Некоторые вопросы теории приближений на весовом пространстве Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

с о

5 3 О

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ - ФАРАБИ

На правах рукописи

Бедельбаева Лайля Есмухаиетовна

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ НА ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

01.01.01. - математический анализ ^

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алча-Ат'', 1У9>

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики АН РК. '

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ЙТИМ АН РК К.Т.Мынбае;!.

доктор физико-математических наук, профессор Н.Т.З'емиргалиев, кандидат физико-математических наук, доцент Е.С.Смаилов. Уфимский государственный университет.

Защита состоится " " ,2м4о,РЛ 1993 в 7У час, на заседании Рег'яосального специализированного совета К.058.01.17 по пр^увдению ученой степени кандидата наук я Казахском государственном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480017, г1. Алма-Ата, ул. Масанчи, Э9/Т.

С диссертацией можно ознакомиться в научной би£тиотеке КазГУ. Автореферат разослан (рмссьЗрЗ 19 г.

Ученый секретарь Регионального специализированного совета, кандидат* физико-математических наук, доцент - А.А.Бедельбаев

Научный руководитель:

Официальные оппонепты:

Ведущая организация:

.. Г . / Ьг* . -.....

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Особое развита теория функциональных пространств получила з работах С Л.Соболева. В дальнейшем эта теория обогатилась благодаря трудам А.Н.Колмогорова, С,П.Никольского, Н.Арокаайна, О.В.Бе^ова, В.П.Ильина, П.И. Лизоркина и других математиков. В последнее время шюго внимания уделяется исследованию весозых пространств. Очень 'подробно исследог"ны различные свойства пространств, пол; ■ чвниых пополнением ынонества гладких финитных в открытой области функций по весовым нормам. Часть этих исследований подытожена в монографиях В. Г.Мазь и Мынбаева К. Т. и Отелбаеза М. Требование фияитггости функций из пополняемого множества освобождает от необходимости следить за фермой границы облети, за поведег-ием следов функций на границе и, таким обвазом, значительно упрощает теорию. В случае, когда эт'р требопние снято» не извьлны ответы даже на самые простые вопросы. Например, нет критерия, при какил весах V и областях О. с , , пополнение

множества гладких в этих областях функций по весовым нормам вложено в пространство Ьр(£1). В сдуча?

, п = 1 , О, = (а,,£) такой критерий получен Р'.Ойнаро-вым Однако вопросы теории приближеьи.'. в этой, ситуации

^ Маэья В.Г. Пространства СЛ.Соболева. - Л.: ЛГУ, 1985 -

416 с. •

р\

у Мыноаев К.Т., О^пбаев М. Весовые функциональные, пространства и спектр дифференциальных опера ^ор'-ч. - Ы.: иауаа, . 1988. - 287 с.

^ Ойнаров Р. О плотности финитных функций в весовых пространствах ч весовые пространства// ДАН СССР. Г988. \.3"3, Ж) ,559—^53 с

- и -

еще не изучены.

В данной работе рассматриваются следующие задачи теории приближений: нахождение порядков оптимальных погрешностей приближений кусочно-постоянными функциями, Формул численного интегрирования, построение соответствующих порядково оптимальных формул, .обоснование метода приближенного решения уравнения Фредгольма II рода с помошью квадратурных ■ формул, порядково оптимальных в пространстве Соболева. В основе диссертации лежит метод неравномерных покрытий Отел-баева М..

Задачу, посвященную оптимальным погрешностям квадратурных формул, в незесовом случае (для,разных классов, а так-ше в других постановках) рассматривали С.М.Никольский, С. Л.Соболев, С.Б.Стечкин, Н.Е.Лушпай, Н.П.Корнейчук, О.В.Бесов, Н.Ы.Коробов, А.А.Жексыкбаев, В.П.Моторный, Н.Т.Темир-галиев и ряд других математиков. К.Т.Мынбаевым задача решена для весового пространства Соболева, функции из которого имеют нулевые краевые значения. Почти во-всех этих работах Использовались кусочно-полиномиальные приближения. Задача обоснования метода механических квадратур численного решения интегрального уравнения Фредгольма II рода .в неяесовсм случае для конечного интервала решена Л.В.Канторовичем, Н.М.Коробовыи, Н.П.Мысовских для разных классов функций (имеется также большое число работ прикладного характера)."В аесовом случае К.Т.Мынбаевым задача решена для произвольной области, но с нулевыми краевыми условиями.

Цглыо работы является исследование вопросов теории приближений на весовом пространства Соболева первого порядка,

функции из которого могут иметь ненулевые крарзщ зданенад.

Научная новизна. Для рассматриваемого весового пространства Соболева найдены порядки оптимальных погрешностей при-блияекий кусочно-постоянными функциями, формул численного интегрирования, а тякие построены соответствующие порядково оптимальные формулы, дано обоснование метола приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма II рода с по-нощью квадратурных формул, порядково оптимальных на пространстве Соболева.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть лри~ пенены яри приближенном интегрировании, интерполяции и при решении интегральных уравнений в задачах, требующих привлечение пространства Соболева с негладким весом.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на республиканской научной конференции " Террия приближения-и вложения функциональных пространств " (Караганда, 1991 г.)» на объединенном городской семинаре с участиеи члена- корреспондента АН Росоия П.Л.Ульянова, н& семинарах чяг.на-корг пондента АН РК М.Отелбаева, профессора А,А,1енсикбасьа, профессора Н.Т.Темиргалкеьа, члеяа-корреслондента АН'РК НлС. Блиева. . . ' -' , • •

Публикации.-По тепе-диссертации опубликованы четыре работы, перечень которых приложен в к'онпс автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит иь. ->г>е.гг- • «ия, пяти параграфов к описка литературы,содержащего 62 наименован,«.

- б -

КРАТКОЕ СОДЕРПНИЕ РАБОТЫ Пусть £1 - открытое подмножество Я , оо , вес ** (л) . Весовым пространством Соболева \л/= назовем класс локально абсолютно непрерывных функций б.0 с конечной полунормой

= (од)

При р=2. это пространство возникает в теория оператора Штург^-Лиу^илля. В основе диссертации лежит метод неравномерных покрытий М.Отелбаева, заключающийся в доказательстве локальных оценок к последующем выводе из них глобальных .оценок. Большую роль в выводе этих оценок играло специальное усреднение леса, введенное М.Отелбаевым. Вес V не .умаляя общности, «окно считать неотрицательным.

В §1 определяется аналог усреднений М.Отелбаева, применимый к функциям необязательно равным нулю на границе £1. А именно, дляхеОх, где - компонента множества

.О. , р'=р/(р-4, положим

¿4 тая {х-а.%, ёг-х}}

Интервал £&)-(й-^&Лдляхе£Ц, . назовем опорным. назовем нагруженным интервалом, если вес I5' равен нулю почти всюду на £Сх), и ненагруженным в противном случае. Ана.'эгично вводятся понятия нагружен"чя

и ненагруженная компонента множества £>,,, . Полагаем

О

если фсх) _ нагруженный интервал и дСх)^^ в противном случае. В параграфе I изучаэтся свойства функции Ы(х) , з частности, она липиикева, с помошью этой функции строится не более чем счетное, не более чем двукратное-покрытие множества О, опорными интервалами {$>сх()-- . Фразу "не более чем счетное" б дальнейшем будем опускать. Получены локальные оценки на опорном интервале.

Во втором и в третьем параграфах рассматриваются задачи нахождения порядков оптимальных погрешностей приближений кусочно-постоянными функциями и квадратурных формул. Эти две задачи объединяет единый идейный и технический подход. Приведены порядки оптимальных погрешностей в случае веса зЛЬс)=бг+<)^

т)б/2 , и области , Де'.дим постановки, этих задач

и полученные результаты.;

Интерполяция кусочно-постоянными функциями» Пусть Оу-('Х) ~ функции, принадлежащие ,^¿еО. , 1~пг

Рассмотрим для IV приближенную формулу . ' ' ;

4(х) ^ Е ¿¡С*) Щ) г?.:п

в пространстве • Правая часть (2.1) определяет

ратор 4 ранга т из V/ з Ш.)

цсху^) (Я.?)

Н

Требуется найти порядки оптимальных погрешности;; утих приближения, точнее оценки чисел

•• к = - ил» Ц (рЛ) = Ы

"мл? Ц

где 1а (\л/, Ц (.0.)) - пространство линейных непрерывных операторов из \д/ в 1>0(О,) , а оператор А вида (2,2). Кро-

Г

т того требуется построить порядково оптимальную последовательность операторов вида (2.2), т.е. последовательность »удовлетворявшую соотношениям

..С, 4 ЦЕ-Ай. : и\л/,Ц(£1)}1ксг^ , '(2.3)

где С,Ю , с^О , с$уО , . В дальнейшем для функций

V ,[Р каких-то параметров запись будет означать,

что с, ^Ч'/Р ^ в области определения функций У , Ч> с О , с3>0 • Забегая вперед, отметим, что у порядково оптимальных операторов вида (2.2), которые построены нами, 'функции кусочно-постоянны» Введем величины

РЧ. С2.4)

бйпг ■ илр АЧ(Ч) д^) , (2.5)

где Х2," - объединение незагруженных компонент множества а . Смисл зтйк величин ясен аэ следующей теоремы вло-аазиия (§2).

'Е&ррена 2.3. Пусть £1 - открытое подмножество ( $.<р<ео , Тогда необходимый и достаточным усло-

вием компактного вложения пространства V/в является конечность величины б^ в случае , и ра-

венство нулю величины в случае р .

Приведен результат по этой задаче, полученный для кон-•'.•гоуного веса (?5).

Теорема 5.2. Пусть 1<р<сх,1

. т)>,0 . Если и $>0 (условие равенства .нулю величины оо )» то

если х(е р>ф и ^условие конечности величины ), то

Эта теорема является иллюстрацией применения для кон- -кретной весовой функции следующего теоретического аппарата.

Лемма 2.1. Пусть , при р>£ , и Ж^о , при р^у, , а также выполняется следующее уо.юз-.гч: £1 имеет только 5 ненагруженных компонент, при- ^ чем ограниченных, £ - целое неотрицательное число.

Тогда существует покрытие яе?] множества

опорными интервалами. ,

С учетом теоремы вложения, считаем, что такое покг ..и.-, имеется. Следующие определения необходимы для формулирор'ь -теоремы 2.2. Обозначим ¿-1!р+щ . Пусть р. - положительный параметр. Оценки'чисел ^ будут сформулирована в терминах некоторых функций от ^ . Полагаем

Множество £ + конечное, так как рчд XI (ЛМр в случае , ? а , & - миоиеогрс индексов неиагрулаинчх комиовент 'то-.-, .т-ч „О, . 'При иколестао Г,' конечное

из того, что Jt^^o . Следовательно, sup Qp'tes)/c((Xs)

seS+

конечное. Положим

S(={stg: dmtfl&tjA , [^s.dt^ßf^j,

^■{seS-.c(ixs)6/P%ju o-J,

Здесь и в дальнейшем Ca"] означает целую часть числа й- .

^ pq..

Для случая р>о. в ряде J^id^^c^))^ выберем К и наи-

^

больших слагаемых, äo можно сделать з виду того, что величина si конечна, поэтому рассматриваемый ряд сходится. . Множество таких индексов обозначив через S^ . Для случая pgq, • мно?кествс Sju не рассматриваем. Определим

I О , при ¿<5 SA Sjt

rr(xhfi)^) trfX-xji^/fA ■> при seS.2

L ' { . при ¿б SiUS/ц.

. . -

ФункцияМ измеряет число узлов ^-оптимального оператора (см. ¡шяе). Множество £1 с помощью не более чем двукратного покрытия fötif) •■ Sj разбиваем на непересекающиеся интервалы [й'уд •'сiöörs), h=o,mcxs>fü,i f Se$>} , Для кавдого sc- S\Ci.\S//) выберем в S&'s,<g по узлу , l^ajöcx^ß^i и построим оператор

ПР« 5е!>{\!>и. полагаем и Олератор

Му) является ^-оптимальным в смысле теоремы 2.2., которая является основным результатом §2.

Теорема 2.2. Пусть I <р< со , выполняется усло-

вие (2.6),

а) если р><£, и ^оо , то существует не более чем двукратное покрытие •. г^} множества О, и при всех

где

/гпсх^)»«™)™»'* ;

б) если р^ц, и Аж~0 , то при всех уоо,

9д ЧЕ-М/*) ■ и .

Оптимальные Формулы численного интегрирования. В §3 рассматривается задача о приближении интеграла суммой вида

т

(I = О.Т),

<и

где , , . Как выражение (3.1"), так и

функционал 7 мы называем квадратурной суммой с коэффици-

ентами ûj , узлами , Çm , и числом узлов H(ï)=/n . Точность квадратурной формулы на классе W характеризуется кормой функционала погрешности

Q

/гш = ьоср

; mw<j а

Оптимальными погрешностями называются числа

£я= ¿„£ fia) , как I

для 1=0 полагаем К(1 )=0 . Определение порядково оптимальной последовательности квадратурных сумм [I^J вводится аналогично (2.3). Все введенные выше определения, где встреча-, ется параметр <j, , рассматриваются здесь для случая (¡,=£ .

Приступим к построению /i-оптимальной последовательности квадратурных сумм I (jj) . Полагаем

ho

где S6$US(1<^) и , rncxsift) , определены выше.

Для считаем, что и полагаем l(u)=ZZ ТЫ,^).

. '. ses

И3 этих определений следует, что K(I(/ù) = JZ .

Ооийным результатом §3. является следующая

Теорема 3,2, Пусть выполняется условие (2.6)

и со

Тогда существует не более чем двукратное покрытие {«ô^s): srfl множества опорными интервалами и при любых _//># равно-т мерно no И, , V" , JJ. , покрытиям ¡&xs): .<■■£} и целым & из сегмента CiMf//) справедлива оценка

■йСВД^ад, (3.2)

где

Щ) = (£ арк)дрЫ + Е ¿р%)/мх(//о1")1/р1, '

МЫ к

причем сю , о при .

Приведем пример применения теорзиы '3.2 к сгепенному весу (§5).

Теорема 5.2. Пусть О,«io.ee)., 1<р<о*> ^>/0 . Справедливы следукпие утверждения:

а) для существования сходящихся квадратурных фориуя

на классе \аУ необходимо и достаточно условие {-^-сО',

б) при выполнении условия £¿0 <шз*г ыеето эвоизалеят-ность

Обоснование метода механических квадратур чяолбккого решения интегрального уравнения Ъедгольма II оода.

Задача заключается в обосновании тетода приближённого решения интегрального уравнения Фредгольма II рода

' и-яки = £ , <4Л)

где

(4.2)

с непрерывной правой' частью и непрерывным ядром К , локально абсолютно непрерывным в XI по i при всех se-Q. и до s при во, с помощью квадратурных формул, по-рядково оптимальных на пространстве W . Условия на ,

К , задаются в терминах пространства W . Рассматриг вается метод.механических квадратур. Согласно этому методу уравнение (4,1) заменяется системой приближенных уравнений

' . vf -лЕ Kiif\ ф Ч, ''ml.HSi, С«.»

<N

„ fc) ,(А)

где £Lj - коэффициенты, tj - узлы квадратурных сумм

rr>i

(г, : «и

/й\ _'

eil , ¿-^mfr . удовлетворяющих условию

. с(ё£ < ^р IS . ,

<1 а ■ *

Мы изучаем задачу о сходимости приближенного решения к точному в двух постановках. В первой постановке дискретным приближением называется решение ufy системы уравнений (4,3),а близость его к решению U уравнения (4,1) характеризуется величиной

. {(Kafi-vpl ; ,

Ьо второй постановке з качестве непрерывного прибоя*?.- ■■■ : ния берется функция ' - . ^ , '

u^^flapKlt.ifwf+m

Л) и и

а за расстояние между 1L и U£ принимается величина

д =IIîî-ZîjîJccq)

где CCQ) - пространство непрерывных функций с равномерной ноомой. Если система С4.3) рязрешима, тр говорим, что дискретное и непрерывное приближения определены. Положим

i sii. e»i О. ^

s S SUP IlKCtJUcc^) , Х^шр fly-(■> ÏKOsSjc/sl/pzM.

Оператор У? определяется равенством (4,2), ему соответст-

вушии оператор из (4.3) обозначим через . Основным

результатом этого параграфа является

Теорема 4.5. Пусть {е V/ , HdJ^W, , £

, 3b= sap а&)г.<х> и выполняются следующие условия: " хе дш*

1) é><z.<?° и имеет место условие (2.6) ( зловие существования сходящихся квяцратуряых формул),

2) ¿s sup ÎKttM <о° (услогие близости операторов

ie£l w

х И ), •

а) если ¡3|jS<i , то при всех больших А определены дискретное приближение l/^ и непрерывное приближение К&,

причем

*

« осел) , Л = , ^ с» . (

б) если оператор Н"1= (1-ЯУСУ* существует и ограничен в пополнении пространства \л/ по норме й'Ассл)

тах ИЫсхуц^с, то при всех больших А определены приближения и » К& и выполняется (4.4).

В §5 рассматривается, кроме степенного веса, пример веса

1

:0 на произвольной открытой области .О. с к и приведены результаты прйменейшг утйбркдений §1-§Э.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Бедельбаева Л(Ё< Об оптимальных квадратурных формулах на весовом классе'Соболева // Изв. АН Каз ССР, серия физ.-цат., 1991, ЖЕ, с.21-23.

2. Бедельбаева Л.Е. Оптимальные погрешности квадратурных сумм // Тезисы докладов республиканской научной конференции " Теория приближения и вложения функциональных пространств Караганда. - 1991 г,

3. Бедельбаева Л.Е. Интерполяции кусочно-постоянными функциями функций из весового пространства Соболева // Институт теор. и приклад, матем. АН РК, - Алма-Ата, 1^92 г. -37о., Деп. в ВИНИТИ 15.10.92, Л 2990 - В92.

Бедельбаева Л.Е. О методе механических квадратур для нн-тегральШго уравнения фредголька с произвольными краевыми условиШг Ь 'ШЛфаничениой области // Институт теор. и цри~ клад. Ибкёйу РК, - Алма-Ата., 1992 г. - ?5 с,■'Деп. в ' : , ВИНИТИ 15-. 10.92., ."Й 29РЧ - В92-.

МАЗМЩАМА

Диссертация кезкзлгэн шетт1к мандерд1 !<абылдай алатын берне.терд1ц Э1лд1 Собо.зв кеьцстЛгхндег! жуьщтау теориясы-ныи нэселелерхне арналган. Бул кен1ст1кте ша^шилич ке{Цп-тэг'елерхнхч цателхк бернвл1ктйр1 мвлшер1н{ц теменгг шенх ацкллыгшын балаыасы алкнды, они.» ретт{Г1 табылга, осы ретт1ккв жеткхзспн шаршыльщ цосынднларыннн тхэбегх тургн-эылдн, жене де эхлдх Соболев кещстхгхндегх бернелерд1 Уэ1кт1-турацты бернелермен :хунцтау бейнел1ктер1нп5 ти1мдх Кател1ктер ратт1Г1 табылот, сэйкес р5тт1к-тихмд1 кейхпте-мелер жасалдн. Он, -«агы бар жэне белгкхэ бернесх з1ЛД1Кте-р1 тегхс емес Соболев кещстхНнде хататын жэне адац /а^ур-лы н»месе ак, .рсыэ/ аймацта кезкелген ш»тт1К шарттарн бола алатын, екхншх тект1 Фредголи интегралдыц тецдеухн яуыцтап тепу эд1с1 осы кец1ст1ктег1 ретт1к-ппмд1 шаршылыц кейхптв-месг бойынта нег1э„елген.