Некоторые вопросы теории приближений и теоремы вложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Основные обозначения и определения

Введение

Глава I. /) -преобразование функций в пространствах Lp4<P<°°,

§ I. Зависимость свойств /\ -преобразования от поведения наилучших приближений исходной функции.

§ 2. Зависимость свойств pi -преобразования от поведения частных сумм ряда Фурье исходной функции.

§ 3. Зависимость свойств Я -преобразования от поведения модулей'гладкости исходной функции.

Глава 2. -преобразование функций в пространствах рцоо

§ 4. Зависимость свойств /} -преобразования от поведения наилучших приближений исходной функции.

§ 5. Зависимость свойств /\ -преобразования от поведения сумм Валле-Пуссена исходной функции.

§ 6. Зависимость свойств Я -преобразования от поведения модулей гладкости исходной функции.

Глава 3. Вложение классов AJy^ в симметричных пространствах

§ 7. Необходимые и достаточные условия для вложения класса в пространство Лоренца.

§ 8. Необходимые и достаточные условия для вложения класса /ty/уу в класс /7^ •

Работа посвящена Я -преобразованиям функций из и теоремам вложения для симметричных пространств.

Первая основная задача, рассмотренная в работе, такова: найти необходимые или достаточные условия на последовательность f/f^JJTy задающую /? -преобразование исходной функции, и на те или иные характеристики функции из /j р такие, чтобы её /? -преобразование принадлежало /лр ; получить оценки сверху и снизу для /? -преобразования функции и исследовать точность полученных оценок.

Интерес к /? -преобразованиям вызван тем, что исследование ряда вопросов теории функций-теорем вложения, мультипликаторов, сходимости тригонометрических рядов и других-часто сводится к изучению /? -преобразования функции. Изучением Я -преобразований функций занимались многие авторы, например, Р.Салем [V], С.Б.Стечкин f50.В.Бесов [б], А.А.Конюшков [7] и другие.

В данной работе задача о Р\ -преобразовании изучена для функций из пространств /,р , где / <т р £ оо . Полученные в ней результаты уточняют и обобщают результаты многих работ и содержат выводы ряда авторов, которые рассматривали задачу, аналогичную нашей. Отметим, что -преобразование функций из bp для р-1 или р^оо и точность полученных оценок при -/4Р4<*>ъ литературе в общем виде ранее не рассматривались.

Вторая основная задача такова: найти необходимые и доста точные условия для вложения класса функций /т^уу»/ в класс функций * где-симметричное пространство, а

U) -пространство Лоренца.

Первая теорема вложения была доказана в 1927 г. Г.Харди и Дж.Литтлвудом [8]. Начало общей теории вложения пространств функций многих переменных было положено С.Л.Соболевым [sj. Принципиально новый вклад в развитие этой теории был сделан С.М.Никольским [ю], создавшим теорию // -классов и применившим для её исследования теорию приближений. Другой подход к теоремам вложения был предложен П.Л.Ульяновым в работах [ll] и fl2j, в которых он для функций одного переменного выяснил условия-необходимые и достаточные-для вложения одного класса функций в другой. Ряд важных результатов в этой области был получен 0.В.Бесовым [l3]t М.К.Потаповым fl4-], В.А.Андриенко J, М.Мильманом [ie]9 С.В.Лапиным £l7J и другими авторами.

В связи с тем, что в последние годы всё большее количество различных задач решается в симметричных пространствах, представляется важным дальнейшее развитие теории вложений в этих пространствах. К этим исследованиям примыкает вторая основная задача, рассмотренная в данной работе. В ней найдены необходимые и достаточные условия для вложения класса функций пум ^ л (Т' в класс функций которые обобщают результаты работ таких, например, как работы П.Л.Ульянова £l2j, В.А.Андриенко [15].

Диссертация состоит из трёх глав, из которых первые две содержат по три параграфа, а третья-два параграфа. Нумерация утверждений, лемм и формул ведётся по параграфам. В первой главе решается первая задача для функций из при «/</><©о. Во второй главе решается первая задача для функций из ^лпри г

Р=1 или р гоо . в третьей главе решается вторая задача.

Случаи /<Р<ъ° и р = I или р=о=> рассмотрены отдельно, так как различны методы, при помощи которых ведётся исследование в этих случаях; различны и условия, налагаемые на последовательность во второй главе они более жёсткие, чем в первой). Кроме того, в случае У</О<о« оценки рассмотрены лишь для -преобразования функции f(vc) , так как по теореме М.Рисса /V" ""ЗГ^Последнее соотношение неверно при р = I и /^гоо , поэтому при р =1 и с? приведены оценки как для Y^) » так и для • Отметим, что в работе получены оценки для /\ -преобразования функции для любых последовательностей действительных чисел f/j„ Однако ввиду их громоздкости основные утверждения формулируются лишь при некоторых дополнительных ограничениях на последовательность (не исключающих случай = </ ).

Остановимся более подробно на содержании диссертации.

В § I и § 4 исследуется зависимость свойств -преобразования от поведения наилучших приближений исходной функции. Получены, в частности, для неубывающих последовательностей {/)п следующие оценки:

К-/7//

0.4) а). Если /<р<с*> и Ях„ то

Эта же оценка справедлива при р =1 или Р - оо, если Л Я ^^Дг* и Д^-^нЪО или . б). Если 4<р<о° и , то

OQ

Если /Р =1 или />=гоо и Г Я/,» ЛУд^Л то Л; jf+j/p ь . в). Пусть =1 или . Если

Д - ИЛИ 4 >< <2 , то v^// * 2: ii.V-'F ш} (0-7)

I/--/ f / / *

Если же Я^СЯ* > &Ч?ГнЬ0Ж

Оо

ТО eJlyO^SJf/r. (0.8)

Отметим, что при ("?=0, I,.) из оценок (ОЛ)

0.8) следуют, например, неравенства, полученные ранее Д.Джексоном [18], С.Б.Стечкиным [l9], М.Ф.Тиманом f20j, Р.Таберским [21]. Отметим также, что при ^=1, 2,., /</°<оо оценки (ОЛ) и (0,5) точнее оценок, полученных ранее В.М.Кокилашвили в работе (^22j. В работе £22^оказана оценка сверху для jfaj типа (0.4), однако в ней в последней сумме вместо множителя стоит множитель г* f Г1

Си+4) . Леммы 1.4 и 1.5 показывают, что наша оценка точнее. В оценке же снизу для^^в работе £22J отсутствует вторая сумма в (0.5).

В этих же параграфах рассмотрен вопрос о точности полученных оценок. Так, например, для последовательности Ф справедливы следующие соотношения: а) при /<: р <г оо

Z^Epfet Уг"" ^ (о.э)

Vе-;

V-i б) при P -1 И Р z:оо

Ос ^^

М^э ^(ftfajsrZ X twV (0.10)

Здесь, как и в других соотношениях^показывающих точность полученных оценок, предполагается конечность правых частей этих соотношений.

Оценка (0.9) справедлива при тех же условиях на последовательность {Яи}*^ что и °Ценка (O-'Oi а оценка (0.10)-при тех же условиях, что и оценка (0.7).

При Я =1 и при {1., целых ^ из (0.9) и

0.10) следуют результаты В.Э.Гейта [23].

В § 2 и § 5 исследуется зависимость свойств -преобразования от поведения частных сумм ряда Фурье и сумм Валле-Пуссена исходной функции. В частности, при 4<Р< 00 для последовательностей , удовлетворяющих условиям и Tin^frt+fr't fa &получены следующие оценки: нн) т * оо

Отметим, что при /f = / и целых ^ из оценки (О.II) следуют неравенства, полученные В.В.Жуком и Г.И.Натансоном в работе £24]. Но в работе [24 j| нет оценок снизу , в то время как у нас они следуют из оценки (0.12).

В этих же параграфах рассмотрен вопрос о точности полученных оценок. Так, например, при /<р<с*> ия для последовательностей таких, что -^^Д^и lin+Jff+rifyfHtyi справедливы следующие соотношения:

- <r <s>

В § 3 и § 6 исследуется зависимость свойств /) -преобразования от поведения модулей гладкости исходной функции. Из результатов этих параграфов следуют, в частности, оценки: а) при S^f^oc, r б) При оэ ,

Отметим, что при <1 < и натуральных ^ неравенство (0.13) более точное, чем неравенство, полученное В.М.Ко-килашвили [22J, в котором содержится лишний по сравнению с (0.13) член. Кроме того, в работе [22 J нет оценок снизу для

Qfj^i^L* в то БРемя как У нас они следуют из (0.14).

В этих же параграфах получены и более общие результаты для неубывающих последовательностей . Например, пусть j<p и • Тогда Jf Г? - X ) /л ^

У^Ыу^М' Чу™ V-/

В этих же параграфах рассмотрен вопрос о точности полученных оценок. Так, например, при j< f><&o и для неубывающих последовательностей f/)h fj^ таких, что Q f/Tj-/) "^{ff справедливы следующие соотношения:

У'М+4 схэ а^^/^^-Д" + z г?, у ✓ •

Полученные для одномерного случая результаты переносятся на многомерный случай. При этом вместо наилучших приближений рассматривается приближение "углом"; вместо модулей гладкости-смешанные модули гладкости; вместо частных сумм и сумм Валле-Пуссена-частные суммы и суммы Валле-Пуссена в многомерном случае (определение см. в замечаниях 1.2, 2.4 и 5.3). Так, в частности, показана справедливость следующих оценок: а) при /</><©о для последовательностей И удовлетворяющих условиям £ и u /wv //7 ?<*>)

ZZfoXA if A* ^ / 4 * ' б) при /<:/><: oo , p4>0 , A в) при , у О

Отметим, что из результатов главы I при

Bj вытекают как частные случаи результаты работ М.Г.Есмаганбетбва £*25/, [2б], [*27], опубликованные одновременно с нашими работами [28], [29], [зо].

В § 7 найдены необходимые и достаточные условия для вложения класса функций Mjff+f в пространство Лоренца /[ .

В § 8 найдены необходимые и достаточные условия для вло / ^ / / ^ жения класса функций Пу/sf/ в класс функций » где

Xff) -симметричное пространство, Aft*1)-пространство

Лоренца.

Основным результатом третьей главы является следующее утверждение.

Пусть ъ. ) -модули непрерывности, X/?)-некоторое симметричное пространство, , </у,>/ , gj/y, >.

Тогда для справедливости вложения необходимо и достаточно, чтобы

V/ ЧГ*! Ж У* Л f, г,fiI

I { ( ' —J - § (0.16)

Отсюда при У^/:/^ , ( ^ ^ Р < < ОО ) то есть если ,-Z^ ) получаем результаты

П.Л.Ульянова [12J и В.А.Андриенко [15]. Отсюда же получаем результат работы С.В.Лапина [l?], в которой доказана достаточность условия (0.16) для вложения (0.15) в случае, когда a Xfo/ -максимальное симметричное пространство. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов и по теории приближений, на научно-теоретических конференциях молодых учёных механико-математического факультета МГУ в 1981 г. и в 1983 г. и на 2-ой Саратовской зимней математической школе в 1984 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах

N -М

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору М.К.Потапову за постановку задачи, постоянную поддержку, внимание и помощь в работе.

1. А.Зигмунд. Тригонометрические ряды.-М.: Мир, 1965, т.1 -616 е., т.2 -538 с.

2. С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семёнов. Интерполяция линейных операторов.-М.: Наука, 1978.-400 с.

3. R.ShatpSey. Spaces Л* and i/?te7ро Walton.-I Fund. К

4. R. Safer*. Sui fes t^ocus^o^/Ttor^co^s c/es se?ces <Je

5. А.А.Конюшков. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье.-Матем. сб., 1958, т.46 (86), № I, с.53-84.

6. JM.Haidy }J.E. L U tfeafoOc/Avbeye/tee cute*см JotFoviieг senies.-McrU. 7., 6/29. С.Л.Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.-256 с.

7. С.М.Никольский. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных.-В кн.: Труды МИАН СССР.-М.: Наука, 1951, т.38, с.244-278.

8. П.Л.Ульянов. О вложении некоторых классов функций.-122Матем. заметки, 1967, т.1, № с.405-414.

9. М.К.Потапов. Исследование некоторых классов функций при помощи приближения "углом".-В кн.: Труды МИАН СССР.-М.: Наука, 1972, т.117, с.256-291.

10. В.А.Андриенко. О необходимых условиях вложения классов функций .-Матем. сб., 1969, т.78 (120), №2, с.280-300.

11. М*Mid/кал7. Еп>#ес/с/б'/1<р о/ i/iza<zcas?i spaces ^ spaces; Mat/}. Асао/. J7v. А/илд. v К 30, А/3- ^О 25Уг$8.

12. С.В.Лапин. Вопросы, связанные с вложением в некоторые пространства измеримых функций.-Канд. дисс.-М.: МГУ, 1980.130 с.

13. D. Jackson. Uhei c/ie Qe/i&ui^ketf c/esofftzena'tiOHa-fe FunktcOrierigeye&wv G^&c/es nomebztcfan gege&M? {/к/гм^-йт.rGotttye^m.

14. С.Б.Стечкин. 0 порядке наилучших приближений непрерывных функций.-Изв. АН СССР, сер. матем., 195I, т.15, Ш 3,с.219-242.

15. М.Ф.Тиман. Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах <>о) .-Матем. сб., 1958, т.46 (88), № I, с.125-132.

16. R. Та Be zski- Dif-fewnees^moo/ufi ало/of fraciiofiorf o^c/ets^Rocztb Ров. toc^f.r»crt} S977, set. к 19}a/z,p. звэ-400.

17. В.М.Кокилашвили. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости в различных лебеговских пространствах.-Сообщ. АН Груз. ССР, 1964, т.35, Ш I, с.3-8.

18. В.Э.Гейт. О точности некоторых неравенств в теории приближений. -Матем. заметки, 1971, т.10, № 5, с.571-582.

19. В.В.Жук, Г.И.Натансон. Свойства функций и рост производных, приближающих полиномов.-ДАН СССР, 1973, т.212, № I, с.19.

20. М.Г.Есмаганбетов. О связях модулей гладкости производной с наилучшим приближением и коэффициентами Фурье функции в Lp°f^J .-рукопись деп. в ВИНИТИ 28.01.1982 г., № 380-82 Деп., 15 с.

21. М.Г.Есмаганбетов. Условия существования смешанных производных Вейля в Lp{r0}2?rj//<р<оо) и её структурные свойства.-Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.4.82 г., № 1675-82 Деп., 28 с.

22. Б.В.Симонов. О свойствах преобразованного ряда Фурье.-Рукопись деп. в ВИНИТИ 22.06.1981 г., № 3031-81 Деп., 45 с.

23. Б.В.Симонов. О принадлежности преобразованного ряда Фурье пространству .-Рукопись деп. в ВИНИТИ 30.10.1981-124г. № 4985-81 Деп., 16 с.

24. Б.В.Симонов. О некоторых свойствах преобразованных рядов Фурье.-Вестник МГУ, сер.1, математика, механика, 1983, № 2, с.58-61.

25. Б.В.Симонов. Оценки норм преобразованного ряда Фурье через частные суммы исходного.-В сб.: Некоторые вопросы математики и механики.-М.: Изд-во МГУ, 1983, с.46-47.

26. Преобразованные ряды Фурье функций из 27Т.") .Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.07.1983 г., № 4088-83 Деп., 15 с.

27. Б.В.Симонов. О преобразовании рядов Фурье из и С .В сб.: Функциональный анализ.-М.: Изд-во МГУ, 1984, с.90-95.

28. М.К.Потапов, М.Бериша. Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного.Ри 6 •(( с a icons de AW^VzW т<?И?еш h'puer Beo^^1979,v.г6

29. В.Э.Гейт. Об условиях вложения классов п^д и г/^ R Матем. заметки, 1972, т.13, № 2, с.169-178.

30. С.М.Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.-М.: Наука, 1977.-455 с.

31. М.К.Потапов. К вопросу об эквивалентности условий сходимости рядов Фурье.-Матем. сб., 1965, т.68, № I, c.III-127.

32. В.М.Кокилашвили. О приближении периодических функций.-В сб.: Труды Тбилисского матем. института.-Тбилиси, 1968, т.34, с.51-81.

33. В.К.Дзядык. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.-М.: Наука, 1977.-5II с.

34. С.Б.Стечкин. О наилучшем приближении сопряжённых функцийтригонометрическими долиномами.-Изв. АН СССР, сер. матем., 1956, т.20, вып. 2, с.197-206.

35. С.Б.Стечкин. Наилучшие приближения функций, представимых лакунарными тригонометрическими рядами.-ДАН СССР, 195I, т.ХХУ1, № I, с.33-36.

36. Н.К.Бари. Тригонометрические ряды.-М.: Физматгиз, 1961.936 с.

37. Н.К.Бари. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряжённых функций.-Изв. АН СССР, сер. матем., 1955, т.19, с.285-302.