Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственна университет

На правах ругаписп

ЮСШВ Михаил Балораановпч- •

УДК 517.5:519.644

НЕКОТОРЫЕ ГО11ГОСЫ ТЕОРИИ ПРИБШЕНШП) ННТЕГРИРОВМОЯ ПЕЕИОДИШЗШ ФУНКЦИЯ

Специальность 01.01.07 - нтсллтольная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора <Гизнко-штематэтасктс паук

СаикЫйтерОург 1992

Работа вцколнеаа в Красноярской политехническом шстлгуте.

ошщлыше оппонзгга:

доктор физико-математических наук, профессор Шсоескпх И.П., доктор физвга-катештачвскнх наук, профессор Ьилейкин Я.М., доктор ^Езяко-уатештичоских наук, пройоссор Исраилов Ы.И.

ВЗДУЛСЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Гиствтут катеаатшш с ВЦ Башкортостана

-— км. на заседании спецшлЕзировашюго Совета Д 063.57.30 по задате диссертаций ш совскашю учэюД степени доктора физяко-матеьятических яаук в Санкт-Петербургском университете по адресу: ' 198904, Старый Петергоф, Библиотечная пл. ,2, катештЕКо-мехадл-ческкй факультет.

С диссертацией могло ознаколиться в библиотеке имени А.Н.Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан " " 1932 г.

Заката состоится

п

Учет!: секретарь

с по ада лаз иро ш нно го Совета,

доцент

ю.а.сушков

I ОБЩАЯ ХЛРАКГЕРИСТКСА РАБОТЫ

,„ ;

| АКТУАЛЬНОСТЬ ТЗ.Ш. Функции, периодические по всем ллл только •~по..И(экоторнм перемени™, широко используются при решении различных ааучно-техпическлх задач. При этом -часто возникает вопрос о приближенном интегрировании таких фушщий. Несмотря та то, что этот вопрос гак илп иначе рассматривался в различиях работах, например, в широко известных монография? Н.Ц.Коробова, С.Л.Соболева, В.И.Кри-лова, мюгно задача теория приближенного интегрирования периодических функций ото далеки от своего полного рвиендя.н построение кубатурных (Торг/ул, обладающих тем или ияш необходим.» свойством, вызывает затруднения.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Построить и исследовать кубатуряьга формулы для функций, периодических по всем или только по некоторым переменим, обладающих повшеняой тригонометрической точностью; исследовать структуру кубатурных (формул, образуюсь аслгатогически оптнмаль-нне последовательности в пространствах типа £- ^ .

(ШЛИ ПССЛ&ОВиГЛ. В диссертации использовались методы математического сил.та за, ушшу.ояальногэ анализа, теории чисел, теории инвариантов и комбинаторики.

НАУЧНАЯ Н0К2НА. Зса основные результата диссертации - ноша и больяая их часть - получены лично автором.

ТЕОЮТЯЗККАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ П0НМ1А.

- получена формулы наткете!1, тригонометрической точности для функций двух переменных;

- получены (Тормут повцаеадоП тригонометрической точности для Ь'шецШ трех ц четырех переменных (то есть такие *"оркулц, у которых число узлов незначительно отклоняется от шжлеЯ гранит);

- разработана методика получения весовнх кубатуршгх формул повктект!! алгебраической точности для некоторого класса весовых <!уш«ст;1. В частности, получош аналога кубатуршгх формул типа Корроу-Пагтерсона;

- рассмотрены весовые кубатурнне формула для пространств типа Соболева,-Тушао'.Я, периодических по некоторым переметам; вняснена роль декаргошх произведешь фэрг/ул приближенного интегрирования при построении асимптотически оптитальных последовательностей ку-батургаос 'Тор^ул; предложены аск/птотичеспт оптимальные в пространствах периодических ^уящяй последовательности весовых кубатурных ■тормул, алгоритм построения которых достаточно прост;

- исследована аспгдтоигеэскиэ свойства декартовых произведений кубатуршх фэрыул;

- таЯдены необходимые и достаточные условия разложимо с та ку-батуряих формул 2 декартовое произведешь.

АДРОБАЦКЛ РАБОТЫ. Результата диссертации доклад ивались на У Всесоюзном коллоквиума со теории кубатуршэс формул (Гажен?, 1977), Совэтско-веягарсьш симпозиуме (Новосибирск, 1931), совещании то игшслителькоЕ магекатакэ и уравнения!.! кагематпческой физика (Бухара, 1983), конференции по функциональному анализу я математической ф:зпке (Улан-Удэ, 1ЭЕ5), П Всесоюзной ыколе но вотисяи-тельной мауедатике (Ленинград, 1989), на семинарах ¡'л с та ту га мате-катаки СО АН СССР, ВЦ СО АН СССР (Новосибирск), ВЦ СО АН СССР (Красасирск), Санкт-Петербургского, Московского и Красноярского университетов, Красноярского сояитехкатеского института.

ПУБИКЩМ. Осяовша результата дпссэрташи опубликованы в работах X - 12.

СТРУКТУРА К ОБЬЕК ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения я 5 глав <26 параграфов), содаркит 226 страниц. Библиография -96 наименована!!.

СОДЕЕАНКЗ РАБОТЫ

В §1 введения рассматриваются разлитого постановки задачи праблиаеааогс интегрирования, формулируются дали исслековавзй в диссертащаи и излагается краткое содержание диссертация.

В §2 введения приведет! некоторые вашвйиие обозначения е предварительные сведения.

Первая глава называется "Интерполяционные кубатурныа формулы для функций, периодических по некоторым деремеанш" я состоит из трех параграфов.

§1 посвшаен оценка важней границы числа узлов кубагуршгс формуя, точно интегрирующих функцга ища

П[ч <^2; П(I)

«

где р, 1 /у - неотрицательное аельш числа, ('•■»,.-■ >

¡ч,..., а л ¿/'х *</ £~ ,Уг по

области интегрирования Л - С-й-, я J<<p г> , ГД0 -

область из -мерного евклидова пространства £í . Основной результат а того параграфа уожко йГорпулкровать в вэтэ следующей

теореми (пу^'эрацня теорем в автореферата на соответствует нумерация теорем в диссертация).

Пусть Ф(^) - лилейное прострапстш, аорождеапоо функладка вида (I), /м г,,. ■ ■, ¿ * , ¡/„. . . , tfs ) - неотрицательная в области SL функция, прячем

TB0PB.ÍA I. Если кубатурпал формула

/л >щ * я¿/г'> у;

точно интегрирует функции из Ф С ) , то

J ^ j-v * ( Ч) ^s'-j ) чря =

/ ^'j'*'(*•-){Г**)

гдэ (t J - число сочетаний аз no ¡f" .

В приведенных в §1 примерах показано, что в некоторых случаях эта оценка является точной.

В) вто'роа и третьем rapa графах приводятся определения г, утверждения. отяосшшвся к теории иптераолядаоплюс кубатурных формул и сформулированные для рассматриваем®: классов функций, Главным результатом здесь является аналог теореми Чакалогза для периодических функций.

EDPH.IA 2. Пусть Функция А Ч> ' Р'г,,. ■ ■ . 1 неотрицательна па С -», !> 7 < a f.y А1г„...,г*Мгг .. >■ о • Тогда существует к^багурная формула

где г'Jl . . , 1 J , точно интегрирующая тригонометри-

ческие многочлена степом не вше i>u } интерполяционная для периодических функций, о числом узлов ¿ - ^ J ¿ ( j )( J J

при этом узлы я ' принадлежат области интегрирования, а коэф-фкциепгн С ->Р , /г

В главе 2, которая назнвается "ПргоЗлижешгоа интегрирование пэ-ряоддческях функций па основе метода ntuiapsartrmre кубагурныг формул", изучаются гоампноста указанного метода в прпмбнэгога к рассматривай-

ни классам чущспдй. Правомерность применения этого ьютода обуславливается представлением тригонометрических полиномов от и.- перемешан следами алгебраических полиномов, определенных и -/и- -корном сешздоюц пространства , из поверхности -мерного тора

Тп ' ^ ^ ^ / = ^ ^

Первые два параграфа этой главы носят вспомогательный характер, из результатов цэторих ивдодщ слодужцяп. Пусть группа преобразований пороздена отражениями, причем С- ( Т^ ) -

- Т^ ч. > х. и - цилиндр, задашшй уравноник.ш

- * , с'-«,. •

тю?3:л 3. Группа ¿V разлагается в прямое произведение таких подгрупп в- , что пороздаЕгн о тралениями ¡С'*^ и = а , ¿--4,..., Н ,

В третьем параграф подучена серил кубатурннх формул, точных на тригономэтретеских подлюках степени на вшле у ч~ > , прачеы при н г число узлов зтах (Торкул минимально. Эта сорил опи-сшзается следующей теоре.моП.

103РЕ,и 4. Кубатурная (Формула '

^ (2)

точна на всех тригонометрических многочленах степени не вше < /,

В §4 строятся аналоги кубатурных формул типа 1*орроу-Патторсо-на. Ери построении существенна используется:формула (2). В частности, при весовых функциях ¡а-хчЛ^р )" получеш кубатуряне формулы, точно лнтегрпрущие алгебраические шогочлсин степени не визе л к -< 4- с мшшкалышм таолси узко в (К - лвбоа натуральное число).

Лоотроешш инвариантных кубатурянх формул для тагане поверхности; как цшепнцр, одноподостпой-гиперболоид, трехкершЗ тор - "ба-рапга" - посвящен §5, Настроенное здесь формулы имеет иевнеокай (3, 5, 7) порядок точности. Кроме того, в этом параграфе найдена юшия грааииа числя узлов кубатурной <$ормулн на поверхности трехмерного тора, точно интогрирукяцэй алгебраические гаогочлеян стопе-ни не выше + по этой поверхности.

Освоили мотодои, позволявшим строить кубатурнно <!ориулн для периодических функций, в работах других авторов является иетод воспроизводящего ядра. Обзор результатов, получавши этим методом, содордится в постом параграф.

Третья глава назшзаатся "Применение кратных тригопометрачоекпх сум.", к построению кубатурнцх формул повиаенкой тригонометрической точности". Осповнцм понятием, которое используется при исследованиях это;! глави, является попятно абсоотгпо недостижимого для данного веса ч данного вектора числа. Пусть Л- - целочисленный вектор пз с неотриштельпши координатами,. - мнояоетто ие-

лочнелешшх векторов ^ И'1 , таких, что —

Число л'' будем пазивать абсолотда нодостжгикш для вектора л-с весом с/ , если 1и,а) -ф о (»►**•// Л' ) для всех

скалярное произведение векторов л 1 ). Ясно, что при числах м, ¿V и векторе А , удовлетворяющие понятий абсолютной педостижмости, кубатурная (Тонула

р V к

где - дробная часть числа х , точно интегрирует гее

тригонометрические многочлены степени не в юга Д . Под тригонометрическими многочленами степени в этой главе понимаются

функции вида ,

у,71 ' '

- 27 ' •

^ (1J

В §1 этой главн основным является следующий результат.

ТГОРЗ.'А 5. Кубатурная формула (3) точно интегрирует все тригонометрические многочляни степени не лапе // и обладает мши-калыпм среди всех кубатурных формул такой тригонометрической точности числок узлов при следущлх значениях >> У, и. и векторе й . <0,, ..,/?„ )

I) - проязвольпо

а) ы-г, = * <; а *<■ ■ >» >

б) 1 , д-"= Vн , ат,

2) к- =2

о) , Л'- +2 1 I , А

б) Л =2 чу + ¿'-¿(т*!)*- ) Л +/),

Другие утверждения этого параграфа касаются доказательства некоторых свойств абсолютно недостижимых для 'данного вектора и данного веса чисел. В частности, здесь описано множество абсолютно недостижимых чисел для вектора ез к* гида и,р) с произвольным весом ¿1

Алгоритм построения обсолвтно нодосигавшх чисел при п описан 1» второй параграфа Реализация этого алгоритма возможна только с применением достаточно быстродействующей ЭН.1. Анализ полученных при этом фориул, позволяет получить бесконечные с ерш: куба-турвых фэрмул. Пришры таких серий приведены в §3. Приведем главные из результатов 53.

ТЮРИА 6. Кубатурная формула

щ^^ла ^ (Vи

точно интегрирует все тригонометрические многочлены стопаш не ваше есйн:

I) ¿-г.™

а) /п =г к , д, - С, = 1тг +■ зм ч х

Л' гг гт +1)

б) Iи-г*+ <,<?, .-^тн,

вы««*,, '

««-г*,, . + ^

ТЮРВ.1А V. Кубатуриая формула

(•■•/>,,., а ^ , -Г-^})

гочда штегрпруот вер тритоПоыэгрнческЕе многочлена степени не выше ¡1 I при х. ¿к* I , если

>*,v< Ц m* t + »•» t / ,

Качество кубатуршгх <;ормул дида (3) удобно оценивать числом, которое будем называть когЛ-гшиэнтом эффективности: KJd) - ,

где - число узлов кубатурноА бормулн вида (3) тригонометри-

ческой точности i*1,, a (d-H)"- - число узлов кубатуряо ft формулы, являющейся декартовым произведете» н ' квадратурных фор-иуд тригонометрической точности d с ff ! узлом. Для куба-турпых формул, опнеиваомме теорией 6, смеем i't^^J^^ I ~ , а у формул из теоремы 7 -В атом яе параграфа приводятся таблицы отдельша аубптуряых формул для и - а, ч , облздакиих более высоким коэффициентом эффективности, чем у формул из теорем S, 7 при соогвогстоукс« /г. , Ответим, что у формула кз теоремы 6 при о!~ S" тасло узлов л 5 J7 является минимальным.

В §4 дано описание блок-схемы пршера программы, реализующей описанный в §2 алгоритм.

Другой типа серий кубатуриюс формул, суцествэнно отличающийся от серпЯ из §3, приведен в §5. Коэффициент эффективности кубатурных формул из этого параграфа асимптотически лучао, чем у формул из теорем 6, 7. Однако при i/asxs J пользоваться результатами этого параграфа нерационально. Результат из этого параграфа, относящейся к п - Ь , щжпадлекзт А.В.Резцову, остальные результаты выполнены автором с ок.; ос гно с шил.

В §6 построены весовно кубатургаго формулы алгебра'лчоской точности 2 и 3 с минимальным числом узлов, Вэсовая фушщнл имеет ехц

JLIX /7Л ti-ic*.)-*

Некоторые задачи, связашшэ о вопросов нахоздония недостияи-шх чисел для заданного вектора о двшшя взоом, обсуждаются в седьмом параграфе.

Перейдем к изложений результатов глает 4, которая называется "Асишгогяческп опгскагышэ последовательности кубатурных формул для приблияонного интегрирования функций, периодических по некоторым перомэннин". В этой главэ исследуется структура кубатурных фор-

мул, сбразутцпх указанные d заголовке последовательности.

Нааомквы известную схему применения теории линейных нормированных пространств к оценкам погропности интегрирования.

Пусть H - некоторое пзкоркыоэ ограниченное множество, - иокотороо кшжасида точек из И (в дальнейшем будем считать se зависящим от некоторого параметра £ : ¡е = х (<■ ))j

В _ - банахово пространство Дуккцай, заданных на И и вложи-1мо в пространство непрерывных ш м {уикцпЗ С. С и ) Функционал

v M fcX(t)

, Tf <• 3C (<.}) - постоянные, ftxi - весовая функция) является линейным, непрерывным, а так как в вложено в С(н) , то и ограничении.!. По порке /J- в моига судить о качоство

кубатурпой формулы , ■

( ifxrftzi/x Я ^

Вместо самого пространства R> гояно рассматривать пространство классов функций из 5 пндуптрованлое некоторой полунормой.

Например, если на многообразии функций, имевших все обобкен-1ша производные порядка не вше в области Я с , сум-

мируемых там в степени /г , /г'" > •<. , ввести полунорму

где

bU) 'ГЧ _

Я (ж) • ~ J

■ • * >

то в ¿ ¡ь (<Я ) функционал такой, что (4 x^J-o при Ml <^>t является линейным, ограничении« и налрернвки.!.

Последовательность функционалов (4) называется асиштотичес-ки оптимальной в пространстве è , если для любой другой последовательности функционалов , , .

( С у У е ^ ' - постоянные) шполняетвя перавенстсо

Л/^я* 1,г<11'в* Ь

Для (¡ормуяировкп оспогшк результатов глага гведяз множества:' ¿У1 - множество полочлслоппчк векторов еэ Я "у

Путь - шючпоо !".!юяостэо из , $р М - функции, сп-ределеяшю в С" и раннко пула вно в-^ , такие, что оператор

Я®/1

воостачагллшвт многочиели степени па шгэ «г- . Впадам Я-улкедя

(сужирогсзлпо ведется по есо*,: р, таким, что р + Ь - )

и чпгла

и]- Г]* I ^(Г) '

В §1 четвертой гласи дапн оспокшо определения и обозначения,

иопользу8м29 в этой глззо.

Параграф второй п трзтлй посгяздш опредзленио а исследованию свойств декартового произведения шгаорпояящоншпе оыорпторзв. Кроме того, во втором параграфе определен« послздоватошюстч ия-теряоляцаошшх операторов о пограпичхшм (сокращенно ЕОСПС) я рэ-гуяфЕим лограпичшш (ПГОСРПС) слое:.!. Определенна декартового произведения патерполяптюыпа: операторов, едэдопноэ и изученное автором, является основным инструментом ддя получения результатов из §§1, 5.

Пуста п,,- ■ /1 ь - числа ? о , ¿V 4,. .. , н , обетй дшктолъ о тих '«сел, ¿1) ( о,« о (

звак декартового произведенля множеств), - область из

J2 =Л,в> . Обозначим чэрез ¿.^'^ (о1 )

множество

функций из ¿^ (иг) пориодических по переменным . , В случае <; - и. пространство "" (Л) обозначим через Т.

В §4 основное место занимает следующий результат при ч>~<*) «= Ь^ <ог).

ТВОРИЛА 8« Последовательность функционалов вида

/у1/)- ! чГ(г><?Ме/х иг<-С«г1 4их)

Л ^

асимптотически оптимальна в ¿-р. при / -2 или -нечетном.

Дусть ос е 51 ; я и!\ (-х 1) , - (Тункдая периодически продолженная с на £5 , чЪ <х 1) & ь у >;

С - ШОСРПС на цГ7*)

ТЗЭРЕЛА 9.1 Последовательность функционалов погрешностей кубатур ных формул, являющихся дакартовм произведением кубатурянх формул

асимптотически оптимальна в ' * (Л) дрц /г -г ели'»! - нечетном.

ТЕОРЕМА 10. При любых ¡1 И I», //>»'>«., Я ~ ±

существует последовательности кубатурных формул, разложимых в де-¡-лртогое прояагадение формул прдаозголыпшов на и формул епдэ ,

г сГ

л,

где/¿7

- некоторая ШЮСПС, Функционалы погрешностей пзгорых образует асимптотически оптимальные в С*^ ! (Л) последовательности.

Доказательству теорем 9, 10 посвящен §5.

Естественны!! обобщением исследования ¡суба1урных формул для классов является рассмотрение кубатурных формул на раз-

вертывающихся поверхностях. Этому вопросу посвящен §7, а некоторые предварительные для это!! задачи результаты помещены з §6.

Взпросы, связанные с разложимостью решетчатых кубатурннх гТор— мул в декартовое произведение в пространствах (о1) рас-

сматриваемые в главе 4, в пятой главе переносятся на кубатурпда формулы из даслэдоваточностей с пограничном слоем и весовые аналоги таких кубатурных формул в пространствах л) . При исследовании асимптотига погрешности кубатурннх формул особенно существенным моментом является не столько факт разлоглмости рассматриваемых формул в декартовое произведение, сколько близость (в смысла малой погрешности интегрирования) к исследуемым формулам некоторых декартовых произведений формул меньяей размерности. Поэтому пятая глаза носит название "Асимптотические свойства декартовых произведений кубатурных формул".

В §1 вводятся определения асимптотически слабой и сильной разложиглзстей последовательности кубатурных формул в декартовое произведение, связанные по смолу с понятием сильной и слабой схо-димортек фунщионалов. Из результатов первого параграфа выделим следующий.

ТЮРВ.Ш II. При для лвбого ¡1 > п/г существует

асимптотически оптимальная в (£Ъ I последовательность Функционалов с по1рашчшм слоем, асимптотически сильно разлсгшмая в декартово произведение.

Результаты первого параграфа относятся к случаю, тогда весо-еэя функция = I - Весовые аналоги результатов §1 дока-

зываются во втором параграфе.

Основным инструментом исследовался в §§1,2 являются понятия сопутствующих чисел, которое ранее было определено лишь в одномерном случае. Результат: этих параграфов получены совместно с В.И. Полопишошым, за исключением теоремы 5,3 (нумерация, принята? и диссертации), которая принадлежит полностью В.И.Половинкину.

В §3 изучаются условия раз лоск.» ста кубатурпой формулы в декартовое произведение. Для краткости.изложения приведем этот результат в автореферате лишь для частного случая.

\

Пусть кубатурная Сормуда

bit

с i-i ,-<

точна на постоянных. Если (5) разлагается в декартовое произведение формул на l'a, é 7 и С , то из результатов §3 следует, что коэффициенты с ; формул-со;.:ножителей

Б sa равенства типа 16} получены для эрмитовых формул и произвольного числа областей. Ввиду однозначности равенства типа (6) является необходимыми и достаточными условиями разлоненяя кубатур-ной фэрмулы в декартово произведение формул меньшой размерности.

1. Кубатуршэ формулы на развертывающихся поверхностях // Вопр.вычисл. п прикл.иаг. - Ташкент, 1Э78. - Л 51. - С.91-96.

2. О декартовых произведениях кубатурних гТорыул // Теория кубатурных Лормул и вичисл.мат. - Новосибирск: Наука. - 1ЭС0. -

- С.Ц4-П6.

3. Приближенное интегрирование ({ункций, периодических по некоторым переменным // Теоремн вложения и юс приложения. - Новосибирск, 1982. - С.83-102.

4. Асимптотически оптимальные гормули на решетчатых поверхностях // Применение '¡унк.анализа к уравнениям в частных производных. - Новосибирск, 1383. - С.103-112,

5. Кубатурние формулы для приближенного интегрирования периодических Функций // Методы вычислений. / Под ред. И.ги.'лсовсккх. -Л.: 1985. - ЬшЛ4. - С.15-23.

6. Приближенное интегрирование периодических функций двух переменных // Уравнения неклассического типа. - Новосибирск, 1Уиб.-

- С.97-У8.

удовлетворяют равенствам

а/

(6)

Статьи автора по теме диссертации

7. Формулы приближенного интегрирования периодических функций // Методы вычислений /Под ред. И.П.Инсовских. - Л.: 1988. - Вып.15.

- С.19-22.

8. Носков П.Б. Кубатурнш формулы для приближенного интегрирования функций трех церемонных // К. шчисл.мат. и матом, физ. -IS88. - J* 10. - C.I583-I58G.

9. О формулах приближенного интегрирования для периодических функций // Методы вычислений /Под ред. Н.ПЛ&совских. Л.: 1991.

- Вып.16. - С.16-23.

10.,Некоторые аналога кубатурных формул типа Морроу-Паттерсо-на //Н. вытасл.мат. а матсм.физ. - 1991. -Ив,- С.1254-1257.

11. О кубатурных формулах для функций, пориодичоских но некоторым переменяны 11а. шчпел.мат. и матеи.фяз. - 1991. - й 9. -C.I4I4-I4I9.

12. Асиштогическзэ с do,нста декартовых произведений кубатурных формул //£>ункц.анализ и матсм.физика. - Новосибирск, 1987. -С.39-57 (совместно с Половинкипым В.И.).