Некоторые вопросы теории и задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Радаев Сергей Юрьевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ивлев Дюис Данилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Матченко Николай Михайлович; доктор физико-математических наук Максимова Людмила Анатольевна

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 2005 г. в / ¿'часов на заседании диссертационного

совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92,9-101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский i осу-дарственный университет»

Автореферат разослан j j мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Толоконников

•2 ооЬ-4

за£/(19

75-01

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие современной техники требует наиболее полного использования прочностных свойств материалов. Запросы практики машиностроения ставят задачи развития методов расчета прочностных характеристик анизотропных элементов конструкции. Причины анизотропных свойств могут быть весьма различными. Анизотропия пластических свойств возникает вследствие различных технологических процессов в результате деформирования упрочняющегося материала. Анизотропия материала может являться результатом конструктивных и технологических решений (композиты) и т.д.

Е. И. Шемякин указывает, что «индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация». Материал с приобретенной анизотропией при дальнейшем использовании можно считать начально анизотропным.

Вопросы анизотропии идеальнопластических, упругопластических, упрочняющихся сред рассматривались в работах М. Т. Алимжанова, Г. И. Быковцева, Р. А. Васина, А. Е. Гвоздева, Г. А. Гениева, М. А. Грекова, Г. Д. Деля, Б. А. Друянова, М. И. Ерхова, Л. В. Ершова, М. А. Зааояна, Т. Л. Захаровой, В. Г. Зубчанинова, Д. Д. Ивлева, А. А. Илюшина, А. Ю. Ишлинского, Е. Е. Кузнецова, И. А. Кийко, В. Л.Колмогорова, Л. А. Максимовой, Н. Н. Малинипа, А. А. Маркина, И. Н. Матченко, Н. М. Матченко, Е. В. Маховера, Р. Мизеса, Б. Г. Миронова, Ю. В. Нсмировского, Р. И. Непершина, П. М. Огибалова, В Ольшака, Б. Е. Победри, Е.А. Попова, В. Прагера, А. Ф. Ревуженко, Я. Рыхлев-ского, Е. М. Селедкина, В. В. Соколовского, А. Н. Спорыхина, М. В. Стороже-ва, Л. А. Толоконникова, Льва А. Толоконникова, А. А. Трещева, Н. Д. Тутыш-кина, В. Урбановского, Р. Хилла, И. Ю. Цвелодуба, Г. С. Шапиро, Е. И. Шемякина, С. П. Яковлева, С. С. Яковлева и др.

Точные и приближенные аналитические решения, полученные в рамках математической теории пластичности, широко используются при расчетах технологических процессов, учитывающих анизотропию материалов.

В настоящей работе рассматривается влияние анизотропии на предельное состояние плоского и пространственного идеально пластического полупространства при вдавливании жестких штампов и пирамид.

Задачи определения предельного состояния анизотропных пластических тел принадлежат к числу актуальных в машиностроении, механики горных пород, строительной механике.

Целью настоящей работы является развитие аналитических методов расчета предельного состояния тел, учитывающих анизотропию пластических свойств материала, в плоском и пространственном напряженного и деформированного состояния.

На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:

• развитие метода малого параметра применительно к задачам определения предельного состояния анизотропных пластических материалов при вдавливании жестких тел;

• приближенное аналитическое исследование, предельного состояния анизотропного идеально пластического полупространства при вдавливании жестких штампов и пирамид;

• аналитическое решение задачи о внедрении плоского штампа в анизотропное полупространство;

• решение задач рассечения и пробоя анизотропной идеально пластической полосы;

• приближенное решение вдавливания жесткого прямоугольного в плане штампа в идеальное анизотропное пластическое полупространство, определение зависимости предельного состояния от ориентации штампа относительно осей анизотропии;

• аналитическое решение методом малого параметра вплоть до второго приближения задачи вдавливания четырехугольной пирамиды в идеальное анизотропное пластическое полупространство, определение зависимости предельного состояния от ориентации пирамиды относительно осей анизотропии.

Научная новизна работы состоит в распространении аналитических методов расчета предельного состояния тел методом малого параметра на класс задач обработки металлов давлением, учитывающих анизотропию материала.

Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории пластичности, математических методов исследований и непротиворечивостью результатов данной работы с результа!ами исследований других авторов.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для уточнения и развития решения различных задач [еории обработки металлов давлением, при расчетах предельного состояния пластических анизотропных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, и, следовательно, более рационального проектирования сооружении и машин.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации и работа в целом докладывались:

• на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л. А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003г);

• на научных семинарах по механике деформируемого твердого тела ЧГПУ им. И. Я. Яковлева под руководством профессора Д. Д. Ивле-ва (Чебоксары, 2002-2005);

• на ежегодных научных сессиях студентов, аспирантов и научных работников ЧГПУ им. И. Я. Яковлева (Чебоксары 2002 -2004);

• на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2004, 2005)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих в себя 6 параграфов, заключения и списка использованной литературы. Объем работы: 61 страница, 9 рисунков, 2 таблицы, список литературы содержит 81 наименование.

Основное содержание работы

Работа посвящена плоским и пространственным задачам теории идеальной пластичности анизотропных сред.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приводится обзор публикаций по исследуемой проблеме, определяются цели исследования, формулируются основные положения, выносимые на защиту, приводится структура диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются плоские задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел.

В §1.1 рассматриваются основные соотношения для плоских задач, теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел.

Условие пластичности принимается в виде:

А(етх -сту)2 +4Вт%у + 2L(ax -сгу)тху = 4к$, A,B,L,k0-const. (1)

Используется замена переменных:

ах=а + к(в)<ыь20, сту=а- к{в) cos2<9, тху = к(в) sin W. (2)

Из (1), (2) получим выражения для определения предела текучести к = к(в):

= (3)

+ В) + (А - В)COS40 + ¿sin40

Уравнения равновесия для плоской задачи в декартовой системе координат имеют вид:

дет. 9 г,,, <5 г дет дх ду дх ду

Характеристики системы уравнений (4) имею! вид:

_-*'cos26>-2fcsin26>±V^b4p_

с1х)\2 к'ъ\п2в + 2ксо&2в

Характеристики (5) взаимно ортогональны, вдоль характеристик имеет место соотношение:

а ± jVfc'2 + 4 k2dO = const. (6)

5

Соотношение (6), обобщает известные интегралы Генки.

Полагается:

А = \ + 8а,В = \ + 8Ъ,Ь = 8с, (7)

где а, А,с-константы анизотропии,5- малый безразмерный параметр.

При 8 = 0, согласно (7), имеет место А = В = 1, £ = О и соотношение (1) переходит в условие пластичности для изотропного тела.

Интеграл (6) разлагается в ряд по степеням малого параметра 8 с точностью до второго приближения. Имеет место:

(а+Ь)в + ^-в\п 40--соз40|]+ 4 4 у

А 3 (Ъа2+ЪЬ2+с2п (а-Ь)2-с2 . оа а2-Ь2 . .. (а-Ь)с оа

+8 1—--0 + -----З1п80+-81п40---—соя&9-

2 16 2 8

„Л 1 ( (а-Ь)2 +с2 а с2 ~{а~Ь)2 . оп (а-Ь)с ол , _ сое46> +- ----в +---—втвЯн---— соэ^ ^ +С.

\4k,2+*k2de=2k0\e--

|{'32 (а+Ь)с

8

16

8

(8)

В §1.2 рассмотрена задача о вдавливании жесткого плоского штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание штампа в изотропное идеально пластическое полупросфан-ство рассмотрено Прандтлем. Вдавливание штампа в анизотропное идеальна пластическое полупространство рассматривалось Хиллом при условие пластичности:

A(ax-a-y)2+4Brly=4ko, А,В,к0- const, (9)

решение получено в виде эллиптического интеграла, для которого предложен численный метод решения

Обозначим через 21 ширину штампа (фиг. 1). Направим ось у вглубь полупространства.

Г) А пиши A' D'

У

Фиг 1

В треугольных областях ACD и A'C'D" (фиг. 1) имеет место напряженное состояние сжатия. В центрированной области ABC (аналогично А'ВС') имеет место интеграл (6). Граница AD и A'D' (фиг. 1) свободна от усилий, трение под штампом отсутствует.

Из (10) следует:

-к(в)ып2в = 0, <Уу\дчу ~<у - к{в)сое2в = 0.

Согласно (2), (11) получим:

I АТ'ГГ

ко , Ля

Та^Л-2

<т(0) = Л(0) =

'4л' ГА'

4лш

Выражение предельного давления под штампом имеет вид:

°у - к0{2 + я)— 5

, С .

2 4

+ 3'

М (1 За2 +1ЪЬ2 - Ш + 1с2)- + с(а + 56) -64 Г 2

96а'

(Ю) (И) (12)

(13)

(14)

При ¿>=0, согласно (14), имеет место давление для изотропного тела, результат, полученный Прандтлем. Члены при 8,б2 в (14) определяют влияние анизотропии на предельное давление под плоским штампом.

В §1.3 рассматривается рассечение полуплоскости из идеальнопластиче-ского анизотропного материала клинообразным индентором (фиг. 2).

Прямая С'В'ОАВС определяет границу полуплоскости, Р'ОР - индентор, В'ОВ - зону пластического материала. Геометрические характеристики материала определены углами а Р'ОО,) и положение индентора -величиной ОО = И на фиг. 2. Для анизотропной среды, свойства которой не за-

ства анизотропии материала определяют угол y(ZABO) на фиг. 2, ортогональные характеристики В'А|И ВА| офаничивают зону постоянного растягивающего предельного напряжения.

Зоны жесткого состояния материала в начальном состоянии ограничены ломаными CBOF и C'B'OF, (фиг. 2).

Предполагается, что область жесткого состояния материала CDOF движется вдоль стороны OF жесткого индентора со скоростьюV|, область C'B'OF вдоль OF' со скоростью V2. Скорость течения материала в пластической зоне постоянна и направлена вдоль АО.

Из рассмотрения геометрии пластического течения, представленной на фиг. 2, следуют выражения:

V, sin(a + у)

ц = arctg П (15)

V, eos(Р - у)

<р = ц-у, (16)

(tg®- cos(0 -у)-eos// - cos/?)tgy

ц/ - arctg——--у-:—-----—Sí—,

(tg^> ■ eos(J3 -у) + eosц - sin/? - tgy)

tg ю- cosía + y)-sin и - eos а

X = arctg-sr-i-------

tgy • tgV cos(a + y) + sinju sin«-

(17)

A,0, =A| 1- ——т^^д A,0, =A|

1__sm^cos«_ (lg)

tg^cos(j3-y)y \ tgpcos(a + /)

A.B, X A,B; = 1--sin/icosa

sin^ ^ lg<pсящ! - y)) sin^V tg<pcos(a + y)

Соотношения (18) и (19) определяют соответственно глубину и размеры получившейся чашечки.

Рассматривается случай пробоя стенки со свободной границей С'А'В'АВС прямоугольным жестким индентором F'O'OF (фиг. 3).

На фиг. 3 ABO, А'В'О' - зоны пластического течения материала. В зоне ABO пластический материал движется вдоль линии АО с постоянной скоростью V,. В зоне А'В'О" пластический материал движется вдоль линии В'О' со скоростью V2. Имеет место равенство:

V, eosу = V2 sin/. (20)

Картина течения и конечное положение деформированного состояния материала представлены на фиг. 3.

В процессе деформирования материальные точки А', В', О' переходят в точки Aj,Bi,0,. Положение точки О) определяется из прямоугольного треугольника 0'В"0Ь где 0'В"=0'В', положение точки О,- из прямоугольного треугольника 00,А", где AjA"= АА,. Окончательное положение деформации деформированной зоны А 2В202 определяется из условия сохранения уровня жесткой части стежки С, A¡, В2С2.

Зона В'О'OA остается жесткой.

Вторая глава посвящена пространственным задачам определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. В силу анизотропии материала, предельная нагрузка зависит от ориентации вдавливаемых тел относительно осей анизотропии.

В §2.1 рассматриваются основные соотношения пространственных задач теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел.

Условие пластичности Хилла для анизотропного материала записывается в виде:

А(стх -сту)2+ В(сту -az)2+ C(az -ах)2+ 6(Ft^ + От£ + Нтг„) = 8к02,

к0 - const.

(21)

Использование условия пластичности (21) и соотношений ассоциированного закона течения приводи! к статически неопределимым уравнениям эллиптического типа и к непреодолимым трудностям математического характера. В дальнейшем используются статически определимая система уравнений гиперболического типа на основе условия полной пластичности.

Условия полной пластичности имеет вид:

а, =сг2, <т3=а, + 2к, (22)

гдеег,, cr2,a3 - главные напряжения, к - предел текучести на сдвиг.

Имеют места следующие соотношения: ах = V + 2 knf, Тху = 2 кщпг,

2 2 к 1

ff^v + гЦ, ту1=2кпгщ, v = c-—, a = -(ax+ay+az), (23)

az=v + 2кп\, Txz = 2Ь,я3, ^

и,2+л|=1, (24)

где <ух,<ууху,ту2,т¡г -компоненты тензора напряжения, а щ,п2, пъ - направляющие косинусы, определяющие ориентацию третьего главного напряжения <т3 в декартовой системе координат*, .у, г.

Предел текучести к в соотношениях (22), (23) определим из условия (21), получим:

- + е{п\ - «I)2 + с(и| - я,2)2 + 6(^и,2и| + Оп\п1 + Нп\п\)

(25)

Из (25) следует, что пределы текучести при одноосном растяжении у анизотропных материалов, предельные свойства которых определены равенствами (21), (23) и (25) совпадают.

В силу анизотропии материала, предельная нагрузка будет зависеть от ориентации жесткого тела относительно осей анизотропии.

Введем новую систему координат хх,у1,:1. Предположим, что ось совпадает с осью г. Оси XI,повернуты относительно осей х,у на угол а (см. фиг. 4). Переход к новой системе координат представлен в табл. 1.

X У r

eos a sin а 0

У\ - sin а cosa 0

0 0 1

Фиг 4

Табл 1

Решение для пространственных задач вдавливания будем искать в новой декартовой системе координат х1,у1,:1. Имеют место следующие выражения:

ег= —-+ —3-^-соэга-г,.„ зт2а,

2 2

У -7

СТ, — О ~

ст у — ст

__у I

cos2a + тх v sin2а, 2 ,У]

<ТХ -СГу

г_ =—!-—sin2а + г, „ cos2а,

xv 2 Х\У\

rxz = r*lzl wsa ~Ty¡z¡ sin«, V=rv,*, cos" + r*,z, sin«.

Из (26) получим выражение условия пластичности (21) в координатах

А ((ст1| -er^) cos 2а - 2тхм sin 2а)2 +

+ в +СГЛ_СГ cos2а + т. „ sin2а +

• 2 "i 2

+с

а. - ^ílÍ^-Ü_ cos2а + г sin2а 1 + (27)

2 2 1Л

+ 6^

сг -ст Л2

—-—sin2a + rIV, cos2a

2

+ 6c(rm cosa + rX|Z) sina)2 +бя(гад cosa -r^ sina)2 = 8. Имеют места следующие соотношения:

<7Xi = v + 2k(0)n¡, Txiy¡ = гк{в)пх n2,

an = v + 2k(0)n\, ry¡z¡ = 2 к{в)пгпъ, «,2 + n22 + я32 = 1. (28) = v + 2k(0)n¡, rX|2| = 2*(6>)и,и3> i чс здесь и ниже щ,п2,пъ - направляющие косинусы, определяющие ориентацию третьего главного напряжения ст2 в декартовой системе коорди-mTxl,yl,:¡.

Предположим, что деформирование имеет место в плоскости у, = const. Деформирование материала происходит в плоскости jc, , -1. Будем иметь:

V, *0,г,]Л=0,г„2|=0. (29)

Из (28), (29) следует

и2=0. (30)

Из (28) - (30) следуют соотношения:

а^ = а„ + A(0)cos20, гЧЛ = 0, = + cr'i i

(тЛ = <r„ - к(в), тул =0, я, = cos0, (31)

<tZ| = <т„ -A(0)cos2<9, rí|Z| = A:(6»)sin2é>, n3=sin0. Из (27), (31), получим:

km = -г- , (32)

^a, +a2 cos2<9 + a3cos4#

где

a, = y(B+C) + -4~cos2a+^|/í + |(fi + C)Jcos22a +

9 1 7 i

+ -Fsin 2a + 3(Gsin a + Heos a), 4

з is сЛ

a2 =-~(B+Q+(C-B)cos2a+V2A+—+— Icos2 2a + 3Fsin2 2a; «з = + c)+ ^(C- ¿0cos2a + + f + ^jcos2 2a + + ^Fsin2 2ar -3(Gsin2a + H cos2 a).

(35)

В дальнейшем положим:

A = \ + a5, F = \ + fS, B = l + bS, G = l + gS, (36)

С = 1 + c8, H = \ + hS. где 8- малый безразмерный параметр.

При определении предельного состояния в плоскости х, г, используется интеграл (6):

cr±f 4F2 + Ak2d9 = const. (37)

где к(в) определено соотношением (32). Согласно (32) - (36) получим:

§( ... «(') „(»

a,(I)0 + ^-sin2<9 + ——sin 4в 1 2 4

¡л1 к'2 + Икгйв = 2в-

_ if -Z-iaf)2 + lia'1'? + \in M - -aM sm20~ (38)

4U28 2 ' 8V 3 ' 32 1 3 ) 64 1 3 V '

--Mai0)2 sin80 + —аУЦ'^Змп 26» - sin66») -

1024 3 ' 48 2 3

-a[l)a^\3sin20 + sin60) 1,

. JLorCU1), 384

где

a, = a,(0) +i5afI),a2 = af> + &r,(,\a3 =a3° + dtef, (39)

a1(o,=8>a(°)=0.a<o,=0, (40)

a,(I> =— (b+c) + -—-cos2a + 1 -a + -(b + c) Icos2 2a+ - f sin2 2a + 1 8 4 U 8 J 4

+ 3(gsin2a + /icos2a), a ^ = (¿> + с) + (c - b) eos 2a + +1 +1 jcos2 2a + 3/sin2 2a, (41)

c-b

a'1' = —(b + c)+ — (c - b)eos2a + ( -+-+- Icos2 2a +

2 8 8

+—/sin 2a-3(gsin a + Acosa). 4

В §2.2 рассматривается вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Фиг 5

Определено предельное давление в зависимости от угла а (фиг. 5) определяющего ориентацию штампа относительно осей анизотропии. Предельное давление под штампом имеет вид:

(О

«гJ

21 64 ' 128 1 ' 128 3

где

(42)

a.(I) = — (6+с)+—-eos 2a + í-a + - (6 + c) Icos2 2a + -/sin 2 2a + 1 8 4 V2 8 / 4

+ 3(gsin2 a + heos2 a), «2° = -|(Ь + c)+(c - í>)cos2a + + | + ^ jcos2 2a + 3/sin2 2a, (43)

a*1' = -(b + c)+ -(c-b)cos2a + [— + - + - Icos2 2a +

3 8 7 4 V2 8 8 J

+ —/ sin2 2a -3(gsín2« + heos2 a).

4

Из соотношения (42), при § = 0, в изотропном случае, получаем предельное давление Прандтля. Члены при 5,5г определяют влияние анизотропии на предельное давление под штампом.

В §2.3 рассматривается вдавливание жесткой пирамиды в анизотропное идеально пластическое полупространства.

Вдавливание плоского жесткого клина в идеально пластическое полупространство рассмотрено Хиллом, Ли и Таппером , вдавливание жестких пирамид - Д. Д. Ивлевым, А. Ю. Ишлинским, Р. И. Непершиным , А. В. и П. В. Горскими.

На фиг. 6 представлена одна зона выпучивания при внедрении четырехугольной пирамиды, аналогичные зоны будут иметь место и на других |рех гранях пирамиды. Сечение пирамиды и зоны выпучивания плоскостью ОАА' представлено на фиг. 7

Определено предельное давление в зависимости от угла а (фиг. 4) определяющего ориентацию пирамиды относительно осей анизогропии.

Обозначим 2<р- угол раствора четырехугольной пирамиды, h- глубину погружения четырехугольной пирамиды в сечении у, = const (см. фиг. 7), АО -линия контакта с пирамидой.

Фиг 7

Предельное давление сг„ нормальное к грани АО (фиг. 7) имеет вид: ■„ =(1-со82^ + 2//)+^+^(а|(1)+а|1)со82// + «Рсо84//)соз2,и -

41

f / Л

(О ■ , «з1' ■ „

а| 1 + Р + sin Р

16

к

J

+ S'

л

512

(«<»+*у>+«i4F - (-¿MP+¿Й^—Й4)1} -

4 v.128

_3

1024 3

48

^«^«^(Ззтг// + sin6//)|j-^~ (a,(I) +a^'cos2// +a^I)cos4//)2cos2ii/.|,

где ,«3" определены согласно (43).

Угол ц определяется из соотношения:

cos ft

cos(2 q>-/x) =

1 + sin //

(44)

(45)

щи

7501

Из соотношения (44), при 8 = 0, в изотропном случае, получаем предельное давление по Хиллу. Члены при 8,82 определяют влияние анизотропии на предельное давление под гранью пирамиды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• Исследовано предельное состояние анизотропного идеальнопласти-ческого полупространства при вдавливании жестких штампов и пирамид. Методом малого параметра получены расчетные формулы, позволяющие определить предельную нагрузку дприближения включительно. '"^v,

• В задаче о плоском штампе в условии пластичности анизотрсЯ<г/ Ч среды, учтены члены, определяющую «винтовую» анизотропию.^/ Термин «винтовая» анизотропия связан с направленным изменением сетки поверхностей скольжения в случае симметричного нагруже-ния.

• Определено предельное усилие в задачах рассечения и пробоя анизотропной идеально пластической полосы.

• Решена задача о вдавливании жесткого прямоугольного в плане штампа в идеальное анизотропное пластическое полупространство. Определено предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии.

• Решена задача о вдавливании четырехугольной пирамиды в идеальное анизотропное пластическое полупространство. Определено предельное давление в зависимости от ориентации пирамиды относительно осей анизотропии.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: 1 Радаев СЮ О рассечении анизотропной идеальнопластической среды жестким телом // Вестник ЧГПУ им. И Я. Яковлева. - Чебоксары, 2005. - № 1. -С. 64-68.

2. Радаев СЮ О плоской задаче определения предельного состояния идеальнопластических анизотропных сред // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2005. - № 2. - С. 15-21.

3 .Радаев С Ю О вдавливании прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеалыюпластическое полупространство // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. - Чебоксары, 2005. - № 2. - С. 21-27.

Подписано в печать 23 05 2005 Формат 60x84/16 Бумага писчая Печать оперативная Усл. печ л. 1 Тираж ЮОэкз 3 ЗЧ&

ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева» 428000, Чебоксары, ул К Маркса, 38

Отпечатано на участке оперативной полиграфии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им И Я Яковлева»

ВВЕДЕНИЕ

Глава I.

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

§1.1 Основные соотношения теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Плоская задача.

§1.2 Вдавливание жесткого плоского штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство.

§1.3 Рассечение и пробой анизотропной идеальнопластической полосы жесткими острым и тупым инденторами.

Глава II.

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

§2.1 Основные соотношения теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Пространственная задача.

§2.2 Вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство.

§2.3 Вдавливание четырехгранной пирамиды в анизотропное идеальнопластическое полупространство.

Диссертационная работа посвящена плоским и пространственным задачам теории идеальной пластичности анизотропных сред.

Изотропные материалы являются частным случаем анизотропных материалов, проявляющих полную симметрию свойств.

Пластическое деформирование материала сопровождается явлением приобретенной анизотропии. Е. И. Шемякин [85] указывает, что «индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация». Материал с приобретенной анизотропией при дальнейшем использовании можно считать начально-анизотропным.

Ниже рассматривается начально-анизотропный идеальнопластический материал. Впервые условие пластичности начально-анизотропного идеаль-нопластического тела было сформулировано Мизесом [61, 106]. Мизес предположил, что выражение удельной энергии формоизменения упругого анизотропного тела является постоянной величиной в процессе деформирования анизотропного идеально пластического тела.

Условие пластичности Мизеса в общем случае можно представить в виде квадратичной функции: а\г{°х -ЯуУ + а23 - + «31 (сг* - 0-х)2 + ху + С\2 ау "Уу: + § 12 {^х °~у Ухг + Ь1Ъ (сГу ~ а2 }гу2 + С23 (<Ту - <т2 }гх2 + g23 (сгу -С72)гх2 + (1) ¿13 К - &хУх2 + ~ °хУху + ^13 К - &хУуг + ппт^у + п22т2уг + п31т1 + т12тХ1т уг + т23ТхуТх1 + Щ\тхутуг ~ % ' где а1}, Ьу, су, gij, щ-, , к - константы.

Из полученного Мизесом [61] общего выражения упругой энергии формоизменения при соответствующих предположениях следует условие пластичности Мизеса для изотропного материала: crx -ayf+ {ау -azf+ (az -ах)2 + 6( г ^ + v2yz + t2z) = 6£02, k0 = const. (2) где crx,ay,<Jz,Txy, ryz, тХ2 - компоненты тензора напряжения.

Если в материале ориентация отдельных кристаллов не беспорядочна, то предел текучести и макроскопические зависимости между напряжением и деформацией изменяются с направлением. Например, для сильно прокатанной в холодном состоянии латуни предел текучести при растяжении в направлении, перпендикулярном к прокатке, может быть на 10% выше, чем для направления, параллельного прокатке [97]. Анизотропия свойств материала может явиться следствием в результате механических тепловых обработок. При этом образуется окончательная рекристаллизация текстуры, приближающаяся к текстуре монокристалла (например, прокатанная полоса меди р может быть подготовлена так, что изменившиеся размеры зерен делают их кубическими с осями, параллельными краям полосы [103]).

Состояние анизотропии может характеризоваться тремя взаимно ортогональными плоскостями симметрии в каждой точке. Пересечения этих плоскостей известны как главные оси анизотропии. Полоса, вырезанная из центра холоднокатаного листа, представляет собой пример равномерно направленной анизотропии, где главные оси лежат в направлении прокатки, в поперечном направлении в плоскости листа и нормально к этой плоскости [104]. Главные оси в данном элементе могут в процессе непрерывного де-ё формирования изменятся также относительно самого элемента, как, например, при простом сдвиге.

В литературе обычно рассматривается анизотропный материал, в котором главные оси анизотропии совпадают с декартовой системой координат. Условие Мизеса приблизительно описывает течение изотропного материала. Поэтому простейшим условием текучести для анизотропного материала является то, которое сводится к закону Мизеса, когда анизотропия мала.

Хилл [82] предположил, что условие текучести представляет собой квадратичную функцию компонентов.

Хилл [82] рассматривал условие пластичности анизотропного идеально пластического тела в виде:

А(ах - сгу)2 + В(сту -аг)2+ С(<тг - ах)2 + 2{Рт% + + Нт2хг) = 1, (3) где А, В, С, Р, С, Н - параметры, характеризующие текущее состояние анизотропии.

Обобщением условия пластичности Мизеса - Хилла (3) является выражение, включающие члены «винтовой» анизотропии.

А(сгх - а у)2 + В(сту -стг)2+ С(а2 - стх)2 + 2(Гт2ху + Ст% + Нт2Х2) + + 2Цах -сгу)Тф +2М(ау -сгг)туг + 2Ы(сг1 -ах)тх2 = 1, где Ь, М, N - константы «винтовой» анизотропии.

Термин «винтовая» анизотропия связан с направленным изменением сетки поверхностей скольжения в случае симметричного нагружения, обусловленным величинами Ь{ах-сгу)тху,М(сту-ст:.)ту2,Н(сг2-сгх)тх:г, в условии пластичности (4).

При этом линейные члены не приняты во внимание, поскольку, предполагается, что эффект Баушингера отсутствует. Квадратичные члены, в которых любое из касательных напряжений встречается линейно, отбрасываются из соображений симметрии. Если предположить, что гидростатическое напряжение не влияет на текучесть, то в условии пластичности может фигурировать только разность нормальных компонентов напряжения.

Согласно [2], во многих теориях анизотропной пластичности к числу наиболее важных исходных предположений относятся гипотезы о независимости текучести от среднего нормального напряжения (гидростатического давления) и пластической несжимаемости материала. Предположение о независимости процесса текучести материалов от среднего нормального напряжения было принято в первых теориях анизотропной пластичности Мизесом [61] и Хиллом [82]. Вследствие этого предположения пластические деформации, полученные из ассоциированного закона течения, удовлетворяют условию пластической несжимаемости. Более поздний неквадратичный критерий

Хилла [82] также соответствует этому предположению. Ряд авторов, при разработке подходов к описанию анизотропной пластичности, использовали предположение о независимости текучести от среднего нормального напряжения, ссылаясь, в основном, на опыты Бриджмена. В работе [108] отмечено большое значение в развитии теории пластичности общепринятых предположений о независимости текучести от гидростатического давления и пластической несжимаемости материала. Вопрос о связи между влиянием гидростатического давления на предел текучести материала и его пластической сжимаемостью обсуждался в работе [109]. На различных сталях и полимерах была выявлена [109] заметная зависимость предела текучести от давления, но не обнаружено соответствующего пластического изменения объема. В работе [105] на экспериментальных данных для алюминиевых сплавов и углеродистых сталей подтверждена гипотеза о неизменности объема при неупругом деформировании материалов в пределах деформаций до 4%. Другие авторы [100], используя результаты экспериментов на плоских образцах из алюминиевого сплава, установили нарушение пластической несжимаемости и объяснили это наличием пластической анизотропии исследуемых материалов.

В настоящее время опубликовано множество работ, основывающихся на различных предположениях при описании анизотропной пластичности, в том числе имеются работы, в которых не принимается гипотеза о пластической несжимаемости материала. В работах [95, 110-113] развита теория анизотропной пластичности для пластически сжимаемых материалов. В статье [95] предложен обобщенный потенциал для анизотропного материала, учитывающий эффект Баушингера и пластическую сжимаемость, из которого, как частный случай, получается потенциал Хилла. В этой статье на экспериментальных данных для титанового сплава было показано, что характер изменения кривых текучести существенно зависит от введенного автором параметра сжимаемости.

Хилл [82] показал, если X,Y,Z- пределы текучести при растяжении в главных направлениях анизотропии, то имеют место следующие выражения:

1 =С + А, 2 В = \+ 1

X2 Y2 Z2 X2' = А + В, 2 C = + (5)

Г2 Z2 X2 Y2

1 =£ + C, 2^ = Дг-+ 1 1 z¿ ^ Yi zi

A,B,C могут быть отрицательными и что это возможно, лишь когда пределы текучести отличаются значительно. Кроме того, В>С, если только X > Y, причем имеют место еще два аналогичных неравенства. Если R,S,T - пределы текучести при сдвиге по отношению к главным осям изотропии, то в этом случае:

2G = \,2H = -\,2F = ^¿. (6)

R S Т2

Таким образом, F,G,Н -положительные величины. Если в элементе существует круговая симметрия относительно оси z, то форма выражения (3) остается инвариантной для произвольной системы осей х,у. Из условия (3) Хилл получил:

А + С)ах -2А<гхсту +(А + В)сг2у + 2FTxy\-2(Ccrx + Bay)<jz + 2 (GT% + Hr2xz)+ {В + C)c72 =1. (?)

Пусть другие оси (xj ,y¡,z¡) выбраны так, что ось z] совпадает с осью z, тогда как ось х{ наклонена на угол а против движения часовой стрелки относительно оси л:. Имеют места следующие соотношения:

7V = crr cos2a + crv sin2 а- 2т rv sin a cos а, л у I Л\У\ оу = <тХ1 sin2 а + ayj cos2 а + 2тх sin a cos а, ff2=<Tv , , <8> • • о t л

Тф = <тХ{ sin a cos а - cryi sin a cos а + rxy¡ (cos а - sm а),

Txz = Vi cosa-т^ sin а,

V = VCOS£* +Vis[na'

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы анизотропия была симметрична относительно оси 2, будут следующие выражения:

Г = В + 2Л = С + 2Л, в = (9)

Если имеет место полная сферическая симметрия или изотропия, то

G = Я = F = 35 = ЗC = ЗА, (10) если 2В = —, то из выражения (3) получим условие текучести Мизеса.

Для того чтобы полностью описать состояние анизотропии элемента, необходимо знать направление главных осей и значение шести независимых пределов текучести . Последние должны быть рассмотрены как функции механической и тепловой обработки, поскольку элемент был изотропным, обычно они будут изменяться так же в процессе дальнейшей деформации. Пока не вполне ясно, каким образом количественно связать пределы текучести с микроструктурой, например со степенью предпочтительной ориентации. Пределы текучести определяются посредством механических экспериментов.

Хилл [82] допустил, что /(<?„) в уравнении (3) представляет собой пластический потенциал. Тогда соотношения, для приращения деформации, отнесенные к главным осям анизотропии, будут иметь вид: йех = (ИХ д,еу = £¿1 йе2 — с1Х агх2=аштх2, (П)

А(сгх -с7у) + С(<тх-а2) В(ау-аг) + А(сгу-ах) С(а2-стх) + В(ст2-ау)

Имеет место тождество с1ех + с1еу + с1е2 = 0. Если напряжения меняет знак, то знак приращения деформации также меняется на обратный. Кроме того, если главные оси напряжения совпадают с осями изотропии, то с последними совпадают также и главные оси приращения деформации. В противном случае главные оси напряжения и приращения деформации обычно не совпадают.

Для экспериментального определения состояния анизотропии необходимо, чтобы анизотропия была бы распределена равномерно по объему, достаточному, чтобы можно было вырезать образцы для испытаний на растяжение в произвольном направлении. Тогда, если полоса или цилиндр, вырезанные параллельно оси ;с анизотропии, находятся в условиях чистого растяжения с напряжением X, то приращения деформации относятся, как с1£х:Л£у:с1£2 = А + С:-А:-С. (12)

Деформация в каждом поперечном направлении представляет собой относительное упрочнение до тех пор, пока пределы текучести отличаются настолько, что один из двух параметров, А или С, является отрицательным. Укорочение в направлении у больше, если А>С, т.е. если 2>У\ поэтому деформация в направлении большего предела текучести меньше. Аналогично испытания на растяжение в направлениях у иг дают отношения В] А и С/В. В принципе это допускает непосредственную проверку теории с точки зрения требования (А/С)*. (С/В)х (В/А) = 1. Используя полуторадюймовый прокатный алюминиевый лист, Клингер и Закс измеряли деформации в растягиваемых образцах, вырезанных в различных направлениях в плоскости листа и наклонно к нему. Когда образец был перпендикулярен к плоскости прокатки, то два поперечных компонента деформации в пределах экспериментальной ошибки были равны. Если л> направление прокатки, а у- поперечное направление в плоскости прокатки, то это означает, что В~С. Было так же замечено, что одна главная деформация всегда происходила в направлении, параллельном плоскости прокатки. Там, где теория применима, измерения отношений деформации при растяжении образцов, вырезанных в направлениях* и у, обеспечивают благодаря уравнению (5) косвенный метод определения отношений трех пределов текучести при растяжении. Это предпочтительно перед прямым методом, если текучесть недостаточно резко выражена. В частности, когда материал имеет форму тонкого листа, в этом состоят удобные способы определения предела текучести в направления толщины. С другой стороны, независимые измерения отношений деформации пределов текучести обеспечивают дополнительную проверку справедливости теории.

Для растягиваемого образца, вырезанного под углом а к направлению прокатки, значения коэффициентов А, В, С, F могут быть выведены из наблюдаемой зависимости предела текучести от угла наклона. Максимум и минимум предела текучести при растяжении имеет место вдоль осей анизотропии, а так же в направлениях а , где

2- Р-С-2А щ1а =-. (13)

Если Г > В + и Г >С + 2А, то предел текучести имеет максимальные (неравные) значения в направлениях х и уминимальные (равные) значения - в направлениях а . Кук, Палмер и Смит наблюдали такого рода изменения на латуни после различной степени прокатки и отжига. Клинглер и Закс нашли, что предел текучести листа из алюминиевого сплава имеет минимум в направлениях, близких к 45°, и что В~С. Если Р<В + 2А и ^ < С + 2А, то предел текучести имеет минимальные (неравные) в направлениях х и у, а максимальные (равные) значения - в направлениях а . Если находится между В + 2А и С + 2А, то предел текучести имеет максимум в направлении л: и минимум в направлении у, когда В > С, и наоборот, когда В<С. Отсюда очевидно, что зависимость Т7 от величин В + 2А и С + 2А имеет определенный физический смысл.

Известно, что при растяжении тонкой полосы, шейка образуется не прямо поперек образца, а под косым углом, зависящим от состояния анизотропии. Образование шейки начинается в точке, в которой имеется небольшая неоднородность. Принимая во внимания свойства характеристик как кривых, вдоль которых распространяются малые сдвиги, найдем, что теоретически направление шейки должно совпадать с характеристикой. Имеются две характеристики, проходящие через точку. Вследствие деформации, нормальной к листу, характеристики обычно не ортогональны. Наклон й'у/сЬ: удовлетворяет уравнению:

А + С)(тх - Асту\к2 + 2Frxydxdy + [(А + В)ау - Aerx}fy2= 0. (14) Пусть/?- угол наклона возможной шейки, измеряемой в направления прокатки. Тогда, согласно Хиллу [82], /? определяется из соотношения: atg2 fi + 2btgj3-c = 0, (15) где а = А + (2 F -В-С- 4^)sin2 ¿z eos2 а, b - [(F -В- 2^)sin2 a-{F -С- 2/í)cos2 ajsina cosa, (16) с = a + 2? sin2 a + С eos2 a = j где т = [ffsin2 a + Ccos2 a + A + (2F-B-C-4 A) sin2 a eos2 a\ 2. (17)

В изотропном листе A-B = C~F¡ 3, Ъ~ 0, а с -2а, так что tg/? = V2 или Р « ±54,7°. Таким образом, существуют два одинаково возможных направлений образования шейки, равно наклоненной к оси образца; если источник сдвига, который индуцирует образование шейки, лежит не на краю, а в середине образца, то иногда наблюдается V образная шейка, ветви которой совпадают с частями обеих характеристик.

Когда лист является анизотропным, то существуют по - прежнему два одинаково возможных направления шейкообразования, соответствующих корням квадратного уравнения для tg/?, но обычно различно наклоненных. Корни этого уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, если Ь = 0, что происходит, когда а = О, а , яг/2, где а определяется из выражения (13). Для этих значений а возможны две шейки симметрично расположенные относительно оси образца. Если F больше как В + 2А, так и С + 2А, то b отрицательно, когда а<а, и положительно, когда а>а . Когда а<а, Р численно больше для шейки, имеющей склонность располагаться поперек направления прокатки, и наоборот, когда а > а . Эти неравенства меняют знак, когда F меньше как В + 2Л,так и С + 2А. Измерения Кёрбера и Хоффа углов наклона шее для алюминия, меди и никеля находятся в качественном соответствии с теорией Хилла. Состояние анизотропии в их материалах после 98% холодной прокатки должно быть таково, что Р>С + 2А> В + 2А. Это совпадает с пределами текучести, который для обжатия был меньше в направлении прокатки, чем в поперечном направлении (т.е. Х<У).

Когда посредством глубокой вытяжки из круговой заготовки, вырезанной из прокатанного листа, образуется стакан, то обнаруживают, что высота края выше основания неравномерна, в отличие от симметричного процесса в случае изотропной заготовки. В местах, симметрично расположенных по отношению к направлению прокатки, в первоначальной полосе образуются «ушки». Обычно получаются четыре ушка: или по концам двух диаметров, составляющих 45° с направлением прокатки, или по концам диаметров, расположенным под углом 0°и 90° с направлением прокатки. Расположение и высота ушков зависят от особенностей металла. В одном и том же метал-ле(медь и сталь) могут быть получены оба типа ушков. У латуни в местах расположенных под 0°и 60°, наблюдалось шесть ушков. Признанно, что ушкообразование обусловлено анизотропией прокатного листа.

Ушки и углубления образуются в крайних точках, где радиальное направление представляет собой одну из главных осей приращения деформации, т.е. где главные оси напряжения и приращения деформации совпадают. Предполагают, что ушки и углубления развиваются соответственно от точек, где касательные к краю представляют собой направления минимального и максимального значений текучести при одноосном растяжении. Эта гипотеза подкреплена результатами детального исследования ушкообразования, проведенного Болдуином, Говалдом и Россом. Материал был такой, что В-С. Относительные значения Р и В + 2Ав образцах вырезанные из прокатанного листа были таковы, что для меди, у которой ушки возникают под углом 0°и 90°, Р<В + 2А, а для меди, у которой ушки образуются под углом 45°, F > В + 2А. Настоящая теория предсказывает самое большее четыре ушка; для того чтобы охарактеризовать анизотропию в таком материале, как прокатная патронная латунь, у которой после окончательного отжига около 700° С образуется шесть ушков, теория должна быть обобщена. Предполагается, что условие текучести и пластический потенциал являются многочленами степени п приведенных компонентов напряжения. Для плоского напряженного или деформированного состояния полином выбирается в форме: где степени к -положительные целые числа или нуль (/ + / + к < п), а число к, когда направления х, у представляют собой главные оси анизотропии, должно быть четным.

Замечено, какое бы ни было условие текучести, ушки и углубления образуются там, где касательные к краю представляют собой направления стационарных значений предела текучести. Эти направления определяются из условии — = 0.

Обсуждение проблемы экспериментального исследования анизотропии прокатных металлов содержится в обзоре В. Н. Демичева, И. Н. Матченко, С. С. Яковлева [19]. Отмечено, что анизотропия проката является следствием образования текстуры предпочтительной ориентировки кристаллографических осей в зернах обрабатываемого материала, характера распределения и ориентировки фаз дефектов металла и остаточных напряжений, возникающих вследствие неоднородности пластической деформации при прокатке [1, 10, 11, 53, 65]. Отмечено так же, что при обработке данных экспериментов существенно используется гипотеза о несжимаемости пластического течения, т.е. независимость пластического течения анизотропного листового материала от гидростатического давления. Поэтому, в качестве теоретической основы для обработки экспериментальных данных, используется условие пластичности Мизеса - Хилла [82].

Необходимо отметить большой вклад, который внесен членами Тульской школы механики в изучение анизотропных свойств пластичности де

18) йа формируемых металлов: В. Д. Кухарем, И. Н. Матченко, Н. М. Матченко, Е. М. Селедкиным, JL А. Толоконниковым, Н. Д. Тутышкиным, В. В. Шевелевым, С. П. Яковлевым, С. С. Яковлевым и другими [19, 45-47, 55-59, 76-79, 81,84, 89-94].

Для уменьшения числа необходимых экспериментов при исследовании анизотропных материалов привлекаются теоремы о числе независимых инвариантов заданной совокупности тензоров. Деформационная теория, также опирающаяся на теоремы об инвариантах, рассматривалась в работах А. С. Кравчука, Б. Е. Победри, Рыхлевского[67]. Перспективный подход к описанию пластичности анизотропных сред предложен в работах С. А. Христиано-вича, Е. И. Шемякина [83, 85-88]. Все эти работы объедены тем, что операции с инвариантами напряженно - деформированного состояния проводятся в физическом пространстве.

Следуя [28], рассмотрим некоторые вопросы построения моделей анизотропных пластических тел.

Приобретенная анизотропия пластических материалов связана с упрочнением. Упрочнение материала в процессе направленного пластического деформирования вызывает изменение механических свойств в различных направлениях - возникает приобретенная анизотропия наклепанного материала. Одним из проявлений приобретенной анизотропии является известный эффект Баушингера.

Свойства пластического материала могут быть описаны функцией на-гружения и законом связи между приращениями пластических деформаций и напряжений. В основу построения пластичности может быть положен постулат Драккера [98], из которого следует ассоциированный закон течения: def:=dX-^—, {dX> 0) (19) дсту где /-функция нагружения, - соответственно компоненты тензоров напряжений и пластических деформаций, а также условие устойчивости: deride? >0.

20)

Условие устойчивости накладывает ограничения на законы упрочнения, или, другими словами, на характер изменения функций нагружения при пластическом деформировании. Тем самым условие устойчивости (20) оказывается связанным с явлениями приобретенной анизотропии.

Предположим, что функция нагружения определяется значением пластических деформаций:

0 (к; = const). (21)

Частным случаем соотношения (21) является функция нагружения теории линейного изотропного упрочнения:

Ъ2=к + cl2 (к,с = const), (22) где а также функция нагружения теории трансляционного упрочнения:

- се?)2 = к2 (к,с = const). (23)

Теория трансляционного упрочнения была развита в работах А. Ю. Ишлинского [36, 37] и В. Прагера [69, 70].

В пространстве напряжений Р функция нагружения (20) при фиксированном значении ejj интерпретируется некоторой поверхностью нагружения (рис. 1а). const const

Рис.1

Вводится пространство пластических деформаций S\ тогда при фиксированном значении а функция нагружения (21) будет интерпретироваться некоторой поверхностью пластических деформаций. В исходный момент нагружения пластические деформации равны нулю efj = 0), в этом случае поверхность пластических деформаций проходит через начало координат (рис. 1 б).

При одной и той же величине пластических деформаций е?, при нейтральном нагружении различным значениям а (рис. 2а) будут соответегз ~ const / "Ч —const

О—V--^

01 ~ сопв! а Рис. 2 6 ствовать различные поверхности пластических деформаций (рис. 26). При изменении вектора напряжений а происходит приращение пластических деформаций. Согласно ассоциированному закону течения для гладких функций нагружения при любых приращениях напряжений направление приращения пластической деформации вполне однозначно: оно направлено по нормали к поверхности нагружения. Следовательно, при данном деформированном состоянии поверхность пластических деформаций испытывает вполне определенное смещение в пространстве 51.

Таким образом, несмотря на то что компоненты а^и еЦ входят в функцию нагружения (21), по существу, симметрично и равноправно, ассоциированный закон течения определяет их неравноправное положение. Если вектор о может фактически принимать любое значение внутри фиксированной поверхности нагружения, то вектор ер подобной свободой перемещения внутри фиксированной поверхности пластических деформаций не располагает. Для функции нагружения определено понятие нейтрального нагружения, когда приращения напряжений могут быть любыми; для фиксированной поверхности пластических деформаций приращение пластической деформации всегда однозначно определено в каждой ее точке.

При данном деформированном состоянии вектор приращений пластических деформаций в зависимости от нагружения может получить любое направление; это обстоятельство интерпретируется тем, что для разных значений а через данную точку ejj проходит множество поверхностей пластических деформаций (рис. 26).

Можно указать следующее соответствие между поверхностями нагружения и пластических деформаций. Если путем изменения напряженного состояния от <Jij(\) до сг,у(2) (рис. За) пластические деформации изменились от значения еЦ^ до (рис. 36), причем они лежат на одной поверхности деформаций, соответствующей а^^ = const, то поверхность нагружения при фиксированном ejj^ будет обязательно проходить через конец вектора а^^ (рис. За).

Для приращения напряженного и деформированного состояния как следует из (21), имеет место соотношение: а

Рис.3 б

24)

Используя соотношения ассоциированного закона (19), из (24) и (19) получим: стМ + (¿Л)2 - = 0. (25)

7 7 д*9 де?

Согласно (20) и (24) будем иметь: д/ д/ дтудеЦ 0. (26)

Соотношение (26) можно рассматривать как следствие условия устойчивости (20) для пластических сред, функция нагружения которых определена в виде (21).

Соотношение (26) утверждает, что скалярное произведение векторов нормали к поверхности нагружения и поверхности пластических деформаций в соответствующих точках неотрицательно.

Из (19) и (26) вытекает, что вектор приращения пластической деформации направлен внутрь поверхности пластических деформаций. В самом деле, из (19) и (26) при условии с1Л>0получим с1е? д//деЦ <0, откуда и следует высказанное утверждение. Отметим, что в частных случаях вектор приращения пластических деформаций направлен по нормали к поверхности пластических деформаций. Так, для теории изотропного упрочнения (22) поверхности пластических деформаций представляют сферы, совпадающие в совмещенном пространстве Р и 5 со сферами поверхностей нагружения. Для теории анизотропного упрочнения (23) имеем:

-се{). (27)

1 дсту с деЦ

Рассматривается выполненное неравенство (26) для некоторых моделей упрочняющегося пластического тела. В случае теории изотропного упрочнения (23) неравенство (26) примет вид:

0. (28)

Col О

Ао

Uo )л ер/ / / / О / С0

И А е" \ г»

Рис.4

Пусть в результате пластического деформирования (для определенности растяжения вдоль OA) поверхность нагружения приобрела положение, изображенное на рис. 4а сплошной линией. Тогда для точек полуокружности ВАВ' имеет место условие устойчивости (28): <тер >0; для точек полуокружности ВСВ' (исключая точки В и В1) имеет место условие оер <0, т.е. условие устойчивости da^de? >0 не выполняется. Произведем нагружение в зоне неустойчивости, для определенности - сжатие в точке С. Тогда пластические деформации должны уменьшиться; вектор приращения пластической деформации в точке С направлен в сторону, обратную вектору ер, т. е. по направлению внешней нормали к поверхности нагружения в точке С, а вектор приращения напряжений согласно условию dadep <0 направлен внутрь поверхности нагружения, которая будет стремиться занять положение, показанное на рис. 4а пунктиром. Диаграмма одноосного растяжения-сжатия будет иметь вид, изображенный на рис. 46.

Таким образом, изотропно упрочняющийся материал не обладает свойствами устойчивости при разгрузке. Сказанное можно пояснить на механической модели (рис. 5).

Предположим, что на горизонтальную шероховатую плоскость втягивается силой Р абсолютно гибкая лента единичной ширины. Собственным весом ленты будем пренебрегать. Пусть суммарная сила трения возрастает пропорционально площади контакта ленты с плоскостью. Если вести от

Ао А% г р щшт

Рис. 5 счет перемещения от точки А0 то диаграмма «усилие-длина» р-в будет совпадать с диаграммой сг-ер на рис. 46. При изменении знака усилия р лента будет находиться в неустойчивом положении равновесия.

Рассматриваются анизотропно упрочняющийся материал в случае линейного упрочнения (22). Условие устойчивости (26) в этом случае принимает вид

Согласно (23) условие (29) всегда имеет место при с> 0. Значит при с>0 закон трансляционного упрочнения приводит к выполнению условия устойчивости для всех путей деформирования.

Рассматривается общий вид функции нагружения (21). Условие устойчивости (20) предполагает, что в данной точке нагружения А (рис. 6) происходит упрочнение, в то время как на других участках поверхности нагружения возможно и разупрочнение. После некоторой догрузки в точке А

29)

Рис. 6 напряженное состояние будет соответствовать точке Алежащей вне первоначальной поверхности нагружения /{сГу,еЦ0.

Пусть " приращения пластических деформаций в результате догрузки, тогда /{ргу,еЦ + Ае^Аук^=0 - уравнение поверхности нагружения после догрузки.

Произведем разгрузку, а затем произведем повторное нагружение из точки нагружения В', в которой приращение пластических деформаций имеет направление, обратное Ае^лу, для простоты можно положить, что

Ае^-Ае^.

Тогда при подобном деформировании поверхность нагружения будет стремиться занять первоначальное положение, имевшее место до догрузки из точки нагружения А, и точка В' будет стремиться занять положение В.

Если при догрузке в точке А точка В' вышла за пределы первоначальной зоны упругости, т. е. в этой точке произошло упрочнение материала (пунктир на рис. 6), то для нагружения из точки В' постулат устойчивости места иметь не будет: ? <0.

Если при догрузке в точке А поверхность нагружения в окрестности точки В' смещается внутрь упругой области, постулат устойчивости с?еГус1еЦ > 0 будет выполнен.

При одноосном растяжении образца происходит наклеп, то для устойчивого материала предел упругости при сжатии увеличиться не может. Таким образом, наличие эффекта Баушингера связано с процессами устойчивого деформирования материала.

Для описания свойств анизотропии материала можно воспользоваться определением функции анизотропии [3]. Рассмотрим поверхность нагружения /(сГу,еЦ0. В пространстве напряжений Р каждой фиксированной поверхности нагружения может быть поставлена в соответствие функция анизотропии К, являющаяся годографом вектора напряжений относительно нормали в соответствующей точке поверхности нагружения. Поясним сказанное на рис. 7.

Поверхности нагружения (рис. 7а) ставится в соответствие поверхность анизотропии А (рис.76); при построении поверхности анизотропии вектор о откладывается от фиксированной оси ООх под углом, который он образует с нормалью в данной точке поверхности нагружения. Очевидно, что для сферической изотропной поверхности нагружения поверхность К стягивается в точку. Эффект Баушингера характеризуется отрезком АВ на рис. 76.

Для устойчивых материалов при нагружении отрезок АВ (рис. 76) будет увеличиваться, причем точки А и В будут двигаться в противоположных направлениях; для неустойчивых материалов отрезок АВ будет изменяться так, что точки А и В будут двигаться в одном направлении. Вообще для устойчивых материалов при нагружении поверхность анизотропии последующего состояния будет включать в себя поверхность анизотропии предыдущего состояния.

Представление о трансляционном механизме упрочнения могут быть положены при определении широкого класса моделей сплошных сред.

В основу построений могут быть положены три основных механизма деформирования: упругий - Е, вязкий - V и пластический - р.

Простейшие комбинации механизмов: ЕР - модель упругопластиче-ского тела, ЕУ — модель упруговязкого тела. Для этих моделей полная деформация слагается из упругой и пластической или упругой и вязкой:

В случае последовательного действия механизмов Р и Е или У и Е соответствующее деформирование является только пластическим или вязким, поэтому эти механизмы будем обозначать соответственно Ре и Уе. В данном случае упругие элементы, являясь внутренними, не меняют природы деформирования, существенно сказываясь на характере зависимости <т- е.

Большие буквы указывают на механизм, определяющий характер деформирования; внутренние механизмы, не меняющие характера деформирования, обозначаются малыми буквами. Отметим, что в рассматриваемом случае деформирование может иметь характер: упругий, вязкий, пластический, упруго-вязкий, упруго-пластический. Модель, состоящую из механизмов Р и V, следует обозначить Ру, так как деформирование носит характер пластического и элемент V в данном случае является внутренним. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести разгрузку. Аналогично механизм, состоящий из элементов V и Р, следует обозначить Ур.

Для построения связи между тензором напряжений а^ и тензором деформаций рассмотрим, следуя идеям работы [36], двумерные динамические модели.

На рис. 8а изображена двумерная динамическая модель ЕУеуеуе, или, как удобнее обозначить, ЕУе]у]е2У2е3 Очевидно, что с1£ = с1£е + <^£Р, с1£ = с1£е+с1£Х',

30) с1£у = с1£у + с1£у и и

31)

V0 \Л/~ V/

ЛЛЛ т2 р т, Л 1

Г Л ы И г Л р Vй"

ШШУ//////////Ш. р v' р 1

V) Е

Рис. 8

Приписывая в дальнейшем девиаторам соответствующих тензоров штрих наверху и считая для простоты всюду материал несжимаемым (более того, будем считать все тензоры как действительных, так и внутренних деформаций девиаторами), получим: й£еи = —!— йо:-., и Ю 4

32) где С? - модуль сдвига.

Обозначим тензор внутренних, соответствующий элементу еп, через тензор внутренних деформаций (микродеформаций), соответствующий перемещениям элемента уп, через к ¡"К Получим: л;Ч(0) =Л.4У» - 4й) ^Г- »Г) («) где - коэффициенты вязкости элементов V,

К соотношениям (33) следует присоединить условия, определяющие напряжения, соответствующие натяжениям в элементах еп: йе^ - ¿4° = - ¿к)1] = с1к\р = съсЬ] до

0)

2)

ДО

3)

43)

34) где 1¡сп - коэффициенты жесткости элементов еп. На рис. 86 изображена двумерная динамическая модель ЕРехрхегргеъ. Очевидно, что с1£у = + с1£? (35) причем справедливо соотношение (32).

Условие пластичности, соответствующее элементу Р, запишем в виде

Ту- = к; условие пластичности, соответствующее элементу рп - в виде. (рп[?\р - кп. Тензор внутренних деформаций (микродеформаций), соответствующий перемещениям элементов рп, обозначим Будем иметь:

К -4")=^ ^ (4°-42))=^'^(421 -43))=^ (зб) ае!==ал, <> = «И» . О?) ае! -<> =с,4«\<> -<> =Сз4® (38) где с1А, с1Лп - коэффициенты пропорциональности.

Для того чтобы тензоры деформаций были девиаторами, необходимо предположить, что все условия пластичности не зависят от первых инвариантов соответствующих тензоров.

В соотношениях (37) используется ассоциированный закон течения. Представления ассоциированного закона течения следуют из соображений экстремальности приращения напряжений на соответствующих приращениях деформации. Эти соображения использованы выше как для действительных, так и для внутренних напряжений и деформаций. Дифференцирование в (37) ведется по первому из напряжений, хотя дифференцирование можно вести по суммарным напряжениям, так как

0)\ я/» >+!)д^-^)^ аргГ-^Г1)^

Поэтому дсгу ' &<">

Ш 8/ д<р„ 8<р„ да„ д(<?и -4")' 34"' 5(4"»-4«+")'

Построение связи сгу-£у для сред, включающих в Уп,рт себя как составные элементы, не представляет никаких трудностей. Например, для модели ЕРе^е2р соотношения искомой связи записываются в виде (35), (32); далее будут также иметь место соотношения <р{з^)=ки (39) *КЧ = "Ж? - 4'*) = ■/ Л* (})>. (40) аеЦ^акц =сх<Щ\аКу-<1еу (41)

Изложенный подход конструирования связи а^ - является непосредственным обобщением подхода, развитого в теории трансляционного упрочения. В данном случае не только основные, но и внутренние механизмы пластичности и вязкости определяют свои поверхности нагружения, которые испытывают перенос в своих пространствах напряжений.

Случай, когда связь между отдельными элементами жесткая, интерпретируется как предельный и может быть рассмотрен при стремлении соответствующих коэффициентов сп к нулю.

Нелинейные эффекты могут быть учтены, если предположить, что величины кп,/лп^ сп зависят от инвариантов соответствующих тензоров.

Не представляет принципиальных трудностей воспользоваться кусочно линейными потенциальными поверхностями. Рассмотренные соотношения устанавливают связь между девиаторами соответствующих тензоров. Зависимость между первыми инвариантами соответствующих тензоров, определяющая сжимаемость материала, может быть установлена независимо.

Отметим, что модель Е¥ соответствует телу Максвелла, модель Уе — телу Фойхта. Обычно в литературе рассматривается двустороннее приложение внешней силы, и для модели Фойхта элементы Е и V включаются параллельно. Подобная схематизация неудобна при построении соответствующих двумерных моделей.

В качестве одного из основных механизмов можно использовать также механизм идеального затвердевания, который может позволить учесть ряд новых интересных эффектов.

Для ряда материалов зависимость между касательным усилием г и необратимой частью сдвига у (в дальнейшем будем рассматривать только жестко-пластический материал) удовлетворительно описывается диаграммой, представленной на рис. 9.

Т в С

А С

Кг тп

О 7

Рис. 9

Существенно, что в этом случае предел пластичности т = к^ (точка А на рис. 9) и предел текучести т = т (точка В на рис. 9) не совпадают между собой. Участок АВ {кх<т <т) характеризует упрочнение материала и является, вообще говоря, нелинейным. При т = т наступает идеально пластическое течение.

Рассмотрим поведение материала при идеально пластическом течении (участок ВС на рис. 9). В этом случае, в отличие от обычного построения теории, идеально жестко-пластического тела [70] возможны различные подходы к построению теории.

Если упрочняющееся тело остается изотропным, то соотношения идеально пластического течения имеют обычный вид [70]. В случае, когда имеет место анизотропное упрочнение, возникающие остаточные микронапряжения обусловливают характерные особенности идеально пластического течения. Для простоты рассмотрим случай идеального эффекта Баушингера. 2 Т

777Р77777777777777Я777777777777777777. в

1<1

Рис. 10

Рассмотрим вначале одномерную модель (рис. 10а), состоящую из двух элементов сухого трения, соединенных пружиной. Если обозначить через кх и с2 пределы сопротивления трению соответственно у первого и второго элементов, то зависимость между растягивающей силой Т и перемещением # будет представлена рис. 106. Нелинейность на участке АВ может быть достигнута за счет нелинейной характеристики жесткости пружины. На рис. 11 представлена соответствующая двумерная модель.

Очевидно, что на поведении модели существенным образом скажутся усилия (рис.11) в пружинах аах,ЬЬх. Эти усилия соответствуют микрона

О,

Ьг 6 'ЧЛЛ/4 1

1т'

Тг а а

Рис. 1 1 пряжениям сплошной среды. Случай, когда усилия в пружинах aax,bbx не в состоянии преодолеть сопротивление сухого трения элемента 2, рассмотрен в работе [38]. В данном случае рассматривается идеально пластическое течение материала, когда усилия в пружинах aax,bbxв состоянии преодолеть сопротивление сухого трения элемента 2.

Обозначая через 7j и Т2 внешние усилия, натяжения пружин аах и bbx- через s, и î2- предположим, что усилия 7}, s,-таковы, что элементы/и 2 получают некоторые приращения перемещений. На рис. 12 первоначальное положение элемента 1 схематизировано точкой О, последующее -точкой Ох. Элемент 2, занимавший положение abc, перейдет в положение ахЬхсх. Должно иметь место:

Tx-sx)2+{T2-s2)2=kl (42) sf+sj=k?. (43)

Обозначим далее через qx, q2 перемещения элемента 1 и через ги г2 -перемещения элемента 2. Из рис.12 имеем: Of = Aqx, Oxq = Aq2,cxd — Ar2. Коэффициенты жесткости пружин оа и ob обозначим через 1/с, тогда A(ql~r1) = cAsl, A(q2-r2) = cAs2 (44)

Перемещения элементов 1 и 2 происходят в направлении действующих сил, поэтому

Agi = т\ ~s\ ? = (45)

Aq2 T2-sx' Лг2 s2 '

Соотношения (42)-(45) позволяют изучить поведение системы, изображенной на рис. 12. Следует отметить условный качественный характер развитых построений и предостеречь от далеко идущих аналогий между поведениями динамической модели и сплошной среды. В этом случае не учитывается, например, вращение элемента 2 и связанные с этим эффекты, несущественные для дальнейшего рассмотрения.

Некоторые особенности идеально пластического течения в данном случае удобно иллюстрировать при помощи кинематических моделей [70]. Для анизотропно упрочняющегося материала с идеальным эффектом

Баушингера моделью может служить круговая рамка, передвигающаяся в плоскости под действием цапфы А, в случае, если между цапфой и рамкой отсутствует трение (рис. 13). Точка О — первоначальный центр рамки, точка 01 - текущий центр рамки. Расстояние АО соответствует напряжениям, расстояние ООх - деформациям.

В данном случае соответствующую кинематическую модель можно представить в следующем виде. Представим два плоских кольца, вначале расположенных концентрично. Одно из них двигается под действием цапфы А, причем это же кольцо имеет в центре цапфу 01, под действием которой двигается второе кольцо. Трение между кольцами и цапфами отсутствует. Точка О - первоначальный центр обеих рамок (соответствующий естественному состоянию), точка Ор центр первого кольца, точка 02 -центр второго кольца (рис.14).

Расстояние А02 соответствует напряжениям, 0Х02 - микронапряжениям, ООх - деформациям.

Отметим, что при развитом течении, путь нагружения которого стремится к некоторой прямой, точки Ау0],02 будут стремиться занять положение на одной прямой.

При использовании динамических аналогий усилиям ставятся в соответствие напряжения, перемещениям - деформации.

Обозначим через сгу тензор действительных напряжений (соответствующий усилиям 7}), через я у - тензор микронапряжений (соответствующий усилиям ), через ву - тензор действительных деформаций (соответствующий перемещениям qx элемента 1), через к - тензор внутренних микродеформаций (соответствующий перемещениям г,- элемента 2). Девиаторам соответствующих тензоров припишем штрих наверху.

Компоненты тензора напряжений <7у удовлетворяют уравнениям равновесия =0, а компоненты тензора деформаций еу выражаются через компоненты перемещения ву =^(u¡J' + uJ■ti).

Поведение материала в случае, когда микронапряжения ¿у не в силах преодолеть сопротивление соответствующих элементов сухого трения, описывается соотношениями теории анизотропного упрочнения и изучалось в работах [36, 38] и др. Ниже рассматриваются соотношения идеально пластического течения, в этом случае напряжения Су и Бу таковы, что сухое трение обоих элементов преодолено. Условия текучести запишем в виде

Предполагая экстремальность выражений с141 и йАг соответственно при условиях (46), определим закон деформирования, рассматривая выражения (46) в качестве пластического потенциала:

46)

Рассмотрим выражения приращения работ: йАх - (jj.deу, С1А2 = Sj.dKу. и

47) л/* de¡j ~ dЛl ——, dKj . =

48) где dAl,dЛ2 - множители пропорциональности.

Отметим, что аналогично можно было исходить из выражения работы £}А12=[сГу - Окончательные выражения получились бы неизменными, так как---— = 1 и, следовательно, дсгу а/1 = а/.

Используя предположение о природе тензора микронапряжений, получим:

49) где с можно считать функцией инвариантов тензора б у и даже тензоров <у у, а у - . Вообще говоря, следует присоединить также условие е-к = КБ, (50) где - первые инварианты соответствующих тензоров, величину К можно также считать функцией инвариантов тензоров напряжений.

Если и /2 не зависят соответственно от первых инвариантов тензоров сг;у и Бу, то из (48) следует, что ву = е»,/г|у е = к = 0. Так как то К = оо.

Приведенный выше краткий обзор отдельных результатов в области теории пластической анизотропии не охватывает многих вопросов теории, как разработанных, так и нуждающихся в дальнейших исследованиях.

В заключении приведем слова И. А. Кийко [40] посвященные теории пластической анизотропии: «Имеются разные варианты теории пластичности анизотропных тел; все они, однако, за редкими частными исключениями, построены для случая малых деформаций, когда можно считать, что тип анизотропии не меняется. Очевидно, для процессов развитого формоизменения это не так. Представляется, что при построении теории пластичности анизотропных тел для случая больших деформаций конструктивной будет предположение о том, что носителями механических свойств материала, в том числе и класса анизотропии, являются материальные волокна, выделенные в теле в начальный момент процесса. Понятны трудности, возникающие на пути построения такой теории; прежде всего — это теория эксперимента по выявлению скалярных функционалов, определяющих свойства материала. Обсуждаемая проблема — одна из наиболее сложных, но и важных в МДТТ (А.А.Ильюшин оказался прав, когда полвека назад говорил, что построить анизотропную пластичность гораздо сложнее, чем пластичность при сложных нагружениях); тем более интересно заниматься ее разрешением».

Диссертационная работа состоит из двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе, посвященной плоским задачам определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел, рассматриваются соотношения для определения предельного напряжения при внедрении плоского штампа и клина в идеальное анизотропное пространство, а также некоторые задачи рассечения и пробоя, анизотропных идеальнопластических сред жесткими, острым и тупым инденторами.

В первом параграфе рассматривается анизотропия, определенная соотношением:

А(сгх -ау)2 + 4Вт1у + 2L(ax - ау = 4£02, А, В,L,k0 - const.(51)

Предполагается:

A = \ + Sa,B = l + Sb,L = Sc, (52) где 5- малый безразмерный параметр, характеризующий анизотропию материала.

При 5 = 0, согласно (52) А- В = 1,Z, = О соотношение (50) переходит в условие пластичности для изотропного тела.

Исходные соотношения представлены в виде разложения по степеням малого безразмерного параметра 8 до второго приближения включительно.

Во втором параграфе рассмотрена задача о вдавливании жесткого плоского штампа и остроугольного клина в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание штампа в изотропное идеально пластическое полупространство рассмотрено Прандтлем [75], вдавливание штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство - Хиллом [82].

Хилл [82] рассматривал условие пластичности в виде:

Л(сгх-<Jy)2 +^Bt2xy =4к%, А,В,к0- const. (53)

Хилл [82] получил исходные соотношения и предложил численный метод решения. В диссертационной работе дано приближенное аналитическое решение задачи.

В третьем параграфе решение Д. Д. Ивлева и JL А. Максимовой [33] о рассечении и пробое изотропной идеально пластической полосы распространено на случай анизотропного материала.

Во второй главе рассматриваются пространственные задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. В силу анизотропии материала, предельная нагрузка зависит от ориентации вдавливаемых тел относительно осей анизотропии.

В первом параграфе рассматриваются основные соотношения, приведенные в виде разложения по малому параметру до второго приближения включительно.

Во втором параграфе рассмотрено вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание жестких штампов и пирамид в изотропное идеальнопла-стическое полупространство рассмотрено в работах Д. Д. Ивлева, А. Ю. Иш-линского и Р. И. Непершина [28-31], А. В., П. В. Горских [14].

Определено предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии.

В третьем параграфе рассмотрено вдавливание жесткой четырехугольной пирамиды в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание плоского жесткого клина в идеально пластическое полупространство рассмотрено Хиллом, Ли и Таппером [82], вдавливание жестких пирамид - Д. Д. Ивлевым, А. Ю. Ишлинским, Р. И. Непершиным [28], А. В. и П. В. Горскими [14].

Определено предельное давление в зависимости от ориентации пирамиды относительно осей анизотропии.

Заключение содержит сводку основных результатов диссертационной работы. Список литературы насчитывает 117 наименований, в том числе 3 работы автора по теме диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• Исследовано предельное состояние анизотропного идеальнопласти-ческого полупространства при вдавливании жестких штампов и пирамид. Методом малого параметра получены расчетные формулы, позволяющие определить предельную нагрузку до второго приближения включительно.

• В задаче о плоском штампе и клине в условии пластичности анизотропной среды, учтены члены, определяющую «винтовую» анизотропию. Термин «винтовая» анизотропия связан с направленным изменением сетки поверхностей скольжения в случае симметричного нагружения.

• Определено предельное усилие в задачах рассечения и пробоя анизотропной идеально пластической полосы.

• Решена задача о вдавливании жесткого прямоугольного в плане штампа в идеальное анизотропное пластическое полупространство. Определено предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии.

• Решена задача о вдавливании четырехугольной пирамиды в идеальное анизотропное пластическое полупространство. Определено предельное давление в зависимости от ориентации пирамиды относительно осей анизотропии.

1. Арышенский Ю. М., Гречников Ф. В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия. 1990. -304с.

2. Бабешко М. Е., Шевченко Ю. Н. О неупругой несжимаемости анизотропного материала // Прикладная механика т. 41, 2005, №3.

3. Бережной И. А. О некотором инвариантном представлении связи между векторами силы и скорости для двумерной пластической модели // МТТ. 1968. №5. с. 55-57.

4. Быковцев Г. И. Избранные проблемные вопросы механики деформируемых сред: Сб. статей. Владивосток: Дальнаука, 2002. 566с.

5. Быковцев Г. И. О плоской деформации анизотропных идеально пластических тел. Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностр. 1963. - №2. с. 6674.

6. Быковцев Г. К, Лаврова Е. Б. Модель анизотропно упрочняющейся среды, имеющей различные законы упрочнения при растяжении и сжатии. МТТ.- 1989, №2- С. 146-151.

7. Ву Э. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред // Механика композитных материалов. -М.: Мир, 1978. -с. 401-491.

8. Гейрингер Г. Некоторые новые результаты теории идеальнопластиче-ского тела. Проблемы механики. Сб. статей. М.: ИЛ, 1955.

9. Гениев Г. А., Курбатов А. С., Самедов Ф. А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. -М.: Интербук, 1993. 183 с.

10. Геогджаев В. О. Пластическое плоское деформированное состояние ортотропных сред//Труды МФТИ. Вып. 1, 1958. с. 55-68.

11. Геогджаев В. О. Сжатие и волочение пластической ортотропной полосы // Инженерный сборник. 1960. Т. XXIX с. 80-91.

12. Гольденблат И.И. К теории малых упругопластических деформаций анизотропных тел//Докл. АН СССР. 1955. - 101, № 4. - С. 619-622.

13. Гольденблат И.И., Копное В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. -М.: Машиностроение, 1968. —258 с.

14. Горский А. В., Горский П. В. О внедрении жесткой пирамиды в идеально пластическое полупространство // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. — 832с. (с 255-261)

15. Греков М. А. Пластичность анизотропного тела // ДАН СССР, 1984, т. 287, №5, с 1082-1085.

16. Дегтярев В. П. О деформационных критериях разрушения при простых и сложных нагружениях. «Проблемы прочности», 1972, №7, с. 22-25.

17. Делъ Г. Д. Технологическая механика. М.: Машиностроение, 1978. -174с.

18. Делъ Г. Д., Томилов Ф. X. Связь между напряжениях, твердостью и пластической деформацией при повышенных температурах. «Известия» АН СССР. Металлы», 1970, №1, с. 144-149.

19. Друянов Б. А., Непершин Р. И. Теория технологической пластичности. -М.: Машиностроение, 1990.

20. Дудукаленко В. В. Об условии единственности анизотропно упрочняющегося пластического материала // ПММ. 1968. т.4. вып. 9. с. 117-120.

21. Жуков А. М. Пластические свойства и разрушение стали при двухосном напряженном состоянии. «Инженерный сборник», т. 20, 1954, с. 37-46.

22. Захарова T. J1. Об образовании шейки при растяжении идеально пластической неоднородной анизотропной полосы. Изв. инж.-технолог. академии Чув. Республики. №2 (3), Чебоксары 1996г. 341с (с33-35).

23. Захарова Т. Л. О влиянии «винтовой» анизотропии на напряженное состояние кольцевой пластины из идеально пластического материала. Изв. инженер, технолог, академии Чув. Республики. №1 (2), Чебоксары 1996г. 283с (с46-53).

24. Зубчанинов В. Г. Проблемы теории пластичности. // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. - 832с. (с 394-405)

25. Ивлев Д. Д. К теории идеальной пластической анизотропии. ПММ. -1959.-Т. XXIII, вып. 6.

26. Ивлев ДД. Механика пластических сред. М.: Физматлит, Т.1, 2001. -448с,

27. Ивлев ДД. Механика пластических сред. М.: Физматлит, Т.2, 2002. -448с.

28. Ивлев Д.Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела // М.: Наука, 1971.

29. Ивлев ДД., ИшлшскийА. Ю., Непершин Р. И. Внедрение пирамиды в идеально пластическое полупространство // ДАН РАН. 2002. Т. 385, №6. С. 766-769.

30. Ивлев ДД., Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. О внедрении жесткой пирамиды в идеально-пластическое полупространство // Изв РАН. МТТ. 2002. №4. с. 57-62.

31. Ивлев ДД, Ишлинский А. Ю., Непершин Р. И. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений пространственной задачи идеально-пластического тела при условии полной пластичности // ДАН РАН. 2001. Т. 381, №5. С. 616-622.

32. Ивлев ДД., Максимова Л. А. О вдавливании индентора в идеальную жесткопластическую полосу, МТТ. 2000, - №3.

33. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

34. Ильюшин А. А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязкоупругости.: М., Наука, 1970. 280 с.

35. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. 1954. - т. 6, №3. - с. 314-325; Прикладные задачи механики. Т.1. -М.: Наука, 1986. - с.84-103.

36. Ишлинский А.Ю., ИвлевД.Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001.

37. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая микронапряжения // ПММ. 1958. т. XXII. Вып. 1.

38. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

39. Кийко И. А. Теория пластических течений — современное состояние и некоторые проблемы // Вязко-пластическое течение материалов. М.: МГУ, 2001. ч.2. 130с.

40. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. М.: МГУ, 1979.

41. Ковалъчук Б.И. К теории пластического деформирования анизотропных материалов//Пробл. прочности.- 1975.-№9. -С. 8- 12.

42. Колмогоров В. Л. Механика обработки металлов давлением. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. техн. ун-та, урал. политехи. Ин-та, 2001.

43. Колмогоров В. Л. Напряжения. Деформация. Разрушение.: М., Машиностроение. 1970. 232 с.

44. Кузнецов Е. Е., Матченко И. Н., Матченко Н. М. К построению теории идеальной пластичности ортотропных сред. // Проблемы механики неупругих деформаций: Сб. статей. К семидесятилетию Д. Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001.-400 с. (с. 178-183).

45. Кузнецов Е. Е., Матченко Н. М, Матченко И. Н. Условие полной пластичности ортотропных сред. //Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. - 832с. (с 502-509)

46. Кузнецов Е. Е., Матченко И. М., Матченко И. Н. Условие полной пластичности квазинесжимаемых ортотропных сред // Проблемы нелинейноймеханики: Сб. статей. К восьмидесятилетию Л. А. Толоконникова. Тула: ТулГУ, 2003. - 384с. (с. 195-204)

47. Ломакин В.А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1960. - № 4. -С. 60 - 64.

48. Максимова Л. А. О линеаризированных уравнениях пространственных течений идеальнопластических тел // ДАН РАН. 1998.-Т. 385, №6. -С. 772-773.

49. Максимова Л. А. О сжатии слоя из идеально жесткопластического материала жесткими анизотропно шероховатыми плитами // ДАН РАН. — 2000. Т. 372, №1. - С. 50-52.

50. Максимова Л, А. О сжатии плиты из идеально-пластического анизотропного материала// Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. - 832с. (с 520-524)

51. Максимова Л. А. Некоторые вопросы теории идеально пластического тела. -Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, -2004. 176с.

52. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести.: М., Машиностроение, 1975. 400 с.

53. Малинин H.H. Устойчивость двухосного пластического растяжения анизотропных листов и цилиндрических оболочек. «Известия АН СССР. Механика твердого тела», 1971, №2, с. 115-118.

54. Матченко Н. М. Некоторые вопросы теории идеальной пластичности анизотропных сред: Дис. д-ра физ. мат наук, ТулПИ, 1975.

55. Матченко Н. М., Толоконникое Л. А. Общая плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов // МТТ. 1973. - № 3.

56. Матченко Н. М., Толоконникое Л. А. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов // МТТ. — 1977. № 1.

57. Маховер Е. В. Некоторые задачи теории пластичности анизотропных сред. ДАН СССР 1947. том ЬУШ, №2.

58. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии // Теория пластичности. Сб. пер. М.: ИЛ, 1948. - С. 57- 69.

59. Миронов Б. Г. К теории анизотропной идеально-пластической среды// Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Иш-линского. М.: Физматлит, 2003. - 832с. (с 564-568)

60. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИЛ, 1954.

61. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир, 1969.

62. Нечепуренко Ю. Г., Яковлев С. П., Яковлев С. С. Глубокая вытяжка цилиндрических изделий из анизотропного материала. Тула: ТулГУ,2000. 195с.

63. Петрищев П.П. Упругопластическое деформирование анизотропных сред // Вестн. МГУ. Сер. Физ.-мат. и естествоведения. 1952. -№ 6. - С. 63 -69.

64. Победря Б.Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред // Прикл. математика и механика. 1984. - 48, - № 4. - С. 29 - 37.

65. Попов Е. А. Основы теории листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1968. - 283с.

66. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз., 1958.

67. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеальнопластических тел. М.: ИЛ, 1956.

68. Проблемы механики. Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. — М.: Физматлит, 2003. 832с.

69. Смирнов-Аляев Г. А. Механические основы пластической обработки металлов.: Д., Машиностроение, 1968. 272 с.

70. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

71. Сторожев М. В., Попов Е. А. Теория обработки металлов давлением. М.: Машиностроение, 1971.- 424 с.

72. Теория пластичности. Сб. переводов. -М.: И.Л, 1948.

73. Толоконников Л. А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979.

74. Толоконников Л. А., Матченко Н. М. К теории плоского пластического течения ортотропных материалов // Прикладная механика, т. IX, в. 6, Киев, 1973.

75. Толоконников Л. А., Яковлев С. П., Кухарь В. Д. Пластическое течение анизотропного упрочняющего материала // Известия вузов СССР. Машиностроение. 1974. №10. с. 12-16.

76. Толоконников Л. А., Яковлев С. П., Лялин В. М. Прессование круглого прутка из анизотропного материала // Изв. вузов. Черная металлургия. — 1971.-№11.-с. 123-127.

77. Томленое А. Д. Теория пластического деформирования металлов. -М.: Металлургия, 1972. 408 с.

78. Тутышкин. Н. Д., Гвоздев. А. Е., Трегубое В. И., Полтавец Ю. В., Се-ледкин Е. М., Пустовгар А. С. Комплексные задачи теории пластичности. -Тула.: Тул. гос. ун-т. 2001. -377 с.

79. Хилл. Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.-407 с.

80. Христианович С. А., Шемякин Е. И. К теории идеальной пластичности // Инж. ж. МТТ. 1967. - №4.

81. Шевелев В.В., Яковлев С.П. Анизотропия листовых материалов и ее влияние на вытяжку. — М.: Машиностроение, 1972. 136 с.

82. Шемякин И. Е. Анизотропия пластического состояния. Численные методы сплошной среды. Новосибирск. Изд. СО АН СССР, ВЦ. Т 4, №4, 1973г.

83. Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел // МТТ, №2, 1997. -С. 145-150.

84. Шемякин Е. И. Очерки геомеханики (горное давление и основы механики горных пород) // Научн. сообщ. ИГД им. А. А. Скочинского, вып. 313/99.-С. 7-38.

85. Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности // Физ. мезомехани-ка. 1999. Т. 2, №6. - С. 63-69.

86. Яковлев С.С., Арефьев В. М. Измерение коэффициентов анизотропии латуни в процессе вытяжки с утоньшением стенки // Исследования в области пластичности и обработки металлов давлением. Тула: ТулПИ, 1988. с. 2530.

87. Яковлев С.С., Арефьев В. М. Определение параметров анизотропии листового материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // Оптимизация металлосберегающих процесов при обработке давлением. Ростов на Дону, РИСХМ, 1987. с. 149-153.

88. Яковлев С.С., Арефьев В. М., Перепепелкин А. А. Влияние технологических параметров вытяжки с утонением стенки анизотропного материала на силовые режимы пресса // Известия вузов. Машиностроение, 1992. №7. с. 125-129.

89. Яковлев С.П., Кухарь В. Д. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. 136 с.

90. Яковлев СЛ., Яковлев С.С., Андрейченко В. А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев. Квант, 1997. -322с.

91. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В. А. Глубокая вытяжка цилиндрических изделий из анизотропного материала. Тула: ТулГУ, 2000. 195с.

92. Betten J. Elementaren Ansatz zur beschreibung des orthotropen kom-pressiblen plastischen Fliepens unter Berücksichtigung des Bauschinger-Effeks //Arch. Eisenhüttenw. 1978. 49, N 4. - P. 179-192.

93. Betten J. Pressure-dependent yield behaviour of isotropic and anisotropic materials // Deform, and Failure Granular. Mater. 1982. - Rotterdam . - P. 81 -89.

94. CookM. Journ. Inst. Metals, 1937, т. 60, стр. 159.

95. Drucker D. С. A Definition of Stable Inelastic Material // J. Appl. Mech. 1959. V. 26, №1. P. 101-106 (русский перевод: Механика. 1960. №2)

96. Dugdale D. S. Experiments with pyramidal indenters Part 1 // J. Mech. Phys. Solids. 1955. V.3. P. 197-205.

97. Fred A.D., Sandor В. I. The plastic compressibility of 7075-T651 allu-minium- alloy plate // Exp. Mech. 1989. - 26, № 2. - P. 119 - 121.

98. Geiringer H. Fondements mathematiques de la theorie des corps plastiques isotropes // Men. Sei. math. Paris, 1937.

99. Hencky H. Über einige statisch bestimmtent Fälle des Gleichgewichts in plastischen Korpern // ZAMM. 1923. - Bd. 3.Сб. «Теория пластичности». -M.: ИЛЛ, 1948.

100. Köster W„ Zeits. Metallkunde, 1926, т. 18, стр. 112.

101. Klingler L. J., Sachs G. Journ. Aero. Sei., 1948, т. 15, стр. 599.

102. Krempe E., Hewelt P. The constant volume hypothesis for the inelastic deformation of metals in the small strain range II Mech. Res. Communs. 1980. -7, №5.-P. 283-288.

103. Mises R. Mechanic der plastischen Formänderung von Kristallen // ZAMM. 1928.-Bd. 8,H.3. 161 - 184.

104. Naruse K, Dodd В., Motoki Y. An experimental investigation of yield criteria with planar anisotropy //Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A 57. 1991. - 543. - P. 2659 - 2663.

105. Spitzig W. A., Sober R. J., Richmomd О. The effect of hydrostatic pressure on the deformation behavior of maraging and HY -80 steels and its implications for plasticity theory // Met. Trans. A7. 1976. - 11. - P. 1703-1710.

106. Spitzig W.A, Richmond O. The effect of pressure on the flow stress of metals // Acta met. 1984. - 32, N 3.-P. 457-453.

107. TroostA., Betten J. Plastische Querzahlen anisotroper Werkstoffe // Arch. Eisenhiittenw. 1972.-43, N 11. -P. 811 —812.

108. Troost A., Schlimmer M. Fliessbedingung anisotroper, plastisch kom-pressibler Werkstoffe mit Anwendung auf Plastomere//Mech. Res. Communs.1975.-2, N4.-P. 165- 169.

109. Troost A., Schlimmer M. Isotropes und anisotropes Fliessen, plastisch kompressibler Werkstoffe, insbesondere von Piastomeren // Mater. Sei. and Eng.1976.-26,N1.-P. 23 -45.

110. Troost A., Schlimmer M. Kurzzeitbeanspruchung isotroper und anisotroper, plastisch kompressibler Werkstoffe, insbesondere von Thermoplasten // Kunststoffe, 1977. - 67, N 5. - P. 287 - 289.

111. Welch P.I., Ratke L., Bunge H.J. Comparison of plastic anisotropic parameters for polycrystalline metals // Sheet Metal Ind. 1983. - 60, N 10. - P. 594 -597.

112. Радаев С. Ю. О рассечении анизотропной идеальнопластической среды жестким телом // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2005.-№ 1.-С. 64-68.

113. Радаев С. Ю. О плоской задаче определения предельного состояния идеальнопластических анизотропных сред // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2005. - № 2. - С. 17-23.

114. Радаев С. Ю. О вдавливании прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2005. - № 2. - С. 23-29.