Некоторые вопросы математической теории пластичности и ее приложения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



Л/ - :/ / ^/^Г4-

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Мяснянкин Юрий Михайлович

Некоторые вопросы математической теории пластичности и ее приложения

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Быковцев Г.И.

.11резидиу:

^К России

1 решение от

трксудил ученую степень

_____Вврй»

Начальник управления ВАК России

_

р99

Содержание

Введение..........................................................................4

Глава I. Статические и кинематические соотношения на поверхностях разрыва в трехмерных идеальных жестко-

пластических телах...............................................23

§1.1. Основные соотношения теории идеальной жестко пластической среды.................................................23

§1.2. Кинематические соотношения на поверхностях скольжения...............................................................30

§1.3. Разрывы скоростей перемещений...........................36

§ 1.4. Соотношения на поверхностях разрыва скоростей......42

§ 1.5. Основные соотношения на поверхностях разрыва напряжений.........................................................49

§1.6. Разрывы напряжений при условии пластичности

Мизеса.............................................................55

§1.7. Разрывы напряжений при условии пластичности

Треска.............................................................78

§ 1.8. Соотношения на поверхностях слабых разрывов скоростей перемещений и напряжений...........................67

§ 1.9. Разрывы напряжений в сжимаемой идеально пластической среде.........................................................82

§ 1.10. Примеры построения разрывных решений..............90

Глава II. Плоское течение идеально пластического материала с

криволинейными границами..................................96

§ 2.1. Основные уравнения плоского течения идеальной жест-копластической среды........................................96

§ 2.2. Волочение полосы через криволинейную матрицу....105 § 2.3.Об определении оптимальной формы кусочно-линейной

матрицы при волочении жесткопластической полосы...115 § 2.4. Определение оптимальной формы гладкой выпуклой матрицы при волочении полосы..................................124

§ 2.5. Определение изменяющейся границы пластической области для одного класса нестационарных задач при плоском

деформировании.................................................131

Глава III. Задачи предельного состояния конструкций..........144

§3.1. Общие соотношения осесимметричного состояния жестко-

пластической среды.............................................144

§ 3.2. Разложение при условии пластичности Мизеса............148

§ 3.3. Разложение при условии пластичности Треска............160

§ 3.4. Деформирование составных цилиндрических оболочек с

учетом трения между слоями..................................166

Заключение....................................................................184

Литература....................................................................186

ВВЕДЕНИЕ Общая характеристика работы

В работе рассматриваются свойства уравнений статики трехмерной идеальной жесткопластической среды. Значительное внимание уделено исследованию разрывных решений и получению соотношений, которым удовлетворяют "скачки" соответствующих величин на поверхностях разрыва. Предложен метод решения некоторого класса стационарных и нестационарных задач плоского деформирования. Рассмотрены вопросы предельного равновесия осесимметричных же-сткопластических пластин и деформированное состояние соосных слоистых цилиндрических оболочек с учетом трения между слоями.

Актуальность темы. Задачи определения характера пластического течения сред возникают в разнообразных разделах механики обработки металлов давлением, задачах предельного равновесия элементов конструкций, инженерных сооружений и.т.д. Успешное их решение обеспечивает снижение потерь дефицитных материалов, а также трудовых и материальных затрат. Полезную информацию для решения указанных проблем можно получить математическими методами с использованием теории пластичности.

Одной из основных расчетных моделей пластического материала является модель идеального жесткопластического тела. Используемое при этом Эйлерово представление о течении пластических сред позволяет учесть конечные деформации, имеющие место при технологической обработке пластических материалов.

Решение уравнений теории идеальной пластичности, вследствие их нелинейности, представляет значительные математические трудности. При решении задач теории идеальной пластичности широкое

распространение получили численные методы, однако большой интерес представляет получение точных решений, являющихся во многих случаях эталонными и позволяющих рассматривать аналитическую зависимость между параметрами, входящими в решение.

Известно, что уравнения идеальной пластичности допускают разрывные решения на некоторых линиях и поверхностях. Исследование на поверхностях разрыва позволяет поставить краевые условия в областях непрерывности функций; с другой стороны, опираясь на теоремы предельного равновесия, введение разрывных решений помогает достаточно просто строить статически и кинематически допустимые поля при приближенном решении конкретных задач.

Новые результаты, позволяющие расширить представление о характере пластического течения тел, принадлежат к числу важных и актуальных в теории и практике технологических задач механики. Подтверждением этого может служить большое число научных фундаментальных работ отечественных и зарубежных авторов. Среди них можно выделить основополагающие работы Сен-Венана, Леви, Мизе-са, Прандтля, Гейрингер, Прагера, Хилла, Койтера. Значительное развитие эти теории получили в трудах отечественных исследователей: М.Т.Алимжанова, Б.Д.Аннина, В.И.Астафьева, В.А.Баскакова, Г.И. Быковцева, Л.А.Галина, Г.А.Гениева, Б.А.Друянова, М.И.Ерхова, Л.В. Ершова, М.А.Задояна, Е.Г.Иванова, Д.Д.Ивлева, А.Ю.Икшинского, Л.М.Качанова, В.Д.Клюшникова, В.Д.Кулиева, Ю.Р.Лепика, Н.Н.Ма-линина, А.А.Маркина, Н.М.Матченко, М.Ш.Микеладзе, В.В.Мос-квитина, Ю.В.Немировского, Р.И.Непершина, В.Н.Паймушина, A.M. Проценко, Ю.Н.Работнова, А.Р.Ржаницина, В.В.Сильвестрова, О.В. Соснина, А.Н.Спорыхина, А.В.Столярова, И.Г.Терегулова, А.Г.Те-рентьева, Л.А.Толоконникова, А.Д. Томленова, Г.Е.Чекмарева, Г.И.

Черепанова, А.А.Чираса, С.А.Христиановича, Г.С. Шапиро, Е.И.Шемякина, С.А.Шестерикова и др.

Разрывные решения уравнений теории идеальной пластичности при плоской деформации, плоском напряженном состоянии и кручении призматических стержней рассмотрены в ряде работ (Хилл Р., Томас Т., Соколовский В.В., Качанов Л.М. и др.). Однако решение практически важных трехмерных задач требует развития пространственной теории пластичности. Следует отметить, что разрывные решения пространственной теории были изучены недостаточно полно. Известно небольшое число работ, посвященных изучению соотношений на поверхностях разрыва в трехмерных телах (Хилл Р., Томас Т., Ив-лев Д.Д.). Следовательно, актуальным является продолжение исследований в данном направлении.

Важной проблемой теории пластичности является также решение нестационарных задач с изменяющейся геометрией поверхности. Круг работ по данной тематике достаточно узок (Ивлев Д.Д., Быков-цев Г.И., Хромов А.И., Прандтль Л., Максимова Л.А.) и посвящен решению лишь некоторых классов задач плоской деформации. Это обусловливает необходимость расширения круга решаемых задач и разработки соответствующих новых методов решения.

Среди обширных приложений теории пластичности можно выделить задачи расчета многослойных цилиндрических оболочек, являющихся важными конструктивными элементами многих объектов современной техники. При проектировании многослойных оболочек, подвергающихся пайке, важно обеспечить необходимую величину зазоров между ними. При высоких температурах напряжения в оболочках не должны превышать критических величин, при которых они расслаиваются или коробятся. В этой связи существует необходи-

мость в достаточно простых и эффективных методиках определения напряженно-деформированного состояния многослойных оболочеч-ных конструкций в процессе их изготовления.

Таким образом, тематика диссертации, посвященная исследованию изложенных выше вопросов теории пластичности, является актуальной и обладает практической значимостью.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ, проводимых на кафедре теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета в рамках темы "Разработка фундаментальных математических моделей и эффективных численных методов решения статических и динамических задач механики течения и деформирования сред сложной структуры" (код по ГАСНИТИ 50 53/08), а также хоздоговорной работы "Исследование, разработка и внедрение методик определения и оптимизации механических параметров технологических процессов изготовления многослойных конструкций" (№ гос. регистрации 01870017349).

Целью работы является исследование свойств уравнений статики пространственной теории идеальной жесткопластичесой среды; исследование разрывных решений и получение соотношений, которым

33 33

удовлетворяют скачки соответствующих величин на поверхностях разрыва; развитие аналитических методов определения характера стационарного и нестационарного течения плоских идеальнопластиче-ских тел; развитие теории предельного равновесия тел, находящихся в условиях плоского напряженного состояния; исследование некоторых задач по расчету многослойных цилиндрических оболочек с учетом трения и потери контакта между слоями.

Научная новизна результатов состоит в следующем:

- получены уравнения, которым удовлетворяют скорости перемещений на поверхностях скольжения в трехмерных идеальных жест-копластических телах;

- исследованы соотношения на поверхностях разрыва скоростей перемещений, напряжений^ скоростей деформаций и первых производных от компонент напряжений в трехмерных идеальных жестко-пластических телах; получены уравнения для интенсивностей соответствующих скачков на поверхностях разрыва;

- предложено решение одного класса задач нестационарного течения с изменяющейся геометрией поверхности в случае плоского деформированного состояния;

- в рамках безмоментной теории предложена математическая модель деформирования пакета соосных цилиндрических оболочек с учетом трения между слоями.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:

- кинематические соотношения на поверхностях максимального сдвига в трехмерных идеальных жесткопластических телах;

- результаты исследования соотношений на поверхностях разрыва скоростей перемещений пространственной теории идеальной пластичности;

- соотношения на поверхностях разрыва напряжений в трехмерных жесткопластических телах;

- некоторые решения стационарных и нестационарных задач плоского деформированного состояния: волочение полосы через криволинейную матрицу с огибающей прямолинейных характеристик;

определение изменяющейся границы пластической области в кинематически определимых задачах;

- результаты анализа напряженного состояния в задачах предельного равновесия поперечного изгиба осесимметричных жесткопла-стических пластин;

- результаты исследования напряженно-деформированного состояния системы коаксиальных цилиндрических оболочек с учетом трения и потери контакта между слоями.

Достоверность полученных результатов основана на использовании классических подходов механики сплошных сред, обоснованности и строгости применяемых математических методов, экспериментальном подтверждении используемой теории, совпадении полученных решений с известными результатами для частных случаев.

Практическое значение работы. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при расчетах жесткопластических состояний изотропных сред; при получении точных и приближенных решений практически важных задач пластического деформирования материалов; при анализе процессов обработки металлов, задач предельного равновесия и различных проблем прочности элементов конструкций, инженерных сооружений и.т.д., когда повышение надежности расчетов требует установления границ несущей способности тел.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и совещаниях: IV Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Москва, 1967); Воронежской летней школе-симпозиуме по механике сплошной среды (Воронеж, 1974); III Всесоюзной школе-симпозиуме по механике деформируемого твердого тела (Куйбышев, 1976); городской научно-практической конференции "Математика на-

родному хозяйству" (Воронеж, 1985); Всесоюзной конференции по математическому моделированию (ВТИ, Воронеж, 1991); Всесоюзной школе "Современные методы в теории краевых задач" (ВГУ, Воронеж, 1992); Всесоюзной школе "Современные проблемы механики и математической физики" (ВГУ, Воронеж, 1994); Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика - 95" (Минск, 1995); Всероссийской школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (ВГУ, Воронеж, 1995); Всероссийской конференции "Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства" (ВГУ, Воронеж, 1998); двенадцатой зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1999); Международной 53-й научно-технической конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов (БГПА, Минск, 1999); ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ВГУ (Воронеж, 1965-1999); семинаре по механике деформируемого твердого тела Воронежского госуниверситета под руководством профессора Спорыхина А.Н. (Воронеж, 1999).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 30 работ. В автореферате приведен список 25 основных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (19 параграфов), заключения и списка литературы. Работа содержит 208 страниц, в том числе 22 рисунка. Список литературы включает 215 наименований.

Состояние исследуемых вопросов и краткое содержание работы

Общая теория идеальной пластичности достаточно хорошо разработана. Рассмотрены методы решения широкого круга задач, имеющих большое значение для технических приложений. Основные результаты этих исследований изложены в ряде монографий. Это книги А.Надаи [133, 134], А.А.Гвоздева [45] , Р.Хилла [184], В.Прагера [150, 151], В.Прагера и Ф.Ходжа [153], В.Койтера [104], А.Фрейденталя и Х.Гейрингер [182], Л.М.Качанова [102], Т.Томаса [178], В.Олынака, З.Мруза и П.Пежины [142], Ю.Н.Работнова [156, 157], Д.Д.Ивлева [89], Д.Д.Ивлева и Г.И.Быковцева [31, 90], В.В. Соколовского [167, 168], Н.Н.Малинина [116 ], Л.И.Седова [163], Р.Ш. Микеладзе [119], В.Д.Клюшникова [103], Б.Д.Аннина и Г.П. Черепанова [5], Л.А.Галина [44], М.А.Задояна [72], Б.А.Друянова, Р.И.Непершина [61], В.М.Сегал [162], А.Д.Томленова [179], С.И. Се-нашова [4], И.А.Биргера [19], М.И.Ерхова [66], А.А.Ильюшина [95,96], А.Н.Спорыхина и Н.И.Новикова [170], И.Г.Терегулова [173], Л.А.Толоконникова [176], А.И.Хромова [188] и др. В этих трудах содержится также много обзорного материала по решению краевых задач теории пластичности. Анализ исследований по теории пластичности в СССР и за рубежом дан в работах [42, 168, 104, 72 и др.] .

Первая глава настоящей работы посвящена исследованию соотношений статики пространственной теории жесткопластической среды. Основное внимание уделено разрывным решениям и получению соотношений, которым удовлетворяют "скачки" соответствующих величин вдоль поверхностей разрыва.

Основной математический аппарат, необходимый для исследования разрывов общего типа, был разработан в трудах Римана, Гюгонио, Адамара [209], Леви-Чивита [210 ] и других авторов, которые применили его к задачам теории движения жидкости. Наиболее фундаментальными являются исследования Адамара [209 ] , который ввел понятия геометрических и кинематических условий совместности в инвариантной формулировке и исследовал поведение слабых разрывов в сжимаемой жидкости.

Дальнейшее развитие метод Адамара получил в работах Томаса [178, 211, 212], в которых геометрические и кинематические условия совместности получены в инвариантной форме в произвольной системе координат, что значительно облегчает их использование. Полученные соотношения Томас применил для исследований на разрывах в механике деформируемых твердых тел.

Возникновение теории пластичности принято относить ко времени появления работы французского инженера Треска (1864 г.) [207]. Дальнейшее развитие теория пластичности получила в исследованиях Сен-Венана [164, 165, 204], Мизеса [118], Леви [110, 197].

В работах [178, 212] показано, что в жестко-пластическом теле при условии пластичности Мизеса характеристические направления и поверхности скольжения имеют место только при условии равенства нулю одной из главных компонент тензора скоростей деформаций. Доказывается, чт�