Некоторые задачи динамики механических систем с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ЖлОВСКЖ СРдША Л2Н;1НА, С-РД5НА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУдОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУ^АРСТВ5НЛ5 7ЕШЕРСЙТЕГ ии. ?.!. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-гатематяческий факультет

На правах рукописи УДК 531.ЗЭ1

Ш Цзгоньфэн

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ Ц/ШШШ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТШ С РАСПРЕдЕШШГА! ПАРАМЕТРАМИ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физяко-гате.татнческих наук

Шсква - 1ЭЭЗ

?а5 с та Н'£Г0ЛН5Н£ на ках-едре теоретической механики ;.:еха нп:-:о-?лате .'.сети чэ с ко го йакульгета Московского Гостхарственного Университета е.. ".3.Ломоносова,

Научные ~тт-:ов:тг:т-з.т::: гоктс? зкс—::а т е: 'ат ::че ск;:>: наук,

профессор 5.Г.^е1»с1Н кандидат з::зи~.о-г.:ате.\:атических наук, доцент Е.ГЛ.!арков

Официальные опгоаенты: профессор, хоктор хнзико-мате.-.гатически

наук А.С.Анхреев/ Ульяновский Филиал И яопент, ханлигат ^пзико-.'.:атематпческих наук ИЛ.Косенко/ !,!АТУ /.

Велушая организация: Московский ЗЪсуларс твенный технический

университет ж. Баумана.

Залита диссертации состоится "12 " ноября 19.ЭЗ г. в 16час. 00 мин. на заседаний слешализированного совета по ш ханике Х.С53.05.01 при Московском Государственном Университет« ши Ы.В.Лоыоносова по адресу: 119399, Москва, Ленинские горы,. ЫГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-Ю Автореферат разослан "¿2 " 19ЭЗ г.

С мхссергадиМ и'.о~.?.с оз.чанэ'.ггься з библиотеке механико-математичесхого факультета гЯУ.

~ УзвазЗ секретарь специализированного совета V _ . т -¿¿|Р53-С5.01 ггрг МГУ, Х-.БЛр«

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. В последние голы проявляется большой интерес к исследованию движения механических систем с распределенными параметрами, требуюшх учета влияния конечной жесткости на поведение объекта в целом. Часто важно исследовать такие движения сплошной среды, для которых существенную роль играет движение всей системы как делого, например, эволюция вращения деформируемой планеты в гравитационном поле сил, протяженной космической конструкции с упругими и диссипатив-ными элементами и т. д. Эта область механики'интенсивно развивается. Многие вопросы механики твердого дефоргаруемого тела исследованы в работах А.И.Лурье, Д.М.Климова, В.В.Румя-цева, Ф.Л.Черноусько, А.П.Маркеева, Б.Г.Вильке, В.В.Белецкого, В.Ф.Нуравлева, В.А.Самсонова, Л.В.Докучаева, Ю.А.Садова, В.В. Сидоренко. ^

Эти задачи сопряжены с большими математическими трудностями, так что возникает необходимость использования ЭВМ для получения конечного результата. Однако для понимания обших закономерностей движения сложной механической системы представляет интерес решение модельных задач, позволявших установить характерную закономерность движения многокогтпонентных тет.

Цель работы состоит в изучении эффектов притавной эво.шо-ции поступательно-врашатеявного движения деформируемых небесных тел, определении стационарных движений и их устойчивости, исследовании колебательных процессов в прикладных задачах механики.

Метод исследования. Используется формализм лагранжевой и гамильтоновой механики в динамике деформируемого твердого тела. Исследования проводятся методами модатьного анализа и . '.талого параметра.

Научная новизна. В работе получены стедуюшие основные результаты:

- Вменены уравнения поступательно-врашательного движения с учетом приливной эволюции в пространственном варианте в задаче двух тел.

- На основе усредненных уравнений рассмотрены эффекты изменения эксцентриситета, среднего движения и наклонения орбиты спутника под приливным воздействием.

- Найдены сташонарныё движения и исследована их устойчивость.

- В случае плоского движения системы « планета-спутник» проанализирован вопрос о. механизме возникновения малых эксцетри-ситетов для экваториальных спутников.

- Изучен резонансный эффект в движении деформируемых планет в круговой задаче трех тел. Показано, что принесение в систему двух планет притягивающего центра приводит к тому, что ось симметрии 'динамически вытянутой планеты будет отклоняться от направления, соединявшего"центры масс планет, на некоторый малый угол, пропорциональный параметрам, определяющим вязкоупругие свойства планета.

- Изучено влияние на динамику осесимметричного упругого тела отклонений ог идеальной схемы. Показано, что в случае неоднородности материала происходит растепление частот колебаний:

вместо двух равных частоты появляются две близкие частоты,

I

что приводит1к явлениям типа биений.

- Получены формулы для поправок к частотам собственных колебаний упругого тела неоднородной плотности.

Достоверность "результатов. Решения задач получены с по-;,->■- - г

. мощью математически обоснованных методов механики сплошных

сред и снабжены, необходимы!.® ссылками на литературу. Отмечается согласованность основных результатов с раб о та»,я других

авторов. Достоверность результатов основывается также на строгости приводимых оценок погрешностей»

Практическая ценность. Проведенные исследования могут быть использована: 1. пр;: созган::п высокоточных теорий движения планет и их спутников. 2. при расчетах современных приборов: датчика инерцпальной назигашп (волнозой твердотельной гироскоп ), быстрозразашгегося ротора турбины.

Апробация работа. Материачы диссертации были доложены на

- ХУЛ научных чтениях по космонавтике ( "осква, январь, 1ЭЭЗ),

- сешнаре по классической механике '(а^едры теоретической механики механико-математического Факультета Т-.1ГУ (рук.: проЗ. 3.Г.Лети, доц. ИЛЛосенко ) ,

- сешнаре по небесной механике ГАШП.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах ( 1, 2, з) .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 44 наим-нования. Обший объем - 110 страниц, в том числе 5 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Зо введений дается краткий обзор литературы по теме диссертации, обосновывается ее актуальность, излагается краткое содержание работы.

Первая глаза содержит необходимый материал, используемый ¡а протяжения всей работы. 3 ней даны некоторые -сведения о пришве построения рункздоналоз внутренних упругих и дзссипатяз-

ных, сил э де5ор!Лфуе:.гых систег.-ах, а тахзе собственные -Борга сво бодных колебаний упругих теп на основе линеаризованиях постановок. Для сист~.та « упругое твердое тело » приведены уравнения движения, которые состоят из уравнений движения систегы как детого, и уравн-ний для определения ле^ор-гапий. Выведены уравнен:: колебаниГ осе;п?яле третного упругого тела з обобщенных нормальны координатах, Излагается '.'.етол разделения дзияени?:, имеющих различные характерные времена, отношения которых лапт г.'алые паоа-!

метры. Он осшван на асимптотическом подхоле к построению приближенных уравнений, описывающих лолгопернодические лзетения в системах с распределенными параметра*я. Iвижение лерормированно: системы как клого задается.канонически?.® переменными]: = (2,,д ~ (<?, ,—,¥п\- движение описывается уравнениями Рауса:

¿> - , ■ , о

с2

с использованием -рункшоната Рауса—~Г 17 »

где 7|*. £ . у - соответственно "функционалы кинетической энергш

системы и потенциальной энергии упругих деформаций и кассовых

I ! &

сил, р которых оставление члены не выше второй степени по .

I Наличие диссипативных сил ¿¡^ приводит к затуханию колебаний ;с собственными частотами . При достаточной жесткости тела вводится малый параметр £-=^/1/ , где и} - характерная частота движения тела как целого^-«/"\ч]. ОбозначимТи1. Т< ^ - период и характерное зремя затухания колебаний на наинизшей частоте V% ^С- безразмерный коэффициент, характеризу-взяей дяссгдаЬзв энергия в ¡,материале. Предполагается, что удов-

гетворяются неравенства Т, -*-' Т. и-к з безразмерной форме

о £ <-' ^ <-' í , - 'о и . Ь- ~>о ( з )

Частное решение для нормальных координат, соотзэтствуетее олгопертодическому движений, ишется б виде ряда по степе ня».'. атого параметра £*

00

1 г2"Г^+к . из

оответственно упругое смешение частиц будет разно

<х>

ЩРЛ) = > еги»сгл) ,

а

ззозмушенным является движение, при котором £ = О , а воз-ппашими с тужат силы внутреннего упругого взаимодействия и1 >енпя. Отбрасыванием в С 2>членов порядка и з^ле полу-

19М систему независимых уразнений

+ = с= > (.5)

' I

е Фс,

не зависит от . Решение С5 )представляется

де

^ = - + ошгег), да

5 штрахом обозначено дифтюреншфозанге по X - , а фунхшя ^ получена при эе —о : ^ фк, . При определении

гкно полагать, что переменные я ^ удовлетворяют зфавнэ-з? незозмудэнного движения. 3 рассматриваемых задачах конст-«йя функционала Ц"' такова, что уравнения С.1) предетазнмн здузхим образом . '

- о —

*

Т = £( хс1. ^ с,и), с£'

гле 'палый безразмерный параметр, а X ] перп-

олнческие лункпги аргумента ^ При зачислении

лагаетея, чтоЛ^-С* ,^¿=(¿¿(1). Значения обобз-ннкх хоорганат з кзазистатическо: резиме лефор^апий бугут

= Е'&ЧФг, - )++^-1-оике,). с?)

3 лалънеЬзек з'-^ранение С 7) вслстазляется в уравнения ( 5 ) , к которые применяется ?.!втол усрехнения.

З-торая глава посзязена вопроса-.: современной небесно:: механики - изучения н?и1гзно2 • эволюции наклонений 2 вра'ленп*: хе-роржруе.'.ж небесных тел, резонансны:.: явления:/ с пельс выявления возможных нознх эфтектов. Рассмотрены хве задачи. 3 перЕо!'. 2знается эволюция элементов эллиптической орбиты - эксцентриситета в , наклонения [ г срехнего лзижения п спутника на интервалах времени, сулестзэнно пргзып1аз:пих периоды прецессии и нутации плоскости орбиты и оси си'лглетрнн планеты, &;знчэские гоптаения при оирегзленик вектора дерормпгшй. и греяставляттся

елехуашм образом

I

г ^ т, Го . т, - с^ь , г - т. -

гхе Т . Т, - периол г характерное зрекя затухания свободных собственных колебаний упругой планетн на наинизпей частоте V , 7~с - характерное время Евизения тел как целого, коэхфи-певт ляссипапии энергии в материале.

Уравнения упругих кзтебаний, получаемое из- принципа ла\!бера-Яаграняа, огеэт вил:

ёЦ ¿>+<8)

* - -

+ X [гГ г С Гч-«)], -и2ё'их,< ¿ох № , ^ > ""

- е? ^ «с, - сг- й;) -

+ 310"& X Г о'1)?" * ( г ■- й?;) ] = $

- /■>> . К , ™ = с . А ,

I

- ¡>, ГЛ1[сУ] , Э^ ~ У-Ь ^ , =

** - и-ис . Яе - Я /¡Р: I , <с->, ^ - ,

г

V»» '

и?,

,масса слг-'тнг'.гл, - гравг'.тгиноннал постоянная, ¿/, - с.:е:ген;:5 ие-нтза масс планеты, ¡^ — птаиблолзнткг'чвек^с зэктое сгг'т—

н::ха, /^¿о) - величина £ - начальный г/омэнт зрг.чевл, «3 - ^лазая скорость планеты, - область, содержащая упруг"-;. часть

независимой пврзкззнсй . Уравнение г ля получается иг <Г8> заменой

ДЛЯ Д - £ :

К ^ЗгМ (Гг>0 , ф< - у Г/- -т-^-

= X (С<Л)// -£0

>»>•?-о

* ^ «г- - ~ ^'

- X С ¿>/™* ^ Л, = А > С >

/п- а - ' гг*-*

Ь - =Г \ 1/ ■ //У /> .. — Г ..« /V- -/-V

~ Д V ^ ' > Скт.у —Д м х

/ . •г>г-"г - - л ^ -Г

/п- а

следует, что б процессе эволюции плоскость орбиты спутника ст-ркгтся совпасть с плоскостью экватора планеты ( при этом обратные орбиты переходят в пряже ), Существуют лззь два стационарных по гзигения системы: =1 - Еерзое из которых асимптотически устойчиво, второе неустойчиво.

Пусть величина ^ имеет порядок п . Тогда для.обратных и дзрярякх орбит (¿/~о) среднее дзизение спутника монотонно возрастает, £ - монотонно убывает. Стационарное лвхаение/г:^ при условии устойчиво, а в противном случае неустойчиво.

Репэние Д ^ ¿а устойчиво при^-^и неустойчиво в противном случае, причем

Если коэффициенты собственных форм таковы, что .Л, _> ¿¡\г , то устойчиво при любых ^ , а еслиД(<^г, то / = /а неустойчиво ярд любых .

Пусть период обращения спутника много короче, чем период врадения п.лазеты. Тогда для любых значений $ большая полуось орбиты и ее эксцентриситет монотонно уйывавт. Возможно пять стационарных движений системы.;

Известно, что значения эксцентриситетов орбит многих спутников планет в настоящее время близки к нулю и маловероятно, чтобы эти значения были в момент образования их как физически тел.

£ля случая птоских движений система «планета-спутник >;> изучен механизм возникновения малых эксцентриситетов для экваториальных спутников планер.

_ Уравнения д.ля переменных /В-е'и П. принимает вид:

Д ="#¡3-и. +шг )(■/?,-п),

_ a _

h, = en-si,),

'I ~ \ Т7Г\— ' -;—Z-—, ' ^ — «»'ir.

Существует только одна стационарная точка системы: Функция Лг-пЛр5 .является монотонно убывавшей и могно показать, что неравенства г7»>/?/выпотняются по крайней мере для значений ß ¿о.{- Фазовые траектории разбиваются на два семейства. При движении по траекториям первого семейства вйачате происходит приближение спутника к планете, а эксцентриситет его орбиты убывает. Затем происходит разворот траекторий и в конечном итоге наблюдается монотонно увеличение в , а спутник удаляется от пяа-неты. При движении по траектория:." второго семейства большая полуось и эксцентриситет орбиты монотонно убывают.

Во второй задаче рассматривается резонансное движение деформируется планет в ограниченной круговой задаче трех тел. Показано, что привнесение в систему двух симметричных планет (одна из которых в недсформированном состоянии динамически вытянута, другая - дина'личееки стлта ) притягивавшего центра приводит к току, что ось симметрии динамически вытянутой птанеты будет отклоняться от направления радиус-вектора, соединявшего центры масс птанет, на некоторый матый угол, пропорциональный параметрам, определяющим вязкоупругие свойства птанеты. Этот эффект выявлен при рассмотрении соизмеримости 1:1 между средним движением центров масс планет и средней угловой скоростью динамически вытянутой планеты на круговой-орбите. Заметим, что для абсолэтно тзердых тел такой эффект не наблюдается.

При изучении движения планет на космогонических интерзалах времени воспользуемся приближенными уравнениями:

Я --и^и^л'^Ш+О(эег)+О(е?)], С11'

Л = -«о ^-¿к&м*^^, ^(хб^осф],

к: = 1гп;\ь)Д< , Л1 = 2^ Ь*«.,* >а ,

и> - п, - агп;(. ■ п* = ¿и,ргК п, -

«> = Х'Л^/Й Сш-п)>0 >

кю [II - со- П) > о,

где § - постоянная тяготения, Мо- гравитационный параметр притягивавшего центра, гп.1 , - - масса тела М; и плотность его упругой части, - радиус-вектор, соединявший центры масс,

-л

Ц - радиус-вектор, проведенный из притягивавшего центра в барицентр планет.

Из (11) следует, что в процессе приливной эволюции угловая скорость 1-го тела стремится к величине . Таким образом, тенденции к соизмеримости средних угловых скоростей ^ г ад в рассматриваемой задаче могут являться результатом приливной эволюции движения деформируемых планет.

В случае, когда = 1:1 , уравнение для переменной

будет таково:;

А - с--¿ка!ля^1

- 3 к, А',% 4, [з у, - а/Ь 4,0*5.24,) + 3/Ы -

- и -

где Д,, С, - экваториальный к осевой моменты инерции динамически вытянутой планеты, - угот поворота динамически вытянутой планеты, б, - истинная аномалия. Приравняв - ^ о , из (. 12 ) находим приближенное значение этого утла

Л £'¿{1

Существуют две серии положений равновесия: ^ = -л,, (п=1,г,-..\

~Л7Г+2ч,.^положения равновесия первой неустойчивы, а второй - устойчивы.

В третьей главе рассматриваются прикладные задачи теории колебаний механических систем с распределенными параметрами. Составляются уравнения движения ротора, который представляет собой линейно деформируемое тело, и учитываются его изгибные и крутильные колебания.

Изучается в.лияние на динамику осесимметричного упругого тела отклонений от идеальной схемы, обусловленных неоднородной плотностью материала, зависшей от угла. Случай переменной плотности представляет важный практический интерес, поскольку распределением плотности можно управлять. Расматривается_случай, когда члены с угловой скоростью существенно меньше членов, учитывающих неоднородность. Показано, что в случае неоднородности материала происходит растепление частот колебаний, вместо двух равных частоты появляются две близкие частоты, что приводит к явлениям типа биений. Выяснено, что изменение плотности по фиксированной гармонике оказывает влияние только на колебания по некотрым собственны)/ формам.

В заключении перечислены основные результаты работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Ли Цзюньфэн, !,парков Ю.Г., !,!иняев И. С. Об одном эффекте в резонансном движений деформируемых планет в ограниченной ', '

задаче трех тт. /'/ Космич.исслед., 19ЭЗ. т. 31, вые.4, с.3-11.

2. Ли цзюньфэн, Марков Ю.Г., Миняев И.С. Об эволюзке эллиптической орбиты спутника в поте деформируемой птанеты. // Астрон.н.

в печати.

3. Марков Ю.Г., Ли Цзюньфэн. Анализ колебаний упругой системы ХА, вызванных управляющими воздействиями. // ХУЛ научные чтения по космонавтике. Тез. докл., Москва. 1993.

\