Некоторые вопросы асимптотической теории волны горения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

0@/</еЯи6 ¿ОйО

холопов

Владимир Михайлович

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВОЛНЫ ГОРЕНИЯ

01.04.17 - химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка 1999

Работа выполнена в Институте проблем химической физики РАН

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Худяев С.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Иванова А Н.

кандидат физико-математических наук, Кришеник П.М.

Ведущая организация - Томский государственный университет

Защита состоится "_" ______2000 года в_часов

на заседании диссертационного совета Д 200.08.01 в Институте проблем химической физики РАН по адресу: 142432, Московская область, п. Черноголовка, ИПХФ РАН, корпус 1/2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПХФ РАН (142432, п. Черноголовка Московской обл., ИПХФ РАН, корп. 1/2)

Автореферат разослан "_"____ 1999 года

Учёный секретарь диссертационного совета Д 200.08.01 кандидат

физико-математических наук Юданов A.A.

2

r-c-tm J1 _ xfV а П

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы в теорию горения внедряются формализованные процедуры построения асимптотики по большой энергии активации или по малой ширине зоны реакции. Эти процедуры показали, что в основополагающих работах H.H. Семёнова, Я.Б. Зельдовича, Д.А. Франк-Каменецкого о волне горения строится, по существу, главный член асимптотики. Систематическое применение таких процедур дало возможность регулярным способом строить последующие члены. Вместе с тем возникли проблемы, связанные с правильной конструкцией асимптотик и их математическим обоснованием. Появилось много работ, в которых строились некоторые формальные разложения и объявлялись асимптотиками решения, на деле не являющиеся таковыми. Это обстоятельство и интерес к приближённым аналитическим решениям делает актуальной задачу построения обоснованной асимптотики волны горения.

Цель работы - построить асимптотику стационарной волны горения при протекании реакции п -го порядка (п > 1), разобраться в зависимости асимптотики от тепло- и массопереноса (числа Льюиса), от боковых теп-лопотерь; исследовать стационарную волну горения при протекании двух конкурирующих реакций в газах, описать и исследовать область неединственности.

Методика исследования. В работе используются методы сингулярно возмущенных уравнений, методы согласования разномасштабных асимптотических разложений, предполагающие знание качественных средств решений, структуру особых точек и погранслоёв. Как правило, эти методы требуют адаптации к рассматриваемому классу задач.

Научная новизна. Рассматривая простейшую модель одностадийной реакции, зарубежные авторы, начиная с работы W.B.Buch, F.E.Fendell (1970 г) ограничиваются частными случаями реакции 1-го порядка. В отечественной литературе (В.С.Берман, Ю.С.Рязанцев; И.С.Любченко, В.И. Любченко, Г.Н. Марченко и др.) имеются попытки асимптотического анализа ряда моделей: и простой одностадийной реакции, и с наличием теп-лопотерь, и модели последовательных и параллельных реакций. Однако эти попытки во многом оказались неудачными.

Все основные результаты работы являются новыми. Впервые получена асимптотика стационарной волны горения в газах при протекании реакции п -го порядка (п > 1). Показано, что в этом случае необходимым элементом асимптотики даже для простейшей модели является наличие второго пограничного слоя в окрестности температуры горения. Двучленная асимптотика неадиабатической стационарной волны горения также

построена впервые. Неединственность стационарной волны горения на примере двух конкурирующих реакций в конденсированной среде впервые была обнаружена в работах С.И. Худяева и Б.И. Хайкина, и доложена на V Всесоюзном симпозиуме по горению и взрыву (Одесса, 1977). Позже численными расчётами было показано, что аналогичный результат следует ожидать и для газовых систем. Естественно возник интерес к качественному и аналитическому исследованию этого случая. В данной работе впервые систематически изложены эти исследования.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит в основном теоретический характер. Основные результаты работы представляют определённый интерес, как в теоретическом, так и в практическом плане. В работе рассмотрены простейшие модели теории горения. Однако методы, развитые в работе, могут найти плодотворное применение в дальнейших исследованиях, относящихся к асимптотической теории волны горения, например для реакций другого типа. Кроме того, они используются автором при чтении спецкурса "Вопросы самоорганизации в нелинейных системах''. С практической точки зрения, полученные в работе асимптотические формулы, могут служить в качестве расчётных для вычисления основных параметров волны горения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на V Всероссийском семинаре по теории функций, посвящённом памяти Леонтьева А.Ф. (Сыктывкар, 1993), XI Симпозиуме по горению и взрыву "Химическая физика процессов горения и взрыва" (Черноголовка, 1996), И и III Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1996, 1998), Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 1999), а так же на ежегодных сессиях Учёного Совета Сыктывкарского университета "Февральские чтения".

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 91 странице машинописного текста, включая 7 рисунков и 8 таблиц, и состоит из введения, четырёх глав и заключения. Библиография содержит 80 наименований.

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ, три из которых в реферируемых журналах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая характеристика области исследований, актуальность выбранной темы, цель работы, и конспективно изложено содержание работы.

В первой главе приведены предварительные сведения из математической теории горения о задачах, рассматриваемых в диссертации, а также дан краткий обзор литературы по этим задачам. Эта глава носит вспомогательный характер.

В §1 изложена задача о стационарном распространении пламени. В системе координат, связанной с фронтом пламени стационарная волна горения при протекании одностадийной необратимой экзотермической реакции и-го порядка описывается следующей системой дифференциальных уравнений, относительно температуры Т и относительной концентрации горючей компоненты смеси а :

{xT')'-cmT '+Qw = О,

(рр а У-та - w = О, где ' означает дифференцирование по пространственной переменной £, , X - коэффициент теплопроводности, с - удельная теплоёмкость, D -коэффициент диффузии, р - плотность смеси, Q - тепловой эффект реакции, m - искомая массовая скорость горения. Скорость химической реакции w, в предположении аррениусовской зависимости от температуры, задаётся формулой

■ч, ( Л

w = a k0 exp —— .

\ Ш J

Здесь Е - энергия активации, R - универсальная постоянная, к0 - пре-дэкспоненциальный фактор (скорость реакции при Т - со ). Решать эту систему уравнений следует в области - оо < £ < +со, задав подходящие граничные условия при £ = ± оо. Естественные граничные условия состоят в том, что на одном из концов следует считать реакцию не начавшейся, а на другом завершённой.

При помощи адиабатической температуры горения Г» =Г0 + Qjc в работе вводятся и систематически используются безразмерные величины:

Т*-Т ЛТ' /ч

^ = г, />(0 = 77-, a = a(î),

T.-h Qm

ВТ? с П-Т0 _ Dcp m2 с

у-- п---, L = ——, со — —:-.

rQE Т. А г ЩТ,)

Зависимости p[t) и а{() описываются уравнениями:

I n f „ \

- + 1 =-r-exp

dt с» pyn+l

Г(1-мО

,p(0) = p(l) = 0, (1)

I =£-? й(0) = 0, а(1) = 1. (2)

ш р

Далее в этом параграфе дан краткий обзор литературы по решению поставленной задачи.

В §2 рассмотрена задача о распространении неадиабатической стационарной волны горения образца большой протяжённости и сравнительно небольшого круглого сечения в предположении реакции п -го порядка. С помощью приближённого весового усреднения (метод С.И. Худяева) боковые теплопотери учитываются эффективным членом типа у(Т -Т0). При этом коэффициент V лишь при малых значениях коэффициента теп-лоотвода а согласуется с обычно применяемым членом Яа Б/V.

В §3 кратко изложена "проблема единственности" стационарной волны горения и дан литературный обзор по этой проблеме.

Глава II посвящена построению асимптотики стационарной волны горения в газах для реакции п -го порядка (п > 1).

В §1 рассматривается частный случай задачи (1)-(2) Ь = О, что соответствует смеси газов близких молекулярных весов. В этом случае а = I (подобие полей концентраций и температур), и задача сводится к одному уравнению

dp . Г г + 1 = —^ГехР

dt (ору'

\

р(0) =/>(!) = О. (3)

О,

Приближённое аналитическое решение этой задачи ищется в виде асимптотики по малому параметру у, имеющему смысл относительной ширины зоны химической реакции. То обстоятельство, что правая часть уравнения (3) сосредоточена в малой окрестности точки t = 0 и экспоненциально мала при у —> 0 вне этой окрестности делает удобным применение метода сращивания асимптотических разложений, построенных вне выше упомянутой окрестности точки t = О (внешнее решение) и внутри нее (внутреннее решение). Устремляя у к нулю в (3) и учитывая условие

р(\) = О , находим внешнее решение p(t) = 1 -1.

Для построения внутреннего решения в окрестности точки t = О вводится новая переменная т = ty~l, в которой уравнение (3) примет вид:

v

dp т" — + y =—exp at pea

Pi 0) = 0.

(4)

1 -pyx j

Привлекательная идея получения р(т) в виде разложения по целым степеням у оправдывается лишь при п< 1. При п > 1

Р0(т)+У р1(т) + ... = Ат ' - Вут +..., где А я В некоторые положительные множители, поэтому при г —> О р(т) < 0, что противоречит физическому смыслу решения. При п > 1 такое построение становится невозможным. Уже в этой простейшей модели горения при п > 1 необходимым элементом асимптотики оказывается наличие кроме р(т) второго погранслоя в окрестности t = О относительно переменных

т р 2

У

1+а

где а =

п-1

в которых уравнение (4) переходит в уравнение

( г п \

¿4

coq

exp

l+a

9(0) = 0.

Вид правой части последнего уравнения показывает, что асимптотику для со и ^ , а, следовательно, и для р , следует искать в виде разложений по степеням у вида / + ]а, где /, / - целые неотрицательные числа.

Далее в работе строятся и сращиваются разложения первого и второго погранслоев. При этом для скорости т2 в двучленном выражении получается формула:

-п*Лк( Г.)

т

Г

\2Г(п + 1) + 2у

2Пп + \)\[\-р,{т)]с1т

-МГ(п + 3)]+0(уг) ,

со

r.«eI>) = jy-VVi, />0(г) =

1

Sds

К

Г(и + 1)'0

Здесь главный член совпадает с известной формулой Зельдовича-Франк-Каменецкого.

Составное внутреннее разложение строится как сумма разложений первого и второго погранслоев за вычетом их общей части.

В §2 рассматривается задача (1)-(2) в общем случае ¿-0(1). И здесь, как и в частном случае, асимптотика строится по методу сращивания асимптотических разложений. Внешнее решение в этом случае имеет

ввд:Ж0 = 1-', а=1-(1-()1/1.

Первый похранслой в переменных г = ¡¡у, Ь = а/у описывается следующей системой:

с1р Тт т <ИЬ

+у

Ь"

(О р

-ехр

¡луг

1 + 6(0) = 0.

/7(0) = 0,

(5)

(6)

Л р

По аналогии с частным случаем Ь = 1 асимптотика решения системы (5)-(6) строится по степеням у вида / + )а, где 1, _/ - неотрицательные целые, а а = 2(и -1)-1 .

Второй погранслой в переменных £ -т/уа , ц- р!уа , с = Ь/уа

описывается следующей системой:

/ » ^ N

•ехр

£

ёс

"Д

да>

Па

1-М& с( 0)=0.

0(0) = 0,

Асимптотика т в этом случае имеет вид:

+

"(1-1)

и+1

/г-.

V

. г

1 Ро(*)

2Г(п +1)

I"

/Щп + З) Ь"

¡{\~Ро(г))с1т +

\ о

+ 0(у2)

Следует отметить, что в отличие от частного случая в общем случае возникает существенное ограничение на порядок реакции сверху п< 3.

В таблице 1 представлено сопоставление результатов численного расчёта безразмерной скорости горения (знаменатель) с вычисленными по асимптотическим формулам (числитель) для различных значений параметров Ь, у, п, /и (у- 0,05 ).

Таблица 1.

¿=0,75 ¿=1 1=2

п М 0 1 2 0 1 2 0 1 2

0 2,122 2,940 7,734 2,122 2,269 4,851 2,122 1,181 1,400

2,118 2,839 6,761 2,118 2,201 4,298 2,118 1,160 1,310

0,2 2,082 2,780 6,881 2,082 2,149 4,371 2,082 1,122 1,280

2,077 2,702 6,236 2,077 2,093 3,952 2,077 1,101 1,198

0,4 2,042 2,620 6,027 2,042 2,029 3,891 2,042 1,062 1,160

2,073 2,572 5,746 2,073 1,980 3,629 2,073 1,050 1,094

0,6 2,032 2,460 5,174 2,032 1,909 3,411 2,032 1,002 1,040

1,999 2,448 5,289 1,999 1,892 3,330 1,999 0,992 0,998

0,8 1,962 2,300 4,321 1,962 1,789 2,931 1,962 0,942 0,920

1,962 2,331 4,868 1,962 1,801 3,055 1,962 0,911 0,911

С ростом п асимптотика скорости, вообще говоря, ухудшается. С приближением /л к 1 асимптотика также ухудшается и требуется всё большее количество членов (в формулы для скорости входят лишь линейные члены по /л).

Несмотря на то, что в работе выписаны только старшие члены асимптотики, предложенная конструкция позволяет без принципиальных сложностей выписывать и младшие члены.

В главе III строится двучленная асимптотика неадиабатической волны горения в конденсированной среде в случае реакции нулевого порядка. Главный член асимптотики был построен С.И. Худяевым. Им же показано, что в зоне реакции происходит полное превращение при п = 0 . Уравнения имеют вид:

ЛТхс-стТ'х-у0(Т-Т0) + Он> = 0, (7)

тах +н>-0 (8)

с граничными условиями

х = -оо: Т = Т0, а = 1,

х = 4оо: Т = Т'Х -ах = 0.

В §1 рассматриваемая задача приводится к безразмерному виду. Обозначим через Г, максимальное значение температуры, которое достигается в волне горения. Вследствие теплопотерь Т* <Т0+ <2/с . В данной задаче Г*, как и скорость т, подлежит определению. При помощи Г, введятся, следующие безразмерные величины:

Т.-Т ,, XT' T.-T0 , Q

-./»(0 = rr, \ 'M — ~— = - и

cm(Tt -Тй) T. ' c(T.-T0Y

Лу0 RT, RT2 cm2

r = — = —> <» = -

(тс)2' ИЕ Е(Т,-Т0)' уАк(Т.)' В адиабатическом случае (or -> 0) имеем Г, = Т0 + Q/c, 6 = 0, h = 1. Переход к независимой переменной t позволяет понизить порядок уравнения (7). При этом для функций a{t) и p{t) получаем систему уравнений:

/ \ t

da 1 р — = —ехр dt усо

y(l-Mt),

(9)

p± + p = hp^L„b(!_,). (10)

В силу теплопотерь профиль температуры Т{х) в уравнениях (7), (8) не является монотонной функцией ( Т(х) проходит через максимум и убывает до Т0 при х со ). Поэтому переход к независимой переменной t делает функции p(t) и a(t) двузначными. Из системы (9)-(10) необходимо найти верхние р+,а+ и нижние р~,а~ ветви решения. Эти ветви смыкаются в точке максимума температуры T = Т, (( = 0), так что

рЧ0) = 0, 0) = «., где а„, так же как и 7», m, является искомой величиной. Как было сказано, в случае реакции нулевого порядка имеет место полное превращение в зоне реакции, поэтому при t = 1 (Т = Т0 ) должны иметь

р± (1) = 0, а+(1) = 1, я"(1) = 0.

Асимптотика решения рассматриваемой задачи ищется с помощью метода сращивания асимптотических разложений в виде степенных разложений по малому параметру у , имеющему тот же самый смысл, что и в главе I.

В §2 строятся внешнее и внутреннее решения задачи. Их сращивание производится в §3. Из условий сращивания находятся искомые параметры задачи.

Двучленная асимптотика размерной скорости m2 имеет вид:

ч

т2_уЛк(Т.)(Я+-Л_)

2А;с 1 , Ъ1ъ(мх,) i 4(1-In2)1]

/*(/2(-ьх>)-/4(-Нх>)-2)+

где

7* = 7'0 + Q/(ch), у, ß и h представляются в параметрическом виде

через параметр Ъ.

Конструкция составного разложения задачи стандартна: оно равно сумме внешнего и внутреннего разложений за вычетом их общей части.

Глава IV посвящена неединственности стационарной волны горения в газах при протекании двух конкурирующих реакций.

В §1 приведена математическая постановка задачи. Стационарная волна горения газовой смеси при протекании экзотермических реакций по схеме А]<г-А0->А2 может быть описана системой уравнений относительно температуры Т и концентрации а исходного вещества А0

(ЛТ')' -cmf +Q^+Q2w2=0, (И)

(Dpa )' - та' - w, - w2 =0 (12)

с естественными граничными условиями

х = -со: Т = 21, а - I; г = -fco: Т - 0, а- 0 . Здесь Т_ - начальная температура, Л, D,c,p- теплофизические параметры смеси (L = DcpX'1 >0), О, - тепловой эффект г-ой реакции А 0-> А ^, wi - скорость этой реакции

Ф,(Т) = kj ехр(- /RT), (/=1,2),

, к> - энергия активации и предэкспонент г-ой реакции, Я - универсальная постоянная, и - порядок реакций (для простоты одинаковый). Кроме профилей Т(х) и а(х) искомыми величинами являются скорость горения от и температура горения Т> - Г(+со).

В §2 при помощи метода сращивания асимптотических разложений в первом приближении строятся внешнее и внутреннее решения задачи и производится их сращивание. В результате чего находится формула для скорости т

При и О эта формула перестаёт зависеть от Ь и переходит в соответствующую формулу для Ь = 0,п = 0. За исключением этого случая решение при Ь = 0, полученное ранее Худя ев ым С.И. и Хай-киным Б.И., не получается предельным переходом при Ь —» 0 из решения системы (13)-(14) при £ > 0, и эти задачи необходимо исследовать отдельно.

Для определения Т+ получено уравнение:

которое и позволяет описать область неединственности Т+.

В §§3-5 проводится анализ уравнения (13), описание области неединственности и выяснение физических причин неединственности.

В §б кратко цитируются результаты работы (Хайкнн Б.Й., Ху-дяев С.И., Жукова Л.А., 1980), в которой пугём численного решения нестационарной задачи исследовалась устойчивость стационарных режимов распространения волн горения и ¡¡сспщионариые явления при потере устойчивости в области неедимстиашости.

В заключении перечислены основные результа ш диссертации, выносимые автором на защиту.

1. При помощи метода сращивания асимптотических разложений построена асимптотика стационарной волны горения газовой

Ф2(Т,)-Ф,(Т+)(Е2/Е^2 2с(Т, -Г_)-(й +д2)

Ф2(К)+Ф,(Г.ХЕ2/Е,)('",)/* 02-а

(13)

Выводы.

смеси при протекании реакции п -го порядка. При п> 1, даже для простейших моделей горения, необходимым элементом асимптотики является наличие второго погранслоя в окрестности температуры горения.

2. Построена двучленная асимптотика неадиабатической стационарной волны горения конденсированного вещества для реакции нулевого порядка.

3. Ранее установленная неединственность стационарной волны горения конденсированного вещества при протекании двух конкурирующих реакций перенесена на случай горения газовых смесей. Описана и исследована область неединственности в этом случае, а также выяснены физические причины неединственности.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Холопов В. М. Об асимптотике стационарной волны горения в газах: Тех докл. // Теория функций: V Всероссийский семинар, посвященный памяти А.Ф. Леонтьева. Сыктывкар, 1993. С.71-72.

2. Холопов В.М., Худяев С.И. О структуре асимптотики волны горения газовой смеси: Тез. докл. // Дифференциальные уравнения и их приложения: 11 Международная конференция. Саранск, 1996. С.35.

3. Холопов В. М., Худяев С.И. Асимптотика стационарной волны горения газовой смеси: Тез. докл. // Химическая физика процессов горения и взрыва: XI Симпозиум по горению и взрыву. Черноголовка, 1996. С.60.

4. Холопов В.М., Худяев С.И. К асимптотической теории волны горения в газах // Вестник Сыктывкарского ун-та. 1996. Сер.1. Вып.2. С.225-234.

5. Холопов В.М., Худяев С.И. Асимптотика стационарной волны горения газовой смеси // Хим. физика. 1997. Т. 16. №9. С.27-34.

6. Kholopov V.M., Khudyaev S.I. Asymptotic Behavior of a Stationary Combustion Wave in a Gas Mixture // Chem. Phys. Reports. 1997. V.16. №9. P. 1539-1549.

7. Холопов В.M., Худяев С.И. О неединственности волны горения в газах //Дифференциальные уравнения и их приложения: Труды III Международной конференции. Саранск, 1998. С.69-70.

8. Холопов В.М., Худяев С.И. Неединственность стационарной волны горения II Матсм. модел. 1998. Т.10. №5. С.91-108.

9. Холопов В.М., Худяев С.И. Асимптотика стационарной волны горения произвольной газовой смеси: Тез. докл. // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Международная конференция. Минск, 1999. С.234-235.

Введение.

Глава I. Предварительные сведения из математической теории горения.

§ 1. Стационарная задача о распространении пламени.

§2. Неадиабатическая стационарная волна горения.

§3. Неединственность стационарной волны горения.

Глава II. Асимптотика стационарной волны горения в газах.

§1. Смеси газов с близкими молекулярными весами.

1. Внешнее решение.

2. Первый погранслой.

3. Второй погранслой.

4. Асимптотика скорости.

§2. Общий случай L = (9(1).

1. Внешнее решение. Первый погранслой.

2. Второй погранслой.

3. Сращивание. Асимптотика скорости.

Глава III. Асимптотика неадиабатической стационарной волны горения.

§ 1. Безразмерные уравнения и параметры.

§2. Внешнее и внутреннее решения.

§3. Сращивание.

Глава IV. Неединственность стационарной волны горения в газах.

§ 1. Постановка задачи. Основные параметры.

§2. Внешнее и внутреннее решения. Условия сращивания.

§3. Случай L = Q.

§4. Область неединственности.

§5. Анализ результатов.

§6. Устойчивость стационарных режимов и автоколебательные режимы.

Теория горения, как наука, зародилась сравнительно недавно, несмотря на то, что горение, как природное явление, использовалось человечеством в своей практической деятельности с незапамятных времён. Научное исследование горения началось в XVIII в. вместе со стремительным развитием химии. Этап изучения горения и взрывов, начавшийся в конце XIX в. и продолжающийся до настоящего времени, был связан с появлением двигателей внутреннего сгорания, развитием внутренней баллистики артиллерийских орудий и взрывного дела, а в последние десятилетия - с широким внедрением в технику реактивных двигателей. Это во многом стимулировало быстрое развитие науки о горении. Особенно бурное развитие наука о горении испытала в последние десятилетия. На её основе были созданы современные технологические процессы энергетики и химической технологии, получены новые материалы.

На современном этапе под горением и взрывом понимается быстрое протекание реакции в веществе, которое в исходном состоянии инертно. При этом решающим оказывается выделение тепла и (или) активных центров при самой реакции. Развитие теории горения привело к формированию некоторых специфических, асимптотических по своей природе понятий и математических методов. Дело в том, что для теории горения типична весьма сильная зависимость скорости химической реакции от температуры. Если подходить к делу с точки зрения численного решения получающихся уравнений, это вызывает затруднения. Но это же обстоятельство обуславливает плодотворность асимптотических подходов. Само основополагающее понятие в теории горения - понятие пламени, распространяющегося с постоянной скоростью, не зависящей от условий поджигания и определяемой только свойствами и состоянием горючей смеси, - представляет продукт асимптотического подхода.

Сильная зависимость скорости химической реакции от температуры обуславливает также специфическое для теории горения резкое различие режимов протекания реакции: существование воспламенения, разнообразных критических условий смены режимов, для которых характерна сильная, а в пределе скачкообразная зависимость режима от параметров задачи.

Именно эти асимптотические понятия и подходы имеют значение, далеко выходящее за пределы теории горения. Свидетельством тому являются, например, проблемы механики полимеров, разрушения материалов, распространения импульсов по нервным тканям; в этих и во многих других проблемах с большим эффектом использовались методы теории горения.

Во всех процессах горения, независимо от их химической природы, основную роль играют критические явления и явления распространения зоны реакции. К критическим явлениям относятся воспламенение, зажигание и концентрационные пределы распространения пламени. К явлениям распространения горения относятся нормальное распространение пламени (распространение пламени в отсутствие газодинамических эффектов, связанных с градиентами давления или с турбулентностью), горение в неравномерно движущемся газе, турбулентное горение и детонация. Механизм нормального распространения пламени связан с передачей тепла посредством теплопроводности или активных продуктов реакции посредством диффузии. От локального очага интенсивной химической реакции химическое превращение может распространяться на весь объем, занятый горючим веществом: возникают волны химического превращения, перерабатывающие горючее вещество и приводящие к выделению тепла. Эти волны обладают свойством само поддержания: скорость распространения и структура их не изменяются со временем.

Волны горения представляют собой одно из наиболее интересных явлений, изучаемых теорией тепломассопереноса в химически реагирующих системах. Распространение волны горения является одним из возможных режимов, в котором могут протекать экзотермические химические реакции. При распространении волны горения исходное вещество, имеющее сравнительно низкую начальную температуру, отделено узкой зоной горения от продуктов реакции, имеющих значительно более высокую температуру. Зона горения, разделяющая исходное вещество и продукты, перемещается в сторону исходного вещества с некоторой линейной скоростью и, называемой нормальной скоростью горения. В теории распространения пламени одной из основных задач является нахождение стационарного режима, распространяющегося с постоянной скоростью.

Исследование количественных характеристик горения, таких как температура горения, скорость распространения пламени и т.д., привело к необходимости математического описания этих процессов и послужило толчком для развития математической теории горения. В научной литературе по теории горения термины волна горения, пламя, фронт пламени используются как синонимы, обозначающие зону химического превращения вещества, узкую по сравнению с характерными линейными размерами, что свидетельствует об асимптотическом характере науки о распространении пламени, изучающей предельные режимы протекания химических реакций близкие к фронтальным. В основополагающих работах H.H. Семёнова, Я.Б. Зельдовича, Д.А. Франк-Каменецкого [1-3] (см. также [4-7]) хотя и не присутствует слово асимптотика, профили температуры и концентраций и формула для скорости пламени построены на идее сращивания внутреннего и внешнего решений и представляют собой главный член подходящей асимптотики по малому параметру, имеющему смысл относительной ширины зоны химической реакции.

Внедрение в теорию горения формализованных процедур построения асимптотики внесло ряд усовершенствований в реализацию методологии и представлений, развитых в работах [1-3], в частности, избавило от необходимости осмысливать каждый шаг при построении решений и дало возможность регулярным способом строить младшие члены. Вместе с тем возник и ряд проблем, связанных с правильной конструкцией асимптотик и их математическим обоснованием. В литературе отмечен ряд работ, в которых предложены формальные разложения в качестве асимптотики решения, на деле не оказывающиеся таковой. Не всегда формально построенные ряды представляют собой асимптотику. Это обстоятельство делает актуальной задачу построения обоснованной асимптотики волны горения, как наиболее общего метода получения приближённого аналитического решения.

Вопросы, рассмотренные в настоящей диссертации, относятся именно к стационарному распространению пламени. Целью работы являются: построение асимптотики стационарной волны горения при протекании реакции «-го порядка, разобраться в зависимости асимптотики от тепло- и массопереноса (числа Льюиса), от боковых теп-лопотерь; исследовать стационарную волну горения при протекании двух конкурирующих реакций в газах, описать и исследовать область неединственности.

Диссертация состоит из четырёх глав. В главе I кратко излагаются некоторые предварительные сведения о задачах, рассматриваемых в диссертации: задача о стационарном распространении пламени (§1), задача о неадиабатической стационарной волне горения (§2), «проблема» неединственности стационарной волны горения (§3). Здесь же приводится обзор литературы по этим задачам. Глава I носит вспомогательный характер.

Результаты работы докладывались на V Всероссийском семинаре по теории функций, посвящённом памяти А.Ф. Леонтьева (Сыктывкар, 1993), на XI Симпозиуме по горению и взрыву «Химическая физика процессов горения и взрыва» (Черноголовка, 1996), на II и III Международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1996, 1998), на Международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 1999), на ежегодных сессиях Учёного Совета Сыктывкарского университета «Февральские чтения». Основные результаты диссертации опубликованы в работах [72-80].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог, кратко резюмируем основные результаты настоящей работы.

1. При помощи метода сращивания асимптотических разложений построена асимптотика стационарной волны горения газовой смеси при протекании реакции и-го порядка (1 < п < 3). В частном случае Ь — 1, что соответствует смеси газов близких молекулярных весов, ограничение сверху на порядок реакции п не возникает.

2. В продолжение результатов работы [20] построена двучленная асимптотика неадиабатической стационарной волны горения конденсированного вещества (Ь = 0) для реакции нулевого порядка.

3. Установлена неединственность стационарной волны горения газовой смеси при протекании двух конкурирующих реакций. Описана и исследована область неединственности.

1. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д. А. Теория равномерного распространения пламени//Ж. физ. химии. 1938. Т.12. №1. С.100-105.

2. Семёнов H.H. Теория нормального распространения // Успехи физ. наук. 1940. Т.24. №3. С.443-476.

3. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени // Ж. физ. химии. 1948. Т.22. №1. С.27-48.

4. Теория горения и взрыва. Сб. научн. трудов / Под ред. Ю.В.Фролова. М.: Наука, 1981. 408с.

5. Зельдович Я.Б. Избранные труды. Химическая физика и гидродинамика. М.: Наука, 1984. 377с.

6. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. 492с.

7. Математическая теория горения и взрыва / Зельдович Я.Б., Баренб-латтГ.И, Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. М.: Наука, 1980, 478с.

8. Lewis В., Von Elbe G. On the Theory of Flame Propagation If J. Chem. Phis. 1934. V.2. №8. P.537-546.

9. Ильин A.M., Худяев С. И. Об асимптотике стационарной волны горения в конденсированной среде // Хим. физика. 1989. Т.8. №4. С.525-532.

10. М.Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336с.

11. ХЪ.Берман B.C., Рязанцев Ю.С. К анализу задачи о тепловом распространении пламени методом сращиваемых асимптотических разложений // ПММ. 1972. Т.36. С.659-666.

12. Вольперт А.И., Худяев С.И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. М.: Наука, 1975. 394с.

13. Худяев С.И. Математическая теория горения и взрыва. Черноголовка, 1980. 46с. (Препринт /Отделение ин-та хим. физики АН СССР).

14. Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в математической физике // Успехи мат. наук. 1971. Т.26. Вып.2. С. 115-129.

15. П.Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1978. 207с.18 .Капель Я. И. О стационарном решении для системы уравнений теории горения // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149. №2. С.367-375.

16. Ваганов Д.А., Худяев С.И. Об одной стационарной задаче теории горения // Физ. гор. и взрыва . 1969. №2. С. 167-176.

17. Худяев С. И. Асимптотическое поведение стационарной неадиабатической волны горения // Хим. физика. 1991. Т. 10. №6. С.838-846.21 .Худяев С. И. Приближённые методы математической физики. Учебное пособие / Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1998. 159с.

18. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г. О неединственности стационарных решений для системы уравнений теории горения при кусочно постоянных константе скорости и коэффициентах теплопроводности и диффузии. //Докл. АН СССР. 1965. Т.163. №6. С.1338-1341.

19. Зельдович Я.Б. Теория предела распространения тихого пламени. // Ж. эксп. и теор. физ. 1941. Т.П. №1. С.159-169.

20. Посвянский B.C., Шнолъ Э.Э. К вопросу о неединственности скорости распространения пламени. // Матем. проблемы химии: Сборник науч. трудов. 4.1 / ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1975. С. 158164.

21. Хайкин Б.И., Худяее С.И. О неединственности температуры и скорости горения при протекании конкурирующих реакций. // Докл. АН СССР. 1979. Т.245. №1. С.155-158.

22. Хайкин Б.И., Худяее С.И. О неединственности стационарной волны горения. Черноголовка, 1981. 36с. (Препринт /Отделение ин-та хим.физики АН СССР).

23. Merzhanov A. G., Khaikin B.I. Theory of combustion waves in homogeneous media. //Prog. Energy Comb. Sei. 1988. V.14. P. 1-98.

24. Мержанов А.Г., Хайкин Б.И. Теория волн горения в гомогенных средах. Черноголовка, 1992. 161с.

25. Хайкин Б.И., Худяее С.И., Жукова Л. А. Неединственность, устойчивость и автоколебательные режимы горения при протекании конкурирующих реакций. // Горение конденсированных и гетерогенных систем: Сборник науч. трудов / Черноголовка, 1980. С.28-32.

26. Мартиросян Н.А., Долуханян С.Г., Мержанов А.Г. Эсперименталь-ные наблюдения неединственности стационарных режимов горения в системах с параллельными реакциями. И Физ. гор. и взрыва. 1983. №3. С.22-24.

27. Khudyaev S.I. On the Construction of Stationary Combustion Wave by the Method of Matched Asymptotic Expansions. // Archivum Combus-tionis. 1988. V.8. №3/4. P.287-293.

28. Hall A.R., Wolfhard H.G. Multiple Reaction Zone in Row Pressure Flames with Ethyl and Methyl Nitrate, Methyl Nitrate and Ni-tromethane. // VI Symp. (Intern.) on Combustion / N.Y., 1957. P. 190199.

29. АЪ.Ивлева Т.П., Мержанов А.Г., Шкадинский К.Г. Новый тип неединственности стационарных режимов распространения волн горения. // Докл. АН СССР. 1981. Т.256. №4. С.897-900.

30. АХ.Ивлева Т.П., Кришенш П.М., Мержанов А.Г., Шкадинский К.Г. О неединственности установившегося режима горения разбавленных безгазовых составов //Хим. физика. 1983. Т.9. С.1259-1264.

31. Ивлева Т.П., Кришеник ИМ., Мержанов А.Г., Шкадинский К.Г. Неединственности установившегося режима горения разбавленных безгазовых смесевых составов // ФГВ. 1983. №4. С.87-90.

32. Рыбалил С.С., Соболев C.JI. Критические условия горения макроге-терогенных систем типа топливо инертный материал. // Докл. АН СССР. 1983. Т.269. №6. С.1394-1398.

33. Боровиков М.Б., Буровой И.А., Голъдитегер У.И. Распространения волны горения в системах последовательных реакций с эндотермической стадией. // Физ. гор. и взрыва. 1984. Т.20. №3. С.3-11.

34. Некрасов Е.А., Тгтохын A.M. Неединственность стационарного режима горения при протекании последовательных реакций с эндотермической стадией. // Физ. гор. и взрыва. 1984. Т.20. №3. С. 1725.

35. Иванова А Н. Условия единственности стационарного состояния кинетических систем, связанные со структурой схемы реакций. Черноголовка, 1978. 12с. (Препринт /Отделение ин-та хим.физики АН СССР).

36. Иванова А.Н., Тарнополъскж Б.Л. Об одном подходе к выяснению ряда качественных особенностей поведения кинетических систем и его реализация на ЭВМ (критические условия, автоколебания) // Кинетика и катализ. 1979. Т.20. Вып.6. С.1541-1548.

37. Волъперт А.И., Иванова А.Н. О диффузионной неустойчивости и диссипативных структурах в химической кинетике // Автоволновые процессы в системах с диффузией / Институт прикладной физики АН СССР. Горький, 1981. С. 33-45.

38. Алдушин А.П., Каспарян С.Г. Двумерная неустойчивость фронта горения с параллельными реакциями. If Хим. физика. 1982. №10. С.1412-1421.51 .Найфэ А.Х. Методы возмущений. / Пер. с англ. М.: Мир. 1976. 455с.

39. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущённые краевые задачи. Теория и приложения / Пер. с англ. М.: Мир. 1988. 248с.

40. Ушаковский О.В., Худяев С.И., ШтейнбергА.С. К теории пределов горегия конденсированных систем // Проблемы горения и взрыва (Материалы IX Всесоюзного симпозиума по горению и взрыву) / Отделение ин-та хим. физики АН СССР. Черноголовка, 1989. С.33-36.

41. Любченко В.И. Стационарное горение негазифицирующихся конденсированных веществ при наличии теплопотерь в окружающую среду // Ж. физ. химии. 1987. T.LXI. №4. С.964-971.

42. Любченко В.И., Марченко Г.Н. Неадиабатические режимы безгазового горения реагирующих конденсированных веществ // Докл. АН СССР. 1988. Т.298. №3. С.645-650.

43. Хайкин Б.И., Фшоненко А.К., Худяев С.И. Распространение пламени при протекании в газе двух последовательных реакций. // Физ. гор. и взрыва. 1968. №4. С.591-599.

44. Ы.Алдушин А.П., Зельдович Я.Б., Худяев С.И. Численное исследование распространения пламени по смеси, реагирующей при начальной температуре. // Физ. гор. и взрыва. 1979. №6. С.20-27.

45. Aldushin А.Р., Khudyaev S.I., Zeldovich Ja.В. Flame Propagation in the Reacting Gaseous Mixture // Archivum Combustionis. 1981. V.l №1/2. P.9-21.

46. Худяев С.И. О промежуточной асимптотике в теории горения. // Матем. моделир. 1995. Т.7. №5. С.41.

47. Волъперт А.И., Вольперт В. А. Применение теории вращения векторных полей к исследованию волновых решений параболических уравнений. // Труды Моек, Матем. об-ва. 1989. Т.52. С.58-109.

48. Вольперт В.А., Вольперт А.И. Существование и единственность бегущих волн в химической кинетике. // Динамика химических и биологических систем: Сборник науч. трудов. Под ред. В.И.Быкова / Новосибирск: Наука, 1989. С.56-131.

49. Khudyaev S.L On the Construction of Stationary Combustion Wave by the Method of Matched Asymptotic Expansions. // Archivum Combustionis. 1988. V.8. №3/4. P.287-293.

50. У!.Янке E., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. М.: Физматгиз. 1959.420с.

51. Любченко И. С., Пучков Д. М., Марченко Г.Н. Асимптотический анализ стационарного распространения волны горения при протекании конкурирующих реакций. // Докл. АН СССР. 1981. Т. 159. №6. С.1392-1395.

52. А.Холопов В.М., Худяев С.И. Асимптотика стационарной волны горения газовой смеси: Тез. докл. // Химическая физика процессов горения и взрыва: XI Симпозиум по горению и взрыву. Черноголовка, 1996. С.60.

53. Холопов В.М., Худяев С.И. К асимптотической теории волны горения в газах // Вестник Сыктывкарского ун-та. 1996. Сер.1. Вып.2. С.225-234.