Некоторые вопросы проблемы моментов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

1 V-экстремальные решения проблемы моментов Гамбургера.

1.1 Постановка задачи

1.2 Случай дискретных решений.

1.3 Необходимое условие V-экстремальности решения.

1.4 Достаточные условия У-экстремальности решения.

1.5 Абсолютно непрерывные V'-экстремальные решения.

2 Комплексная проблема моментов.

2.1 Постановка задачи

2.2 Пример позитивной, но не являющейся моментной, комплексной последовательности.

2.3 Вспомогательные результаты.

2.4 Достаточное условие разрешимости.

2.5 Разрешимость "усеченной" комплексной проблемы моментов

Список основных обозначений.

Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 38 наименований.

Дадим краткий обзор результатов, непосредственно связанных с тематикой данной работы.

В главе 1 рассматривается одномерная степенная проблема моментов.

Определение 1 Неубывающая функция сг(и), —оо < и < оо; называется решением проблемы моментов Гамбургера, порождаемой последовательностью чисел {s/fc}jfcl0, если оо sk= f ukdc{u), k = 0,1,2,. . (1)

Определение 2 Неубывающая функция a{ii), 0 < и < оо; называет,ся решением, проблемы м,ом,ент,ов Ст,илт,ьеса, порождаемой последовательностью чисел \sk}f=Q, если оо sk = J ukda(u), k = 0,1,2,. .

Проблема моментов называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решение не единственно (два решения проблемы моментов не считаются различными, если их разность равна константе во всех точках непрерывности).

С произвольной последовательностью чисел в пространстве всех многочленов можно связать функционал <£>, полагая

0 (р(Л)} = Ро So + Pi +----Ь Рп Sn для р(А) = Ро + Р! А н-----\-рп \п .

Определение 3 Функционал (5, заданный на множестве многочленов, называется позитивным, если Ф р(А)р(А)| > 0 для любого многочлена р(А) ф 0.

Функционал Ф, заданный на множестве многочленов, называется ненегативным, если 0 p(A)p(A)j> > 0 для любого многочлена р(А) .

Отметим, что введенный функционал 0 позитивен тогда и только тогда, когда последовательность позитивна относительно оси, то есть все квадратичные формы т

У] Si+k Xi Xk , m = 0,1, 2,. ,

U-0 строго позитивны.

В своей классической работе [19] Г. Гамбургер сформулировал критерий разрешимости проблемы моментов (1). Он доказал, что проблема моментов (1) разрешима тогда и только тогда, когда функционал 0, порождаемый последовательностью > ненегативен. Причем условием необходимым и достаточным для того, чтобы существовало решение <г(и), —оо < и < оо, имеющее бесконечное число точек роста, является позитивность функционала 0 , то есть позитивность относительно оси последовательности .

Описание совокупности всех решений проблемы моментов (1) в неопределенном случае было дано Р. Нсванлинной.

Определение 4 Класс N (функции Неванлинны) совокупность всех аналитических в полуплоскости Зт z > 0 функций w = f(z), отображающих полуплоскость Зт 2 > 0 в полуплоскость Зт w > 0.

Общий вид функции Неванлинны f(z) 6 N дает (см., например, [1] с.630) интегральное представление оо — оо где /./, > 0 , v Е IR, а г (и) — неубывающая функция такая, что оо dr(u) —< ОО. оо

Так как представление функции Неванлинны j(z) в виде (2) единственно, будем говорить, что неубывающая функция г (и) соответствует функции f(z)eN.

Как показал Р. Неванлинна (см. [26]), между множеством всех решений а (и) неопределенной проблемы моментов (1) и совокупностью всех функций (f(z) класса N, пополненного константой со, существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулой: оо

A{z)y{z)-C{z) f da (и) где A(z) , B(z), C(z), D(z) — целые функции, однозначно определяемые моментной последовательностью {sk)T=o ■ этом справедливо тождество

Пусть дана неубывающая функция сг(и), —оо < и < оо, с конечными моментами ^

В таком случае любое из пространств 00,00) , р > 1, содержит совокупность всех многочленов, и возникает вопрос об условиях, при которых эта совокупность плотна в Lpa{—00,00).

Полностью разрешен вопрос только для случая = 2 (М. Риссом и Р. Не-ванлинной).

В случае, когда решение <т(и) проблемы моментов (1) единственно (определенная проблема моментов), множество многочленов плотно в L20(—00,00) (см. [29]), а следовательно, и в 00,00), 1 < р < 2.

Определение 5 Решение о (и) неопределенной проблемы моментов (1) называется N -экстремальным, если множество всех многочленов плотно в ЬЦ-оо.оо).

Известно (см., например, [2] с.128), что решение а (и) N-экстремально тогда и только тогда, когда ему по формуле (3) соответствует функция tp(z), равная вещественной константе (конечной или бесконечной). Этот факт дает исчерпывающий ответ на вопрос о полноте многочленов в пространстве Ll(—00,00).

Случай р > 2 рассматривали Ch. Berg, J.P.R. Christeriseri ([13], [14]). Они, в частности, получили (см. [14]), что из плотности многочленов в пространстве Lva{—00,00) , р > 2, следует, что проблема моментов (1) — определенная.

Рассмотрим случай р = 1.

В случае, когда проблема моментов (1) имеет единственное решение о'(и), уже отмечаюсь, что множество многочленов плотно в пространстве

Рассмотрим случай, когда решение проблемы моментов (1) не единственно (неопределенная проблема моментов).

Определение б Решение сг(и) неопределенной проблемы моментов называется V-экстремальным, если его нельзя представить в виде fti ГГл (п\ 4- П"1 По fu)

A(z) D(z) - C(z) B(z) = 1, Vz G С. оо

00,00). где > 0; oi2 > О, а (и) , гТ'Дм)— решения, этой же проблемы ,момент,ов, отличные от <т{и).

Таким образом, V-экстремальные решения являются крайними точками множества решений неопределенной проблемы моментов (1).

М.А. Наймарк доказал (см. [11]), что V-экстремальные решения характеризуются важным свойством: решение а(и) V-экстремально тогда и только тогда, когда множество многочленов плотно в L\{—ос,оо).

Класс V-экстремальных решений неопределенной проблемы моментов заведомо шире класса iV-экстремальных решений (см. [11]). Как показано в статье [4], для V-экстремальности решения ет"(м) достаточно, чтобы ему по формуле Неванлинны (3) соответствовала рациональная функция y(z) <Е N вещественная на вещественной оси.

В главе 1 мы рассмотрим задачу описания V-экстремальных решений неопределенной степенной проблемы моментов. Мы выделим новый класс iVi С iV, состоящий из функций <p(z), которым в представлении Неванлинны (3) соответствуют V-экстремальные решения а(и) неопределенной проблемы моментов (1). Этот класс N\ существенно шире класса вещественных рациональных функций Неванлинны. А также мы отметим ряд свойств, которыми обладают V-экстремальные решения.

В главе 2 рассматривается вопрос разрешимости комплексной проблемы моментов.

Рассмотрим комплексную проблему моментов.

Определение 7 Последовательность комплексных чисел {ст,п}т,п=о на~ зывает,ся комплексной моментной последоват,елъностъю, если существует мера fx(z) на С (определеннал па борелевских множествах) такая, что С

Будем называть меру fi(z) решением комплексной проблемы моментов (4), порождаемой последовательностью .

Как и в случае одномерной степенной проблемы моментов, возникает вопрос — какие последовательности являются моментными. Одна из первых постановок комплексной проблемы моментов появилась в статье Y. Ivilpi [24].

Определение 8 Последовательность {cmin}^n0 С С называется позитивной, если к m,n,p,q=0

В случае, когда выполнено уравнение (4), имеем, 2

1ф)> О, ^ €m-\-q;n-\-p Ат,п Ap.q — / т,п,р,(]=0 с

Е*

-п т.п ^ ш,п=0 к

V{Am,n}Lifl=flC€, fc = 0,1,2,. .

Таким образом, получаем хорошо известное необходимое условие разрешимости комплексной проблемы моментов (4): для комплексной моментной последовательности {cmiU}^raQ справедливо неравенство к

Cm+q,n+p \п,п > 0 , V{Am;)i}^ra=0 С С, к = 0, 1, 2, . . (5)

По последовательности {ст.п}т!П=о С С построим функционал 0С, заданный на множестве многочленов от переменных 2 , I формулой п п c{p{zi~z)} = ДЛЯ Pi2'*) = zkjl ■ к,1=0 к,1=0

Заметим, что неравенство (5) эквивалентно свойству

0С |p(z, z) p(z, z) j > 0 для любого многочлена p(z, z).

Известно, что с комплексной проблемой моментов тесно связана двумерная проблема моментов, которая заключается в следующем: когда для последовательности вещественных чисел {-5mjn}m п=о существует мера a(ui, 11-2) на R2 (определенная на борелевских множествах) такая, что

Sm,n - / uf «2 dff(ui, u2), m, n = 0,1, 2,. . (6)

По последовательности -{sm,n}mn=o построим функционал (J3S, заданный на множестве многочленов от переменных щ , щ формулой п. п

6s{p(ui, u2)} = sk,i для p(ui, щ) = ^Г Aft,/ щкщ1 ■ к,1=0 к,1=0

Обозначим п п р{щ, и2) = W1 W'2 Для ~ ^ U2 • k, 1=0 fe.bO

Лемма 9 Комплексная проблем,а момент,ов, порождаем,ал последовательностью {ст,п)тп=о • разрешима тогда и только тогда, когда разрешима двумерная проблема моментов, порождаемая последовательностью sm,n}m,n=0 э

Sm,n = ®c{(Ktz)m (Jmz)n} , m,n = 0,l,2,. .

Причем, <бс ^p(z,z) p(z1"z) j> > 0 для любого многочлена p(z,~z) т,огда и только тогда, когда {р(щ,щ)p(ui, щ)*^ > 0 для любого многочленар(щ, w^) •

Как показал Е.К. navilanu (см. [20, 21]), двумерная проблема моментов (6) разрешима тогда и только тогда, когда

5,{p(ui,u2)}>0 для любого многочлена щ) такого, что р("ьи2) > VMI,Vm2 е R.

Известно, что любой многочлен от одной переменной неотрицательный на вещественной оси представляется в виде суммы квадратов некоторых других многочленов. Однако в двумерном пространстве это уже не верно, D. Hilbert доказал (см. [23]), что существует неотрицательный многочлен от двух вещественных переменных, не представимый в виде суммы квадратов некоторых других вещественных многочленов. Этот факт позволил Р.Б. Зархиной в статье [5] (см. также [17, 18]) доказать, что существует последовательность чисел о такая? что s |p(ui, щ)р(щ,112) j > 0 для любого многочлена р(щ,и2) , (7) но последовательность не является моментной. Это, с учетом леммы 9, дает хорошо известный факт: из того, что для комплексной последовательности {c?/?,??,}^ п=о выполняются неравенства (5), не следует, что она является комплексной моментной последовательностью.

Сформулируем известные критерии разрешимости комплексной проблемы моментов (4).

Справедлив следующий аналог критерия Е.К. Haviland'a для комплексного случая.

Лемма 10 Последовательность {cm,Ti}mп=0 являет,сл комплексной моментной последовательностью тогда и только тогда, когда ®c{p(z, г)} > О для любого многочлена p(z,z) такого, что p(z,~z) >0, Уг G С.

Еще один интересный критерий получили J. Stochel и F.H. Szafraniec (см. [32]): последовательность {cmi„}^n=0 С С является комплексной мо-ментной последовательностью тогда и только тогда, когда существует последовательность {ст,п}т+п>о С С такая, что

C)7i,n = Gm.n ■> Wi, 'Л = 0, 1, 2, . . . 1 и ^ Crn+q,n+p Ajji.n Ap q ^ О ТТ X V/W. IV .VI JI1 гн+п^О р+д^О для любой конечной последовательности {Атгг}т+п>о С С.

В комплексной проблеме моментов (как и в случае двумерной nj моментов) играет важную роль операторный подход.

Пусть Pq — множество всех многочленов от переменных z, z. Рассмотрим на Pq следующую форму p,q)c = <3c{pq}

Обозначим через Lq множество многочленов р таких, что (р,р)с = 0. В случае, когда выполнены неравенства (5), форма (p,q)c задает скалярное произведение на Pq/Lq . Обозначим через Р гильбертово пространство, получающееся пополнением предгильбертова пространства Pq/Lq по скалярному произведению (р,?)с- Для простоты рассмотрений будем считать, что последовательность {cm,„}^n0 С С — позитивная, тогда Lq — пустое множество, Р — замыкание Pq по скалярному произведению p,q)c = ®c{pq}

Рассмотрим оператор А с областью определения = Pq:

Ap(z,z) d= zp(z, I) , Vp(z,z) e Pq. Определение 9 Оператор X называется формально нормальным, если

С и \\Xf\\ = \\Х* /||, V/ € Ях ■

Оператор X называется нормальным, если он формально нормальный и Dx = ^х* ■

Известно (см. [24]), что разрешимость комплексной проблемы моментов эквивалентна задаче расширения (возможно с выходом из пространства) некоторого формально нормального оператора до нормального оператора. Действительно, введенный оператор А — формально нормальный оператор в Р. Предположим, что комплексная проблема моментов (4) разрешима, тогда существует мера p(z) такая, что выполнено представление (4). Рас2

4lf J Г- Т 2 смотрим оператор Az умножения на 2 в пространстве L2 •

Ял. = J (г) S I

-') 6 L */«, \/f(z)evAz. Оператор Az — нормальный в пространстве L2 и совпадает на многообразии Р0 с оператором А , то есть формально нормальный оператор А расширяется до нормального оператора. Обратно, предположим, что существует нормальный оператор А в некотором гильбертовом пространстве Н с скалярным произведением (.,.)#, содержащем гильбертово пространство Р, такой, что ~

Р0С®хъА\р = А.

Тогда, в силу спектральной теоремы для нормального оператора, существует комплексное разложение единицы E(z) такое, что справедливо равенство:

AkpuAlPi)H = J zkzld(E(z)Pl,p2)H, V]>bVp2eP0, к,I =0,1,2,. . с

Рассмотрим меру ft.(z) на С, задаваемую равенством

И(В)=1 d{E{z)e,e)H, в где е = 1 £ Рц , В — произвольное борелевское множество С. Имеем,

J zkzldi,{z) = j zkzid(E(z)e,e)]I = с с (Ake,Ale)H=(zk,zl)c = ckjl, к,1 = 0,1,2,. .

Следовательно, получаем известный факт, что fi(z) — решение комплексной проблемы моментов (4). Итак, последовательность {cm,n}mn=Q С С является комплексной моментной последовательностью тогда и только тогда, когда оператор А можно расширить до нормального оператора.

Разрешимость двумерной проблемы моментов, в свою очередь, эквивалентна задаче расширения некоторых двух симметрических операторов до пары коммутирующих самосопряженных операторов. Действительно, пусть

2) w2)| > 0 для любого многочлена p{ui, щ) ф 0 , рассмотрим гильбертово пространство — пополнение множества многочленов р{щ,щ) относительно скалярного произведения pi{uhu2),p2(uhu2))s = (3S [pi{uhu2)p2(uhu2)} , где pi(ui,u2) : Р2{щ,щ) — произвольные многочлены. Определим операторы А\ , A<i на множестве многочленов от переменных щ , и2 формулой

Ajp(uuu2) = щр(иищ), j = 1,2, для произвольного многочлена . Операторы А\, Л2 — симметрические операторы псрсстглювочпыс на множестве многочленов. Из рассмотрений разрешимости комплексной проблемы моментов, с учетом леммы 9, заключаем, что двумерная проблема моментов (6) разрешима тогда и только тогда, когда операторы А\, Ач можно расширить до пары коммутирующих самосопряженных операторов.

Как уже упоминалось, из того, что последовательность {sm,n}nn=o УД0-влетворяет неравенствам (7), не следует, что она является моментной. Однако оказывается, что при некоторых дополнительных условиях на последовательность, эта последовательность является моментной. Укажем наиболее интересные результаты такого типа.

Рассмотрим двумерную проблему моментов (6). Как показали А.Г. Ко-стюченко и Б.С. Митягин (см. [7]), если последовательность {sm,n}m,n=o удовлетворяет условию (7) и km,n | < Ст+п тп пп , т, п = 1,2,., где С — константа, то эта последовательность является моментной, причем операторы А\ , А2 являются существенно самосопряженными. Этот результат можно переложить и на комплексную проблему моментов. Как показали J. Stochel и F.H. Szafraniec (см. [30]), если последовательность {c4n}m,rc=o С € удовлетворяет условию (5) и km.nl < Ст+п ттпп, т.п = 1,2,., где С — константа, то {ст)П}^п0 — комплексная моментная последовательность, причем оператор А является существенно нормальным.

Достаточные условия разрешимости двумерной проблемы моментов для случая, когда один из операторов А\, А2 является существенно самосопряженным, были получены в работах Р.С. Исмагилова (см. [6]) и Г.И. Эскина (см. [12]).и

Другой тип ограничений — это ограничения, в некотором смысле, на носитель меры, являющейся решением проблемы моментов:

1) (см. [33]) последовательность {ст,п}т,п=о С С является комплексной мо-ментной последовательностью такой, что носитель, соответствующей ей меры, лежит в круге с центром в нуле и радиусом Ъ, тогда и только тогда, когда последовательность {ст.,п}ы п=о удовлетворяет (5) и а Ь2 п , га = 0,1,2,. ; d

2) (см. [31]) пусть многочлен p(z,J) = Pi,jZllJ имеет доминирующий i,j=о коэффициент. Последовательность {cmjn}^n=0 С С является комплексной моментной последовательностью такой, что носитель, соответствующей ей меры, содержится в множестве \z 6 С| p{z,z) = 0} , тогда и только тогда, когда последовательность {ст,п)тп=о удовлетворяет (5) и d

Г ci+klj-[Pk,i = о , г, j = 0,1,2,. . к,1=0

Хотя, как мы указывали выше, известно, что существует позитивная, не являющаяся моментной, комплексная последовательность, однако этот факт доказывается в абстрактной форме без конкретного примера. В главе 2 мы приведем пример в явном виде позитивной комплексной последовательности, которая не является моментной последовательностью. А также получим достаточное условие разрешимости комплексной проблемы моментов, распространяющееся на случай, когда оба оператора А , Зт А не являются существенно самосопряженными, причем это условие накладывается непосредственно на последовательность {cm,n}m,ra=o ■

Изложим кратко полученные результаты по главам.

Первая глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе вводятся основные определения, приводятся известные ранее результаты, которые будут в дальнейшем использоваться, а также кратко излагается постановка задачи.

Во втором параграфе рассматриваются дискретные решения проблемы моментов Гамбургера, то есть решения являющиеся функцией скачков с единственной возможной точкой накопления скачков на бесконечности.

Определение 10 Будем, говорить, что неубывающая функция, заданная на всей оси и обладающая конечными моментами всех порядков, порождает проблему моментов Гамбургера, решением которой она является.

Введем обозначения: Хм — характеристическая функция множества М ; а[х] = а(х + 0) - а{х - 0) , х 6 R.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1 Пусть многочлены плотны в пространстве (—og, оо), где fj,(u), —оо < и < оо, — дискретное решение проблемы моментов Гамбургера с множеством скачков > xk J- xi для k j-I, k,l ~ 0,1,2,.; oo

X(xn,oo), an > о, n = 0,1,2,. . n=0

Тогда для произвольного yo 6 К. \ многочлены плот,ны в пространстве Ь1(—оо, оо), где со def V^ l> = an у/-----л 4- > <7,., v/„ . ' —•} / ^ —']

П =1

Причем fi(u) порождает определенную проблему моментов Гамбургера тогда, и только тогда, когда v(n) порождает, определенную проблему моментов Гамбургера.

Теорема 1 утверждает, что если мы "переместим" конечное число точек скачков дискретного ^-экстремального решения, то получившаяся функция скачков будет снова У-экстремальным решением, хотя уже другой проблемы моментов.

В третьем параграфе доказывается необходимое условие У-экстремаль-ности меры.

Теорема 2 Пусть а ( и), — оо < и < оо, — неубывающая функция ограниченной вариации, обладающая конечными моментами всех порядков. Если оо / , у du > '

1 + U где &'ас{и) — производная абсолютно непрерывной части функции с (и), то множество многочленов не плотно в пространстве L\{—оо, оо) (то есть ст(и) — не V-экстремалъное решение).

В четвертом параграфе рассматриваются достаточные условия У-экст-ремальности.

Теорема 3 Если функции Неванлинны <po(z) соответствует по формуле (3) не V-экстремалъное решение co(w) неопределенной проблемы моментов (1), тогда существует, функция Неванлинны <po(z), щ(г) ф (fo(z), такал, что lim (tfuiiy) - lp0(iy)) B2(iy) у'10 = 0, у—>+оо оо \ lim I I =

2/-J-+00 I / и — г у J и — iy J оо —оо / где сто (и) -- решение проблемы момент,ов (1), соответствующее по формуле (3) функции Неванлинны (fio(z), B(z) — функция из неванлинновского представления (3) решения проблемы моментов (1).

Теорема 3 позволяет указать достаточное условие ^-экстремальности решения проблемы моментов.

Введем класс функций N\ С N следующим образом.

Определение 11 Будем говорить, чт.о функция Неванлинны (f(z) принадлежит, классу N\, если, соот,вет,ст,вуюгца,я ей по формуле (2) неубывающая функция т(г/) порождает определенную проблему моментов Гамбургера.

Рациональные функции Неванлинны вещественные на вещественной оси принадлежат классу Nj. Более того, если неубывающая функция г [и) такова, что оо

J ea\u\dr(u) < +оо оо для некоторого положительного числа а , то г (и) порождает определенную проблему моментов Гамбургера. Поэтому класс N\ заведомо шире множества вещественных рациональных функций Неванлинны.

Теорема 4 Если решению ао{и) неопределенной проблемы моментов (1) соответствует по формуле (3) функция <po{z) £ Ni, то решение ctq(u) V- э кстр емалъно.

В пятом параграфе, как следствие изложенных выше достаточных условий V-экстремальности решения, получен следующий результат.

Определение 12 Будем называть решение <г(и) проблемы моментов (1) абсолютно непрерывным, если неубывающая функция сг(и) абсолютно непрерывна на любом конечном отрезке вещественной прямой.

Теорема б Существуют, как дискрет,ные7 так и абсолют,но непрерывные V-экстремальные решения неопределенной проблемы моментов (1).

В главе 2 рассматривается вопрос разрешимости комплексной проблемы моментов. Глава 2 состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе вводятся основные определения и кратко излагается постановка задачи.

Во втором параграфе мы приведем пример в явном виде позитивной комплексной последовательности, которая не является моментной последовательностью.

Теорема 7 Последовательность {с^}^^, где со,о = 1, = 3 , c2i2 = 10, c3ia = 46, с0,4 - c4i0 = 2, ci,5 = с5д = 30 ,

Co,2 = C2,0 = C0)6 = Cfi,0 = Cl,3 = caД = C2>4 = 42 = 0 , £k,l = 0 5 если к + I — нечетное число, к -f- / < 6, к, I = 0,1, 2,. , с*,а = 23\ А; = 4,5,6,. ,

Ckj = 0 , если к ф I, к + / > 6, к, I = 0,1,2,. , (8) является позитивной комплексной последовательностью, но не является моментной комплексной последовательностью.

Сделаем необходимые замечания к теореме 7. Для этого нам необходима следующая лемма.

Лемма 16 Если последовательность — комплексная позитивная последовательность, тогда последовательность о — комплексная моментная последовательность. Кроме того, если проблема моментов Стилтьеса, порождаемая последовательностью , — неопределенная, то решение комплексной 'проблемы моментов, порождаемой последовательностью {с/, [ , не единственно.

Пусть {ckjj'j?^q — последовательность, задаваемая равенствами (8), тогда последовательности {с/г,/}^=о и {c^ i 3k,i}Ti=o различаются на конечное число элементов, при этом, в силу теоремы 7 и леммы 16, последовательность {ckj h,i}u-о является комплексной моментной последовательностью, а {см1н=о — нет- Таким образом, справедливо следующее замечание.

Замечание 4 Изменение конечного числа элементов комплексной моментной последовательности может привести к позитивной, но уже не являющейся моментной, комплексной последовательности.

Третий параграф носит вспомогательный характер. В нем приводится ряд результатов о комплексных моментных последовательностях специального вида, которые понадобятся в дальнейшем.

В четвертом параграфе получен следующий результат.

Теорема 9 Пусть комплексная моменгпиал последовательность {cm,n}m.tn=0 >

Сто, в = о при тфп, т,п = 0,1,2,. , такова, что проблема моментов Стилтъеса, порождаемая последовательностью {с*,*}£10, — неопределенная. Тогда для любой последовательности {Am,n}m,n=o С с,

Дга,п = Ап,га, lAw.nl < (1-^,,) Ст+п+2 , С d= Rq/S , т, п = 0,1,2,. , где Ло — константа из леммы 23, последовательность {с™^}^.,^.

С)т!,п = "Ь A?7j)?j , Ш, П = 0, 1, 2, . . . , является комплексной моментной последовательностью. Причем решение комплексной проблемы моментов, порождаемой последовательностью {Г'т,п}т,п=о> пе единственно.

Константа B,q — конструктивная, то есть она вычисляется явным образом по последовательности {с^}^.

Укажем одно интересное следствие теоремы 9. Пусть дана последовательность {cTO,rc}™,n=o С С такая, что последовательность {с*^}^ позитивна относительно оси.

С последовательностью q,

•Ч = c*,fc, k = 0,1,2,. , (9) свяжем форму (., ,)s, заданную на множестве многочленов от одной вещественной переменной формулой га п \ п

Л* ~Pl Sk+l , fe=0 ЬО J s к,1=0

VWLfl.VWjloCC, n = 0,1,2,. .

Так как последовательность — позитивная относительно оси, поэтому форма (., .)s задает скалярное произведение на множестве многочленов от одной вещественной переменной.

Обозначим через Pq множество многочленов от одной вещественной переменной, p(z)= inf || 1 — (и — , VxeR. (10)

ВВЕДЕНИЕ

17

Теорема 10 Если последовательность комплексных чисел , со,о — 1 > такова, что последовательность {О:,*,-}^ порождает неопределенную проблему моментов Гамбургера, причем последовательность {ck+i,k+i — ck,k}^= о — ненегативная относительно оси, и сп т , га, п — 0,1,2,. ,

I I ( I-\"1+га+2

Ст,п I < у/рЩ nPU т Ф П > П = 0, 1, 2, . . . , где р{х) — функция, соответствующая по формулам (9), (10) последовательности то п о с л в до в а т е л ь н о с гп ъ {crn„}^ п=0 является комплексной момент,ной последовательностью. Причем решение комплексной проблемы м,ом,ент,ов, порождаем,ой последовательностью . не единственно.

В пятом параграфе доказывается разрешимость "усеченной" комплексной проблемы моментов.

Теорема 11 Для произвольной последовательности комплексных чисел {Ст,п=0 >

Ст,п — Сп,т i ^ — U, 1, z, . . . , существует мера fi(z) на С такая, что ст п = J zm 1п d/n(z) при тф п, т, п = 0,1,2,. . с

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [34, 35, 36, 37, 38]. Они докладывались на семинаре "Несамосопряженные операторы" под руководством А.Г. Костюченко, А.А. Шкаликова, на международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2001), в 11-й Саратовской зимней школе, посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари, Д.Е. Меньшова (Саратов, 2002).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору А.Г. Костюченко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задами. М.: Мир. 1968.

2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961.

3. Ахиезер Н.И. Об одном предложении А.Н. Колмогорова и одном предложении М.Г. Крейна. // Докл. АН СССР. 1945. Т.50. С.35-39.

4. Глазман И.М., Найман П.Б. О выпуклой оболочке ортогональных спектральных функций. Ц Докл. АН СССР. 1955. Т.102. №3. С.445-448.

5. Зархина Р.Б. О двумерной проблеме моментов. // Докл. АН СССР. 1959. Т.124. №4. С.743- 746.

6. Исмагилов Р.С. Самосопряженные расширения коммутирующих симметрических операторов. // Успехи Математических Наук. Т.17. 1962. Вып. 1(103). С.177 181.

7. Костюченко А.Г., Митягин Б.С. Положительно-определенные функционалы на ядерных пространствах. ( Труды Московского Математического общества. 1960. Т.9. С.283-316.

8. Крейн М.Г. Об одной экстраполяционной проблеме А.Н. Колмогорова И Докл. АН СССР. 1945. Т.46. JV»8. С.339-342.

9. Крейн М.Г. О неопределенном случае краевой задачи Штурма-Лиувилля в интервале (0, сю). // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1952. Т.16. №4. С.293 -324.

10. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М. 1956.

11. Наймарк М.А. Экстремальные спектральные функции симметрического оператора. // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1947. Т.П. №4. С.327-344.

12. Эскин Г.И. Достаточное условие разрешимости многомерной проблемы моментов. // Докл. АН СССР. 1960. Т.133. №3. С.540-543.

13. Berg Ch. Mom.ent problems and polynomial approximation. // Ann. Fac. Sci. Toulouse Mathematiques. 1996. P.9-32. Numero special Stieltjes.

14. Berg Ch., Christensen J.P.R. Density questions in the classical theory of moments. // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1981. V.31. №3, P.99-114.

15. Berg Ch., Maserick P.H. Polynomially Positive Definite Sequences. // Math. Ann. 1982. V.259. P.487-495.

16. Berg Ch., Thill M. Rotation invariant moment problems. // Acta Math. 1991. V.167. P.207-227.

17. Berg Ch., Christensen J.P.R., Jensen C.U. A remark on the multidimensional moment problem. // Math. Ann. 1979. V.243. P.163-169.

18. Fuglede B. The multidimensional moment problem. // Expo. Math. 1983. V.l. P.47-65.

19. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenprob-lems. // Math. Ann. 81. 1920; 82. 1921.

20. Haviland E.K. On the momentum problem, for distributions in m,ore than one dimension. // Amer. J. Math. 1935. V.57. P.562-568.

21. Havilancl E.K. On the momentum problem for distributions in more than one dimension, II. // Amer. J. Math. 1936. V.58. P.164-168.

22. Herglotz G. Uber Potenzreihen mit positivem reellem Teil im Einheitskreis. // Leipz. Ber. 1911. Y.63.

23. Hilbert D. Uber die Da.rstelhmg deftniter Form,en als Summe von Form,en-quad,raten. // Math. Ann. 1888. V.32. P.342-350.

24. Kilpi Y. Uber das komplexe Momentenproblem. // Aim. Acad. Sci. Fenn. Ser.A I Math. 236. 1957. P.l-32.

25. Motzkin T.S. Algebraic Inequalities, в книге Inequalities. New York: Academic Press. 1967. P. 199-203.

26. NevanlinnaR. Asymptotische Entwickelungen beschrdnkter Funktionen und das Stieltjessche Momentenproblem. // Ann. Acad. Sci. Fenn. (A). 1922. V.18. №5. P.l-52.

27. Pedersen H.L. On Krein's Theorem for Indeterminacy of the Classical Morn,ent Problem,. J j Journal of Approximation Theory. 1998. V.95. P.90-100.

28. Riesz F. Sur certaines systemes singuUeres d'equations integrates. )j Ann. Ec. Norm. 1911. V.28.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 93

29. Riesz М. Su,r le •problem,e des moments et le theorem,e de Parseval correspondent. // Acta Litterarum ac Scientiarum. Szeged 1. 1922-1923.

30. Stochel J., Szafraniec F.H. On normal extensions of unbounded operators. I. // J. Operator Theory. 1985. V.14. P.31-55.

31. Stochel J., Szafraniec F.H. Algebraic operators and moments on algebraic sets. К Portugal. Math. 1994. V.51. P.25-45.

32. Stochel J., Szafraniec F.H. The Com,plex Moment Problem. and Subnormal-ity: A Polar Decomposition Approach. // Journal of Functional Analysis. 1998. V.159. P.432-491.

33. Szafraniec F.H. Boundedness of the shift operator related to positive definite forms: an application to moment problems, j j Ark. Math. 1981. V.19. P.251-259.

34. Кувшинов М.Ю. V-экстремальные решения проблемы моментов. )j Успехи математических наук. 1999. Т.54. Вып.2(326). С.163-164.

35. Кувшинов М.Ю. О V-экстремальных решениях проблемы моментов. // Математические заметки. 2002. Т.72. Вып.З. С.396-407.

36. Кувшинов М.Ю. Пример позитивной, но не являющейся моментной, комплексной последовательности. fj Электронный журнал "Исследовано в России". 65. С.699-712. 2002. http://zhurnal .аре .relarn .ru/articles /2002/065.pdf.

37. Кувшинов М.Ю. V-экстремальные решения проблемы моментов, // Тезисы докладов международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского. Москва. 2001. С.225-226.

38. Кувшинов М.Ю. О разрешимости комплексной проблемы моментов. // Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы, посвященной памяти выдающихся профессоров МГУ Н.К. Бари, Д.Е. Меньшова. Саратов. 2002. С.105-106.