Некоторые вопросы управления периодическими процессами и дифференциальные включения с периодической правой частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I.

§ I. Эквивалентность задач (л и

§ 2. Теорема существования а)-периодического решения дифференциального включения

§ 3. Теорема существования оптимального периодического решения дифференциального включения

Глава 2.

§ 4. Аппроксимация периодических решений дифференциального включения

§ 5. Непрерывная зависимость множества периодических решений дифференциального включения от правой части -

§ 6. Априорная ограниченность периодических решений дифференциального включения

Глава 3.

§ 7. Достаточные условия оптимальности а)-периодического решения дифференциального включения

§ 8. Об одной задаче химической технологии

Данная работа посвящена изучению свойств периодических решений дифференциального включения

•fjf- e Q(t,x) , где Q (t, ос) представляет собой при фиксированных (t, ос) п некоторое множество в R . Полученные результаты применяются для исследования периодических управляемых систем

X=/{t, ос, и), ос е: R* ue.U(t,x) .

Во введении диссертации приведены основные определения и обозначения, используемые в дальнейшем, краткий обзор работ, посвященных дифференциальным включениям и задачам оптимизации периодических решений дифференциальных уравнений, содержащих управления. Даны постановки задач, исследованию которых посвящена данная работа,и сформулированы основные результаты диссертации. п п.1. Основные определения и обозначения. Пусть JR —. евклидово пространство размерности /г со скалярным произветгч 1 дением < эс,у> элементов ос, у . пространства JR. и нормой \х\= У <ос, ос> . В случае, когда в пространстве Я* введена ортонормированная система координат, элементы простп. ранства К будем называть векторами, а координаты вектора

I» £ /I

X е Щ обозначать ос , . } ос . Скалярное произведение в этом случае определяется равенством < +

Обозначим через S^-(^o) — замкнутый шар радиуса f в п> t . /ь пространстве R с центром в точке зс0 : : x0-z.|^ у1" J. Вместо S^(O) будем писать Sf. Обозначим через ( Ш ) совокупность всех непустых подмножеств пространства через сотр (Ж*') — совокупность всех п. непустых кошактных подмножеств пространства к- . Определим расстояние от ос е TR^ до множества fi ^ сотр (К ) равенством р (зс, Л) = min \ ос — ц\ , J а отклонение множества Л е. сотр от множества п.

3 в сотр (к ) — равенством d( Л, В ) = тазе р fx, 3) . зее Я п.

Расстояние между множествами Л, 3 е сотр (R. ) определим по Хаусдорфу dUi ( Л, 3) = Msix { о[( Л, 3), d(3, Л)} . п.

Множество непустых компактных подмножеств пространства к с расстоянием dUt (•, •) образует метрическое пространство, которое также будем обозначать сотр) (TR. ) ,

Множество Ле сотр (1ft ) называется выпуклым, если для любых Л и любого Ле-lO, /] выполнено включение: Л.ос Л - Наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее в себе множество /I, назовем выпуклой оболочкой множества Л и обозначим его со по- Л.

Нам понадобятся в дальнейшем следующие простые свойства, связанные с метрикой в пространстве сотр (&*"). Доказательства этих свойств даны в работах [1],[2].

Пусть сотр (JR."') , эс е 1RrL. Тогда: а) если ye-jr, то f(oc,B) ^* с1(Л,В); б) если </&J7,to jo(y,b) d(J!,B)'y в) J>(x,#) ± j>(x,B) + dUt ( J, В) > г) dLUt (эс+Я,В) ± ix| + dLUt (Л,В) (напомним, что здесь и далее ос +■ Jf= £ у е л Л: у. = зсч-2, ); д) dut (Л,В) ^ dLUt (Л, С) + dost (С,3) ; е) если неЗ, то | y-z| 6 dUt(J,B)'} ж) если d(Л,В) ^ JL, то d(cono-J)y сопи-В) з) й(Л,Ъ) ^ X тогда и только тогда, когда для любого существует что I £ А.

Отображение t-r Q(t) из R в сотр (R^) назыоо вается измеримым,если существует счетное семейство (t)J измеримых сечений ( ^ е # W при почти всех t) отображения Q(-) такое, что Q(t) совпадает с замыканиг 00 ем (по ноше в R ) объединения L/ о,- (t) при почти

I= f rL всех t .

Отображение ос Q (ос) из Щл в сотр (Ж*) называется полунепрерывным сверху в точке х0 е если для любого г>0 существует 8т>0 такое, что из неравенства | х-ос0\ 4=8 следует неравенство d (Q(x), Q(oc0)) 4= £ .

Л»

Отображение эс Q(oc) из R в сотр (R ) называется непрерывным по Хаусдорфу в точке ос0 е если для любого £>0 существует 8?0 такое, что из неравенства |0?-jco1 ^ 8 следует неравенство cUit(Q(oc), Q(x0))^e. i+n.

Говорят, что отображение (t, ос) —г ц (г, из R. в СОтр ( Ц m) удовлетворяет условиям Каратеодори, если U (I, эс) измеримо по t при каждом фиксированном ос, непрерывно по ос при любом фиксированном t и для всякого у >О существует локально интегрируемая функция ту. (t) такая,что при всех R 1} | аг | ^ У" выполнено неравенство I U( I, ос) | ^ £ ту. (t)у где, по определению, для всякого множества U т из ^с

I U | - 5ир I . yeU

Введем теперь понятие решения дифференциального уравнения 1+П п. и дифференциального включения. Пусть функция f: R R удовлетворяет условиям Каратеодори, то есть функция (t, ос) измерима по i, а функция ос —f (i, ос) непрерывна по зс и для любого ^>0 сзпцествует локально интегрируемая функция trip (t) такая, что \ f (t,x)\ ^ tn^ (t) при всех и всех te-R*. Пусть j> — произвольный интервал числовой пряной. Функция —fit* называется решением уравнения (см., например [3], с.62) на если (/> абсолютно непрерывна на j* и при тех ^ из J., при которых производная существует, выполнено равенство = № ■

Существует много различных определений решения дифференциального включения. Хороший обзор этих определений и теорем » существования решения в смысле каждого оцределения дан в работе В.И.Благодатских [4]. В данной работе решение дифференциального включения понимается в смысле Каратеодори: функцию ij): J. —* IR." называют решением дифференциального включения Q(t, ъ) (0.1) di на интервале J.cR\ если абсолютно непрерывна на £ и для тех t^J- > ДОЯ которых существует производная выполняется включение п.2. Дифференциальные включения возникают во многих при-ложениях.К ним приводят уравнения,не разрешенные относительно производной, дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (А.Ф.Филиппов), дифференциальные неравенства, задачи управления, дифференциальные игры (Н.Н.Красовский, А.Е.Куржан-ский, Е.Роксин и Л.Штерн [5]) и другие задачи. Прежде чем перейти к периодическим решениям дифференциальных включений,сделаем краткий обзор результатов, посвященных решениям включения (0.1), удовлетворяющих начальным данным ос( 1о) = эсо . (0.2)

В случае, когда множество выпукло при фиксированных (i, XJ, как показал А.Плиш [б], для существования решения задачи (0.1), (0.2) достаточно измеримости по t и полунепрерывности сверху по ос многозначного отображения Q в точке (toy Хо) . При естественных предположениях это решение продолжаемо (см.например, [7], [8], а также [9] § 2.2). Теорема существования решения задачи (0.1),(0.2) для непрерывного, но не обязательно выпуклого отображения Q. дана в работе А.Ф.Филиппова [7]. Интересное обобщение этих результатов на случай, когда отображение Q в каждой точке (t, х) либо непрерывно по эс, либо полунепрерывно и выпукло дано в работе К. Олеха [10].

Если множество Q ( t,x) непрерывно по Хаусдорфу и выпукло, то множество всех решений задачи (0.1), (0.2) — не пустое компактное подмножество в пространстве непрерывных функций с естественной нормой в С [8]. Пусть со по Q — замкнутая выпуклая оболочка множества Q . Тогда при определенных условиях множество решений включения

DC e С0ПО- Q(t,OC), ОС (to)= 0Co совпадает с замыканием (по норме в С ) множества решений задачи (0.1), (0.2) (Пианджини [II]). Кроме того для множества всех решений включения

ОС € Q(t,0C,3L) , JC(t0)=OCo найдены условия полунепрерывной снизу , а также непрерывной зависимости от начальных условий ( tQ> ocD) и параметра z (П.Й.Чугунов [12]). Вопросам обобщения понятия решения дифференциального включения и построения усредненного решения включения посвящены работы В.А.Плотникова (см.например, [13]).

Каждому решению ос(1) включения (0.1), удовлетворяющему фазовому ограничению oc(t) g ОС (£) можно поставить в соответствие функционал

I(0C(t)) = pU^xd,))* f l(l,oc(l))dt (0.3) и рассматривать задачу оптимизации функционала (0.3) на соответствующем множестве решений включения (0.1). Достаточные условия оптимальности такой задачи в форме принципа максимума Понтрягина даны в работе В.И.Елагодатских [14]. Из работ,посвященных необходимым условиям оптимальности, отметим работы Б.Н.Пшеничного [15] и А.А.Левакова [16].■Подробное исследование дифференциальных включений в банаховом пространстве проведено А.А.Толстоноговым в цикле работ (см.в частности [17],

18]). Устойчивости решений дифференциальных включений посвящены работы А.Ф.Филиппова [19], Л.Ю.Анапольского [20],В.З.Ца-люка [21] и других авторов. Функционально-дифференциальные включения рассматриваются в работах А.И.Булгакова, В.П.Максимова [22] , Л.Н.Ляпина, И.А.Финогенко [23] . п.З. Перейдем теперь к рассмотрению периодических решений дифференциального включения

X е. Q ({, эс) . (0.1)

Вопросу существования и) -периодического решения включения (0.1) посвящена работа А.К.Поволоцкого и Е.А.Ганго [24] и некоторые другие работы тех же авторов. В работе [24] даны достаточные условия существования и) -периодического решения включения (0.1) в следующих предположениях относительно О. Отображение Q'-1R?+ —>comp(Rn) полунепрерывно сверху по совокупности аргументов, ^-периодично по t при фиксированных сс и выпукло при всех (t, эс) s [ а, cO] х Jfc . Периодическим решениям дифференциального включения (0.1) в предположении выпуклости Q(t,cc) посвящены также работы [25], [26], [27]. В заключение отметим работы [28], [29] . Работа [28] посвящена доказательству существования периодического решения включения

-p(i), ^(i)) е pit)) , где ЪЬ — субдиф$еренциал hр h(Q,p) — опорная функция заданного компактного выпуклого множества S с ^^ в точке В работе £29] даны достаточные условия существования периодического решения гамильтоновой системы дифференциальных включений

ОС е Q(t,OC,p) ,

-р ^ F(t, х,р) ,

ЭС(О) = Х(и)) } р(О) - р(<Х>) в предположении выпуклости отображений Q ж F. п.4. Задачи управления периодическими процессами возникают во многих областях науки и техники. В частности, в таких, как механика, теория регулирования, кардиология, химическая технология и другие. Одной из первых работ, содержащих постановку задачи периодической оптимизации, является работа [30]. Она возникла в связи с вопросами управления химическими реакторами и содержит необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С.Понтрягина. Достаточно полный обзор работ, посвященных периодическим процессам и опубликованных до 1977 года,дан в работе [31]. Из более поздних работ по этой тематике отметим работу [32], п. 5. Задача периодической оптимизации. В данной работе большое место уделяется следующей задаче. Пусть в пространстве п.

К задано уравнение <f(i,x,u), (0.4) г» л <*rt+m » где x<=R, ugR , функция f:lR —* JR. удовлетворяет условиям Каратеодори, то есть измерима по i при каждых фиксированных (х, и), непрерывна по (х, и) при фиксированном t и для всякого существует локально интегрируемая функция m^d) такая, что при всех i^R и всех х, и таких, что jxl +lul 4 / выполнено неравенство | fd, х, и)\ < 4 tr>y(i). Пусть, далее, функция периодична по i с периодом и»О при фиксированных (эс,и).

1+п т

Пусть, кроме того, задано отображение U'-IR —* сотр (/к ), где U(t,x) непрерывно в метрике Хаусдорфа по (i* со-периодично по t при каждом фиксированном х и задано отображение ОС1 R -r^rfR) такое,что dC(t+<^) ~ ОСЫ).

Измеримая функция t uci) называется допустимым управлением уравнения (0.4), если uU+co) = uci) при всех i

JR, уравнение ос = X, U(i)) (0.5) имеет хотя бы одно со -периодическое решение, удовлетворяющее ограничениям zed) е OCd) , причем при почти всех t&lR имеет место включение u(t) « U(t, x(t)) .

Пара x(-), u(') f где u(~) — допустимое управление, a x(-) — соответствующее ему решение уравнения (0.5), называется допустимым процессом уравнения (0.4). Следует отметить, что управлению и(-) может соответствовать не одно ^-периодическое решение уравнения (0.5К Каждое из этих решений в паре с управлением и(-) будет составлять допустимый процесс.

Кроме того, зададим <*> -периодическую по t функцию ип+т 1

К такую, что удовлетворяет условиям Каратеодори по (t, я) при каждом фиксированном и , непрерывна по и при фиксированных (tfx) и оО -периодична по t при фиксированных (х, и). Задача периодической оп-тимизацш заключается в следующем: требуется найти такой допустимый процесс эс(-), уравнения (0.4), на котором .функционал сО

J(X('), и(-))= J i(t, X(t)} Uft)) dt, 0 рассматриваемый только на множестве допустимых процессов,достигает своего минимума. Назовем эту задачу задачей (Л. Заметим, что задача Сл встречается в ряде прикладных вопросов. п.6. Одним из способов исследования задачи Сл является применение к ней результатов теории дифференциальных включений. Рассмотрим дифференциальное включение e Q(t,x), (O.I)

1 1+n 1r~>n где X^/R, отображение u'R —comp(/K J од- периодично и измеримо по t при каждом фиксированном Xf полунепрерывно сверху по "X при каждом фиксированном t . Пусть, кроме того,задано отображение X-.1R 9(П ) и шункция Cp:R xR« JR. —* JR. , причем предполагается, что dC(i^)= - 0C(i) при всех tGR, а функция Ф(£>х,у) -периодична no t при фиксированных (х, у) такая, что cP(tfx(t)? x(t)) интегрируема по ^ На [О, и)] При любой -периодической по t абсолютно непрерывной функции X(t).

Решение х(-) включения (0.1) называется допустимым, если ~х(-) — периодическая функция с периодом со и

X(t) е X(i) .

Допустимое решение Х(-) включения (0.1) называется оптимальным относительно функционала сО

J (Х(-)) = J ФИ, X(t), х(Ь) dt, (0.6) о если функционал (0.6), рассматриваемый только на допустимых решениях включения (0.1), достигает своего минимума на решении ctY•). Задачу нахождения оптимального сО -периодического решения дифференциального включения (0.1) назовем задачей п.7. Обзор основных результатов диссертации. При определенных условиях, наложенных на отображение 0 и Функции Ф, и задачи (Л и эквивалентны. Эти условия сформулированы в теореме I § I. Параграф 2 посвящен доказательству следующей теоремы существования to -периодического решения дифференциального включения.

Теорема 2 . Пусть выполнены условия: f+n.

1). Для каждой фиксированной точки (t,oc) е fc множество Q(t > ос) представимо в виде Q(t,x) = /!(t)X 4 F(t, ос), где функция t -*> Art) e Hom(R , TR ) непрерывна и ^-периодична; отображение F - TR —rComp(R ) непрерывно в каждой точке (t, к и со -периодично по t при фиксированных ос .

2). Уравнение dc=A(t)X не имеет оО -периодических решений, кроме тривиального.

3). Существует непрерывная неотрицательная функция & : С О, оО] [О, такая, что неравенство из

J\G(t,s)\ a(s,<3(s)) ds сiz(t) о выполнено при всех t^[0,co] , где G-(t,<S) —оператор Грина задачи х = A(t)x> xfcO) = ос(о) , а функция t o.(t, f) определена равенством cx(t,f) == тэ.эс I уI при и \x\ f .

Тогда дифференциальное включение (0.1) имеет хотя бы одно оО -периодическое решение.

Условиям существования со -периодического решения дифференциального включения посвящены работы [24], [25], [26] , [27]. Теорема 2 ,в отличии от результатов этих работ,не предполагает выпуклости образов отображения Q ( t^oc) при фиксированных ( t, ос). После теоремы 2 приведены примеры и следствие, посвященное условиям существования допустимого процесса задачи. Ot .

В параграфе 3 рассматриваются достаточные условия существования решения задачи Эти условия сформулированы в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть множество OC(t) замкнуто при каждом фиксированном t, отображение ( t, ос) —* Q(t, ос) имеет выпуклые образы и удовлетворяет условиям: а) Q -периодично и измеримо по t при фиксированном х; б) Q полунепрерывно сверху по х при фиксированном t; в) для любого существует jn^. такое, что тэ.ос | С- при почти всех t .

Пусть, далее, множество допустимых решений задачи 7э- не пусто и ограничено. Тогда,если существует такая непрерывная функция fi(£,3C,z) : [О, Од] * lRn* Я* R^ что при всех t^io, 60], x^Xrt), Q(t,3C) для любого выполнено неравенство tp(t}x,y.)— <P(t,x, z; <§(t,x,2)} , то оптимальное решение задачи )& существует.

Основной результат параграфа 4 заключен в следующем утверждении.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2 и кроме того существует непрерывная функция у? (t, v-), it,v) е [0,0)1 х [ 0,2.&(£)] , if(t, 0)=: О такая, что а) для любых зс, y,*=.JR.n~ таких, что и всех t е Г О, сО] , dmt(F(i,x), F(t,2))±y(t, ix-yi) ; б) для всякого существует Т>0/ что при любом l^o е Г Of XI все неотрицательные решения неравенства

Vit) J | Oct, S)l </(S, v-(S)) dS, O^t^od о такие, что v(oO) = 1Г(0)) удовлетворяют неравенству т?ах \v(t)\ ^ £ при O^t^oO.

Тогда замыкание по норме в С( [О, со] ? JR. ) множества со -периодических решений включения

ОС е A(t) X +F(t,x) (0.7) совпадает с множеством о?-периодических решений включения сс е A(t)X + СОП1Х F( t, X) , где Con&F — замкнутая выпуклая оболочка множества F,

Получен ряд следствий из этой теоремы,касающихся случая, когда функция VY t, V) линейна по 2Л а также для управляемой системы ос — A(t)X + /(t, х, и) .

В § 5 показано (теорема 5), что при выполнении условий теоремы 4 множество о?-периодических решений дифференциального включения (0.7) непрерывно зависит от множества F(t,X). В § 6 исследованы условия априорной ограниченности од -периодических решений дифференциального включения (0.1), удовлетворяющих ограничению

Назовем функцией Л.С.Понтрягина функцию

H(t,x,y, У) = <9,#> и обозначим dup На, <//).

Для каждого допустимого решения Х(-) задачи Уз- определим многозначную функцию (t, у) —Гравенством: га,= ^: Ха,x(t), v) > stai,sl,у) + + <у, > всех z е оса?} .

В параграфе 7 доказан следующий результат.

Теорема 7 . Пусть существует допустимое со-периодическое решение Х(-) задачи и пусть ему соответствует такое со -периодическое решение ¥(•) включения

У е. Га, V), что на паре Х(-), ¥(•) при £е[г?,сО] выполнено условие максимума:

M(t, X(t), yd)) = H(t,x(i), x(t), wt)l

Тогда решение x(-) является оптимальным решением задачи Этот результат переносится на задачу теорема 8).

Кроме того приведены следствия из теоремы 8.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51] - [58].

Выражаю благодарность Е.Л. Тонкову за проявленный интерес к работе в процессе ее написания и за совместные обсуждения, во многом определившие содержание диссертации.

1. Благодатских В.И. Линейная теория оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1978. 94 с.

2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 470 с.

3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

4. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений. Summer *>choo£ on o'idina. гу (Lift, e^cit. Раъ£ I• £>zno , 1975, p. 29 67.

5. Roocin E. О., Stczn L. P-ziiodicity. on o/btima.6 Contzo£ and oU^^ezentia-B game*. Led. Notes, Contz. and 7/?/. Sec . 1982, 38, p- 234 240.

6. PBis A. MeaswzaSBe oiizntoг . ^ибб, АсаЫ. Poton. Sec. 1965, 13, Я 8, p. 565 569.

7. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Вестник МГУ, серия математика, 1967, 1Ь 3. с. 16-27.

8. Davy, J.b.PzopevtLes оf the soLution *>et о/ лgstn-ttcLEized otL/^e ten teat equations , 35>uCB, /jusi. Mcubh. бос. 1972, 6, lb 3, p. 372 398.

9. Гелиг A.X., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

10. Otech С. £ссLbtence o<f solution* о^ поп ооп&еос oiien^oz ^ieXcU . .E>ot£. Uhione /па£Ь. UaBcen} 1975, II, £ 3,p. 189 - 197.

11. Piani^iani (У. On the ^undamenicLC -tfreozu a<f mu-iUvcLCLLtd oU^^eienicat e(^aa.tLon<$ . ^1977, 25, В I, p. 30 39.

12. Чугунов П.И. 0 зависимости решений дифференциального включения от начальных условий и параметра. Дифференц.уравнения, Минск, 1981, т.17, В 8, с. 1426 1433.

13. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления. Дифференц.уравнения, Шнек, 1979, т.15, № 8, с. 1427 1433.

14. Елагодатских В.И. К теории достаточных условий оптимальности. Тр. Мат.ин-та АН СССР, 1976, 142, с. 78-87.

15. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума для дифференциальных включений. Кибернетика, 1976, 6, с. 60-73.

16. Леваков А.А. Необходимые и достаточные условия оптимальности. Вестн.Белорус.ун-та, сер. Мат.физ.,мех., 1975, В 2, с. 79 80.

17. Толстоногов А.А. О свойствах решений дифференциальных включений в банаховом пространстве. Докл. АН СССР, 1979, т. 248, В I, с. 42 46.

18. Толстоногов А.А. О структуре множества решений дифференциальных включений в банаховом пространстве. Матем.сб., 1982, 118(160), В 1(5), с. 3 18.

19. Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями. Дифференц. уравнения, Шнек, 1979, т.15, В 6, с. 1018 1027.

20. Анапольский ЛЛЭ. Об устойчивости дифференциальных включений. Дифференц.уравн., Шнек, 1983, т.19, № 4, с. 555564.

21. Цалюк Б.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщенными функциями. Математическая физика, Киев, 1980, вып.28, с. 34 40.

22. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами. Дифференц.уравнения, Шнек, 1981, т. 17, Г? 8,с. 1362 1374.

23. Финогенко И.А. О решениях некоторых функционально-дифференциальных включений в банаховом пространстве. Диффе-ренц.уравнения, Шнек, 1982, т.18, Л II, с. 2001 2002.

24. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. Существование периодических решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Мат.анал.и теор.функ., 1970, вып. 8, с. 106-Г13.

25. Шуховский В.В. К вопросу о периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью. Труды шт.факультета В1У, 1973, вып.10, с. 74 82.

26. KetEey. W.} P&iiocUc solution*, ргп-ezsiSi^d. Si AM J. Appt. 1976, V. 30, й I, p. 70 74.

27. Гельдыан Б.Д. Многозначные интегральные операторы и со -периодические решения. Тр.матем.фак. ВГУ, Воронеж, 1971, вып.4, с. 35 44.

28. Ciauzce F. И. 'Periodic SoCutionS io Ha.mc£tont3.n incEusion6. Eyuat., 1981, 40, № I, p. 1-6.

29. Gsii/-7-ej Peterson Petiodt'c 3o£ut6on$ to dl^JeteniLa-t inc£uiion-3. А/опйпе.э.'г a.na.£: Theo-ги Aleihand AppE. 1981, 5, В 10, p. 1109 II3I.

30. Ногп F.7., Lin R.C. Periodic рчооебзел: а. ттссгЛаtionat appzocich , /SEC Ргосе^-i cU^ign. ccnd deve£.Opment, 1967, 6, JS I.

31. Тонков Е.Л. Оптимальные периодические движения управляемой системы. Мат.физика, Киев, 1977, вып. 21, с. 45 -59.

32. Тонков Е.Л. Оптимальное управление периодическими движениями. Мат.физика, Киев, 1977, вып. 22, с. 54-64.т

33. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестн. МГУ, сер. матем., мех., астр., физ., хим., 1959, 2, с. 25 32.

34. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.

35. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

36. Радон И. О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях. УШ, 1936, вып.1, с. 200 227.

37. Эшмл Van Vteck. F. S. МеолигМг IzEecloz* 0<f тиМи^unctions, and af>p£ico,tion&Maih., Sus>{. Theory,1974, 7, & 14, p. 367 376.

38. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамирелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

40. Anto-iizoicz Н.А., CeBEino, A. ConbinuouA в,еЕгсйопл and do^fesLenltcid zeEccUonA . , . ^uai,1975, 19, 2, p. 386 398.

41. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы. Прикладная математика и пакеты прикладных программ. Иркутск, 1980, с. 155 171.

42. Шварц Л. Анализ, т.1. М.: Мир, 1972, 824 с.

43. Функциональный анализ. Серия справочная математич. библиотека. М.: Наука, 1972. 544 с.

44. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. УМН, 1948, вып.1 (23), В 3, с. 3 95.

45. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. Об интегральных неравенствах. Матем.сб., 1962, 56, Л 3, с. 325-342.

46. Толкова B.C., Тонков Е.Л. Некоторые свойства усредненных решений системы регулирования с разрывной нелинейностью. Дифференц.уравнения, Минск, 1973, 9, JS 2, с. 278 289.

47. Хохряков А.Я. О матрице Грина периодической краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, Минск, 1966, 2, $ 3, с. 371 381.

48. Демьянов В.Ф. Минимакс: дифференцируемоеть по направлениям. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1974. 112 с.

49. Валко П., Матрос Ю.Ш. Эффективность гетерогенного каталитического реактора при периодическом изменении температуры исходной смеси. Докл. АН СССР, 1979, т. 248, № 4,с. 912 915.

50. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

51. Ирисов А.Е., Тонкова B.C., Тонков Е.Л. О существовании периодических решений дифференциальных включений. В кн.: Проблемы современной теории периодических движений.Межвуз.сб., Ижевск, издание ИМИ, 1977, с. 17-20.

52. Ирисов А.Е., Тонкова B.C., Тонков Е.Л. Периодические решения дифференциального включения. В кн.: Нелинейные колебания и теория управления. /Межвуз.сб., Ижевск, издание Удмуртского госуниверситета, 1978, вып.2, с. 3-15.

53. Ирисов А.Е. О достаточных условиях оптимальности периодических решений дифференциального включения. В кн.: Проблемы современной теории периодических движений. /Межвуз. сб., Ижевск, издание ШЛИ, 2, с. 55 58.

54. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. Достаточные условия существования и оптимальности периодических решений дифференциального включения. Мат.физика, Киев, 1980, вып. 27, с. 13 19.

55. Ирисов А.Е. Аппроксимация периодических решений дифференциального включения. В кн.: Проблемы современной теории периодических движений. /Межвуз.сб., Ижевск, издание ИМИ, I960, В 4, с. 13 16.

56. Ирисов А.Е. К вопросу об аппросймации периодических решений дифференциального включения. В кн.: Дифференц. и интегральные уравнения. /Межвуз.сб., Горький, издание Горьк. гос.ун-та, 1982, вып.6, с. 155.

57. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения. В кн.: Дифференц. и интегральные уравнения. /Межвуз.сб., Горький, издание Горьк.гос.ун-та, 1983, вып.7, с. 32-38.

58. Ирисов А.Е. Непрерывная зависимость периодических решений дифференциального включения от правой части. Дифференц. уравнения, Минск, 1984, т. 20, В 6, с. 1086 1088.