Некоторые вопросы теории взаимодействия МГД-волн в неоднородной и неравновесной плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

^ 4Р

л, "V

На правах рукописи

Белянцев Алексей Евгеньевич

Некоторые вопросы теории взаимодействия МГД-волн в неоднородной и неравновесной плазме

01.04.03- радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 1998

Работа выполнена в Нижегородском Государственном Технического Университете, г. Нижний Новгород

Научный руководитель:-

доктор физико-математических наук, профессор С.М. Файнштейн

Официальные оппоненты:-

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Докучаев;

кандидат физико-математических наук, доцент В.Г. Лапин

Ведущая организация:

Институт Земного Магнетизма, Ионосферы и Распространения Радиоволн РАГ

(ИЗМИРАН), г. Троицк

Защита состоится «Aj» Oi£~ 1998 г. в часов на заседани]

диссертационного совета Д 063.77.09 в Нижегородском Государственно» Университете им Н.И.Лобачевского по адресу: 603600, г. Н.Новгород, ГСП-2С пр. Гагарина, 23, корп. 4, радиофизический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомится в фундаментальной библиотек Нижегородского Государственного Университета

Автореферат разослан «AJf » 1 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: у

кандидат физико-математических наук, доцент В<К Черепенников

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Представляемая диссертационная работа пос вящена изучению взаимодействия МГД-волн в неравновесной плазме. Исследования по указанному кругу вопросов, начатые около тридцати лет назад в радиоэлектронике, акустике, гидродинамике, оптике, теории плазмы, развивались чрезвычайно интенсивно и стали одними из основных направлений в этих областях. Достаточно сказать, что с 1962 г. непрерывно выходят монографии, сборники и обзоры на эту тему.

К концу 60-х годов стало ясно, что резонансные процессы взаимодействия волн (как с фиксированной, так и со случайной фазой) являются фундаментальными нелинейными процессами. Однако в теории были проанализированы лишь простейшие модели взаимодействия электромагнитных волн в однородной и безграничной плазме. В то же время для разнообразных приложений, относящихся к лазерной плазме, плазменной электронике, плазме твердого тела, космической плазме, а также к гидродинамике, радиоэлектронике, нелинейной оптике и др. было необходимо дальнейшее развитие теории нелинейного взаимодействия в НЧ диапазоне длин волн, в частности, исследование взаимодействия квази монохроматических сигналов (МГД-мод) в потоковой плазме (как в безграничной плазме, так и в плазменных волноводах). Изучению значительной части этих вопросов в приложении к плазмоподобным средам посвящена данная работа.

Диссертация, в соответствии с поставленными задачами, состоит из двух частей.

В первой части (Глава 1) исследуются особенности развития взрывной неустойчивости МГД-волн в безграничной системе поток - плазма, где изучены два предельных случаях:

а) «нагретый» пучок - «холодная» плазма;

б) «нагретая» плазма -«холодный» пучок.

Обнаружен новый механизм стабилизации «взрыва» МГД-моД за счет генерации слабозатухающих гармоник волн положительной энергии - нелинейное

поглощение.

Вторая часть диссертации (Главы 2,3) посвящена условиям генерации МГД-волн в плоском волноводе, пронизываемом потоком ионизированного газа. В Главе 2 исследуется случай, когда постоянное магнитное поле направлено вдоль стенок волновода. Выяснены условия преобразования энергии мод вверх по ^ПС1Сфу_ир.конв.рсия. Показано, что в такой системе возможна эффективная

в

трансформация энергии от пучка к возбуждаемым модам. В Главе 3 исследовано взаимодействие волн в волноводе с потоком ионизированного газа, причем постоянное магнитное поле направлено перпендикулярно стенкам волновода. Решена нелинейная краевая задача, выведены укороченные уравнения для медленно меняющихся комплексных амшипуд волн и показана также эффективность

преобразования энергии МГД-волн зверх по спектру.

В Главе 1 приведены оцигеи для полупроводниковой плазмы антимонида индия (ЫИ.), показывающие возможность создания твердотельного усилителя (генератора) магнитного поля в лабораторной плазме. Кроме того, результаты Глав 2, 3 весьма полезны ддя интерпретации экспериментально наблюдаемого НЧ излучения магнитных трубках, которые моделируются плоским волноводом, например, в атмосфере Солнца. Это излучение имеет поперечную поляризацию и может быть принято как наземными, так и спутниковыми антеннами.

В Приложении рассмотрена линейная трансформация электромагнитных и плазменных волн в неоднородной магнитоакгивной плазме при квазипоперечном, по отношению к внешнему магнитному полю, распространении на частотах, близких к частоте верхнего гибридного резонанса в приближении квазигидродинамики. Выведены укороченные уравнения Для амплитуд взаимодействующих необыкновенной и плазменной волн, описывающие амплитуды полей с геометрооптической точностью. Нсйдены коэффициенты трансформации волн при прохождении ими плазменной неоднородности для случаев наличия внутри нее одной

и двух точек синхронизма. %

Полученные результаты представляют интерес при анализе целого ряда физических процессов: нагрев плазмы в лабораторных условиях, наблюдение радиоэхо с аномально большими задержками, интерпретация тонкой структуры ионосферных неоднородностей, а также в проблеме дальней радиосвязи. Цель работы

Целью данной работы является дальнейшее развитие теории взаимодействия МГД-волн в неравновесной и ограниченной плазме.

Неравновесность плазмы, связанная с потоком заряженных частиц, приводит к возникновению волн с отрицательной энергией и, как следствие, при выполнении условий синхронизма (когда волна высшей частоты имеет отрицательную энергию), к возникновению взрывной неустойчивости. Если же волна отрицательной энергии имеет промежуточную частоту, то возникает ВЧ неустойчивость или цр-конверсия, г.е. преобразование энергии вверх по спектру.

Кроме того, изучены параметрическая и ВЧ неустойчивости в потоке плазмы в хлоском волноводе, где обнаружены новые эффекты, связанные с ограниченностью плазмы — поляризационные запреты на взаимодействие мод, обусловленные тем эбстоятельством, что нелинейный ток ортогонален третьей моде резонансного гриплета, а также появление дополнительной пространственной дисперсии, гриводящей к возникновению новых типов взаимодействий.

В Приложении ставилась цель применения асимптотической теории линейной Трансформации электромагнитных воли в неоднородной анизотропной среде для ;лучая квазипоперечного распространения волн в плазме вблизи верхнего гибридного резонанса. В приближении геометрической оптики получены укороченные уравнения хля амплитуд связанных волн. Вычислены коэффициенты матрицы трансформации, а гакже установлено, что они растут с увеличением угла отклонения направления заспространения волн от строго поперечного (по отношению к внешнему магнитному юлю) вплоть до значений углов, при которых еще справедливо квазипоперечное [риближение.

Научная новизна работы

Основное внимание в диссертации уделяетея теоретическому исследованию

новых эффектов, возникающих при резонансном взаимодействии МГД-волп в

безграничной и ограниченной плазме. При построении теории „е преследовалась цель

дать исчерпывающий анализ всех возможных эффеоов, а были исследованы

закономерности, которые могут быгь установлены на простейших моделях*. В основу

диссертации положены работы автора по теории взаимодействия МГД-волн в

-чктж плазма, а такжг п потоке плазмы, пронизывающем плоский

системе волновод. Часть

из них принадлежит к числу первых работ, в которых:

а) показано, что генерация слабо затухающих гармоник МГД-мод положительной энергии приводит к стабилизации взрывной неустойчивости в системе поток-

плазма;

б) проведено теоретическое рассмотрение как параметрической, так и ВЧ неустойчивости МГД-мод в плоском волноводе, заполненном движущим«

ионизированным газом ;

в) выяснена возможность эффективной трансформации энергии НЧ излучения вверл

по спектру .

В Приложении излагается работа автора, где впервые, для случае квазипоперечного (по отношению к внешнему магнитному полю) распространения ж частотах около точки верхнего гибридного резонанса, была теоретически исследована линейная трансформация электромагнитных и электростатических волн при прохождении ими плазменной неоднородности; найдены и проанализирован* коэффициенты трансформации указанных волн. Практическая ценность и реализация результатов работы

Решение задач нелинейного взаимодействия МГД-волн в неравновесной плазма имеет ряд практически важных аспектов. Результаты работы носят общий характер » должны учитываться при анализе роли нелинейных процессов в любы, плазмоподобных средах. В частности, выводы, полученные в Главе 1 могут быт,

• Многие из полученных результатов легко могут быть обобщены на более сложные системы

б

использованы для создания мощных усилителей НЧ колебаний в лабораторной твердотельной плазме. В Главе I приведены оценки такого усилителя для полупроводниковой плазмы.

Результаты Глав 2, 3 имеют практическое приложение как для лабораторной, так и космической плазмы. Например, в атмосфере Солнца существуют магнитные трубки (приближенно их можно считать плоскими волноводами), в которые при развитии пепышечных явлений инжектируются потоки заряженных частиц и, в процессе нелинейного взаимодействия МГД-волн, генерируются импульсы мощного НЧ излучения, принимаемые наземными и спутниковыми антеннами. Следствия теории, развитой в Главах 2, 3 вполне применимы для интерпретации этих экспериментальных данных.

Результаты и выводы, полученные в разделе «Приложение», могут быть полезны при решении таких практически важных задач, как дальняя радиосвязь, определение параметров ионосферы и магнитосферы, нагрев ионосферы мощным электромагнитным излучением и др. Основные научные положения, предъявляемые к заи(мте

[.Обнаружен новый механизм стабилизации взрывной неустойчивости МГД-волн за счет генерации гармоник мод положительной энергии — эффективное нелинейное поглощение.

2. Построена теория параметрической и ВЧ неустойчивости МГД-волн в плоском волноводе, пронизываемом потоком заряженных частиц, причем постоянное магнитное поле направлено вдоль потока. Выяснены условия цр-конверсии, т.е. преобразования энергии вверх по спектру.

3. Изучены особенности резонансного трехволнового взаимодействия МГД-волн в плоском волноводе с потоком заряженных частиц при условии, что постоянное магнитное поле перпендикулярно стенкам волновода. В этом предельном случае также выяснены условия возникновения ВЧ неустойчивости и показана возможность эффективной ир-конверсии МГД-мод.

4. В асимптотическом приближении исследовано взаимодействие электромагнитной и плазменной волн в окрестности верхнего гибридного резонанса при их

7

квазипоперечном распространении по отношению к внешнему магнитному нолю. На основе проведенного анализа определены коэффициенты трансформации этих волн для случаев одной и двух точек пространственного синхронизма.

Апробация результатов

Материалы диссертации докладывались на Международном симпозиуме ЕШОЕМ-94 (Бордо, Франция, 1994), XVIII Всероссийской конференции по распространению радиоволн (Санкт-Петербург, 1996), XXVI и XXVII Радиоастрономической конференции (Санкт-Петербург, 1996, 1997), а также на семинарах ИЗМИРАН, НИРФИ, ИПФРАН и кафедры «Прикладная математика» НГТУ. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах, выполненных в 1992-98 гг., трудах и тезисах докладов симпозиумов и научных конференций. Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Приложения и Заключения. Общий объем работы 120 страниц. Из них текст занимает 100 страниц, рисунки — 13 страниц, библиография из 70 названий — 7 страниц.

Содержание работы

Во Введении проанализировано сопремеиное состояние изучаемом проблемы, боснована актуальность темы диссертации, сформулирована ее цель, отмечена ручная новизна полученных результатов, их научная и практическая ценность, [редставлены положения, выносимые на защиту, дано краткое содержание работы.

Глава I посвящена изучению механизма стабилизации взрывной ^устойчивости МГД-волн за счет генерации высших гармоник альфвеновских и вуковых волн в безграничной системе поток - плазма.

В 1.1 (Введение) дана аннотация проведенного далее теоретического анализа |роблемы и отмечена возможность практических приложений полученных >езультатов для лабораторной и космической плазмы.

В 1.2 рассмотрен процесс генерации импульсов магнитного поля при развитии >зрывной неустойчивости звуковых мод в системе «холодная» плазма — «нагретый» 1учок.

В 1.2.1 сформулирована и поставлена задача; из исходных МГД-уравнений голучены две системы уравнений для проекций волновых возмущений, описывающие >аспространение альфвеновских и магнитозвуковых волн в системе. Затем, :тандартным способом, получены дисперсионные соотношения для альфвеновских и ;вуковых мод (линейная задача). Далее выведены укороченные уравнения для медленно меняющихся комплексных амплитуд волн (нелинейная задача), найдены соэффициенты нелинейного взаимодействия мод, а также представлены результаты :чета на ЭВМ условий синхронизма и коэффициентов взаимодействия для различных мраметров системы «нагретый» поток — «холодная» плазма.

В 1.2.2 проведено исследование системы укороченных уравнений. Найдены ;тационарные амплитуды гармоник волн Альфвена, которые «следят» за изменениями туковых мод; приведена формула для коэффициента нелинейного поглощения и шшл оценки генерации импульсов магнитного поля для полупроводниковой плазмы штимонида индия (1пЯЬ).

В 1.3. исследован другой предельный случай— моноскоростлой пото заряженных частиц пронизывает «нагретую» плазму. В этой системе изучен процес генерации звуковых импульсов при развитии взрывной неустойчивое!!

альфвеновских волн.

В 1.3.1 из исходных МГД-уравнений получены две системы уравнений-координатной форме для волн Альфвена и «звука», выведены дисперсионны соотношения для указанных мод системы, а также проанализированы услови синхронизма. Далее записана система укороченных уравнений для комплексны амплитуд, найдены коэффициенты взаимодействия мод.

В 1.3.2 проведен анализ системы укороченных уравнений, получены выражени для стационарных амплитуд первой и второй гармоник магнитозвуковых вол1 которые «медленно следят» за изменениями волны Альфвена, а также приведен формула для коэффициента нелинейного поглощения.

В 1.4 сформулированы основные результаты, полученные в Главе 1.

В Главе 2 изучено трехволновое резонансное взаимодействие в плоско) плазменном волноводе, который пронизывается потоком ионизированного газг причем постоянное магнитное поле направлено вдоль потока (продольно распространение).

Введение к Главе 2 (2.1) содержит краткое описание проведенны исследований.

В 2.2 подробно изложен асимптотический метод для полноводных систеи разработанный В.П. Дворяковским, на базе которого решается полуоднородна краевая задача и выводятся укороченные уравнения для комплексных амплиту взаимодействующих волн системы в различных приближениях по малому параметру.

В 2.3 поставлена задача, далее из исходных МГД-уравнений, дополненны однородными граничными условиями, получена система нелинейных уравнений да проекций волновых возмущений (причем в правых частях уравнений системы учтен лишь нелинейные члены 2-го порядка), описывающая магнитозвуковые моды. Затек применяя асимптотический метод (2.2), выведены укороченные уравнения дл

омилексных амплитуд, попутно получено дисперсионное соотношение для шпштного «звука».

В 2.4 выяснены энергии мод и проанализированы условия синхронизма; становлено, что только при определенных ограничениях на номера мод возможна ВЧ [ парзметрическая неустойчивость (поляризационные запреты); получены формулы (ля коэффициентов нелинейного взаимодействия в указанных случаях; найдены [нкременты соответствующих нестабильностей и показана эффективность |реобразования энергии вверх по спектру (кр-конверсия). Кроме того, здесь же |риведены результаты счета на ЭВМ условий синхронизма и коэффициентов заимодействия для параметров мод, соответствующих распадной неустойчивости и !Ч нестабильности.

В 2.5 обсуждаются основные результаты теоретического исследования, их ручная и практическая ценность.

Глава 3 посвящена изучению ВЧ и параметрической неустойчивости в потоке юнизированного газа, пронизывающего плоский волновод, когда постоянное 1агнитное поле перпендикулярно стенкам волновода (поперечное распространение).

В 3.1 (Введение) кратко изложено содержание Главы 3 и указано на озможность практического применения полученных результатов.

В 3.2, руководствуясь асимптотическим методом для волноводных систем (2.2) в матричной форме) решена полуоднородная краевая задача, записана система равнений для комплексных амплитуд волн; получены и проанализированы дисперсионные соотношения для мапштозвуковых и волноводных мод системы.

В 3.3 проведено подробное исследование трехволнового взаимодействия в ¡лазменном волноводе; рассмотрены эффекты, связанные с наличием границ поляризационные запреты на нелинейное взаимодействие мод с определенными гомерами); проанализированы условия синхронизма; дан критерий отрицательности нергии мод. Далее установлено, что при определенных наборах индексов мод в истеме развиваются параметрическая и ВЧ нестабильности; выведен^ формулы для :оэффициентов взаимодействия в указанных случаях; найдены инкременты ¡озбужденных мод и показана возможность эффективной ¡^-конверсии. Также здесь

II

представлены дачные расчета резонансных триплетов, удовлетворяющих условия* синхронизма и коэффициентов взаимодействия (при различных значениях числ; Маха) для индексов мод, соответствующих распадной и ВЧ неустойчивости.

В 3.4 обсуждаются основные результаты Главы 3.

В разделе «Приложение» рассмотрена линейная грансформаци: электромагнитных и плазменных волн на частотах в окрестности верхнего г ибридном резонанса при квазипоперечном (по отношению к внешнему магнитному полю распространении._

В П. 1 (Введение) дано краткое содержание раздела «Приложение».

В П.2 сформулирована и поставлена задача, а затем из исходно] линеаризованной системы уравнений квазигидродинамики, выведены уравнения дл компонент поля необыкновенной и плазменной волн. Далее, применяя мето, асимптотической теории линейной трансформации электромагнитных волн неоднородной анизотропной среде, получено уравнение эйконала, а также приближении геометрической оптики записана система уравнений для амплиту взаимодействующих волн.

В П.З на основе решений уравнения эйконала определено услови пространственного синхронизма и построена модель дисперсионных кривых системы В П.4 приведены формулы для коэффициентов трансформации при различны законах изменения электронной концентрации для случаев наличия виутр плазменной неоднородности одной и двух точек синхронизма и проанализирован! полученные выражения.

В П.5 тезисно изложены основные результаты исследования и указано и возможность их практического приложения для ряда процессов, протекающих неоднородной плазме.

В конце диссертации помещено Заключение, в котором кратко сформулирован: результаты, полученные в работе, отмечено их значение как с точки зрени дальнейшего развития теоретических исследований, так и для различны практических приложений.

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Белянцев А.Е., Файнштейн С.М. Генерация мощных альфвеновских волн в результате развития взрывной неустойчивости в системе поток-плазма// Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1995,-Т.38. № 10.-С. 1060-1063.

2. Белянцев А.Е., Файнштейн С.М., Чернова Е.А. Генерация импульсов магнитного поля при развитии взрывной неустойчивости альфвеновских волн в системе поток-плазма // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1996,- Т.39. №8. -С.1001-1006.

3. Белянцев А.Е., Дворяковский В.П., Файнштейн С.М., Чернова Е.А. Генерация второй гармоники альфвеновской волны при развитии взрывной неустойчивости в системе поток-плазма // Изв.. ВУЗов. Радиофизика, 1998,-Т.41. 95^-990.

4. Белянцев А.Е., Дворяковский В.П., Файнштейн С.М., Чернова Е.А. Генерация альфвеновских и магнитозвуковых волн при развитии ВЧ и параметрической неустойчивости в плоском волноводе // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1997.- Т.40. № 7,- С.845-850.

5. Белянцев А.Е., Дворяковский В.П., Файнштейн С.М., Чернова Е.А. Параметрическая и высокочастотная неустойчивость альфвеновских и магнитозвуковых волн в плоском волноводе, пронизываемом потоком ионизированного газа с поперечным магнитным полем // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1998.- Т.41. № 4,- С. 469-474.

6. Белянцев А.Е., Еремина И.В., Яшин Ю.Я. Линейное взаимодействие волн при квазипоперечном распространении в гиротропной среде в квазигидродинамическом приближении // Сб. Колебания и волны в сплошных средах (аналитические и численные методы). - Н.Новгород: изд. НПИ, 1992.-С.136-140.

7. Белянцев Е.А., Файнштейи С.М. Генерация альфвеновских волн неравновесной плазме //Тр. Международного симпозиума EURO ЕМ-9-Бордо, Франция, 1994,- С. 582-584. -iL-Бедянцев А.Е., Файиштейн С.М.. Фомичев В.В., Чернова Л.Г. Генераци мощных нелинейных альфвеновских волн потоком газа в космическо плазме //Тр. XV111 Всероссийской конференции ло распроегранент радиоволн. С.-Пб., 1996.- Т. 2,- С. 320. '9. Белянцев А.Е., ДворяковскиГгВ.П., Файнштейи С.М., Фемичеа—ВтВ Цыганов П.В. Генерация мощных альфвеновских волн в плоском волноводе пронизываемом потоком ионизированного газа // Тр. XXV Радиоастрономической конференции. С.-Пб., 1996.

Ю.Бслянцев А.Е., Файнштейи С.М., Фомичев В.В., Чернова А.Е. Генераци мощных импульсов магнитного поля при развитии взрывной неустойчивост в системе поток-плазма в атмосфере Солнца И Тр. XXVI Радиоастрономической конференции. С.-Пб., 1997,- Т. 2.- С. 44.

Оглавление диссертации

¡ведение........................................................................................................................ 4

лава 1. Стабилизация взрывной неустойчивости МГД-волн за счет генерации высших гармоник альфвеновских и звуковых мод в безграничной системе поток-плазма......................................................... ' ^

1.1. Введение................................................................................................ 15

1.2. Генерация импульсов магнитного поля при развитии взрывной неустойчивости мапштозвуковых волн в системе «холодная» плазма - «нагретый» поток.................................................................... 15

1.2.1. Постановка задачи. Исходные уравнения. Анализ условий синхронизма............................................................................................. 15

1.2.2. Исследование системы укороченных уравнений........................... 24

1.3. Генерация звуковых импульсов при развитии взрывной неустойчивости альфвеновских волн в «нагретой» плазме, пронизываемой моноскоростным потоком заряженных частиц..................................................................................................... 29

1.3.1. Постановка задачи. Исходные уравнения...................................... 29

1.3.2. Анализ укороченных уравнений...................................................... 35

1.4. Основные результаты........................................................................... 37

лава 2. ВЧ и параметрическая неустойчивость в потоке ионизированного газа, пронизывающего плоский волновод (продольное распространение)............................................'............................................. 39

2.1. Введение................................................................................................ 39

2.2. Асимптотический метод исследования многоволновых взаимодействий в ограниченных слабонелинейных неоднородных средах.............................................................................................. 40

2.2.1. Постановка задачи, исходные уравнения........................................ 40

2.2.2. Вывод уравнений для комплексных амплитуд в нулевом, первом

и втором приближении по малому параметру........................................................................44

2.2.3. Заключение..................................................................................................................................................................................58

2.3. Постановка задачи, получение укороченных уравнений для комплексных амплитуд магнитозвуковых волн..................................................................58

2.4. Энергии мод. Условия синхронизма. Анализ системы для амплитуд воли..............................................................................................................................................................................70

2.5. Основные результаты........................................................................... 73

Глава 3. ВЧ и параметрическая неустойчивость в потоке ионизированного газа,

пронизывающего плоский волновод (поперечное „

распространение)..........................................................................................

3.1. Введение ...............................................................................■•■•■■........... 7

комплексных амплитуд мод................................................................. 7

3.3. Исследование взаимодействия волн. Анализ инкрементов

возбужденных мод................................................................................ 8

3.4 Основные результаты............................................................................ 5

Приложение. Линейное взаимодействие волн при квазипоперечном

-распространении в шршрипной среде в квазигидрединамическом-

приближении..........................................................................................

П. 1. Введение............................................................................................... 5

П.2. Постановка задачи. Укороченные уравнения для амплитуд взаимодействующих электромагнитной и плазменной

волн......................................................................................................... ^

П.З. Условие пространственного синхронизма. Используемая модель

дисперсионных кривых........................................................................ 1С

• П.4. Коэффициенты трансформации для одной и двух точек

синхронизма........................................................................................... 1С

П.5. Основные результаты.......................................................................... 11

Заключение................................................................................................................... ''

Литература................................................................................................................... 1'

Подп. к печ.ЗО.06.98. Формат 60x84 '/16. Бумага Офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд.л. .Тираж 130 экз. Заказ 294.

Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул.Минина, 24.