Некоторые задачи интегральной геометрии с неполными данными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 ОД

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ '(! им- Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

СЫСОЕВ СЕРГЕЙ ЕГОРОВИЧ

УДК 517.986.64

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ С НЕПОЛНЫМИ ДАННЫМИ

(01.01.01. - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Б.П.Паланодов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

В.М.Бухштабер,

кандидат физико-математических наук Д.А.Попов.

Ведущая организация - Объединенный институт физики Земли РАН

Защита состоится "Л??" 199^г.

эг. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета по математике Д.053.05.04 при МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробъевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " НОЗОрЭ 199^г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор ^йП^/- Т.П.Лукашенко

т-п-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В общем виде задача интегральной геометрии формулируется так: пусть задано дифференцируемое многообразие X размерности п и на нем - семейство к-мерных многообразий У М^к&уц-Ч ). Пусть на каждом подмногообразии ^ 6 У задана гладкая положительная

мера . Данной функции £ на■многообразии X сопоставляются

интегралы от нее по подмногообразиям:

Функция называется к-мерным обобщенным преобразованием

Радона. Требуется по известной функции восстановить ис-

ходную функцию .

Если )(. является аффинным пространством (И. , У - множество всех гиперплоскостей в ^ , а ^ - евклидова мера на гиперплоскости £ , то рассматриваемое преобразование является классическим преобразованием Радона. В этом случае имеются формулы обращения И.Радона и йона.

Одномерное обобщенное преобразование Радона называют лучевым преобразованием. Для семейства прямых в имеются аналогичные

формулы обращения ( см. [1]).

Задача обращения лучевого преобразования появляется во многих приложениях, в первую очередь в компьютерной томографии, в радиоастрономии, в сейсмологии и т.д. Например, в однофотонной эмиссионной компьютерной томографии требуется найти распределение радиоактивного медицинского препарата в сечении тела по интенсивности излучения, измеренной вне этого тела. Если ^ - коэффициент поглощения излучения биотканями, то интенсивность излучения, измеренная вне тела детектором, принимает вид

1 = /МО

где - отрезок прямой А между точкой X и детектором. Тре-

буется восстановить функцию £ по линейным интегралам с весовой функцией, которая определяется коэффициентом поглощения

Соответствующее интегральное преобразование в /¡¿^ имеет

вид

1. Хелгасон С. Преобразование Радона. - М.: Мир, 1983.

о - \ -Ьн(х,0)

г. >

где 0 2 направляющий вектор прямой , — X — (Х>&)@

проекция точки на гиперплоскость Ц^1- • ^ - ,

сIб^ евклидова мера на прямой , уИ - непрерывная неотрица тельная функция, заданная на (Щ*' , веерное преобразование

■г оо

с

представляет собой'интеграл функции И по лучу с началом Х^й,

л 1-. _ ✓ >

и направлением

Оператор /д, называется лучевым преобразованием с учетом поглощения. Известно [2], что если коэффициент поглощения р^сои^; в выпуклой области С. содержащей носитель функции £ ,

то оператор /^ц может быть сведен к более простому преобразованию "ТУ• О , где известная положительная фуекция, а

Г +оо

-с3

Оператор (у^ называется экспоненциальным лучевым преобразованием с постоянным поглощением.

При п=2 формула обращения для экспоненциального лучевого преобразования была получена в [3].

Экспоненциальное лучевое преобразование с поглощением, зависящим от направления, является обобщением преобразования • Считается, что коэффициент поглощения , 6S""' есть неотрицательная непрерывная функция на сфере. П.Кучмент и И.Шней-берг [4] при п=2 получили формулу обращения для преобразования^^ в этой ситуации.'

Однако во всех полученных формулах обращения предполагается знание значений преобразования Q^-f- на множестве всех прямых. Б то же время понятно, что для однозначного восстановления исходной функции по данным Q^-Ç- достаточно гораздо меньшего объема

2. Наттерер Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1980.

3. Tretiak О., Mets С. The exponential Radon transform.// SIAM J Appl. Math., v. 39, 1980, 341-354.

4. Kuchment P.A., Shneiberg I. Some inversion formulas in the single photon emission computed tomography.//Applicable Analysis, v. 53, 1994, 221-231.

данных. Во многих практических задачах функция известна

г'

лишь на некотором подмножестве её области определения. В этой ситуации говорится о восстановлении исходной функции по неполным данным.

К проблеме обращения по неполным данным относится задача об отыскании функции Щ, , исходя из значений её экспонен-

циального лучевого преобразования, известных для некоторого п-мерного семейства прямых. В классическом случае явные

формулы, решающие эту задачу, были получены в [5-8]. В.П.Паламо-дов поставил задачу найти явную формулу обращения экспоненциального лучевого преобразования с коэффициентом поглощения, зависящим от направления, в случае, когда данные этого преобразования известны лишь для семейства прямых в , пересекающих беско-

нечно удаленную кривую, имеющую непустое пересечение с каждой гиперплоскостью И С ¡Щ1, . Им была рассмотрена эта задача в трехмерном пространстве [9] и был предложен метод обращения экспоненциального лучевого преобразования в этой ситуации.

К проблеме обращения лучевого преобразования по неполным данным относится и задача с неполным угловым диапазоном. Эта задача возникает в рентгенологии, а в классическом случае уЧнс? в компьютерной томографии, в геофизике, в оптике, в радиофизике. Для её решения в классическом случав можно применять различные методы: метод Д. Слепяна [10], использующий разложение по вытянутым сфероидальным функциям, метод моментов [11], метод, основанный на явной формуле интерполяции значений целой функции экспо-

5. Денисюк А.С. Исследование по интегральной геометрии в вещественном пространстве. Диссертация, МГУ, мех-мат ф-т, 1990.

6. Finch D.V. Cone beam reconstruction with sources on a curve.// SIAM J. Appl. Math., v. 45, 1985, 665-673.

7. Palamodov V.P. Inversion formula for three-dimensional ray transform, in "Mathematical problems of Tomography", Proceedings, Oberwoifach, 1990. Herman G.T., Louis A.K., Natterer F. ( Eds.). Lect. Notes in Math., v. 1497, 1991, 53-Л2.

8. Tuy H.K. An inversion formula for cone-beam reconstruction.// SIAM J Appl. Math., v. 43, 1983, 546-552.

9. Palamodov V.P. An inversion method for attenuated X-ray transform in space.// Inverse problems, 1996. .

10. Slepian D., Pollack H. Prolale spheroidal vawe functions, Fourier analysis and uncertainty, 1.// Bell. Syst. Techn. J., v. 40, 1961, 43.

11. Камзолов А.И., Лукашенко Т.П., Никишин Е.М. Нахождение момен-

ненциального типа [12,13]. В. диссертации приводится метод решения задачи обращения экспоненциального лучевого преобразования в случае неполного углового диапазона и получена оценка, характеризующая устойчивость этого метода относительно возможных ошибок в данных.

Ещё один источник задач интегральной геометрии - ультразвуковая томография, где требуется определить показатель преломления Y\s изучаемого объекта. Фиксируется время прохождения ~Ь зву-

кового сигнала между точками X и ^ , лежащими на поверхности объекта. Траектория сигнала представляет собой геодезическую линию в метрике eiS'^YldS , соединяющую Л и ^ , где c/s евклидова метрика. Получается нелинейное интегральное уравнение относительно и^

iCx,^)- J n-ds ,

.Нужно найти )v , зная ) для многих пар излучатель-приёмник

X , у ■ В результате линеаризации по формуле Iv—^at^- , где . известно, а мало, получается приближённое равенство

¿СХ.у) « " J Reel's -t j Jc/s

и нужно восстановить £ по криволинейным интегралам вдоль В частности, если с — есть линейная функция глубины,то геодезическими будут дуги окружностей. На практике серьёзной трудностью для нахождения является недостаток данных: интегралы известны, как правило, для конечной и неполкой выборки геодезических дуг, обычно лишь для тех, которые опираются на дневную поверхность. В [14] приведён анализ степени достоверности восста-

тов функции по её преобразованию Радона. Тезисы симп. по вычислительной томографии, СО АН СССР, Новосибирск, 19S3, 91-92.

12. Паламодов В.П. Некоторые сингулярные задачи томографии. Б сб. Вопросы кибернетики. Математические проблемы томографии. - М.: 1990, 132-139.

13. Palamodov V.P., Denisjuk A. Inversion de la transformation de Kadon d'après des donnees incompletes.//С. E. Acad. Sei. Paris, t. 307, Serie 1, 1988, 181-133.

14. Паламодов В.П. О достоверности восстановления поля скоростей по годографу. В сб. Теория и практика сейсмических исследований

новления в ситуации, когда действует только один фактор, за-

трудняющий восстановление - область на дневной поверхности, в которой расположены источники и приёмники сейсмических волн, ограничена. Показано, что восстановление сильно неустойчиво, что обусловлено геометрией дуг . В [15] приведена теорема един-

ственности решения задачи восстановления функции по её интегралам вдоль окружностей с центрами на фиксированной прямой в (к- в

классе непрерывных функций, четных по одной переменной. В диссер--тации получена теорема единственности для функций, суммируемых в" полосе.

Цель работы.

Целью работы является получение формулы обращения экспоненциального лучевого преобразования в случае, когда данные этого преобразования известны лишь для некоторого п-мерного семейства прямых в ¡¡^ / и Для данных в неполном угловом диапазоне; а также исследование задачи восстановления функции по её интегралам по дву-параметрическому семейству дуг окружностей на плоскости.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем:

1. Исследована единственность восстановления функции по неполным данным о её экспоненциальном лучевом преобразовании в случае, когда коэффициент поглощения зависит только от направления.

2. Получена формула обращения экспоненциального лучевого преобразования для семейства прямых, направляющие вектора которых образуют центрально симметричную связную кривую на . Формула получена с точностью до оператора свёртки, ядро которого равно

2 ^, где Ц - коэффициент поглощения.

3. Предложен метод обращения экспоненциального лучевого преобразования в случае неполного углового диапазона, основанный на явной формуле интерполяции целой функции. Получена оценка, характеризующая устойчивость этого метода относительно возможных ошибок в данных.

4. Доказана теорема единственности восстановления суммируемой в полосе функции по её интегралам вдоль дуг окружностей с центрами на фиксированной прямой.

литосферы. Сборник докладов. Камчатская геофизическая станция И53

АН СССР. Петропавловск-Камчатский, 1991, 63-71.

15. Курант Р. Уравнения с частными производными,- М.:Мир, 1964.

- 6 -

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть использованы в интегральной геометрии и томографии.

Методы исследования. Используются методы математического анализа, функционального анализа, теории функций многих комплексных переменных, теории обобщенных функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по интегральной геометрии на механико-математическом факультете МГУ, на семинарах механико-математического факультета филиала МГУ в г. Ульяновске, на международной конференции по алгебре и анализу (Казань, 1994г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 63 наименования. Общий объём диссертации 87 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дан краткий обзор результатов, относящихся к теме работы, даны необходимые определения и изложены основные результаты диссертации.

Первая глава состоит из двух параграфов. В § 1.1. рассматривается вопрос об однозначности восстановления исходной функции располагая неполной информацией об её экспоненциальном лучевом преобразовании с коэффициентом поглощения, зависящим от направления. Как и в случае СсиЪЬ' здесь справедлива следующая теорема единственности: ^

ТЕОРЕМА 1. Пусть Л. С Й бесконечное множество, ^в С, (5

, с если при ееЛ.^е1- ,

то

Если использовать лишь конечное число направлений, то получаем противоположный результат:

ТЕОРЕМА 2. Пусть . ..,0 € 5 - произвольный конечный

набор векторов. Тогда существует функция ) , £ фо

такая , что -О , ^ 6 О^ . при всех

В § 1.2. рассматривается следующая задача. Пусть функция

, функция уМ зависит только от направления ^-¡чШ) 9й £п~1> и - С ^ гладкая кривая. Пред-

положим, что для всех направлений £2 £ (2. известны данные экспоненциального лучевого преобразования

Требуется восстановить функцию .

Предположим, что кривая С С $ является симметричной отно-

сительно центра сферы, • »2 5 , ее параметри-

зация, где Ь натуральный параметр, тогда ^

при в&С0}£2 / &со> = = =

где • Обозначим '

б

где - проекция & на подпространство, ортого-

нальное векторам О1^) , &С5) • Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 3. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая связная кривая С С З11''' центрально симметрична, у^ С.^ ^

- четная функция, тогда по данным ¿^.х} £? £ (2

функция £ £ СТ (Щк) восстанав-11И0ается

+ А|00,

внутренний интеграл имеет смысл главного значения Кожи.,^ А-? - оператор свертки, ядро которого

О(Т^).

Эта теорема доказывается с помощью проекционной теоремы и теоремы Стокса.

СЛЕДСТВИЕ 1. Если С плоская кривая (является пересе-

чением ^ с двумерной плоскостью, проходящей через начало

координат), то УцС^^О и получаем формулу точного восстановления функции :

- а -

где внутренний интеграл имеет смысл главного значения Коши. СЛЕДСТВИЕ 2. Если . то В^-Р-^СЦ^х) ~ клас-

сическое лучевое преобразование, следовательно,

^ т-

где внутренний интеграл имеет смысл главного значения Коши; т.е. достаточно только половины кривой (2 • При п=2 это известная формула обращения лучевого преобразования на плоскости.

Во второй главе диссертации рассматривается задача обращения экспоненциального лучевого преобразования в случае неполного углового диапазона. Эта задача формулируется следующим образом. Пусть функция определена в Ю-2" и имеет компактный носи-

тель. Рассмотрим экспоненциальное лучевое преобразование с постоянным поглощением, т.е. функция ^ = ¿О1С0-Ь :

О = ] е цье1-* ¿е) ^ ,

•-0е»

где (=■ 5 направляющий вектор прямой,

вектор, ортогональный вектору 9 , 5 . Предположим, что

функция (р^ £ задана на множестве * $1. , где I ^ непустой открытый интервал, & = у^ -а^у?) ^¿г

Требуется восстановить £ 1

Вторая глава состоит из трёх параграфов. В § 2.1. получена формула интерполяции значений целой функции экспоненциального типа, заданной на кривой

, на всю комплексную плоскость. ТЕОРЕМА 4. Пусть функция £=црр£, кри-

вая / =Г'и Гнаходится в полосе /^у, У ¡¿. с/ , где 1 и

I"11 непрерывные кривые с началом в точках и Аг € (Г

соответственно, Г'йГ'^—ф • Тогда имзет место следующее интегральное представление

Г

где 11 У квадратного корня выбрана ветвь, у которой

fe^VîX^O >С вне полосы l^w, < с(

С помощью этой теоремы в § 2.2. строится алгоритм восстановления исходной функции ^ по данным её экспоненциального лучевого преобразования в случае неполного углового диапазона. Используя эту формулу и формулу Уиттекера-Котельникова-Шеннона, восстанавливаем значения преобразования Фурье JfL на всей комплексной плоскости по значениям на множестве = ? - S g 9- S^,

В § 2.3. приводится оценка, характеризующая устойчивость описанного в § 2.2. алгоритма восстановления исходной функции

j. относительно возможных ошибок в данных. Эта оценка содержится в следующих двух теоремах, где обозначено ',/fliR.l,

преобразование

Фурье функции по второй переменной.

ТЕОРЕМА 5. Пусть функция ^ £ ti* fЩ2) , SuPP 4 С ° R.

функция £ задана на множестве -S^* (Л , где fi^ ,

q^^cIL , тогда справедлива следующая оценка

IU* s e2R-o*A^ v2/4)

__ е

• max II x(Q y)A/p чл il

ТЕОРЕМА S. Пусть функция ' SupP f ^&Ц ,

функция задана на множестве S^ * [£>_ , где Z~ (ryfat y^ _)

é. T^ , тогда для функции , полученной описанным в

§ 2.2. алгоритмом, справедлива оценка

|?«|« « £Щ^)

w^ÎK^tBL3-, f>o

Таким образом, как и в классическом случае, алгоритм решения рассматриваемой задачи обладает экспоненциальной неустойчивостью относительно возможных ошибок в данных.

В главе 3 рассматривается задача восстановления функции по её интегралам вдоль окружностей с центрами на фиксированной прямой в Щг . Пусть функция Ц £ ) , где

и известны интегралы

,----

по семейству дуг окружностей ^ ^ — С

находящихся в полосе JZ. , c/s- евклидов элемент длины кривой -р. Требуется по функции Pu , заданой в Ji_ , восстановить ц Оператор Р по непрерывности распространяется на пространство

L^ (JL^ - Доказана теорема единственности ТЕОРЕМА 7. Решение уравнения Pli - <7 единственно в Доказательство теоремы основано на методе, предложенном в [16], и опирается на существование решения сопряженной задачи, что в свою очередь следует из разрешимости операторного уравнения вида vy — Vw -h в шкалах банаховых пространств при некоторых условиях, накладываемых на оператор Y

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.П. Паламодову за постоянное внимание к работе и помощь.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. СысоеЕ С.Е. Обратная задача для экспоненциального лучевого преобразования в ^^с неполными данными.// Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН 30.09.92., 1! 2885 В-92, 13 с.

2. Сысоев С.Е. Задача с ограниченным диапазоном углов для экспоненциального лучевого преобразования в Шг .// Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН 22.01.93, К 140 В-93, 23 с.

3. Сысоев С.Е. Восстановление функции от двух переменных по данным ее экспоненциального лучевого преобразования в случае неполного углового диапазона.// Успехи матем. наук, т. 49, 2, 1994, 171-172.

4. Сысоев С.Е. Обращение экспоненциального преобразования Радона в случае неполного углового диапазона.// Тезисы докладов международной конференции по алгебре и анализу, Казань, часть 2, 1994, 128-129.

5. Сысоев С.Е. О восстановлении функции по данным ее экспоненциального лучевого преобразования на п-мерном комплексе прямых в Ш. // Успехи матем. наук, т. 51, 3, 1996, 177-178.

6. Сысоев С.Е. Об обращении экспоненциального лучевого преобразования по неполным данным.// Фундаментальные проблемы математики и механики, выпуск 1, Ульяновский гос. университет, 1996, 250-261

16. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.