы теории вязких течений с взаимодействием. В сб.: Вихревые движения жидкости. Устойчивость и отрыв пограничного слоя, свободные и квантовые вихри. М.: Мир. 1979. С. 101-125.

54. Messiter A.F. Boundary-layer separation // Proc. 8th US Natl. Congr. Appl. Mech. 1979. P. 157-179. Western Periodicals, North Hollywood, California.

55. Adamson T.C., Messiter A.F. Analysis of two-dimensional interactions between shock waves and boundary layers // Ann. Rev. Fluid Mech. 1980. V.12. P.103-138.

56. Нейланд В.Я. Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа // Успехи механики. 1981. Т.4. Вып.2. С.3-62.

57. Stewartson К. D'Alembert's paradox // SIAM Review. 1981. V.23. N.3. P.308-343.

58. Smith F.T. On the high Reynolds number theory of laminar flows // IMA J. Appl. Math. 1982. V.28. N.3. P.207-281.

59. Сычев Вик.В. Теория нестационарного отрыва пограничного слоя и разрушения следа//Успехи механики. 1983. Т.6. Вып.1/2. С.13-51.

60. Messiter A.F. Boundary-layer interaction theory // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1983. V.50. N.4b. P.l 104-1113.

61. Smith F.T. Steady and unsteady boundary-layer separation I I Ann. Rev. Fluid Mech. 1986. V.l8. P. 197-220.

62. Жук В.И. Волны Толлмина-Шлихтинга и солитоны / М.: Наука, 2001, 167 с.

63. Нейланд С.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа / М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 456 с.

64. Lighthill M.J. On boundary layers and upstream influence. I.Supersonic flows without separation // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1953. V.217. N.1131. P.478-507.

65. Smith F.T. On the nonparallel flow stability of the Blasius boundary layer // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1979. V.366. N.1724. P.91-109.

66. Жук В.И., Рыжов О.С. Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т.253. N 6. С.1326-1329.

67. Lin С. С. On the stability of two-dimensional parallel flow. III. Stability in a viscous fluid // Quart. Appl. Math. 1946. V.3. N.4. P.277-301.

68. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N.5. С.39-46.

69. Bodonyi В. J., Smith F. Т. The upper branch stability of the Blasius boundary layer, including non-parallel flow effect // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1981. V.375.N.1760. P.65-92.

70. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших значениях числа Рейнольдса//Докл. АН СССР. 1983. Т.268. N.6. С.1328-1332.

71. Жук В. И. Об асимптотике решений уравнения Орра-Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N.4. С.3-11.

72. Жук В. И., Рыжов О. С. Об одном свойстве линеаризованных уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением // Докл. АН СССР. 1978. Т.240. N 5. С.1042-1045.

73. Жук В. И., Рыжов О. С. О решениях дисперсионного уравнения из теории свободного взаимодействия пограничного слоя // Докл. АН СССР. 1979. Т.247. N 5. С.1085-1088.

74. Ryzhov O.S., Zhuk V.I. Internal waves in the boundary layer with the self-induced pressure // J.Mecanique. 1980. V.19. N.2. P.561-580.

75. Benney D.J., Bergeron R.F. A new class of nonlinear waves in parallel flows // Stud. Appl. Math. 1969. V.48. N.3. P.181-204.

76. Davis R.E. On the high Reynolds number over a wavy boundary // J. Fluid Mech. 1969. V.36. Pt.2. P.337-346.

77. Stuart J.T. Nonlinear stability theory // In: Annual Rev. Fluid Mech., Palo Alto, California, Annual Revs Inc. 1971. V.3. P.347-370.

78. Ryzhov O.S. Stability and separation of viscous flowsy // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium 1984. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,1985. P.337-347.

79. Терентьев Е.Д. Расчет давления в линейной задаче о вибраторе в сверхзвуковом пограничном слое // Прикл. матем. и механ. 1979. Т.43. Вып.6. С.1014-1028.

80. Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд.-во иностр. лит., 1958.

81. Tollmin W. liber die Enstehung der Turbulenz. I Mitteilung. Nachr. Ges. Wissenschaften Gottingen, Math. Phys. К1, 1929, H.l, p.21.

82. Богданова E.B., Рыжов O.C. О колебаниях, возбуждаемых гармоническим осциллятором в течении Пуазейля // Докл. АН СССР. 1981. Т.257. N.4. С.837-841.

83. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое // ПММ. 1981. Т.45. Вып.6. С. 1049-1055.

84. Терентьев Е.Д. Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания на закритических частотах в дозвуковом пограничном слое//ПММ. 1984. Т.48. Вып.2. С.264-272.

85. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О переходном режиме, характеризующем запуск вибратора в дозвуковом пограничном слое на пластинке // ПММ.1986. Т.50. Вып.6. С.974-986.

86. Smith F.T. Nonlinear stability of boundary layers for disturbances of various sizes // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1979. V.368. N.1735. P.573-589.

87. Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотические задачи теории устойчивости вязкой жидкости // Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН. Сообщения по прикладной математике. Москва. 2003. 54 с.

88. Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотика решений уравнения Орра-Зоммерфельда в окрестностях двух ветвей нейтральной кривой // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43. № 11. С. 1737-1753.

89. Жук В.И., Проценко И.Г. О нейтральных кривых в задаче устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Москва, изд-во МФТИ. 2004. С. 6174.

90. Жук В.И., Проценко И.Г. Осциллирующая стенка. // Труды XLVI научной конференции МФТИ, 2003. Ч. 7. С. 19-20.

91. Жук В.И., Проценко И.Г. Некоторые типы взаимодействия солитонов уравнений Кортвега де Вриза и Захарова - Кузнецова // Труды XLV научной конференции МФТИ, 2002. Ч. 7. С. 4-5.

92. Жук В.И., Проценко И.Г. Двухпалубная теория пограничного слоя. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой // Труды XLIV научной конференции МФТИ, 2001. Ч. 7. С. 32.

93. Гузаева К.В., Жук В.И. Об одном способе вывода уравнения Линя-Рейснера-Цзяня // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Москва, изд-во МФТИ. 2004. С. 45-60.

94. И.Г. Проценко, Гузева К.В. К вопросу асимптотической теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Труды XLVII научной конференции МФТИ, 2004. Ч. 7. С. 88-90.

95. Von Schmidt Е., Beckmann W. Das Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld von einer Wärme abgeben senkrechten Platte bei naturliche Konvektion //

96. Forsch, aus dem Gebiete des Ingenieurwesens. Tech. Mech. und Therm., 1930, Bd 1,N 10, 11.

97. Von Karman Th. Über laminare und turbulente Reibung // ZAMM, 1921, Bd l,Ht. 4.

98. Kohama Y. Some expectation on the mechanism of cross-flow instability in a swept-wing flows I I Acta Mech. 1987. V.66. P.21-38.

99. Cooke J.C. The boundary layer of a class of infinite yawed cylinders // Proc. Camb. Phil. Soc. 1950. V.46. P.645-648.

100. Бойко A.B., Грек Г.Р., Довгаль A.B., Козлов B.B. Возникновение турбулентности в пристенных течениях. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН. 1999. 328 с.

101. Lingwood R.J. Absolute instability of the boundary layer on a rotating disk // J. Fluid Mech. 1995. V.299. P. 17-33.

102. Wernz S., Fasel H. Numerical investigation of resonance phenomena in wall jet transition // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium Se-dona/AZ 1999. Springer-Verlag 2000. H.F.Fasel, W.S.Saric (Eds.). P.217-221.

103. Seidel J., Fasel H. Numerical investigation of heat transfer mechanisms in wall jet transition // Laminar-Turbulent Transition. IUTAM Symposium Se-dona/AZ 1999. Springer-Verlag 2000. H.F.Fasel, W.S.Saric (Eds.). P.652-656.

104. Messiter A. F., Li n an A. The vertical plate in laminar free convection: effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature // ZAMP. 1976. V. 27. No.5. P. 633-651.

105. Amitay M., Cohen J. The mean flow of a laminar walljet subjected to blowing or suction // Phys. Fluids. A. 1993. V.5. P.2053-2057.

106. Рыжов О.С. Неустойчивость распространяющейся вдоль стенки струи вязкой жидкости // Прикл. механ. и техн. физ. 1982. №2. С.26-33.

107. Wasow W., Asymptotic Expansion for Ordinary Differential Equation, John Wiley and Sons Inc., New York London - Sydney, 1965.

108. Daniels P. G. The Flow About the Trailing Edge of a Supersonic Oscillation Airfoil. J. Fluid Mech., Vol. 72, part 3, 1975, pp. 541-557.

109. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовича М. и Стиган И. /М.: Наука, 1979, 832 с.

110. Drazin P.G. On the stability of cnoidal waves // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1977. V. 30. Pt.l. P.91-105.

111. Рыскин H.M., Трубецков Д.И. Нелинейные волны /М.: Наука, 2000. 272 с. (Сер. Современная теория колебаний и волн.)

112. Жук В.И., Попов С.П. О нелинейном развитии длинноволновых невязких возмущений в пограничном слое // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989. N.3. С.101-108.

113. Жук В.И., Попов С.П. Моделирование нелинейных волн в пограничных слоях на основе уравнений Бюргерса, Бенжамина-Оно и Кортевига-де Вриза // Математическое моделирование. 1990. Т.2. N.7. С. 96-109.

114. Ю.В. Бибик, В.И. Жук, С.П. Попов Основные закономерности взаимодействия двумерных гидродинамических солитонов // Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. Сообщения по прикладной математике. Москва. 2001. 59 с.

115. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. М.:Мир, 1989, 326 с.

116. Tillmark N., Alfredsson Р.Н. Experiments of transition in plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1992. V.235. P.89-102.

117. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта // Доклады АН СССР. 1971. Т. 196. № 5. С. 1049-1051.

118. Романов В.А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта // Функциональный анализ и его приложения. 1973. Т.7. Вып.2. С.62-73.

119. Thomas L.H. The stability of plaint Poiseuille flow // Phys. Review. 1953. V.91 P. 780-783.

120. Reid W.H. The stability of parallel flows // Basic Developments in Fluid Dynamics. Academic Press. 1965. Vol. 1.

121. Drazin P.G., Reid W.H., Gydrodynamik stability / Camabridge University Press. 1981.

122. Cowley S.J., Smith F.T., On the stability of Poiseuille-Couette flow: a bifurcation from infinity // J. Fluid Mech. 1985. V.156. P.83-100.

123. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Мир, 1968. 464 с.