О вложении классов функций многих переменных с заданной мажорантой наилучших приблежений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАКИН еЛ-ФАРАБИ АШНДМУ ' МЕМЛЕКЕТТ1К УНЙВЕРСИТЕТ1

цолжазба цуцында

ЭХТЭМОВ АЗЛМАТ НУХТАРУЛУ

КАРА ПА ШМ да$ЕРЕНЦИАЛДаК ОПЕРАТОРЛАРГА СПЕКТРЛ1К ЕСЕПТЕР 1ЭНВ ОЛАРГА' СЭИКВС ЭВОЛЮЦИЯ 1СЩ ТЕЦДЕУЛЕР

у*

01,01.01 - математикаЛыц анализ

физика-математика гылимдарыныц кандидаты гылыми дзрежесИне вздену диссертациясыньщ

А В Т О Р Е Ф В Р А Т Ы' .

ЛЛМАТЫ - 1992

Щ 0 1

министерство народного серлэ03лк1й рзспуелш казахстан

* КГАХСКйП ГОСУДАРСТВЕ! УНИВЕРСАЛ? ум. о ль-'5А?Аг./'.

Kn npapcix рукописи

АЯдосот» Еркагд HosvtfiocKW

о шшаа классов «укаяя ;,:чсг;к пгнгйкных с заданное ¡мжяшй! на^учзо:

CI. 01.01 - ма-ема""иге era? am лип

A 3 Т G i1 л 1-' л А Т

f>i.r:! мч сл:~клн::9 yipi'C.'í степени

у". 11 " •■•г. J ;"< ; ' '.'Л ;'тг n ^ у/х H fly К

Работа выполнена ка кафедре висгсеЯ математики Казахско лолктехнэтоского п.чс титута.

Научные руководители s кандидат йпз.-мат. наук,

доцонт Науразбаев К.Е.

доктор фгз.-мат. наук, Теьпгргаллев Н.

(Хщиалькыо оппонента:

доктор фяпсо-иатештических . .

наук В.Н.Темлчнов

каг-етдат ?сз:с:о-мэте.*.;ст::ческях

наук W. Cíkob

Вздула* организация - Московский йшзико-твхнэтескиЯ

Регионального специализированного совета К 058.01.17 по прксузгдокал ученой стоп от кандидата физико-глатематнчвоких наук в Казахском государственном универоитето по адрооу: 460012, г. Алма-Ата, ул.Маоанчя ЗЭ/4?

С дкооортацизи можно ознакомиться в научной библиотеке КааГУ

:шотитут

1992 г.

УчоннЛ оокретарь регионального опениалкзятованного совета, ка ндкда т физико-ма т е;.:а тпчоских

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОМ

{ . .

- ■• Актуальность тема. Первая точнач теорема влояеняч клас-

1. п. > .

,;-соз фзякшй одной переменней полудни Хардя и Ляттлзудом.

^^•Ц^^нозополагащяэ результата в теории вложений классов Функций многих переменных получены з работах С.Л.Соболева, С.М.Никольского, С.В.Бсооза, •

Впоследствии теории влоизнич функциональных пространств пак п одномерном, так я з шогомэрном случаях активно развивалась и развиваете? сейчас (см.например, I) - 3) и оодер-ла-пс:ооп в тсс библиографию).

3 оередняе 60-х годов П.Л.Ульянов впервые поставил воч-роо о получении необходимых я достаточных условий длт мо-классов функций с задапламя макорантями модулей непрерывности и наялучтагх прибдг'отгй.'

П.Л.Ульчноз, используч созданные им. тонкие методу метрической теория <Тункцяй, получил р"д ваших результатов в теории мояенич функпий одного переменного, коонцпх окончательный характер. Тм т.о била поставлена задача получегпн точных теорем зложенпч л в многомерном случае. Бта тематика портала больтое развитие как у то в стране (В.А. Андрпопко, О.В.Еесоз, В.П.Ильин, В.И.Колчда, В.Н.Темлчков, К.Ж.Коу-

Соболев С.Л. Нокоторнэ применение тункцвональпогс анализа а га тематической (Тпзкко, ЛГУ, 1950.

^ Никольский С.И. Приближение (Т^ткциЗ многих переметах и теоремы Блс~енич, Й., Назгка, 1969.

^ Еосоз О.В., Ильин З.П., Никольский С.И. Интегральные пред-ставлонич Функций п теоремы влогзтч, М., Наука, 1975.

рызбаев, Л.К.Еандашкндзе, ГЛ.К.Потапов, Э.А.Стороаенко,. . Ю.В.Нетруооз, Е.С.Смйилов, М.Ф.Тиман, Н.Тшцрголиов, .11 А.Еай-нибекоза, '*. Сдаов, С.Кудайбергенов, Л.В.Мптзхск, Г.Акизев и др.), ток и 5й.рубежом (Л.Ле^ндаер, Н.Ахоноон .и др.).

В диооертатт продола вточ эти исследования. Именно, раоодатрцБРютси задачи вложенич класоов функция многие не-» ременных о заданной макорантоЯ наилучших приблияеяиЗ тригонометрическими полиномами оо спектром из гиперболических крестов и полиномами но многомерной сиотеме тага Хаара.

,Г!ель. табото. Установить^ в определенном смысле

V

неулучсаеьяе, соотношение мокду модулями гладкости функция . многих переменных и их наилучшая приближении»! тригонометрическими полиномами со спектром из гиперболических крестов и полиномами по системе типа Хаара в разных метриках.

исшзтта. В работе получены следупцие новые

результаты:

- доказана пеулучизшоотт. условии, полупенного ранее В.Н.Темляковкм длч влол:енич {>) с. , без каких-либо ограничений на последовательность А ;

- получена условия длч вложений

о*» '

(у) С и>п1'/ и показаны,

' Ъ 1 >

что при некоторых ограниченное на р и 7 01ш неулучгао-ми;

- получено необходимое и доотаточное ' уояовие для аяояеня<? И^ <=

классов функций многих переменных, спредолчемнх наилучшими прийяийенитаз по спотсмэ типа Хоара.

ГТптгдагтдетгт. йзбота кооит теоретический характер. Еэ результата могут найти применение в рээлпчют вопросах

ТеорЗН ЙУ1К1ТП-',

Атгпоо'пш;»! тойота. Основное содержанке работа докладывалось з Математическом институте им.В. А. Стекловэ АЛ СССР ка семинаре д.б.-м.п. В.Н.Темляясва, . ко общегородском семинаре "СунктюкальныЯ анализ и его прилсзекпч" под руководством члеь-корр. АН КазССР Ы.Отелбгева, член, корр. АН КазССР Т.Ш.Кальмзноэа, на кафедра математического анализа в КазГУ ж.?. Аль-Фра би под руководстве!,: проф. А.А.2спсвкбаеваг из П - республиканской меязузовской научной конференции по математика и ыехэнтпео (Алма-Ата), на республиканской кок?.арошга "Теория приблигокич и вло-кение функгаокаллн»: пространств" (Караганда), из Зоеоойзка:! идоле по теория функция (г.Одесса).

Пуййй<атгл. Ооковнио результата дпеоартацпп опубликованы1 в1 работах /I/ - /6/'.

Стстутута яуясъпп-тхп Диссертаанч состоит из ваедо-Ш1Т, двух глаз к описка литературы. Объем диссертация составляет Пб страшш машинописного текста. Библиогра^ит

.оодерййт 59 ппгмрновэж^ . _ — _____

СОДЕРЖАНИЕ

Пусть - о/ ~ мерное евклидово пространство точек х = (1и) . 7/1/ - ¿-Т, ч;]с1 - марннй куй.

Говорят, что / <=: 1р (ЯГ^) , если -/г*,) - -/V*/,..., XV) • есть измеримая функция, ¿*7Т - периодическая по накдому переменному' и такая, что Ц4((р <'• ТО0 Р = О/,..., У £ /Л' < ^^ , ^ 2

/а* • (Щ иТ

(00Л! ,,, » .., = />(, - р , го 1!/И/} $ ///// - ЛГ //М/ .//У ' ).

Пусть

' - , х - ■

» Р /ГГ^г]

р - Г4) - [п Р; <--<.-Л

■ наилучшие приближения в Ср Функции / триго-

нометрическими полиномами со опектром из гиперболичеокнх и из ступенчатых гиперболических крестов сооответствешю.

ГЬлп \ - { ),, 1- некоторая последовательность положи' 1 Г — 1 \

телыах чисел, г <») , то Через /Г,'-'/., 6) ( )

. /VЧ 1 г/ ' . - '

обозначим классы Флец»! /!?) из ¿¿(У^/) (I С^))»• . дли каждой из которых выполнено соотношение

^- 2 г> „) г ? «К

Ч и I

Множество всех таких функций х ), что -:г - '

омеианиа* производная существует и непрерывна на ЯТС1 обозначим через С ? С^ ) ш

Цготъ , ... ; СО 1114 СЮ - Функшш типа .

модуля сГлад"ооти порядка ^ ,-•--» соответственно.

,, <0, I .

Тогда через '"'' • (■(* />/< с-й1/ обозначают клаоо всех функций б ¿-^(^сО , для кавдой из которнх частные модули гладкости удовлетворяют соотношениям

= е-ч,-*"*).

3 первой глазе лэучяюто* вопроса вложошя классов цг-1 с заданной мажорантой наплучаях приближений тригонометрическими полиномами со опектром из гиперболических крос-тов.

Раное, В.Н.Тшляковнм ^ установлено, что для вложения Е(г,„(У) с: С^С'^с/) о- ) ' достаточно, а при условии, что последовательность / [,, ] удовлетворяет условию

X I Ае и , • . (I)

и необходимо, ынтолнепио неравенства

о-

- ОО. {Я

В теореме I нам удалооь снять ограниченно (I). Имеет место

Теорема I. Пусть = таков, что

■1= 11 - ... ^Т^г,;,, £ ... ± , о*

к / ^г']/1^ -последовательность полозкитолыях чисел, /1 п Ь о(пго»). Тогда для того, чтобы имело место вло-кенпо

^ Т<г .лпнов ЛД. ьг'нб.-:\':анпе {»уткпн с ограниченно:' смегазтгоЯ вгтепэсяпсЛ //Тр.[ЙЛН СССР. - 1ЭСС. Т. 178,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Отметал, что в о луча е- d - { задача вложенич в

пространство непрерывных функций решена С.Б.Стечкиным,

5) &)

А.А.Конюцковым и В.И.Колядой , а в многомерном случае,

в терминах наилучших приближений тригонометрическими полино-

7)

нами с гармониками из прямоугольников - Н.Темиргалиевым .

В.Н.Темляковым (ом. 4)) установлены критерии дли вяожоний (\) г ! .(Г/,) и Г>) г £п) fv)

В связи с етим раоомотрим задачи: пусть /У = (\>() ■■■)l'd)l <?-z (ff,-,c/j)t ^ положительные последователь-

ности, )г1с и fclO . Каковы необходимые и достаточные условия на последовательность } , чтобы имело меото,-

1) вложение Ep^fk) <= >

2) вложение •¿у......

Конюшков A.A. Наилучшая приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты '1урье//Ыатем.об. -,196В.-44,)?i.C.53-84,

' Коляда В.И. Теоремы вложения и неравенства разных метрик для наклучсих приближений // "втем.об. - 1977.-Т. 102, >52. -С. 19 5-215.

^ Темиргалиев II.. О вложетти некоторых класоов Фуш^ций в . С(Со,1Чг)т) f' ^d» вузо!). Математика. - 1978. - Jj 8(195;.

С. О¿-90.

В теоремах- 2, 2' и 2" получены'достаточные условия, обеспечивающие эти влокнния, причем эти условия неулучшаемы, по краПнеЯ меге, если ^о-ил ^ и ^

ИЛИ с/Л

Справзяливы слелуу'.ие теоремы.

Теорема 2. Пусть р - (Ри-.Р^), ¡7-?Д /«.р. <<«5<Ч,с/;

или ¿(а /,

Далее, пусть функция ^/х) е

Тогда функция ^Сх) имеет ^ а) -производнув принадлежащую /(у (ЧТ^) , и

Теорема 2'. Пусть < с?о; с- / с/ ^ - последовательность положитель-

на чисел, /^¿0

■ егл" ^'тч 11

то для того, чтобы имело место гломесие ^т, =

необходимо и достаточно, чтобы

£ < ^

е -< /е

Теорема 2". Цуоть Г^С^,...,/^), 9 Л'-

/ / 4' } и {¡с'I_} - последовательности положительных чисел, Уе I О и /-'¿1С

: .зли ^шл^н Ъ'^Ь^1") "ли

то, дач того, чтобы имело меото вложение

£ 6) с . /м;

необходимо и достаточно, чтобы ^

В качестве вспомогательных результатов также получены неравенства типа Бернштейна и Никольского в смешанной норме для тригонометрических полиномов со спектром из гиперболических креотов, которые при р- ~ р и ■¡г. = </ {/': /г.. (/} оводятоя к неравенствам В.Н.Темлчкова 4).

Рассмотри:-! теперь следутую задачу: пусть '¡>Р,,...,!{,) ? - ^»-, Р,- (<Ц...<1)\ 10ш.(е1 <--/„■ У - функции •

типа модуля гладкости порядка /ч^ и / } ^ ] - последовательность положительных чиоел, \а,1о. Каковы необходимое и достаточное условия на Юр к ^ , чтобы тело место вложение р Л I ?

Другими слогами, когда ¡»"'екгая из Вр ¿(¡М)

лезпг" ¿¡1 (ЯГу) и, кпсма -ого, час^мт? мсгу"-:*. этой ,*уияиии ( ё (У,/) ) им?»? оат«».: »»Я пет:■■ т^т-г усыпания СОт, J / - ^ ¡У 3

Эта яа^.тта ^втэчт !:л«яг.о с юабот Си в дальнейшем ксслэчс.валпсъ м"сгимя аят'рлмн 'С .Е .Стс""!:'■, Л.Ф.Т\«ман, !'.* .Т;:ман -л

доха^чг.и пг.ерукгу.ч -чегемч.

Теогема 3. Пусть р = (Ч,-,^), ? = ^ ^Л'<

1„ Ыу О.

Далее, пусть £¡¡0^)

^ Гпчь •

Тогда им-эвт мое? о н^тя. го и г? г* о

м'о// I^

ч

I

'Гогена ?'. пуС7, р = =

~ Функции типа модуля гладкости порядка п»;, то, для того, чтобы имело меото вложение

.еМ 9

необходимо" и достаточно, чтобы

С ¿Го п )

О-',:,*/ ).

Теоремы 3 и э' являются новыми лишь при с! > { , причал как дав .олучая смешанных, так и для случая неомешашшх корм.

В одномерна.) случае теорема 3* доказана почти одновременно и независимо друг от друга М.Сиховыы и И.А.Ильясовым }■ прй У £ /> ¿..у 2. достаточная часть теоремы 3' бала доказана М.Ф.Тиманом , а когда/1;/ и при некоторых ограничениях на поо ледова толь- .

нооть { Уе] неулучшаемость втой теоремы установлена' М.Л.ЕайнибековоЙ,

(

Задачи из глава I, которые схематически можно "описать как задачи типа

е <=1 е с е, не е, Ее н,

9

естественно рассматривать относительно наилучших приближений по другим ортогопальшм система как одной, так и многих порсметшх.

В одномерном случае вопроси о влояенип.класоов по оно теме Хаара ¿"с и £ с £ решена Б.И.ГолубСЕНм^ (достаточность) п Я. Вала шоком ^ (необходимость^ а аналоглчгшо вопроси для классов по оистоме. 7олзэ (в нумерации Пэли). - Е.А.КочетковоЯ-Борпоово.Ч . Эти же вопросы для система типа Хаара почти одновременно решены • Б.А.Борисовой и С.Таэабековш .

Вложение типа Н с £ по системе Хаара, в случае ^ о" рассмотрено памп , а в обцом случае, т.о. при / ^ р < ^со С. С. Куда!) б ерг о новь?.?.

Что же касается задачи вида. £ с И ,' то ее решения по система Хаара нам неизвестно.

Отметим также, что задачи о вложения £ с: ¿1 , £ ^ ¡Г , £ с н , 1{ а £ относительно сиотемн Сратшяга полностью решена С.С.Кудайбергеновим.

В многомерном случав, вопроси о вложении £ с Ь и £ а £ по системе типа Хаара рассмотрена Е.А.Б0-рисовой.

В главе П дано относительно система типа Хаара многих переменных росенпе задачи вида И с £ : найти

Голубо в Б. И. Наилучшие приближения в метрике^»'

Вэлагек Я. Теорем вложения и неравенства рэзнах мет-рга? для наилучших приближений по системе лаара // Изв. вузов. 1/.атемзтико. -1980. - 4. С.11-14.

I2

необходимое я достаточное условие на ^ , (¿>. , р п ^ , обеопетивавдее влояение

, О ^ (*) г \

^ с

Для решения отой задачи получена опенка наилучших приб-лгг.екй в / ) функций по оиотеме типа Хаара через

мо^ль непрерывности в ¡-рС^^), /■>■<• с*? (прямая тео-ромз теории приближений), за там доказана следукцач

Теорема 4. Цусть •/ ^ р <<, _ некоторый,

модуль непрерывности, ^ А,? } - последовательность по-

ло.-гетольшк чисел, (е ?<*>), Тогда дач того, чтобы имело место влокекпе

п 10 п Л \

Ц С Ь . (У ) пР,-1 ■ </,с1

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

I к-1

Следует отметить, что вопрос о влояешзи Й с. Ь впер-ьь'о рассматривался по тригонометрической системе Б.ГаЯни-бсКОВОЙ.

3 заклочонпе овтор выражает глубокую благодэрнооть

:аучга.\\? руководителям К.Е.Наурнзб9еиу к И.Ти.гаргаллеву за

постановку задач и всестороннею помочь в работе.

Публикации по теме дисоертекин *

1. Айдосов S.S. Примая теорема та ос га приближений а слу-. чао равных метрик для or.cia.ru типа. Хаара-/ Кээ, политехи.

Sit-T. -Алма-Ата, 19 Ш. -64 о. -Дэп. в КазНИ^ТИ 12.04.09, » 2417-Кэ 69.

2. Айдосов E.H. 0 влокании некоторых клвсоов функций /Каз. поли?еж. нн-т. -Ллш-Ата, 1989. -12 о. -Лап. в КазНИШИ 13.04.89, W 2423-Кэ-Ш.

3. Айдосов Е.Е. Об одной многомерной теореме злсг.атая // Тез.докл. реоп. менвузовокой научной xoirfi. по математика

и механике (12-15 сентября 1989) Алма-Ата. -С. 4,

4. Айдосов В.Ж, Теорзмы влодвния клаоооз санкций, заданных пзилучотми приближениями в сметанной норма тригонометрически!»?! полинома},я оо .спектром из гиперболических ?<реотоз /Каз. политехи. mt-t. -Алма-Ата, 1991. -14 с. -Дед. в КвэНИКНТИ 05.04.91. Я 3352-Кэ91.

5. АЯдооол Е»2. О осотногенлта меяду модулем нэпрерыл-нсоти и наилучшим приближениями функции .по системе Хаара

в равных метриках // Нэв, АН КазССР. Сер. фнз,-математическая - 1987. - й 5. -О. 3-7.

6. Айдоооа Е.Е, Обратная тоорема тоории приближения в разках сметанных нормах // Тезисы докладов республиканской научной конференции "Теория ■ приближения п влог.эння функциональных пространств". - С.9. -Караганда 1991.