Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов на конечном интервале тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИ ГОСУДАРСТВЕННЫ:! УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-тлатематическшЧ факультет

На правах рукописи

ЛУШНА Любовь Михайловна

УДК 517.43

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа .выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического (Тшсультета .Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор А.А.Шкаликов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор Г.В.Рпдзпевсклй

- кандидат физико-математических наук В.Т.Плнев

..Веющая организация - Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится " (в "^ЪиЬ&'ъ&Ъ! г. в 16 час. 05 ..ин.-на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при московском государственном университете имени ¡Л.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские ^оры, ¡.¡ГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией ыо;.шо ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ЫГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ¡3 " 199];

Ученый секретарь. Специализированного совета

Д.053.05.04 при ¡ЛГУ, доцент Т.П.Лукашенко

- и!/

. с /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Большой теоретический и прикладной интерес представляет изучение спектральных задач, порожденных диффсре нцта л ъниш уравнениями. Это связано как с развитием самой спектральной теории, так и с запросами многих естественно-научных дисциплин, в частности, теоретической физики и таких ее разделов, как теория упругости, гидродинамика и другие.

К наиболее активно исследуемым относится и вопрос о базисных свойствах производных цепочек, построенных по собственным и присоединенным элементам (СПЭ) краевых задач, возникающих при решении задачи Коши для уравнений с частными производными, допускающих разделение переменных. Определение производных цепочек впервые дано в .

Первые, ставшие классическими результаты, связанные с решением этой проблемы, были получены Дж.Биркгофом.и В.А. Стекловым. Затем они нашли свое развитие в монографии Я.Д. Тамэркина. В их работах изложены результаты о свойствах спектра, асимптотики фундаментальных решений, введено понятие регулярности, доказаны теоремы о полноте.

у

Позднее различные аспекты проблемы изучались многими авторами. В частности, предложенный в [2] метод позволил

Г. Келдши М.В. ДАН СССР, 195Т,-г.77, Ii I, с.И-14.

2. Шкаликов A.A. Труды семинара игл.И.Г.Петровского, 1983, вып.9, с.190-229.

обратиться к спектралышм задачам для обыкновенных дифференциальных уравнении в пространстве вектор-функций и для обыкновенных дифференциальных уравнений с нестандартными краевыми условиями, а именно, содержащим условия типа "склейки" во внутренних точках отрезка. Отметим, что к задачам подобного типа обращались многие авторы, но в силу больших технических трудностей, возтшающих при их анализе, а также отсутствия ранее метода, позволяющего разработать более общий подход к ним, авторы ограничивались рассмотрением конкретных задач механики, либо рассмотрением

г

только уравнений 1-го и 2-го порядков и доказательством отдельных утверждений о полноте, минимальности и пр. Применение метода £2 ] после некоторой его модернизации позволило получить более общие результаты, но потребовало преодоления больших трудностей не только технического, но и теоретического характера. В частности, по причине громоздкости излагаемых результатов во всех задачах, рассматриваемых в'диссертации, предполагается, что порядки граничных условий и условий типа "склейки" меньше, чем порядок уравнения.

Цель работы.

1. Для рассматриваемых задач получить необходимые представления для функции 1*рина, ввести понятие регулярности.

2. Построить для них линеаризующие операторы в специально выбранных гильбертовых пространствах.

3. Доказать теоремы о'базисных свойствах систем СГ]Э линеа-

ризующих операторов. 4. Рассмотреть приложения полученных результатов.

Общая методика исследования. Доказательство изложенных в диссертации результатов основано на анализе представления функции Грина методом, предложенным в [zj . При доказательстве безусловной базисностй со скобками соответствующих линеаризующих операторов использованы результаты £з J о базисных свойствах операторов, являющихся возмущениями нормальных.

Научная новизна результатов. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Основные из m следующие:

Т. Определение регулярности спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах вектор-функций и для задач, содержащих нестандартные краевые условия с полиномиальным вхождением спектрального параметра в уравнение и граничные условия, основанное на анализе представления функции Грина. 2. Теоремы о безусловной базисности со скобками производных цепочек, построенных по СПЭ задач обоих типов в специально введенных пространствах.

Приложения. Результаты работы могут найти применение в дальнейшем развитии спектральной теории дифференциальных

3. Маркус A.C., Мацаев 13.И. Натематичеcraie исследования

(АН МССР, Институт математики с ВЦ)," 1981, вып.61, с.104-129.

операторов и в исследовании спектральных задач, возникающих в теории упругости, гидродинамике и др. Некоторые примеры, иллюстрирующие возможные приложения полученных результатов в теории упругости и решении некоторых классических задач спектральной теории, приведены в работе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции молодых ученых МГУ в 1985 году, на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г.Ашхабаде в 1986 году, на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по спектральной теории операторов, руководимых А.Г.Костюченко и А.А.Шкаликовым.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 108 страницах, состоит из введения и двух глав. Список литературы содержит 76 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом параграфе введения дан краткий исторический комментарий развития спектральной теории дифференциальных операторов, изложены цели и основные результаты работы. Во втором параграфе введения приведет некоторые известные результаты, используемые в обеих главах диссертации.

В главе I рассматривается общая спектральная задача на конечном интервале в пространстве вектор-функций:

С(уА)*у'"* Р, ы)/ '->■■■ * Р. - о, (и

л.,

где у(х) ~ (*),(ос)) , Л,

В (л,2) = Л Оц * Л Р3:(х) - матрицы т Xт ,

компоненти матриц (*■) - существенно ограшгчешше, измеримые функщш; {

- постоянные матрицы, с1е£ 6Лк ¥ О , Краевые условия (2) предполагаются нормированными.

Наряду с задачей (I), (2) рассматривается задача для уравнения с постоянными коэффициентами:

* о о)

и краевыми условияш (2). Это позволяет обойти некоторые технические трудности при доказательстве основных теорем и получить некоторые дополнительные результаты.

Положим /К г г с • » где /бЛ*/ ~

¿С 1 >*ч

корни характеристического многочлена задачи (3), (2), ^ , К = 1,...,ГН- - произвольный набор'различных л на-

туральних чисел, изменяющихся от I до т , а - такие -же наборы чисел, изменяющихся от I до Л . К набору точек {^у^ 2 добавим точку 0 и построим наимень-

ший выпуклый многоугольник , содержащий все эти точки внутри себя или на границе.

Пусть в разложении характеристического определителя

21 Г^гД

где

по крайней мере одно из чисел Ягкхс >, ^ = ( - фиксировано) отлично от нуля. По соответствующим им построим наименьший выпуклый многоугольник .

Определение I. Краевую задачу для уравнения с постоянными коэффициентами назовем почти регулярной, если найдется , такое, что " \Я1 . Если р -наименьшее число, при котором ■ , то краевую задачу назовем почти регулярной порядка ]> (при р = 0 -задача регулярна).

Определение 2. Краевую задачу вида (I), (2) назовем регулярной, если регулярна соответствующая ей задача для уравнения о постоянными коэффициентами.

Лемма I."Функция Грина почти регулярной порядка р спектральной'задачи с постоянными коэффициентами вида (3), (2) во всей комплексной плоскости за исключением

кружков радиуса 6 с центрами в собственных значениях (СЗ) задачи допускает оценку

Кроме того, комплексную плоскость можно разбить на конечное число секторов, в кавдом из которых компоненты функции Грина являются конечными суммами выражении вида (например, при X > $ ):

Теорема I. СПЭ оператора , линеаризующего почти

регулярную порядка р спектральную задачу с постоянными коэффициентами образуют полную и минимальную систему в пространстве а и. » которое является подпро-

странством в а Дс и определяется с

помощью условии (2).

Теорема 2. СПЭ оператора , линеаризующего регу-

лярную спектральную задачу ('[), (2), образуют безусловный базис со скобками в гильбертовом пространстве Л .

Пример I. При рассмотрении первой задачи теории упру-

прп Ь при

при &

Яе.

при Не. & о/

гости душ осесимметрического цилиндра возникает следующая спектральная задача:

а,"- л Л С1- (к+*)Зг&.~о, (к+<) е' + - ~ о, &(±0« &(±4) » о,

где < - постоянная. Эта задача является почти регулярной порядка 2. Поэтому система производных цепочек, построенных по СПЭ задачи полна и минимальна в Л я .

где " К I А '(*<) - * I

Пример 2. При решении задачи о плоских собственных

колебаниях упругого цилиндра с внешним трением возникает спектральная задача, которой соответствует следующая задача с постоянными коэффициентами:

( + ¡>1 М = О,

[ /иу'+Л'/г-о,

\ы'(о) = VеСо) » О ,

//И'[Я.) * У(Я) в О,

где Х- , , ув , , - константы. При условии

эта задача регулярна, н система производных цепочек, построешшх по СПЭ исходной спектральной задачи образует безусловный базис со скобками в пространстве Л * "И^ © .

В главе 2 рассматривается спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения с дополнительными условиями внутри отрезка типа "склейки", а тленно:

Щ^)'/"'*?*!*.*)/""'*- 'ДЙ^/-О, (4)

У» Л,

к, -¿»у,..., Л-* , где V * * , j - у,..., Л ; « * ,

у л , »1-1 , ;

* Г

г-5 , / Д м У , { ¿ч ) > ( ^и ) ~ комплексные постоянные, условия (5), (6) предполагаются нормированными. Предполагается такие, что ^ - корт! характеристического уравнения душ уравнения (4) - различны.

Фундаментальная система решений этой задачи может быть представлена и виде

(и^ + оСх'^Сх),

У АГ= /,..., л. ;

где I ш 1,..., *п. 1 ус^Сх) - характеристическая

функция промежутка , <¿(-1 )

Пусть у^г - Ч' . где Л. , * = I.....л ~

произвольный набор /е. натуральных чисел, изменяющихся от I до Л . Положим ~ набору }

построим наименьший выпуклый многоугольник *Л1 , содержащий все эти точки внутри себя пли на границе.

Для характеристического определителя полу-

чим представление

где X. - суммарный порядок условий (5), (6); Jbs -числа, лежащие внутри многоугольника или на его

границе.

Определение 3. Задачу (4)-(G) назовем регулярной, если все коэффищенти Ри^) б уравнении (4) - суммируемые функции и в разложении для ^ числа , отвечающие угловым точкам многоугольника , отличны от нуля.

Замечание. Приведенное выше понятие регулярности совпадает с данным в [я] > но нужно отметить,что построение функции Грина и характеристического определителя, в частности, в этих задачах несколько отличается от того, что имеет место в- случае стандартных краевых условий.

Лемма 2'. Функция Грина регулярной спектральной задачи (4)-(6) во всей кошЛексной плоскости за исключением круж-

•ю

коп радиуса £ с центрами в СЗ задачи допускает оценку

Кроне того, комплексную плоскость можно разбить на конечное число секторов , в каждом из которих функция

Грина регулярной задачи допускает представление (эс?^)-

>1/1

Ро Ъ I, Л)* О),

Г=/ ^у'я/ 'о 1/1

г:;е -Я)} - система, сопрл;кеннля к

р0 - ^¿у (*. I) -ОСТ')) '

-Г;

Ге/] при ^ о, о,

[Си]]^* при ЯгЗие^о, /¿г Зи. 2 О; 1 [сиу при ± О,

при

Теорема 3. НПО оператора с££ , линеаризующего регулярную спектральную зпца'гу (4)-(6), образуют безусловный базис со скобками п пространств Л = и ¿у ,

которое нпляется подпространством п

и определяется с помощью услопи'и~(5), (6).

Пример'3. Для спектральной задачи

(илъ j(°)-tf«hOt

условие регулярности имеет вид:

t»( *

Пример 4. Для спектральной задачи .СU-J

в-V n~1>

y(J)fo) - yj'>(J

^(U-O)* ^ JUL

условие регулярности имеет еиц: i ... i Л,

и).

UJ.

Л. - - •

Ut -- Ч Xsl a + i

1* O.

В заключение иптор вьфажает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук профессору А.Л.Шпаликову за постановку задач, плодотворное их ог>-«унщишо, циннии замечания и постоянное внимание к работе .