Численное решение методом конечных элементов некоторых задач теории пластин и оболочек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Черненко, Александр Станиславович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Киев МЕСТО ЗАЩИТЫ
1991 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.07 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Численное решение методом конечных элементов некоторых задач теории пластин и оболочек»
 
Автореферат диссертации на тему "Численное решение методом конечных элементов некоторых задач теории пластин и оболочек"

- . л

с

Киевский ордена Ленина и ордена Октябрьской революции государственный университет имени Т. Г. Шевченко

На правах рукописи

ЧЕРНЕНКО Александр Станиславович

УДК 519.6:539.3

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИН

И ОБОЛОЧЕК

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев

Институт кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины

1991

Работа выполнена в ордена Ленина Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор МОЛЧАНОВ И. Н.

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН Украины

ГРИГОРЕНКО Я. М.,

кандидат физико-математических наук МАРЬЯШКИН Н. Я.

Ведущая организация: Центральный аэрогидродинамический

институт им. Н. Е. Жуковского.

Защита состоится в —

часов на заседании специализированного совета Д068.18.16 при Киевском государственном университете им. Т. Г. Шевченко по адресу:

252127 Киев 127, проспект Академика Глушкова 6, факультет кибернетики, аудитория 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан МЬ> 19£/

года.

Ученый секретарь специализированного совета

КУЗЬМИН А. В.

' • . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Тонкостенные конструкции типа пластин и оболочек включает в себя множество объектов, очень разнообразных по форм» и встречаггащхся во всех областях современной 'техники-, в машиностроении - это корпуса и отдельные элементы различных машин; в приборостроении - гибкие упругие элементы и мембраны; в гражданском и промышленном строительстве - различные перекрытия и панели в зданиях; и т.д. В условиях ускорения научно-технического прогресса предъявляются максимально жесткие требования к прочности и надежности функционирования конструкций при их ограниченном весе и пониженной материалоемкости. Огромное значение приобретает использование методов математического исследования поведения тонкостенных элементов конструкций при различных условиях нагруяэтя а закрепления, з условиях действия высоких температур и физической неоднородности материалов, в частности, становится крайне важным возможно более точное определение характеристик напряженно-деформированного состояния деталей уг.е на этапе проектирования о целью выяснения их предельной несущей способности ¿1 снижения вероятности отказов и аварий.

Следствием усложнения постановок задач являются трудности алгоритмического и вычислительного характера при применении численных методов, и в ряде случаев требуется дополнительное теоретическое обоснование, гарантирующее сходимость найденного численно приближенного решения к рекекию исходной задачи. Повышенна требований к точности проводимых на ЭВМ расчетов обусловливает применение схем МКЭ высокого порядка точности. Однако в условиях применения таких схем к усложненным постановкам задач становятся нетривиальными методы доказательства сходимости МКЭ, а также методы дискретизации на ЭВМ исходных уравнений, приводящие к возникновению систем линейных алгебраических уравнений, важны априорные и апостериорные оценки точности полученных на ЭВМ результатов.

Объект исследования. Исследуются вопросы сходимости некоторых конформных схем МКЭ высокого порядка точности в задачах определения напряженно-деформированного состояния тонких пластин и оболочек при условии использования схем численного интегрирования

и аппроксимации сплайнам;: дифференциальных характеристик поверхности оболочки, вопросы практического применения данных схем.

' Цель' диссертационной работы состоит: а) в построении новых высокоточных конформных конечных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния тонких пластин и оболочек; б) в математик ;стал{ обосновании новых схем метода конечных элементов, включая вопросы аппроксимации, оценки скорости сходимости с учетом эффекта численного интегрирования и аппроксимации геометрии оболочки; в) в Еыборо эффективных алгоритмов и создании программ для решения на ЭВМ прикладных задач, включая вопросы комбинирования схем МКЭ высокого порядка точности со сплайнами с целью поьлиения эффективности использования схем МКЭ..

Общая методика исследования. На основании общих положений теории абстрактной задачи минимизации в выпуклом анализе и теории тонких пластин и оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява, формулируется аариационные задачи о деформации пластан и оболочек, заключавшиеся в нахождении точки минимума некоторого функционала. Исследование аппроксимации и сходимости для рассматриваемых схем МКЗ проводится на основе общей теории метода конечных элементов: вначале формулирувтея обвде результаты для некоторых классов конечных элементов, а затем они применяются для анализа конкретных схем МКЭ.1 Настоящая работа является продолжением исследований А. Бабушки, М. Зляшла, Ф.Сьярле, Г. Стренга, Дж.Фикса, В.Г. Корнеева по математическом" анализу МКЭ. В работе испояьзуится некоторые результаты и методика исследований указанных авторов. Анализ практической эффективности проводится на основе расчетов на ЭВМ.

Научная новизна. В работе были: 1) построены новые высокоточные' конечно-элементные приближения для решения определенного класса задач расчета напряженно-деформированного состояния тонких пластин и оболочек; 2) проведено математическое обоснование новых схем МКЭ, включающее исследование аппроксимации и сходимости; 3) на модельных примерах и прикладных задачах подтверждена высокая точность костроеных схем МКЭ и эффективность их реализации.

Научная и практическая ценность. Данное исследование развивает теорию метода конечных элементов в задачах расчета на прочность тонких пластин и оболочек. Полученные результаты позволяют оценить

эффективность различных схем МКЭ, скороогь сходимости и точность результатов, которые они обеспечивают. Методика исследования, результаты по сходимости могут быть использованы для анализа других схем метода конечных элементов в теории тонких пластин к оболо«чк. Разработанные в диссертации схемы МКЭ позволяет проводить расчета задач механики, которые описываются линейными эллиптическими дифференциальными уравнениям;! е частных производных четвертого порядка с перемэннши и разрывными коэффициентами лля соответствующими квадратичными функционалами. Рассмотренные схемы МКЭ использовались длл реыения задач, встречающихся при конструировании летательных аппаратов.

Реализация результатов. Основные результаты работы били получены в рамках исследований но темам FICHT. СССР И" 553 Сот 30.10.85 г.) "Разработать и ввести в эксплуатацию программны© средств i решения задач вычислительной математики на многопроцессорной ЭВМ с множественным потоком команд и данных CEC 2701)" (h" ГР 01860045738), "Создать окспериментальную базу знаний и пакет« программ для решения задач вычислительной математики с использованием функций адаптивной настройки эталонны:: алгоритмов по классам задач" С ff ГР01860045704) и "Создать и освоить в производстве вычислительные кошлекси обцего назначения, управлявшие и проблемно-ориентированные вычислительные комплексы, периферийное оборудование и программные средства для них" Cff ГР 01860045720). Разработанные методики и программные средства были использованы при выполнении х/д ff 331 "Разработка базового ПО САПР судового машиностроения".

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на V Всесоюзной конференции "Численные методы в решении задач теории ; пругоста и пластичности" /г. Караганда, 1978 г.у, на II и III Республиканских конференциях "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" /г. Киев, 1978 г., г. Канев, 1982 на VII Всесоюзной школе-семинарь

"Параллельное программирование и высокопроизводительные систеш" /г. Алушта, 1986 г./, на Всесоюзных школа::-семинарах молодых ученых ИК АН УССР по кибернетике, вычислительной технике и информатике /г." Киев, 1986, 1987, 1988 г.г./, на Республиканском

семинаре "Численный анализ" /г Киев, 1980, 1984, 1983, 1986, 1987, 1989' г.г. Л на Республиканском семинаре "Вопросы оптимизации вычислений" /г. Киев, 1989, 1990, 1991 г.г./.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ. Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет ,134 стр. машинописного текста,, библиография содержит 84 наименования.

. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Во 'введении »обоснована актуальность теш работы, определены цели и задачи исследований. Приводится обзор работ, примыкающих к тематике диссертации, даетсл краткая аннотация работы и фор-, мулируются основные результаты.

В первой главе исследуьтся новые схемы МКЭ в решении вариационных задач олределени • напряженно-деформированного состояния тонкой пластинки, сводяцщхся к поиску минимума функционала

КЮ = | аСы.и) - /СгО (1)

где аСгг.и) - билингЛная форма:

сСи.тЛ = J bt(U) D кСи) dù ;

С 2) П

4 - ( * , * , * )т; = - * = - -£]Ц х = -

*' у ху * ¿x* ' . у яу oxüj»

D = Í d4 ^ - матрица, коэффициенты которой представляют собой некоторые функции от х , у или константы, описывающие физические свойства материала пластишш, . dtJ= ^jCP), í,j"= 1,2,3, Peí) . /СиЗ - линейная форма, выражаемая формулами

fiiù = - Jqnu ÓQ, или /Си) = - Jcû и + МД+ Mse.) dS, СЗ)

0 "S

где Sc£ - -участок границы П, к которому приложены данные нал л

грузки Q, M и M .

в = 8 n + 0Т1, в = в s + 0 s , в - - е = - I-&I.

n xi У. г s xi ya* |oX| у I О/ |

п = (п'.п Э - единичная внешняя нормаль к s = ( s i, ) - единичная касательная к £ .

Минимум функционала С1) ищется на множестве функций ив и+ У= (.п:и = ы + у,у е. ыв е В?СО), «0 = = 8г на" 2 с К,

? = {ц? И1 С А) : и = <Эпи = О на ^с Я > , Ш^СФ, п > 0 - пространства С.Л.Соболева, 0 - открытое ограниченное подмножество в К3 с непрерывной по Липшицу границей ¡6 . 2

д = У" Ьгд^ , !г : и € -» Ьги е I СЮ - непрерывное;

п \ а

1 =1

линейное отображение или оператор следа.

На области й вводится триангуляция удовлетворяемая известным условиям*. Введем последовательность конечномерных подпространств У^су, которые определяются бесконечной последователь-

ностьв параметров , .....такой, что -* 0 г.рн к-8- ю,

где каждый параметр Н связан с соответствуваей триангуляцией Полкота последовательности подпространств <УН> означает, что всякий элемент иеУ можут быть с любой степень» точности аппроксимирован элементами пространств Ун. Отсюда козшо сформулировать дискретную задачу следующим образом: требуется найти элемент . минимизирующий Ки1 е пространстве . Для заданного пространства V решение соответствующей дискретной задачи сводится .. определении коэффициентов > Ь. , г = 1,2,...,И , разложения М 1

дискретного решения по базисным функция« •

1=1

1=1,2,... ,М, пространства

Для построения базисных функций пространств V предложены конечные элементы Г7-35 а Г?-33, обладающие более высокой скорость*) сходимости по сравнению с известными конечными элементами. Элемент 77-36 определяется математическим*понятие« (Я, !РК, Е^**, где:

* Эти условия сформулировань, например, в монографии Ф. Сьярле Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. -312 стр.

** Здесь и далее по тексту приняты стандартные обозначения, такие как, например, в указано** выше монографии.

% - треугольник о вершинами Al , i = 1,2,3, точкой пересечения медиан Аа и серединами сторон Л , 1 < 1 < j 5 3;

пространство полиномов P^CîO размерностью dim CPR= 36 ;

2^= { ¿"рЦ), |«| < 3, i = 1,2,3; 0с<рСЛ03, |«j < 1; длрСАи1, 1<1<;<з},

сРрСА^ = D,a,pC^)C п П ег ), |а| » « , 1 а 1 а ® - a

i a

D pCAL) - |а|-я производная по Фреше функции р в точке А^ ,

ei, i = 1,2- канонический базис в R2, 2

wp = Iv^v- WJ3= j=i

Аналогично определяется элемент Т7-33 — (5f, Рк, 5 , где К - треугольник с вершинами Л , i = 1,2,3, пространство 0>к= РЧ90 , dim. В>к= 33,

(Р'СЗО = < р е IP (SO : Ô Pi elP (%') V Sf'e Ж >-

"T * Т Г о *

= < «Э^рЦ), |а| < 3, г = 1,2,3; cPpCAJ t |а| < 1 >, %' - сторона треугольника % .

Для данных элементов сформулированы и доказаны необходимые для сходимости аппроксимационные свойства (теоремы 1 и 8):

Теорйна 1. Регулярное сслэ&ство элел&нтов Т7~36 тючпи аф~ ¿кино. ст.е. у t е [1,<оГ u у Cfn,q3 при m i 0 и g ç ll.co],

сойл&стижых с вклоч&кияли

IHe'lCSO <; €3(Î0, ¡¡T'l(50 й. СГ'Ч(Ю, Р7(50 = IP^C Of ,Ч(ЭЭ,

3 С = COast, ив зависящая от 9С, таиая, что Y 1) Е Ш3*' СЗЭ

IIй - ПЛ.чД 5 с Ст• Ш

Обозначение Ж с, 41 указывает, что нормированное линейное пространство Й содержится в нормированном линейном пространстве Y с непрерывным вложением. йР'ч(9Э обозначает пространство Соболева, с нормой Цийи ск и полунормой lulm,qд • ^к" оператор

Р (50-интерполяции на треугольнике Я, measCSO = J сК . 7 - «

Теорема 2. Регулярное аелеОство элементов 77-33 novmu

Фшшо. т.е. у t е ti,со] u у Ciii.q-) при m > 0 и q е С1,со].

соблэатшплх о включениями

Г'ЧЮ <; C'CSD, Й7*'(Я) <; !¡f'qCSO, Р С50 = Р„с ОГ'ч{Ю,

9 К.

3 С = coflst, к© эаъисяхири* от покоя, члю Y ^ е íf'ЧЮ

еОе П^ обозначает аоатв&тствуттциа. on&pamop ÍP^C 90-интерполяции.

В силу доказанных теорем 1 и 2 для семейств элементов Т7-36 и

Т7-33 выполняется следусцие предположения:

СXI) семейство С Я,IP„, 2L), XsUf, почти эфинно. к -к h h

СХ2) все конечные элементы (.%, Рк> Z,), í € U принадле-

h

эат классу С1.

Затем, с учетом численного интегрирования, сформулирована дискретная задача, проведена оценка погрешности, вносимой квадратурными формулами, получены достаточные условия для равномерной ^-эллиптичности аппроксимирующей билинейной форш и доказан следующий основной результат по сходимости для почти аффинного семейства коночных элементов класса С1:

Тсорама 3. Пусть сущоствуют тсиаш целыэ числъ fc¿2 и . h'¿3, чгяо справедливы aueOyxxtjus включения

РкС50 с ¡PK c!Pfó,CÍO с !H=CSO, Hf*+,CO с. £в,ялхСЮ,

sOo ла^^оилсилиньей порядок ч&стпныз: прош'ЪоОтлг, 6cmp&+icvantu3>-

ся- & опроО9леыии juia.TocmSa ZL , 5 Í 3. Пустг.ъ

К (ПАХ

W € VP» = 0 м 6 ^afc'-^V' ESCÍP) =

ТовОа, если решение? U £ V Вариацистной. ааОачи С1), (2), СЗ) принаОлеггит пространству В^" + 1(П),

d. е И,к'-*(0), И ¡ < 11 < 3, с?не Н*к'-*СОЭ, а е Jfí'!'"IC5),

* е ГО Л

К б И^'-'СЯ, •

п 3

по Ci/mecmQyern талая но от h постоянная С, что

BU - Uh|>д S +( ¿ ¿ |и|к+|Л X

lsimrj

е&е ' Сискретноъ решение 11^6 подучено при использовании оп-пранаилир!/кшпхг: Оилине&ныг и лимванах форл.

В аппроксимирущей билинейной и линейной формах интегралы заменяются соответствующими квадратурами, а

ь

- ¡рсЖ-ЯГ 1=1

где ^ к> ^ ^ ~ веса и узлы квадратурной формулы на треугольнике

Теорема 3 верна для всех почти аффинных семейств конечных элементов класса С', для которых существуют такие целые к и к', что справедливо включение РкС50 с ^с Р »СЭО. В заключительном параграфе первой главы на модельных задачах демонстрируется высокая эффективность предлагаемых схем метода конечных элементов по сравнению с другими известными высокоточными схемами МКЭ.

Во второй главе рассматривается применение новых высокоточных схем МКЭ к вариационным задачам теории тонких оболочек. В случае непологих оболочек неизвестными являются три функции иСа.р}, иСа ,(3), и и>Са ,/ЗЭ, представляющие собой компоненты допустимого перемещения и=Си,и,и)т точки Р=Р(<х,/3)еП . Решение и минимизирует энергию оболочки которую мы выпишем в виде

Ли) = | сКи.и) - /Си) С6)

на соответствующем пространстве" ^ . Гильбертово пространство допустимых перемещений

V = ( V и е И'СП) х И'СО) х й^ЧЮ: и = и = и = «о = 0 на £ с £ 1

^ ' О О О » I }

состоит из и , обладающих свойством: вектор относительных деформаций с = 0 тогда и только тогда, когда и = 0 у ие V.

~ угол поворота краевой нормали срединной поверхности О вокруг касательной к линии границы. £ - часть границы £ области 0, соответствующая жестко закрепленному краю оболочки. Н'СП> и МЧШ - подпространства пространств Ш'СО) и СП), плотным множеством в которых является совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций с носителем, компактным в П.

- 9 -

Билинейная форма йСч.ц) определяется формулой

Ли,и) = | ит(иЗ 0а иСг) сП , и,у е V С7) А

где П - срединная поверхность оболочки,

сЮ=аЬсЫ|3, Р=РСа,|3}еП, аСа,(3) ,Ь(а, |3) - коэффициенты Ламе срединной поверхности, 0. = й]в 0 .

в 4 Э 4

Вектор и=11Си) определяется следующим образом

и-Г« ди ди dv dv ди> ди cfw 1т

1 да д[3 да д[3 да д(3 да" dad(i dff J

J=« ,1 а

dCi.j'H связывает вектор относительных

* J i=i, в

деформаций с перемещениями и, и и ш формулой c=D U, а матрица

{•i J=I ,3

b Ci.j)}- 'связывает вектор относительных деформаций с 1 Jisi.e напряжениями формулой б=В^с.

Линейная форма /(и) в данном случае имеет вид

/СиЭ = | CFj + \ FT) UCu) сЮ , С8)

П т

где F определяется из соотношения F = , а вектор FH -

равенством FH= С ХСа,(3), 0,0, УСа.р), 0,0, ZCa.p), 0,0,0,0,0 )т,

тэ = gF лзт, лз= с -v о, -j^cvV' "^V V«

Г = ГС а, /33 . - температура. ХСа,/33, УС а,/3D, ZCa, /3D - нагрузки. i-2* fe Л

= 1 + —И*-3" ' *а = 1 + " 20*' У = У " Т0ЛЩШ1а;

Y Z Г0> 0, ki = kt(a,(3), kg = k2(a,/3) - главные кривизны; Е = £Ca,/3) - модуль Юнга; u = иСa,f33 - коэффициент Пуассона; О < v £ 8 = SCа,/3D - коэффициент линейного расширения.

Введем некоторые определения. Будем обозначать конечные эле-■ менты для р ючета оболочек следующим образом:

сж, Рк, V = П СХ, о^, ф. где 1=1,2,3, СХ, - i-й составляющий элемент. Будем счи-

тать, что для семейства конечных элементов СЯ, Рк, Е^) выполняются следующие предположения:

СУП - семейство С if, PR, Z^), % t l' fh почти аффинно;

h

СУ2) - все конечные элементы (Я, PR, E^D, Же U ?h принадлежат , h классу С ;

— если для всех составляющих конечных элементов CSC, Pj,, 2^3 выполняются у.словия СXI) и СХ2) из первой главы. Будем считать, что для семейства конечных элементов С5С, Р^, Z^.) выполняются следуювде предположения:

CZ1) - семейство' С Я, Рк, ¡Е^), % е U почти аффинно;

h

CZ2) - все конечные элементы (.%, Рк, Ц/), К е U принадлежат

h

классу С°;>

— если- для составляющих конечных элементов С%, Pj,, Ц/), i=l,2, выполняются условия (Ш-CW2)*, а для составляющих конечных элементов С5С, й^, - условия СXIЭ и СХ2) из первой главы.

Для получения дискретной задачи на основе сформулированной выше вариационной задачи построены три аппроксимации:

1. Аппроксимация геометрии срединной поверхности оболочки. Диффе- ,. ренцированием построенных по координатам точек поверхности сплайнов получены аппроксимирующие дифференциальные характеристики срединной поверхности i Ча,/3), 6ь(а,|9), kHa.fi, кЧа,/3).

2. Аппроксимация компонент вектора допустимого перемецения и. Для аппроксимации компонент вектора и или, другими словами, для построения вектора uh= (ithfuh,w ) использованы высокоточные схемы МКЭ, предложенные в первой главе.

3. Аппроксимация билинейных и линейных форм (7). (8). Построены аппроксимирующие линейная и билинейная формы /h(uh) и dhCuh,uh) с использованием схем численного интегрирования. •

Первыми получены оценки ошибок согласования, возникающих при численном интегрировании. Результаты сформулированы ь виде лемм. При этом предполагалось, что дифференциальные характеристики а, b, kt, ka, используемые в определении коэффициентов матрицы , задаются точными- аналитическими выражениями, полученными из явных формул, определяющих уравнения поверхности , i = 1,2,3. Теперь будем полагать, что уравнения поверхности заданы дискретно, т.е.

* Ф.Сьлрле Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М. Мир, 1980. - 512 стр.

своими значениями в узлах некоторой сетки Пь на области П, Для их аппроксимации на сетке Г^ строятся двумерные сплайнп

5 (Ь.Х. )*, I = 1,2,3, а дифференциальные характеристики а, "«р 1

Ь, , .4 и их первые частные производные в узлах квадратурных формул Ь к вычисляются приближенно с использованием соответствующих производных от сплайнов 5. СЬ,X I = 1,2,3. Для слу-

аа 1

чая прямоугольных областей и при некоторых ограничениях на множество триангуляция была проведена оценка ошибок согласования, возникающих из-за сплайн-аппроксимации дифференциальных характеристик срединной поверхности ободочки. Результаты сформулированы и доказаны в виде теоремы. Для того чтобы доказать сходимость, требовалось показать равномерную ^-эллиптичность соответствующих аппроксимирующих билинейных форм с^, что было сделано для следующей нормы пространства V

«М^.^.О = [ К.П + + М;га,а),/г.

где £ , I - целые числа, и 6 V. 1 2

Затем была доказана сходимость метода конечных элементов для определенных выше семейств конечных элементов и'модели оболочки в условиях применения всех трех аппроксимаций.

Теорема 4. ПреОполохсия, что Оля кон&чноео элэлента (9!, Р^, справеОливы соотношения

к С РК С ^Ч'«0' К * К 2 М 2' кг * К' 12, 12

С {НЧЗО X [Н'СЗО X 1^(50 в случае конечных эл&лентов класса. С°,

или С СЮ X ^СЮ X №(50 в случае конечных элслонтоб нлас-

с.

Н*'' (90 с;С3шахСЮ, Н*3' СЮ ^С^С»,

еОв — ¿аксилалъныО. ггоряОок частных производных, встречаю-

щгмхся в определении, лножеств , I =1,2, ~ лак.аилалъный

поряЗок частных произ&овныз:, встречающихся в опревелении множества

* Стечкин С.Б., Субботин 0. Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976. - 248 стр.

' s ¿2" в сличао кон&чньа: элементов класса С ,

Тах ло

S £ 1 б случае конечных элементов класса С , тах

s* < 3.

тах

З'озОа, если решение Ц € V вариационной, задачи

(6), С7), С 8)

км kfi k + t

принадлежит пространству И СП) X IH СП) X IH СП), то существует такая не зависящая от Л . постоянная С, что

«и uh«l,2„V,0 5 С П *

•с

l"lk *l.k +1X0 + ( X Kjlb'-A +1,0 + 1 2 iTJ . 1 1

V ; и , V W

+1,П + Z X Kjbi'-Vl.O + ,

i.J 11 i.J м'';1")

и , V V , w

+1 KA'^-V1-" + x 1 |uVl'V1'v'n +

1 ,J ' 1 i ,J

и v

+ ti.fc + I «A +I,O VI WjBfe +i,o + 12 » i 1 j 1

П1 *

aOe дискретное решение U^ E получено при использовании annpo-

ксимирукяцехх СилинеОноС формы о матр! чей D^ и. аппроксимирующей

линейной формы; N* - число треугольников в триан&уляции У. .

ТЬ ■ Ь

Здесь используется пространство Р CS0 = P.C5ü х Рк»50 х P C90

is i > а

с нормой

I Р'И^Л ЛЭ0 ■ ■( « Р'Лл * I Р'Я.% + Н'Р'Л.% } • « 2

где £,т. - целые числа, . I е [ОД ), те 10, к ], р'е Р. С30,

' 2 К| а

Р'= С Р-. р'л. р;. .р^Рксю , Р^ Р СЮ.

I а

Из условий теоремы 4 следует, что максимальная скорость сходимости , которую обеспечивают'конечные элементы класса С при

решении вариационная задач могно сохранить, если использовать сплайны степени не ниже бичетвертой Опа?= 4)' для аппроксимации уравнений поверхности оболочки. В случае использования конечных элементов класса С , требования на степень сплайнов, используслшх для аппроксимации уравнений поверхности оболочки, сохраняются. Предложенные в работе элементы SHL557 обеспечивают максимальный порядок сходимости 0(hs) при 1РК = Г 7СГО и использовании квадратурных формул, точных на пространствах, соответственно, IP (SO, IP (90 и Р (90,

10 12 14

В третьей главе рассмотрены две задачи об определении напряженно-деформированного состояния оболочек. Сформулированы математические постановки вариационных задач, списывавших напряженно-деформированные состояния тонкой открытой цилиндрической оболочки, подкрепленной ребрами жесткости, и лопатки компрессора турбома-шины. Анализ полученного на ЭВМ решения в первой задаче показывает хорошее совпадение численных решений с аналитическими оценками решения данной задачи. Вторая прикладная задача не имеет каких-либо аналитичеких оценок решения, Полученные на ЭВМ численные решения хорошо согласуются с другими расчетными решениями.-.

В приложении 1 приведены численные решения для точкой открытой цилиндрической оболочки, подкрегленной ребрами хесткости.

В приложении 2 приведены таблицы и графики с исходными данными, описывающим геометрию пера лопатки компрессора, результаты аппроксимации геометрии срединной поверхности лопатки и численные решения, характеризующие напряженно-деформированное состояние лопатки под действием приложенных нагрузок. '

. - заключение

В работе были получены следующие основные результаты:

1) построены и исследованы новые схемы МКЭ высокого порядка точности для решения одного класса линейных задач механики, описывающих напряженно-деформированное состояние тонких пластин и оболочек;

2) доказана сходимость в условиях при- енения квадратурных формул при решении задач теории изгиба тонких пластин для почти аффинных семейств конечных элементов класса С1. Определены достаточные условия на степень точности квадратурных формул, обеспечивающих

сохранение максимальной скорости сходимости конечно-элементных схем при соответствующей гладкости функций;

3) доказана сходимость в условиях применения квадратурных формул и сплайн-аппроксимации дифференциальных характеристик поверхности при решении задач теории тонких оболочек для некоторых классов конечных элементов, определенных в диссертации. Определены достаточные условия на степень сплайнов и точность квадратурных формул, обеспечивахвдх сохранение максимальной скорости сходимости схем МКЭ при соответствующей гладкости функций;

43 показана эффективность предлокеных е работе конечно-элементных схем на ряде модельных и прикладных задач.

Главные положения работа изложены в следующих публикациях:

1. Черненко. Л. С. Численное решение коаевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений четвертого порядка методом конечных элементов // Вычислители? Т математика в научно-техническом прогрессе: Тез. докл. II Респ. кочф. - Киев, 1978. - С. 32.

2. Черненко A.C., Молчанов И.Н. , Ляшко И.И. Реиение уравнений прогибов тонких пластинок методом конечных элементов // Численные методы в решении задач теории упругости и пластичности: Докл. V Всесовд. кока. - Новосибирск, 1978. - 4.2. - С. 82 - 87.

3. Черненко,A.C. Численное решение задачи изгиба консольной пластинки методом конечных Злемеигов // Оптимизация вычислений и численный анализ. - Киев: Цн-т кибернетики им. В. М. Глушкоза АН УССР, 1980'. - С. 70 - 75..

4. Черненко A.C. Решение задач изгиба тонких непрерывно - неоднородных пластинок с использованием одкой схемы МКЭ // Исследование некоторых задач математической физики. - Киев: Ин-т кибернетики им. В. м. Глушкова АН УССР, 1980. - С. 23-30.

5. Черненко A.C. Решение уравнений прогибов тонких пластинок с разрывными коэффициентами с использованием одной схемы метода конечных элементов повышенного порядка точности ■// Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе:' Тез. докл. III Респ. конф. - Киев, 1982. - С. 78.

0. Черненко A.C. Решение уравнений одной математической модели лопатки т-урбомашины методом конечных элементов. Докл. АН УССР. Сер. А. - 1983. - (Г 8. - С. 21 - 23.

7. Черненко A.C. Od одной оценке числа обусловленности системы линейных алгебраических уравнений, возникающих в МКЭ // Численные методы и их оптимизация. - Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1934. - С. 63 - 72.

8. Черненко А.С., Винокуроза И. П. Анализ логической факторизации для метода блочного исключения Гаусса при решении одной конечно-элементной задачи с большим числом неизвестных // Оптимизация алгоритмов программного обеспечения ЭВМ. - Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1983. - С. 51 - 53.

9. Черненко А.С. Численное решение задач изгиба тонких пластинок методом конечных элементов с использованием элементов Т7-36 // Оптимизация численных методов решения задач на ЭВМ. - Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. ГлушкоЕа АН УССР, 1986. - С. 51 - 54.

10. Черненко A.C. О двух подходах в формировании общей СЛАУ метода конечных элементов. - Киев, 1986. - 20 с. - Деп. ВИННИ 16.12.86, tf 8631-В.

И. Черненко A.C., Винокурова И.П. Использование метсда подконст-рукций при решении конечноэлеыентных задач на многопроцессорных ЭВМ // Параллельное программирование и высокопроизводительные системы: Тез, докл. VII Всесоюз. школы-сеюшара. - Киев, 1986. '- С. 40 - 43.

12. Черненко A.C., Винокурова И. П. Об одном алгоритме формирования глобальной матрицы хесткости метода конечных элементов для задач-с большим числом неизвестных на высокопроизводительных ЭВМ // Математическое обеспечение высокопроизводительных ЭВМ. - Киев: 'Ия-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 198S. - С. 40 - 43.

13. Черненко A.C. О применении схем МКЭ повышенного порядка точности к расчету напряхенно-дефоршрованного состояния тонких оболочек // Оптимизация вычислений и численные методы. - Киев: Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1987. - С. 31 - 34.