Некоторые вопросы применения метода конечных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

; ') О Ч

■ Л ^

СШКТ-ПЕТО»ЕУРГСЮИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ХВАН Гвш Ук

УДК 519.6

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ элишггов

Специальность г 01.01.07 - Вэтно.'штвльная математика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учвиоЗ ствпонп кандидата {азико-имеиатэтеохах наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1992

Работа выполнена в Санкт-Пвггербургсксм государственной университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор КОРНЕЕЗ Вадим Глебович.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Демьянович Край Казииирович;

кандидат Сизико-ыатеыатичесюи наук, доцент РЕПИН Сергей Игоревич.

Ведущая оргашзация - Петербургский институт инженеров зкэлезиодопокного транспорта.

Защита состоится (Ж/СЁМ^¡^^992г. в часов на

заседании специализированного с/вета Д О63.5ТГ30 по защяе диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском Университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией иозгао ознакомиться в библиотеке им. Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета Д 063.57.30

доцент Ю.А.Сушков

ОБЩАЯ ХАМКШСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тит. Одним из самых популярных методов решения задач математической физики стал метод конечных элеман-тоз. Это связано с простотой и гибкостью соответствующие численных алгоритмов и наглядной физической интерпретацией самого метода. Особув'роль играет Еопроо об устойчивости, которая весьма актуален при решении задач с естественник! граничными условиями. Здесь играет свов роль выбор сопя и подходящая модификация неходкого алгоритма для сохранения устойчивости. Больное число работ посводзно этил проблемам, но пэ разработано сбпого полгода. В приведенной диссертанта исследуются ' эти вопросы с общей точки зрения и строятся алгоритмы еычис-ления необходимых сеток в областях достаточно произвольной Форш.

Основная цель работа. Построение устойчивые зястраполя-ционных схем для задач с естественна.« граничными условия;« и конструирование четырехугольных элементов с криволинейными сторонами достаточно общего очертания.- -

Обдая методика исследования. В диссертации использованы методы исследования, щжменявпиеся ранее для построения и изучения кокзчпо-элекэнтшп и вариационно-сеточных аппроксимаций.

Научная новизна. Предложено иесколысо вариантов экстрапо-ляииояного процесса а рассмотрены способа построения зкетра-голяшхошшх операторов, условия сходимости и нормальной обусловленности, причем доказательства проводятся в общем виде. Построены криволинейные четырехугольные конечные элементы и также дани схемы триангуляции в случае двухмерной области.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, могут найти применение в теоретической работе, связанной с методами решения задач математической физики, а тзкяе для практического решения упомянутых задач.

Апробация работы. Результаты долохеш автором на кафедра статистического моделирования и- в лаборатории методов вычислений НИШ км. акад. В.И.Смирнова СПбУ. а также опубликованы

в раде работ.

Объем и структура работа. Диссертация состоит из введения к трбх глав. Объем основной часта диссертации составляет 100 страшу. Список литературы содержит 36 наименований. Прилокеш тексты прогрета на языке ИМНАЯ для 1) триангуляции области к 2) анализа линейю-уцругиг сечешй плотин при землетрясениях.

С0Д2РХАШЕ РАБОТЫ.

В диссертации рассматриваются ряд вопросов, которые возникает при применении метода конечных элементов..

В главе I рассматриваются вкстраполяционные метода для решения эллиптических уравнений о естественными краевая условиям:.

При решении задач с естественными краевыми условиями, если оставить в сторона вопрос об устойчивости, то всегда козою взять сетку конечных элементов регулярной. Регулярность сеткк не означает, что сача схема м.к.э. будет регулярной. Более того, она мокэт бить существенно менее регулярной, чем схема, полученная с использованием нерегулярно:: сетки, так как в нервом случае области T-t = 5г A SL могут сколь угодно разлетаться между собоа, в то время как во втором ss счет нерегулярности сетки вблизи границы всегда можно удовлетворить условию с,К™ é mes c2ii\ c,> о ,

с,,сд. - const , где у, - ячвЗка сетки, л. - заданная область. Тем не менее возможность использования регулярней сетки привлекательна, поскольку в схемах м.к.э. с нерегулярном расположением узлов весьма значительнкЗ объем машинного времени расходится на кодировку и перекодировку узлов и конечных элементов, поиск и выборку обрабатываемых в текущий момент узлов и коеэчеых елемантов, вычисление нерегулярных матриц жесткости конечных элементов в т.п. При использовании регулярней сетки перечисленные операции упрощаются, хотя описание областей 1г ? становится в общем случае несколько бо-

лее сломил. Основной вопрос, требующий реиения при применении схем на регулярной сетке - ого вопрос обусловленности, которая, поскольку облаоти Тг могут сколь угодно различаться мозду собой, мояет Сыть сколь угодно плохой. Оказывается, что обусловленность схемц на регулярной сетке всегда можно тем иди иныи способом улучшить, соли прнчзна плохой обусловленности на связана со свойствами самой репавной краевой задачи. В этой главе ми будем проводить улучпеяие обусловленности схемы и.к.о. посредством экстраполяции.

Рассматривается задача наховдеяия прябл:шшного решения интегрального тождества

а™ 1ы,\г) - = О , У1гбМ&Л), т'^и(Л) (1)

(и)

в котором билинейная фори ( определенная па про-

странстве , удовлетворяет неравенствам

Ь1йи-. V) 4 ^ т \«>) М

граничные условия естественше, а ( , )Л - скалярное произведение в Ц(-П) . п

Как всегда, заменив пространство на пространство

Нц (Л^) распространений, соответствущеэ некоторому к.э.комплексу, получим езетему алгебраических уравнений м.к.о.

Ки Ик - I»

где 1<к - матрица кесткости, -вектор . обобаепдых узловых сил, Цк - вектор узловых параметров, и Лк— > :

Л Л #] .Конечными элементами, образупдиш к.о.комплекс, представляются конечные влементы

определенные при фиксированных па р ^ 2.и - 1 ,

( Р - р - 2п-2 ) на прямоугольниках ^ . Эти елемевтн

кратко описаны в параграфе 1.

С далью улучшения обусловленного схемы м.к.э. от системы алгэбраичэских уравнений с з> перейдем к система алгебраических уравнений

Кк.о Mu,с - V , Км = lí ICi Рк , -Кл- = CtK

на пространстве Нк.е№к) .где Рк - экстраполяционвыЗ оператор, Нц.«(Л),)- подпространство пространства Нк(-Ль) построенное с помощью соответствувяеа экстраполяции.

В параграфе 2 предлагаются различные варианта экстраполя-ционного процаса и способы построения акстраполяциоызнх операторов. а таете рассматриваются юс свойства.

В параграфах 3,4 оцениваются обусловленность и скорость сходшости для экстраполяционной схема с прямоугольная конечными элементами. При определенных условиях, наложенных на экстрапсляиионшй оператор Pw (эти условия уточняются в параграфе 3.). rotas? место следующая теорема.

Теорема. Предположим, что решение к интегрального тождества (4) принадлежит пространству v/¿isi). 2»<i S р-н , для Силиав2кой форма Q£'(.,) выполняются неравенства ,

Hkt-Л-ь) - пространство, порожденное к.з.комплексом, определенным на для заданного р»2 ih также как и вкше. Пусть также Иье t-Лк) - подпространство пространства HhU^-ii) • соответствующее эхстраполяшюннсыу оператору Рк , и -решение тождества (V на H^eUU). Тогда справедлива сценка скорости сходимости

и оцеЕка

xikm) ^ -2-е» £ ti? к" •

числа обусловленности матрицы Кк.о нормализованной экстрапо-ляциошей схемы м.к.э.

^К.,0 l^.« ~ i^.o , i^k.t É. Mk.e

эквявалентпой 14> . где с, , с,. . . к-57Т - постоянные, не зависящие от К . VhlC - пространство сеточных функций, определенных на множестве {■ х'с,с Jl|v,c] . Матрица Кк,с и вектор -fi.,0 вычисляются Но форлулач

в которых Pk.o - f 1,^-3) - диагональная матрица с ненулевыми коэффициентами ciCi,^ J => t vie й)-„.г - j Jг,;'е ЬСй) ,

В работах [3,4] рассмотрены эхстраголяционные схемы на регулярной сетке для решения эллиптических уравнений второго и четвертого порядка с естественными краевыми условиями в произвольных достаточно гладких областях.

Отличие и новизна исследования проводимого в главе 1 по сравнению с цитированными работами заключается в следущем. Доказательство аппроксимации, скорости сходимости и обусловленности проводится нз для конкретного экстраполяционного оператора, а для экстраполяционного оператора общего вида, удовлетворяющего некоторым условиям. Описанные ze конкретные экстраполяционные операторы слунат лишь примерами того, как ко-'ко удовлетворить этим условиям.

В главе 2 рассматриваются вопросы построения одного вида конечных элементов и триангуляции заданной двумерной области.

Сначала в первом параграфе рассматривается способ построения плоских четырехугольных конечных элементов класса С с криволинейными сторона?,и достаточно . общего очертания. Такие конечные элементы мозно аффективно использовать для решения ряда физико-математических задач.

Во втором параграфе обсуждается вопрос триангуляции двумерной многосвязной области с углами.

Задача триангуляции заданной области имеет большое значение на практике. В самом деле, при решении задач математической физики с помощью M.K.s. одной из главных трудностей является большой объем данных и подготовка их к работе. Большинство данных относится к геометрическим характеристикам

определеняой области и ее подобластей - элементов, например координаты узлов сетки и их номера, и т.п.; отсюда часто возникает ряд ошибок. Поэтому для того, чтобы подготовка данных была проще и бсшее надежна, используются такиэ методы, при которых минимизирован объем вводимой информации. Объем езодомоЗ информации ко:-:9 л быть сушественно сокращен, если применяются методы автоматической триангуляции области. Поэтому в настоящее время появилось большое число алгоритмов такого рода. Для большинства С1ем необходимо задать положение граничных узлов или узлов на грубой сетке, которая будет подразделена, и указать нужную плотность узлов для разных областей сетки.

В рвотах £5,6] рассматриваются методы, которые основываются на 'использовании 'ортогональной сетки, покрыващей заданную область. Зти метода требует меньших вводимых данных, поскольку здесь кроме информации о конфигурации границы и величине параметра к сетки другой информации не требуется. Зти метода обеспечивает однородность большинства получаемых элементов. ' В этом параграфе мы рассматриваем алгоритм триангуляции двумерной области с угловыми точками, пользуясь той хв самой ортогональной сеткой. Строится алгортм триангуляции и доказывается квазиодаородность элементов, получаемых го этому алгоритму. .

Глава 3 посвящена разработке общих компьютерных программ для триангуляции двумерной области с углами и анализа плотин при землетрясениях.

В параграфа 1 рассматривается компьютерная программа для триангуляции, разработанная го описанному в параграфе 2 главы 2 алгоритму.

В параграфе 2 описывается программа для анализа, линейно упругих сечений плотин при землетрясениях» Эта программа использует треугольный элемент Куранта, а уравнение двиения решается по методу суперпозиции мод с использованием подпрограмм для вычисления собственных значений и векторов. Чтобы проиллюстрировать использование программы» представлены

примеры вычисления.

Публикации по тше работа

1. Корнеев В.Г., Сбродовз Г.А.,Хвая Г.У. Плоски четырехугольные конечные элемента класса С с криволинейными сторонами общего очертания. Деп. в ВИНИТИ. 1991. №>3855-В91, бс.

2. Корнеев В.Г.. Хван Г.У. . Экстраполяцзоншэ схега для решения эллиптических уравнений щн естественных краевых условиях. Деп. В ВИНИТИ. 1992, Ьтз2503-В92, 34. с.

Литература, использованная в авторзфзрзтэ

3. Корнеев В.Г. Сеточные оператора, ЗЕергетэтески эквивалентные пороадаемш кусочно-эргатови.сг распространениями. К.Вытасл. матам, и штем.физ., 1979, т. 19, 2, о.402-416.-

4. Корнеев В.Г.. Лакгор У. Итерационное решение схем катода конечных элементов с неполными элементами на регулярной сетко. Метода ветзслашй! Я.: Кзд-во ЛГУ, 1931, еиг. 12, с. 116-133.

5 Кацокин Л.М. Автоматизация триангуляции областей с гладкой границей щи рбиэшн урзшэшй эллиптического типа. -Зрепринт/ВЦ СО Ш СССР - Новосибирск. 1975. -N0 15.

б. ШаЯдуроз В.В. Иногосзточнне метода кшэчних элементов.

М., "Наужа", 1939. '