Некоторые вопросы прочности и устойчивости пластин, загруженных сосредоточенной силой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САШСТ ^]ЙЗТЕРЕУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

- *ч %

На правах рукописи

ВИСЕЛКОВ Сергей Юрьевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН, ЗАГРУЖЕННЫХ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Даль Юрий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ТОВСТИК Петр Евгеньевич

доктор физико-математических наук, профессор МЕЛЬКЕР Александр Иосифович

Ведущая организация - Физико - технический

институт им. А.Ф. Иоффе

Защита состоится " 4 " 1995г. в " И ° " часов

на заседании диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета: Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " 2> п кл^дг,^ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.м.н., доцент

М.А. Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальпость темы: Проблемы прочности и надежности тонкостенных элементов конструкций (в частности пластип) интенсивно изучаются с позиций механики, физики и материаловедения.

На протяжении десятилетии эти науки развивались самостоятельно, лишь изредка соприкасаясь друг с другом, но технические требования к современным конструкциям (большие, размеры, малая пластичность, широкие диапазоны рабочих температур) выпуждагот в настоящее время использовать комплексные подходы. Кроме того, быстрыми темпами происходит смена самих материалов, и если раньше высокая пластичность металла обеспечивала надежность сооружений, рассчитанных по формулам классической теории упругости, то теперь их надежность зачастую определяется прочностными свойствами материала в микрозовах высоких градиентов напряжений.

Исчерпание несущей способности конструкций может проистекать не только из-за разрушения ее отдельных узлов. Известны случаи, когда катастрофы происходили в результате потери устойчивости стержневых или пластинчатых элементов инженерных сооружений.

Все это делает необходимым и важным исследование поведения пластин, находящихся под действием сосредоточенных сил, с позиций физики твердого тела и механики сплошных сред.

1.2. Цель работы Основная задача диссертации состоит в исследовании процессов деформирования плоских элементов конструкций в окрестности сосредоточенных сил. Три наиболее важных вопроса, рассмотрепие которых преследует настоящая работа, заключаются в следующем:

1) Микроанализ напряжений и перемещений, а также особенностей сдвигообразования и влияния на пего атомов примеси в окрестности сосредоточенной силы;

2) Разработка критерия прочности, учитывающего как влияние плоских скоплений дислокаций перед границами зереп, так и изменение касательного напряжения внешнего силового поля вдоль линий скольжения;

3) Рассмотрение иного фактора, могущего влиять на функциональные свойства плоского элемента в окрестности сосредоточенной силы, а именно - решение задачи об устойчивости полосы, нагруженной сосредоточенной силой на границе.

1.3. Научная новизна. Рассмотрен комплекс проблем, связанный с локальной прочностью и устойчивостью пластин, находящихся под действием сосредоточенной силы. Исследована деформация поликристаллических материалов вблизи точек приложения сосредоточенных нагрузок. Поставлена и решена задача об устойчивости полосы под действием сосредоточенной силы. Решение распространено на случай пластины лежащей на упругом основании.

1.4. Достоверность основных научных положений диссертации и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи, сопоставлением некоторых положений, промежуточных выводов и следствий с результатами полученными другими авторами и данными экспериментов.

1.5. На защиту выносятся следующие результаты:

- исследование сдвигов атомов кристаллического материала в окрестности концентраторов напряжений;

- анализ воздействия плоского скопления дислокаций на межзеренную границу;

- решение задачи об устойчивости полосы, нагружепной

сосредоточенной силой на границе;

- исследование влияния упругого основания на полученное

решение.

1.6. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составил 143 страниц. Библиография насчитывает 123 наименований.

1.7. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались па:

- XIX Всесоюзной конференции по прогнозированию механического доведения материалов (Старая Русса, 1991);

- XXIX Межреспубликанской конференции по актуальным проблемам компьютерного моделирования поведения материалов (Псков, 1993);

- XXX Межреспубликанской конференции по актуальным проблемам прочности (Новгород, 1994);

- I - ом Симпозиуме по разделу "Механика деформируемого тела" (Санкт-Петербург, 1994);

- Городском семинаре "Локальное разрушение тонкостенных конструкций" (Санкт - Петербург, ИГ1МАШ РАН, 1994);

- семинаре кафедры теории упругости в Санкт - Петербургском государственном университете.

Диссертация в целом докладывалась на семинарах в С.-Петербургском госуниверситете: на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела, лаборатории сопротивления материалов, в Физико - техническом институте им. А.Ф. Иоффе.

1.8. Публикации Основное содержание диссертации отражено в работах [1-(3] и вошло составной частью в , рапт РФФИ "Теория развития и залечивания поверхностных дефектов в ме-

таллах" (№95-01-00335а).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются цели диссертационной работы и дается краткий обзор литературы по общим вопросам, затрагиваемым в диссертации.

В аннотации к первой главе проводится краткий обзор работ, связанных с исследованием микросдвигов в идеальных поликристаллических телах.

В §1 дается анализ распределения касательных напряжений в полуплоскости под действием сосредоточенной силы, определяются линии максимальных касательных напряжений в зависимости от угла наклона силы.

Второй параграф посвящен рассмотрению относительных смещений атомов кристаллической решетки вблизи концентраторов напряжений. В основу анализа положена нелинейная модификация модели Френкеля-Конторовой. Лействие внешнего силового поля на п - ый атом подвижной цепочки описывалось следующим образом:

(г.+Л.-м )/г

Тп = Ъо У /(у) ¿у, (1)

где /(у) - касательное напряжение внешнего силового поля; у» -координата п - го атома в деформированном состоянии. Основываясь на уравнении статического равновесия некоторой материальной частицы подвижной цепочки, приходим, при /(у) = Ру-"

к следующей системе нелинейных разностных уравнений: ПК

(1 - а)21~а

2тгг1>п

+

-(-а,^»-, - 2фп + фп+1) - Д, 8Ш—— = 0, (п = 1,УУ), (2) 4 «о

где д-о - параметр кристаллической решетки в направлении у, а фл - смещение п - го атома от положения равновесия.

Из численного решения системы (2) при а — 1 и заданных краевых условиях на левом и правом конце цепочки, определены равновесные состояния и условие жесткого сдтшга атомов решетки. Получено также приближенное значение теоретического предела прочности материала при сдвиге.

В §3 исследованы сдвиги цепочки атомов в вершине равновесной трещины В.В. Новожилова. При этом параметр а в уравнении (2) был принят равным 1/2, а краевое условие для первого атома цепочки записывалось в виде:

сг^ж- (?) = (3)

I < к < 3,

где к - параметр, характеризующий связь налагаемую на периыи атом, частицами лежащими вне цепочки. Получена зависимость формы равновесия от к.

В заключительном параграфе главы рассматриваются смещения цепочки с внедренными атомами примеси. Анализируется поведение подвижпой цепочки атомов в зависимости от значений констант в уравнении взаимодействия соседних атомов. Исследован случай, когда в начале цепочки находятс я примесные атомы.

Предпосланное второй главе введение посвящено рассмотрению работ, связанных с исследованием поведепия дислокации в цепочке Френкеля - Конторовой.

В §5 исследовано движение краевой дислокации под действием внешнего силового поля. При этом была использована предложенная В.Л. Инденбомом функция, описывающая отклонение атомов подвижной цепочки от положения равновесия: т / ч 2ао '(у—)

ф(п) = -^ап^ е , (4)

где параметр /о = — характеризует ширину дислокации

в межатомных расстояниях. Основываясь на решении систем нелинейных уравнений подобных (2), было показано, что области разряжения атомов под действием внешнего поля выходят на свободную поверхность, а области сгущения, наоборот, смещаются внутрь материала. Приведена оценка сил сопротивления движению дислокации в полосе скольжения при переменной величиной касательного напряжения.

В шестом параграфе проанализирован случай, когда цепочка с краевой дислокацией находится в вершине равновесной трещины, а краевые условия близки к рассмотреным в §3.

Седьмой параграф посвящен оценке влияния примесных атомов на подвижность краевой дислокации в цепочке Френкеля -Конторовой. Полученный результат свидетельствует о возможности изменения направления движения дислокации по действием внешнего поля при замещении значительного участка цепочки примесными атомами.

В заключительном восьмом параграфе главы 2 изучалось влияние границ зерен в металлах на особенности пластической деформации. В основу анализа положена дислокационная модель Зенера - Стро - Петча. Предложен критерий прочности,

учитывающий как действие внешних сдвигающих усилий, так и влияние поля напряжений, возникающего вблизи плоского скопления дислокаций, заторможенного около границы зерна. Основываясь на уравнении взаимодействия двух краевых дислокаций, рассчитано плоское скопление из 10 дислокаций, находящихся под действием переменпого внешнего силового поля и блокированных у границы зерна. Базируясь на этих расчетах, а также учитывая предложенный критерий прочности, был сделан вывод о возможности возникновения микроразрывов сплошности па некотором удалении от точек приложения сосредоточенной силы.

Во введении к третьей главе излагаются основные соотношения и гипотезы, используемые в задачах об изгибе и устойчивости пластип, а также содержатся некоторые примеры решения задач устойчивости. В §9 найдено решение плоской задачи теории упругости для полосы, нагруженной за одной длинной кромке сосредоточенной силой, а другой опирающейс на абсолютно жесткое основание (без трения) (рис. 1). Далее в §10 рассмотрена устойчивость такой полосы при шарнир- о опертых кромках относительно прогиба IV(х, у).

И

Р

Рис.1.

Поставленная задача (в случае использования теории малого изгиба пластин) сводится к разысканию собственных чисел

и функций следующего дифференциального уравнения:

ЛДIV =

И

дЧУ д2\у ¿РиЛ

ахх п „ + Оцч-тгТ" + 2Тг,.-1

(5)

Эх* ■ уу ду* " *'худхду\' здесь <Гхх><Гуу>тху ~ компоненты тензора напряжений, определенные в §9, - соответственно толщина полосы и цилиндрическая жесткость.

Решение эквивалентной задачи минимизации функционала полной потенциальной энергии системы

2Л // {\Щхг+ ~дуг)

/ту

(дЧУд^У/ _ дх2 ду2 \дхду

)1Ь

дШд\¥

(6)

методом Рэлея - Ритца позволяет определить значение критической силы Р*. При этом прогиб IV (х, у) выбирается в виде:

N. N2 т?[а. ]

у) А» 83П —81П ■

»»1 №1

Я

(7)

Получено решение задачи для различных значений параметра А: = 1/Н. Величина первой (эйлеровой) критической силы оказалась равной

Р* = 7

где -у определяется из таблицы

Р

ЛЯ'

(8)

Таблица 1.

к' 1 1.5 2 2.5 3

7 36.994 21.518 18.354 18.272 18.267

Для очень длинной полосы оказалось возможным принять

Х>

Р' « 18.2

ЬЯ'

(9)

Аналитические преобразования, необходимые для проведения расчетов с произвольным количеством членов ряда, проделаны на ПЭВМ с помощью системы REDUCE.

В §11 рассмотренная выше полоса полагалась лежащей на упругом основании с жесткостью kjeli. Получепа зависимость эйлеровой критической силы от kjeti и размеров полосы. Установлена также связь между числом полуволн т, по которым полоса теряет устойчивость, жесткостью упругого основания и высотой Я. Форма прогиба для m = 10,к = 1 ,H/h — 100 приведена на рис. 2.

Рис.2. Форма прогиба пластины при потере устойчивости.

В заключительном параграфе главы рассмотрена устойчивость полубесконечпой пластины, лежащей на упругом основании. При этом прогиб ]#(г,<р) (где (г,<р) - полярная система координат, с центром в точке приложения силы) выбирался в виде разложения в ряд Неймана по функциям, Бесоеля первого рода по г и тригонометрическим функциям кратного аргумента по <р:

(ю)

4=3 т=1

Полученное решение распространено на случай, когда сосредоточенная сила направлена под углом к кромке полосы, а также

для жесткозащемленной кромки.

В заключении даны краткие выводы, вытекающие из про-веденпого исследования. В приложении приведены программы и описание алгоритмов расчетов, проведенных при решении задач в первой, второй и третьей главах диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследованы особенности деформирования пластин, загруженных на границе сосредоточенными силами. Выявлены плоскости действия максимальных касательных напряжений, рассмотрены упругие и пластические смещения атомов материала в указашшх плоскостях. На основе модифицированной (нелинейной) модели Френкеля - Конторовой получена оценка теоретического предела прочности поликристаллического материала пластины, хорошо согласующаяся с современными представлениями физики твердого тела.

2. Изучены характерные черты процесса относительного сдвигообразования в идеальном и дефектном (ослабленном дислокациями) материале пластины в области П, расположенной около точки приложения сосредоточенной силы Р. Установлены основные закономерности поведения краевых дислокаций внутри П. Определена величина сил сопротивления Паерлса - Набарро, препятствующих движению дислокации. Показано, что их величина оказывается несколько меньше, чем в работе Хабар та 1 .

3. Внутри области О проанализировано влияние дислокационно - динамической диффузии на процесс относительного сдвигообразования внедренных атомов. Найдена зависимость сопротивлений сдвигу от величин коэффициентов взаимодействия

'НоЬьП Н_Н. РаегЬ Вмпег Мштиш. РЬИ. М^., 6, 1965, р. 1948 - 1952.

о; в цепочке Френкеля - Конторовой. Доказано, что внедрение нескольких примесных атомов с коэффициентами о2 < «1

(а1 - коэффициент взаимодействия осповпых атомов) может увеличить жесткость этой цепочки, а также изменить направление движения дислокации.

4. Сформулирован локальпый критерий разрутпепия меж-зерепных границ в окрестности точки приложения соср. доточенной силы. Численно определено влияние зерен на закономерность относительных смещений смежных атомных плоскостей. Доказана возможность образования микроразрывов спдогапости материала пластины на некотором отстоянии от точки приложения сосредоточенной силы.

5. Методом Рэлея - Ритца решена задача об устойчивости полосы, нагруженной сосредоточенной силой по одной из длинных кромок и опертой на абсолютно жесткое основание (без трения) по другой. Результат распространен па случай бесконечно длинной полосы.

6. Найдено решепие задачи устойчивости для полосы, лежащей на упругом основании. Проведепо исследование зависимости критической силы от соотношений между размерами полосы и жесткостью основания. Результат распространен на случай иолу бесконечной пластины.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Веселков С.Ю. Устойчивость полу бесконечной пластины нагруженной сосредоточенной силой на границе. // Прогнозирование механического поведения материалов, т.1. Новгород, 1991, с. 182-185

2. Веселков С.Ю. Устойчивость полубесконечной орто-

тройной пластины, нагруженной сосредоточенной силой на границе. // сб. Актуальные проблемы компьютерного моделирования поведения материалов. Псков, 1993, с. 182 - 187

3. Веселков С.Ю. Об устойчивости полуплоскости, нагруженной сосредоточенной силой на границе. // деп. в ВИНИТИ 2388-В93. 22 с.

4. Веселков С.Ю. Моделирование развития полос сдвига в окрестности концентраторов напряжений // сб. Актуальные проблемы прочности, т.1. Новгород, 1994, с. 137 - 141.

5. Веселков С.Ю. Устойчивость полубесконечной пластины нагруженной сосредоточенной силой на границе. // Известия АН России, МТТ, 1994 №5, с. 155-159

6. Веселков С.Ю., Даль Ю.М. Моделирование полос сдвип в окрестности концентраторов напряжений // Вест. СПбГУ, сер. Математика и механика №4, 1994, с. 100 - 104