Мультипликаторы Фурье в пространствах Лоренца и Бесова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ

РГ6 од

*н¡-, на правах рукописи

1 ' : УДК 517.5

Берниязов Ермек Есенгельдиевич

МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА И БЕСОВА

01.01.01.— математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы — 1996 г.

Работа выполнена 1) Карагандинском Государственном Университете им. Е.А.Букетова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент Е.Д.Нурсултанов

Официальные оппоненты: член-корреспондент HAH PK, доктор физико-математических наук, профессор М.О.Отелбаев кандидат физико-математических наук, доцент Б.Л.Вайдельдинов

Ведущая организация: Воронежский Государственный

Университет

3.пиита диссертации состоится_в

_часов на заседании специализированного Совета К 14/А.01.05

при Казахском Национальном Государственном Университете им.Аль-Фарабн на механико-математическом факультете: 480012, г.Алматы, ул.Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Университета.

Автореферат разослан "_11_ _1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета К 14/A.Ü1.05 при КазГУ, кандидат физико-математических наук, доцент гг Б.М.Кадыкенов

Актуальность темы. Теория мультипликаторов Фурье являетя одним из важных направлений функционального анализа. Первая теорема о мультипликаторах для тригонометрических рядов была доказана Дяс.Марцинкевичем. Используя результаты Дж.Марцинке вича, С.Г.Михлин получил аналогичные теоремы для интегралов Фурье. Следующие упрощения и обобщения этих результатов были даны Л.Хермандером в рамках теории операторов, инвариантных относительно сдвига. Далнейшее развитие теория Фурье в «п получила в работах П.И.Лизоркина, О-В.Бесова, Х.Грибэля, Дж.Петре и др.

Задача о мультипликаторах Фурье состоит в следующем. Пусть А и В - нормирова!лые функциональные пространства, Т - преобразование Фурье. Функции <р назовем мультипликатором из А в В, если оператор ■Т (?) = ?'\?? является линейным ограниченным из А в В. Совокупность всех мультипликаторов из А в В представляет собой нормированное пространство Ы(А -+В). Требуется определить гладкостные и метрические характеристики, которыми должна обладать функция <р для того, чтобы являться мультипликатором из Л в В. Не смотря на обилие работ в данном направлении, оставались недостаточно описанными мультипликаторы в пространствах Лоренца и Бесова в случах когда А не совпадает с В. В этой связи отметим работы Е.С.Смаилова и Н.Т.Тлёуханозой в которых изучены множители Фурье тригонометрических рядов в дискретных пространствах Лоренца. Актуальность таких задач отмечена Х.Трибелем в его монографии "Теория функциональных пространств". •

Цель работы. Исследование классов мультипликаторов Фурье

мГь . -»11» м(вв° 08( 1 в терминах известных

функциональных пространств.

Общая методика исследования. В диссертации систематически применяются метода и результаты теории интерполяции линейных и билинейных операторов. Особо выделим среда них интерполяционную теорему Овчинникова.,' которая позволила описать мультипликаторы Фурье в пространствах Бесова.

Научная ковизка. В работе получены теоремы вложения функцио-

нальных пространств. Лоренца и Бесова в классы ч —<► ч ] и

(в в , ~' Вр1 ч ) '

Показана точность получанных, теорем вложения.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационного исследования расширяют и углубляют теорию мультипликаторов Фурье в функциональных пространства^.. Результаты могут найти применение в гармоническом анализе, в теории функциональных пространств и в теории дифференциальных уравнений.

Степень достоверности полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертации являются верными и сопровоадены доказательствами.

Основные положения, вшосише на защиту. Теоремы влокения функциональных пространств Лоренца и Бесова в классы мультипликаторов Фурье ч - Ъ ) и *(£» - ВД ) .

ОО 11 17 0 . 11

Апробации работы. Основные результаты работы апробированы на межвузовской научной конференции "Теория приближения и вложения Функциональных пространств" (Караганда 1991,1994 гг.), на международной конференции по теории приближении (Санкт-Петербург,1992 г.)

х

на республиканской конференции "Применение методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики" (Алматы, 1993 г.). на республиканской конференции "Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики" (Алматы, 1994), на международной конференции "Теория приближении, нелинейный анализ", посвященной 90-летию С.М.Никольского (Москва, !995). на региональном научном семинаре ИГМ HAH и МО PK 1995 г., на научных семинарах член-корреспондента HAH PK профессора А.А.Женсыкбае-ва, профессора Е.С.Смаилова, профессора Н.Г.Темиргалиева, профессора Р.О.Ойнарова, на юбилейной конференции посвященной 50-летию развитию математики в Казахстане (ИГГГМ, 1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ш-[73, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работа. Работа состоит из двух глав, и списка литературы, включающего 71 натеенованяв, объем работы 97 страниц.

Содержание работы.

Во введении вводится краткий обзор работ, приводится постановка задачи, излагается содержание диссертации. '

Первая глава, в основном, посвещена исследованию классов мультипликаторов в пространствах Лоренца.

В первом параграфе приводятся необходимые определения и сведения из теории интерполяции, сосредоточены некоторые часто .используемые результаты.

Во втором параграфе дается определение пространства мультипликаторов ЩА -+В), где А и В - произвольные нормированные подпространства £>'. Изучены некоторые общие свойства этих классов.

Б третьем параграфе рассматриваются свойства пространства

= Я {б —► Ь ]. В частности, локазанно следующее, а I ре ра.)

р я

Ш

р

0 0 -11

Теорема 3.2 Пусть 1 < р0 < г0 < р; < ю , 1 - ^ = £ - ^ й 1 < <30. <7, < 00 • Тогда ■

р Ч га

И 1 1 -И 1 1 .

р а г в

оо о о

где 4 - в = Гн ~ я 1 • Запись типа Сл: 1 означает тагС^О).

р а

В четвертом параграфе исследуется вложение В класс № в

о о

случае разделенности "сильных" параметров р0 , р1 Двойкой, то есть

при 1 < р0 < 2 < р1 < со. Доказана следующая теорема» обобщающая теорему Хермандера.

Теореиа 4.1 Пусть 1<Р0<2<Р]«» , 1 = I - I , | = [1 - у ^ и (р € Ьгв . Тогда если / е Ъ , то Г^С/; ( ^ ч и верна оценка:

о о 11

1уя| « С |<р|га 1/1

Р.ч.ч . . ро о

1 I

Это означает, что при данных соотношениях между параметрами выпол-

р я

няэтся вложение Ъ <-* Н 1 1 * Шз утверждения видно, что разделен-гв

ность двойкой характерна только для сильных параметров р0 и р(, они связанны с "сШ1ЫШМи параметром г. В то же время "слабые" па-

б

раметры q0 и ц1 отвечают за "слабый" параметр в, что не било видно

при исследовании классов Хермандэром. Далее, показана существенность разделенное™ главных метрических параметров двойкой при

вложении пространства Лоренца в У 1 1, а именно доказана следующая

р,ч„ о о

теорема.

Теореиа 4.2 Если класс ¡1 1 1 содержит в себе некоторое простран-

рочо

ство Лоренца Ьге , то необходимо, чтобы выполнялось р0 < 2 р, .

р.я,

В пятом параграфе рассмотрении вложения в класс М 1 1 в еду-

0 0

чаях 1 < р0 < р1 < 2 и 2 < р0 < р1 < <я. Как было упомянуто, в

данных случаях в пространство И не может быть вложено ни одно

о о

р а

пространство Лоренца. Однако при этом в класс и 11 будет вложено

о о

некоторое пространство Бесова. Доказанны следующие теоремы.

Теорема 5.1 Пусть 1<р<2,1<я**«>. ^ = р - 2 • Ф е Тогда из того, что / € 1рч , следует, что Тр(/) е Ьрч и существует С>0, что верна оценка

\Vv\l < 0 тъ ■

' " РЯ 0г1 РЧ

Го есть справедливо вложение

Вп/,г ¡Г

П РЯ

Теореиа 5.2 Пусть 1 < р < р < г, 1 < ц < д , £ - £ = ^ - £ ,

01 10 ' Г1, Ро Р)

й > к - ? ' 5 = - • Т0Г^ С ^ И ^ ' € Ч '

*0 О О 0 0

<р € имеет место оценка

' < с ,<р, .

га 0 0

Теорема 5.3 Пусть 1 < р' < р < 2 , 1 < q $ q . I: = к - р •

0 1 0 1' Г0 ^

й = I - 2 ' ' - 5 = I - V Тотда С ^ "Х1 и ЩИ / с Ь •

* 7 'и */ 00 00

Ф € имеет место оценка

IV"!, < « Мр •

Р^Ч га оо

В следств;ш того, что ¿М 1 = при 1 < д0, д( < оо данные

О О 11

результаты переносятся на случай 2 < р0 < р1 < ■».

В шестом параграфе исследуется точность вложений, доказанных в четвертом и пятом параграфах. Показание, что данные результаты неулучшаемы в терминах используемых пространств. .

Теорема 6.1 Пусть 1 < р < 7 < д0 < < <о и р = |р ~ || > О.

Тогда для любого е>0 существует функция ф такая, что

п/г РЧ

Ф € В , „ , но ф {И 1 .

о

Теорема 6.2 Пусть 1 < ро< 2 Р1, 1 < 50>(71 ^ 00» ^ = р ~ р < 2

~ = [г/<?,-?'/|70] ' Тогда лля лю0ого е > О при <71 < <7о

найдется

рч

функция ф< € 1г>а+е . Ф, / ир р . а в случае Я, > Я0 Функция

о о

р.ч.

^ € ^-,.00 • % Ыря • о о

Теорема б.З Пусть 1 < р0 < р, < 2 . ' < Я, $ Я0 . ? ~ % = р ~ р

и 1 = я - я - Тогда для произвольного е > О при з <г « сущест-ч> чо

вует е , ф, * а для а = со <|>г € В^ П В^ .

О О

о о

Таким образом, в теоремах влокения ни один параметр, не может быть возмущен в сторону расширения вкладываемых пространств без нарушения вложения в теоремах 4.1, 5.1, 5.2, 5.3

Предметом исследования седьмого параграфа является пространство Ы^ = • Хермандер показал: при Г<р<2<д< оо и

Р = р ~ ^ 030(3 ^р С°ДЭРМ1Т пространство .Лоренца . С учетом

этого факта в данном 'параграфе рассмотрение нижняя оценка для мультипликаторов из 11^. Доказана следующая теорема.

Теорема 7.1 Пусть 1 < р < 2 $ д <г®. Тогда для любой неотрицательной функции ф из имеем

С. аир --—г Г<p(x)dx < Я(р| < С. sup -1—г r<p(x)dx,

1 tqI>0 ¿,+i » г iei>o ¿,41

|q|p q 0 p |e|p 4 e

где точная верхняя грань слева берется по всем n-мерным параллепи-педам Q, грани которых параллельны координатным осям, а справа по всем компактам е в кп. Значком |е| обозначается мера множества е.

Восьмой и девятый параграфы выделены во вторую главу. Они посвещены изучению класса мультипликаторов Фурье в пространствах Бесова.

с в в

В восьмом параграфе введено пространство —► Бр1Q J и

рассмотрены его свойства.

Теореиа 8.1 Цусть í < р < а> , 1 <í q < со . Тогда

ufe"0 -» в"1 1 = uh *1 в~а° 1 ,

где -к*-кя-к*?Г<-1 : (-0J

Теореиа 8.2

[в в % , в +а в +сц

go _» В » | * Jffs о в i ] ,

»очо W 1 Ччо piV

для любого ОС ИЗ к;

Теореиа 8.3 1) При q1 < qQ

¡íÍB° — В 1 1 = 1IÍB 0 • — В 1 *) ,

1 Vo W 1 poqo V

гт J___L - J___L

д <s " << •

2) При д, » q0 для любого 1 $ г < «

ц(вв° _» в"1 1 = мГв"0,, — в" О • I I р г р г)

о о 11 о 1

В девятом параграфе рассмотрешш вложения в класс мультипли-

(в и -

8° —* В 1 I. Для произвольного нормированного функ-0 0 11'

ционального пространства В под В((1+\•\г)г/г) подразумевается пространство с нормой 1/\В((П\'\г)г'/г)1 = 1(1+1 • \г)7/гТ\Ъ\. Установлении следующие результаты.

Теорема 9.1 Если р ^ ? , £ = р ~ 2 и 1 = 3> "" ао ' то Теорема 9.2 Пусть 1 < р0 < 2 $ р{ < о„,1 = 1^ , з(- з0= у.

Тогда

Теорема 9.3 Пусть 1 < р0< р^ 2 и % > р ~ р или 2 < р0 < р( и 2 ~ р0- КР°М9 этого ? ~ П = ~ и 3< " 3о в Ч* Тогда

Теорема 9.4 Пусть 1 < р0 < р1 < 2 и й = или

2 < Р0< Р,< « и | = 12 - р^ . ~ = I, - 1р . Кроме этого я,- з0=

Тогда

О 1

В силу теоремы 8.3 результаты теорем 9.1-9.4, сформулирован-

(в в , а а Ч

Вр° —►В 1 I справедливы и для 1м В ° —► В 1 I при 0 1 0 0 11

Я, > Я0-

Зшшочеиие. Основные результаты, получешше в диссертации сводятся к следующему.

1. В работе получены теоремы вложения функциональных пространств Лоронца и Бесова в классы йГь —» Ь 1, показана неулучшаемость вложений в терминах используемых пространств.

г 0 ° ^

2. .Описаны классы ~' ^р'д ] в терминах весовых прост-

рнаств Лоренца и Бесова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Нурсултанову Ерлану Даутбековичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации по тепе диссертации.

1. Берниязов Е.Е..Нурсултанов Е.Д. Мультипликаторы Фурье в пространствах Лоренца I . - В сб. Современные вопросы теории функций и функционального анализа. Караганда, 1992 г., с. 30-38.

2. Боркиязов Е.Е., Нурсултанов Е.Д. Свойства мультипликаторов . Фурье в пространствах Лоренца Ъ . - В сб. тез. Конструктивная

теория Функций. - Санкт-Петербург, 1992 г., с. 8-9.

р ч

3. Берниязов Е.Е. О точности вложения в класс И 11 функционал!.--

ро о

них пространств.' - В сб. Новые исследования в вычислительной и прикладной математике. - Караганда, 1993 г., с. 76-83.

4. Берниязов Е.Е. О вложении функциональных пространств в класс мультипликаторов. - В сб. тез. Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики.

- Алматы, 1993 г., с. 56.

5. Берниязов Б.Е- Мультипликаторы Фурье в пространствах Бесова.

- В сб. Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики. - Алматы, 1994 г., с. 14-20.

6. Берниязов'Е.Е..Нурсултанов Е.Д. Оценки мультипликаторов Фурьо из - В сб. Теория приближений и вложения функциональных пространств. - Караганда, 1994 г., с. 43-48.

7. Берниязов Е.Е. О южней оценке мультипликаторов Фурье. - тез. докл. межд. конф. Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. - Москва, 1995 г., с. 47.

BEKNIYAZOV ERMEK ESENCELDIEVICH

FOURIER MULTIPLIERS IN LORENTZ AND BESOV SPACES 01.01.01 - MATHEMATICAL ANALISIS

abstract of thesis for a candidate degree In physical and mathematical sclens

In the dissertation It Is Investigated problems of Fourier multipliers : description of classes ll(A.-+ B) , which are spaces ol such functions <p that F~'<pF is bounded operator irom the functional space A to the other one B. It Is obtained theorems of mappings well-known spaces to classes of Fourier

multipliers on Lorentz spaces if [lp q Ip q j and on Besov

(a a ■>

B 0 —» B < . It Is found connection metrical and Vo W

derlvailable characteristics on location of main metrical ■parametria pQ and p( consern 2. It showed unimproved theorems of mappings. For non-negative multipliers from ¡/g , It Is showed two-side estimates.

Берниязов Ермек Есенгелд11глн

"Лоренц жэне Бесов кен1ст1ктер1ндег1 Фурье кебейтк^тер!" такырыбынац 01.01.01 "математикалык.талдам" маманднгы бойынша физика-математика гылимынын кандидата дэрекес1н коргау диссертациясн.

Диссертациялик жумыста Фурье кебейтк1штер1, ягнй т = операторы А кец!ст1г1н В кен1ст1Пне" узШсс1з бейцелбйтт ф Функцияларынан турагын и (А —.в) ¡пшшгн сипаттау Мэселас! зерт-

телген. Лоренц кен!ст1ктер1ндег1 жэне Бесов

С в а \

кешст1к,гер1ндег1 М^в^0^ —>В 1 I яашндарына енг1зу теоремалары 0 0 11.

жэне оЛардЫн жаксартылмайгандыгн дэледенд!. Басты нараметрлер болип табЫлатын р0 жэне р( сандарыныи екШк санынынын тон1рег1но

орналасу роТШШ Фурье к9бейтк1штер1н1ц штегралдык жэне жатиктык касиеттер1н9 "МйЧзетт эсер! аныкталдн. М^ жиышнда жататнн, тер!с

емес мэндер КабЫЛдайтын Фурье кебейтк1тгер1н!н мвлшерлер1н теменнен жене жогарыдан шектейт1н ернектер кврсет!лд1.