Теоремы вложения и приближения для пространств соболева со смешанной нормой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Викторова Надежда Борисовна

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ

( 01.01.01 - математический анализ )

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского Университета дружбы народов.

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Буренков В. И.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Магарил-Ильяев Г.Г.

кандидат физико-математических наук,доцент Скориков A.B.

Ведущая организация Ростовский государственный университет

Защита диссертации состоится " 1дд5 г

на заседании диссертационного совета К 053.22.23 в Российском Университете дружбы народов по адресу : 117923, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу : 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан " ig95 r

Ученый секретарь Dx\Jj'h/'i///$t

Драгнев М.В.

диссертационного совета ^f '' Jj кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений, в краевых задачах математической физики, в теории приближений важную роль играют теоремы вложения пространств дифференцируемых функций, а также теоремы приближения функций из заданного пространства бесконечно дифференцируемыми функциями с сохранением граничных значений.

Целью работы является получение в случае£смешанной нормы теоремы вложения пространств Соболева неиссле-

дованных ранее случаях, нахождение точной константы в неравенстве для смешанных норм градиента, а также доказательство теоремы приближения фуькций из пространства Соболева с доминирующей смешанной производной ^Щь,'..'.,^ * СЛ) гладкими функциями.с сохранением граничных значений. Научная новизна.

1. Доказана теорема вложения пространства Соболева со смешанной нормой /*4г №)в /<£ (Шущт всех допустимых значениях параметров, включая не исследованные ранее. В отличие от [1] метод доказательства не использует интегральные представления функций. с я

2. При П>2 доказана теорема вложения Ж^ в также включающая не исследованные ранее случаи. В отличие от предыдущего результата теорема доказана с ограничениями на ~р и £ .

3. Подсчитана смешанная норма вектор-функционала в гильбертовом пространстве. С помощью этого результата найдена точная .постоянная в неравенстве для смешанных норм градиента функции.

4. Доказана теорема о приближении функций из пространству Соболева с доминирующей смешанной производной (Л) бесконечно дифференцируемыми функциями с сохранением граничных значений.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории функций многих действительных переменных и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории функциональных пространств, в теории приближений и приложениях к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН, на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 статьях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 51 наименования. Объем диссертации - -/(ф^ страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введениии дается краткий обзор литературы по теме диссертации, формулируются основные определения, постановки задач и излагаются главные результаты диссертации.

Рассмотрим ряд определений. Определение 1. Пусть ПбМ , У=СР<> Р») • гДе {¿р^^оо, Сч,п ■ Говорят, что функция .

если £ измерима на 12 и конечна следующая смешанная норма

^ ^ & х

= (ТС. (Т(Тш*:~.Х')1

\ _ те ч „¿^

Если некоторое . то, как обычно, в этом выражении вмес-

то интеграла по Хс понимается существенная верхняя грань по этой переменной.

Определение 2. Пусть СбА/, , где с

1 £ рс £ , ■ Говорят, что функция /с ОН") ,

если ¡-р (£") , для любого мультииндекса с ¡¿1= ¿^-Ми* £ существуют обобщенные производные ¡Ь

и конечна норма %

Определение 3. Говорят, что нормированное пространство вложено в нормированное пространство ( ¿Г^ •если

2) существует такое С > <2 , что для любых /<£ ¿^

■уа

¿г.

(т. е. оператор вложения Л ' ¿^ непрерывен ).

В первой главе диссертации рассмотрен вопрос о том. при каких условиях на параметры справедлива теорема вложения.

й^ (Ю <; Г« .

Простые примеры показывают, что для справедливости этого вложения необходимо, чтобы

/ ^ /V ^ а * , С^^Тй (2)

и чтобы

(3)

В непредельном случае, когда • в [13

доказано, что при выполнении условия (2) вложение (1) имеет место. В предельном случае, когда

£ 1А ™ '

в [1] справедливость вложения (1) установлена при некоторых дополнительных предположениях, а именно доказано следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1. Пусть /А/

У ^ /V ^ / I = 4,П-4

(5)

и Д» ^ или Н-^и ^

(6) -3

и выполнено соотношение (4),тогда имеет место вложение (1).

В [1] теорема вложения (1) доказывается как и в изотропном случае у С.Л.Соболева на основе некоторого интегрального представления функции / через ее производные. Непредельный случай не вызывает особых затруднений: достаточно воспользоваться П раз обобщенным неравенством Минковского и неравенством Юнга для сверток.В предельном случае дело обстоит иначе. На первых ПЧ шагах, как и в непредельном случае, применяются обобщенное неравенство Минковского и неравенство Юнга, а на последнем /7-ом шаге опять применяется неравенство Харда -Литтлвуда. что и приводит к ограничению ■< рч (случай и = не требует дополнительных оценок).

Отметим, что условие (6) не является необходимым для справедливости вложения (1), как это следует,например,из результата Э.Гальярдо [2],который на языке пространств со смешанной нормой может быть сформулирован следующим образом.

ТЕОРЕМА 2. Пусть I& 1 Ш ¿п,

^тн -<>*=>, причем

± рг. £ ¿оо

и выполняется условие (4). принимающее вид Лс /И _ /

Р • (4')

Тогда имеет место вложение (1). принимающее вид

В связи с указанными соображениями возникает вопрос о том, насколько существенным является условие (6) и нельзя ли заменить его условием / - ¡>п ± Цн £ •

В первом параграфе главы I доказана

ТЕОРЕМА 3, Пусть

,/ б ©о , <1 ± р^, оо

//

и ■ - (8)

причем при г>о дополнительно предполагается, что

/а,«* или

Тогда 1

¡V (Ю^Ь (1г)

\ (1'Л.У '

причем для любых / & ^

р-п м ^ ^11

(9)

(10)

где

г + А , (11)

если 11<0<3 или ^с оо ,и

= (12)

если ^ = (при этом согласно (7) и (8) Д

или ¡Э^схэ , 4. ).

Таким образом, во всяком случае при //=^2 условие (6)

может быть заменено условием А ¿^¿оо (при Ф*-?»-0"0 I ИЛИ = ' IV*

Во втором параграфе главы I доказана

ТЕОРЕМА 4. Пусть < ^ ^ * -с оо , /"Я"

(при /}• = ! допускается также ) и,

кроме того, и-

^ «* — _

/Г' V г

Тогда для любой /б /^г ^ выполняется неравенство

» с-

Нужно отметить, что методы доказательств теорем 3 и 4 отличаются друг от друга.

Во второй главе диссертации рассматривается вопрос о вычислении точной постоянной в неравенстве для смешанных норм градиента функции.

Пусть ¿-натуральное число, Л- -область в ¡В".

Говорят, что /б 0\) , если /б [р(Л) . существуют все обобщенные производные 50"*/ порядка С на Л- и конечна норма

где [7 / = а норма т-компонентной вектор

-функции УтМ) в пространстве 1.%Са) опре-

деляется следующим образом: г у

^»иш = / Iкм/ «*у, <-1

«яи.со-

Для Л-1 ~(0,л) -единичного куба в /2 - в [4] исследуется вопрос о нахождении точных постоянных в неравенстве

где К* С-± , 4 ± уР/ % £ ■

Задача о нахождении точных постоянных формулируется следующим образом: а) найти

где инфинум берется по всем Д таким, что для некоторого В ( зависящего от /I ) С

выполняется неравенство (13); ^ *рОУ

' Ь) для любого А найти В

где инфинун берется по всем Е> . для которых выполняется

(13) с фиксированным^. Пусть =

В [4] получено, что г-%.

1 ¿-я-

/¡¿(Ш.г.г.г)-]! (— ) пи 1 \И\=и 1Ш II. I

(14)

(15)

при и

л\ a-i)t . им-* №,ii\Lí(x») T^TTTfp.i)

при чъ2- . где

btfí(*<) ••• fí^tfal

a Q.tn, г -многочлен наименее уклоняющийся от нуля в метрике 4 (p,í) .

Во второй главе диссертации доказана теорема 7 о вычислении тачной постоянной в неравенстве (13) в случае смешанной норны (когда числа и Х- заменены на векторыр, ) Для этой цели в первом параграфе главы 2 доказана теорема 6 о вычислении нормы линейного вектор-функционала в гильбертовом пространстве, которая представляет самостоятельный интерес.

Пусть Н - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (хф . h -линейный непрерывный функционал на Н (h! Н-*(С) . Согласно теореме Рисса всякий такой функционал представим в виде: VxéH hx=(/,é), где элемент

СеН однозначно определяется по h .При этом II h II ц,,(~№1, а всякий экстремальный, элементX , для которого lk/1-llhll^^, имеет вид Х-с-е. . где се<£ , с Ф о .

Рассмотрим случай оператора.У.действующего изН в , где ЮбД/ или /«soо , а hj? -линейные непрерывные

функционалы на Н (назовем такой оператор вектор-функцио-„,

г

налом). Тогда существуют такие элементы что

Г

УхсН Зх- I (х, ей)} (16)

п> *

Будем предполагать, что {Рк}^ -ортогональная система ненулевых элементов: __

0 , > ■ (17)

Положим для 2 =■ {^к } ё. (С™

иг^^Ш*-)* (18)

\\2\\р =г / (19)

В [3] ставится вопрос о вычислении нормы (если или

квазинормы (если р-*- )оператора У как оператора, действующего из Н в :

и об описании соответствующего множества экстремальных функ-

- ^.{хш.-Х+Р (2„

В [3] доказан следующий результат Теорема 5. 1. Если . то

а если о-о . то

Ц7II = зир ш . (23)

2. Пусть . Если Р< , то Х&Га

тогда и только тогда, когда ..

цел *-«• е*,

где Чц&(С, 1йк I- £ .а .

В случае ¿¿^¿оо положим

к ! IIЬ Ни = II V. (25)

<- п $'Т7Тп

Если 0 .то ■ Если же 0

то при Х6 Гл тогда и только тогда, когда

оо

где С*&(£, и (если К счетно) 1С*1 ¡¡€¡¿¡1 «с сх>, причем Сцфо хотя бы для одного ке> а при 2-<- ^ тогда и только тогда,когда

3-кбК: эс^Ске* {27)

где Ск е£) Скфо-

Перейден к постановке задачи для случая смешанной нормы. Пусть П&0, я- (щ,..т„)„ , где ^ 6 ¡А/ ,¿-17»,

£> (Ч<>-> ч»), ^^ ■

Положим Ип) : Ц / ^ ^ ^

и обозначим через пространство последовательностей

?'{ЗеТ/ге!^Где ъ

II2= = ¡Ик.-хЛе^...

где, подобно (18) и (19) ,

оо

[(л: <><*.

Г"

Пусть ^ - ортогональная система ненулевых

элементов из Н и вектор-функционал определен следующим образом Г ■)

Будем рассматривать задачу о вычислении смешанной нормы ¿ек-тор-функционала //-ТУ/^г как оператора, действующего из Н в С^. Соответствующее экстремальное множество вводится как и в (21).

В первом параграфе главы II доказана IV

ТЕОРЕМА 6. Пусть при И при

Т°ГЛа \\ПЯ - II 1ЫН \г . ^

Используя этот результат, во втором параграфе главы II подсчитана точная постоянная А* в неравенстве (13) при условии, что р, и К- заменены на ъ" ■

£ ff ,

ТЕОРЕМА 7. Пусть ¿t: - ——- , О^ 2 ; ¿1 = J £ g^oo.

Тогда

Г-l

где ^

ЬМ'тт-р- ^(ж)■

Ufa. ¡Iii, а')

В третьей главе диссертации рассматривается вопрос о приближении функций из пространства Соболева с доминирующей смешанной производной р (Л) бесконечно дифферен-

цируемыми функциями^, с ^охранением граничных значений.

Норма в ^№ задается следующим образом:

где ЛЮ j4'*/

Пусть теперь , XtJL - непрерывная положительная функция. .Положим X^/J-Win (}{/),J>fie)) , где j>(x) - расстояние от хеА до границы Г(Л) . Рассмотрим произвольную непрерывную положительную функцию -Л-(х) 3Jl-lK£), хелудовлетворяющую следующему условию

Ю

sw> ЛС<) 4 С inj- <ii(x)

t^fto * -MW)

Например, если то можно считать, чтоШ^Ь)-

Приведем результат, доказанный в [5].

Теорема 8. Пусть Лс№ -открытое множество, к^НЬсл).

Тогда существует последовательность функций (к) £ С(Л). ( $ (к) линейно зависят от / и не зависят от />), что

(1) Ьт

и при / «й.

(2)

¡А 1-Е

й» II к?иг°>

4-1 <х> '

а при ¡¿I* С ^

(3) II М*) кргл) - а<>*

где не зависит от /и-Л-.

Ставится задача о доказательстве соответствующего результата для пространств с доминирующей смешанной производной. Пусть л* Ял *••• X Л* } Лг ^¡Е ' >

А (Xм) = *** (х(0, %■).

Лу -непрерывные,положительные,заданные на Лу' функции, поло,™ ^ = .

Введем положительные,непрерывные,заданные на функции-/^'-

Л, (% и>) * с. Щ 1}(х и))

В случае, если ^ можно положить -^¡'-^ '// ■

В третьей главе диссертации доказана ТЕОРЕМА 9.

Пусть Л-М4Х-" у Л?, Л1<= Ц - открытое множество,

/¿Д , с ~171 ; /6 (л). п

Тогда существует последовательность функций fMjeC (л):

1. Ä» ;

(Jl) ¿я,,

rib , Р '

при // '/¿Л ¡и С*),,

при ¡/4)\>!,..... Hts,\> Ь ,

где 0, j не зависит от / и JL ■

Библиографический список литературы.

1. Бесов 0.В., Ильин В.П.. Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-М..Наука.-1975. -480с.

2. Gagllargo Е. Proprleta dl alcune classl dl funzlonl In plu varlablll. Rlcerche dl Mat.7.- Ne 1 (1958).-С.102-137. Русский перевод : Математика 5:4 (1961). 87-116.

3. Буренков В. И. О вычислении нормы линейного вектор-функционала для гильбертовых пространств//Сб. тр. Дагестанского ун.-та.-1994.-С. 10-24.

4. Буренков В.И., Гусаков В.А., О точных постоянных в теоремах вложения Соболева. III // Тр. МИАН.-М.. 1993г.- Т. 204,-С. 68-80.

5. V.l. Burenkov. Mollifying operators with variable step and their application to approximation by Infinitely dlf-'ferentlable functlons//Teubner - Texte-für Mathematik.-1982.-В. 49.-S. 5-37.

Публикации по теме диссертации

1. Викторова Н.Б. Некоторые вопросы . связанные с теоремами вложения для пространств Соболева со смешанной нормой для предельного показателя в И? // XXVII науч. конф.физ.-мат. и естеств. наук /УДИ, 13-18 мая, 1991г. : Тез. докл.

-М., 1991г.-С.30.

2. Буренков В.И., Викторова Н. Б. Предельный случай теоремы вложения для пространств Соболева со смешанной нормой

// XXVIII науч. конф. фак. физ.-мат. и естеств. наук / УДН, 18-23 мая 1992г. : Тез. докл. -М.. 1992г.-С. 21.

3. Викторова Н.Б. О вычислении смешанной нормы вектор-функ-'ционала для гильбертовых пространств. //XXX науч. конф.

фак. физ.-мат. и естест. наук / РУДН. 16-23 мая 1994г. Тез. докл. -М., 1994. -С. 10.

4. Буренков В.Н.. Викторова Н.Б. О теореме вложения для пространств Соболева со смешанной нормой для предельных показателей /I// РУДН.-Н., 1995 -17с,- Деп. в ВИНИТИ 24.01.95, N 212-В95.

5. Викторова Н.Б. О теореме вложения для пространств Соболева со смешанной нормой для предельных показателей /II/

/ РУДН .-М. ,1995.- 9с.- Деп. в ВИНИТИ 07.02.95, N 351-В95.

6. Викторова Н.Б. О вычислении смешанной нормы линейного вектор-функционала для гильбертовых пространств. /РУДН,-М., -14с. - Деп. в ВИНИТИ 24.01.95 , N 213-В95.

ВИКТОРОВА НАДЕЖДА БОРИСОВНА

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ.

Данная работа посвящена изучению свойств пространств Соболеву со смешанной нормой. Доказано вложение в простран-. ство 1/^лбез использования интегральных представлений функций. включающее не исследованные ранее значения параметров. Найдена точная константа в неравенстве для смешанных норм градиента, для чего вычислена норма линейного вектор-функционала в гильбертовом пространстве. Доказана теорема приближения функций из пространств Соболева с доминирующей смешанной производной бесконечно дифференцируемыми функциями с сохранением граничных значений.

VICTOROVA HADEZHDA B0RIS0VNA.

THE EMBEDDING AND APPROXIMATION THEOREMS FOR THE SOBOLEV SPACES WITH MIXED NORM.

This work examines the properties of the Sobolev -j spaces with mixed norm. The embedding theorem into the space 13 proved without using the Integral representations of a I function. Including the values of parameters which were not Investigated before. The sharp constant In the inequality for the mixed norms of the gradient is found; In this connection the norm of a linear vector-functional In the' enclldean space Is calculated. The theorem on approximation of a function from the Sobolev space with dominated mixed derivative by Infinitely differentiate functions Is obtained

/V