О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

10-7

УДК 517.518 На правах рукописи

Сихов Мирбулат Бахытжанович

О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань - 2010

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Казахского национального университета имени аль-Фараби

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор

Темиргалиев Нурлан

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Иванов Валерий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Кротов Вениамин Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Габбасов Назым Салихович

Ведущая организация: ГОУ ВПО Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 16 декабря 2010 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан « Л 1 » К 0 »3- ьГ р Э—_2010 г. и размещен на

официальном сайте ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» \vw w. kp fu. ru/un i /san к

Ученый секретарь совета Д 212.081.10

.-м.н.. доцент

Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Классы функций опро, ра; личными характеристиками свойств функций (наличием производных, регулярностью в том или ином смысле тех и; мо; 'лей г; дког

наилучшнх приближений и .п.). также характеристиками нам. приближений функций в зависимости от выбора приближающего агрегата.

Общеизвестно, что исследование задач, связанных с приближением функций в (й > 2) переменных. 'ледовано не в таком объе: в

такой глубине как в одномерном случае. В первую очередь этот факт имеет место для задач экстремального характера, таких, как нахож.. ние точных оценок приближения на классах функций, отыскание точных значений поперечников и квазипоперечнпков в банаховых пространствах, нахождение оптимальных многомерных квадратур и т.д. Поэтому в многомерном случае возникло много новых трудных задач в зависимости от выбора приближающего агрегата и разностных характеристик изменения функции.

В теории приближений неравенства Бериштсйна. (нормы полинома его производной измеряются в метрике лебеговых пространств) важную роль при доказательстве обратных теорем, при получении оценок поперечников классов дифференцируемых функций.

Неравенства Джексона-Никольского, связывающие нормы полинома в различных метриках, важны во многих вопросах теории приближений вложений. В частности, они применяются для получения теорем вложения в стиле Кошошкова Стечкнна и Ульянова.

Многие вопросы теории гармонического анализа и теории приблнж ний функций многих переменных тесно связаны с оценками норм в различных метриках ядер, подобных ядрам Дирихле.

Вопрос об актуальности исследуемых в диссертации тем более подробно изложим на примере одного нашего результата из 1-го раздела, относящегося к основным (из которого также будет вытекать естественность других задач, изучаемых в этой диссертации).

Классические неравенства Джексона и Бернштейна для 1 < р < ос п /е!/(0,2тг)

Еп(ЛР «-'(/фр

т= О

соответственно на случай разных метрик в определенном смыс.

\мым образом были перенесены М.А.Жайнибековой (как комбинация неравенств П.Л.Ульянова и Д.Джексона) и автором: 1<Р<?<оои / е Ьр(0. 27г). то

Еп(Ля «

(п= 1,2,...),

_пг=п~ 1

(А- = 1,2,

(1)

1^ 1

т=О

+

+

£ тМ&М

(п — 1,2, ).

(2)

(обозначения и исторические сведения с дальнейшими ссылками на литературу приведены здесь ниже и в самой диссертации).

В многомерном тригонометрическом случае в качестве одного из возможных неулучшаемых аналогов неравенства (1) выступает следующая двусторонняя оценка

(N=1,2, ). (3)

Обсудим данное соотношение.Пусть дано нормированное пространство У числовых функций, определенных на измеримом множестве 13 С Яв пусть Г С У Для п- мерного подпространства Мп пространства У довательно положим

вир £,0(а..У)(/)9

пег-ч.М')

£(/;Л/„)у = \\/-д\\у,

E(F:Л/n)y =ЙирЕ(/;Л/„)у; (4)

/е-р

Д)у Е(Р\ Мп)у. (5)

{М,,} есть множество всех возможных п-мерных подпространств У Д, С {Мп} В случае Д, {М?} величина (5) есть поперечник по Колмогорову. множество Д, составлено из подпространств.

натянутых на всевозможные п тригонометрических функции е2"<г е2-(т{п1х) тригонометрический поперечнпк.

Изучению различных видов поперечников посвящена обширная литература. Вместе с тем, изучение величин вида (4). это. в частности, следует из (3), является самостоятельной дачей, отвечающей на ряд содержательных вопросов, и потому естественной и перспективной задачей.

Действительно, в двусторонней оценке (3) содержится большая информация.

Во-первых, здесь содержится точная количественная информация об аппроксимативных возможностях полиномов с достаточно произвольным Л- спектром относительно функций данного класса.

Именно,каждая функция Л опредс. чных подмнож

расширяющийся до последовательность спектров, конкретизация которых в виде С}(А. Лг) осуществляется посредством параметра V Тог; для данного класса ^ = БН^ обобщенного класса Никольского с ограниченной смешанной разностью в (4) получен точный порядок наихудшей (и тогда остальные не хуже)из наилучших приближений функций этого класса тригонометрическими полиномами со спектром из С](А. V) в метрике 1Лтем самым, определены аппроксимативные возможности агрегатов приближения данного типа в данной метрике данного класса функций.

Также отметим, что соотношение (3) один тот же вид

всех размерностей в, влияние которых проявляется опосредованно кратность ряда и количество переменных в определяющих спектр п к. функциях Л и

Во-вторых, она позволяет при заданном точек спектра вычис

ить геометрию Л- спектра с наилучшими аппроксимативными возможностями одновременно, вычислить точный порядок оптимальной Л-аппроксимацин. Для этого достаточно по заданной функции V. выделить спектр "больших слагаемых "ряда в правой части (3):

Ее = 2|;п:|1(?-1)о9(2-п) > £ > о} (б)

поскольку если из данной суммы неотрицательных чисел нужно уда-заданное число слагаемых таким образом, чтобы оставшаяся часть нме. наименьшее значение, то. разумеется, надо убрать самые большие по значению.

Для иллюстрации остановимся на конкретизации (3) в модельном случае:

и. 0 = П*5 (г>°)' N = 2* (к =1,2,...). (7)

j=l

Тог; согласно (6), имеем £ = 2~ к = 1,2,

Ег = Ак = {пег*_ 2||п||1(р~1)2-,?г11п1Ь > 2~к > о} =

= {пе^ \\n\h (гя- £ + 1) <&}

Для обеспечения теоретико-множественного равенства А*; = Г(Л,2А:), чательно. чтобы А- спектр был достаточно широким. Легко видеть, что это равенство выполнено в случае

£

= 0 = гя-- + 1 > О,

7=1 Р

при этом соответствующий экстремальный спектр есть

<Э(Ль2*) = |т 6 г3 2п*~1 < \rnjl < 2= 1, ...,5), ЦпЦх < | (п £ г3+)| -

ступенчатый гиперболический крест с числом точек М, М х 2^/с^-1) Возникающая при этом погрешность имеет порядок

Цп||1>4

Е 2-" Е 1

15 пересчете на число гармоник

1 т (а-1)(Л-1)

к 5-1

2

(м

-к'

(М1пМ)-{г-р+я\1пМ)я,

что в свою очередь соответствует порядку ортопоперечника, вычисленного В. Н. Тем л я ковы м.

Таким образом, в соответствующих известных случаях оптимальные порядки Л-аппроксимации совпадают с известными результатами о тригонометрических и иных поперечниках, имеющих длительную историю развития.

В-третьих, получен ответ на вопрос "Как хорошо частичные суммы тригонометрического ряда Фурье с наперед заданным К-спектром приближают функцию / 6 вНр- по сравнению с максимально возможным?"

В-четвертых, соотношение (3) представляет собой нсулучшасмую прямую теорему теории приближений разных метрик.

И, наконец, в - пятых, соотношение (3) в качестве многомерного случая с точными порядковыми соотношениями естественным образом вписыв-ется в общую задачу (4). также имеющую респектабельную историю возникновения и развития. Впервые в 1937 г. в одномерном случае Фавар и Ахиезер-Крейн получают точные равенства

sup En{f)c = sup inf

JWi(O.l) e 11^(0.1)^

f(x) — f + ^ a^coskx + bksinkx

k=\

1 4 ^ (-i)'-e-»

„-r-Zwot I 1V+1: ^°>

7Г 7Г — (2k + 1)' A-=0 4 '

(9)

а С.М.Никольский в 1946 г. асимптотическое равенство

sup Eln(f)c = ^ + o(-^—)

где E^(f)c есть наилучшее приближение функции /(не обязательно периодической) при помощи алгебраических многочленов степени п— 1 на отрезке [-1,1].

В дальнейшем, точные одномерные результаты по задаче (4) получены другими математиками, главным образом в научной школе Н.П.Корнейчука (см.1 и имеющуюся в ней библиографию). Как правило, точные и асимптотические равенства типа (8) и (9) получают в одномерном случае, а в многомерном, за редким исключением типа гильбертовых пространств порядковые. Соотношение (3) относится к последнему.

Тем самым, задача (4) имеет самостоятельное значение и свою историю, не всегда сводящуюся к задаче (5). Более того, поперечники по Колмогорову не всегда совпадают с тригонометрическими и тому подобными поперечниками (например, это следует из результатов Б.С.Кашина по вычислению поперечников одномерных классов Соболева).

В цели настоящей диссертации не входит исследование поперечников (5), вместе с тем не исключено, что во всех случаях функции Г>. а только в степенном случае (7). выбор (6) "больших слагаемых"в (3) дает

'Корнейчук Н.П. Точные константы в теории прнблнж .: Наука. . 320 с.

^ соответствующего тригонометрического поперечника и искомого-экстре: льного спектра,

В свете вышеизложенного представляется целесообразным изучение в случае А- спектра и Г2- гладкости задач, ставших классическими в теории приближений и вложений: неравенств Джексона-Никольского и Бернштей-чюк ядер Дприх. самих вложений 2-я Глава и. как пример применения, получены новые оценки в теории численного интегрирования, составляющего содержание Главы 3.

Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе рассматриваются некоторые задачи многомерной теории приближений в случае ра: метрик.

Перечислим цели и основные задачи исследования:

1) Получить неулучшаемые прямые и обратные теоремы теории прибли-

лучае разных метрик, в условиях задания спектра приближающих тригонометрических полиномов мажорантной функцией.

2) Изучить неравенства Бернштейиа и Джексона Никольского для тригонометрических полиномов со спектром, определяемым мажорантной функцией.

3) Изучить ядра Дирихле с достаточно общим спектром.

4) Доказать теоремы вложения для обобщенных классов Никольского п Бесова с доминирующей смешанной разностью.

•5) Построить квадратурные формулы для обобщенных классов Никольского и Бесова с доминирующей смешанной разностью, обобщенных классов Соболева с доминирующей смешанной производной с указанием эффективного лгоритма нахождения оптимальных коэффициентов многомерной квадратурной формулы.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют методы современной теории функций. В работе используется математический аппарат теории приближений, теории вложений и численного интегрирования.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие новые результаты:

1) Получены неулучшаемые прямые и обратные теоремы теории приближений в случае разных метрик, в условиях задания спектра приближающих тригонометрических полиномов мажорантной функцией.

2) Найдены точные порядки супремума значений наилучших приближений функций из обобщенных классов Никольского со смешанной разностью, выраженные в виде сумм, связывающих мажорантные функции

3) Приведены обратные теоремы теории приближении тригонометрическими полиномами для пространств Лоренца в одномерном случае.

4) установлены неравенства Бернштсйна и Джексона Никольского для полиномов со спектром, определяемым мажорантной функцией, различных конкретизациях которых показана точность полу1

нок.

5) Для ядер Дирихле с лостаточно общим спектром получены неу шаемые оценки норм и норм их производных (в том или ином с мы с.

6) Найдены необходимые достаточные условия вложения к; функций, характеризуемых только поведением наилучших приближении.

7) Доказаны теоремы вложения для обобщенных классов Никольск и Бесова с доминирующей смешанной разностью.

8) Построены квадратурные формулы для обобщенных классов Ни ко., ского и Бесова с доминирующей смешанной разностью, обобщенных классов Соболева с доминирующей смешанной производной с указанием эффективного алгоритма нахождения оптимальных коэффициентов многомерной квадратурной формулы.

9) Приведен критерий равномерной распределенности сеток Коробова в терминах алгебраического многочлена. Берну,

Научная новизна исследования. Все резу, 'аты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость исследования. Диссертация представляет систематический научный труд, направ.. решение актуальных задач теории приближений. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Пре; гаемый математический аппарат может быть эффективно использован при решении задач теории приближений, теории вложений и интегрирования. Полученные результаты могут применяться в учебном процессе при чтении спецкурсов студентам, магистрантам и аспирантам ф и з и ко- м ате м ати ч е с к и х с п е ц н а л ь н о ст е й.

Апробация результатов исследования. Основные результаты г сертации были представлены на следующих семинарах и конференциях: на совместном заседании Кафедр математического анализа, теории функций и приближений и отделения математики НИММ им. Н.Г Чеботарева (Казань. Казанский (Приволжский) федеральный университет, кабрь 2008 года);

на семинаре "Тригонометрические и ортогональные ряды "под руководством академика РАН П.Л.Ульянова и профессора М.К.Потапова (Мое: ква. МГУ им. М.В.Ломоносова, 2006 год);

на Выездных семинарах в г. Астане (2004-2008 годы) профессоров' МГУ им. М.В.Ломоносова - механико-математического факультета Г.И.Ар-хипова и В.Н.Чубарнкова, факультета ВМК член-корр. РАН Д.П.Косто-А.С.Ильинского. М.М. Хапаева; па семинаре Кафедры математического анализа и Института теоретической: математики и научных вычислений под руководством профессора Н.Темиргалпева (Астана. Казахстан. Евразийский национальный универ-1.Н.Гумилева. 2004 2010 годы);

wini-iape Кафедры функционального анализа и теории вероятностей '1 руководством профессоров Н.К.Блиева, К.Ж.Наурызбаева и тюцента Н.Е.Аканбай (Алматы. Казахстан, КазНУ имени аль-Фараби, 2004 2009 годы):

Расширенном заседании лабораторий функционального анализа, мэрии аппроксимаций, уравнений математической физики (Алматы, Ка-Инстнтут математики МОН, май 2007 года); win паре Лаборатории теории аппроксимаций под руководством профессора А А. Женсыкбаева (Алматы, Казахстан, Институт математики МОН. январь 2006 года);

на семинаре "Дифференциальные операторы и их приложения "механико-математического факультета (Алматы, Казахстан, Казахский нацио-льный университет имени аль-Фараби, сентябрь 2004 года);

на III конгрессе Всемирного математического общества тюркоязычных стран (Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан. 30 июня 4 июля 2009 года);

а также на международных научных конференциях в Казахстане (20002009 годы) с участием академика РАН С.М. Никольского, член-корр. РАН О.В. Бесова, член-корр. РАН Б.С.Кашина, Полного профессора университета Южной Каролины В.Н.Темлякова, профессоров В.А. Андриенко (Одесса. Украина). В.Г Кротова (Минск, Белоруссия), В.И.Иванова (Тула, ТулГУ). М. Л. Гольд мам а (Москва, РУДН), Г.А.Калябина (Москва, РУДН), A.A. Кореновского (Одесса, Украина). A.M. Джураева (Ош, Киргизия), .J Schneide (Prague. Czechia).

Публикации. Результаты, основные положения и выводы диссертационного нее. товання отражены в 46 публикациях в периодических издани-wiaTiniecKHx сборниках. В том числе 7 статей опубликованы в жур-онре; ленных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации ре-'льтатов научных исследований. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация

является самостоятельным исследованием автора. 39 опубликованных научных работ по исследования выполнены без соавторов. 7 работ написаны совместно.

Структура и объем работы. Диссертационная работа сос введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание тации), трех глав, выводов и списка цитируемой литературы. Библиографический список состоит из 202 наименования. Полный объем диссертации составляет 186 страниц машинописного текста.

Нумерация параграфов производится двумя символами. Например, мером 1.2 обозначен второй параграф первой главы. Нумерация теорем, следствий в тексте диссертации в каждом параграфе (например,

теорема 1.2.3 соответствует теореме 3 второго параграфа первой viani>i). а нумерация формул в каждой главе своя.

Краткое содержание диссертации

Пусть 7rs [—тг, 7r]s-s-McpHbiñ куб, Lp(tts) (1 < р < ос)-мпожсство всех измеримых 2ж- периодических по каждой из s переменных функций f(x) = f(x\, ,х3) таких, что

\f(x)\pdxj < оо, 1 < р < ос,

= игаг sup |/(х)| < оо. р = ос.

Р X€~s

пусть также

¿5(тг.) = |/ € Ы(1т.) У' f{x)dxj = о и = 1. 3 )|

Для подмножества В евклидова пространства И8 через Вц п В- обозначим множества, состоящие из всех элементов х = (хь ....х3) 6 В. мая компонента которых неотрицательна и положительна соответственно.Через как обычно, обозначим целочисленную решетку Л5 Для п £ положим \\n\h = щ+ = (2-"1. ,2"п»).

Для / € Ьр(ж8) определен смешанный модуль гладкости поря,.

к ez+ = zl

SlkU\t)P = tokUM,.:,ta)p= sup |К/(я)||р (í€[Ofl]e),

'ДО Д*/(х) = А^.ЛЩх), д*л = д^дг;1),

При 5 = 1 также обозначим

Для тайных чисел 1 < р < оо, 0 < п < < г5 класс Никольского

5 Яр1..... состоит, по определению, из всех функций / 6 Ьр(тг8) таких, что

для смешанного модуля гладкости порядка к > г$ выполнено

з

¿=1

Бо..; тонкая классификация функций по гладкости в метрике Ьр{и3) состоит в замене в этом определении функций на общие функции типа моду; гладкости.

И, наконец, наиболее естественный общий случай состоит в замене мажорантной функции в правой части (10) на функцию типа смешанного модуля гладкости 0(£) 0,^1, ...Л3) непрерывной на [0,1]5 функции, являющейся функцией типа модуля гладкости порядка к по каждой из переменных при фиксированных остальных (здесь и в дальнейшем, выражение "при фиксированных остальных переменных"будет означать, что константа в соответствующем определении не зависит от этих переменных); полученный при этом класс функций / Е Ьр0{-кв) обозначим через БН^

Если / Е Ьр(тт3), то через обозначают наилучшее приближе-

ние (в Ь1') функции / полиномами из Т(С?), где С? - конечное множество точек Zs а

T(G) = lt(x) í(;r) = ^cne¿^l l neG J

В нашей работе спектр G будет задан посредством непрерывной на [0. l]lS функции A(t) = A(¿i, ts), неубывающей по каждой переменной при фиксированных остальных и такой, что Л(t) > 0 и Л(£) = 0 смотря

S S

rio тому П tj > 0 пли f] tj - 0. j=i j=i Определим следующие множества (N > 0):

Г (Л, N) = {п Е Z% А(2~п) > = Za+\T(A,N)

р(п) = {т = (ть тп3) Е Zs ' 2п*~1 < < 2"'} (n Е Zs). Q{A. N) = U Р(п).

п бГ(Л.Л-)

Основными понятиями теории приближений являются понятия наилучшего приближения и модуля непрерывности (гладкости), отражающие соответственно конструктивные и структурные свойства функции.

В одномерном случае взаимоотношения между этими принципиально различными характеристиками функций впервые были установле Д.Джексоном и С.Н.Бернштейном.

Именно, Д.Джексон доказал, что 27т- периодическую функцию от одной переменной f{x), имеющую непрерывную производную порядка г можно приблизить тригонометрическими полиномами ¿„(о;) так, что отклонение Ьп(х) от f(x) удовлетворяет неравенству

||/(*) - Ш\\с < С(г)-и г";с (п = 1.2....).

пг

С.Н.Бернштейном было доказано, что если 27т- периодическая непрерывная функция / такова, что при заданных числах г-целом неотрицательном и а, 0 < а < 1, для некоторого С\ > 0 и всякого п > >0 существует тригонометрический полином 1п(х) порядка п такой, что

||/(я)-*„(*)Не < °1

пг-га ■

то

f{x) = tno(x) +р(х),

где <р(х)- непрерывная 27г-периодическая функция, имеющая непрерывную производную ср(г)(х) ,при этом

Чтобы получить аналогичный результат в случае а = 1 необходимо, как это впервые заметил А.Зигмунд, перейти модулю непрерывности (гладкости) 2-го порядка.

В дальнейшем, оценки наилучших приближений функции (в некоторой метрике) через ее модуль гладкости (в той или иной метрике)- прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона, и оценки мо;. ля гладкости функции (в некоторой метрике) через ее наилучшие приближения (в той или иной метрике) тригонометрическими полиномами обратные теоремы теории приближений пли теоремы типа Бсрнштейна. были обьектом исследований многих поколений математиков.

Все эти исследования относились к случаю прямых и обратных теорем теории приближений в одной метрике. Известные случаи разных метрик (в определенном смысле) не были окончательными.

Окончательность сформулированных выше в (1) и (2) прямых и обрат-пых теорем теории приближений в рамках подхода П.Л.Ульянова следующим образом выражается в терминах теорем вложений 1 < р < д < оо:

Щ С ЕЛ А)

Е

Z-2 Tflp

m

= О(Хп)

(И)

Ер(А) С Я»'

+

гтг=0

1

(12)

Ер{\) = {f{x) е Щщ) En(f)p = 0(An) (n-oo)},

где A = {An} положительная, убывающая к нулю последовательность.

Заметим, что полученный П.Л.Ульяновым2 Д.Джексоном и М.А.Жай-ппбековой3 критерий (11) позже обобщен на случай производных H.A. Ильясовым4 аналогичный (12) результат, но в несколько иной постановке независимо от нас получен им же0

Первая, основная, задача данного исследования состоит в получении неусиляемых прямых и обратных теорем теории приближений в случае функци .многих переменных ей посвящена первая глава диссертации.

Тем самым, речь идет о распространении неравенств (1) и (2) на многомерный случаи.

В первой главе диссертации, изучаются приближения периодических функции многих переменных тригонометрическими полиномами. Спектр приближающих полиномов содержится в множествах, порожденных поверх-

уровня функции A(i). Именно, для Q(£) A(t), подчиненных некоторым условиям регулярности, при 1 < р < q < оо получены оценки наилучших приближений функции (в L'1 ) через ее смешанный модуль

"Ульянов П.Л. Вложение некоторых к; nil АН СССР. Сер.м 1968.

32. .V 3. С. 649-686.

3ЖаГшп6екова М.А. О соотношениях между модулями непрерывности наилучшими приближениями в ра:шых метриках и некоторые многомерные теоремы вложения: Автореф. капд.физ.-мат.иаук: 01.01.Ü1. Алмагы: ИММ. 1985. 14 с.

'Ильясов H.A. К прямой теореме теории приближений периодических функций в разных метриках

Труды МП РАН. 1997 Т. 219. С. 356-377

'Ильясов H.A. Обратная георема теории приближений в разных метриках 1991. Т. 50. Л'5 6. С. 57-65.

гладкости (в Ьр) прямые теоремы теории приближений тсоре. типа Джексона разных метрик, и оценка смешанного модуля ладкостп функции (в и1) через ее наилучшие приближения (в Ьр ) тригонометрическими полиномами обратные теоремы теории приближений ремы типа Бернштейна разных метрик.

Приведем основные результаты главы 1. чему предпошлем некоторые н еобход и м ы е о и р е д е л е н и я.

По С.Н.Бернштейну, функция 1р(Ь) называется почти возрастающей (почти убывающей) на [0,1]. если существует постоянная С > 0 такая, что < Сф(г2) {фг) > С^и)) для всех 0 < ^ < и < 1.

Нам также потребуются некоторые ограничения на мажорантные функции О (¿).

Функция одного переменного у (г) > 0 удовлетворяет условию (5а) ((5а)) при а > 0, если <р(т)/та почти возрастает (почти убывает) на (0.11. Так же вводится условие (5) на у{т) как выполнение условия (5Л) некоторого а'. 0 < а < 1, и в этом смысле (5) = и (5а).

0<а<1

Будем говорить, что Г>(£) = ^(¿ь ts) удовлетворяет .ловням (5" и (5а) при а = (а:!.а6), если соответственно при ждом 1 1. функция удовлетворяет условиям (Б^) и ) по переменной 1] при фикс и ро в а н н ы х остал ь и ы х.

Также всюду ниже мы будем пользоваться обозначениями -С Л А х В. При положительных А и В запись В -С А будет означать В < С(а,{3....) А где С(а./3, ) некоторые положительные постоянные зависящие лишь от указанных в скобках параметров. запись .4 В означает А В «С А. Вообще говоря, всюду ниже параметры а. однозначно определяются по смыслу утверждений, поэтому, в целях сокращения записей, их указывать не будем. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < с[ < ос, к— лое полоэ/сительнос число и Л(£)- непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0.1]"'

функция такая, что Л(£) > 0 и Л(£) - 0 смотря по тому П 0 > 0

7 = 1

5

Л Ь) = 0. И пусть Г2(£)— функция типа смешанного модуля гладкости

3=1

порядка к. удовлетворяющая условиям (5а) и (5.з) при некоторых а = (а.'1,.... а-в). 0 < а, < 1 0 0$) 0 < & < к (г 1.

соответственно. Тогда для того, чтобы имело место вложение

ЗНр С ЬЦпа).

(13)

необходимо и достаточно, чтобы

2Иа(р-1)п«(2-п) < оо,

nezi

при выполнении неравенства (14) справедливо соотношение (./V" > константа в (15) зависят лишь от р,д,О..А)

sup £q(a,v)(/)î /езя?

2l|n|ll(p~1)Q'7(2"n)

пег-чл.лг)

(15)

Теорема 1.3.3.Пусть 1 < q < р < оо, р > 2, к— целое положительное ло и A(t)~ непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [О, l]s

s

функция такая, что l\(t) > 0 и A(t) = 0 смотря по тому П tj > 0 или

з=1

П tj = 0. И пусть Q(t)— функция типа смешанного модуля гладкости

j= 1

порядка к удовлетворяюш,ая условиям (Sa) и (Sp) при некоторых = (ai, as). 0 < a, <1 и /3 = (А, ...,&) 0 < Д- < к (г 1 ,...,s) соответственно. Тогда (N > 0)

sup EQ{A.N](f)q feSH?

i

пбР-(Л.ЛГ)

Сравним теоремы 1.3.1 и 1.3.3 с аналогичными результатами из работ6 и' Н.Н.Пустовойтова,

в

Во-первых, в частном случае Л(£) = П tj оценки сверху в (15) совпа-

з=1

дают с утверждением теоремы 3 из [6], носящими характер достаточного ■ловня. Во-вторых, в работе [7] изучается только случай А(£) = П(£) когда спектр приближающих полиномов жестко связан с мажорантой Г2(£), в то время как в нашем случае Л(£) и Г2(£) ^зависимы. Как показывает сравнение нашей теоремы 1.3.3 с теоремой 1 из [7]. это обстоятельство существенным образом отражается на самом виде окончательного результата. В-третьих, теорема 1.3.1 применима при менее стеснительных ограничениях на Г£(£) нежели теорема 2 из [7]. Имен-

1992.

''Пустовонтов H.H. Многомерная теорема Джексона в пространстве Lp Т. Г)2. - .\'= 1. -С 100-113.

' Пусчопомтоп H.H. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных ., лен непрерывности Матем. :заметки. 1999. Т.65.-.Y* 1. С. 107-117.

1С

но, в [7] при дополнительном условии принадлежности ЩЬ) множеству

и (16)

получено соотношение (1 < р < д < оо)

вир Яд(я.л')(/)9 ~ ^-

пе ±(Г2,Л")\Г-(0.2'\\:)

В теореме 1.3.1 условие (16) расширено до естественных границ и носит окончательный, в применяемых терминах, характер. Так, функция

= п й >1 =

j=l *

не принадлежит множеству (16). и потому соотношение (17) не применимо. Вместе с тем, для Г2х(¿) выполнено условие (5°) при а = ^ — ^ силу теоремы 1.3.1 получаем содержательный результат

1

51Ф ЕстМ^ч ~ Е П ^Т/

Наши результаты (Теоремы 1.3.1 и 1.3.3) подтверждают известные факты, что естественным аппаратом для приближения функций из 8Н'р являются полиномы с гармониками из гиперболических крестов.

Пусть -заданная одномерная функция типа модуля ладкостп

порядка к, удовлетворяющая условиям (5°) (0 < а < 1) (5.^) некотором 0 < Р < к. Зададим смешанный модуль гладкости порядка к следующего специального вида:

(18)

Легко видеть, что для такого выполняются все свойства смешанного модуля гладкости порядка к.

Положим

А'

Л1(*) = Ш (7,->0 0'= 1,2,...,*)). (19)

7=1

Теперь сформулируем некоторые следствия из теоремы 1.3.1.

Следствие 1.3.6. Пусть 1 < р < д < ос. к- целое положительное число и 7 7х - ... - 7„ > > > 7я > 0. одномерная

функция типа мо; 'ля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям' (Sa) и (5.з) при некоторых j - ^ < а < 1 и 0 < (3 < к. Тогда

sup EQiAl.2n){f)4x2-№-l>n'?u>k{2-*) (n = 1,2,...).

Следствие 1.3.6 при 7, = 1 (г = 1,..., s) ранее было доказано Н. Н. Пустовоптовым1

Следствие 1.3.8. Пусть 1 < <j < р < оо, р > 2, 7 = 71= = Ъ > ,.„_! > > 7s > 0 и удовлетворяет условиям следствия 1.3.6. Тогда

sup EQ{Alon)(f)q х (n = 1,2,...).

eSHp

Также отметим следующую теорему.

Теорема 1.3.4. Пусть параметры р и q удовлетворяют одному из ■ледующ ах условий:

1) 1 < q < р < оо, р > 2;

2) 1 < q < р < 2;

Пуст далее, г > 0. к— -целое положительное число и А(¿) — функция типа смешанного модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Sa) и (Sj) при некоторых q (cti,..., a-s), 0 < < 1 и (3 = (/3i, в8), 0 < в-, < к (г = I, 5), соответственно. Положим П(£) = iY{t). Тогда (N > 0)

1 S=1

sup EQ{jVN){f)q X — {log2N) "О feSHW

где ро = min(p. 2).

Эта теорема при г = 1 была доказана Н.Н.Пустовойтовым7

Теперь приведем многомерный аналог неравенства Бернштейна- обратную многомерную теорему теории приближений разных метрик.

Справедлива

Теорема 1.3.6. Пусть 1 < р < q < 00, 1 = т\ < то < < т3, u)k функция, типа модуля гладкости порядка к и {Ап}- последовательность положительных чисел. А„ [ 0 (п | ос). Пусть функция А(£) удовлетворяет ловию (ST) на (0. l]s при т - (т\. т3). А(1) - 1 и A(ti,.... ts)/t\ невозрастает на (0.1] при всех фиксированных (¿2, ■■■■,ts). Тогда для того чтобы имело место вложение

Ер.\{\) С SHf ■необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие

II»

2*INIi

¿г'^-Ол,*

/=0

+

£

HHii + 1

= Ш)

где

ЕрЛ(А) - [f(x) e ^(tts) £Q(a.2")(/)p = 0(A„) (n —► oo)}.

В четвертом параграфе главы 1 изучены некоторые свойства пространств типа S пространств Бесова со смешанным модулем гладкости порядка к.

Через SB^e (1 < <7 < 00, 0 < в < оо) обозначим пространства функции / Е Lq(0, 1)s для которых конечна полунорма

/

\fWsB" =

\

< 1.

/

9 и SBq-g имеют своим источником классические прос-

I lilk{f;t)q/il(t)]eY[tJldt

Пространства SHp транства Липшица и Гельдера. Аналоги пространств Липшица и Гельдсра изотропные и анизотропные - пространства H'ql (пространства Николi: ского) функций многих переменных ввел С.М.Никольский. Обобщения этих пространств (пространства Бесова) определил О.В.Бесов. Пространства функций, производная которых удовлетворяет кратному условию Гельдера. ввели С.М.Никольский тля функций в Rn и H.G.Бахвалов функций на Тп Аналогично тому как в связи с классами Ни ко. были введены классы Бесова, в работе Т.И.Аманова в связи с функций с "доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера"былп введены аналоги классов Бесова SB'q0 классы Никольского Бесова Аманова. Затем эти результаты были обобщены в работе О.В.Бесова. А.Д.Джабраплова. В работах Я.С'.Бугрова и М.К.Потапова изучались Я-классы при помощи приближения

Отметим ряд результатов, предшествовавших нашим результатам.

Для обобщенных классов Никольского SH^ условия вложения класса в пространство Lq(0. I)5 (1 < р < q < ос) при некоторых ограничениях на функцию Q(t) были получены в работах Дпнь Зунга^ H.H.

8Дннь Зунг. Приближение функций многих переменных полиномами /Матем. сборник. 198G. Т.131. №2. С. 251 271.

торе тригонометрическими

Пустовойтова9 Этим утверждениям предшествуют работы многих математиков. берущие начало с одномерного результата П.Л.Ульянова 2

Задача влож -лассов SB'p];;- в пространства Lq(0. 1)s и SB^f " также хорошо и:

Приведем один пз критериев вложения обобщенных классов Николь-Бесова Аманова SB^e, где указан вид взаимоотношений между он редел я ющ и м и к л ассы и араметрам и.

Теорема 1.4.5. Пусть 1 < р < q < оо, < f < оо, Q(£) и ÎT(t)— функ типа смешанного модуля гладкости порядка к и I :,оответственно, удовлетворяющие условию (S). Пусть fi-(i) удовлетворяет условию (¿V)- a Q*{t)— условию (Si). Тогда для того чтобы имело место вло'жеиие.

SB р. зс С необходимо и достаточно, чтобы

Здесь и в дальнейшем, будем говорить, что функция многих переменных Q(t) > 0 удовлетворяет условию (Sk) ((5jt)) при целом положительном к > 0, если Q(t) удовлетворяет условию (Sa) ((5Q)) при 0 < aj < к (j = 1..... s). Так же вводится условие (S) на </?(т) как выполнение условия (Sa) для некоторого а, 0 < а- < 1, и в этом смысле (S) = U (5а).

0<а<1

В четвертом параграфе главы 1 также получены многомерные прямые теоремы теории приближений с заданной мажорантой в пространстве БесоВ при конкретпзацнях определяющих параметров, содержатся результаты пз работ Sun Yongsheng, Wang Heping10 A.C. Романюка11 С.А. Стааока12 имеет место

Теорема 1.4.6 Пусть 1 < р < q < оо, 1 < в < оо, 7 = jj > 0 (j =

s), к- ■целое положительное число. одномерная функция типа

модуля гладкости, порядка к удовлетворяюгцая условиям (Sa) и (S3)

- — - < Q' < 1 и 0 < в < к. Тогда р ч

!'Пустовонтов II.Н. Представление н приближение пернодпческнх функций многих перемен жданным смешанным модулем непрерывности Anal.Math. 1994. V.20. P. 35-48.

"'Sun Yongshong. Wang Heping. Repiezentation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness Труды МП РАН. 1997. T.219. - С.356-377.

"Ромашок А.С Прнб. классов Бесова пернодпческнх функций многих переменных в

пространстве L4 Украинский мате, .журна; 1991. Т.43. Л'! 10. - С. 1398-1408.

1_!Стасюк С.А. Нанкрапп наближеипя, Колмогорова.^ та трнгопомсгрнчш поперечинки K.iacciB B'l„ iiopio.iiiHiiHx функщй баппъох -jmhihiix Украинский матем.журнал. 2004. T.56. >11. С. 155 7-1507.

sup l)(rl)^(2"? [n = 1.2.

где a = max(a, 0), а функций Q\(t). Ai(t) определены как в (18) соответственно.

Оценка сверху в теореме 1.4.6 при 1 (г ...,s) ранее б ло

доказано в работе [10].

В первой главе диссертации нами также была получена обратная теорема теории приближений для пространства Чоренца. Для форму; этого результата напомним некоторые определения.

Всякую непрерывную, неубывающую, выпуклую вверх на отре" функцию ift(t) такую, что ф(0) 0 называют ^-функцией. Опре, соответственно "нижний"и "верхннй"нндексы (¿-функции w(t) следующим образом:

— lim . . , и ,а0 = lim——.

F=^o w(t) t^о i»(t)

Пусть даны число q > 0 и <р- функция ij.'(t). Тогда определим пространство Лоренца А(-0, д) как класс всех периодических измеримых функций / для каждой из которых конечен функционал

{2тг t \ Уч

J№)\I r(x)dx]qj

о о

где /*-невозрастающая на (0,2тг] перестановка |/|.

Справедлива

Теорема 1.2.2. Пусть и ф? — функции такие, что 1 < а, , в1 < (3Vl <2 и пусть 0 < p,q < оо. Пусть к-целое положительное число. wjt(<5) -функция типа модуля гладкости к -го порядка. А {А„}- последовательность положительных чисел. А„ 0 (п | ос). Если выполнено условие

i fs» «•'-' =

s=0

то для того чтобы имело место вложение

необходимо и достаточно, чт.обы

{ £ =

L 3 J

Достаточная часть теоремы справедлива при произвольных iph^ и А без каких-либо ограничений.

Прямая теорема теории приближений для пространства Лоренца была получена в13

Другой задачей, составляющей содержание данной диссертации, являли. изучения поведения тригонометрических полиномов из T(Q(A, N)) по отношению к двум группам вопросов (им посвягцена вторая глава диссертации).

Здесь первая группа вопросов касается неравенств Джексона-Никольского и Бернштейна (нормы полинома и его производной (в том или ином смысле) измеряются в метрике пространства Lp 1 < р < эо).

Сначала приведем определение обобщенной производной в смысле Вей-

Пусть на Zs определены функции, или, что то же самое, последовательности: действительнозначная D(n) и а(п) = (а\(п), ...,а$(п)) со значениями из Rs В случае, когда а(п) = а = (ai,.... as) 6 Rs вся последовательность {a'(n)}nez.4 обозначается через ос.

Предположим, что / е L(tts) и

neZ*

-её ряд Фурье-Лебега, а тригонометрический ряд

Щп)е'(Е^Л)/(п)е''('7^ (21)

n6Zs

является рядом Фурье-Лебега некоторой функции. Эту функцию назовем (D, а)-пропзводной функции / и обозначим через f(D\x, a), саму же функцию / — (Z).a)- дифференцируемой.

При D(n) = 1. a = 0 получаем f^(x.O) = f(x). При s = 1, целом положительном г и D(n) a г из приведенного определения, с

людением необходимых оговорок, получаем определение обычной про-зводной а в симметричном случае D(n) п~г (п ф 0),а

"Agaiiiti A.I.. Potapov М.К. On imbedding of function classes H^ into classes £t.,.42(A) Acta Math.Hungar. 1995. T.fi8. .V 3. C. 197-220.

(D, а)- дифференцирование функции / £ L{iti) с /(0) = 0 сводится к г-кратному интегрированию ее ряда Фурье:

ег(п.х) y

J f(t)%{x - t)dt

где

есть алгебраический многочлен степени г при —тг < t < тг. Таким образом, при s = 1 и = |п|7" (п / 0) , а(п) = rsignn для целых г в определении (20) (21) содержится обычное интегрирование при г < 0 и дпфферс! цнрование при г > 0. обьединенное под общим названием "дифференцирование"

Дальнейшее обобщение производной состояло в замене числа под знаком ехр на произвольное \ло а. По-видимому, впервые это было предложено в14 Смысл введения а состоит в том, что при а 2к (к — целое) (D, а)- производная совпадает с производной (D. при а = г + 1 + 2к- с функцией, сопряжённой с (D.r) -производной.

В одномерном случае исследования с привлечением (D. а)- пропзво. с различными условиями на D и а проведены разными авторамп.

Предложенное нами определение (20) (21) есть обобщение операции дифференцирования в многомерном случае. Формально оно сводится к замене множителя Din) а(п) на функции многих переменных. При

0(п) = Л и аДп) = а].здпп] получаем определение (га)- пропзвод-

ной функции /

Начнем с неравенств типа Джексона-Никольского. Для тригонометрических полиномов, имеющих степень п^ по переменной х3. С.М. Никольский10 получил неравенства

14Nady В. Sur une classc generale de procedes de som lation pour les series de Fourier Hung.. Math. 1948. V.l. - 3. - P. 14-62.

^Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных Труды МИАН СССР. 1951. 'Г.38. - С. 244-278.

s

(1 < р < q < ос).

В 'лучае s q оо соответствующее неравенство доказал Д.

Джексон16

Неравенствами Джексона- Никольского называют неравенства, связывающие различные нормы полиномов.

Неравенство Джексона- Никольского для полиномов со спектром из произвольного конечного множества G С Zs ранее изучались многими авторами. В основном развитие этой темы можно классифицировать по "1сдующим характеристикам:

1. по точек спектра полинома

2. по геометрии спектра полинома.

Отметим также, в некотором смысле особняком стоящую, статью Е.С. Смаплова17 где рассматривается следующая задача: указать семейство тригонометрических полиномов T(G) для которой имеет место соотноше-адаиного вида, именно (1 < р < q < оо)

tm{T{G)) = r(T(G)) = sup & x |G|(H),

teT{G) ||i||p

^-количество элементов конечного множества Е. Что касается первой задачи, то имеет место соотношение

r(N) = r(T(G)) = sup О! х N™*(4)(-p-) {N = h 2,...), i€T(G).|G|=jV Flip

-i оценка снизу получена Э.С. Белинским18, а оценка сверху - Несселем и Вплмсом19 (случай 1<р<2,р<д<оо),в общем случае-1 < р < q < оо В.А.Родпным20

Относительно второй задачи отметим результат В.Н.Темлякова21, предшествующий нашим результатам.

Когда G = Q';n есть ступенчатые гиперболические кресты (множество,

5

составленное из всех п таких, что п Е Q{Y\tj 2m) = Q^ называют

з=1

""Джексон Д. Certain problem of closcst approximati Bull.Amer.Math.Soc. 1933.- V 39. P 8S9-90G.

''С'манлов Е.С. О метрических свойств спектра многочлена на неравенства разных

метрик С.М.Никольского пб.матем.журна; 1998. Т.39. S5. С.1157-1163.

18Бе. :кнй Э.С. Две экстремальные задачи для тригонометрических полиномов с заданным числом гармоник Матем. заметки. 1991. Т. 49. ifs 1. С. 12-18.

1U Nessel R..1.. Wilmes G. Nicolskii type inequalities for trigonometric polinomials and entire functi

.]. Auhiral.Math.Soc. 1978. Ser.A. V 25. P. 7-18.

20Po: B.A. Неравенства для тригонометрических полиномов с лакунами в пространствах Lp

Исследования по теории функций многих переменных. Ярославль. 1990.- С.128-133.

-''Тс. лнкои D.H. Приближение функции с ограниченной смешанной производной Труды МИАН СССР. 1986. Т. 17 \ С. 3-112.

ступенчатым гиперболическим крестом) В.Н.Темляковым было полу соотношение (1 = 71 = = 7„ < 7„ч_1 < < 7Й)

т(ВДх2п1И)(т = 1)21 ).

При 2 < р < q < оо и фиксированном С для Т(С) Е.С.Смапловым1' получена оценка

t{T{G)) < {min(\G^\$ \G4-

1 _ 1

Р 9

где р* и р*, р* < р < р* - ближайшие к р четные числа, a Gr - алгебраическая прямая сумма из г равных G слагаемых.

Что касается третьей задачи, если - семейство с-регулярных множеств и G G Ас, то17

1 < р < ? < 00

для каждого тригонометрического полинома i из T(G).

Нами в случае А - спектра установлены следующие теоремы типа Джексона-Никольского и Бернштейна.

Теорема 2.2.5. Пусть даны числа 1 < р < q < ос, 0< < то <

< ts. Пусть функция A(t) удовлетворяет условию (ST) на (0. 1]' при г = (ri,...,rs), А(1) = 1 и A(t\, ts)/tT\ невозрастает на (0.1] при фиксированных (t2,---,ts). Тогда

sup —rpxA^vp <1

Здесь

Qo(A,N)= U p(n),T0(A,N) = {m€Z^ А{2~т) > лег0(л.лг)

р(п) = {т = (ть ..., ms) G Zs [2"i"1] < |т,| < [2П>]} [п Е Z0S).

где [а] целая часть числа а.

Множество функций, удовлетворяющих условиям этой теоремы достаточно широк. В частности, функции вида

A(tut2,...,ts) = t[l Aifatb ts),

принадлежат этому множеству, если Ai (to. t^, ts) удовлетворяет условию (S^.....7Л) на (0,1]*"1 при Г! < т2 < 73 < < г,.

Например, в качестве A(£i, £2,.... ts) можно взять функцию

Mtl.t-2. U)=t? —^-¿7 (0 < i j < 1 (j = 1, ...; s)),

A{ti,t2,-,ts) = О, П tj — 03 = 1

при < To < T3 < < rs и bj > 0 (j = 2,..., s).

Теорема 2.2.3. Пусть даны числа 1 < р < оо, а € 0 < Tjl = < rh < < Tjd , 0 < (3jl = =Pjt<(3jt+1< < (3jd (1 < и < t < cl) такие, что PjmTjl < Pj1Tjm (m t + 1, ...,d). И пусть при каждом jrn Е е = (jhjo, jd) функция A(t) удовлетворяет условию (STj"1) по з,п-й переменной и A(ii,/¿J^1 невозрастает на (0,1] при фиксированных (t\, tj^-i- ^-ы, ts и Л(2-1) = 1. Тогда

sup - -- х Лгл

tsT(Q(A.N)) llwl|p

Рассмотрим функцию A2{t) вида

Л2(i) = A2(ib£2) = . (0 < t < 1),

Л2(0,0) = A2(£i,0) = Л2(0,£2) = 0, 0 < г < к,

Так как г < к,то Л2(£) обладает всеми свойствами смешанного модуля гладкости порядка к. Для выбранной A2(t) положим T(A2,N) = T(N) и <3(А2, N) — Q{N). Имеет место

Теорема 2.3.11. Пусть 1 < р < q < оо, /? > 0, г > 0 и выполнены одно из условий

1)0<&2<61,l + £<p<g<Ti5(l + £);

2) 6i > 0. b2 < 0,1 + £ < р < q Тогда

SUP * (109 N)-^-1.)

teT(Q(.\)) 11цх)||р

Отметим, что функция A2(i) не удовлетворяет условиям теоремы 2.2.5. Поэтому оценки приведенные в теореме 2.3.11 нельзя получить с помощью теоремы 2.2.5.

В этой главе нами также получены неравенства типа Бернштейна для (D.a) производных тригонометрических полиномов из T(Q(Л. Лг)), т.е.

HopiMbi полинома и его {D.a) производной измеряются в метрике пространства Lp (1 < р < оо).

Конкретизируя Л(£), в ряде случаев из приведенных выше утверждений можно получить не только известные оценки.а можно получить точных в смысле порядка неравенств типа Бернштейна и Джексона- Никольского.

Порядковые оценки производных Л- ядра Дирихле. Вторая группа вопросов связана с оценкой норм производных (в том и/ ином смысле) ядер Дирихле по произвольным гармоникам. В дальнейшем, для вектора г 6 Rs при

S

D(n) = D(nu ns) = JJ \щ\Г] aj(n) = rjsgnnj (j = 1,

3=1

(D,a)- производную функции f(x) (если существует) обозначим через f{r)(x).

Для функции Л(£) введем функцию

MQ{А,л-)(*)= Е = Е еКтл) xGRS

пеГ(Л.Аг) т€р{и)

где, напомним,

р(п) = {т = {тъ...,та) G Z* < \т0\ < 2"'} (n G Z%).

Также формально определим (поскольку на самом деле будем изучать -^(Л.ло^))

fq(a..\-)(x) =

пвТ-(\.Х)

Назовем функцию Mq(\.n){x) многомерным Л - ядром Дирих„ Гармоники функции Мд(д,дг)(х) лежат внутри, а функции Fq(,\,.\-){х) вне множества Q(A. N).

Работы К.И.Бабенко, Я.С.Бугрова, Н.С.Никольской. С.А.Теляковского. В.Н.Темлякова, К.И.Осколькова, А.А.Юдина п В.А.Юдина. Э.М.Галеева. М.И.Дьяченко и других показывают что многие вопросы теории гармонического анализа и теории приближений функций многих перс\ тесно связаны с оценками норм в различных метриках ядер, подобных ядрам Дирихле. Для ступенчатых гиперболических крестов точные порядковые оценки норм функций

= F$jV2i¡](x) = F$(x)

в смешанной норме пространства ЬР(7Т8) (1 < р < оо) были установлены и работе Э.М. Галеева22

Нами установлены точные порядковые оценки норм функций М^А Аг^{х)

в Ьр(-ке) (1 < р < оо), а именно справедливы следующие теоремы (всюду ниже полагаем ^ = 0 при р = оо и ро = Ро(р) в соответствии правилом ро ~ р при 1 < р < оо, = 1 при р = оо). Теорема 2.3.7. Пусть 1 < р < оо, ¡3 Е К8 Тогда

Ч Е (22)

р \пе Г(Л.ЛГ) /

Заметим, что такие же задачи в общей постановке для тригонометрических полиномов с монотонно убывающими по каждому индексу коэффициентами, которым относятся ядра Дирихле, изучались М.И.Дьяченко, В. А.Юдиным и многими другими авторами (см. об этом обзорную статью23 имеющуюся в ней библ.).

В частности, оценка сверху24 при 2 > р > 0 < 0 и оценка снизу20 при 2 < р. в < 0 в теореме 2.3.7 в случае ступенчатых гиперболических крестов следуют из результатов М.И.Дьяченко.

Теорема 2.3.8. Пусть 1 < р < оо, (3 £ Функция принадлежит пространству Ьр(тт8) тогда и только тогда.когда

2< оо. (23)

пег1

При этом, если выполнено условие (23), то

Е (24)

Р \пег-кл.лг) /

В соотношениях (22) и (24) даются общий вид оценки ядра Дирихле Мд(л.д-)(дО и функции Ес^^^^х), когда спектр ядра принадлежит множеству. порожденному функцией Л(£). При конкретном выборе Л(£), оценивая

--Га леев Э.М. Порядковые оценки производных периодического многомерного а- ядра Дирихле в ■мешанной норме Матем. сборник. 1982. Т.117(159). - Л'« 1. - С. 32-43.

■JДьяченко M.II. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов Усп. наук.- 1992.- Т 47 .V» 5.- С. 97-162.

-"'Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле п некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах L1' Матем. сборппк.-1993,- Т. 184.- № 3.- С. 3-20.

'•'Djachenko M.I. Multiple trigonométrie sériés with lexicographically monotone coefficients 'Anal, ath..- 1990,- Y. 16. - .V 3.- P.173 - 190.

суммы в правых частях (22) и (24) можно получить ряд известных и новых результатов. Приведем некоторые из них.

Для ступенчатых гиперболических крестов, в случае

ъ > о> = + О' = 1.....а),

г = п= = г„ > г„+1 > > г8, из (22) получаем двусторонние оценки

2Г(1 рТ г > 0;

г = 0; 1, т< 0.

Далее, если г^ < 0 1.....5). то из соотношения (24) вытекает

следующая оценка

( , х

\(--.п)>/1

Эти две оценки известны и, как отметили выше, ранее получены Э.М. Галеевым.

К новым, по крайней мере нам не неизвестным, относится Следствие 2.3.1. Пусть 1 < р < ос, вММ е Я, г > 0 и ,0+1-^ > 0. Тогда

где

а-0 = Ро [0 + 1 - -Р

Ь\Сео < г, ¿2^0 <

Ьт ОП ¡>2ап ■ 1

(1од АО" ' ~ ' т1

_ ь\"о

(1од А") г 1од 1од N б^о < г, Ьоац — г: (1од А")~ г 1од 1од 1\г, Ь^ао = г.Ьоаа < г;

М а0

(1од А/") г б^о < г. Ь2ао > г;

(,1од Аг) г 61 ао > г, Ь2а0 < г:

(,1од г Ьгао > г, 62ло > г. Ь = тт{Ъ\, Ъ2).

В параграфе 2.3 главы 2 также установлены оценки норм функций

т ,

" * д(л.л')1

уАх.а) и Х]{х. а) в норме пространства Ь" при 1 < р < ос п

рассмотрены их точность при некоторых ограничениях на функции Л(£), D{n). а(п).

В параграфе 2.4 главы 2 получены оценки наилучших приближений ли смешанного модуля гладкости порядка к) (D, а)- производной функ-í'(x)(b Lq ) через наилучшие приближения (или смешанный модуль ладкостп порядка к) функции f(x) (в Lp, 1 < р < q < сю).

Во второй главе также приведены применения неравенств Бернштейна и Джексона - Никольского для получения теорем вложения в стиле теорем Конюшкова Стечкина и Ульянова.

В третьей, завершающей, главе диссертации изучается задача чис-■ii а ого интегрирования функций из Н — В-классов "с доминирующей смешанной разностью "и W-классов Соболева "с доминирующей смешан-производной"

Идея представленного здесь исследования заключается в следующем. В случае классов периодических непрерывных функций F(О, l)s ориентиром для подбора оптимальных или близких к оптимальным квадратурных формул служит геометрия множества "больших"коэффициентов Фурье

T£=\mtZs sup |/(m)|>e>ol (25)

[ /6F(0rl)« J

f{m) = J f(x)e~2lri^dx [0.1]'

-тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега, поскольку имеется прямая связь между сеткой узлов в [О, l]s квадратурной формулы и решеткой В в Zs носителя тригонометрических коэффициентов Фурье, выражающей возникающую погрешность приближения.

Так, в случае квадратурной формулы с равными весами и равномерной сеткой узлов имеет место равенство

JQ jj., Hi=l /t„=l m&Z5

В = {(hN ...,lsN) {h, ls) ezs- {0}}

есть характеристическая функция множества Í7. Отсюда видно, что "мепыиенпя погрешности квадратурной формулы надлежит сетку. . то же самое, носитель В коэффициентов Фурье выбрать таким, чтобы

не пересекалась с (25). т.е. "занулить большие коэффициенты "и чтобы сетка имела как можно меньше узлов.

В этом подходе крайними примерами множеств являются шары (у} = тах(1;|^|))

УЦ = {т е т\ + + т2 < И2} и гиперболические кресты

Гд - {т Е Zs Ш1 т8 < Д} определяемые обычными классами Соболева

Щ = ЦОАУ £ 1/М12Иг+ +^г)<1[

I тег° )

и Коробова

£?вг = {/е ДОЛГ 1Дт)1<(т1

соответственно.

Для класса \¥2 при Я х N шар Уд будет соизмерим с наибо; кубом В,у = (—N, N)SПZS для которого УдПВ = {0} а соответствующая квадратурная формула будет иметь неулучшаемую в смысле порядка погрешность.

Но если ту же квадратурную формулу применить для класса то будут занулены лишние гармоники, количество которых в степенной шкале в я раз превышают обьем Ву, как следствие, соответствующая квадратурная формула будет в степенной шкале завышена в э раз.

Получение оптимальных или близких к оптимальным квадратурных формул для классов Коробова и близких к (обычно это к. "доминирующей смешанной производной"н с "доминирующей смешанной разностью"), к которым относятся и классы и 5\vffi

привлечения иных методов, главным образом, теоретико-числовых.

К настоящему времени для классов 5И-/Г(2 < д <ос. гд> 1) на неправильные порядки убывания погрешностей оптимальных квадратурных форму;

Длг X М~г{1од /У)^(2 <д< ос-. 1 < гд)

(снизу В.А. Быковский26 (д = 2. г 2. ). В.Н. Темляков27 (2 < ц <

20Быковскпй В.А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатуриых форму, пространствах с доминирующей смешанной производной н квадратнческих отклонениях сеток Владивосток. Препринт. ВЦ ДВНЦ АН СССР. 1985. - № 23. 31 с.

27Те.мляков В.Н. Об одном приеме получения оценок спнзу погрешностей квадратурных форму. Матем.сборник. 1990. Т. 181. № 10. ' С 1403-1413.

оо. 1 < rq); сверху Н.С. Бахвалов28 (s = 2,г = 1,2,...), К.К. Фролов29 (s, г = 1. 2, ), В.Н.Темляков27 (2 < q < оо, 1 < rq)).

S

А для классов SB'q, порождаемых мажорантой Q(t) = П t- (ri =

i-1

< 'V-ri < < 7's, 1 < г^ < s) установлены следующие неулучшаемые порядки убывания погрешностей оптимальных квадратурных формул

Rn (SHrq) х N~r4log Ny-'il < q < оо, 1 < nq)

(снизу Н.С. Бахвалов30; сверху Н.С.Бахвалов28 (s = 2,г = 1,2,...), В.В. Дубинин31 (1 < q < оо, 1 < ng)),

Rn (SB^r''3) ~ N~ri(log N)*r

(1 < Я < оо 1 < nq, l <в <oo, 1 + ^ = 1)

(В.В. Дубинин32).

Цель работы состоит в построении квадратурных формул для классов SHff SBf~e и S\V^] чтобы одновременно обеспечивалась простота сетки, эффективность и близость к оптимальному алгоритма построения сетки. Простота сетки состоит в ее сверх-экономной записи ({ }- дробная часть)

&=({£<"} (Й)(А=1.....Nl

когда по (s + 1) целым числам (N а\...., as) за х N элементарных арифметических операций легко выписывается сетка произвольного обьема N Отметим, что методы, используемые при решении поставленных задач, в такой форме были предложены С.М.Ворониным и Н.Темиргалиевым. Обозначим SWffi (1 < q < ос) класс функций /(х).таких.что

fW(x,a)eLlMn\\fW(Xia)\\q<l.

Для произвольных г класс SWj¡ хорошо известен. Также отметим,что Е Z% класс SWy аналогичен классу функций / Е Lq(tts) таких,что \\fl% < 1.

Перед тем. как перейти к формулировкам теорем, сообщим, что эффективный алгоритм, согласно которому каждому конечному множеству

^Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегра; Вестник i Сери мох. 1959. Л» 4. С. 3-18.

"'Фролов К.К. Оценки сиерху погрешности квадратурных форму; 'лассах функции Докл.АН 'ССР 1976. Т. 231. .V 4. С. 818-S21

ЗС1Бахва: Н.С. Оценки снизу асимптотических характеристик функций •мешанной производном Мате, заметки. 1972. T.12. - Л« б. С. 655-664

,иДубинин В.В. Об оптимальных формулах для классов функций с ограничен й смешанной кшкк'тыо Матсм. заметки. 1990. Т. 49. Л'« 1. С. 149-151.

',2Дуишши В.В. Кубатурпые формулы для классов Бесова Изв. РАН. Сер.м . 1997. Т.61. - .■ 2. . 27-52.

Е С за <С /(Е)1п1п/(Е) элементарных арифметических операций ставится в соответствие простое р. р = 1 (тос11). р /(£) и набор целых чисел а\,.... а.,, при 3 < I < 19. где /(Е) - ^ 1пМ(т), был предложен

,33

Н. Темиргалиевым"

Всюду в диссертации мы будем пользоваться алгоритмом из34 в случае произвольных в — I — 1, где I > 3- простое число.

Нами доказаны следующие

Теорема 3.2.1. Пусть даны простое число I = з + 1. числа 1 < д < 2. О < Т\ = ти < т„_ 1 < < т3 (1 < и < й) и Л(£) неубывающая-функция по каждой переменгюй, удовлетворяются условиям (,5Т) при т (гъ (£/э) при /3 (А,...,/?.,). Д > 1. И пусть функция

£>(п) ф 0 удовлетворяет условию

D(2n]

<С {те р{п): п € Z%)

D(m)

для некоторого С > 0. Тогда для всякого R > CTl(l) существуют простое число р,р = 1 (mod l),p <С InR и целое число а, (а. р) = 1. ф 1 (modp) для отыскания которых достаточно выполнить << InR-lnlnlnR элементарных арифметических операций, такие, что

sup /esw

r(d)

I ñx)dx- ¡ £ /({?«>} {**.} [0,1]« " = 1 J k J

<

«¿г£2Н Е (2»<Д<2^).

К" 1=0 \ч„еГ(А.2'-1)\Г(А.2') /

Теорема 3.2.2. Пусть даны простое число I = з + 1. числа 1 < <] < 2, 0 < СС1 = а„ < < < (1 < ^ < з) и Л(£) неубывающая функция по каждой переменной, удовлетворяющая условиям (5 при

ос (аь ...,<*,) (5^) при /3 (А. Д). Д > 1- Яустъ

функция типа смешанного модуля гладкости порядка к и удовлетворяет

условиям (5) и (5 <у) при 7 = (71, 78). О < 7,- < А;. Тогда для всякого

И > С°1(1) существуют, простое число р, р = \{той /). р

число а, (а.р) = 1, а^т1 ф 1 (тойр) для отыскания которых достаточно

выполнить << 1пЯ 1п1п1пЯ элементарных ариф.нетичес

такие, что

33Темиргалиев Н. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования и восстановления функций многих переменных. Дне.на соискание уч. степени докт.фнз.-мат.паук: 01.01.01. М.: МПАН. 1991.

3,1Темпргалпев Н.. Баллов Е.А.. Жубанышева А.Ж. Об обшем алгоритме чнелешюго интегрирования периодических функ ни многих переменных Докл. РАН. 2007. Т. 416. N 2. С.169-173.

sup feSH*

11 = 1 4 J J '

<

[0.1]' £

Rq пегмл.л)

Теорема 3.2.3. Пусть даны простое число I = s + 1, числа 1 < q < 2. 1 < в < ос. 0 < а\ = av < Qy+i < < as (1 < < s) i¿

A(í) неубываюгцая функция по каэ>сдой переменной, удовлетворяющая условиям (S а) wpu а = (ai,..., as) и (S р) при /3 = (Д,..., f3s), $ > 1. Пусть Q(t) функция типа смешанного модуля гладкости порядка к. Тогда для всякого R > Cai(l) существуют простое число р, р = 1 (mod l), р <С InR и целое число а,(а,р) 1, а < ф 1 (modp) для отыскания- которых достаточно выполнить << InR InlnlnR элементарных арифметических операций. такие, что

sup

Rñ

[0.1]

lis 7Í=1 44 J 4 J '

<

£

п€Г±{А.Д)

где во = ¡^у при в > 1 и во = оо при в = 1.

В диссертации также приведен критерий равномерной распределенности сеток Коробова в терминах алгебраического многочлена Бернулли:

Теорема 3.4.1. При данных г > I и в (в 1,2,...) существуют положительные величины С1.С2, А и 02 такие, что для всякого целого положительного р и для всякого целочисленного вектора (ах,..., а5) неравенство

D,

к

-ai V

к

-а, V

V 1 <r(JlnPy3lis)

< Ci(s)-

A.-1J

P

выполнено тогда и только тогда, когда

fc

-а«

V

<C2(r,s)

6r(.T) = J2 {m.--ñh)'re27Tl{miXl-+maXs]

(mi.....ms)eZs

В данной работе под равномерной распределенностью последовательности сеток (конечных множеств) | из й-мерного единичного куба [О, I]3 , индексированных достаточно плотной возрастающей последовательностью целых положительных р понимается существование положительных с(б) > 0 и /?(з) > 0 таких, что для всех р выполнено неравенство

D- (R'L)= sup {' £30 " П5-1 & - w

I = V>j- dj\ С [0. l]s} < c(s)p-l(lnp)M где ха характеристическая функция множества А.

Публикации по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК

1. Сихов М.Б. О некоторых теоремах вложения Изв. Вузов. Математика. 1988. № 9. С.83-85.

2. Сихов М.Б. О вложении Ер(Л) С Щк Изв. Вузов. Математика. 1990. 7 С.61-65.

3. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна. Джексона Никольского и их приложения Изв. Вузов. Математик' 2002. Л"й 8. С.57-С4.

4. Сихов М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой Analysis Mathematica. 2004. V.30. Х- 2. С.137-146.

5. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона Никольского и оценки норм производных ядер Дирих. Матем. заметки. 2006. Т.80. A's 1. С.95-104.

6. Сихов М.Б. О вложении аппроксимативных свойствах лассов функций с доминирующей смешанной разностью Изв. Вузов. Мате, тика. 2009. № 8. С.83-86.

7 Сихов М.Б. Об алгоритме построения равномерно распределенных сеток Коробова М.Б. Сихов. Н. Темпргалпев Матем. заметки. 2010.

Т.87 j\« 6. С. 948-950.

Публикации в других изданиях

8. Сихов М.Б. О некоторых соотношениях между модулем непрерывности в Lp п наилучшим приближением в С Изв. АН КазССР. Сер.

физнко математическая. 1986. № 3. С.41-46.

9. Спхов М.Б. О вложении некоторых классов функций //' Каз. гос. Ун-т Алматы, ДЕП. в КАЗНИИНТИ. 12.01.87 20 с. № 1519 Ка87

10. Спхов М.Б. Об одной теореме вложения В сб. "Дифференциальные уравнения, гармонический анализ и их приложения" Москва: Изд-воМГУ 1987 С. 106-107

11. Снхов М.Б. О вложении некоторых классов функций // Изв. АН КазС'СР Сер. физпко - математическая. 1988. № 1. С.45-47

12. С'ихов М.Б. Об одной обратной теореме разных метрик для преобразованных рядов Фурье В сб. "Теория функций, уравнения математической физики и их приложения" Алматы. 1988. С.47-50.

13. Спхов М.Б. Об обратных теоремах теории приближений // Тез.докл. Всес конф. Баку, 1989. С. 117

14. Снхов М.Б. Об обратной теореме теории приближений в симметричных пространствах Изв. АН КазССР Сер. физнко - математическая. 1989. Л'2 5. С.46-50.

15. Сихов М.Б. О вложении SB^e С E^(Rn) 'Тезисы докладов конф., посвященной 70-летию Аманова Т.И. "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики" Алматы .1993. С.141-142.

16. Спхов М.Б. Об обратных теоремах теории приближений Тез.докл. региональной научно-методической конф. "Проблемы математики и информатики и их преподавания" Акмола, 1998. С. 41.

17 Снхов М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования для классов функций с заданной мажорантой смешанных модулей "ладкостн ,'Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999. С. 95.

18. Снхов М.Б. Об обратной теореме теории приближений в пространствах Лоренца /Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999. С. 125.

19. Снхов М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах Hff /Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999. - С. 127

20. Спхов М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений Тез.док.7 II межд. науч. конф. Актобе, 1999. С. 126.

21. Сихов М.Б. Оценка сверху погрешности квадратурных формул на лассах U/s. А.У Клыкова, М.Б. Сихов, С.С. Кудайбергенов. Тез.докл.

II межд. конф. Актобе. 1999. С. 121.

22. Спхов М.Б. Обратная теорема конструктивной теории функций в пространствах Lpq М.Б. Снхов, А.У Кныкова. К.А. Абстаева. Труды Международного симпозиума посвященной 100-летию К.И.Сатпаева. Ал. 1999. Часть III. С. 89-92.

23. Сихов М.Б. Многомерная теорема Джексона в случае разных метрик /Тез.докл. конф. "Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии" Ал маты, 2000. С. 99-101.

24. Сихов М.Б. Неравенства типа Бериштейна, Джексона-Никольского и некоторые теоремы вложения Доклады НАН РК. 2000. .V» 5. С.14-19.

25. Сихов М.Б. Оценки сверху погрешности квадратурных форму на классах функций с доминирующей смешанной разностью Вестник КазГУ Серия математика, механика, информатика. 2001. > 1(24). С.28-34.

.26. Сихов М.Б. Многомерная теорема Джексона в случае разных рик 'Труды межд. конф. "Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии" Алматы, 2001. С.115-118.

27 Сихов М.Б. О необходимых условиях вложения Е0_Ч(Х) в Н^кр Изв. МОН РК, НАН РК. Сер. физпко математическая. 2001. 1. С.66-72.

28. Сихов М.Б. Об оценке наилучших приближений и моду кости [О, а) производных функции Вестник МО и НАН РК. 2000. № 5. С. 73- 77

29. Сихов М.Б. О неравенствах Джексона-Никольского Вестник КазНУ Серия математика, механика, информатика, 2002. 2(30). С.9-17

30. Сихов М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой М.Б. Сихов, О.Д. Дюсебаева Изв. МОН РК. НАН РК. Сер. физпко математическая. 2002. № 1. С.51-58.

31. Сихов М.Б. Прямые и обратные теоремы теории прпб; разных функциональных метриках Тез.докл.межд.науч.конф. "Современные проблемы математики" Астана. 2002. С. 115.

32. Сихов М.Б. Обобщенное дифференцирование и неравенства типа Бернштейна-Никольского Тез.докл.межд.науч.конф. "Современные проблемы математики" Астана, 2002. С. 118.

33. Сихов М.Б. О вложении пространств Бесова со смешанным моду гладкости Вестник КазНУ Серия математика, механика, информатика.

2002. № 5(33). С.4-11.

34. Сихов М.Б. Приближение функций многих переменных с заданной мажорантой в пространстве Бесова Математический журнал. 2002. Т.2. № 2. С.95-100.

35. Сихов М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования для классов Бесова Математический журнал. 2002. Т.2. № 3. С.82-88.

36. Сихов М.Б. Об оценках [D,a) производных многомерного ядра Дирихле Математический журнал. 2002. Т.2. № 4. С.74-78.

37 Сихов М.Б. Порядковые оценки (D. а) производных ядер Дирихле в Щ-тг, -тг]я) 'Тез. III межд. науч. конф. Актобе, 2003. - С. 120-121.

38. Сихов М.Б. Об оценках норм производных ядра Дирихле с гармониками Известия HAH PK. Сер.физико-математическая. 2003. № 1.

С,57-62.

39. Сихов М.Б. О структурных конструктивных характеристиках пространств Бесова со смешанным модулем гладкости / Сб. докл. межд. научно-практической конф. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения" посвященная 80-летию чл.-корр. АН КазССР, доктору фпз.-мат. наук. проф. Аманова Т.И. Семипалатинск. 2003. С. 99-100.

40. Сихов М.Б. О наилучших приближениях функций тригонометрическими полиномами с произвольным спектром и смежные задачи // Сб. докл. межд. научно-практической конф. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения" посвященная 80-летню чл.-корр. АН КазССР доктору физ.-мат.наук, проф. Аманова Т.И. Семипалатинск, 2003.

С.71.

41. Сихов М.Б. Численное интегрирование функций из анизотропного класса SB'^e Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2003. j\s 1(33). С.4-9.

42. Сихов М.Б. О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик 'Тез. докл. 10-й Межвузовской конф. по математике и механике. Алматы, 2004. С. 238.

43. Сихов М.Б. О точности прямых теорем теории приближений в S пространствах Бесова Тез. докл. межд.научной конф. "Актуальные

проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" посвященная 70-летнему юбилею академика HAH PK, доктора физ.-мат. наук, проф. Касымова К.А. Алматы. 2005. С. 175.

44. Сихов М.Б. Новые задачи об аппроксимативных возможностях полипомов по ортогональным системам с произвольным спектром / М.Б. Сихов, Н. Тсмпргалисв. Тез. докл. межд.научнои конф. "Современные проблемы дифференциальных уравнений,теории операторов и космических технологий" Алматы. 20-22 сентября 2006 г.

45. Сихов М.Б. Об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам с произвольным спектром , М.Б. Сихов. Н. Те-

миргалиев. Материалы межд. конф. "Теория функций и вычислительные методы" Астана. 5-9 июня 2007 г. С. 190-192.

46. Сихов М.Б. Об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам с произвольным спектром М.Б. Сихов. Н. Те-миргалиев. Материалы 3-конгресса математиков тюркоязычиых стран. Алматы, 30 июнь-4 июль, 2009. С. 140.

Сихов Мирбулат Бахытжанович

О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ МНОГОМЕРНОЙ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ РАЗНЫХ МЕТРИК

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ИБ № 4957

Подписано в печать 10.11.10. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать RISO. Объем 2.44 п.л. Тираж 120 экз. Заказ № 526. Цена договорная.

Издательство «Казак университет». Казахского национального университета им. аль-Фараби. 050040. г. Алматы, пр. аль-Фарабп, 71. КазНУ.

10-26678

2007181977

2007181977

Введение.

Глава 1. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой.

1.1 Вспомогательные утверждения.

1.2 Об одномерной обратной теореме теории приближений в пространствах Лоренца.

1.3 О многомерных прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой.

1.4 О многомерных прямых теоремах теории приближений с заданной мажорантой в пространстве Бесова.

Глава 2. Неравенства типа Бернштейна, Джексона - Никольского и некоторые теоремы вложения.

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского.

2.3 Порядковые оценки производных А - ядра Дирихле.

2.4 О некоторых теоремах вложения Н и Е - классов.

2.5 О необходимости условий для вложения Е - классов.

Глава 3. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа 5- классов Никольского, Бесова и Соболева.

3.1 Оптимальные коэффициенты и равномерно распределенные сетки Коробова.

Вспомогательные утверждения.

3.2 Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа Б - классов Никольского, Бесова и Соболева.

3.3 Об эквивалентных условиях равномерной распределенности сеток Коробова.

4 Выводы.

Пусть 7г5 = [—7Г, 7г]5-в-мерный куб, 1/(7т8) (1 < р < оо)-множество всех измеримых 27т- периодических по каждой из б переменных функций /(я) = /(жь • • •, ж3) таких, что =(2тг)" v

J If(x)\>dx

00, 1 < р < оо, тг. vrai sup \f(x)\ < 00, р — оо,

Р Жб7Г. пусть также

ЩМ = | / е L^iTs) : j f{x)dxj = О (j = 1,e ) 1 .

7Г

Для подмножества В евклидова пространства Л6 через В0 и обозначим множества, состоящие из всех элементов х = ., .т5) 6 В, каждая компонента которых неотрицательна и положительна соответственно.Через Zs, как обычно, обозначим целочисленную решетку Для п € положим п т + .+п8, 2~п = (2-»S ., 1~п°).

Для / G LP{irs) определен смешанный модуль гладкости порядка к G

Z+ = Z± nk(f;t)p = nk(f-,tu.,ts)p= sup ||Д^/(я;)||р (t e [0, l]s), hj\<tj j=l,.,s где Akhf(x) = A{,.AkhJ(x), Afc. = Д^Д*;1),

Al,f(x) = f(x 1, .,xj + fy, - /Оь .

При s = 1 также обозначим

Uk{f]t)p = Slk{f\t)p.

Для данных чисел 1 < р < оо, 0 < Г\ < . < rs класс Никольского SHp1,-,r' состоит, по определению, из всех функций / 6 LP^s) таких, что для смешанного модуля гладкости порядка к > rs выполнено

3=1

Более тонкая классификация функций по гладкости в метрике 1^(7Г8) состоит в замене в этом определении функций tj3 на общие функции типа модуля гладкости Wj{t3).

И, наконец, наиболее естественный общий случай состоит в замене мажорантной функции в правой части (1) на функцию типа смешанного модуля гладкости Q(t) = 0(¿i, .,íó-) - непрерывной на [О, I]3 функции, являющейся функцией типа модуля гладкости порядка к по каждой из переменных при фиксированных остальных (здесь и в дальнейшем, выражение "при фиксированных остальных переменных "будет означать, что константа в соответствующем определении не зависит от этих переменных); полученный при этом класс функций / € LP{tts) обозначим через SH^.

Если / € LP(7ts), то через обозначают наилучшее приближение (в Lp) функции / полиномами из T(G), где G - конечное множество точек Zs, а

I n&G

В нашей работе спектр G будет задан посредством непрерывной на [О, l]s функции A(t) = A(¿i,., ts), неубывающей по каждой переменной при фиксированных остальных и такой, что Л(£) > 0 и Л(¿) = 0 смотря s s по тому П tj > 0 или П tj = 0. В связи с этим определим следующие j=i 3=1 множества (Лг > 0):

Г(Л, N) = {neZs+: Л(2п) > , N) = Zs+\ Г(Л, N) , р{п) = {m = (ть .,ms) 6 Zs : 2п^г < \т3\ < 2п'} (п 6 Zs+), Q(A,N)= U Pin). ner(A,N)

Основными понятиями теории приближений являются понятия наилучшего приближения и модуля непрерывности (гладкости), отражающие соответственно конструктивные и структурные свойства функции.

В одномерном случае взаимоотношения между этими принципиально различными характеристиками функций впервые были установлены Д.Джексоном и С.Н.Бернштейном.

Именно, Д.Джексон [1] доказал, что 27т- периодическую функцию от одной переменной, имеющую непрерывную производную порядка г, можно приблизить тригонометрическими полиномами tn(x) так, что отклонение удовлетворяет неравенству

II№ ~ Ш\\о < С{т) KJ :п)С (n = 1,2, .)•

С.Н.Бернштейном [2] было доказано, что если 2-к- периодическая непрерывная функция / такова, что при заданных числах г-целом неотрицательном и а, 0 < а < 1, для некоторого С\ > 0 и всякого п > щ > О существует тригонометрический полином Ьп{х) порядка п такой, что f(x) = tnQ(x) + р(х), где (р(х)~ непрерывная 27г-периодическая функция, имеющая непрерывную

Чтобы получить аналогичный результат в случае а = 1 , необходимо, как это впервые заметил А.Зигмунд [3] , перейти к модулю непрерывности (гладкости) 2-го порядка.

В дальнейшем, оценки наилучших приближений функции (в некоторой метрике) через ее модуль гладкости (в той или иной метрике)- прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона, и оценки модуля гладкости функции (в некоторой метрике) через ее наилучшие приближения (в той или иной метрике) тригонометрическими полиномами -обратные теоремы теории приближений или теоремы типа Бернштейна, были объектом исследований многих поколений математиков (см.,напр.,[4 - 8] и имеющуюся в них библиографию; обзор некоторых результатов в рамках подхода П.Л.Ульянова и связанная с ней обширная библиография даны также в работе Н.Темиргалиева [9]).

Все эти исследования относились к случаю прямых и обратных теорем теории приближений в одной метрике. Известные случаи разных метрик (в определенном смысле) не были окончательными (см.[10], [5], [11]).

Классические неравенства Джексона и Бернштейна соответственно на случай разных метрик в определенном смысле неулучшаемым образом были перенесены М.А.Жайнибековой [12] (как комбинация неравенств П.Л.Ульянова и Д.Джексона) и автором [13]: если l<p<q<ooиfe 1Р{ 0,27г), то то производную ф(г\х) ,при этом тп=п+1 и (к = 1,2,.)

1^ 1 Mfr -)q « Zk nft m + 1 )('t+?"2) £«(/), m=0 oo n = 1, 2,.).

3) £ т^ЕЦП т—п+1

Окончательность сформулированных выше в (2) и (3) прямых и обратных теорем теории приближений в рамках подхода П.Л.Ульянова [14] следующим образом выражается в терминах теорем вложений (1 < р < д < оо) :

Щ с Eq(X) оо m=n+l 0(An)

4) и

Ер(А) С оо

771=0 m=n+l U

5) где

ЦА) = {/(*) е Щщ) : = 0(Хп) (п оо)}, где А = {Ап} положительная, убывающая к нулю последовательность.

Заметим, что полученный М.А.Жайнибековой [12] критерий (4) позже обобщен на случай производных H.A. Ильясовым [15], аналогичный (5) результат, но в несколько иной постановке независимо от нас получен им же в [16].

Первая, основная, задача данного исследования состоит в получении неусиляемых прямых и обратных теорем теории приближений в случае функции многих переменных - ей посвящен первый раздел диссертации.

Тем самым, речь идет о распространении неравенств (2) и (3) на многомерный случай.

Общеизвестно, что исследование задач, связанных с приближением функций s (<9 > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае. В первую очередь этот факт имеет место для задач экстремального характера, таких, как нахождение точных оценок приближения на классах функций, отыскание точных значении поперечников и квазипоперечников в банаховых пространствах, нахождение оптимальных кубатур и т.д. Поэтому в многомерном случае возникло много новых трудных задач в зависимости от выбора приближающего агрегата и разностных характеристик изменения функции.

В качестве иллюстрации к сказанному приведем один результат по тригонометрической системе (см.ниже теорему 1.3.1 ) sup EQ{AjN){f)q /еяя«

N = 1,2,.). (6)

Обсудим данное соотношение.Пусть дано нормированное пространство У числовых функций, определенных на измеримом множестве 1В С Яь и пусть ^ С У. Для п- мерного подпространства Мп пространства У, последовательно положим

E(f]Mn)r= mf \\f-g\\Y, демп

E(F; Mn)Y = sup E{f- Mn)Y, (7) f&F dn(F; Dn)y = inf E(F\ Mn)Y, (8) где {Mn} есть множество всех возможных n-мерных подпространств Y, a Dn С {Мп}. В случае Dn = {Мп} - величина (8) есть поперечник по Колмогорову, если же множество Dn составлено из подпространств, натянутых на всевозможные п тригонометрических функций e27r(m(I).:c)j >>м е2тг(т<"),х) тригонометрический поперечник.

Изучению различных видов поперечников посвящена обширная литература. Вместе с тем, изучение величин вида (7), как это, в частности, следует из (6), является самостоятельной задачей, отвечающей на ряд содержательных вопросов, и потому естественной и перспективной задачей.

Действительно, в двусторонней оценке (6) содержится большая информация.

Во-первых, здесь содержится точная количественная информация об аппроксимативных возможностях полиномов с достаточно произвольным Л- спектром относительно функций данного класса

Именно,каждая функция Л определяет класс конечных подмножеств Zs: набор спектров, конкретизация которых в виде Q(A, N) осуществляется посредством параметра N. Тогда для данного класса F — SHР обобщенного класса Никольского с ограниченной смешанной разностью в (7) получен точный порядок наихудшей (и тогда остальные не хуже) из наилучших приближений функций этого класса тригонометрическими полиномами со спектром из Л") в метрике Ьд,тем самым, определены аппроксимативные возможности агрегатов приближения данного типа в данной метрике данного класса функций.

Также отметим, что соотношение (6) имеет один и тот же вид для всех размерностей в, влияние которых проявляется опосредованно через кратность ряда и количество переменных в определяющих спектр и класс функциях Л и П.

Во-вторых, она позволяет при заданном числе точек спектра вычислить геометрию Л- спектра с наилучшими аппроксимативными возможностями и, одновременно, вычислить точный порядок оптимальной Л-аппроксимации. Для этого достаточно по заданной функции П выделить спектр "больших слагаемых "ряда в правой части (6):

2||га,,1(?-1)^(2-п) > е > о} , (9) поскольку если из данной суммы неотрицательных чисел нужно удалить заданное число слагаемых таким образом, чтобы оставшаяся часть имела наименьшее значение, то, разумеется, надо убрать самые большие по значению.

Для иллюстрации остановимся на конкретизации (6) в модельном случае: (г>°)' ^ = (Л = 1,2,.). (10)

Тогда, согласно (9), имеем е — 2~к, к = 1,2,.

Ее = Ак = {пег% \ 2"п"1(р-1)2-9ГЧп111 > 2~к > о} =

Желательно, чтобы Л- спектр был достаточно широким, для обеспечения теоретико-множественного равенства Ак = Г(Л, 2к). Легко видеть, что это равенство выполнено в случае в

Ах(¿1, ¿2, .Л) = ТМ = ^ - - + 1 > 0,

7=1 р при этом соответствующий экстремальный спектр есть

3(АЪ 2к) = {тегз : 2п*~х < \т5\ < 2'Ч (у = 1,в), ступенчатый гиперболический крсст с числом точек М, М х Возникающая при этом погрешность имеет порядок

7м = Е{БНгр] д(Ль 2к))Ьч{пз)

Е ^ £ 1 в пересчете на число гармоник, 1

ИЬ>| к „

2 "АГГ.

1м к 9

МЫМ)

-(г

1+1) р ' ч>

1пМ) что в свою очередь соответствует порядку ортопоперечника, вычисленного В.Н.Темляковым [17].

Таким образом, в соответствующих известных случаях оптимальные порядки А-аппроксимации совпадают с известными результатами о тригонометрических и иных поперечниках, имеющих длительную историю развития.

В-третьих, получен ответ на вопрос "Как хорошо частичные суммы тригонометрического ряда Фурье с наперед заданным А- спектром приближают функцию / € БНр по сравнению с максимально возможным?11.

В-четвертых, соотношение (6) представляет собой иеулучшаемую прямую теорему теории приближений разных метрик.

И, наконец, в - пятых, соотношение (6) в качестве многомерного случая с точными порядковыми соотношениями естественным образом вписывается в общую задачу (4), также имеющую респектабельную историю возникновения и развития. Впервые в 1937 г. в одномерном случае Фавар [18] и Ахиезер-Крейн [19] получают точные равенства' вир Еп(Лс = вир т£ еИ^(ОД) /еВДОд) ж) — | ^ + а^совкх + Ькзгпкх п к= 1

1 4 ~ (1)Л(г-1) Е

7ГГ 7Г ^ (2к +1У+1: /г=0

С[0,2тг]

П) а С.М.Никольский [20] в 1946 г. - асимптотическое равенство вир

-/Ы1<|®-и|,-1<я,0<1 п

2 п

7Г где Еп(/)с есть наилучшее приближение функции /(не обязательно периодической) при помощи алгебраических многочленов степени п — 1 на

В дальнейшем, точные одномерные результаты по задаче (6) получены другими математиками, главным образом в научной школе II.П Корнейчука (см.[21] и имеющуюся в ней библиографию). Как правило, точные и асимптотические равенства типа (11) и (12) получают в одномерном случае, а в многомерном, за редким исключением типа гильбертовых пространств - порядковые. Соотношение (6) относится к последнему.

Тем самым, задача (7) имеет самостоятельное значение и свою историю, не всегда сводящуюся к задаче (8). Более того, поперечники по Колмогорову не всегда совпадают с тригонометрическими и тому подобными поперечниками (например, это следует из результатов Б.С.Кашина [22] по вычислению поперечников одномерных классов Соболева).

В цели настоящей диссертации не входит исследование поперечников (8), вместе с тем не исключено, что во всех случаях функций а не только в степенном случае (10), выбор (9) "больших слагаемых"в (6) дает значение соответствующего тригонометрического поперечника и искомого экстремального спектра.

Следует также отметить, что теория приближений составляет обширную область исследований, значение которой возрастает в связи с развитием компьютерных технологий. Разнообразие исследований определяется выбором агрегата аппроксимации и топологии, в терминах которой оценивается уклонение или, что то же самое, погрешность приближения. Так наряду с классическими агрегатами приближения - по тригонометрической системе (см., напр.,[23-27]), по системе Хаара (см., напр.,[28]), по системе Уолша (см., напр.,[29-30]), в последнее время активно развивается теория всплесков (см., напр.,[31] ) и теория аппроксимаций Паде (см., напр.,[32-34]), смотри также [35-38] и имеющуюся в них библиографию.

В первой главе диссертации, изучаются приближения периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами. Спектр приближающих полиномов содержится в множествах, порожденных поверхностями уровня функции Л(£). Именно, для и Л(£), подчиненных некоторым условиям регулярности, при 1 < р < д < оо получены оценки наилучших приближений функции (в Ьч ) через ее смешанный модуль отрезке [—1,1]. гладкости (в V) - прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона разных метрик, и оценка смешанного модуля гладкости функции (в Ь'1) через ее наилучшие приближения (в 1Р ) тригонометрическими полиномами - обратные теоремы теории приближений или теоремы типа Бернштейна разных метрик.

Приведем основные результаты главы 1, чему предпошлем некоторые необходимые определения.

По С.Н.Бернштейну (см., напр.,[39]), функция (р(Ь) называется почти возрастающей (почти убывающей) на [0,1], если существует постоянная С > 0 такая, что <р(Ь) < 2) (<£>(¿1) > С(р{Ь2)) для всех 0 < Ь\ < ¿2 < 1.

Нам также потребуются некоторые ограничения на мажорантные функции (заметим, что разные типы таких ограничений представлены в [40]).

Функция одного переменного (р(т) > 0 удовлетворяет условию (¿>а) б1«)) при а > 0, если <р(т)/та почти возрастает (почти убывает) на (0,1].

Так же вводится условие (5) на </?(т) как выполнение условия (£") для некоторого а, 0<а<1, ив этом смысле (£) = У (5а).

0«*<1

Будем говорить, что Г2(£) = 0(^1, удовлетворяет условиям (ва) и (5а) при а = (скх,ск8), если соответственно при каждом ] — 1,5 функция Г2(£) удовлетворяет условиям (5^) и (б1^) по переменной ^ при фиксированных остальных.

Также всюду ниже мы будем пользоваться обозначениями <С А и А х В. При положительных А и В запись «С А будет означать В < .)•

А , где С(ск, /?,.) некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от указанных в скобках параметров, а запись А х В означает А <С В «С А. Вообще говоря, всюду ниже параметры ск,/?,. однозначно определяются по смыслу утверждений, поэтому, в целях сокращения записей, их указывать не будем.

Справедливы следующие теоремы. теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < д < оо, к— целое положительное число и Л(£)- непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]в в функция такая, что Л(£) > 0 и Л(£) = 0 смотря по тому Д ^ > 0 или 1 я

Y[tJ = 0. И пусть г2(£)— функция типа смешанного модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (5,а) и (Бр) при некоторых а = (СК1, .,0!в), 0 < а* < 1 и /3 = (/?!,., ДО 0 < Рг < к (г = 1, соответственно. Тогда для того, чтобы имело место вложение

Ь2(тг5), (13) необходимо и достаточно, чтобы

2"п"1(р~1)п9(2~т1) < оо, (14) п&г! причем, при выполнении неравенства (13) справедливо соотношение (ЛГ > О, константа в (15) зависят лишь от р, д, О,, Л) вир

65Я« 1

15) пеТЦА,Ы)

Теорема 1.3.3.Пусть 1 < я < р < оо, р > 2, к— целое положительное число и Л(£)- непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [0,1]в функция такая, что Л(£) > 0 и Л(£) = 0 смотря по тому в 5

Л £$ > 0 или П ^з ~ О- И пусть ^(¿)— функция типа смешанного

3=1 3=1 модуля гладкости порядка к , удовлетворяющая условиям (Ба) п (5/?) при некоторых а = (щ,а$), 0 < с^ < 1 и /? = (/?ь .,{Зв), 0 < < к (I = 1,б) соответственно. Тогда {И > 0) вир пег-1-(л,лг)

Сравним теоремы 1.3.1 и 1.3.3 с аналогичными результатами из работ [41] и [42] Н.Н.Пустовойтова. в

Во-первых, в частном случае Л(£) = П А? оценки сверху в (15) совпа

3=1 дают с утверждением теоремы 3 из [41], носящими характер достаточного условия. Во-вторых, в работе [42] изучается только случай Л(£) = 0(£), т.е. случай, когда спектр приближающих полиномов жестко связан с заданной мажорантой П(£), в то время как в нашем случае Л(£) и Г2(£) независимы. Как показывает сравнение нашей теоремы 1.3.3 с теоремой 1 из [42], это обстоятельство существенным образом отражается на самом виде окончательного результата. В-третьих, теорема 1.3.1 применима при менее стеснительных ограничениях на П(£) нежели теорема 2 из [42]. Именно, в [42] при дополнительном условии принадлежности £7(£) множеству и (¿и

-4<а<1 р я получено соотношение (1<р<д<оо) 1 аир *)(/)* ~ —

6 БНр iV

Г2,ЛГ)\Г^ (0,АГ)

В теореме 1.3.1 условие (16) расширено до естественных границ и носит окончательный, в применяемых терминах, характер (см. об этом [43]). Так, функция т = п *)"' О» й- >1 о = . *)) ¿=1 4 у не принадлежит множеству (16), и потому соотношение (17) не применимо.

1 1 силу теоремы 1.3.1 получаем содержательный результат

Вместе с тем, для выполнено условие (За) при а = А — 1 , так что в

3 1 зир^ Ея{п,м)(/)д х ^ Д —щ. е5ЯР 7X6^(^1,^)^=1 ^

Теперь сформулируем некоторые следствия из теоремы 1.3.1 и 1.3.3.

Положим в ад) = ГК >0 У =*))> (18)

3=1 в

А1^)-П£? (Ъ-> О С7 = 1, .,*)). (19) 1

Как известно (впервые это для классов ТУ установил К.И.Бабенко [44]), что в вопросах приближения функций из классов ]¥ я Н приближение тригонометрическими полиномами, гармоники которых лежат в гиперболических крестах, играет такую же роль, как приближение тригонометрическими полиномами в классической теории приближений.

Выяснилось также, что, как и в одномерном случае (впервые это было обнаружено Р.С.Исмагиловым [45], а затем полностью изучено В.С.Каши-ным [22] ), в многомерном случае для некоторых соотношений параметров приближения полиномами с гармониками из гиперболических крестов не дают порядок поперечника (колмогоровского). Это обстоятельство побудили многих математиков, либо изучить способ построения приближающего полинома со спектром, дающего приближения, близкое значению поперечника, либо рассмотреть другие поперечники.

В частности, В.Н.Темляков [46] для класса F С ввел понятие ортопоперечника : м d^F,!/) = inf sup f(x) - 52(/,щ)иг(х) {«*}& feF где inf берется по ортопормированным системам ограниченных функций. Им же была установлена следующая [17] (см. также [47])

Теорема А.Пусть 1 < q,p < оо, г = Т\ = . = rv < ru+i < ••• < r8, г > > я) Ф (1,1), (оо, оо). Тогда имеет место соотношение d^SHLL*)^ \M~\logMf'-1)'

Р 41ilogM)

-1 )-ф(р,д) ф(р, q) = <

1 < р < q < оо,р = 1,1 < q < оо; 1? 1 < р < оо, q = оо;

1 < Я < Р < оо,р > 2, q < оо; h l<q<P<2. и оптимальными (в смысле порядка) подпространствами являются: в случае 1 < д < ^ < оо Т(Оп) (г = Ту = г) и = 1, 2,., и), г < г) < Ту {з = ь> + 1,., в)), в остальных случаях Т{0Гп).

Здесь и в дальнейшем

Если по заданному М число п подобрать из соотношения то из теоремы А получим оценки dif(SH;, Lq) х 2 ~пгп~, 1<д<р<оо,р>2, dhiSH^ Lq) х г^Н+Йп^, 1 < р < q < оо.

С другой стороны из теорем 1.3.1 и 1.3.3 соответственно получаем Следствие 1.3.2. Пусть 1 < р < q < оо, г > ^ — 1 = 71 = . = Ъ < Ъ+i < — ^ 7s (1 < у < s), rj = rjj (j = 1,., s). Тогда sup EQl{f)q^ (n = 1,2,.). feSH;

Следствие 1.3.4. Пусть 1 < q < p < 00, p > 2, 1 = 7! = . —

7«/ < 7f+i < - <75, 1 = A = - = < Pu+i < . < (38 0- < v < s), rj = (j = 1,., s), Pj < у {j = v + 1,s). Тогда i—i sup x 2-^n- (n = 1,2,.).

Результаты приведенных в следствиях 1.3.2 и 1.3.4 в части получения двусторонних, совпадающих с точностью до констант, оценок погрешности приближения полиномами с экстремальными спектрами, реализующими порядки ортопоперечников, лишь косвенно подтверждают правильность полученных выводов данной работы, совпадая с ними.

Как следует из следствия 1.3.4, чтобы оценка в теореме 1.3.3 была минимальной для класса SHp, в качестве спектра приближающего полинома вместо "своих"гиперболических крестов (г = 7*7), лучше брать расширенные ("не свои") гиперболические кресты QР (/? = (1, .1,Д,+1, .,$,), причем 1 < (3j < jj {j = u + 1, .,5). Впервые этот эффект отметил С.А.Теляковский [48], а для ортопоперечников этот эффект был обнаружен В.Н.Темляковым [17].

Таким образом, наши результаты (Теоремы 1.3.1 и 1.3.3) подтверждают известные факты, что естественным аппаратом для приближения функций из SHp° являются полиномы с гармониками из гиперболических крестов.

Пусть LUk(t) -заданная одномерная функция типа модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Sa) (0 < а < 1) и (Sp) при некотором 0 < (3 < к. Зададим смешанный модуль гладкости порядка к следующего специального вида: n2(t)=uk (П^ . (20)

Легко видеть, что для такого ^(i) выполняются все свойства смешанного модуля гладкости порядка к.

Следствие 1.3.6. Пусть 1 < р < q < 00, 7 = 71 = . = 7^ > jv+i > • •• > 7s > 0) к- целое положительное число, ujkif)- одномерная функция типа модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Sa) и (Sp) при некоторых ^ — ^ < о; < 1 и 0 < ¡3 < к. Тогда sup EQiAlj2n)(f)q ж (п = 1,2,.). feSHp2

Следствие 1.3.6 при 7$ = 1 (г = 1,s) ранее было доказано Н.Н.Пустовойтовым [43].

Следствие 1.3.8. Пусть 1 < q < р < 00, р > 2, 7 = 71 = . = 7„ > 7,у+1 > . > 7S > 0 и ujk{t) удовлетворяет условиям следствия 1.3.6.

Тогда

SUp -EQ(Ab2»)(/)g х (п = 1,2,.). f<=SHp2

Также отметим следующую теорему.

Теорема 1.3.4. Пусть параметры р и q удовлетворяют одному из следующих условий:

1) 1 < q < р < оо, р > 2;

2) 1 < q < р < 2;

Пусть, далее, г > 0, к— целое положительное число и A(í)— функция типа смешанного модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Sa) и (Sp) при некоторых а = (ai, .,a.s), 0 < щ < 1 и (3 = Ps), 0 < Д- < k (г = l,.,s), соответственно. Положим t) = Лr(t). Тогда (N > 0)

1 s=l sup EQ(AjN){f)q ж —;(log2N) и. , feSH£r где po — min(p, 2).

Эта теорема при г — 1 была доказана Н.Н.Пустовойтовым [42].

Теперь приведем многомерный аналог неравенства Бернштейна - обратную многомерную теорему теории приближений разных метрик.

Справедлива

Теорема 1.3.6. Пусть 1 < р < q < оо, 1 = Т\ < < • • ■ < rs, cok -функция типа модуля гладкости порядка к и {Ап}- последовательность положительных чисел, \п j. 0 (п t оо). Пусть функция Л(t) удовлетворяет условию (ST) на (0, l]s при г = (tí, .,ts), л(1) = 1 и a(¿i, .,ts)/ti невозрастает на (0,1] при всех фиксированных (¿2, ts). Тогда для того чтобы имело место вложение

ЕрДХ) С SH^ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие где

2fcll"lli lli

1=0 оо 2<(Н)А,

HMU +1 о (fti №)

ЕрЛ(Х) = {f(x) 6 Lg(Trs) : £Q(A,2»)(/)p = 0(К) (п —> оо)}.

В четвертом параграфе главы 1 изучены некоторые свойства пространств типа S- пространств Бесова со смешанным модулем гладкости порядка к.

Через БВ^ (1 <д<оо,0<#< оо) обозначим пространства функций / € Ьо(0,для которых конечна полунорма

Пространства вН^ и имеют своим источником классические пространства Липшица и Гельдера. Аналоги пространств Липшица и Гельдера - изотропные и анизотропные - пространства '?ч (пространства Никольского) функций многих переменных ввел С.М.Никольский [4]. Обобщения этих пространств (пространства Бесова) определил О.В.Бесов (см.,напр.,[49]). Пространства функций, производная которых удовлетворяет кратному условию Гельдера, ввели С.М.Никольский [50] для функций в Вп и Н.С.Бахвалов [51] для функций на Тп. Аналогично тому как в связи с классами Никольского были введены классы Бесова, в работе Т.И.Амаиова [52] в связи с классами функций с "доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера "были введены аналоги классов Бесова - Б В1' й - классы Никольского - Бесова - Аманова.

Ч№

Затем эти результаты были обобщены в работе О.В.Бесова, А.Д.Джабраилова [53] (более подробно об этой теме см.в [49],[54]). В работах Я.С.Бугрова [55] и М.К.Потапова [56-58] изучались Н-классы при помощи приближения "углом".

Отмстим ряд результатов, предшествовавших нашим результатам.

Для обобщенных классов Никольского 5*условия вложения этого класса в пространство 1)я (1 < р < д < оо) при некоторых ограничениях на функцию были получены в работах Динь Зунга [59], Н.Н.Пустовойтова [43]. Этим утверждениям предшествуют работы многих математиков, берущие начало с одномерного результата П.Л.Ульянова [14].

Задача вложения классов ЗВр1^",Га в пространства 1^(0,1)в и ЗВ^"',Ъ также хорошо изучена. Полученные результаты и связанная с ними библиография подробно обсуждаются в [52] и более позднем обзоре [60].

Приведем один из критериев вложения обобщенных классов Никольского - Бесова - Аманова ЗВ^в, где указан вид взаимоотношений между определяющими классы параметрами.

Теорема 1.4.5. Пусть 1 < р < д < оо, 1 < ^ < оо, и £}*(£)— функции типа смешанного модуля гладкости порядка к и I соответственно, удовлетворяющие условию (<!?). Пусть Г2(£) удовлетворяет условию (б1*;), а Г2*(£)— условию (5/). Тогда для того чтобы имело место вложение

Q -DQ. Q Elfi* ptoo (- V необходимо и достаточно, чтобы и оо.

Здесь и в дальнейшем, будем говорить, что функция многих переменных > 0 удовлетворяет условию (Sk) ((£*;)) при целом положительном к > 0, если Q(t) удовлетворяет условию (5а) ((£«)) при 0 < aj < к (j = 1,., s). Так же вводится условие (S) на <£>(т) как выполнение условия (Sa) для некоторого а, 0 < а < 1, и в этом смысле (S) = JJ (5,а).

0<а<1

В четвертом параграфе главы 1 также получены многомерные прямые теоремы теории приближений с заданной мажорантой в пространстве Бесова. В них, при конкретизациях определяющих параметров, содержатся результаты из работ [61 - 63], так, имеет место

Теорема 1.4.6 Пусть 1 < р < q < оо, 1 < в < оо, 7 = 7j > О (j = 1,., s), к- целое положительное число. uJk(t)~ одномерная функция типа модуля гладкости порядка к , удовлетворяющая условиям (Sa) и (Sß) при некоторых ~ — ^ < а < 1 и 0 < ß < к. Тогда sup JB?Q(Al>2«)(/)ff - 27Ü-i)n(e-1)ö-i)+ü,ife(2-?) (n = 1, 2,.), где a+ = max(a, 0), а функций Ai (¿) определены как в (20) и (19), соответственно.

Оценка сверху в теореме 1.4.6 при ji = 1 (г — l,.,s) ранее было доказано в работе [61].

В первой главе диссертации нами также было получено распространение теоремы 1.2.3 на пространства Лоренца. Для формулировки этого результата напомним некоторые определения.

Всякую непрерывную, неубывающую, выпуклую вверх на отрезке [0,27т] функцию -ip(t) такую, что ф(0) = 0 называют 99-функцией. Определим соответственно "нижний"и "верхний"индексы (^-функции ?/;(/;) следующим образом:

У-ф = lim —rj~ и ш, = lim .

Пусть даны число д > 0 и у- функция ф(£). Тогда определим пространство Лоренца А(ф, д) как класс всех 2тт- периодических измеримых функций ( , для каждой из которых конечен функционал

2тг

1/9

II/II«* = \ ¡№)\/ tWxfj 1 , lo О J где /*-невозрастающая на (0, 27т] перестановка |/|. Справедлива

Теорема 1.2.2. Пусть ф\ифч — функции такие, что 1 < аф2, < а>ф1, Рф1 <2 и пусть 0 < р, q < оо. Пусть к-целое положительное число,

-функция типа модуля гладкости к -го порядка, а А = {Ап}- последовательность положительных чисел, Хп | 0 (п | оо). Если выполнено условие п

П*

5>+^ s=0 0 А то для того чтобы имело место вложение

MB' 'Mk). необходимо и достаточно,чтобы

Достаточная часть теоремы справедлива при произвольных фх и А без каких-либо ограничений.

Прямая теорема теории приближений для пространства Лоренца была получена в работе [64].

Другой задачей, составляющей содержание данной диссертации, является изучения поведения тригонометрических полиномов из Т(<5(А, А^)) по отношению к двум группам вопросов (им посвящена вторая глава диссертации).

Здесь первая группа вопросов касается неравенств Джексона-Никольского и Бернштейна (нормы полинома и его производной (в том или ином смысле) измеряются в метрике пространства 1Р, 1 < р < оо).

Сначала приведем определение обобщенной производной в смысле Вейля.

Пусть на Zs определены функции, или, что то же самое, последовательности: действительнозначная D(n) и а(п) = («i(n),.,as(n)) со значениями из Rs. В случае, когда а(п) = а = (ai,., cks) £ Rs, вся последовательность {a(ri)}n€zs обозначается через а. Предположим, что / G Ь(7Г6) и o-(f',x) = j2f(nyM (21) nezs

-её ряд Фурье-Лебега, а тригонометрический ряд

Г D(n)é^Üf{n)éW (22) nezs является рядом Фурье-Лебега некоторой функции. Эту функцию назовем (D, си)-производной функции / и обозначим через f(D\x, ck), саму же функцию f — (D, а)- дифференцируемой.

При D(n) = 1, oí = 0 получаем f^(x, 0) = f(x). При 5 = 1, целом положительном г и D(n) = nr,a = г из приведенного определения, с соблюдением необходимых оговорок, получаем определение обычной производной f(r\ а в симметричном случае D(ri) — п~г (п ф 0),а = —г, (D,a)— дифференцирование функции / G L(tti) с /(0) = 0 сводится кг— кратному интегрированию ее ряда Фурье: nez\{o} v ; 4 где

0i(n,t) Е г ЫГ есть алгебраический многочлен степени г при —7Г < Ь < 7Г. Таким образом, при 5 = 1и -О(п) = |п|г (тг -ф 0) , а(п) = гвгдип для целых г в определении (21) - (22) содержится обычное интегрирование при г < 0 и дифференцирование при г > 0, обьединенное под общим названием "дифференцирование".

Дальнейшее обобщение производной состояло в замене числа г под знаком ехр на произвольное число а. По-видимому, впервые это было предложено в [65]. Смысл введения а состоит в том, что при а = г + 2к (к — целое) (И, ск)- производная совпадает с производной (£), г), а при а = г + I + 2к- с функцией, сопряжённой с (I), г) -производной.

Для нецелых = 1,., б) ( и тогда (£>, а)— производная называется вейлевской [66]) при надлежащих уточнениях (см., напр., в одномерном случае ([67], с.200-214; [5], с. 129-134) и многомерном случае ([5], с.237-249)), соответствующее дифференцирование сводится к определению (21) - (22) с п) = £>(щ,., п8) = \ri\j3 , щ(п) = г^дпп0 0' = 1,., в).

3=1

В одномерной! случае исследования с привлечением (1?, а)- производных с различными условиями на И и а проведены разными авторами (см., напр., [68] и имеющуюся в ней библиографию).

Предложенное нами определение (21) - (22) есть обобщение операции дифференцирования в многомерном случае. Формально оно сводится к замене множителя -О(п) и а(п) на функции многих переменных. При

0(п) = П и а3 (п) = а^эдип^ получаем определение (г, о:)- производ

3=1 ной функции / (см., напр., [8]).

Начнем с неравенств типа Джексона-Никольского.

Для тригонометрических полиномов, имеющих степень п^ по переменной х3, С.М.Никольский [69] получил неравенства

- \(И)

ТПи.,па < 2* 11^п1|.,пв(®)||р, (1<P<Q<00).

В случае 5=1, д = оо соответствующее неравенство доказал Джексон [70].

Неравенствами Джексона- Никольского называют неравенства, связывающие различные нормы полиномов (см.,напр., [8]).

Вторая группа вопросов связана с оценкой норм производных (в том или ином смысле) ядер Дирихле по произвольным гармоникам.

Неравенство Джексона- Никольского для полиномов со спектром из произвольного конечного множества (? С Zs ранее изучались многими авторами (см., напр.,[8], [71-74]). В основном развитие этой темы можно классифицировать по следующим характеристикам:

1. по числу точек спектра полинома ;

2. по геометрии спектра полинома.

Отметим также, в некотором смысле особняком стоящую, статью Е.С.Смаилова [74] ,где рассматривается следующая задача: указать семейство тригонометрических полиномов Т(в) для которой имеет место соотношение (1 < р < q < оо) rm{T{G)) = t(T{G)) = sup » х |G|<H>. teT(G) 11*11 P

Что касается первой задачи, то имеет место соотношение (^¡-количество элементов множества G) t{N)=t{T{G))= sup х {N = 1,2,.), teT(G),\G\=N Flip где оценка снизу получена Э.С.Белинским [71],а оценка сверху - Несселем и Вилмсом [72] (случай 1<р<2,р<д<оо),в общем случае -1 < р < д < оо В.А.Родиным [73].

Относительно второй задачи отметим результат В.Н.Темлякова [8], предшествующий нашим результатам.

Когда (7 = есть ступенчатые гиперболические кресты (множество, я составленное из всех п таких, что п € (2(П 2т) = О^ называют ступенчатым гиперболическим крестом) В.Н.Темляковым [8, с.23] было получено соотношение (1 = 71 = . = 7^ < 7^+1 < . < ъ) г(Г(Щ)- 2т<И> (га = 1, 2,.).

При 2<р<д<оои фиксированном С для Т(С) Е.С.Смаиловым [74] получена оценка

•(T(G)) < [min

1 i Р ч гдер* ир*, <р<р*~ ближайшие кр четные числа, а бгг - алгебраическая прямая сумма из г равных слагаемых.

Что касается третьей задачи, если Ас - семейство с-регулярных множеств и Се Ас (см. [74]),то

7|(Н>, 1 <р<д< оо

IV для каждого тригонометрического полинома £ из Т(Сг).

Нами в случае Л - спектра установлены следующие теоремы типа Джексона-Никольского и Бернштейна.

Теорема 2.2.5. Пусть даны числа 1 < р < д < оо, 0 < Т\ < 72 < • ■ • < та. Пусть функция Л(£) удовлетворяет условию (6,т) на (О, I]5 при т = (г1,.,г5), Л(1) — 1 и /невозрастает на (0,1] при фиксированных (£2,., ¿в)- Тогда

11*11, ^ лгЧ1-1) бГ(д0(л,лг)) \\ц\р

Здесь

Зо(Л, N)= U />("), Г0(Л, TV) = {т 6 ^ : Л(2"т) > , пег0(л,л0 р(п) = {т= (ть., ms) е zs : [2n~x] < \mj\ < [2n^]} (n G Z0S). где [a] - целая часть числа а.

Множество функций, удовлетворяющих условиям этой теоремы достаточно широк. В частности, функции вида

Л(£ь£2, .,£*) •Л1(£2,£з,---,г5), принадлежат этому множеству, если Л^г, £з> удовлетворяет условию

5(г2>.,г.)) на (0> при п < г2 < г3 < • • • < тв.

Например, в качестве ¿2, можно взять функцию

Л(£ь£2, .Л) = «г • т-^ • • • < ^ < 1 = *))'

1од±) (1ос1Гз) л(*1,*2, .,*,) = о, Пл = о,

7=1 при П < т2 < т3 < • ■ • < т8 и ъ] > 0 = 2,., з). Рассмотрим функцию Л(£) вида л(г) = л(^) = (ф(4г(0<4<1)

Л(0,0) = Л(£Ь0) = Л(0,£2) = 0, 0 <г<к,

Так как г < к, то Л(£) обладает всеми свойствами смешанного модуля гладкости порядка к. Для выбранной Л(£) положим Г(Л, ./V) = Г(А^) и

Имеет место

Теорема 2.3.11. Пусть 1 < р < д < оо, [3 > 0, г > 0 и выполнены одно из условий

2) 6i>0,62<0,l + ¿<p<g Тогда sup x • (,log teT(Q(N)) Pwllp

Отмстим, что функция A(t) из теоремы 2.3.11 не удовлетворяет условиям теоремы 2.2.5. Поэтому оценки приведенные в теореме 2.3.11 нельзя получить с помощью теоремы 2.2.5.

В этом параграфе нами также получены неравенства типа Бернштейпа для (D,a) - производных тригонометрических полиномов из T(Q(A,N)): т.е.нормы полинома и его (D, а) - производной измеряются в метрике пространства LP (1 < р < оо).

Конкретизируя A(i), в ряде случаев из приведенных выше утверждений можно получить не только известные оценки,а можно получить точных в смысле порядка неравенств типа Бернштейна и Джексона- Никольского.

Порядковые оценки производных Л - ядра Дирихле.

В дальнейшем, для вектора г 6 Rs при

D(n) = D(m,., п8) = Y[ IпзР > aÁn) = Tjsgnrij (j = 1,s) з=i

D,a)- производную функции f(x) (если существует) обозначим через f{r)(x).

Для функции Л(t) введем функцию mq{kn){x)= y, 5п{х),5п{х)= j2 xeRs, n€T(A,N) mSp(n) где, напомним, р(п) = {т= (т1,.,та) Е г3 : 2п~1 < \т3\ < 2п(п е г%).

Также формально определим (поскольку на самом деле будем изучать 0 (

Назовем функцию Мф^ло (ж) многомерным Л - ядром Дирихле. Гармоники функции Мд(л,л^)(ж) лежат внутри, а функции ?д(л,лг)(ж) вне множества д(Л,АГ).

Работы К.И.Бабенко [75], Я.С.Бугрова [76], Н.С.Никольской [77], С.А.Теляковского [78], В.Н.Темлякова [79-80], К.И.Осколкова [81], А.А.Юдина и В.А.Юдина [82], Э.М.Галеева [83-85] и других показывают, что многие вопросы теории гармонического анализа и теории приближений гармонических функций многих переменных тесно связаны с оценками норм в различных метриках ядер, подобных ядру Дирихле. Для ступенчатых гиперболических крестов точные порядковые оценки норм функций М^{х) = М${х) и ^^(х) = Е$(х) в смешанной норме пространства Ьр(тг8) (1 < р < оо) были установлены в работе Э.М.Галеева[85].

Нами установлены точные порядковые оценки норм функций М^д ^ (х) и в У^з) (1 < р < оо), а именно справедливы (всюду ниже полагаем 1 = 0 при р — оо и ро — ро(р) в соответствии с правилом ро—р при 1 < р < оо, ро = 1 при р = оо)

Теорема 2.3.7. Пусть 1 < р < оо, ¡3 € Тогда

РО Е . (23) р \пе г(л,лг) )

Теорема 2.3.8. Пусть 1 < р < оо, ¡3 € Д3. Функция принадлежит пространству -£^(7Г5) тогда и только тогда,когда

Г 2Ро^+1~1р) < оо. (24)

При этом, если выполнено условие (24), то ро

Е . (25)

В соотношениях (23) и (25) даются общий вид оценки ядра Дирихле Мд(л,аг)(^) и функции -Рд(л,лг)(ж), когда спектр ядра принадлежит множеству, порожденному функцией Л(£). При конкретном выборе Л(£), оценивая суммы в правых частях (23) и (25) можно получить ряд известных и новых результатов. Приведем некоторые из них.

Для ступенчатых гиперболических крестов, в случае

7,">0, Ъ = + 1-1) (.7 = 1,.,*), г = п = . = ги > ги+1 > . > г3, из (23) получаем двусторонние оценки

М^(х)

2r/i • ¡jl~ , r> 0;

Л r = 0;

1, r < 0.

Далее, если rj < 0 (j — 1, .,<s), то из соотношения (25) вытекает следующая оценка и-1 р .

7 ,п)>ц

Эти две оценки известны и ранее получены Э.М.Галеевым [85]. К новым, по крайней мере нам не неизвестным, относится Следствие 2.3.1. Пусть 1 < р < оо, /3, Ь\, Ь2 е И, г > 0 и /3+1 — ~ > 0. Тогда где

N'p°(Ф(Ьг,Ь2,г, а0, А/"))™,

Ф(Ь1,Ь2,г,а0^) = < ь1"0 62«0 | 1 log N) r r , bX0iQ < г, 62Q!o < г; (% iV) (/op N) hop l,2aQ

Ь1а0 log log N, b\ao < r, b2aQ = r; log log N, 6ia0 = Л b2(*o < r\ log N) r , 6iao < r, 62Q!o > r;

62 ¿tg log N)~ r , 6ia0 > r, &2aio < r; bag

0^ iV) r , 61 a0 > ^,620-0 > r, b = mm{6i, b2}.

В параграфе 2.3 также установлены оценки норм функций mq{k n) 0е' a) и а) в норме пространства I/ при 1 < р < оо и рассмотрены их точность при некоторых ограничениях на функции A(t), D(n), а(п).

Во второй главе также приведены применения неравенств Бернштейна и Джексона - Никольского для получения теорем вложения в стиле теорем Конюшкова - Стечкина [10] и Ульянова [14].

В частности, в параграфе 2.4 главы 2 получены оценки наилучших приближений (или смешанного модуля гладкости порядка к) {В, си)- производной функции ^х)(в Ьд ) через наилучшие приближения (или смешанный модуль гладкости порядка к) функции фс)(в 1Р, 1 < р < д < оо).

В параграфе 2.5 главы 2 рассматривается вопрос неулучшаемости полученных оценок.

Именно, справедливы

Теорема 2.5.3. Пусть даны числа 1 < р < д < оо, 1 = Т\ < Тч < • • • < т3 и последовательность положительных чисел ¡л = {[¿п} такая, что ¡хп 0 (п | оо) и пусть функция Л(£) удовлетворяет условию (б*7") на (О, I]6' при т = (тх,., 7"я)} А(1) = 1 и Л(£х,., невозрастает на

0,1] при фиксированных Тогда для того чтобы имело место вложение

ЕрМ сЩтг3), (26) необходимо и достаточно, чтобы оо п-0

Теорема 2.5.4. Пусть 1 < р < q < оо, 1 = т\ < 72 < • ■ • < rs, {¿¿п} и {А„}- последовательности положительных чисел, ¡j,n | 0 w Лп J. 0 (п | сю)- Пусть функция Л(t) удовлетворяет условию (ST) па (0, l]s при т = (ti, .,rs), A(21) = 1 и A(ii, .,ts)/ii невозрастает на (0,1] при фиксированных (¿2, •••,ts). Тогда для того чтобы имело место вложение

ЕрЛ(А) С ^л(/х), необходимо и достаточно, чтобы

27) со

1—п

0(/1п) (п -> оо).

В одномерном случае необходимые и достаточные условия для вложений (26) и (27) получены В.И.Колядой [86] (см.также [87]).

Критерий вложения (26) в случае р = 1, # = 2 получен Н.Темиргалие-вым [88].

В третьей, завершающей, главе диссертации изучается задача численного интегрирования функций из Н — В-классов "с доминирующей смешанной разностью "и ]¥-классов Соболева "с доминирующей смешанной производной" (см., напр., [89-93]).

Идея представленного здесь исследования заключается в следующем. В случае классов периодических непрерывных функций F(0, l)s ориентиром для подбора оптимальных или близких к оптимальным квадратурных формул служит геометрия множества "болыпих"коэффициентов Фурье

Te=\meZs: sup |/(m)| > е > О I, (28) f€F( 0,1)« J где f(m)= J f(x)e-2^m'x)dx [0,1]«

-тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега, поскольку имеется прямая связь между сеткой узлов в [О, l]s квадратурной формулы и решеткой В в Z3, носителя тригонометрических коэффициентов Фурье, выражающей возникающую погрешность приближения.

Так, в случае квадратурной формулы с равными весами и равномерной сеткой узлов имеет место равенство где

В = {(¿хАТ,., 18М) : (1Ъ ., 1а) ег8- {0}} ,

Хп есть характеристическая функция множества О. Отсюда видно, что для уменьшения погрешности квадратурной формулы надлежит сетку, или, то же самое, носитель В коэффициентов Фурье выбрать таким, чтобы не пересекалась с (28), т.е. "занулить большие коэффициенты "и чтобы сетка имела как можно меньше узлов.

В этом подходе крайними примерами множеств являются шары (у^ = шах(1; |^|)) ук = {ш е г3 : т{ + • • • + т23 < В?) и гиперболические кресты

Гд = {га £ г3 : Щ\ ■ ■ ■ т8 < К} , определяемые обычными классами Соболева {/е цв • Е I/(™)12(™?г+* • •+т?) ^1 ►

I тег* и Коробова

Щ = {/ 6 ¿(0,1)я : |/(m)| < (т! • • - msyr} соответственно.

Для класса W2 при R х N шар Vr будет соизмерим с наибольшим > кубом Bn = {—N, N)SDZS, для которого VrDB — {0}, а соответствующая квадратурная формула будет иметь неулучшаемую в смысле порядка погрешность.

Но если ту же квадратурную формулу применить для класса Ers, то будут занулсны лишние гармоники, количество которых в степенной шкале в s раз превышают обьем Ду, и, как следствие, соответствующая квадратурная формула будет в степенной шкале завышена в s раз (см.,напр.,[93,94]).

Получение оптимальных или близких к оптимальным квадратурных формул для классов Коробова и близких к ним (обычно это классы с "доминирующей смешанной производной "и с "доминирующей смешанной разностью"), к которым относятся и классы SHp,SB^e и SWffi требует привлечения иных методов, главным образом, теоретико-числовых (см.,напр.,[95-100], более подробно об этом см.[101]).

К настоящему времени для классов SWq{2 < q < оо, rq > 1) найдены правильные порядки убывания погрешностей оптимальных квадратурных формул :

Rn {SWrq) х N~r(log 2 < q < oo, 1< rq), снизу - В.А.Быковский [102] (q = 2, r = 1,2,.) ,B.H.Темляков [103] (2 < q < oo, 1 < rq)\ сверху - H.С.Бахвалов [104] (s — 2,г — 1,2,.) , К.К.Фролов [105] (s, г — 1,2,.), В.H.Темляков [103] (2 < q < oo, 1 < rq). s

А для классов SHff, SBq, порождаемых мажорантой Q,(t) = ]TJ (n = j=i — гu < ru+\ < . < r6, 1 < v < s) установлены следующие неулучитаемые порядки убывания погрешностей оптимальных квадратурных формул

Rn (SHrq) х N~r^log N)s~\l <q< oo, 1< nq), снизу - H.С.Бахвалов [106]; сверху - H.С.Бахвалов [104] (s = 2, г = 1,2,.), В.В.Дубинин [107] (1 < q < oo, 1 < п)) ;

Rn (sb2rra) ~ N~ri(log N)*?

1 < q < oo, 1< nq, 1<0<оо,| + ^ = 1)

В.В.Дубинин [108]).

Цель работы состоит в построении квадратурных формул для классов SHq, SB^ Q и чтобы одновременно обеспечивалась простота сетки, эффективность и близость к оптимальному алгоритма построения сетки. Простота сетки состоит в ее сверх-экономной записи ({• • • }- дробная часть) когда rio (s + 1) целым числам (N, ai,as) за xiV элементарных арифметических операций легко выписывается сетка произвольного обьема N.

Отметим, что методы, используемые при решении поставленных задач, в такой форме были предложены С.М.Ворониным и Н.Темиргалиевым (см. работы [95-100]).

Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа S - классов Никольского, Бесова и Соболева.

Обозначим SWffl (1 < q < оо) класс функций f{x),таких,что f^(x,a)eLl(7rs)H\\f^(x,a)\\q<l.

Для произвольных г класс SWq хорошо известен (см.,напр , [8]).Также отметим,что в случае г € Z+ класс SWq аналогичен классу функций / € Ll{ixs) таких,что ||/М||в < 1.

Перед тем, как перейти к формулировкам теорем, сообщим, что эффективный алгоритм, согласно которому каждому конечному множеству Е С Zs за -С f(E)lnlnf(E) элементарных арифметических операций ставится в соответствие простое р, р = 1 (modl), р f(E) и набор целых чисел ai,.,as, при 3 < I < 19, где f{E) = ^ lnN(m), был предложен тпеЕ*

H.Темиргалиевым [109].

В данной диссертации мы будем пользоваться алгоритмом из [110], в случае произвольных s — I — 1, где I > 3 - простое число (более подробно i об этом см.[101]) .

Теорема 3.2.1. Пусть даны простое число I = s + 1 > 3, числа 1 < q < 2, 0 < ai = . = аи < av+1 < . < аа (1 < и < s) и A(t) - неубывающая функция по каждой переменной удовлетворяющая условиям (S а) при a. — (ai,.,as) и (S р) при (3 — (/?i, .,/?s), А >

I, аг < Pi. И пусть функция D(n) ф 0 удовлетворяет условию

С {те р{п), п € Zs+) для некоторого > 0. Тогда для всякого R > Саг(1) существует простое число р, р = 1 (mod I), р « R°ílnvR и целое число а, (а,р) — 1, ф

Р{ 2") D{m)

1 (то(1р) для отыскания которых достаточно выполнить « Я^Ы^Я-1п1пЯ элементарных арифметических операций, такие, что ези!? [од] ир / Пх)<1х-±£/ ,. {*«.}) «

•цЛ? [0,1]" п=1 > ^ оо \ * р

При конкретном выборе в

Л(*) = П>? (1 = 71 <•••<%), ¿е[0,1]в, в

3=1 в

Б{п) = \п\у> (г > 0), щ(п) = а^здпп] , п € з=1 5 из этой теоремы получаем квадратурную формулу для классов 5 г^- = с гармониками из гиперболических крестов с погрешностью

В этом случае при 3 < I < 19, Г\ = . = ги < ги+\ < . < г3 (1 < ^ < з), пд > 1, 7? = ^ С? = 1,й), и а(п) = 0 теорема была ранее доказана Е.А.Баиловым [111], а при и — з - Н.Темиргалиевым [109], а для произвольных простых I > 3- в [110].

Теорема 3.2.2. Пусть даны простое число I = б -{- 1 > 3, числа 1 < д < 2, 0 < а\ — . = < аи+х < . < а8 (1 < и < в) и Л(/;) - неубывающая функция по каждой переменной удовлетворяющая условиям {в а) при ос = (скх,., а3) и (Б р) при /3 = {(3\, Д > А- Пусть - функция типа смешанного модуля гладкости порядка к и удовлетворяет условиям (Б) и (5* при "у — (71, .,7в), 0 < 7г < Тогда для всякого Я > Са1(1) существует простое число р, р = \ijnod I), р « Я^Ы^Я и целое число а, (а,р) = 1, а^ ф 1{то(1р) для отыскания которых достаточно выполнить « Яа11п1> Я-1п1пЯ элементарных арифметических операций, такие, что

Я = 2\ 9 > 0) вир /ей?

При п V

ОД] -С п

-С1д

Р .

Е 0(2-п)А-9 (2~п)2ч

29) п€Т±(А,П) т = п % (7,- > 1), т = п % (зо)

3=1 3=1 из (29) мы получаем квадратурную формулу для классов Никольского 5 Нци'",г* с гармониками из гиперболических крестов с погрешностью (Я = 2е, 0 > 0) п,7)>0

В этом случае при 3 < I < 19, гх = . = ги < х < . < г8 (1 < ^ < з), гх<? > 1 и = (у = 1, теорема была ранее доказана Е.А.Баиловым [111], а при V — в - Н.Темиргалиевым [109], а для произвольных простых I > 3- в [110].

Теорема 3.2.3. Пусть даны простое число I = б + 1 > 3, числа 1 < q < 2, 1 < 9 < оо, 0 < а\ = . = аи < а„+\ < . < а3 (1 < и < в) и А(£) - неубывающая функция по каждой переменной, удовлетворяющая условиям (¿7 а) при а. = (ах,., а3) и (5 р) при /3 = (Д,., Д), Д > < Д- Пусть П(£) - функция типа смешанного модуля гладкости порядка к. Тогда для всякого В, > Са1(1) существует простое число р,

1 р—1 р = 1 (шос? /), р << Иа11пиН и целое число а, (а,р) = 1, а < ф 1 (тойр) для отыскания которых достаточно выполнить « К^ 1пиЯ- 1п1пЯ элементарных арифметических операций, такие, что вир

ОД]3 71-1 п

-ах

Р . п

-а в р 1 пег-1-(Л,я) где 9$ = при 9 > 1 и 6$ = оо при 0

Если Л(£) и Г2(£) определены как в (30), то из теоремы 3.2.3 получаем квадратурную формулу для классов ¿> с гармониками из гиперболических крестов с погрешностью (Я = 2г, I > 0) 00

Rq |>,/3)>l

Отсюда, при г\ = . = ги < ги+\ < . < rs (1 < и < s), r\q > 1 и 7j = £ (j = 1,., s), 1 = ft = 7l = . = Д, = 7l/, 1 < ft < 7jQ = u+1, ., s), имеем

Zoo R

Во вторых,полагая tt(t) = A(t) и atq > ft > с^ (г = l,.,s) из (31) получим, что

I E neG(R)

Отсюда, если (3 — а, то д ^ |<7(Д)1* ^ (¿орД)^

R R '

Об эквивалентных условиях равномерной распределенности сеток Коробова

Задача эффективного построения равномерно распределенных сеток на многомерном единичном кубе представляет собой активно развивающееся и перспективное направление с многочисленными приложениями и связями с другими разделами математики (см., напр., [112] и имеющуюся в ней библ.).

В данной работе под равномерной распределенностью последовательности сеток (конечных множеств) {df^} 113 s-мерного единичного куба

0, l]s , индексированных достаточно плотной возрастающей последовательностью целых положительных р понимается существование положительных C(s) > 0 и (3{s) > 0 таких, что для всех р выполнено неравенство sup 11¿ £ X/ (ф) - Щ=1 {dj= Щ=1 H dj] с [o, 1]*} < сад» (32) где ха ~ характеристическая функция множества А (подробности см., напр., в [113]).

Величина Д, } в (32) называется дискрепансом сетки подробности см., напр., в [113]). Справедливость оценки снизу у /с—-X ^ в (32) для всех возможных сеток } 1 113 [0? I]6 установлена К.Ротом

114]. В 1958 году Н.М.Коробов [115] установил существование для всякого целого положительного р взаимно простых с р целых чисел а\ = а\ (р), ач = (р)5 •••) сь8 = а8(р) таких, что сетка ({гс} - дробная часть числа х)

Ь(р,а 1,.,а3)=\ (к = 1, .,р), (33) равномерно распределена на [0,1]в .

В этом случае набор целых чисел ах, а2,., а8, следуя Н.М.Коробову ([115], см. также Введение в [116]), называют оптимальными коэффициентами по модулю р.

Этот результат является весьма ценным с вычислительной точки зрения в том смысле, что сетка (33) полностью определяется заданием (в + 1) -мерного целочисленного векторар, аг(р), аг(р),., а5(р), по которому выписывается за >~~<р элементарных арифметических операций, в то время я-мерная сетка объема р составляется из вр действительных чисел.

Сетки вида (33) назовем сетками Коробова.

Таким образом, задача заключается в нахождении достаточно плотной последовательности целых положительных р и соответствующих им взаимно простых с р целых чисел а\ (р), ао(р),., а3{р) таких, что для дискрепанса Д сетки Коробова (33) выполнено неравенство (32).

Основным результатом настоящей работы является следующий результат, в которой дан определенный ответ на поставленную задачу.

Теорема 3.3.1. При данных г > 1 и в (в = 1,2,.) существуют полоэюителъные величины Сг, (3\ , и @2 такие, что для всякого целого положительного р и для всякого целочисленного вектора неравенство д,

IР выполнено тогда и только тогда, когда V

В этой теореме в дополнение к известным (см. в [115] теорему 22 (стр. 141-146) и теорему 19 (стр. 126-130)) дан еще один критерий равномерной распределенности сеток Коробова.

Таким образом, задача построения равномерно распределенной сетки Коробова сведена к проверке выполнения неравенства (34) при каком-либо целом г > 1 для алгебраического многочлена Бернулли Ьг(х).

4 Выводы

В первой главе диссертационной работы при 1 < р < q < оо получены оценки наилучших приближений функции одной и многих переменных тригонометрическими полиномами (в Lq ) через ее смешанный модуль гладкости (в LP) - прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона разных метрик, и оценка смешанного модуля гладкости функции (в Lq) через ее наилучшие приближения (в LP) тригонометрическими полиномами - обратные теоремы теории приближений или теоремы типа Бернштейна разных метрик. Именно,

1. Для функций Q,(t) и A(t) (подчиненных естественным условиям регулярности) соответственно осуществляющих более тонкую классификацию функций, нежели классические пространства Никольского и Бесова и, независимо, широкий выбор спектра тригонометрических полиномов в определении наилучших приближений, при 1 < р < q < 00 получены неулучшаемые оценки наилучших приближений (в L'1 ) функции многих переменных через ее смешанный модуль гладкости (в LP), когда функция f(x) принадлежит пространству SHp (пли и оценка смешанного модуля гладкости функции (в Lq ) через ее наилучшие приближения (в LP) тригонометрическими полиномами;

2. Получена обратная теорема теории приближений в одномерном случае для пространства Лоренца, неулучшаемая при достаточно широких условиях регулярности.

Другой задачей, составляющей содержание данной диссертации, является изучение поведения тригонометрических полиномов со спектром ненулевых коэффициентов из множеств, порожденных поверхностями уровня функции A(t) по отношению к двум группам вопросов (им посвящена вторая глава диссертации).

Первая группа вопросов заключается в получении неравенств типа Бернштейна (нормы полинома и его производной (в том или ином смысле) измеряются в метрике пространства LP (1 < р < оо) и Джексона - Никольского (связывающие нормы полинома в различных метриках).

Вторая группа вопросов связана с оценкой норм производных (в том или ином смысле) ядер Дирихле по произвольным гармоникам.

Во второй главе также даны применения неравенств Джексона - Никольского, для получения теорем вложения в стиле точных одномерных теорем Конюшкова-Стечкина и Ульянова.

Итак, во второй главе диссертации

3. Получены неравенства Бернштейна, Джексона - Никольского для тригонометрических полиномов со спектром, порожденным поверхностями уровня функции Л(£) и рассмотрены их точность при конкретном выборе функции Л(£) ;

4. Введено понятие Л - ядра Дирихле и получены окончательные оценки норм производных ( в том или ином смысле) Л - ядер Дирихле;

5. Установлены оценки наилучших приближений и смешанного модуля гладкости (7?, а) - производной функции через наилучшие приближения самой функции в случае разных метрик;

6. Доказаны теоремы вложения для классов типа Б - классов Никольского и Бесова и их неусиляемость.

В третьей главе диссертации, в качестве приложения полученных результатов, изучается задача численного интегрирования функций из Н и В - классов "с доминирующей смешанной разностью11 и \У - классов Соболева "с доминирующей смешанной производной".

Именно,

7. Построены квадратурные формулы с равными весами для классов типа £> - классов Никольского, Бесова и Соболева с указанием эффективного алгоритма нахождения целочисленного вектора узлов - оптимальных коэффициентов.

8. Приведен критерий равномерной распределенности сеток Коробова в терминах алгебраического многочлена Бернулли.

1. Jackson D.Ueber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funck-tionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Diss.Güttingen,1911.

2. Бернштейн C.H. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени //Собр. соч. М., 1952. Т.1. 581 с.

3. Zigmund А. Smooth functions //Duke Math.,1945, № 12, P.47-76.

4. Никольский C.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

5. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

6. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона // Матем. заметки, 1976, Т.20,№ 3, С.439-444.

7. Ганзбург М.И. О многомерных теоремах Джексона // Сиб.матем.журнал, 1981, Т.22, № 2, С.74-83.

8. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной. //Труды МИАН СССР, 1986, Т.178, С.3-112.

9. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье //Вестник Евразийского университета, 1997, № 3, С.90-144.

10. Конюшков А.А.Наилучшие приближения тригонометрическими полипомами и коэффициенты Фурье // Матем.сборник, 1958, Т.44(86), С.53-84.

11. Тиман М.Ф. Наилучшие приближения и модуль гладкости функций, заданных на всей вещественной оси // Изв.вузов. Математика,1961., № 6, С.108-120.

12. Жайнибекова М.А. О соотношениях между модулями непрерывности и наилучшими приближениями в разных метриках и некоторые многомерные теоремы вложения: Автореф. . канд.физ-мат.наук: 01.01.01. Алматы: ИММД985. 14 с.

13. Сихов М.Б. О некоторых соотношениях между модулями гладкости и наилучшими приближениями тригонометрическими полиномами в разных метриках //Автореф. . канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. Алматы.: ИММД988. 12 с.

14. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций //Изв. АН СССР. Сер.матем., 1968, Т.32, № 3, С.649-686.

15. Ильясов Н.А. К прямой теореме теории приближений периодических функций в разных метриках //Труды МИ РАН,1997, Т.219,С.356-377.

16. Ильясов Н.А. Обратная теорема теории приближений в разных метриках //Матем. заметки, 1991, Т.50, № 6, С.57-65.

17. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью //Труды МИАН СССР, 1989, Т.189, С.138-168.

18. Faward J. Sur l'approximation des fonctions périodiques par les polynomes trigonometriques //C.r.Acad.Sci.,1936,V.203, P.1122-1124.

19. Ахиезер Н.И.,Крейн M.Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций //Докл.АН СССР,1937,Т.15.№ 3,С.107-112

20. Никольский С.М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица //Изв. АН. СССР, Сер.матем., 1946, Т.10, № 4, С.295-322.

21. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.:Наука,1976. 320 с.

22. Кашин B.C. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций //Изв. АН СССР, Сер.матем., 1977, Т.41, № 2, С.334-351.

23. Андриенко В.А. Теоремы вложения для функций одного переменного // Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1971, С. 203-262.

24. Тиман М.Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. Днепропетровск: Полиграфист, 2000. 320 с.

25. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах 1^,0 < р < 1 //Матем. сборник, 1975, Т.98, № 3, С.395-415.

26. Иванов В.И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Ьр для 0 < р < 1 // Матем. заметки, 1975, Т.18, № 5, С. 641-658.

27. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Ьр // Матем. заметки, 1994, Т.56, № 2, С.15-40.

28. Голубов Б.М. Ряды по системе Хаара //Итоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1970, С.109-146.

29. Балашов Л.А., Рубинштейн А.И. Ряды по системе Уолша и их обобщения // Математический анализ.1970. Итоги науки. Серия математика. Изд-во ВИНИТИ, 1971, С. 147-202.

30. Рубинштейн А.И. О модулях непрерывности и наилучших приближениях в Ьр функций, представимых лакуиарными рядами Уолша // Известия вузов. Математика, 1983, №5, С.61-68.

31. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

32. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988. 256 с.

33. Буслаев В.И. О гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса в теории аппроксимаций Паде //Матем. сборник, 2002, Т.193, № 6, С.25-38.

34. Буслаев В.И. Аналог теоремы Фабри для обобщенных аппроксимаций Паде //Матем. сборник, 2009, Т.200, № 7, С.39-106.

35. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964. 440 с.

36. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. М.-.Наука, 1987. 344 с.

37. Иванов В.И., Чертова Д.В., Лю Юнпин. Точное неравен:<^=гзсво Джексона в пространстве Ь2 на отрезке —1,1] со степенным ве<зом // Труды ИММ, 2008, Т. 145, № 3, С.112-126.

38. Рубинштейн А.И. О модулях непрерывности функций, определен i^Lbix на нульмерной группе // Матем. заметки, 1978, Т.23, № 3, С.379—S88.

39. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения: и дифференциальные свойства двух сопряженных функций /

40. ММО, 1956, Т.5, С. 483 522.

41. Ульянов П.Л. О модулях непрерывности и коэффициентах Фту^—ЕЗ-Ьс //Вестник МГУ. Сер.матем.,мех., 1995, № 1, С.37-52.

42. Пустовойтов H.H. Многомерная теорема Джексона в простраыкг^гтве Ьр //Матем. заметки, 1992, Т.52, № 1, С. 105-113.

43. Пустовойтов H.H. Приближение многомерных функций с мажорантой смешанных модулей непрерывности //Матем. 1999, Т.65, № 1, С.107-117.

44. Пустовойтов H.H. Представление и приближение периодиче<^^^Есих функций многих переменных с заданным смешанным модз^--—нем непрерывности //Anal.Math., 1994, V.20, Р.35-48.

45. Бабенко К.И. О приближении периодических функций мн:<г^>гихпеременных тригонометрическими многочленами //ДАН С СCZJP,1965, Т. 132, № 2. С.247-250.

46. Исмагилов P.C. Поперечники множеств в линейных нормировать-е тргых пространствах и приближение функций тригонометричесг<с—lschvih многочленами //УМН , 1974, Т.29, № 3. С. 161-178.

47. Темляков В.Н. Поперечники некоторых классов фуш&с. Ендий нескольких переменных//ДАН СССР, 1982, Т.267. С.314-317.

48. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодичо-с^ш&сих функций многих переменных и в пространстве Lq / У-^Сзв. АН. Сер.матем., 1985, Т.49. С.916-934.

49. Теляковский С.А. Некоторые оценки для тригонометрии:егч^^сгсих рядов с квазивыпуклыми коэффициентами //Матем. сборник, ИЗГ—"Ö64, Т.63(105), С.426-444.

50. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука,1975, 480 с.

51. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной,удовлетворяющей кратному условию Гельдера //Сиб.матем.журнал, 1963, № 6, С. 1342-1364.

52. Бахвалов Н.С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными //Вестннк МГУ. Серия.матем.,мех., 1963, № 4, С.7-16.

53. Аманов Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алматы: Наука, 1976, 224 с.

54. Бесов О.В., Джабраилов А.Д. Интерполяционные теоремы для некоторых пространств дифференцируемых функций //Труды МИАН СССР, 1969, Т.105, С.15-20:

55. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной //Труды МИАН СССР, 1965, Т.77, С.143-167.

56. Бугров Я.С. Приближение тригонометрическими полиномами функций многих переменных//Труды науч.об-ния преподавателей физ.-мат.фак.пед.ин-тов Дальнего Востока, Хабаровск, 1962, Т. 1 (Математика), С.28.

57. Потапов М.К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения "углом"//Труды МИАН СССР, 1972, Т.117, С.256-291.

58. Потапов М.К. Вложение классов функций с доминирующим модулем гладкости //Труды МИАН СССР, 1974, Т. 131, С. 199-210.

59. Потапов М.К. Теоремы вложения в смешанной метрике //Труды МИАН СССР, 1980, Т. 156, С.143-156.

60. Динь Зунг. Приближение функций многих переменных на торс тригонометрическими полиномами //Матем. сборник, 1986, Т. 131, № 2, С.251 271.

61. Кудрявцев Л.Д., Никольский С.М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремывложения //ИНТ. Современные проблемы Фундаментальные направления, 1988, Т.26, С.5-158.математики.

62. Sun Yongsheng, Wang Heping. Reprezentation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness //Труды МИ РАН, 1997, T.219, C.356-377.

63. Романюк А.С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве Lq // Украинский матем.журнал, 1991, Т.43, № 10, С. 1398-1408.

64. Стасюк С.А. Найкраиц наближення, колмогоровсью та тригонометричш поперечники класав перюдичних функцш багатьох змшних // Украинский матем.журнал, 2004, Т.56., № 11, С.1557-1567.

65. Aganin A.I., Potapov М.К. On imbedding of function classes Hi£uqi into classes Еф2т(A) //Acta Math.Hungar, 1995, T.68, № 3, C.197-22o!

66. Nady B. Sur une classe generalc de procedes dc sommation pour les series de Fourier //Hung.Acta Math., 1948, V.l, № 3, P.14-62.

67. Weyl H. Bemerkungen zum Begriff der Differentialquotienten gebrochener Ordnung //Vierteljahschrift d. Naturforscher' Gesellschaft in Zurich', 1917, V.62, P.296-302.

68. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. M.: Мир, 1965, T.l, 537 с.

69. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова думка, 1987, 268 с.

70. Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Труды МИАН СССР, 1951, Т.38, С.244-278.

71. Jackson D. Certain problem of closest approximation // Bull.Amer.Math.Soc., 1933, V.39, P.889-906.

72. Белинский Э.С. Две экстремальные задачи-для тригонометрических полиномов с заданным числом гармоник //Матем. заметки, 1991, Т.49, № 1, С. 12-18.

73. Nessel R.J., Wilmes G. Nicolskii type inequalities for trigonometric poli-nomials and entire functions //J. Austral.Math.Soc., 1978, Ser.A, V.25, P.7-18.

74. Родин В.А. Неравенства для тригонометрических полиномов с лакунами в пространствах Ьр //Исследования по теории функций многих переменных. Ярославль, 1990, С. 128-133.

75. Смаилов Е.С. О влиянии геометрических свойств спектра многочлена на неравенства разных метрик С.М.Никольского // Сиб.матем.журнал, 1998, Т.39, № 5, С.1157-1163.

76. Бабенко К.И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами //ДАН СССР, 1960, Т.132, № 5, С.982-985.

77. Бугров Я.С. Конструктивная характеристика классов функций с доминирующей смешанной производной //Труды МИАН СССР, 1974, Т.131, С.25-32.

78. Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp //ДАН СССР, 1973, Т.208, № 5, С.1282-1285.

79. Теляковский С.А. Об оценках производных тригонометрических полиномов многих переменных //Сиб.матем.журнал, 1963, Т.4, № 6, С.1404-1411.

80. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной //ДАН СССР,1979, Т.248, № 3, С.527-530.

81. Темляков В.Н. О приближении периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной //ДАН СССР,1980, Т.253, № 3, С.544-548.

82. Осколков К.И. Аппроксимативные свойства суммируемых функций на множествах полной меры //Матем. сборник, 1977, Т.103(145), № 4, С.584-594.

83. Юдин А.А., Юдин В.А. Дискретные теоремы вложения и константы Лебега //Матем. заметки, 1977, Т.22, № 3, С.381-394.

84. Галеев Э.М. Приближение некоторых классов периодических функций нескольких переменных суммами Фурье в метрике Lp //Успехи матем.наук, 1977, T.XXXII, вып. 4, С.251-252.

85. Галеев Э.М. Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными //Матем.заметки, 1978, Т.22, № 2, С.197-212.

86. Галеев Э.М. Порядковые оценки производных периодического многомерного а- ядра Дирихле в смешанной норме //Матем. сборник, 1982, Т. 117(159), № 1, С.32-43.

87. Коляда В.И. Теорема вложения и неравенства разных метрик для наилучших приближений //Матем. сборник, 1977, Т. 102, Ш 2, С. 195215.

88. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках //Матем.сборник, 1970, Т.81(123), № 1, С.104-131.

89. Темиргалиев Н. О вложении некоторых классов функций //Матем.заметки, 1976, Т.20, № 6, С.835-841.

90. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.:Наука, 1974, 808 с.

91. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.:Наука, 1988, 254 с.

92. Hlawka Е., Firneis F., Zinterliof Р. Zahlentheoretische Methoden in der numerischen Mathematik. Wien;Munhen;01denbourg, 1981.

93. Hua Loo Keng, Wang Yuan. Application of Number Theory of Numerical Analysis. Berlin, Heidelberg: New York: Springer Yerlag, 1981.

94. Н.М.Коробов. Теоретико- числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦНМО, 2004, 288 с.

95. Н.М.Коробов. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // Докл.АН СССР., 1957, Т.115, № 6, С.1062-1065.

96. Воронин С.М.,Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел //Матем. заметки, 1989, Т.46, № 2, С.34 41.

97. Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных //Матем.сборник, 1990, Т.181, № 4, С.490-505.

98. Темиргалиев Н. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования и восстановления функций многих переменных. Автореф. . докт.физ.-мат.наук: 01.01.01. М.: МИАН', 1991. 18 с.

99. Воронин С.М. О квадратурных формулах //Изв.РАН. Сер.матем.,1994, Т.58, № 4, С.189 194.

100. Воронин С.М. О построении квадратурных формул //Изв.РАН. Сер.матем., 1995, Т.59, № 4, С.3-8.

101. Темиргалиев Н. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования, связанных с теорией дивизоров в круговых полях //Матем. заметки, 1997, Т.61, № 2, С. 297 301.

102. Быковский В.А. О правильном порядке погрешности оптимальных кубатурных формул в пространствах с доминирующей смешанной производной и квадратических отклонениях сеток //Владивосток, Препринт. ВЦ ДВНЦ АН СССР, 1985, № 23, 31 с.

103. Темляков В.Н. Об одном приеме получения сеток снизу погрешностей квадратурных формул //Матем.сборник, 1990, Т.181, № 10, С.1403-1413.

104. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов //Вестник МГУ. Серия.матем.,мех., 1959, № 4., С.3-18.

105. Фролов К.К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций //Докл.АН СССР, 1976, Т.231, № 4, С.818-821.

106. Бахвалов Н.С. Оценки снизу асимптотических характеристик функций с доминирующей смешанной производной //Матем. заметки., 1972, Т.12, № 6, С.655-664.

107. Дубинин В.В. Об оптимальных формулах для классов функций с ограниченной смешанной разностью //Матем. заметки., 1990, Т.49, № 1, С. 149-151.

108. Дубинрга В.В. Кубатурные формулы для классов Бесова // Изв. РАН. Сер.матем., 1997, Т.61, № 2, С.27-52.

109. Темиргалиев H. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования и восстановления функций многих переменных. Дисс. . докт.физ.-мат.наук: 01.01.01. М.: МИАН, 1991, 199'с.

110. Темиргалиев Н., Баилов Б.А., Жубанышева А.Ж. Об общем алгоритме численного интегрирования периодических функций многих переменных //Докл. РАН, 2007, Т.416, № 2, С. 169-173.

111. Баилов Е.А. Приближенные интегрирование и восстановление функций из анизотропных классов и восстановление решений уравнения Пуассона. Дисс. канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. Алматы: ИТПМ, 1999, 82 с.

112. Roth K.F. Ограничения для регулярности. Сборник "Математика: границы и перспективы". М: ФАЗИС, 2005, С.375-394.

113. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.

114. Roth R.F. On irregularities of distribution // Mathematika,1954, V.l, №2., P.73-79.

115. Коробов H.M. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963. 224 с.

116. Темиргалиев Н., Кудайбергенов С.С., Шоманова A.A. Применение тензорных произведений функционалов в задачах численного интегрирования // Изв.РАН, сер.матем., 2009, Т.73, №2, С.183-224.

117. Лапин C.B. Вопросы, связанные с вложением в некоторые классы измеримых функций. Дисс. . канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. М.: МГУ, 1982.

118. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978, 400 с.

119. Шерстнева Л.А. О вложении некоторых классов измеримых функций из пространств Лоренца. Дисс. . канд.физ.-мат.наук: 01.01.01 М.: МГУ, 1986.

120. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье //Матем.сборник, 1967, Т.72(114), № 2, С.193-224.

121. Кокилашвили В.М. О приближений периодических функций //Труды Тбилисского математического института, 1968, Т.34, О-51-81.

122. Кокилашвили В.М. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости в различных лебеговских пространствах периодических функций с преобразованным рядом Фурье //Сообщение АН ГССР, 1964, Т.35, № 1, С.3-8.

123. Гольдман M.JI. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского-Бесова с модулями непрерывности общего вида //Труды МИАН СССР, 1984, Т.170, С.86-104.

124. Тиман М.Ф. О вложении Ь^ классов функций //Изв. вузов. Математика, 1974, № 10, С.61-74.

125. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 366 с.

126. Тригуб P.M. Вокруг аппроксимационной теоремы К.Вейерштрасса //Препринт.Донецк, 2005, 154 с.

127. Пустовойтов H.H. Ортопоперечники некоторых классов периодических функций двух переменных с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности //Изв. РАН. Сер.матем., 2000, Т.64, № 1, С.123-144.

128. Митягин B.C. Приближение функций в пространствах LP и С на торе //Матем.сборник, 1962, Т.58(100), № 3, С.397-414.

129. Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp

130. Сиб.матем.журнал, 1974, Т.15, № 2, С.395-412.

131. Bergstrom V. Einige Bemerkungen zur. Theorie der diophantischen Approximationen //Eysiogr.Salsk. Land. Forh., 1936, V.66, №13, P.l-19.

132. Van der Corput J.G. Verteilungs funktionell-VIII //Proc.Akad. Amsterdam, 1935, V.38, №8, P.813-821; V.10.P.1058-1066.

133. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.:Наука, 1969. 288 с.

134. Hlawka Е. Zur angenflherten Berechnung mehrfacher Integrale // Monatsh. Math, 1962,B.66, Z.140-151.

135. Воронин С. M. Избранные труды: Математика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Ваумана, 2006.

136. Жубанышева А.Ж., Темиргалиев Н., Темиргалиева Ж.Н. Применение теории дивизоров к построению таблиц оптимальных коэффициентов квадратурных формул // ЖВМ и МФ, 2009, Т.49, №1, С.14-25.

137. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:Наука, 1987. 598 с.

138. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.:Наука, 1986. 743 с.

139. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.:Наука, 1975.

140. Смоляк С.А. Интерполяционные и квадратурные формулы на классах W s и Es // Докл. АН СССР, 1960, Т.131, №5, С.1028-1031.

141. Рябенький B.C. О таблицах и интерполяции функций из некоторого класса //Докл. АН СССРД960, Т.131, №5, С. 1025-1027.

142. Боревич З.И. , Шафаревич.И.Г. Теория чисел. М.: Наука, 1985, 503 с.

143. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. Москва-Ленинград: Гос.изд-во техн.-теор.литер., 1940. 260 с.

144. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз,1966, 384 с.

145. Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. М.: ИЛ,1947. 226 с.

146. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.2. М., 1985, 399 с.

147. Beck J., Chen W.W. Irregularities of distributions. Cambridge Tracts in Mathematics, 89, Cambridge University Press, 1987.

148. Chazelle B. The discrepancy method: randomness and complexity. Cambridge Univ. Press,2002.

149. Ciesielski Z. On Levy's Brownian motion with several-dimensional time //Lect. Notes Math., 472, Springer, 1975, P. 29-56.

150. Dobkin D.P., Mitchell D.P. Random-edge discrepancy of suppersampling patterns // Graphics Interface, 93,York, Ontario, 1993, P. 62-69.

151. Drmota M.,Tichy R.F. Sequences, discrepancies and applications. Lect. Notes Math., 1651, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

152. Matousek J. Geometric discrepancy, Algorithms and Combinatorics, 18, Springer-Verlag, 1999.

153. Plaskota L. Noisy information and computational complexity. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.

154. Tezuka S. Uniform random numbers: theory and practice. Kluwer Academic Publishers, Boston, 1995.

155. Василковский Г.В., Возняковский Г. Обзор сложности в средней ситуации для линейных многомерный проблем // Известия вузов. Математика, 2009, №4, С. 3-19.

156. Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // ЖВМ и МФ, 1963, №3, С.370-376.

157. Сихов М.Б. О некоторых соотношениях между модулем непрерывности в LP я наилучшим приближением в С //Изв. АН КазССР. Сер. физико математическая, 1986, № 3, С.41-46.

158. Сихов М.Б. О вложении некоторых классов функций. Каз. гос. Ун-т. Алматы, ДЕП. в КАЗНИИНТИ, 12.01.87, 20 е., № 1519 Ка87.

159. Сихов М.Б. Об одной теореме вложения //Дифференциальные уравнения, гармонический анализ и их приложения. МГУ, 1987, С.106-107.

160. Сихов М.Б. О вложении некоторых классов функций //Изв. АН КазССГ. Сер. физико математическая, 1988, № 1, С.45-47.

161. Сихов М.Б. О некоторых теоремах вложения //Изв. Вузов. Математика, 1988, № 9, С.83-85.

162. Сихов М.Б. Об одной обратной теореме разных метрик для преобразованных рядов Фурье //Теория функций, уравнения математической физики и их приложения. Алматы, 1988, С.47-50.

163. Сихов М.Б. О некоторых соотношениях между модулями гладкости и наилучшими приближениями тригонометрическими полиномами в разных метриках //Дисс. . канд.физ.-мат.наук: 01.01.01. Алматы: ИММ, 1988. 118 с.

164. Сихов М.Б. Об обратных теоремах теории приближений. Тез.докл. Всес. конф. Баку, 1989, 117 с.

165. Сихов М.Б. Об обратной теореме теории приближений в симметричных пространствах // Изв. АН КазССР. Сер. физико -математическая, 1989, № 5, С.46-50.

166. Сихов М.Б. О вложении ЕР(Х) С Щк //Изв. Вузов. Математика, 1990, № 7, С.61-65.

167. Сихов М.Б. О вложении вВ^д С Е^(ВГ) // Тезисы докладов конф., посвященной 70-летию Аманова Т.И. "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики". Алматы ,1993 г. С.141-142.

168. Сихов М.Б. Об обратных теоремах теории приближений. Тез.докл. региональной научно-методической конф. "Проблемы математики и информатики и их преподавания". Акмола, 1998, 41 с.

169. Сихов М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования для классов функций с заданной мажорантой смешанных модулей гладкости. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 95 с.

170. Сихов М.Б. Об обратной теореме теории приближений в пространствах Лоренца. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 125 с.

171. Сихов М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах Н^. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 127 с.

172. Сихов М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 126 с.

173. А.У. Кныкова, М.Б. Сихов, С.С. Кудайбергенов. Оценка сверху погрешности квадратурных формул на классах У/3. Тез.докл. II межд. науч. конф. Актобе, 1999, 121 с.

174. Сихов М.Б., Кныкова А.У., Абетаева К.А. Обратная теорема конструктивной теории функций в пространствах Ьрл //Труды Международного симпозиума посвященной 100-летию К.И.Сатпаева. Алматы, 1999, Часть III, С.89-92.

175. Сихов М.Б. Многомерная теорема Джексона в случае разных метрик. Тез.докл. конф. "Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии". Алматы, 2000, С. 99-101.

176. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского и некоторые теоремы вложения //Доклады HAH РК, 2000, № 5, С.14-19.

177. Сихов М.Б. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функции с доминирующей смешанной разностью //Вестник КазГУ. Серия математика, механика, информатика, 2001, № 1(24), С.28-34.

178. Сихов М.Б. Многомерная теорема Джексона в случае разных метрик // Труды меж д. коиф. "Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии". Алматы, 2001, С.115-118.

179. Сихов М.Б. О необходимых условиях вложения Еф^(Х) в Н^кр // Изв. МОИ РК, HAH РК. Сер. физико математическая, 2001, Jf° 1, С.66-72.

180. Сихов М.Б. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости (Д а) производных функции //Вестник МО и НАН РК, 2000, № 5, С. 73- 77 .

181. Сихов М.Б. О неравенствах Джексона-Никольского // Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2002, № 2(30), С.9-17.

182. Сихов М.Б., Дюсебаева О.Д. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой // //Изв. МОН РК, IIAH РК. Сер. физико математическая, 2002, № 1. С.51-58.

183. Сихов М.Б. Прямые и обратные теоремы теории приближений в разных функциональных метриках. Тез.докл.межд.науч.конф. "Современные проблемы математики". Астана, 2002, 115 с.

184. Сихов М.Б. Обобщенное D- дифференцирование и неравенства типа Бернштейна -Никольского. Тез.докл.межд.науч.конф. "Современные проблемы математики". Астана, 2002, 118 с.

185. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона Никольского и их приложения //Изв. Вузов. Математика, 2002, № 8, С.57-64.

186. Сихов М.Б. О вложении пространств Бесова со смешанным модулем гладкости //Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2002, № 5(33), С.4-11.

187. Сихов M Б. Приближение функций многих переменных с заданной мажорантой в пространстве Бесова //Математический журнал, 2002, Т.2, № 2, С.95-100.

188. Сихов М.Б. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования для классов Бесова //Математический журнал,2002, Т.2, № 3, С.82-88.

189. Сихов М.Б. Об оценках (D,a) производных многомерного -ядра Дирихле //Математический журнал, 2002, Т.2, № 4, С.74-78.

190. Сихов М.Б. Порядковые оценки (D, а) производных ядер Дирихле в 1/-тг, -тг]5) // Тез. III межд. науч. конф. Актобе, 2003, С. 120-121.

191. Сихов М.Б. Об оценках норм производных ядра Дирихле с гармониками //Известия HAH PK. Сер.физико-математическая,2003, m 1, С.57-62.

192. Сихов М.Б. Численное интегрирование функций из анизотропного класса //Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика, 2003, № 1(33), С.4-9.

193. Сихов М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой //Analysis Mathematica, 2004, V.30, № 2, С. 137146.

194. Сихов М.Б. О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик // Тез. докл. 10-й Межвузовской конф. по математике и механике. Алматы, 2004, 238 с.

195. Касымова К.А. Алматы, 2005, 175 с.

196. Сихов М.Б. Неравенства типа Бернштейна, Джексона Никольского и оценки норм производных ядер Дирихле //Матем. заметки, 2006, Т.80, вып. 1, С.95-104.

197. Сихов М.Б., Темиргалиев Н. Об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам с произвольным спектром //Материалы межд. конф. "Теория функций и вычислительные методы". Астана, 2007,5-9 июня. С. 190-192.

198. Сихов М.Б. О вложении и аппроксимативных свойствах классов функций с доминирующей смешанной разностью // Изв. Вузов. Математика. 2009, № 8, С.83-86.

199. Сихов М.Б., Темиргалиев Н. Об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам с произвольным спектром // Материалы 3-конгресса математиков тюркоязычных стран, Алматы, 30 июнь-4 июль, 2009, С. 140.

200. Сихов М.Б., Темиргалиев Н. Об алгоритме построения равномерно распределенных сеток Коробова //Матем. заметки, 2010, Т.87, № 6, С.948-950.